BIBLIOGRAFIA: SE HA TOMADO COMO REFERENCIA A LOS SIGUIENTES AUTORES: OGATA, KATSUHIKO (1997), Ingeniería de control moderna, México, Prentice Hall Hispanoamérica S.A, 3a Edición. OGATA, KATSUHIKO, Ingeniería de control moderna, México, Prentice Hall Hispanoamérica S.A, 7a Edición. KUO, BENJAMÍN C (1996), Sistemas de control automático, México, Prentice-Hall MANUAL DE MATLAB REFERENCIAS DE INTERNET FORMULAS, GRÁFICOS TOMADOS DE OGATA, INTERNET, MATLAB.ispanoamérica MATLAB.ispanoamérica S.A., 7a Edición.
DIAGRAMAS DE BLOQUES Es un sistema es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. G (s)
Señal de entrada
función transferencia
Señal de salida
Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques. PUNTO SUMA.
Las cantidades que se sumen o se resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades PUNTO DE RAMIFICACIÓN
A partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos suma.
DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA EN LAZO CERRADO. Punto suma
Punto de ramificación
La salida C(S) se realimenta al punto suma, en donde se compara con la entrada de referencia R(s). La salida del bloque, C(s) C(s) en este caso, se obtiene multiplicando multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque, E(s). Cualquier sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama de bloques formado por puntos suma, bloques y puntos de ramificación. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN LAZO ABIERTO Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA TRAYECTORIA DIRECTA.
Función de transferencia en lazo abierto =
El cociente entre la salida C(s) y la señal de error E(s) se denomina función de transferencia de la trayectoria directa:
Si H(s) es la unidad, la función de transferencia en lazo abierto y la función de transferencia de la trayectoria directa son iguales. Función de transferencia en lazo cerrado es igual i gual a:
C(s) = G(s) E(s) E(s) = R(s) - B(s) B(s) = H(s) C(s) E(s) = R(s) - H(s)C(s) Remplazando E(s) se tiene que: C(s) = G(s) [ R(s) - H(s)C(s) ]
C(s) en lazo cerrado depende de la función de H(s) y de R(s). SISTEMA EN LAZO CERRADO SUJETO A UNA PERTURBACIÓN.
La respuesta Y(s) producida por la aplicación simultánea de la entrada de referencia X(s) y la perturbación D(s) se obtiene: Y(s) = Y X (S) + Y D (S) Consideramos las respuestas independientes de la salida y de la perturbación Respuesta a la perturbación Y D (S) Ecuaciones en los bloques de transferencia:
Ecuación en el punto suma:
[ ]
Respuesta a la entrada X(s)
Y(s) = Y X (S) + Y D (S)
Si [G1(s)H(s)] >>1 y [G1(s)G2(s)H(s)] >>1. En este caso la función de transferencia en lazo cerrado X D(s)/D(s) se hace casi cero, y se suprime el efecto de la perturbación. Ésta es una ventaja del sistema en lazo cerrado. La función de transferencia en lazo cerrado Y R(S)/X(S) se aproxima a l/H(s) conforme aumenta la ganancia de [G1(s)G2(s)H(s)]. Esto significa que si [G1(s)G2(s)H(s)]>>1 entonces la función de transferencia en lazo cerrado Y R(S)/X(S) se vuelve independiente de G1(s) y G2(s) y se hace inversamente proporcional a H(s), por lo que las variaciones de G1(s) y G2(s) no afectan la función de transferencia en lazo cerrado Y R(S)/X(S) . Esta es otra ventaja del sistema en lazo cerrado. Es fácil observar que cualquier sistema en lazo cerrado con una realimentación unitaria, H(s) = 1, tiende a hacer iguales la entrada y la salida. PROCEDIMIENTOS PARA DIBQJAR UN DIAGRAMA DE BLOQUES.
1.- Escriba las ecuaciones del comportamiento dinámico de cada componente. 2.- Las transformadas de Laplace de estas ecuaciones 3.- Integre los elementos en un diagrama de bloques.
EJEMPLO.Considere el circuito y dibuje el diagrama de bloque.
La transformada de Place es:
∫
Para condiciones iniciales iguales a cero.
Entonces el diagrama de bloques de:
I(s)
E0(s) 1 CS
Diagrama del bloque del circuito:
REDUCCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES. Los bloques pueden conectarse en serie, sólo si la entrada de un bloque no se ve afectada por el bloque siguiente. Los bloques en cascada que representen componentes sin carga pueden sustituirse con un solo bloque, cuya función de transferencia sea simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales. Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques.
REGLAS IMPORTANTES Diagramas de bloques originales
Diagramas de bloques equivalentes
La simplificación de un diagrama de bloques por sustituciones reduce de manera considerable el análisis matemático subsecuente Las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos. Al simplificar un diagrama de bloques, recuerde lo siguiente: 1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser el mismo. 2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.
Ejemplo.- Simplifique el siguiente diagrama de bloque:
Ejemplo.- Simplifique el siguiente diagrama de bloque:
MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS Teoría de control moderna.
Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo. La teoría de control moderna, que es un nuevo enfoque del análisis y diseño de sistemas de control complejos. Este enfoque nuevo se basa en el concepto de estado. El concepto de estado por sí mismo no es nuevo, dado que ha existido durante largo tiempo en el campo de la dinámica clásica y en otros medios.
LA TEORÍA DE CONTROL MODERNO CONTRA LA TEORÍA DE CONTROL CONVENCIONAL. La teoría de control moderno: Se aplica a sistemas con entradas y salidas múltiples, que pueden ser lineales o no lineales
Un enfoque en el dominio del tiempo
Teoría de control convencional
se aplica a sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes con el tiempo. Complejo en el dominio de la frecuencia
Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t ≥ to, junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ to, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ≥ to. Observe que el concepto de estado de ningún modo está limitado a los sistemas físicos. Se puede aplicar a sistemas biológicos, económicos, sociales y otros.
Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. variables X1, X2, …. Xn, para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico. Si se necesitan al menos ƞ
Observe que las variables de estado no necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente.
Vector de estado. Si se necesitan ƞ variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas ƞ variables de estado se consideran los ƞ componentes de un vector X. Tal vector se denomina vector de estado. Espacio de estados. El espacio de ƞ dimensiones cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje X 1, el eje X2, ,. . . , el eje Xn, se denomina espacio de estados.
Ecuaciones en el espacio de estados. Tres tipos de variables involucrados en el modelo de sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado. El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada para t ≥ t1. Dado que los integradores de un sistema de control en tiempo continuo funcionan como dispositivos de memoria, las salidas de tales integradores se consideran las variables que definen el estado interno del sistema dinámico. Por tanto, las salidas de los integradores funcionan como variables de estado. La cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contiene el sistema. Suponga que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene ƞ integradores.
Existen r entradas u1(t), u2(t)….. ur(t) m salidas y1(t), y2(t),… ym(t). Salidas de los integradores xl(t),x2(t), , . . ,x,(t). A continuación el sistema se describe mediante:
Las salidas:
Se convierte en: Ecuación de estado
Ecuación de salida
Si ñas funciones vectoriales f y g involucran explicitamente el tiempo EL SISTEMA DE DENOMINA VARIANTE CON EL TIEMPO Linealizando las ecuaciones se tiene
Donde
A(t) → matriz de
estado
B(t) → matriz de entrada C(t) → matriz de salida D(t) → matriz de transmición directa
Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo EL SISTEMA SE DENOMINA INVARIANTE EN EL TIEMPO
Ejemplo.- considere el sistema mecánico, suponemos lineal. u(t) entrada y y(t) salida
Ecuación del sistema:
̇ ̇ ̇ ̇ ̇̇ ̇̇
Ecuación de segundo grado → dos integradores
Se definen las variables de estado como:
CORRELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS. A continuación mostraremos cómo obtener la función de transferencia de un sistema con una sola entrada y una sola salida a partir de las ecuaciones en el espacio de estados. Consideremos el sistema cuya función de transferencia se obtiene mediante
Espacio de estados:
Ẋ = Ax + Bu
y = cx + Du
en donde x u y
→ → →
vector de estado, entrada, salida.
La transformada de Laplace:
sX(s) - x(O) = AX(s) + BU(s) Y(s) = CX(s) + DU(s) Condiciones iniciales son cero, suponemos que x(O)
sX(s) - AX(s) = BU(s) (sI - A)X(s) = BU(s) Multiplicando por (sI - A)-1 en ambos miembros
X(s) = (sI - A) -1 BU(s) Sustituyendo
Y(s) = [C(sI - A)-1 B + D]U(s) Remplazando en la función de transferencia:
G (s) =
G(s) = C(sI - A)-1 B + D EJEMPLO.-
Considerar el sistema mecánico que aparece.
Obtener la función de transferencia para este sistema a partir de las ecuaciones en el espacio de estados. Sustituyendo A, B, C y D
en la ecuación,
G(s) = C(sI - A)-1 B + D Se obtiene
Además
Remplazamos
Fumción de transferencia
̇ ̇
DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA
MATRIZ DE TRANSFERENCIA. Considere un sistema con entradas y salidas múltiples.
r entradas u1, u2, u3, ……. ur m salidas
y1, y2, y3, ……. ym
Definimos
La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s).
Dado que el vector de entrada u es de dimensión r y el vector de salida y es de dimensión m la matriz de transferencia es una matriz de m x r . ,
REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADOS DE SISTEMAS DINÁMICOS Sistemas de n-ésimo orden se representan mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales no contiene derivadas de la función de excitación. Considere el siguiente sistema dinámico de n-ésimo orden: Y(n) + a 1y(n-1) + …..+ a(n-1) Ẏ + a n y = u
Definimos X1 = Y
Definimos:
X2 = Ẏ . . . Xn = Y(n+1)
Ẋ1 = X2 Ẋ2= X3 . . .
Ẋ (n) = X (n+1)
Ẋn = - an X1 - …… - a1 Xn + u
Ẋ = AX + BU
→
ECUACIÓN DE ESTADO
Y = cX
→D=0 →
Ecuación de salida
Donde: c = [1 0 …… 0]
Diagrama de bloques de la ecuación de estado y de la ecuación de salida
La función de transferencia en el espacio de estado es:
Espacio de estados de sistemas de n-ésimo orden representadas mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales contiene
derivadas de la función de excitación. Y
(n)
(n-1)
+ a 1y
+ …..+ a(n-1) Ẏ + a n y = b0un + b1un-1 + …+ bnu (n)
(n-1)
El conjunto de variables Y , y , …,Ẏ, Y no califica como un conjunto de variables de estado y no puede usarse el método. Esto se debe a que X1 = Y, no puede conducir a una respuestas única.
Una forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las siguientes n variables como un conjunto de n variables de estado:
Con esta elección de variables de estado está garantizada la existencia y unicidad de la solución de la ecuación de estado. Pero no es la única elección de un conjunto de variables de estado.
ECUACIÓN DE ESTADO ECUACIÓN DE SALIDA
La representación en el espacio de estados para la función de transferencia
SISTEMAS MECÁNICOS
La ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton. MASA.
a masa es la propiedad de un cuerpo que le da inercia, es decir, resistencia a moverse o detenerse. L
m → masa → kg 2 g → gravedad → 9,8 m/s
w → peso → N
FUERZA.
Se define como la causa que tiende a producir un cambio en el movimiento de un cuerpo al cual se aplica. Dos tipos de fuerza pueden actuar sobre un cuerpo: fuerzas de contacto fuerzas de campo. SISTEMA MECÁNICO.
Considere el sistema masa-resorte-amortiguador montado en un carro sin masa, que aparece en la figura.
AMORTIGUADOR.- dispositivo que proporciona fricción viscosa o amortiguamiento. Está formado por un pistón y un cilindro lleno de aceite. El amortiguador esencialmente absorbe energía. Esta energía absorbida se disipa como calor y el amortiguador no almacena energía cinética ni potencial.
∑
→ Ley de Newton
( )
Transformada de la Laplace
(
Función de transferencia
La función de transferencia sólo se aplica a sistemas lineales e invariantes con el tiempo, ECUACIONES DE ESTADO
Se define la siguiente ecuación
De la forma estandar
Donde:
Se define:
()
Se tiene que
La ecuación de salida se convierte en:
Representación en el espacio de estados:
̇̇ | | ( ) | | SISTEMAS ELÉCTRICOS Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff.
La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero.
La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero. EJEMPLO CIRCUITO LRC.
L
inductancia (henry)
R, → resistencia (ohm)
C
capacitancia (farad).
La transformada de Laplace:
→
ECUACIONES DE ESTADO
̈ ̇ ̇ X1 = e0
X2 =
u = ei
y = e0 = X1
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
̇̇ | | | |
IMPEDANCIAS COMPLEJAS
Su definimos la impedancias como
