EXANI-II ADMISION 1. Pensamiento matemático 1.1 Razonamiento aritmético 1.1.1 Jerarquía de operaciones básicas 1.1.1.1 Operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división con números enteros Operaciones combinadas sin paréntesis Combinación de sumas y diferencias 9−7+5+2−6+8−3=8 Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. Combinación de sumas, restas y productos 3·2−5+4·3−8+5·3= = 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20 Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. Posteriormente efectuamos las sumas y restas. Combinación de sumas, restas, productos y divisiones 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 = = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9 Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. Efectuamos las sumas y restas. Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias 23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 20 : 4 = = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 = = 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 5 = 25 Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. Seguimos con los productos y cocientes. Efectuamos las sumas y restas. Operaciones combinadas con paréntesis (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 22) = = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 4)= = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 6 = 22 Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos, respetando el orden de prioridad. Quitamos paréntesis realizando las operaciones. Operaciones combinadas con corchetes [15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 2 ) = = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 4 ) = = [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 4 = = (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 4 = = 12 · 7 − 3 + 4 = = 84 - 3 + 4 = 85 Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente. Operamos en los paréntesis. Después multiplicamos.
Finalmente restamos y sumamos.
Operaciones combinadas con llaves
7 - {5 + 10 [20 : 5 − 2 + 4 (5 + 2 · 3)] − 8 · 32} + 50 (6 · 2) = = 7 - [5 + 10 (4 − 2 + 44) − 8 · 32] + 50 (12) = = 7 - (5 + 10 · 46 − 72) + 600 = = 7 - (5 + 460 − 72) + 600 = = 214 Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente y donde había llaves escribimos corchetes. Operamos en los paréntesis. Volvemos a poner paréntesis y operamos. Finalmente restamos y sumamos.
1.1.1.2 Problemas con suma, resta, multiplicación y división con números decimales y fracciones Suma y resta de números decimales Se colocan en columna haciendo corresponder las comas. Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas... 342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37 = 372.528 - 69.68452 =
Multiplicación de números decimales Se multiplican como si fueran números enteros. El resultado final es un número decimal que tiene una cantidad de decimales igual a la suma del número de decimales de los dos factores. 46.562 · 38.6
División de números decimales Para dividir un número decimal por un número entero: Haz una división larga (ignora el punto decimal) Después pon el punto decimal en el mismo sitio que el dividendo (el número que dividimos) Ejemplo: Divide 9,1 por 7 Ignora el punto decimal y haz la división larga: 13 7)91 21 0 Pon el punto decimal a la misma altura que el punto decimal del dividendo: 1,3 7 )9,1 La respuesta es 1,3 Dividir por un número decimal El truco es convertir el número por el que divides (el divisor) en un número entero, moviendo el punto decimal de los dos números a la derecha:
Ahora estás dividiendo por un número entero, y puedes seguir como antes. Este método es seguro si te acuerdas de mover el punto decimal de los dos números la misma cantidad de espacios. Ejemplo 2: Divide 5,39 por 1,1 No estás dividiendo por un número entero, así que tienes que mover el punto decimal para que sídividas por un entero: mover 1 5,39
53,9
1,1
11
mover 1 Ahora estás dividiendo por un entero así que puedes continuar: Ignora el punto decimal y haz la división larga: 49 11 )539 99 0 Pon el punto decimal en la respuesta a la misma altura que el punto decimal del dividendo: 4,9 11 )53,9 La respuesta es 4,9
Operaciones con fracciones
Suma de Fracciones homogéneas a+b = a+b c
c
c
Suma de Fracciones heterogéneas a + b = ad + bc c
d
cd
Resta de Fracciones homogéneas a-b = a-b c c c Resta de Fracciones heterogéneas a - b = ad - bc c d cd Multiplicación de Fracciones a · b = ab c d cd División de Fracciones
a ÷ b = a · d = ad c d c b cb
1.1.2 Relaciones de proporcionalidad 1.1.2.1 Problemas con razones Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo 1: La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades. Solución: Si las edades son a y b Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:
Ahora volvemos a los datos del problema: Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X". Por lo tanto:
Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:
Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :
Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.
1.1.2.2
Problemas con proporciones
Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria. Por ejemplo: 2 = 6 5 15 Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo: 2 = 6 = 5 15 2 · 15 = 6 · 5 30 = 30 Las proporciones expresan igualdades. Ejemplo: 2 =8 x 16 Ahora, se multiplica cruzado. 2 · 16 = 8 · x 32 = 8x Se resuelve la ecuación. 32 = 8x 8 8 4=x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir: 2=8 4 16 Aplicación: Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido (que contiene agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe agregarle?
Hagamos una proporción: harina = harina líquido líquido 3 tazas harina = 1 taza líquido
13 tazas x tazas líquido
x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina. 3 = 13 1 x Ahora, se multiplica cruzado. 3 · x = 13 · 1 3x = 13 Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x. 3x = 13 3 3 x = 4.3 La x es igual a 4.3. Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder hacer los sorullitos.
1.2 Razonamiento algebraico 1.2.1 Expresiones algebraicas 1.2.1.1 Operaciones con monomios
Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. axn + bxn= (a + b)xn Ejemplo 2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio. Ejemplo: 2x2y3 + 3x2y3z
Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número. Ejemplo: 5 · (2x2y3z) = 10x2y3z Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes. axn · bxm = (a · b)xn + m Ejemplo:
(5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3
División de monomios Sólo se pueden dividir monomios cuando: 1Tienen la misma parte literal 2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes. axn : bxm = (a : b)xn − m Ejemplo:
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica. Ejemplo:
Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia. (axn)m = am · xn · m Ejemplos: (2x3)3 = 23 · (x3)3= 8x9 (−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3= −27x6
1.2.1.2
Operaciones con polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3 Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x) Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3
P(x) + Q(x) = = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales. Ejemplo 3 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Ejemplo: 3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = = 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2 Multiplicación de polinomios Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas. Mira la demostración con el siguiente ejemplo: P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x OPCIÓN 1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5 OPCIÓN 2
Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico: P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1 P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 : x2 = x3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes. 5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x2 : x2 = 8
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.
1.2.2 Productos notables 1.2.2.1 Binomio al cuadrado: (a+b)2
Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
El desarrollo de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto. a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2
1.2.2.2
Binomios conjugados: (a+b) (a-b)
Al producto de la suma por la diferencia de dos cantidades se le llama producto de binomios conjugados, y tiene la siguiente forma general: , cuyo resultado es el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Ejemplos ¿Cuál es el resultado de los siguientes binomios conjugados? 1. Aplicando la regla de elevar al cuadrado el primer término menos el cuadrado del segundo término, se tiene:
2. Observamos que este producto de binomios se puede escribir de la siguiente manera:
Por lo tanto se trata de binomios conjugados, y para obtener el resultado se eleva al cuadrado el primer término y se le resta el cuadrado del segundo término.
1.2.2.3
Binomios con termino común: (a+b) (a+c)
Producto de dos binomios de la forma , donde y representa el término común. En este tipo de productos se observan las siguientes reglas: El primer término del producto es el cuadrado del término común.
son números y
El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, y la parte literal es el término común. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios: Ejemplos ¿Cuál es el resultado de multiplicar los siguientes binomios? 1. Identificamos el término común, que en este caso es
, el cual se elevará al cuadrado;
éste será el primer término: . Calculamos el segundo término del producto, que es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, y la parte literal es el término común: . Estimamos el tercer término, que es el producto de los segundos términos de los binomios: . Finalmente integramos los tres términos para obtener el resultado:
2. Identificamos el término común, que en este caso es
, el cual se elevará al cuadrado;
éste será el primer término: . Calculamos el segundo término del producto, que es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, y la parte literal es el término común: . Estimamos el tercer término, que es el producto de los segundos términos de los binomios: Finalmente integramos los tres términos para obtener el resultado:
1.2.2.4
Binomios al cubo: (a+b)3
Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32+ 33 = = x3 + 9x2 + 27x + 27 Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 = = 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27 Ejemplos 1(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = = x3 + 6x2 + 12x + 8 2(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 − 23 = = 27x 3 − 54x2 + 36x – 8 3(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·5 + 3 · 2x · 52 + 53 = = 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125
1.2.3 Ecuaciones 1.2.3.1 Ecuaciones de primer grado: solución grafica, matemática o aplicación Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado. Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multiplicando. Resuelve la ecuación
1.2.3.2 Ecuaciones de segundo grado: solución grafica, matemática o aplicación Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Ejemplos 1.
2.
3. Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
1.2.4 Sistemas de ecuaciones 1.2.4.1 Ecuaciones con dos o tres incógnitas: solución grafica y matemática 1.2.4.2 Ecuaciones con dos o tres incógnitas: aplicación
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Método de sustitución 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo
1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: 3 Resolvemos la ecuación obtenida: 4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada. 5 Solución
Método de igualación 1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemosdespejada la x:
5 Solución:
Método de reducción 1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3 Se resuelve la ecuación resultante. 4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. Solución:
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Método de Gauss Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas. 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. 4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminarel término en y. 5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado. 6º Encontrar las soluciones. Ejemplo
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminarel término en y. E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones. z=1 − y + 4 ·1 = −2 y=6 x + 6 −1 = 1 x = −4
Sistemas de ecuaciones no lineales La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. 3º Se resuelve la ecuación resultante. 4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. Ejemplo
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. y=7−x 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. x2 + (7 − x)2 = 25 3º Se resuelve la ecuación resultante. x2 + 49 − 14x + x2 = 25 2x2 − 14x + 24 = 0 x2 − 7x + 12 = 0
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. x=3 y=7−3 y=4 x=4 y=7−4 y=3
1.2.5 Representaciones graficas 1.2.5.1 Funciones Dada una función f(x) definida f:Xx⟶⟼Yf(x)=y definimos la gráfica de esta función como el conjunto de puntos: {(x,y)∈X×Y | y=f(x)} o también los pares de puntos (x,f(x)). Estos puntos se pueden representar con coordenadas cartesianas en el plano XYformándose así el dibujo de la gráfica de la función f(x). Ejemplo Tomemos la función f(x)=x3. Su gráfica vendrá dada por el conjunto de puntos {(x,f(x))}={(x,x3)} variando el valor de x. Si lo representamos obtenemos el dibujo:
Pero, ¿Cómo se representa una gráfica? Para poder explicarlo debemos introducir antes el concepto de dominio e imagen de una función. En una función f(x) distinguimos dos conjuntos: uno es el conjunto de donde tomamos valores para evaluar la función (los posibles valores de x) y el otro es el conjunto formado por los diferentes valores que alcanza la función f(x). Entonces, definimos: Dominio de una función como el conjunto de valores donde evaluaremos la función. Se denota como: Dom(f).
Imagen de una función como el conjunto de valores obtenidos por la función. Se denota como: Im(f). Fijémonos que cuando notamos una función como: f:Xx⟶⟼Yf(x)=y el conjunto X es el dominio, puesto que tomaremos los valores de x de dentro de éste y la imagen estaría dentro del conjunto Y. Veámoslo mejor con algunos ejemplos: Ejemplo La función f(x)=x tiene como dominio toda la recta real, puesto que podemos evaluarla en cualquier punto, y tiene como imagen la misma recta, ya que la función es la identidad. Por lo tanto escribiremos: Dom(f)=R=(−∞,∞) Im(f)=R=(−∞,∞) Ejemplo La función té f(x)=x2 tiene como dominio también toda la recta real (podemos evaluarla en cualquier punto) y no obstante, al ser la función "elevar al cuadrado", sólo obtenemos valores positivos. Por consiguiente su imagen será la semirecta real positiva incluyendo el cero. Por lo tanto escribiremos: Dom(f)=R=(−∞,∞) Im(f)=[0,∞) Podemos observar que el dominio puede ser un conjunto a elección nuestra (ya que podemos escogerlo más pequeño o más grande) mientras que la imagen vendrá dada por el dominio escogido. A veces, pero, nos encontramos que nuestra función por ciertos motivos no puede ser evaluada en ciertos puntos ya que no está definida, así que tendremos que excluir ciertos puntos o intervalos del dominio. Ejemplo Si tomamos la función f(x)=x+1x+1 podemos ver que cuando x=0 tenemos la expresión 10 y esta división no puede realizarse. Por consiguiente, el dominio de esta función será todos los reales exceptuando el cero: Dom(f)=R∖{0}=(−∞,0)∪(0,∞) Y la imagen será Im(f)=R∖{1}=(−∞,1)∪(1,∞) Cálculo de dominios: Para calcular el dominio de una función tenemos que partir de que puede ser cualquier número de la recta real (R) e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la función. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "débiles" de nuestras funciones o mejor dicho, los puntos de no definición. A continuación listamos los conjuntos de no definición de las principales funciones: Función Conjunto de no definición f(x)=log(g(x))
{x | g(x)⩽0}= los valores de x tal que g(x) se hace negativa o cero
f(x)=g(x)−−−−√
{x | g(x)<0}= los valores de x tal que g(x) se hace negativa
f(x)=g(x)h(x)
{x | h(x)=0}= los valores de x tal que h(x) vale cero
f(x)=g(x)−−−−√2n {x | g(x)<0}= los valores de x tal que g(x) se hace negativa Ejemplo Si tomamos la función f(x)=(2x+1x−4−ln(x+8))⋅x2+1−−−−−√ y queremos encontrar su dominio debemos considerar que es toda la recta real y irla restringiendo según encontremos puntos o intervalos de no definición.
En este caso, observamos que tenemos 3 posibles intervalos de no definición: cuando x−4 sea cero ⇒x−4=0⇒x=4 la función no estará definida. - cuando x+8 sea negativo o cero ⇒x+4⩽0⇒x⩽−8 la función no estará definida. - cuando x+1 sea negatvo ⇒x2+1<0⇒x2<−1 , cosa que no puede pasar ya que x2siempre es positivo, por lo tanto la función no tiene intervalos de no definición. Entonces, podemos concluir que el dominio de nuestra función será: Dom(f)=(−8,4)∪(4,∞) Representación gráfica Supongamos que tenemos una función f(x). Para representarla gráficamente debemos primero encontrar su dominio para saber en que puntos debemos evaluarla. UUna vez encontrado el dominio procederemos a hacer la representación. ¿Cómo lo haremos? Bien, la manera más simple y sencilla es mediante una tabla de valores, es decir, daremos valores a la variable x y encontraremos el valor de f(x) y dibujaremos el punto encontrado, (x,f(x)) en el plano usando las coordenadas cartesianas. Ejemplo Tomemos la función f(x)=2x+1 y vamos a hacer la tabla de valores: x f(x) −2 f(2)=2⋅(−2)+1=−3 −1 f(2)=2⋅(−1)+1=−1 0
f(2)=2⋅(0)+1=1
1
f(2)=2⋅(1)+1=3
2 f(2)=2⋅(2)+1=5 y por lo tanto encontramos los pares de puntos: x f(x) −2
−3
−1
−1
0
1
1
3
2 5 los que dibujaremos en el plano XY y eos uniremos con una línea. Al final obtenemos:
donde hemos marcado con puntos las coordenadas encontradas en la tabla de valores.
1.2.5.2
Relaciones
Paso 1: Construir una tabla de valores para x . x -2 -1 0 y
1
2
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. Paso 3: Completar la tabla. Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? En caso afirmativo, dibuja la gráfica (ubicar la curva de forma adecuada a través de los puntos dados). Si no, vuelva al paso 1 y añada más valores x en la tabla. Ejemplos Ejemplo 1 Construir la gráfica de: y=-2 x -1 Paso 1: Construir una tabla de valores para x . x -2 -1 0 y
1
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. Si x=-2, entonces y=-2 -2-1=3 Si x=-1, entonces y=-2 -1-1=1 Si x=0, entonces y=-2 0-1=-1 Si x=1, entonces y=-2 1-1=-3
2
Si x=2, entonces y=-2 2-1=-5 Paso 3: Completar la tabla. x -2 -1 y 3 1
0 -1
1 -3
2 -5
Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy
Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? Ya hay suficientes puntos para reconocer que es es una recta con intercepto en xigual a -0.5 y intercepto en y igual a -1.
Ejemplo 2 Construir la gráfica de: y=x2- 2 Paso 1: Construir una tabla de valores para x . x -2 -1 0 y
1
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. Si x=-2, entonces y=- 22-2=2 Si x=-1, entonces y=- 12-2=-1 Si x=0, entonces y= 02-2=-2 Si x=1, entonces y= 12-2=-1 Si x=2, entonces y= 22-2=2
2
Paso 3: Completar la tabla. x -2 -1 y 2 -1
0 -2
1 -1
2 2
Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy
Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? Ya hay suficientes puntos para reconocer que es una parábola con interceptos enx igual a 2 y -2 y intercepto en y igual a -2.
1.3 Razonamiento estadístico y probabilístico 1.3.1 Frecuencias e información gráfica 1.3.1.1 Uso e interpretación de tablas de frecuencias Una tabla de frecuencias resume la información acerca de la cantidad de veces que una variable toma un valor determinado. Además permite Organizar e interpretar de manera más rápida y eficiente. La frecuencia absoluta Corresponde a la cantidad de veces que se repite un dato. Denotamos este valor por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N. Por Ejemplo: Si hacemos una encuesta a 20 personas para saber cuál es su color favorito obtenemos lo siguiente: [Tabla 1]
La Frecuencia Absoluta Acumulada Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. Denotamos este valor por Fi. [Tabla 2]
La Frecuencia Relativa Es la probabilidad de obtener cierto dato, se obtiene calculando la razón entre la frecuencia absoluta de un dato con el total. Se puede expresar como fracción, decimal o porcentaje. Denotamos este valor por hi. [Tabla3]
Para obtener el numero en decimal se divide la frecuencia absoluta por el total y para obtener el porcentaje se multiplica este decimal por 100. Los ejemplos representan una tabla de frecuencias de datos No agrupados, en el caso de las tablas de datos Agrupados representan las frecuencias en rangos de datos, como en el siguiente caso.
Se entrevistan a 28 personas que realizan un taller preguntándoles la edad que tengan: [tabla 4]
Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. Denotamos este valor por Hi Se calcula: Fi /N
1.3.1.2 Gráficos para representar información (barras, circulares, de polígono) Gráficos de barras verticales
Los Gráficos de barras verticales representan valores usando trazos verticales, aislados o no unos de otros, según la variable a graficar sea discreta o continua. Pueden usarse para representar una o más series Gráficos de barras horizontales
Los Gráficos de barras horizontales representan valores discretos a base de trazos horizontales, aislados unos de otros. Se utilizan cuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos. Pueden usarse para representar una o más series. Gráficos de barras proporcionales
Los Gráficos de barras proporcionales se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos que componen un total. Dichas barras pueden ser verticales u horizontales. Gráficos de barras comparativas
Los Gráficos de barras comparativas son las mismas barras ya utilizadas que pueden utilizarse para comparar dos o más series, para comparar valores entre categorías. Gráficos de barras apiladas
Los Gráficos de barras apiladas se usan para mostrar las relaciones entre dos o más series con el total. Las barras también pueden ser verticales u horizontales. Gráficos de líneas
Los Gráficos de líneas representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Pueden utilizarse para mas de una serie de datos. Se utilizan para representar valores con grandes incrementos entre sí. Gráficos circulares
Estos Gráficos circulares nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total. Pueden verse en dos o en tres dimensiones. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar. Gráficos de áreas
En los Gráficos de Áreas se busca mostrar la tendencia de la información generalmente en un período de tiempo. Pueden utilizarse para representar una o más series y en dos dimensiones o en tres dimensiones Gráficos mixtos
Los Gráficos Mixtos representan dos o más series de datos, cada una con un tipo diferente de gráfico. Son gráficos más vistosos y se usan para resaltar las diferencias entre las series. Pueden presentarse en dos o en tres dimensiones. Histogramas
Los Histogramas son tipos de gráficos que se utilizan para representa distribuciones de frecuencias. Algún software específico para estadística grafican la curva de gauss superpuesta con el histograma.
1.3.2 Medidas descriptivas 1.3.2.1 Medidas de tendencia central (media, mediana y moda)
Moda La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas. Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9 Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no haymoda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9 Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es elpromedio de las dos puntuaciones adyacentes. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4 Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li-1 es el límite inferior de la clase modal. fi es la frecuencia absoluta de la clase modal. fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal. fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase. También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
Ejemplo Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: fi [60, 63) 5 [63, 66) 18 [66, 69) 42 [69, 72) 27 [72, 75) 8 100
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Mediana Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos estánordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Cálculo de la mediana 1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5 3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5 Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre
.
Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. es la semisuma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. ai es la amplitud de la clase. La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos. Ejemplo Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: fi Fi [60, 63) 5 5 [63, 66) 18 23 [66, 69) 42 65 [69, 72) 27 92 [72, 75) 8 100 100 100 / 2 = 50 Clase modal: [66, 69)
Media aritmética La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la mediaes:
Ejercicio de media aritmética En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media. xi fi xi · fi [10, 20) 15 1 15 [20, 30) 25 8 200 [30,40) 35 10 350 [40, 50) 45 9 405 [50, 60 55 8 440 [60,70) 65 4 260 [70, 80) 75 2 150 42 1 820
Propiedades de la media aritmética 1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero. Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0: 8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 = = 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0 2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho númerocoincide con la media aritmética. 3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número. 4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número. Observaciones sobre la media aritmética 1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas. 2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos: 65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución. 4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
1.3.2.2
Medidas de variabilidad (varianza y desviación estándar)
Desviación estándar La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos. La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?" Varianza la varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ2) se define así: Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. En otras palabras, sigue estos pasos: 1. Calcula la media (el promedio de los números) 2. Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado). 3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado. Ejemplo Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):
Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar. Respuesta: 600 + 470 + 170 + 430 + 300 1970 Media = = = 394 5 5 así que la altura media es 394 mm. Vamos a dibujar esto en el gráfico:
Ahora
calculamos
la
diferencia
de
cada
altura
con
la
media:
Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media: 2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2 108,520 Varianza: σ2 = = = 21,704 5 5 Así que la varianza es 21,704. Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que: Desviación estándar: σ = √21,704 = 147 y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media:
Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal, o extra grande o extra pequeño.
1.3.3 Medidas de posición 1.3.3.1 Calculo de percentiles Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P50 coincide con la mediana. Cálculo de los percentiles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra tabla de las frecuencias acumuladas.
, en la
Ejercicio de percentiles Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla: [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)
fi 8 10 16 14 10 5 2
Fi 8 18 34 48 58 63 65
65 Percentil 35
Percentil 60
1.3.3.2
Calculo de deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D5 coincide con la mediana. Cálculo de los deciles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra de las frecuencias acumuladas.
, en la tabla
Ejercicio de deciles Calcular los deciles de la distribución de la tabla: [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120) Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
fi 8 10 16 14 10 5 2 65
Fi 8 18 34 48 58 63 65
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
1.3.3.3
Calculo de cuartiles
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto dedatos ordenados en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75%de los datos.
Q2 coincide con la mediana. Cálculo de los cuartiles 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. 2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión Número impar de datos 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
.
Número par de datos 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra las frecuencias acumuladas.
, en la tabla de
Ejercicio de cuartiles Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla: [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120) Cálculo del primer cuartil
Cálculo del segundo cuartil
fi 8 10 16 14 10 5 2 65
Fi 8 18 34 48 58 63 65
Cálculo del tercer cuartil
1.3.4 Nociones de probabilidad 1.3.4.1 Problemas de conteo El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B pueden2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio? Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios. n 10 x 9 x 8 = 720 ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones. 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000 n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n. El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea n 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Por definición 0! = 1 Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: * La técnica de la multiplicación * La tecnica aditiva * La tecnica de la suma o Adicion * La técnica de la permutación * La técnica de la combinación. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto. N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas Ejemplo: Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3) (4)=12 PRINCIPIO ADITIVO. Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formas Ejemplos: 1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de: m+n maneras. Ejemplo: Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja? PRESA Económico Condominio m=2
PLAYAS Residencial Californiano Provenzal n=3
2+3= 5 maneras PRINCIPIO DE PERMUTACION: A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es: FÓRMULA:
n
P
r
=
n!
(n
-
r)
Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes? Aplicando la formula de la permutación tenemos: n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760 Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n. NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !
PRINCIPIO DE COMBINACION: En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes: Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB Combinaciones: AB, AC, BC Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden. La fórmula de combinaciones es: n C r = n! r! (n – r)! Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto? Usando la fórmula de combinaciones: n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4! El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.
1.3.4.2
Calculo de probabilidad. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%): El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados"). El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. ¿Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. P(A) = Casos favorables / casos posibles Veamos algunos ejemplos: a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%) b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%) d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%) Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías? Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero. b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla. A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades. ¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos una denuncia? No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista): Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades. Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%. Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%. Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista. En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad. Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista.
1.4 Razonamiento geométrico 1.4.1 Puntos, segmentos y plano cartesiano 1.4.1.1 Puntos y coordenadas: ubicación en el plano cartesiano El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.
1.4.1.2
Puntos que dividen segmentos
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la rectaque contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
Ejemplo: ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?
1.4.2 Línea recta 1.4.2.1 Ecuación de la línea recta La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma: y = mx + b
Gradiente
Intersección Y
y = cuánto arriba x = cuán lejos m = gradiente o pendiente (cuán inclinada es la línea) b = la intersección Y (donde la línea se cruza con el eje Y)
1.4.2.2
Graficacion de rectas
Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando los valores de y . O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores de y . La pendiente de la recta m es positiva. Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (como escribimos). Ejemplos de rectas crecientes: 1) y = 4x 2) y = 3x + 2 3) y = 5/3 x + 1 4) y = 3/2 x + 2 Analizar y representar la siguiente recta: y = 3x -1 La pendiente de la recta es 3 , por ser positiva la recta es creciente. La ordenada en el origen n = -1, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, -1) Tabla de valores de la recta x 1 0 -1 y 2 -1 -4 Ejercicios rectas decrecientes Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van disminuyendo los valores de y , o viceversa. La pendiente de la recta m es negativa. La pendiente de la recta m es negativa. Ejemplos de rectas decrecientes: 1) y = - 3x 2) y = - 4/3x +1 Analizar y representar la siguiente recta: y = -2x + 2 La pendiente de la recta es -2 , por ser negativa la recta es decreciente. La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2) Tabla de valores x 1 0 -1 y 0 2 4 Gráfica de las rectas
Ejercicios rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Ejemplos de rectas paralelas: a) y = 3x y b) y = 3x +1 c) y = -2x + 5 y d) y = -2x -2 Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x + 2 La pendiente de la recta es 4 , por ser positiva la recta es creciente. La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2) Tabla de valores x 1 0 -1 y 6 2 -2
Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x La pendiente de la recta es 4 , es paralela a la recta anterior. La ordenada en el origen n = 0, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 0) Grafica de las rectas
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos
1.5 Razonamiento trigonométrico 1.5.1 Triángulos oblicuángulos 1.5.1.1 Problemas con ley de senos Teorema del seno Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
1.5.1.2
Problemas con ley de cosenos
Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
