Elementos de Logica Simbolica

ELEMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA

Lógica: Es la ciencia que trata de discernir entre los razonamientos, cuales son correctos y cuáles no. Además, nos permitirá comprender la relación entre el lenguaje hablado y el lenguaje de la matemática. Lógica Simbólica: Estudia el uso de símbolos que le dan a la lógica un lenguaje similar al matemático. Estos símbolos nos permitirán usar y exponer con mayor  claridad las estructuras lógicas de proposiciones y razonamientos. Proposición: Enunciado de un juicio de valor bien definido, el cual puede ser  verdadero o falso pero no ambos a la vez. Es todo lo que una persona dice o escribe, que tenga sentido y cuyo valor sea verdadero o falso. Ejemplo: Los perros tienen cuatro patas (v) 5 + 3 = 8 (v) Dos mas tres es igual a siete (f) El quiché es un departamento de Costa Rica (f) El oxigeno es necesario para la vida (v) Proposición simple o atómica: Es aquella que que esta formada por una sola proposición, es decir que no tiene conectivos proposicionales (emite un solo  juicio). Ejemplo: Las vocales son cinco 7  3 = 4 Tikal queda en Cobán Proposición Compuesta: Es la combinación de enunciados simples; o es aquella que esta formada por dos o más proposiciones unidas entre si por conectivos proposicionales. Ejemplo: Antigua es una ciudad colonial y el río dulce es navegable Si tomo agua sin hervir, entonces tendré parásitos Juan tiene gripe o Juan tiene amigdalitis Conectivos: Las proposiciones compuestas requieren del uso de conectivos, o sea que para relacionar las proposiciones simples se hace necesaria la aplicación de conectivos. Estos son: Conjunción: y =  Disyunción inclusiva o =  Disyunción exclusiva o =  Implicación si  = entonces  = si y solo si  Equivalencia Negación Valores de verdad: Conviene señalar que la proposición simple sólo puede tener  dos valores de verdad, que sea verdadera o que sea falsa.

Número de valores de verdad de una proposición: Es igual a 2 n, siendo 2 una constante y “n” el número de proposiciones simples. P PQ PQR PQRS V VV VVV VVVV F VF VVF VVVF FV VFV VVFV FF VFF VVFF FVV VFVV FVF VFVF FFV VFFV FFF VFFF FVVV FVVF FVFV FVFF FFVV FFVF FFFV FFFF Conjunción: La conjunción de dos proposiciones será verdadera sólo en el caso que ambas proposiciones sean verdaderas. En los demás casos será falsa. P Q P  Q V V V V F F F V F F F F Disyunción: Esta formada por dos proposiciones simples, relacionadas entre sí por  el conectivo lógico o. La disyunción puede ser inclusiva o exclusiva y se diferencian por un subrayado en el signo de la disyunción exclusiva. Disyunción inclusiva: Esta es verdadera cuando por lo menos una proposición es verdadera (basta con que una sea verdadera). Será falsa cuando las dos proposiciones sean falsas. P Q P  Q V V V V F V F V V F F F

Disyunción exclusiva: Esta es verdadera cuando sólo una de las proposiciones es verdadera y falsa cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas. P Q P  Q V V F V F V F V V F F F Negación: La negación de una proposición verdadera la convierte en una proposición falsa; y la negación de una proposición falsa la convierte en verdadera. Implicación: En la implicación a la primera proposición se le llama antecedente y a la segunda proposición se le llama consecuente. La implicación falsa sólo en el caso que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. En todos los demás casos será verdadero. P Q P  Q V V V V F F F V V F F V Con la implicación P  Q, existen otras proposiciones relacionadas que son: La reciproca: Q  P P  Q La inversa: Q  P La contra reciproca: Equivalencia o doble implicación: La equivalencia o doble implicación será verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas o las dos proposiciones son falsas; si hay una verdadera y una falsa o viceversa, la equivalencia es falsa. P Q P  Q V V V V F F F V F F F V Tabla de verdad de una proposición compuesta: Es una tabla que proporciona los valores de verdad de la proposición compuesta a partir de los valores de verdad de cada proposición simple, relacionándolos por medio de los conectivos lógicos. Tautología: Se obtiene cuando el resultado de una tabla de verdad de una proposición compuesta sea todo verdadero. Contradicción: Se obtiene cuando el resultado de una tabla de verdad de una proposición compuesta sea todo falso.

Contingencia: Se obtiene cuando el resultado de una tabla de verdad de una proposición compuesta sea verdadero o falso. Ejemplos: Construir la tabla de verdad de la proposición: ( P  Q )  ( Q  R ) Construir la tabla de verdad de la proposición: ( P  Q )  ( R  S )  Además de las tablas de verdad, en las cuales los valores de verdad de las proposiciones simples están determinados mediante una regla fija, también se nos pueden presentar proposiciones compuestas en las cuales se nos determine el valor de verdad de cada una, y por lo tanto se pueden solucionar sin la utilización de tablas. Ejemplos: Si P y Q son proposiciones verdaderas; R y S son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de la proposición   ( P  R )  ( Q  S )   ( R = F P  R) Si P y Q son proposiciones falsas; R y S son proposiciones verdaderas, determinar el valor de verdad de la proposición ( Q  P )   ( P   Q )  ( S  R)  R = V Determinar el valor de verdad de las proposiciones compuestas siguientes, tomando en cuenta que P y Q son verdaderas; R y S son falsas. R (P  S)  (Q  S)  (R  Q)  (Q  R) = V

Si se tienen las proposiciones: P : Juan no estudia Q : Juan no ganará matemática Escriba con símbolos y con palabras: La Implicación, La Reciproca, La Inversa y La Contra reciproca. NOTA IMPORTANTE: Usted construirá tabla de verdad únicamente cuando no le proporcionen los valores de verdad de las proposiciones. De darle valores, no deberá de efectuar tabla de verdad.