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NIVELES DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO PENS AMIENTO MATEMÁTICO “Si sabemos cómo aprenden matemática los niños Sabremos cómo enseñarles” En el presente presente material académico procuraremos procuraremos contestar a interrogantes como las siguientes:
¿Cuáles son los niveles del pensamiento matemático? matemático? ¿Cómo aprenden los niños y niñas los conceptos matemáticos? ¿Cuál es el proceso metodológico para enseñar matemática? ¿Cómo se construye el aprendizaje matemático?
1. NIVELES DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO Los niños aprenden matemática pasando por niveles. Según Jean Piaget 1896 – 1896 – 1980)., 1980)., los niños hasta los 12 o 13 años de edad, aprenden los conceptos y relaciones matemáticas, pasando por tres niveles de aprendizaje bien diferenciados. Piaget plantea una secuencia de tres niveles para la construcción del aprendizaje matemático, tales son: a) Nivel intuitivo – intuitivo – concreto. concreto.
b) Nivel representativo – representativo – gráfico. gráfico. c) Nivel conceptual – conceptual – simbólico. simbólico.
3 CONCRETO
(Pensamiento Concreto)
GRAFICO
(Pensamiento Semiconcreto)
SIMBOLICO
(Pensamiento Abstracto)
1.1 NIVEL INTUITIVO – CONCRETO 1) El conocimiento nace de la acción sobre los objetos. Recordemos que según según Piaget, Piaget, el conocimiento conocimiento no se origina origina en forma exclusiva ni en el sujeto ni en el objeto; sino que surge de la interacción entre
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ambos. Por dicho razón, Piaget está interaccionistas.
considerado dentro de la corriente de los
Por lo tanto, según Piaget:
Los conocimientos matemáticos se originan en las acciones físicas y mentales que realizan los alumnos mediante la manipulación de objetos concretos. El término acción, según el enfoque piagetiano, se debe entender en sus dos sentidos: a) Como acción física, cuando un niño, por ejemplo, manipula un ábaco para aprender números naturales. b) Como acción mental, cuando una niña, por ejemplo, está concentrada resolviendo problemas aplicando la adición de números naturales.
2) Los objetos facilitan la construcción del conocimiento Piaget aclara que la actividad motora precede al desarrollo del lenguaje. Por medio de los sentidos los niños aprenden, por ejemplo, que los objetos tienen diferentes formas, colores, tamaños o cantidades. Es así como el concepto de número “cinco” es la propiedad de varios conjuntos de objetos que tienen la misma propiedad común de tener “cinco cosas”. A esta propiedad se la representa utilizando los símbolos: 5 o V en numeración romana, y se leen como “cinco”, “pisqha”, “five”, etc.
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V
Por consiguiente, no debemos olvidar que:
El desarrollo del pensamiento del niño y la niña está íntimamente ligado a su experiencia motora y sensorial.
3) Los niños no aprenden sólo con meras explicaciones Como ejemplo analicemos las siguientes situaciones: a) Pablito sólo observa un conjunto de bloques lógicos que ya han sido clasificados por su profesora, en la siguiente forma:
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Triángulos
Cuadrados
Círculos
Rectángulos
b) En cambio, a Lucía se le pide que saque todos los bloques lógicos de la
bolsa y luego los clasifique de acuerdo a varios criterios: color, forma, tamaño y espesor. Al efectuar la evaluación se comprobará que Lucía ha logrado más capacidad que Pablito, en la clasificación de objetos de acuerdo a varios criterios; porque ella participó más activamente en el proceso de clasificación, en cambio, Pablito sólo estuvo de observador. Por tanto, no debemos olvidar que:
Los niños y niñas no podrán aprender en forma efectiva los conceptos y relaciones matemáticas, a partir de las explicaciones verbales del profesor, sino que debe realizar experiencias de manipulación con materiales concretos.
NIVEL CONCEPTUAL SIMBÓLICO
ACTIVDADES DE REFUERZO Y APLICACIÓN
ACTIVIDADES CON LENGUAJE SIMBÓLICO
NIVEL REPRESENTATIVO GRAFICO
ACTIVIDADES CON MATERIAL GRAFICO
ACTIVIDADES CON MATERIAL CONCRETO NIVEL INTUITIVO CONCRETO ACTIVIDADES SENSORIALES VIVENCIALES
NIVELES
PROCESO METODOLÓGICO
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Por consiguiente, el nivel intuitivo – concreto comprende el conjunto de experiencias directas y vivenciales de aprendizaje y la manipulación de materiales educativos manipula concreto, tales como pueden ser el ábaco, los bloques lógicos, las regletas de colores, etc.
1.2 NIVEL REPRESENTATIVO – GRÁFICO Este nivel está referido al conjunto de experiencias de aprendizaje mediante el manejo de material gráfico, tales como son los diagramas de Venn, tablas de doble entrada, diagramas sagitales, etc.
1.3 NIVEL CONCEPTUAL – SIMBÓLICO Comprende el conjunto de experiencias de aprendizaje matemático, mediante el manejo del lenguaje simbólico, tales como son las siguientes expresiones matemáticas:
5 < 8, 2 + 4 = 6,
9
= 3
32 = 9, etc.
2. PROCESO METODOLÓGICO DEL APRENDIZAJE MATEMÁTICO A partir de los niveles de desarrollo del pensamiento matemático planteado por Jean Piaget y presentado en forma resumida en las páginas anteriores, es que podemos inducir un conjunto de normas didácticas para la programación, ejecución y evaluación de la construcción de los aprendizajes matemáticos por los niñas y niñas de los niveles de educación inicial y primaria Por otra parte, recordemos que una de las características del aprendizaje matemático es su carácter jerárquico, En ese sentido decimos que un aprendizaje es prerrequisito de otro aprendizaje. Esto es, un aprendizaje “A” es prerrequisito de otro aprendizaje “B”, si necesariamente antes se debe lograr “A para facilitar el logro de “B”. Así por ejemplo, en el aprendizaje de la numeración, se da la siguiente secuencia: a) Representa, lee y escribe números naturales del 0 al 9.
b) Compara números naturales del 0 al 9, según las relaciones >, < y es = c) Suma números naturales de 0 a 9. d) Resta números naturales de 0 a 9 Esta naturaleza jerárquica del conocimiento matemático y los niveles del desarrollo del pensamiento planteados por Jean Piaget exige la necesidad de programar el conjunto de actividades del aprendizaje matemático de acuerdo a la siguiente secuencia que en forma figurada la hemos denominado como la “Escalera del aprendizaje matemático”, la misma que consta de los siguientes cinco fases:
5 1º. Actividades sensoriales o vivenciales.
2º. Actividades con material concreto. 3º. Actividades con material gráfico. 4º. Actividades con lenguaje simbólico. 5º. Actividades de refuerzo y aplicación. APRENDIZAJE MATEMATICO
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L 4
3
2
1
APLICACION
LENGUAJE SIMBOLICO
MATERIAL GRAFICO
MATERIAL CONCRETO
SENSORIALES O VIVENCIALES
ESCALERA DEL APRENDIZAJE MATEMÁTICO
2.1 ACTIVIDADES SENSORIALES O VIVENCIALES Se denomina así al conjunto de experiencias directas y situacio9nes de juego en las que los mismos niños o niñas participan activamente en acciones lúdicas y vivenciales que los conducen al descubrimiento, en su momento inicial, de un nuevo concepto, relación, operación o algoritmo matemático. En esta fase los niñ@ juegan movilizando todo su cuerpo, desplazándose, explorando una situación concreta y enfrentando problemas reales, como iniciación en el proceso de construcción de un nuevo aprendizaje matemático. Por ejemplo para iniciar la construcción del concepto de número se pueden plantear las siguientes situaciones:
Situación de exploración: Todos los niñ@ salen al patio a contar las cosas que puedan encontrar y luego indicar cuántas cosas han visto. Situación de juego: Salan al patio a jugar a los tensitos que cambian de coches de dos, tres y así sucesivamente hasta nueve coches. Situación de problema: Traer de una bolsa de juguetes exactamente el número de juguetes que se necesita para repartir a un juguete a cada compañero de grupos de dos, tres, cuatro, hasta nueve personas.
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2.2 ACTIVIDADES CON MATERIAL CONCRETO Esta fase se refiere al conjunto de experiencias de aprendizaje mediante la manipulación de parte del alumno de una diversidad de materiales concretos, con el propósito de descubrir los conceptos, relaciones, operaciones, propiedades, etc. que est´n implicados en la acción con dichos materiales.
Se llaman materiales concretos porque los objetos y cosas sobre los que van a actuar y pensar los alumnos, se encuentran físicamente presentes frente a ellos y por los tanto los pueden manipular, es decir operar con las manos. Hay dos clases de materiales concretos: a)
b)
No estructurados, es decir los recolectados o reciclados, tales como piedritas, palitos, chapitas, semillas de maíz, habas, frejol, etc.
Los estructurados, diseñados y elaborados, tales como los bloques lógicos, ábacos, yupana, regletas de colores, material de base diez, etc.
En el manejo de los materiales concretos, es necesario tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:
1) Es fundamental presentar inicialmente los conceptos y relaciones matemáticas a través de la manipulación de objetos, mediante juegos libres, luego a través de juegos estructurados. MATERIALES
CONCRETOS
2) La manipulación de los materiales, guiados por el profesor, facilita a los alumnos el descubrimiento de los conceptos, relaciones y operaciones matemáticas; porque como se dice: “Lo que se oye se olvida pronto, lo que se ve se puede recordar y lo que se hace se aprende rápidamente”. Por ejemplo, en el proceso de construcción del concepto de número, los niñ@ cuentan:
Una chapa, una haba, un palito, un maíz, una piedrita, etc.
Dos chapas, dos habas, dos palitos, dos maicitos, dos piedritas, etc.
Tres chapas, tres habas, tres palitos, tres maicitos, tres piedritas, etc.
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
Nueve chapas, nueva habas, nueve palitos, nueve palitos, etc.
A partir del número diez serán más eficientes los materiales estructurados como el ábaco, la yupana o los materiales de base diez
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2.3 ACTIVIDADES CON MATERIAL GRAFICO En esta fase los niñ@s hacen dibujos, interpretan gráficas, colorean figuras, trazan flechas, completan tablas de doble entrada, observan láminas, interpretan rectas numéricas, leen diagramas de Venn, etc. como representaciones de las experiencias realizadas en las fases anteriores. Aquí es donde se utilizan una serie de materiales educativos gráficos, como son las láminas didácticas, fotografías, diapositivas, fichas de práctica, cuadernos de trabajo, etc. Por ejemplo, en la construcción del concepto de número:
Los alumnos “dibujan” los números del uno al nueve:
Tres
Cinco
Seis
Leen los números interpretando los dibujos de los materiales de base diez:
Treinta y tres
Doscientos veinticuatro
A continuación presentamos un conjunto de ejemplos utilizando una variedad de esquemas, como una muestra que caracteriza a la fase de actividades con material gráfico.
EJEMPLO 1: Experiencias de aprendizaje con diagramas de Venn: En cada conjunto escribe el número respectivo o dibuja figuritas de acuerdo a su número:
9
7
EJEMPLO 2: Actividades de aprendizaje con tablas de doble entrada: Resuelve el siguiente problema: Paúl y Luís tiene 16 mascotas, entre perros, gatos y canarios. Luís no tiene gatos, pero tiene igual cantidad de perros que Paúl. Paúl tiene 9 mascotas en total, 5 canarios y tantos perros como gatos.
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a) Primero, completa los datos en los casilleros de la tabla: Perros
Gatos
Canarios
Totales
5
9
Paúl Luís
0
Totales
16
b) Segundo, observando la tabla contesta a las siguientes preguntas: 1) ¿Cuántos perros y canarios tiene Luís? : ……………………………. (
)
2) ¿Cuántos perros y gatos tiene Paúl? : ……………………………….. (
)
3) ¿Cuántos perros y gatos tiene Luís? : ……………………………….. (
)
4) ¿Cuántas mascotas tiene Luís? : ……………………………………… (
)
5) ¿Cuántos perros hay en total? : ……………………………………….. (
)
6) ¿Cuántos canarios hay en total? :……………………………………… (
)
EJEMPLO 3: Actividades de aprendizaje con diagramas sagitales: Dentro del siguiente conjunto de personas se han dibujado algunas flechas. Cada flecha significa “es hermano(a) de”: Eva
Juan Pedro
Luis
José
Lucas
a) Completa las flechas que faltan.
b) Completa las oraciones que faltan: 1) 2) 3) 4)
Luis es hermano de Eva. ……………………………….. ………………………………… …………………………………
5) ……………………………………………… 6) …………………………………………….. 7) …………………………………………….. 8) ……………………………………………..
EJEMPLO 4: Actividades de aprendizaje con diagramas en árbol: Aplica en tres formas la propiedad asociativa de la adición de números naturales:
1) 3 + 5 + 7 = 8
+
2) 2 + 3 + 7 =
3) 3 + 3 + 7 =
7
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EJEMPLO 5: Actividades de aprendizaje con rectas numéricas: Completa el valor de cada cuadradito:
9
0
1
2
3
3
+
4
5
6
+
2
7
8
-
9
10
11
12
=
EJEMPLO 6: Experiencias de aprendizaje con diagramas máquinas: Completa el valor de cada cuadradito:
+2
-4
+7
3 -6 :3
+8
:2
2.4 ACTIVIDADES CON LENGUAJE SIMBOLICO Esta fase consiste en la utilización de símbolos y expresiones del lenguaje matemático para lograr la generalización y abstracción de las experiencias realizadas en las fases anteriores. Una parte importante del proceso de aprendizaje es la transferencia de representaciones físicas a símbolos abstractos. La clave de esta transferencia es el entendimiento del aprendizaje implicado; sea un concepto, una relación, operación o algoritmo matemático. Un símbolo puede ser un número, una figura, una letra, etc. que se utiliza para designar un objeto matemático. Algunos símbolos matemáticos son los siguientes: 1) Los símbolos: 0, 1, 2, 3, . . ., etc. representan números naturales. 2) Los símbolos: <, > =,
, etc. representan relaciones entre números.
3) Los símbolos: +, - , X, : , etc. se denominan operadores. 4) Las letras x, y, z representan variables numéricas Combinando símbolos de acuerdo a una sintaxis, se forma las expresiones del lenguaje matemático. El lenguaje matemático es un lenguaje formalizado y se caracteriza por ser breve y unívoco. Algunas expresiones del lenguaje matemático son las siguientes:
2+3=7
8 – 5 = 3
3 X 9 = 27
16 : 4 = 4
X + 2 = 3X
3+4>8+4
X
= Y
Y 2 = X
A ∩ B = {x / x Є A y X Є B}
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Por consiguiente, las actividades con lenguaje simbólico consisten en la utilización de los símbolos y expresiones matemáticas para los siguientes propósitos: a) Sistematización o generalización del concepto o relación matemática, mediante la utilización del lenguaje simbólico. Recordemos que los niños necesitan primero realizar acciones físicas con las cosas, después con sus representaciones gráficas y finalmente con sus símbolos cuantitativos o de relación, a través del proceso de abstracción. b) Necesidad de descontextualizar los conceptos matemáticos. Es necesario que el niño comprenda que no siempre podrá disponer de materiales concretos o semiconcretos (gráficas) para procesar o expresar las ideas cuantitativas que tenga, porque muchas veces se necesitarán de una gran cantidad de objetos que harían demasiado laborioso su trabajo. Por ello es necesario el uso de símbolos para descontextualizar y poder procesar y comunicar las ideas o relaciones numéricas.
CONTEXTUALIZAR
DESCONTEXTUALIZAR
3 + 2
= 5
c) Desarrollar desde niños la habilidad de traducir el lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa, el lenguaje matemático al lenguaje natural o lengua materna.
TRES M S DOS ES IGUAL A CINCO
LENGUAJE NATURAL
3+2=5 LENGUAJE MATEMATICO
Conocimiento del vocabulario matemático y su traducción al lenguaje natural. Por ejemplo, la propiedad conmutativa de la adición se puede expresar en d)
lenguaje matemática y en el lenguaje natural en la siguiente forma:
a + b = b + a.
Se lee como: “El orden de los sumandos no cambia la suma.
11 e) En síntesis podemos decir que, en la fase de las actividades con lenguaje
simbólico o lenguaje matemático se alcanzan los procesos de abstracción, descontextualización, uso de códigos numéricos y relacionales, y por último la formalización matemática.
2.5 ACTIVIDADES DE REFUERZO Y APLICACIÓN 1) Esta fase comprende un conjunto de actividades que se programan con el
propósito de afianzar con nuevos ejercicios y problemas, los conceptos y relaciones matemáticas aprendidas en las fases anteriores. 2) Esta es la fase de la transferencia del saber, en otros contextos o situaciones nuevas. Por ejemplo, si el niño aprendió a clasificar bloques lógicos, fácilmente podrá clasificar otra clase de objetos: tallitos, palabras, seres vivos, etc. de acuerdo a una serie de criterios. Por esta razón, para lograr el proceso de transferencia, se debe proponer al niño nuevas situaciones, nuevos ejercicios o problemas de aplicación. 3) Por otra parte, en esta fase se aplica el conocimiento aprendido en la resolución de situaciones problemáticas de la vida real. Por ello, se requiere que el profesor conozca el contexto cultural y físico donde se desenvuelve el niño en su vida cotidiana. Para concluir el análisis de las cinco fases de la escalera del aprendizaje matemático que acabamos de desarrollar, debemos enfatizar las siguientes aclaraciones:
PRIMERO: Estas cinco fases de la escalera del aprendizaje matemático se deben aplicar en forma recurrente y con criterio flexible, en función de las necesidades de aprendizaje del niño y la naturaleza de los contenidos matemáticos; porque ninguna tecnología didáctica es un dogma o una receta rígida, esto es, la eficiencia de las reglas didácticas dependen de las realidades concretas donde se aplican, las características de los niños y de los tipos de contenidos matemáticos que se van a procesar.
SEGUNDO: En lo posible, se debe considerar actividades para las cinco fases de la escalera del aprendizaje, sobre todo, si los niños van a iniciar con la construcción de un nuevo concepto o relación matemática. Esto se da con mucha frecuencia en los primeros grados de educación primaria.
3. LO QUE SIEMPRE DEBEMOS RECORDAR
Los niños y niñas necesitan hacer primero acciones con los objetos mismos, después con sus representaciones gráficas y finalmente con sus símbolos.
Aprender exige a los niños actividades que les den oportunidades de explorar, manipular, ensayar, preguntar, imaginar, conversar, equivocarse, y volver a intentar.
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Los niños aprenden las cosas moviéndolas, saboreándolas, etc.
mirándolas,
tocándolas,
La manipulación y el juego son pasos necesarios e indispensables para la adquisición de nociones lógico matemáticas.
El juego es un recurso indispensable en la iniciación del aprendizaje de la matemática.
Cuando los estudiantes entienden un concepto, ellos recordarán durante más tiempo y utilizarán para aprender nuevos conceptos.
Si al profesor le gusta enseñar matemática, al alumno le gusta aprender y viceversa.
