3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5.
Estruturas nao-linearescontinuas, 222 Estruturas lineares articuladas, 222 Estruturas nao-lineares articuladas, 224 Estruturas resultantes da aplicayao dos poligonos funiculares Linhas de press6es, 225 3.3. Linhas de influencia, 245 3.3.1. Momento fletor, 245 3.3.2. Esforyo cortante, 246
INTRODUCAO 4.1. IntrodUyao,247 4.1.1. Conceituayao e defmiy5es,247 4.1.2. Classific~ao das treliyas, 248 4.1.3. Reticulados deformaveise indeformaveis- Estaticidade, 249 4.2. Metodos principais de resoluyao, 251 . 4.2.1. Analltico - Ritter, 251 4.2.2. Grafico - Notayao de Bow - Maxwell-Cremona,251
o estudo da Estatica compreende a ayao de foryas exteriores sobre urn corpo rfgido, em posiyao de repouso. As [oryas grupam-se em sistemas que re.cebem denominayoes segundo a posiyao relativa que guardam entre si. Temos assim sistema.. de forgas concorrentes, paralelas e quaisquer. Qualquer destes sistemas pode ser coplanar ou espacial. Todo e qualquer sistema pode ser 8ubstituido pela ayao de duas foryas que, em relayao a urn ponto qualquer, venham a produzir 0 mesmo efeito que 0 sistema dado. Estes efeitos san a resultante e 0 momento ?·esultante. A resultante e a soma vetorial das projeyoes das foryas do sistema e capaz de produzir translayao, segundo a diregao do seu suporte. o momento resultante e a soma vetorial dos momentos das fOryRSdo sistema, portanto capaz de produzir rotayao. No caso dos sistema8 espaciais, tomamos como referenda, para a resultante e 0 momento resultante, os tres eiyos cartesianos x, yell, tendo como origem 0 ponto ConcIuimos que a resultante pode ser projetada nos tres eixos e.~colhidos, dando por conseguinte tres projeyoes X, Y e Z, que correspond em a tre.s movimentos de translagao na direyiio dos eixos x, y e z, respectivamente, e 0 momento resultante provocara movimento de rotayao em torno dos tres eixos, dando como resultado tres vetores-momento L, 111 e N, momentos em relagao aM eixos x, yell, respectivamente. Cabs lembrar que momento e sempre produzido em torno de urn eixo normal ao plano em que se encontram as forya.~. Exemplificando: para termos momento em torno de x e praciso que pl'ojeyoes das forgas estejam contida8 no plano y 0 z definido pelos eixos yell. A finalidade principal da Estatica, como ja foi dito em outras palavras, e estudar os sistemas em equilibrio, isto e, onde san nulos os movimentos de transla9ao e de rotagiio. Q
0:
Para equilibrar urn sistema, torna-se necessaria a introdUyiio de urn sistema equivalente ao primeiro mas de sinal contnirio, ficando nulas as ayoes da resultante e do momento resultante.
Para anularmos e~tas a({oes, isto escrever as seguintes equa({oes: 1X R==O
{
=
e, o~ efeitos
0
1£ G= 0 { 1M 1N
1Y=O
IZ que sao denominadas
=
de transla({ao e rotU({aO, podemos
0
= = =
Desta forma, terernos a nossa disposi({ao duas equa({oes que podern ser qualquer uma das que seguern:
0 0 0
Vrna equa({ao de proje({ao ~ uma equa({ao de momentos:
equa~i5esun'iversa'is da E-stdtica.
No casO de for({as coplanares as seis equa({oes se transformam em tres, pois, s6 haven10 dois eixos d: referenci~ nUm plano, s? haven!' possibiJidade de duas transla({oes e uma rota({ao, f-radwlldas pelas segumte.s equa({oes: {
o 1.1.1.
~Y
=
0
lX
=
0
G =0
Sistemas de For~as Concorrentes
{ IN
=
0
lX = 0
ou
LMol
=
0
2:11101 lMo,
=
0
=
0
1Y = 0
(eixo paralelo a dire({oes das forl,]as) (desde que 0 ponto 0, nao esteja sobre 0 eixo escolhido na equa({ao anterior).
(desde que os pontos 01 e O. nao estejam sobre urn~ retaparalela a dire({ao das for({as).
Coplanares
No caso de for({as concorrentes bastam apenas duas equ:1({oes, pois a terceira evidentemente e nula. Pode-se e~colher 0 centro de moment-os no ponto de concorrencia das for({as, uma vez que nao ha distAncia das for({as ao seu ponto de concorrencia. Vsaremos, port an to, apena. duas equa({oes, cuja escolha podera recair sobre qualquer dos pare.s seguintes.
Para este tipo de sistema de for9as torna-se equa90es que podem ser as seguintes:
necessaria a utiliza({ao de tres
Duas de proje({oes e uma de momento:
q
-'
Duas equa({oes de proje({oes:
1X
=
0
lY
=
O.
-
=
-
0
= 0
(desde que 0 ponto 0, nao esteja no outro eixo ortogonal ao primeiro, que pass a pelo ponto de concorrencia das for({as).
0
=
O.
Vma de proje({'io e duas de rnomento:
lX = 0 IMol = 0 LMo,
=
0
LMol '1JMo,
= =
0 0
2:11103
=
0
(desde que nao fiquern dois pontos l'obre ~m eixo perpendicular ao escolhido para as prOje({oes) ..
Duus equa({oes de momento: lMol
=
0
1Mo, = 0 1.1.2.
=
LY
~ 1[0
lX = 0 ou 1Y = 0 lMol
2:X
(desde que os pontos 0, e O. nao estejam sobre uma reta que passe no ponto de concurso das for({as):
(desde que os tres pontos a mesma linha reta).
nao estejarn sobre
Sistemas de For~as Paralelas Coplanares
Neste caso, como no anterior, so necessitamos de duas equa({oes, pois agora podemos escolher 0 par de eixos de tal forma que um deles seja paralelo a dire({ao das for({as, tornando nulas as proje({oes sobre 0 outro. Esta escolha depende da posi({iiodas forQas; ora podera recair sabre 0 eixo dos x, ora sobre 0 eixo dos y, ora sobre qualquer eixo paralelo a dire({ao das for({as. 0 importante e que tornernos nulas as proje({oes em rela({ao a urn dos eixos. *
Como vimos, a~ equa90es traduze!Jl as condi({oes de equilibrio, constituindo do is sistemas de for({as equivalentes e opostos. Os vinculos terao, portanto, a finalidade de localizar este sistema de for({as que vai impedir os movimentos de transla({ao e de rota~iio. . Conclui-se que a finalidade do vinculo e impedir movimento e classificar-se conforme 0 numero de movimentos impedidos, 0 que charnamos genero. Para 0 espa90 ha, portanto, vfnculos de seis generos e para a plano apenas tres, coincidindo com tis equa({oes di8pOnlveilhCm cada caso.
1.2.1.
Apoios
-
Liga\)oes
Os vinculos podem ser de apoio e de liga<;ao ou transmifsao, nao havendo uma distin<;iio rfgida entre os dois tipos, dependendo da fun<;iio que 0 vinculo esteja exercendo no momento em que e anal isado. o exemplo mais intuitivo que se pode apresentar e 0 conjunto estrutural formado por laje, viga, pilar e funda<;ao. Se 0 objeto de analise for 0 sistema composto de laje e viga, esta ultima funcionara como apoio, mas se a analise for da laje, viga e pilar, este ultimo e que trabalhanl como vinculo de apoio, pasBando a viga para a condi<;ao de vinculo de liga<;ao da laje com 0 pilar, c assim teremos casos semelhantes, impossibilitando-nos a uma separa<;ao distinta entre apoio c Jiga<;iio. Apoio e 0 contato do sistema com 0 exterior, ao passu que liga<;iioe 0 contato entre partes internas da estrutura.
Tipos de representa<;iio de vinculos de segundo genero: Os que impedem duas transla<;Ms e deixam livre a rota<;iio em torno do l'ixo normal ao plano das cargas (ver Fig. 1.3). a)
b) 0 que impede uma transla<;ao e uma rota<;lio em ~orno do elxo normal aD plano da.~cargas e deixa livre a outra t.ransla<;ao (ver· FIg. 1'.4). Estudamos os vinculos para atender aos sistemas de for<;as coplanares estudadoB.
ja
VINCULO DE PRIMEIRO G:I!:NERO. Impede urn movirnento, deixando vres os outros dois. Tipos de repre.senta<;iio de vinculos de primeiro genero:
li-
a) Os que impedem .uma transla<;iio deixando livre a outra transla<;iio e a rota<;lio em torno de um elXOnormal ao plano das cargas (ver Fig. 1.1).
-, ±
"
I
-1
\,
.b) .0 que impede a rota<;ao em torno do eixo normal ao plano das eargas e delxa !lvres as transla<;(jes (ver Fig. 1.2).
VINCULO DE TERCEIRO G1!;NERO. Impede os tres movimentos, as duas transla<;(jes e a rota<;iioem torno do eixo normal ao plano das cargas; este tipo de apoio e conhecido com 0 nome de engaste. A Fig. 1.5 apresenta os tipos de representa<;ao de vinculos de terceiro genero.
-ff T f=- tz( t
/
t
Fig. 1.5.
VINCULO
DE SEGUNDO
Vre apena.9 urn.
G1!;NERO.
Impede dois movimentos, deixando li-
(A representa<;lio de uma liga<;liode terceiro genero tern uma for<;a indicada na dire<;ao da barra inclinada, com a finalidade de impedir !loS transla<;(jes, e 0 binario figurado, impedindo a rota<;iio;cabe lembrarque 0 binario esta no plano das. cargas e, portanto, 0 seu eixo de rota<;iio e normal a este plano.) Conc1uindo, os vinculos sendo os elementos de Jiga<;aodas estruturas devem ser convenientemente dispostos para satisfazerem as leis da Estatica. De acordo com 0 numero de vincula<;(jes, podemos chamar os sistemas de isostatic os, hipoestaticos e hiperestaticos.
:1iii.~'Iiii.;iI.~W •.• ~, ••••••,.
.••••.••• :...•.••.,....••••.,••••-------:---.--------;------.----
'":t
~
',t
~:
j
"
f{ ~ ,~i
~ . ~ ,I
.'
.~
,.
I
Silo aqucles cujo mlmero de vinculos e 0 estritanumero de equayoes e igual ao numero de inc6gnita~. SISTEMAS HIPOESTATICOS. 0 numero de equayoes e superior ao numero de inc6gnitas. SISTEMAS HIPERESTA'rICOS. 0 numero de equByoes e menor que 0 numero de incognit.as. SISTEMAS ISOSTATICOS.
mente nece8sario, isto
e,
0
Como sistemas isosta.t.icOHpodemos citar: -
[' ftl
lf
vigas biapoiadas (Fig. 1.6);
r
A
LS
LS:
2 m
2 m
l 1
11
r
kA
1:1'
= 0
1:MB = 0
2 m
2 m-+--_2~
J
tf
r
I If
2 m
2 m
'It.
5 X 6' -
1X 4 - 2 X 2 = 0
5X6+1X4+2X2 .'.4 = --8
1 1 ,. ~.
~
f
Fig. 1.10.
~
FH
2.!!Pelo fato de ter sido introduzida uma ligayao de segundo genero que liberta o sistema, segundo uma direy3.o,eriando mais uma equay3.o, os triartieulados e as vigasartieuladas sao sistemas isostlitieos.
~ I~
it
._Pt.' _----------'--------
__ ._
If
2 m
lVB
V.4+VB=8tf BV .• -
B
rA
2 m
~.'i."·~:·;:JI .,
. ~i
INTRODUr;:AO
1.4.
211
~ 2",
1'''
~ A
IVs 211
2", l;X
=
l;y
= 0
l;MA
=
0
0
4",
I",
6VB-2
X 1 -·2
VA+VB=3tf X 2 -
1X 5 -
-.!.
2m
MA
3X 2 = 0
f"
~Iv.· HA
tf
2 m
6
°
2:X
=
l;Y
= 0
l;MA = 0
1 v. 4m
1m
r-J
;.
,-
I',
- ---l
HA=ltf
VA+VB-2-1=O
VA=
;1
'"
2 It
HA-3+2=O
VB=.!!tf 6
~ ;~ ~
1
2
,,,
VA+VB=2tf
4VB-2X5=O
VB = 2,5 tf VA
=
-O,5tf
-~-----------
HA
+2
VA
=
- 2 = 0
0
MA-2X2-2X2=O
/ 9
_ momento fletor - sera positivo quando as for~as da esquerda. tenderem a provocar uma rota<;ao no serni-eixo que fica it esquerda num dete~m~nado. s~ntielo e as for<;as cia dircita tendcrem a provocar uma rota<;ao do seml-elXO ?Uelto no sentido contrario. Os sentidos opostos serao negativos. No caso de sistema coplanar, estabeIcce-se positivo 0 giro do serni-eixo esq~erdo no .sentido horario e semi-eixo e1ireito anti-horario. Ha tambem 0 concmto de flbras. Quando as fibras inferiores, quer do lado esquerelo, quer do direito, fOl'em as tracionadas, o momento fletor sera positivo; caso contrario, nebdtivo. 2.1.2.
Caso do Carregamento
Coplanar'
Quando 0 carreg;amento a que estiver submetido 0 corpo for coplanar e este plano ele for<;as contiver 0 eixo do corpo, deixara de exist~r 0 momento torsor, pois nenhuma for<;a do plano dara momento em rela<;ao ao elXO. Este e 0 caso mais comument.e encontrado na pdtica, portanto 0 mais estudado. 2.1.1.
Classifjca~ao e Defjni~ao -- Conven~oe8
Urn sistema de forc;as qllaisquer, que satiRfuc;a a8 equaQoes universais da Estatica, atuando sobre urn corpo rfgido, proyocara nele 0 aparE'cimento de esforQos que, analisadoR segundo seu eixo e uma sec;ao que Ihe Ii perpendicular, poderao ser definidos como esforc;08 simples e c1assificados como: -
esfori;o normal
-
esfoTi;o cortante
-
que age no sentido de comprimir que age no sentido
de cortar
ou tracionar Oll cisalhar
a se~ao;
a se<;ao;
- momento torsor la~ao ao eixo; - momenta fletor - que age no sentido de envergar ou flexionar 0 eixo ou, em outJ'as palanas, afastar 0 plano da sec;ao do angulo de 90° que forma com o eixo. Para determinar os valores de"ses e"forc;os numa sec;uo, basta estudar M for~as que atuam de um lado ou de outro dela, pois OR ,·alorPR sao iguaif<, apenas os sentidos difcl'em, 0 que implira no PRtabelPcimento dp cOllvcnc;ore para que che-guemos ao mrsmo sinn I, quer trabalhcmoH com fon,as de urn lado ou de outro da seQao. Assim temos: - esf01·t;Onormal - tanto pelo Iado eRquerdo como pelo lado direito; houver hraQuo, 0 sinal sera rORitiYo; no caRO de compressao, sera nrgativo;
Re
- esfort;o cortante - tompmos urn eixo com sentido fixado como referencia; relo lado csqucrdo, se 0 r;.:forc;o for no mrHl110;.:('ntido dcsse eixo, podcmos estabelecer sinal positivo, (' p"lo lado direHo, sentielo oposto a esse eixo, sera positivo; caso contnirio, negativo. No caso de sistema coplanar, que veremos no pr6"imo paragrafo, fixamos 0 sentido do eixo para cima;
~. ~~,i
r
- momento tOl'sor - sera positivo, quando as fon;as do lado esquerdo tenderem a provocar nesta parte do corpo urn deslocamento para a direita e as for<;as da direita, na parte cia direita, um deslocamento para a esquerda, quando se emprega a regra do parafuso;
J~.'_----------------- __
A Fig. 2.1 eo exemplo tipico de uma estrutura linear continua. Temos uma viga biapoiaela com urn carregamento qualquer. Para determinarn:o~ os esforQOSsimples, proeuramos 0 lado mais conveniente. Neste caso Ii 0 direlto, que s6 apresenta cluas for<;as. Ent.ao vejamos:
+ 4 sen 30° =
EsforQo cortante:
Q = - 2,8
EsforQo normal:
N
= -
Momento
M
=
EsforQo cortante:
Q
= 5,2 - 6 = - 0,8 tf
Esfor<;o normal:
N
= -
Momento
M = 5,2 X 2 - 6 X 1
fl':ltor:
fletor:
4
COS
30°
= -
- 0,8 tf
3,4 tf
2,8 X 3 - 4 sen 30° X 2
=
3,4 tf = 4,4 mtf
4,4 mtf
'
~ ..
;~ "
r·.
i'
Ii
c.
Port:lllto, 0 valor do esfon;o cortante e: Q = - 2 t. Para as cargafl que se projctam perpendiculurmente 11 sCyao ou que san paralclas a barra, temos: a resultante do carregamento distribuido, que vale 4 tf para baixo, e VB, que vale 0,5 tf para cima. A diferen<;a e 3,5 tf para baixo.
I 111m
III
,, 3 5 tt: , 1
Neste caso, 0 conceito de esquerda e direita nao po de ser feito, Assim, as barras que contiverem Styaes para cstudo e forem verticais ou apresentarem com a horizontal angulo maior que 45° deverlio Her rebatidas para 0 c-xterior. Portanto, as barras AC e ED seriam I'tcbatidas conforme a indica<;ao das setas curvas. Assim, podemos identificar quais as cargas a direita 011 a esquerda. Convem acrescentar que sao consideradas cargas a dire ita ou a esqucrda da sc<;ao, as que cstao aplicadas a partir das estruturas ou se ligam a se<;ao pela direita ou pela esquerda.· . 1. ESTUDO
t":
I
DA SEQAO 81,
Vamos, entao, achar os esfor<;os na se<;ao 81, utilizando as cargus a direita da se<;ao, que sao: 0 carregamento distribufdo, a for<;a horizontal de 2 tea rea<;iio VB. Fa<;amos entao, antes do rebatimento, a proje<;iio dessas cargas sobre a se<;iio e sobre a barm que a contem. Sobre a se<;ao, terfamos 2 tf, cujo senti do seria da direita para a esquerda. Ap6s 0 rebatimento, el'te sentido seria de baixo para cirna. A Fig. 2.3 jlustra melhor 0 que afirmamoB. 5,
C
A 2ft ...:::----
5,
~ : 2tf
C
5,
Como a Fig. 2.4 mostra, ela esta agindo de modo a comprimir a se<;ao. Assim, temos para csfor<;o normal: N = - 3,5 tL Ja 0 momento f1etor nlio aprescnta nenhuma novidade em rela<;ao a uma viga linear:
Q
= -
2 tf
Esfor<;o normal:
N
= -
3,5 tf
Momento
M
= -
2 X 2
Esfor<;o cortante:
2.
f1etor:
ESTUDO
= -
4 mtf
DA SEQAO 82, PELA ESQUERDA
Esfor<;o cortante:
Q = 3,5 tf -
3 tf (parte do carregamento distribufdo fica a esquerda de 82)
.Q.= 0,5 tf Esfor<;o normal:
N
Momento
M = 3,5 tf X 3 - 2 tf X 3 - 3 tf X 1,5 =
fletor:
= -
2 tf
°
I I
2.1.5. Estruturas Lineares Articuladas
o
procedimento neares continuas.
para essas estruturas
e
0
mesmo que para estruturas
2.1.6. Estruturas Nao-Lineares Articuladas
o
hl
que
_
procedimento
e identico
ao da estrutura
nao-linear continua.
li-
He
I Vc
t
-Ve-VR=O.·.Ve+VB=O 2:X = 0 2:M(c)
=
- He - 6 0
1 X 6 -
+
HB
2 X HB
0 .'.
=
+3
HB - He = 6tf
X VB
=
0 ...
2 H B-3
VB = 6 tf
(VII)
VA=4-Ve
(VIII)
HA = - He VB
Ve
= -
(IX)
(X)
HB=6+He . Pelo d!agrama de ca.rga da Fig. 2.5a, temos 4 incOgnitas e tn;s equa~oes da Estatica; necessitamos, pOlS, de mats uma equa~o. Essa equa~ao complementar sera a de momento fletor nuio na rotula.
2:Y = 0
VA-VB-4=O
2:X = 0
HA
2:MIA)
=
0
+H
B
VA-VB=4tf -
6 = 0 ...
HA
+H
B
6 tf
=
IX4-IX6+5XVB=0. VB
=
0,4 tf . '. ITA = 4,4 tf
2 X 4,4 - 2 X H A -
I X 4 = 0 ...
Ve
H A = 2,4 tf ...
HB = 3,6tf Podemos tambem rre
cada
parte
separando
a estrutura
na r6tula
VA=4-(-O,4)= HA
A da esquerda:
2:Y = 0
VA
2:X = 0
HA
2:M(cl = 0
2 X V A - 2 X H A-I
- 4
0,4 tf
de aco d r 0 com
de per Bi, temos:
+ Ve + He
= -
He ~ - 2,4tf
=<
0 ...
VA
+
= -
(-
4,4 tf 2,4)
Ve = 4 tf
(1)
=0
(II) X 4 = 0 . '. VA -
HA = 2 tf
(III)
HB Como se ve, assa separa9iio contra-indicada.
=
em duas
6
2,4 tf
0,4tf
VB=-(-O,4)
+ (-
2,4)
partes
result·a
3,6 tf muito
mais trabalhosa,
sendo,
portanto,
t"
0
l
0
Zi
77~
I
2 m
1m
1m
t
1m
1m
2m
'
L6
2m
of
61f
J
E
F
.~ VE~VF
~" ~,
A
!vA
r
VF
E
B
2m
E
F
2 m
1m
2m
~VB
II 1--
4_m
~_.~
V.
2:Y =
°
2:X
0
=
2:1}[{A)
VA
+ VB
2 X 3,46
Como cargas ativas, temos 0 momento de 2 mtf e a for9a 2 tf. Esta, como tem a dire980 do apoio, sera toda anulada por ele. 0 momento provocara no engastamento 0 aparecimento de uma rea9B.o-momento igual e contrkia, ou seja, de 2 mtf anti-horkia.
-
2:M(D) = 0 2:M(c)
= 0
+5X3-
° °
VA
0
2 m
Vo
+ VB
= 6,46 tf
HB=2tf 4 X VB =
VB = 5,48 tf
4XVc-5X3-2X2=0
- 1X 3
I'
Vc
4 sen 600 - V E =
4cos600-HB=0
= 0
12
C
+2 X2
- 4 X VD =
°
V A = 0,98 tf
Vc=4,75tf
V D = 0,25 ti
