NIS 3003 * Incerteza I ncerteza e Confiança na Medição
NIS 3003 Edição 8 * Maio 1995
Expressão da Incerteza e Confiança na Medição para Calibrações (Tradução livre de Marco Antônio Ribeiro) Conteúdo 1. Introdução
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2. Conceitos
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3. Avaliação Tipo A da Incerteza Padrão
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4. Avaliação Tipo B da Incerteza
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5. Incerteza Padrão Combinada
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6. Quantidades de Entrada Correlatas
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7. Incerteza Expandida e Nível de Confiança
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8. Reportando os Resultados
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9. Procedimento Passo a Passo para a Determinação da Incerteza: Caso Geral
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Calibração de um peso de valor nominal de 10 kg de OIML
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10. Símbolos
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11. Referências Bibliográficas Bibliográficas
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Apêndice A: Derivando Derivando um fator de cobertura cobertura para quantidades quantidades de entrada entrada não confiáveis confiáveis
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Apêndice B: Componente Componente de incerteza incerteza sistemática dominante dominante
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Apêndice C: Algumas Algumas fontes de erro e incerteza incerteza nas calibrações calibrações elétricas elétricas
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Apêndice D: Algumas Algumas fontes de erro e incerteza incerteza nas calibrações calibrações de massa
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Apêndice E: Algumas Algumas fontes de erro e incerteza incerteza nas calibrações calibrações de temperatura temperatura
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Apêndice F: Algumas Algumas fontes de erro e incerteza incerteza nas calibrações calibrações de dimensão dimensão
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Apêndice G: Exemplos Exemplos de aplicação aplicação
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NIS 3003 Edição 8: Maio 1995 - The Expression of Uncertainty and Confidence in Measurement for Calibrations
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Esta edição substitui a Edição 7 de Maio 1991 e foi escrita com a intenção de cobrir todos os campos de medição para calibrações. Esta edição revisada foi considerada necessária porque a edição 7 não era completamente consistente com as recomendações sobre incerteza da CIPM e mais particularmente com a ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement que tem tido uma grande aceitação mundial desde sua publicaçào em 1993. A NIS 3003 Edição 8 é considente com a ISO Guide embora possa se reconheça que a medição da incerteza é um assunto muito complexo e a referência ao Guide pode ainda ser necessária onde a NIS 3003 não cobre certos aspectos. A WECC Doc. 19-1990 Guidelines for the Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration está atualmente sendo revisada e será re-impressa sob os auspícios da EAL, em 1996. Esta edição revisada será consistente com o ISO Guide. Os cálculos feitos usando NIS 3003 Edição 8 darão resultados levemente diferentes, comparados com a Edição 7, para a incerteza total de uma medição. A principal diferença é o uso de k = 2 como um multiplicador, no lugar de k = 1,96, que é a recomendação do EAL. Onde há uma contribuição aleatório significativa o novo método de cálculo pode dar uma incerteza total menor. Os laboratórios que já calculam incertezas de acordo com a Edição 7 usando um nível de confiança de 95% somente necessitam mudar o método de cálculo nos procedimentos existentes quando eles forem revisados ou se houver uma probabilidade de haver uma mudança significativa na incerteza reportada. Os cálculos de incerteza para novos procedimentos de medição devem agora ser baseados na Edição 8. Os laboratórios que se baseiam o estabelecimento da incerteza na soma aritmética devem agora usar o método dado na Edição 8. A revisão de balanços de incerteza existentes deve ser feita o mais rápido possível, quando for prático e não deve ser depois de junho 1996. A informação da incerteza nos certificados de calibração precisa ser revisada para ficar de conformidade com as exigências do EAL e a nova informação é dada na Seção 8.1 da Edição 8. Esta declaração não é a mesma que a dada no M25 Certificados de Calibração. Porém, M25 ou um documento substituto, será reimpresso no futuro e incluirá a exigência para a declaração revisada da incerteza. Quando os laboratórios calculam incertezas de acordo com a Edição 8, eles devem usar a nova declaração dada na Seção 8.1, assim que for possível. Todos os laboratórios de calibração precisam usar a mesma declaração nos certificados de calibração, seguindo o formulário substituto da M25. É claro que a introdução de qualquer exigência nova ou revisada na certificação pode produzir trabalho extra para o pessoal do laboratório mas é obrigatório introduzir esta mudança no cálculo de incerteza para garantir que os laboratórios de calibração credenciados pelo NAMAS estejam alinhados com as exigências internacionais.
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Expressão da Incerteza e Confiança na Medição para Calibrações1. Introdução A Norma de Credenciamento NAMAS M10, requer um laboratório para produzir estimativas de incerteza de suas medições para todas as calibrações usando métodos aceitos de análise. Esta exigência pode ser satisfeita seguindo-se o procedimento descrito nesta norma que substitui NIS 3003, Edição 7, 1991 e é prevista para aplicação em todos os campos da medição para calibrações. A necessidade de um procedimento aceito internacionalmente para expressar a incerteza da medição fez, em 1981, o Comité Internationel des Poids et Mesures (CIPM) aprovar recomendações [1] elaboradas por um grupo de trabalho de representantes de todos os laboratórios dos países mais adiantados. A International Organisation for Standardisation (ISO) desenvolveu um guia
detalhado aplicável a todos os níveis de precisão de pesquisa fundamental para operações de chão de fábrica. A responsabilidade pela preparação de tal documento compreensível para este largo espectro de medições foi atribuída a um grupo de trabalho da ISO, o Technical Advisory Group on Metrology (ISO/TAG4/WG3) e levou à publicação do Guide to the Expression of [2] Uncertainty in Mesurement , em 1993, referida neste trabalho como Guide. Os cálculos da incerteza dados nesta publicação são consistentes com as recomendações feitas no Guide. O Western European Calibration Cooperation (WECC) publicou orientações sobre incerteza em maio 1990, Document 19 [3]. Este documento foi reimpresso pela EAL, uma cooperativa européia para o credenciamento de laboratórios que incorpora a WECC, e é também consistente com o Guide. O NAMAS, recentemente, publicou trabalhos relativos à medição da incerteza em teste, notadamente NIS 80 [4] e NIS 81 [5], que também são consistentes com o Guide. As edições anteriores da NIS 3003 têm recomendado o uso do fator de cobertura de k = 1,96, que se refere ao nível de confiança de 95%, enquanto esta edição recomenda k = 2, que se refere a 95,45%, entretanto, o nível de confiança é ainda arredondado para 95%. Além desta diferença, a estimativa da incerteza feita usando esta edição da NIS 3003 produz os mesmos resultados das edições anteriores para quase todos os cálculos de incerteza. Nos poucos casos onde ocorre diferença, as
edições anteriores dão valores levemente maiores para a incerteza. O NAMAS não exige que os laboratórios recalculem as incertezas anteriores, mas para as novas estimativas de incerteza e quando existem balanços de custódia, a nova edição NIS 3003 deve ser seguida. É comum na calibração que o valor reportado para uma quantidade medida seja obtido diretamente dos resultados registrados das medições desta quantidade, após feitas todas as correções possíveis. Porém, pode acontecer que o valor de uma medição dependa de um modo mais complicado da quantidade de entrada ou de duas ou mais quantidades de entrada. A Seção 5 dá orientação de como tratar esta situação. O caso geral, baseado na formulação do modelo matemático, pode ser encontrado no Guide. Em edições anteriores da NIS 3003 foi considerado que as quantidades de influência que afetam a medição não são correlatas, que é usualmente uma hipótese razoavelmente segura na calibração. Porém, quando pode ser estabelecido que tais quantidades são correlatas em algum grau, a incerteza total será afetada. A Seção 6 dá alguma orientação geral sobre quantidades de influência correlatas. Para avaliar os efeitos em mais detalhe, a formulação do modelo matemático é exigida e estas exigências podem ser encontradas no Guide . Os Apêndices C, D, E e F nesta norma fornecem detalhes de fontes comuns de erro e incerteza para vários campos diferentes de medição e o Apêndice G fornece exemplos da aplicação da NIS 3003 para a determinação da incerteza nestes campos. Sempre que possível, os termos e símbolos usados nesta publicação tem sido alinhados com o Guide . Uma lista completa de símbolos e suas definições é dada na Seção 10. Definições de alguns termos genéricos de metrologia são dadas no Guide.
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2. Conceitos A expressão do resultado de uma medição é incompleta a não ser que ela inclua uma declaração da incerteza associada. A incerteza resultante de uma medição é um parâmetro que caracteriza o espalhamento dos valores que seriam razoavelmente atribuídos à medição. A incerteza estabelece a faixa de valores dentro da qual a medição é estimada ficar, com um nível de confiança estabelecido. É essencial distinguir o termo erro (em um resultado da medição) do termo incerteza. Erro é a medição resultante menos o valor verdadeiro da quantidade medida. Quando possível, uma correção igual e de sinal oposto ao erro é aplicada ao resultado. Como o valor verdadeiro nunca é conhecido exatamente (pois se o fosse, não haveria necessidade de fazer uma medição), as correções são sempre aproximadas e permanece um erro residual. A incerteza neste erro residual contribui com a incerteza do resultado relatado. Dado o significado de erro, segue-se que a incerteza pode também ser definida como a faixa em torno do zero em que o erro é assumido cair. A incerteza pode ser caracterizada em termos do espalhamento da distribuição de probabilidade para o erro. Esta distribuição do erro pode ser derivada da variação aleatória observada nos resultados, do conhecimento teórico do mecanismo do erro ou de algum outro modo. O CIPM recomenda um desvio padrão como uma medida do espalhamento da distribuição (um desvio padrão), mas isto não é suficiente no campo da calibração, onde o intervalo de confiança necessita ser definido. Pode se dizer que o valor verdadeiro da medição (ou o erro) cai dentro da faixa estabelecida com um certo grau de confiança (p. ex., 95% ou 99%). A base para o tratamento da incerteza nesta publicação é a hipótese de que todos os componentes da incerteza podem ser tratados do mesmo modo, independente da natureza de seus erros associados. Em particular, é assumido que as distribuições de erro associadas podem ser combinadas através de procedimentos estatísticos comuns, se eles são fixos (erro sistemático) ou variam aleatoriamente (erro aleatório) durante o processo da medição. Em muitas vezes, a distribuição normal ou gaussiana descreve adequadamente um erro. Em outras vezes, quando está faltando informação, pode ser apropriado modelar a distribuição como retangular, atribuindo iguais percentagens a valores entre os limites extremos. Deve ser notado que, há
circunstâncias em que esta hipótese resulta em estimativas otimisticamente pequenas, p. ex., quando a distribuição tem forma de U. (O Apêndice C dá um exemplo). O pessimista supõe que a distribuição seja trapezoidal. Em caso de dúvida, a distribuição retangular pode ser assumida; esta hipótese, porém, sempre deve ser registrada. Veja o Guide para informação sobre o tratamento de várias distribuições. Quando várias distribuições diferentes são combinadas, pode-se mostrar que, exceto em um caso, a distribuição de probabilidade resultante tende para a forma normal de acordo com o Teorema do Limite Central [6]. A importância disto é que se torna possível atribuir um mínimo nível de confiança em termos da probabilidade na incerteza total. O caso excepcional aparece quando uma contribuição à incerteza total predomina; nesta circunstância a distribuição resultante se afasta da contribuição dominante. Quando se tem a tarefa de identificar e avaliar as incertezas em qualquer processo específico de medição, é conveniente classificá-las em termos de seu efeito na calibração. Quando uma medição é repetida em um número de vezes sob as mesmas condições, então, desde que o processo de medição tenha suficiente sensitividade para detectar pequenas diferenças, os resultados não serão todos os mesmos devido aos efeitos cumulativos de pequenas variáveis aleatórias independentes. É por causa dos efeitos aleatórios observáveis que esta indeterminação é chamada de componente aleatória da incerteza. Correções para erros na medição podem ser necessárias para garantir a rastreabilidade do valor médio de uma amostra de resultados ao padrão nacional. Os erros residuais nestas correções são sistemáticos em seu efeito no processo da medição no momento de seu uso e portanto, os componentes correspondentes da incerteza são normalmente classificados como sistemáticos, por associação. Quando se mantém a classificação tradicional de descrever os componentes da incerteza como aleatórios e sistemáticos, isto é válido para se aplicar somente a um específico processo de medição. No sistema hierárquico nacional de calibração, quando as incertezas se propagam para baixo através dos laboratórios, a classificação de uma quantidade de influência como um componente aleatório da incerteza em um nível da cadeia muda para um componente sistemático de incerteza no próximo nível mais baixo. Por exemplo, um laboratório de calibração encarregado de fazer a calibração de um padrão de referência para outro laboratório em um nível mais baixo 4
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição reporta um único valor de incerteza total da medição que combina os componentes aleatório e sistemático da incerteza deste laboratório para a medição. Quando o laboratório do nível mais baixo usa o padrão calibrado, a incerteza total de seu valor terá então um componente sistemático em seu efeito dentro do balanço de incerteza de outras medições do laboratório. Por causa da natureza do efeito de um componente da incerteza poder variar, o CIPM recomenda agrupar os componentes da incerteza de acordo com o método usado para calcular seus valores numéricos em: Tipo A: incertezas avaliadas por métodos estatísticos. Tipo B: incertezas avaliadas por outros métodos. O Guide diz que o objetivo da classificação em Tipos A e B é o de indicar os dois modos diferentes para avaliar os componentes da incerteza e é conveniente apenas para discussão. Se os componentes da incerteza são classificados como aleatórios e sistemáticos em relação a um processo específico de medição, ou descritos como Tipo A ou Tipo B modelados pelo método de avaliação, todos os componentes, independentes de classificação, são modelados pelas distribuições de probabilidade quantificadas por variâncias ou desvios padrão. Assim, qualquer convenção relativa à classificação não afeta a estimativa da incerteza total. Mas, sempre deve ser lembrado que, na presente publicação, quando os termos aleatórios e sistemáticos são usados, eles se referem aos efeitos da incerteza em um específico processo de medição. É usual que os componentes aleatórios requeiram avaliações do Tipo A e os componentes sistemáticos requeiram avaliações do Tipo B, mas há algumas exceções. Em geral, um processo de medição pode ser visto como tendo quantidades de entradas estimadas, dadas pelo símbolo x, que contribuem para o valor estimado da quantidade medida ou de saída, dada pelo símbolo y. Onde, como em muitos casos, há várias quantidades de entrada, elas são representadas por x i e a incerteza associada com o valor estimado de cada quantidade de entrada é representado por u(x i). A incerteza padrão e sua avaliação são discutidos nas Seções 3 e 4. O processo de medição pode usualmente ser modelado por uma função entre as quantidades de entrada estimadas e a saída é dada como: y = f ( x1 , x 2 ,..., xN )
(1)
Por exemplo, se a resistência elétrica R é medida em termos de tensão V e corrente I, então a relação é R = f(V,I) = V/I. O modelo matemático do processo de medição é usado para identificar as quantidades de entrada que necessitam ser consideradas no balanço da incerteza e sua relação com a incerteza total da medição. Em alguns casos, as unidades das quantidades de entrada não são iguais à unidade da quantidade da saída, como no exemplo acima e cada incerteza de entrada deve ser multiplicada por um fator apropriado antes que seja combinada com as outras incertezas (Ver Seção 7).
3. Avaliação Tipo A da Incerteza Padrão Uma avaliação do Tipo A é normalmente usada para obter um valor para a repetibilidade ou aleatoriedade de um processo de medição, exibidas em uma determinada ocasião. Para algumas medições, o componente aleatório da incerteza pode não ser significativo em relação aos outros componentes da incerteza. Porém, é sempre desejável, para qualquer processo medição, que a importância relativa dos efeitos aleatórios sejam estabelecidos. Quando há um grande espalhamento em uma amostra de resultados da medição, a média aritmética dos resultados deve ser calculada. Se há n valores independentes repetidos para uma medição, então o valor médio x é dado por x=
x.
1 n xk n k=1
∑
(2)
onde xk é o ko valor medido da quantidade
O espalhamento nos resultados, ou seja, a faixa, indica o mérito ou repetibilidade do processo de medição e depende do instrumento usado, método e, às vezes, da pessoa que faz as medições. Uma estatística mais útil, porém, é o desvio padrão s de n valores que compõem a população total, que é dado por: s=
1 n ( x k − x)2 n k=1
∑
(3)
Se são feitas medições adicionais, usando se as mesmas condições experimentais como as especificadas anteriormente, então, para cada amostra de resultados considerada, são obtidos diferentes valores de média aritmética e de desvio padrão. Para grandes valores de n, estes valores médios se aproximam de um valor limite central da distribuição de todos os 5
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição valores possíveis. Esta distribuição de densidade de probabilidade pode freqüentemente ser assumida como normal. Na prática, o processo de medição pode ter várias limitações em resposta aos grandes desvios do valor médio e isto causa a forma real da curva de distribuição ser truncada em sua extensão. Dos resultados de uma única amostra de medições, uma estimativa, s(xk), pode ser feita para o desvio padrão da amostra de valores possíveis da medição, através da relação: s( x k ) =
1
n
∑ (x (n − 1) =
k
− x) 2
(4)
k 1
Deve ser notado que o resultado do desvio padrão da amostra difere do resultado do desvio padrão de toda população pelo fator 1/(n-1) em lugar do 1/n, sob o sinal de raiz quadrada. A diferença se torna cada vez menor quando o número de medições é aumentado. O desvio padrão estimado para o valor médio não corrigido da medição é dado por: s(x ) =
s(x k ) n
(5)
Nem sempre pode ser prático repetir a medição muitas vezes durante a calibração. Neste casos, uma avaliação mais confiável do desvio padrão do sistema de medição pode ser obtida da avaliação anterior do Tipo A, baseada em um maior número de leituras. Se uma avaliação anterior de s(xk) é usada, então o valor de n usado na eq. (5) para calcular o desvio padrão da média é o número de leituras repetidas feitas para a calibração e não o usado na eq. (4) para se obter o desvio padrão estimado (Ver exemplo G5). Sempre que possível, no mínimo, duas medições devem ser feitas como parte do procedimento da calibração, embora seja aceitável fazer uma única medição quando é conhecido que as contribuições aleatórias na medição, incluídas as do instrumento sendo calibrado, são desprezíveis. Para algumas calibrações, pode ser desejável fazer somente uma medição no equipamento sendo calibrado, mesmo sabendo que se tem uma repetibilidade imperfeita e confiar na avaliação prévia da repetibilidade de tal equipamento. A confiabilidade de uma avaliação prévia depende do número de equipamentos amostrados e do modo como esta amostra representa todos os equipamentos. Para evitar que se subestime a contribuição aleatória, é recomendado que o valor maior do desvio padrão, s(xk) seja usado em vez do valor médio. É também recomendado que os dados obtidos da avaliação prévia sejam
regularmente revistos e atualizados, se possível. Obviamente, quando somente uma medição é feita no equipamento sendo calibrado, o valor de n na eq. (5) é 1. A estimativa prévia do desvio padrão pode somente ser usada se não tiver havido nenhuma alteração subsequente no sistema ou procedimento de medição. Se for encontrado um espalhamento aparentemente excessivo nos valores da medição, a causa deve ser investigada antes de avançar. Embora nenhuma correção possa ser feita para um componente aleatório da incerteza, a eq. (5) mostra a vantagem de aumentar o número de medições mesmo quando usando uma boa estimativa prévia para o desvio padrão de toda a população dos valores possíveis. Porém, o benefício se torna progressivamente menor quando o número é aumentado e é usualmente não necessário fazer mais do que cerca de 10 medições e muitas vezes, 4 medições são suficientes, desde que seja seguida a orientação mencionada na Seção 7 para o nível requerido de confiança. A análise estatística dos valores da medição, feita acima, é uma avaliação do Tipo A para um componente aleatório da incerteza. Porém, um efeito aleatório pode produzir uma flutuação na indicação do instrumento, que é parecida com o ruído em caracter e significância em termos de incerteza. Assim, somente pode ser possível estimar os limites da faixa dos valores indicados. Esta situação não é normal, mas quando ela ocorre, é necessário fazer a avaliação da incerteza do Tipo B. Isto é feito como descrito no parágrafo 4.5 para o caso de um efeito sistemático da incerteza quando somente os limites superior e inferior podem ser estabelecidos. O termo incerteza padrão , u(xi), é usado para a incerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio padrão. Assim, a incerteza padrão de uma quantidade de entrada, xi, avaliada por meio de medições repetidas é obtida de: u( xi ) = s(x)
(6)
onde s(x) é calculado de acordo com a eq. (5).
6
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
4. Avaliação Tipo B da Incerteza É provável que os componentes sistemáticos da incerteza, isto é, os que contam para os erros que permanecem constantes durante a medição, sejam obtidos das avaliações Tipo B. Em um instrumento, o mais importante dos componentes sistemáticos, geralmente é a incerteza associada com as correções para os valores indicados no certificado de calibração emitido por um laboratório de calibração em um nível mais elevado no sistema de calibração nacional. Porém, pode haver, e usualmente há, outras contribuições importantes para os erros sistemáticos na medição feita no laboratório do próprio usuário do instrumento. A identificação e avaliação bem sucedidas destas contribuições dependem muito do conhecimento detalhado do processo da medição e da experiência da pessoa fazendo a medição. A necessidade de uma grande vigilância em evitar erros não pode ser superestimada. Exemplos comuns são os erros nas correções aplicadas aos valores, erros de softwares transcrição e falhas em desenvolvidos para controlar ou relatar o processo de medição. Os efeitos de tais erros não podem ser incluídos na avaliação da incerteza. Na avaliação dos componentes da incerteza é necessário considerar e incluir, no mínimo, as seguintes possíveis fontes de erro: (a) a incerteza reportada pelo padrão de referência e qualquer desvio ou instabilidade em seu valor ou leitura, (b) o equipamento de calibração ou medição, incluindo acessórios, como fios de ligação e qualquer desvio ou instabilidade nos valores ou leituras, (c) o equipamento sendo calibrado ou medido, por exemplo, sua resolução e qualquer instabilidade durante a calibração, (d) o procedimento operacional, (e) os efeitos das condições ambientais em algum ou todos os itens acima. Outras orientações detalhadas relacionadas com fontes de erro e incertezas são dadas nos Apêndices C, D, E e F para calibrações elétrica, de massa, temperatura e dimensional, respectivamente. Sempre que possível, as correções devem ser feitas para erros reveladas pela calibração ou outras fontes. A convenção é que um erro é dado com um sinal positivo se o valor medido é maior do que o valor verdadeiro convencional. A correção do erro envolve subtrair o erro do valor medido. Em alguns casos, para simplificar o processo de medição, pode ser preferível
tratar tal erro, quando ele for pequeno comparado com outras incertezas, como sendo uma incerteza sistemática igual a ( ±) o valor do erro não corrigido. Tendo identificado todos os possíveis componentes sistemáticos da incerteza baseados, sempre que possível, em dados experimentais ou em bases teóricas, eles devem ser caracterizados em termos de desvios padrão baseados nas distribuições de probabilidade avaliadas. Estas distribuições usualmente são normal, mas outras considerações podem determinar que as distribuições sejam diferentes. Quando é possível apenas avaliar os limites superior e inferior do efeito sistemático na medição de uma quantidade de influência, pode-se assumir uma distribuição retangular. (Ver Seção 2.5). Assim, se ai é a semi-faixa de variação do desvio padrão, ainda referido à incerteza padrão u(xi), é dado por u( x i ) =
ai 3
(7)
O Guide dá alguma informação sobre a obtenção desta expressão. Uma incerteza obtida de um certificado de calibração onde o nível de confiança ou um fator de cobertura, k, tem sido reportado pode ser tratada como tendo uma distribuição de probabilidade normal e a incerteza padrão será dada por: u( x i ) =
incerteza expandida k
(8)
Ver a Seção 7.2 para a definição de incerteza expandida. Por exemplo, um certificado de calibração do NAMAS para um instrumento reporta uma incerteza com uma probabilidade de confiança de não menos que 95% para a qual pode ser usado um fator k = 2. O maior uso de fatores de cobertura em lugar de níveis de confiança significa que k pode ser obtido diretamente mas os valores seguintes, que se aplicam sob a hipótese de normalidade, podem ser tomados: 99%
k = 2,58
99,7%
k = 3.
Quando um instrumento é certificado como de conformidade com uma especificação então a incerteza na calibração deve ser considerada. Porém, não é a prática usual dos fabricantes de instrumento a informação dos níveis de confiança para as tolerâncias e por 7
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição isso as distribuições retangulares de probabilidade podem ser assumidas, ou seja: u( x i ) =
limite tolerancia 3
Nota: Se os limites de tolerância são
cotados com um nível de confiança, por exemplo, correspondendo a 3 desvios padrão da distribuição de probabilidade da produção do fabricante, então deve-se tomar a contribuição da incerteza do instrumento como: u( x i ) =
limite tolerancia 3
5. Incerteza Padrão Combinada Como as incertezas padrão u(xi) das quantidades de entrada xi foram derivadas de ambas as avaliações do Tipo A e B, a incerteza padrão da quantidade de saída y = f(x1, x2, ..., xN), também chamada de incerteza padrão combinada, pode ser calculada como segue: u c ( y) =
N
∑=
ci2u2 ( xi ) ≡
i 1
N
∑= u ( y) 2 i
(9)
i 1
onde ci, um coeficiente de sensitividade, é a derivada parcial ∂f / ∂xi , ou, em alguns casos um coeficiente conhecido, tal como o coeficiente de expansão termal, (ver exemplo G6). Uma avaliação típica da incerteza padrão combinada é como segue: 2
c U c 2a2 + c 23 a23 2 2 u c ( y) = 1 1 + 2 2 + c 4u ( x 4 ) k 3 onde U1 tem uma distribuição de probabilidade normal, a2 e a3 são limites com distribuições de probabilidade retangular, todos obtidos de avaliação Tipo B e u(x4) é obtido da avaliação Tipo A. Os cálculos requeridos para obter os coeficientes de sensitividade por diferenciação parcial podem ser um processo demorado, particularmente quando há muitas contribuições individuais e estimativas de incerteza são necessárias para uma faixa de valores. Se a relação funcional não é conhecida para um sistema de medição particular os coeficientes de sensitividade podem, às vezes, ser obtidos pelo enfoque prático de variando uma das variáveis de entrada por um valor conhecido, enquanto mantendo todas as outras entradas constantes e notando a variação na quantidade de saída. Este enfoque pode também ser usado se f for conhecida, mas a complicação de f é tal que a
determinação requerida de derivadas parciais provavelmente contém erro. Neste enfoque, a derivada parcial ∂f / ∂xi é substituída pelo quociente ∆f / ∆x i , onde ∆f é a variação de f resultante de uma variação ∆xi de xi. É importante escolher o tamanho da variação ∆xi cuidadosamente. O tamanho deve ser balanceado entre ser suficientemente grande para obter exatidão numérica adequada (número de algarismos significativos) em ∆f e suficientemente pequeno para fornecer uma aproximação matemática razoável para a derivada parcial. A relação funcional é aproximadamente linear se os valores relativos são usados no lugar das unidades reais e em muitos casos as quantidades de entrada já são dadas em termos relativos nos certificados ou especificações de calibração, p. ex., % ou ppm. Isto simplifica os cálculos por causa dos coeficientes de sensitividade serem iguais a 1 em muitos casos, mas coeficientes conhecidos ainda precisam ser incluídos. (Ver exemplos G1, G3 e G4). Se a função tem a forma p1 p2 pN y = cx1 × x 2 × ...× xN , onde os expoentes pi são números positivos ou negativos conhecidos, a expressão geral para a incerteza padrão combinada expressa em termos relativos é: uc ( y ) y
2
p u( x ) = ∑ i i i =1 x i N
(10)
Esta equação tem a mesma forma que a eq. (9) mas com as incertezas padrão e a incerteza padrão combinada expressas em valores relativos. Em muitos casos, p i é +1 ou 1, o que simplifica os cálculos. Por exemplo, P = f(V,I) = VI uc (P) P
2
u( v) u(I) = + V I
2
ou V = f(P, Z) = (P.Z)½ e uc ( V ) = V
2
u(P) u(Z ) 2P + 2Z
2
6. Quantidades de Entrada Correlatas As expressões dadas para a incerteza padrão combinada, eq. (9) e (10), se aplicam somente quando não há correlação entre qualquer uma das estimativas de entrada, isto é, as quantidades de entrada são 8
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição independentes entre si. Pode ocorrer que algumas quantidades de entrada sejam afetadas pela mesma quantidade de influencia, p. ex., temperatura ambiente, ou por erros em um particular instrumento que é usado para medições separadas no mesmo processo. Em tais casos, as quantidades de entrada não são independentes entre si e a equação para obter a incerteza padrão combinada deve ser modificada. Os efeitos das quantidades de entrada correlatas podem servir para reduzir a incerteza padrão combinada, quando um instrumento é usado como um comparador entre um padrão e um desconhecido. Em alguns casos, os erros de medição sempre se combinam em uma direção e isto pode resultar em um aumento na incerteza padrão combinada. O conhecimento da possibilidade de correlação pode, muitas vezes, ser combinado com relação funcional entre as quantidades de entrada e a quantidade de saída mas pode também ser necessário investigar os efeitos de correlação fazendo uma série planejada de medições. Se há suspeita de que a correlação entre as quantidades de entrada aumenta a incerteza padrão combinada mas seu efeito não pode ser facilmente estabelecido, então o enfoque mais direto é somar as incertezas padrão destas quantidades antes de usar as eq. (9) ou (10). Um enfoque detalhado ao tratamento das quantidades de entrada correlatas pode ser encontrado no Guide.
7. Incerteza Expandida e Nível de Confiança No campo da calibração há necessidade de se estabelecer o nível da confiança que pode ser associado com a incerteza total calculada. É útil fazer comparações válidas dos resultados da medição e dar significado apropriado à incerteza reportada no certificado de calibração em termos de probabilidade que o valor reportado da medição com sua incerteza associada (±) forneça uma faixa de valores que inclua o valor verdadeiro. Uma consideração adicional é a escolha do nível de confiança. Embora a melhor confiança em uma expressão da incerteza total para uma medição sempre pareça desejável, em um sistema hierárquico nacional de laboratórios de calibração envolvendo a propagação de incertezas de um nível para o próximo inferior, este alto nível de confiança não é possível para muitas medições. O Guide reconhece a necessidade de fornecer um nível de confiança associado com uma incerteza e usa o termo incerteza
expandida, U, que é obtida multiplicando se a
incerteza padrão combinada por um fator de cobertura, k, assim U = kuc ( y)
(11)
O NAMAS, em linha com EAL, recomenda que um fator de cobertura de k = 2 seja usado para calcular a incerteza expandida. Este valor de k dá um nível de confiança de aproximadamente 95% (95,5%). Porém, se a contribuição aleatória para a incerteza é relativamente grande comparada com outras contribuições e o número de leituras repetidas é pequeno, há uma possibilidade que a distribuição de probabilidade não seja normal e um valor de k = 2 dá um nível de confiança menor que 95%. Nestas circunstâncias, o procedimento dado no Apêndice A deve ser usado para obter um valor para o fator de cobertura que mantém o nível de confiança em aproximadamente 95%. Um critério que pode ser usado para determinar se deve usar ou não o procedimento no Apêndice A é o seguinte: Geralmente, quando o estabelecimento da incerteza envolve somente avaliação do Tipo A e o número de leitura, n, é maior que 2 e a incerteza padrão do Tipo A é menor do que a metade da incerteza padrão combinada, não há necessidade de usar o método do Apêndice A para obter um valor para o fator de cobertura.
Pode se notar que não foi necessário usar o método do Apêndice A para qualquer um dos exemplos incluídos no Apêndice G. Tem sido dito que o nível de confiança ideal para todas as medições deve ser o maior possível, que é tendendo para probabilidade de 100%. Se cada contribuição de incerteza fosse baseada em uma distribuição retangular, a soma aritmética de suas faixas resultaria em tal nível de confiança. Porém, este procedimento leva a valores consideravelmente crescente de incerteza total com muito pequena probabilidade que os valores verdadeiros sejam realmente próximos dos limites da faixa, quando as quantidades de entrada não são correlatas. A soma aritmética é, muitas vezes, usada para fornecer uma segurança contra a subestimativa das contribuições da incerteza mas tais considerações não são, em geral, quantificáveis e assim não são cobertas pelo procedimento desta publicação. Se um fator de segurança é requerido pelo usuário de um instrumento por razões operacionais, tal fator deve ser reconhecido e estabelecido e não incorporado na incerteza de calibração do instrumento.
9
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição Se um nível de confiança de 95% é considerado muito baixo para uma determinada calibração, então pode ser usado um fator de cobertura de k = 3, dando um nível de confiança de aproximadamente 99,7%. Uma declaração de confiança não pode, na prática, reportar um nível de probabilidade específico, tal como 95%, pois isto requer um conhecimento da distribuição de probabilidade real para cada quantidade da qual o valor da medição depende. Todavia, a habilidade de reportar um nível aproximado de confiança dá um significado muito valioso para um resultado da medição. Em algumas, admitidamente raras, circunstâncias o valor de U calculado para um nível de confiança de 95% usando o procedimento dado neste documento será maior do que a incerteza obtida pela soma aritmética e portanto representa um resultado não realístico. Esta situação pode ocorrer onde há uma contribuição dominante do Tipo B com uma distribuição de probabilidade teórica em forma de U ou assumida retangular, quando o procedimento dado no Apêndice B deve ser seguido para se obter o valor de U.
reduz significativamente resultado da medição.
a
confiança
no
8. Reportando os Resultados Depois que a incerteza expandida é calculada para um mínimo nível de confiança de 95%, os valores da medição e da incerteza expandida devem ser reportados como y ( U e acompanhado pela seguinte declaração de confiança: A incerteza reportada é baseada em uma incerteza padrão multiplicada por um fator de cobertura de k = 2, fornecendo um nível de confiança de aproximadamente 95%.
Nos casos onde o procedimento do Apêndice A é seguido, o valor real do fator de cobertura deve ser substituído por k = 2. Nas circunstâncias especiais de uma contribuição dominante do Tipo B, referir ao Apêndice B. As incertezas são usualmente expressas em termos bilaterais ( ±), ou em unidade de engenharia da medição ou em valores relativos, por exemplo, como percentagem (%), partes por milhão (ppm), 1 em 10 x. O número de dígitos em uma incerteza reportada deve sempre refletir a capacidade prática da medição. Em vista do processo de estimar incertezas é raramente justificado reportar mais do que dois algarismos significativos. As incertezas devem normalmente ser arredondadas para o número apropriado de dígitos mas pode ser arredondada para menos quando isto não 10
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
9. Procedimento Passo a Passo para a Determinação da Incerteza A seguir, tem-se um roteiro guia para o uso deste código de prática para o tratamento de incertezas, de modo genérico. A seguir, tem-se o método aplicado ao exemplo G5.
Caso Geral 1. Se possível, determinar a relação matemática entre as quantidades de entrada e a quantidade de saída: y = f ( x1 , x 2 ,..., xN )
(1)
2. Identificar todas as correções que devem ser aplicadas aos resultados das medições da quantidade medida para as condições da medição. 3. Listar os componentes sistemáticos da incerteza associados com as correções e os erros sistemáticos não corrigidos tratados como incertezas. 4. Procurar trabalho experimental ou teoria anteriores como base para atribuir incertezas e distribuições de probabilidade para os componentes sistemáticos da incerteza. 5. Calcular a incerteza padrão para cada componente da incerteza, obtida da avaliação do Tipo B, usando a eq. (7) para distribuições assumidas retangulares: u( x i ) =
ai 3
(7)
ou eq. (8) para distribuições assumidas normal: u( x i ) =
incerteza expandida k
(8)
ou se referir a outras fontes se a distribuição de probabilidade assumida não é coberta nesta publicação. 6. Usar conhecimento anterior ou fazer medições experimentais e cálculos para determinar se há tendência de um componente aleatório de incerteza ser mais significativo que o efeito dos componentes sistemáticos listados da incerteza. 7. Fazer medições repetidas para obter a média, quando um componente aleatório de incerteza for significativo, usando a eq. (2): x=
1 n xk n k=1
∑
(2)
8. Calcular o desvio padrão do valor médio pelas eq. (4) e (5): s( x k ) =
1
n
∑ (x (n − 1) =
− x) 2
k
(4)
k 1
s(x ) =
s(x k ) n
(5)
ou se referir aos resultados de repetibilidade prévia de medições para uma boa estimativa de s(x k) baseada em um número grande leituras. 9. Verificar sempre a indicação do instrumento, no mínimo uma vez, para minimizar os erros de registro do operador, mesmo quando um componente aleatório da incerteza não seja significativo. 10. Derivar a incerteza padrão para a avaliação do Tipo A acima da eq. (6): u( xi ) = s(x)
(6)
11. Calcular a incerteza padrão combinada para quantidades de entrada não correlatas usando a eq. (9) se são usados os valores absolutos: u c ( y) =
N
∑=
ci2u2 ( xi )
≡
i 1
N
∑= u ( y) 2 i
(9)
i 1
onde ci é a derivada parcial ∂f / ∂x i , ou um coeficiente conhecido. Alternativamente, usar a eq. (10) se as incertezas padrão são valores relativos: uc ( y ) y
2
p u( x ) = ∑ i i i =1 x i N
(10)
onde pi são expoentes positivos ou negativos na relação funcional. 12. Usar a orientação do parágrafo 6.3. ou referir a outro documento referenciado, quando houver suspeita de correlação. 13. Calcular a incerteza expandida da eq. (11) U = kuc ( y)
(11)
ou, se existir uma contribuição aleatória avaliada de um pequeno número de leituras (ver Seção 7.3), usar o Apêndice A para calcular um valor para k p e usar este valor para calcular a incerteza expandida. 14. Reportar a incerteza expandida no valor da medição de acordo com os parágrafos 8.1, 8.2, 8.3 e 8.4.
11
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Exemplo G5: Calibração de um peso de valor nominal de 10 kg de OIML Classe M1. É assumido que o peso desconhecido, Wx, pode ser obtido da seguinte relação: Wx
= WS + DS + δC + Ab
Não é prática normal aplicar correção para esta classe de peso e o comparador não tem erro de linearidade mensurável, incertezas para estas contribuições tem sido estimadas, portanto: Desvio de massa padrão desde a última calibração = 0, Correção para empuxo do ar = 0, Correção de linearidade = 0, Fonte de incerteza
Limite
Distribuição
WS Calibração da massa padrão DS Desvio da massa padrão δC Comparador (linearidade) Ab Empuxo do ar
±30 mg ±15 mg ±10 mg +10 mg
normal retangular retangular retangular
Assim, u( x1 ) = u( WS ) =
30 = 15 mg 2
u( x 2 ) = u(DS ) =
15
u( x 3 ) = u(δC) =
10
u( x 4 ) = u( Ab) =
10
3
3
3
= 8,66 mg = 5,77 mg
s(W R ) =
s(WR ) n
=
25 3
= 14,4 mg
A incerteza padrão é obtida da eq. (6): u( x 5 ) = u( WR ) = s(WR ) = 14,4 mg
As unidades das incertezas padrão são as mesmas da medição, ou seja, mg e a relação funcional entre as quantidades de entrada e a medição é uma soma linear; portanto todos os coeficientes de sensitividade são unitários (c i = 1) Nenhuma das quantidades de entrada é considerada ser relacionada com qualquer outra de modo significativo; portanto a eq. (9) pode ser usada para calcular a incerteza padrão combinada: uc ( WX ) = 152 + 8,662 + 5,772
+ 5,772 + 14,42 = 23,98 mg
U = 2 × 23,9 8 mg = 47,96 mg
Desde que n > 2 e u(W R)/uc(WX) >0,5, não foi considerado usar o Apêndice A para determinar o valor para k p. De fato, o grau de liberdade efetivo de u c(WX) é aproximadamente 69 que dá um valor para k 95 - 2,04. O valor medido do peso de 10 kg é: 10 000,025 g ± 0,050 g A incerteza reportada é baseada em uma incerteza padrão multiplicada por um fator de cobertura de k = 2, que fornece um nível de confiança de aproximadamente 95%.
= 5,77 mg
Do conhecimento prévio do sistema de medição é sabido que há uma contribuição aleatório significativa. Três medições foram feitas da diferença entre o peso desconhecido e o peso padrão, das quais foi calculada a diferença média: WR =
0,015 + 0,025 + 0,020 = 0,020 mg 3
Uma avaliação do Tipo A prévia foi feita para determinar a repetibilidade da comparação usando o mesmo tipo de pesos de 10 kg. O desvio padrão foi determinado das 10 medições usando a técnica convencional e foi calculado pela eq. (4), resultando num valor de 25 mg. Como o número de leituras tomadas quando calibrando o peso desconhecido foi de 3, este é o valor de n que é usado para calcular o desvio padrão da média usando a eq. (5):
12
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
10. Símbolos Os símbolos usados foram tomados principalmente do Guide. O significado tem sido dado no texto, incluindo os apêndices, onde eles ocorrem, mas são repetidos aqui por conveniência de referência.
ai ad ci f
∂f / ∂xi k kp n N p s s(xk)
semi-faixa estimada do componente sistemático não correlato da incerteza, distribuições de probabilidade desconhecida, onde i = 1, 2, ..., N. um componente sistemático da incerteza que domina as outras contribuições para a incerteza em magnitude que deve ser dada consideração especial para sua presença no cálculo da incerteza total. coeficiente de sensitividade usada para multiplicar quantidades de entrada x i para expressálas em termos da quantidade de saída y relação funcional entre as estimativas da medição y e as estimativas de entrada xi das quais y depende derivada parcial com relação à quantidade de entrada xi da relação funcional f entre a medição e as quantidades de entrada fator de cobertura usado para calcular a incerteza expandida U fator de cobertura usado para calcular uma incerteza expandida para um nível especificado de confiança p onde uma distribuição de probabilidade normal não pode ser assumida número de leituras ou observações repetidas número de estimativas de entrada xi das quais a medição depende probabilidade ou nível de confiança expressa em termos de percentagem ou na forma normalizada de 0 a 1 desvio padrão experimental que estima o desvio padrão verdadeiro σ desvio padrão experimental de uma variável aleatória x determinada de n observações repetidas, quando n é um número relativamente pequeno
x
desvio padrão experimental da média aritmética ( x ) fator t do Student para νef graus de liberdade correspondendo a uma dada probabilidade p incerteza padrão da estimativa de entrada x i incerteza padrão combinada da estimativa da saída y incerteza expandida da estimativa da saída y que fornece um intervalo de confiança Y = y ± U graus de liberdade (geral) graus de liberdade da incerteza padrão u(x i) da estimativa de entrada xi graus de liberdades efetivos de u c(y) usados para obter t p(νef ) ko observação da quantidade aleatória x média aritmética de n observações repetidas x k da quantidade variável aleatória x
xi y
estimativa da quantidade de entrada X i estimativa da quantidade de saída, medição, Y
s( x )
tp(νef ) u(xi) uc(y) U
ν νi νef xk
13
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
11. Referências Bibliográficas
1. CIPM, (70o Meeting, 1981) [Recommendation 1 (C1-1981), publicada em Metrologia 18 (1982), p. 44 2. BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, Guide to the Expression of uncertainty in Measurement . International Organisation for Standardization, Geneva, Switzerland. ISBN 92-67-10188-9, 1 a. ed., 1993. 3. WECC Doc. 19: 1990, Guidelines for the expression of uncertainty of measurement in calibrations.
4. NIS 80, Guide to the Expression of Uncertainty in Testing , Ed. 1, Sep. 1994, NAMAS. 5. NIS 81, The Treatment of Uncertainty in EMC Measurements, Ed. 1, May 1994, NAMAS. 6. DIETRICH, C.F., Uncertainty, Calibration and Probability , London, Adam Hilger, Ed. 2, 1990. 7. WELCH, B.L., Biometrika, 1947, Vol. 34., p. 28 e ASPIN, A.A., Biometrika, 1949, Vol. 36, p. 290. 8. HARRIS, I. A. & WARNER, F.L., Re-examination of mismatch uncertainty when measuring microwave power and attenuation, IEEE Proc. Vol. 128, Pt H No 1, Feb. 1981. 9. WARNER, F. L., Microwave attenuation measurement , IEEE Monograph Series, Peter Peregrinus, 1977. 10. NIS 4303, Coaxial connectors in radio frequency and microwave measurement, Ed. 1, Dec. 1991, NAMAS 11. NIS 0416, Guidande on Weighing in NAMAS Accredited Laboratories, Ed. 1, Jun. 1990, NAMAS
14
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Apêndice A
Derivando um fator de cobertura para quantidades de entrada não confiáveis
Na maioria das situações de medição é possível avaliar as incertezas do Tipo B com alta confiabilidade, principalmente em laboratórios credenciados pelo NAMAS. Além disso, se o procedimento seguido para fazer as medições é bem estabelecido e as avaliações do Tipo B são obtidas de um número suficiente de observações, então o uso do fator de cobertura de k = 2 significa que a incerteza expandida, U, fornece um intervalo com um nível de confiança próximo de 95%. Porém, em alguns casos pode não ser prático basear a avaliação do Tipo A em um grande número de leituras, que resultaria no nível de confiança sendo muito menor que 95%, se fosse usado um fator de cobertura de k = 2. Nestas situações, o valor de k, ou mais estritamente kp, onde p é a probabilidade de confiança em termos de percentagem, p. ex., 95, seria baseado em uma distribuição t em vez de uma distribuição normal. Este valor de kp dá uma incerteza expandida, Up, que mantém o nível de confiança próximo do nível requerido p. Para se obter o valor de k p é necessário estimar o grau de liberdade efetivo, νef , da incerteza padrão combinada u c(y). O Guide recomenda que a equação de WelchSatterwaite seja usada para calcular um valor para νef baseado nos graus de liberdade, νi, das contribuições individuais da incerteza u i(y); portanto:
ν ef =
u 4c ( y) N
∑= i 1
ui4 ( y)
−2
νi ≅
1 ∆ui ( y) 2 u i ( y)
A(2)
Geralmente é possível tomar o número de grau de liberdade νi de uma contribuição do Tipo B como infinito. Nestes casos o grau de liberdade efetivo de u c(y) depende dos graus de liberdade das contribuições do Tipo A e seu tamanho em relação às contribuições do Tipo B. Tendo obtido o valor para νef , usa-se a tabela de distribuição t para encontrar o valor de tp(ν). A tabela seguinte dá alguns valores para t95(ν), ou seja, aqueles apropriados para um nível de confiança de 95%(*). Valores para outros níveis de confiança podem ser encontrados no Guide. Normalmente, νef é um número inteiro e é necessário interpolar entre os valores dados na tabela. A interpolação linear é suficiente para νef > 3; interpolação de ordem maior deve ser usada nos outros casos. Alternativamente, pode-se usar o valor menor mais próximo. O valor obtido para t 95(ν) é o valor de k95 requerido para calcular a incerteza expandida U95, de U95
= k 95u c ( y)
A(3)
A(1)
νi
Os graus de liberdade, νi, para as contribuições obtidas de avaliações do Tipo B são n - 1, ou seja, o número de leituras usadas para avaliar x i menos 1. Para as contribuições do Tipo B, o grau de liberdade precisa se estimado da informação ou conhecimento disponíveis da confiabilidade da estimativa da incerteza padrão. O Guide recomenda que o grau de liberdade para as contribuições do Tipo B seja obtida da incerteza relativa ∆ui(y)/ui(y) de ui(y). Um valor para a incerteza relativa é obtido, subjetivamente, do julgamento científico baseado em várias informações disponíveis. Assim, para contribuições do Tipo B:
* Um fator de cobertura de k = 2 realmente corresponde a um nível de confiança de 95,45% para uma distribuição normal. Por conveniência, isto é aproximado para 95%, que corresponde a um fator de cobertura de k = 1,96. Porém, a diferença não é significativa desde que, na prática, o nível de confiança é baseado em hipóteses conservativas e em aproximações para distribuições de probabilidade verdadeiras. Os valores dados na tabela são para um nível de confiança de 95,45%.
15
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
1 νef t95(n) 13,97
2 4,53
3 3,31
4 2,87
5 2,65
6 2,52
7 2,43
8 2,37
10 2,28
12 2,23
14 2,20
16 2,17
18 νef t95(n) 2,15
20 2,13
25 2,11
30 2,09
35 2,07
40 2,06
45 2,06
50 2,05
60 2,04
80 2,03
100 2,02
∞ 2,00
Exemplo
Seja a avaliação do Tipo A de um sistema de medição baseada em 4 observações, que dá um valor de ui(y) de 3,5 unidades e havendo 5 outras contribuições todas baseadas em avaliação do Tipo B para as quais se assumem uma incerteza estimada muito pequena e uma incerteza padrão combinada, u c(y) igual a 5,7 unidades. Então, da eq. A(1):
ν ef =
5,74 3,54 + 0 + 0+ 0+ 0+ 0 4−1
, = 211
Da tabela, obtém-se o valor de νef igual a 20, que é o imediatamente menor que 21,1 e que corresponde a t 95(ν) igual a 2,13 e este é o valor de kp que deve ser usado para calcular a incerteza expandida. O critério para determinar se é necessário usar este Apêndice A se baseia nos fatos; (a) s( x )/uc(y) < 0,5 (b) n > 2 (c) todas as outras contribuições são assumidas com graus de liberdade infinito então νef ≥ 30, dando um valor para k p < 2,09, que pode ser aproximado para k = 2.
16
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Apêndice B
Componente de incerteza sistemática dominante
Em alguns processos de medição pode haver um componente da incerteza derivado de avaliação do Tipo B que seja dominante quando comparado com outros componentes. Quando o componente dominante é caracterizado por limites para os quais há uma alta probabilidade de ocorrência, uma incerteza expandida calculada, U, usando o fator de cobertura de k = 2, pode ser maior do que a soma aritmética das semi-faixas de todos os valores individuais limitantes. Quando se pode assumir a soma aritmética destas contribuições em um ótimo nível de confiança, ou seja, próximo de 100%, há um grau de pessimismo em seguir o procedimento normal recomendado pelas eq. (9) e (10). Consequentemente, deve se dar consideração especial para a situação em que o componente sistemático total calculado da incerteza deixa de satisfazer o critério: U≤
onde U’ é calculada das contribuições remanescentes, usando as eq. (9), (10) e (11). Quando há uma contribuição dominante com uma distribuição teórica em forma de U ou assumida retangular, a obtenção de um intervalo de confiança com probabilidade associada envolve a convolução das distribuições de probabilidade. Como isto não seria apropriado para ser apresentado nesta publicação, um nível de confiança de 95%, baseado em um fator de cobertura de k = 2 pode somente ser aplicado para calcular um valor para o termo U’ em B(2). Nestas circunstâncias especiais, a declaração da confiança dada no parágrafo 8.1 é substituída por: A incerteza cotada é dominada pela incerteza devida à resolução do instrumento sendo calibrado para o qual foi assumido uma distribuição de probabilidade retangular.
∑ (semi - faixa dos valores limites individuais)
B1 Deve ser enfatizado que esta consideração especial é somente requerida quando puder ser realisticamente estabelecido que há limites para a faixa de variações no valor de uma medição para cada quantidade de influência individual. Em muitos casos, o critério da eq. B(1) é satisfeito, mas, por exemplo, quando se fazem medições elétricas de rf e microondas, o descasamento pode ser uma contribuição dominante. Por causa de a distribuição de probabilidade ter um formato de U (ver Apêndice C) a incerteza padrão é de
ai 3
ai 2
em vez
para uma distribuição retangular da
mesma semi-faixa limite a i. A incerteza padrão aumentada torna isso menos provável que o critério da eq. B(1) seja satisfeito. Quando o critério não é satisfeito, então a contribuição dominante, ad, deve ser extraída e um novo valor da incerteza expandida calculada como segue: U = ad + U' 17
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Apêndice C
Algumas fontes de erro e incerteza nas calibrações elétricas
A seguir, tem-se uma lista das fontes mais comuns de erro sistemático e incerteza (após correção) com breves comentários acerca de sua natureza. Além disso, tem-se recomendações mais detalhadas em outras publicações do NAMAS, IEEE e outras fontes. Calibração do instrumento
As incertezas atribuídas aos valores em um certificado NAMAS para a calibração de um instrumento, se equipamento de medição ou padrão de referência, são certificadas por uma assinatura aprovada NAMAS como sendo corretas naquele momento e sob as condições de calibração. Os valores podem ser usados para estabelecer conformidade ou nãoconformidade com a especificação ou para corrigir indicações ou registros de instrumentos. Estabilidade secular
Espera-se que o desempenho de todo instrumento se altere em alguma extensão, com a passagem do tempo. Equipamentos passivos como resistores padrão ou atenuadores de microondas e rf podem se alterar lentamente ao longo do tempo. Uma estimativa de tal desvio deve ser atribuída, com base nos valores obtidos de calibrações anteriores. Não se pode assumir que o desvio seja linear. Os dados precisam ser mostrados em uma forma gráfica e deve ser seguido um procedimento de adequação à uma curva que dê um peso progressivamente maior para cada calibração mais recente para permitir o estabelecimento do valor mais provável com o tempo de uso. Sempre que se faz uma nova calibração, a característica do desvio deve ser atualizada. As correções que são aplicados para o desvio são sujeitas à incerteza baseada no espalhamento dos pontos de dados em torno da característica do desvio. O tamanho do desvio, a instabilidade aleatório de um instrumento e a exatidão requerida determinam a periodicidade da calibração. Com equipamentos eletrônicos complexos normalmente não é possível seguir este procedimento quando as alterações no desempenho podem ser esperadas serem mais aleatórias em natureza durante períodos relativamente longos. Verificações contra padrões passivos podem estabelecer se está sendo mantida a conformidade com a especificação ou se é necessária uma
calibração com equipamento.
subsequente
ajuste
do
Condições da medição ou serviço
Se o ambiente da medição do laboratório é diferente do requerido pela calibração, então deve-se tomar a devida providência para eliminar qualquer condição de influência que possa afetar os resultados da medição e possivelmente determinar a necessidade de recalibração. A temperatura ambiente é geralmente a influência mais importante e a consulta do coeficiente de temperatura das resistências padrão tem de ser feita ou determinada. Variações na umidade relativa também afetam os valores de capacitores e indutores não selados. Em freqüências muito altas, a temperatura ambiente pode afetar o desempenho de atenuadores, padrões de impedância que dependem das dimensões mecânicas para seus valores e componentes de precisão. Dispositivos que incorporam compensação de temperatura, como sensores de potência, podem ser afetados pelas variações rápidas que podem ser introduzidas pela manipulação, exposição de luz solar ou abertura de portas. É também necessário tomar cuidado dos efeitos possíveis das condições elétricas de operação, tais como potência dissipada, distorção harmônica ou nível de voltagem aplicada, sendo diferente quando um equipamento está em uso de quando ele está sendo calibrado. Padrões de resistência, divisores de voltagem resistivos e atenuadores em qualquer freqüência são exemplos de dispositivos sendo afetados pelo auto aquecimento e da voltagem aplicada. Interpolação dos dados de calibração
Quando um instrumento com uma larga faixa de capacidade de medição é calibrado, há fatores práticos e econômicos que limitam o número de pontos de calibração. Consequentemente, o valor da quantidade medida e sua freqüência podem ser diferente de qualquer um dos pontos de calibração. Quando o valor da quantidade cai entre dois valores de calibração, é preciso considerar os erros sistemáticos que, por exemplo, resultam da não linearidade da escala. Se a freqüência da medição cai dentro de duas freqüências de calibração, é também necessário estabelecer a incerteza adicional devida a interpolação que isto pode introduzir. Pode-se proceder com confiança se:
18
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição (a) a teoria da operação do instrumento é conhecida e da qual se pode prever uma característica de freqüência ou há dados da freqüência adicional de outros modelos do mesmo instrumento. e sempre que razoável (b) o desempenho do instrumento real sendo usado tem sido explorado com um sistema de medição de freqüência varrida para verificar a ausência de efeitos de ressonância ou aberrações de desempenho devidas a imperfeições de fabricação Resolução
O limite da habilidade de um instrumento responder a pequenas variações na quantidade sendo medida, chamado de resolução, é tratado como um componente sistemático da incerteza. Em um instrumento digital é ±½ do algarismo menos significativo para o qual o instrumento responde na faixa em uso. Em um instrumento analógico, é determinada pela habilidade prática de se ler a posição do ponteiro na escala. A presença de ruído elétrico causando flutuações nas leituras do instrumento determinam usualmente a resolução usável.
carregar o circuito no qual eles estão ligados, causando erros sistemáticos significativos. Pode-se fazer correções, desde que as impedâncias sejam conhecidas. A impedância e o comprimento elétrico finito dos fios ou cabos de ligação podem também provocar erros sistemáticos nas medições de voltagem em qualquer freqüência. Conexões com 4 terminais minimizam tais erros em algumas medições de cc. Para medições de capacitância, a propriedade indutiva dos fios de ligação pode ser importante, principalmente em altos valores de capacitância ou de freqüência. Erros e incerteza de descasamento de RF
Em freqüências muito elevadas, como em microondas, o descasamento entre a impedância característica da linha de transmissão e a dos componentes do sistema de medição pode ser uma das fontes mais importantes e o componente sistemático da incerteza nas medições de potência e atenuação, desde que as fases dos coeficientes de reflexão de voltagem não são geralmente conhecidas.
Arranjo dos equipamentos O lay out físico de um item de equipamento
com relação a outro e as relações destes itens com o plano de terra podem ser importantes em algumas medições. Assim, um arranjo diferente entre calibração e o uso subsequente de um instrumento pode ser a fonte de erros sistemáticos. Os efeitos principais são: correntes de vazamento para terra, correntes de malha de interferência e campos eletromagnéticos espúrios. Na medição de indutância, é necessário definir a configuração dos fios de ligação e conhecer os efeitos possíveis de um plano de terra ou material ferromagnético adjacente. Força eletromotriz termal
Forças eletromotrizes são geradas nas junções de materiais diferentes, quando há diferença de temperatura entre as junções e elas são significativas em medições de corrente contínua quando se tem baixas voltagens. Em medições de transferência de voltagem ca/cc, a polaridade da fonte cc é invertida e toma-se a média aritmética de dois conjuntos de medições cc. Geralmente, dá-se uma tolerância para o componente sistemático da incerteza resultante da presença das fems termais. Impedância de carga e fiação
A impedância finita de entrada de voltímetros, osciloscópios e outros instrumentos a base de voltagem pode 19
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Apêndice D
Algumas fontes de erro e incerteza nas calibrações de massa
A seguir, tem-se uma lista das fontes mais comuns de erros sistemáticos e incertezas na calibração de massa, com breve comentários acerca de sua natureza. Eles podem não ser todos significativos em todos os níveis de medição mas seu efeito deve ser, no mínimo, considerado quando estimando a incerteza total de uma medição. D1. Calibração do peso de referência
Os pesos de referência tem incertezas estabelecidas no certificado de calibração emitido por laboratório credenciado ou aceitável pelo NAMAS. D2. Estabilidade de pesos de referencia
É também necessário levar em conta a variação provável na massa dos pesos de referência desde sua última calibração. Esta variação pode ser estimada dos resultados de sucessivas calibrações dos pesos de referência. Se tal histórico não é disponível, então é usual assumir que eles podem variar em massa por um valor igual à sua incerteza de calibração entre calibrações. A estabilidade dos pesos pode ser afetada pelo material e qualidade de fabricação, acabamento da superfície, materiais de ajuste instável, desgaste e estrago físicos e contaminação atmosférica. O número adotado para a estabilidade necessita ser reconsiderado se o uso ou o ambiente dos pesos varia. A periodicidade de calibração dos pesos de referência precisa ser baseada na estabilidade dos pesos. D3. Processo e máquina de pesagem
O desempenho da máquina de pesagem usada para a calibração deve ser calculado para determinar a contribuição que a máquina faz à incerteza total do processo de pesagem. O cálculo do desempenho precisa cobrir os atributos da máquina de pesagem que são significativos para o processo de pesagem. Por exemplo, o erro do comprimento do braço (assumindo que seja constante) de uma balança com braços iguais não precisa ser determinado se o processo de pesagem usa apenas técnica de substituição (método de Borda). O cálculo precisa incluir algum dos ou todos seguintes itens:
(a) repetibilidade da medição; (b) linearidade dentro da faixa usada; (c) tamanho do dígito ou valor do peso por divisão de escala, ou seja, facilidade de leitura (readability); (d) excentricidade (peso fora do centro), especialmente se os grupos de pesos são colocados simultaneamente no prato de pesagem; efeitos magnéticos, como pesos magnéticos ou efeito dos motores da balança de força sobre pesos de ferro fundido; (e) efeitos da temperatura, p. ex., diferenças entre a temperatura dos pesos e da máquina de pesar; (f) erro do comprimento do braço (Orientação para este cálculo pode ser encontrado na publicação NAMAS NIS 0416 [11] . D4. Efeitos do deslocamento do ar
A exatidão com que as correções do deslocamento do ar podem ser feitas depende de como a densidade dos pesos é conhecida e como a densidade do ar pode ser determinada. A densidade dos pesos pode ser determinada por alguns laboratórios, mas para a maioria das aplicações de massa, são usados números. A densidade do ar é usualmente calculada de uma equação (ver NIS 0416) depois da medição da temperatura, pressão e umidade do ar. Para os mais altos níveis de precisão, pode também ser necessário medir o conteúdo de monóxido de carbono no ar. D5. Ambiente
Além dos efeitos do deslocamento do ar, o ambiente em que se faz a calibração da massa pode introduzir incertezas. Os gradientes de temperatura podem provocar correntes de convecção no caso de balança, que afeta a leitura, bem como gotas de condicionadores de ar. Variações rápidas no nível de umidade no laboratório podem provocar variações de curta duração nas massas dos pesos, enquanto baixo nível de umidade pode introduzir efeitos de eletricidade estática em alguns comparadores. A contaminação de pó também introduz erros na calibração. O movimento dos pesos durante a calibração causa distúrbios ao ambiente local.
20
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Apêndice E
Algumas fontes de erro e incerteza nas calibrações de temperatura
As fontes mais comuns de erros sistemáticos e incerteza (após correção) estão listadas abaixo. Cada fonte pode ter vários componentes da incerteza. 1. A incerteza atribuída ao termômetro de referência da calibração. Esta incerteza pode estar reportada no certificado de calibração. 2. A incerteza atribuída à calibração de qualquer instrumento elétrico ou de outro tipo usado nas medições, por exemplo, resistores padrão, multímetro digital, termopares padrão. 3. Incertezas adicionais na medição da temperatura usando os termômetros de referência: (a) desvio desde a última calibração dos instrumentos em 1 e 2, (b) resolução da leitura; ela pode ser muito significativa no caso de termômetro de líquido em vidro ou termômetro digital, (c) instabilidade e gradientes de temperatura no ambiente termal, p. ex., banho ou forno de calibração e devem incluir qualquer contribuição devida à diferença na imersão do padrão de referência e daquela estabelecida em seu certificado de calibração, (d) quando se usa termômetro com resistência de platina como padrão de referência, qualquer contribuição à incerteza devida aos efeitos de auto aquecimento deve ser considerada. Isto se aplica principalmente se a medição corrente e as condições são diferente das usadas na calibração original, p. ex., no ar ou em líquido agitado. 4. As contribuições associadas com o termômetro a ser calibrado. Isto pode incluir os fatores elétricos do item 2 acima ou algum dos componentes listados em 3. Quando se calibram termopares, qualquer incerteza introduzida pelos fios de compensação e pela junta de compensação deve ser considerada. Do mesmo modo, qualquer fem introduzida por chaves ou unidades de varredura deve ser investigada. Quando se calibram termômetros de líquido em vidro com imersão parcial, deve ser considerado um fator de incerteza adicional que inclua os efeitos produzidos de diferenças no comprimento de imersão,
mesmo quando a temperatura da coluna emergente é medida. 5. Deve ser avaliada a incerteza causada pela interpretação matemática, p. ex., aplicação de correções ou desvios na escala ou no levantamento de curvas, por causa das não linearidades, a partir da consulta das tabelas de referência.
21
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Apêndice F
Algumas fontes de erro e incerteza nas calibrações de dimensão
As fontes mais comuns de erros sistemáticos e incerteza nas medições de dimensão estão listadas abaixo. 1. Instrumentação e padrões de referência
As incertezas atribuídas aos padrões de referência e as dos instrumentos de medição usados para fazer as medições. 2. Efeitos termais
As incertezas associadas com diferenças em temperatura entre o indicador sendo calibrado e os padrões de referência e os instrumentos de medição usados. Isto é mais importante nos comprimentos maiores e nos casos envolvendo materiais diferentes. Enquanto se pode fazer correções para os efeitos da temperatura, há incertezas residuais resultantes da incerteza nos valores usados para os coeficientes de expansão e a calibração do termômetro em si.
5. Erros geométricos
Erros na geometria do dispositivo sendo calibrado, qualquer padrão de referência usado ou características críticas dos instrumentos de medição usados para fazer as medições podem introduzir incertezas adicionais. Tipicamente, estão incluídos pequenos erros na planicidade ou esfericidade das pontas do estilo, planicidade, paralelismo ou quadratura de superfícies usadas como características de base e o estreitamento nos dispositivos cilíndricos e padrões de referência. Tais erros são geralmente maiores em casos onde se fez a hipótese errada de assumir geometrias perfeitas e onde os métodos de medição escolhidos não capturam, suprimem ou acomodam os erros de geometria que prevalecem em um caso particular.
3. Compressão elástica
As incertezas associadas com as diferenças na compressão elástica entre os materiais dos dispositivos sendo calibrados e dos padrões de referência. Estas são provavelmente as mais significativas em calibrações de alta precisão e em casos envolvendo materiais diferentes e estão relacionadas com a força usada na medição e o tipo do contato do estilo com o dispositivo e o padrão de referência. Embora se possa fazer correções matemáticas, há incertezas residuais resultantes da força de medição e das propriedades dos materiais envolvidos. 4. Erros de cosseno
Qualquer desalinhamento do dispositivo sendo calibrado ou padrões de referência usados, com relação ao eixo de medição introduz erros nas medições. Tais erros são geralmente referidos como erros de cosseno e podem ser minimizados pelo ajuste da atitude do dispositivo com relação ao eixo da medição para encontrar os pontos de apoio relevantes que dão o resultado máximo ou mínimo apropriado. Pequenos erros residuais podem ainda resultar onde, por exemplo, são feitas hipóteses incorretas relacionadas com qualquer característica usada para o alinhamento da base (datum).
22
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Apêndice G
Exemplos de aplicação
As contribuições e valores dados nos seguintes exemplos não pretendem implicar em exigências obrigatórias ou preferidas. Os laboratórios devem determinar as contribuições da incerteza para a calibração particular que eles estão fazendo e reportar a incerteza estimada no certificado de calibração que é emitido. G1. Calibração de um resistor de 10 k Ω por intercomparação de voltagem
Um voltímetro digital com grande precisão é usado para medir a voltagem desenvolvida através de um resistor padrão e um resistor desconhecido do mesmo valor nominal que o padrão, quando os resistores ligados em série são alimentados por uma fonte de corrente constante. O valor do resistor desconhecido, RX, é dado por: RX
= (R S + RD + R T )
VX VS
onde RS = valor de calibração do resistor padrão, RD = desvio em RS desde a última calibração, RT = variação relativa devido à temperatura do banho de óleo, VX = voltagem através de RX VS = voltagem através de RS
na relação VX/VS em ppm. As leituras foram as seguintes: +10,4 +10,7 +10,6 +10,3 +10,5 Da eq. (2), tem-se o valor médio: V = +10, 5 ppm
Da eq. (4) e (5), u( V) = s(V) =
0158 , 5
= 0,0706 ppm
Resultado reportado
O valor medido do resistor de 10 k Ω é: 10 000,11 Ω ± 0,03 Ω A incerteza reportada é baseada em uma incerteza padrão multiplicada por um fator de cobertura de k = 2 que fornece um nível de confiança de aproximadamente 95%. Nota: Este exemplo ilustra que mesmo quando o componente aleatório da incerteza é observável, ele pode não ser significativo.
O certificado de calibração para o resistor padrão reporta uma incerteza de ±1,5 ppm a um nível de confiança não menor que 95% (k = 2). Uma correção foi feita para o desvio estimado no valor de RS. A incerteza nesta correção, RD, foi estimada ter limites de ±2,0 ppm. A diferença relativa na resistência devida às variações de temperatura no banho de óleo foi estimada ter limites de ±0,5 ppm. O mesmo voltímetro é usado para medir V X e VS e embora as contribuições de incerteza sejam relacionadas o efeito é reduzir a incerteza e é somente necessário considerar a diferença relativa nas leituras do voltímetro devida à instabilidade e resolução que foi estimada ter limites de ±0,2 ppm para cada leitura. Avaliação do Tipo A: 5 medições foram feitas para registrar o afastamento da unidade 23
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
Balanço das incertezas
Símbolo
Fonte de incerteza
valor (ppm
Distribuição probabilidade
Divisor
ci
ui(RX) (ppm
νi ou νef
RS
1,5
normal
2,0
1,0
0,75
∞
2,0
retangular
3
1,0
1,155
∞
0,5
retangular
3
1,0
0,289
∞
VS
Calibração do resistor padrão Desvio não corrigido desde a última calibração Efeito da temperatura do banho de óleo Voltímetro através de RS
0,2
retangular
3
1,0
0,115
∞
VX
Voltímetro através de RX
0,2
retangular
3
1,0
0,115
∞
V
Repetibilidade
0,071
normal
1,0
1,0
0,071
4
uc(RX) U
Incerteza combinada Incerteza expandida
1,418 2,836
>500 >500
RD RT
G2. Calibração de um Invólucro de Célula Padrão
A medição envolve a calibração de um invólucro de célula padrão interna no laboratório contra um invólucro padrão de transferência que foi calibrado por um laboratório credenciado pelo laboratório nacional. O invólucro da célula padrão interna é então usada como padrão de calibração para invólucros desconhecidos do usuário. A voltagem da célula padrão desconhecida, VX, é obtida do seguinte: VX = VTS + D H + T TS + TH + TX + RH + RX + EH + EX onde VTS = calibração do padrão de transferência DH = desvio na célula interna TTS = estabilidade da temperatura do invólucro padrão de transferência TH = estabilidade da temperatura do invólucro padrão interno TX = estabilidade da temperatura do invólucro desconhecido RH = resolução do detetor na calibração do padrão interno RX = resolução do detetor na calibração do desconhecido EH = fem termal na calibração do padrão interno EX = fem termal na calibração do desconhecido
normal normal (k = 2)
Todos os valores limitantes associados com os acima são em termos de µV com a exceção dos valores da estabilidade de temperatura que são convertidos de mK para mV (1 mK é equivalente a 0,06 µV). O certificado de calibração para o invólucro da célula padrão de transferência dá a incerteza de (±0,5 µV) em um nível de confiança de 95% (k = 2). Os limites para o desvio na valor do padrão interno (±0,1 µV) é o desvio residual após correções baseada nos dados históricos de calibração. Uma avaliação do Tipo A da calibração do invólucro de célula padrão interna e a calibração de um invólucro típico desconhecido dá um desvio padrão de menos que 0,01 µV que foi considerado ser uma contribuição desprezível para a incerteza combinada. É conveniente calcular a incerteza no valor do Volt interno, U(VH) como um número separado. Resultado reportado
Uma tabela de resultados para as células individuais do invólucro acompanhado pela declaração: Incerteza dos valores medidos = ±0,6 µV A incerteza reportada é baseada em uma incerteza padrão multiplicada por um fator de cobertura de k = 2, que fornece um nível de confiança de aproximadamente 95%.
24
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição G5. Calibração de um peso de valor nominal de 10 kg de OIML Classe M1
A calibração é feita usando-se um comparador de massa cujas características de desempenho foram previamente determinadas e um peso OIML Classe F2. O peso desconhecido, WX, é obtido de:
No
peso no prato padrão desconhecido padrão desconhecido padrão desconhecido padrão
1 2 3
WX = WS + DS +δC + Ab onde WS = peso do padrão DS = desvio do padrão desde a última calibração δC = diferença nas leituras do comparador Ab = correção para o deslocamento do ar 1. O certificado de calibração para a massa padrão dá uma incerteza de ±30 mg, com nível de confiança de 95%. 2. O desvio da massa padrão foi estimado de calibrações anteriores como sendo zero com limites de ±15 mg. 3. Uma avaliação prévia do Tipo A da repetibilidade do processo de medição, com 10 leituras, deu um desvio padrão, s(WR), de 25 mg. 4. Nenhuma correção é feita para o deslocamento do ar, os limites de incerteza foram estimados com sendo de 1 ppm do valor nominal de 10 mg. 5. Três resultados foram obtidos para o peso conhecido, usando a técnica convencional de tirar a média de duas leituras (bracketing ) para o padrão. Os resultados foram os seguintes:
leitura (g) +0,01 +0,03 +0,02 +0,04 +0,01 +0,03 +0,01
diferença média
comparador
+0,02 g
peso do padrão 10 000,005 g resultado calibração 10 000,025 g 6. Como o número de leituras tomadas do peso desconhecido foi de 3, este é o valor de n que é usado para calcular o desvio padrão da média: s(W R ) =
s(WR ) n
=
25 3
= 14,4 mg
Resultado reportado
O valor medido do peso de 10 kg é: 10 000,025 g ± 0,050 g A incerteza reportada é baseada em uma incerteza padrão multiplicada por um fator de cobertura de k = 2, que fornece um nível de confiança de aproximadamente 95%.
Balanço da Incerteza
Símbolo
Fonte de incerteza
valor (ppm
Distribuição probabilidade
Divisor
ci
ui(WX) ±mg
νi ou νef
WS DS
Calibração do peso padrão Desvio não corrigido desde a última calibração Linearidade do comparador
30,0 15,0
normal retangular
2,0 3
1,0 1,0
15,0 8,66
∞ ∞
10,0
retangular
3
1,0
5,77
∞
10,0
retangular
3
1,0
5,77
∞
14,4
normal
1,0
1,0
14,4
9
23,96 47,92
69 69
δC Ab WR
Deslocamento do ar (valor nominal de 1 ppm) Repetibilidade
uc(WX) U
Incerteza combinada Incerteza expandida
normal normal (k = 2)
25
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
G6. Calibração de um bloco padrão de comprimento nominal de 10 mm
A calibração é feita usando-se um comparador com referência a um bloco gauge de grau K.. O comprimento do bloco gauge desconhecido, LX, é obtido de: LX = LS + DC+ δΕ + δC + δL onde LS = comprimento do bloco gauge padrão DC = discriminação e linearidade do comparador δL = diferença nas comprimentos medidos δE = correções para diferença no coeficiente de expansão δC= correções para diferença no coeficiente de compressão 1. Nenhuma correção é feita por causa da discriminação e linearidade do comparador (D C = 0). Os limites (±0,057 mm) foram conseguidos de medições anteriores. 2. A diferença na temperatura entre o bloco padrão e o bloco desconhecido foi estimada ser zero com uma incerteza de ±0,5 oC; este valor foi usado para caluclar a incerteza em δC e δE, da relação: 0,02mm/o C. A temperatura é controlada entre os limites e se considera que tenha uma distribuição retangular. 3. As seguintes leituras foram obtidas para o bloco gauge desconhecido, o comparador sendo reajustado usando o bloco gauge K antes de cada leitura:
No 1 2 3 4 5 6
resultado mm 9,999 91 9,999 93 9,999 94 9,999 94 9,999 91 9,999 91
No 7 8 9 10 11
resultado mm 9,999 92 9,999 94 9,999 90 9,999 92 9,999 90
Da eq. (2), o valor médio L X = 9,999 923 mm Da eq. (4) e (5): u(L X ) = s(L X ) =
0,0162 11
= 0,005µm
Resultado reportado
O valor medido do comprimento do bloco gauge: 9,999 923 mm ± 0,077 µm A incerteza reportada é baseada em uma incerteza padrão multiplicada por um fator de cobertura de k = 2, que fornece um nível de confiança de aproximadamente 95%. Nota: Este valor de incerteza compara com as incertezas do grau C aceitas pelo NAMAS de ±0,08 mm para gauges deste tamanho e em linha com a incerteza da medição de ±0,08 mm, com dado na Tab. 1 da norma BS 4311: 1993.
Balanço da Incerteza
Símbolo
Fonte de incerteza
valor ±
Distribuição probabilidade
Divisor
ci
ui(LX) ±µm
νi ou νef
LS
0,035 µm
normal
2,0
1,0
0,0175
∞
0,057 µm
retangular
3
1,0
0,033
∞
0,05 oC
retangular
3
0,02
0,006
∞
0,05 oC
retangular
3
0,02
0,006
∞
LX
Calibração do bloco de grau K Discriminação e linearidade do comparador Diferença no coeficiente de expansão Diferença no coeficiente de compressão Repetibilidade
0,005 µm
normal
1,0
0,005
10
uc(LX) U
Incerteza combinada Incerteza expandida
0,0385 0,007
>500 >500
DC
δΕ δC
normal normal (k = 2)
1,0
26
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
G7. Calibração de um bloco de teste de dureza Rockwell
A calibração é baseada na exigência da norma BS 891: 1989 sobre teste de Dureza, através do método Rockwell e para a verificação de máquinas de teste de dureza. As unidades são para a escala C da dureza Rockwell 9HRC0. O comprimento da amostra, H X, é obtido de:
2. As indentações foram feitas e medidas com os seguintes resultados: No 1 2 3 4 5
HRC 45,4 45,5 45,4 45,3 45,5
No 6 7 8 9 10
HRC 45,3 45,4 45,4 45,4 45,4
Da eq. (2), o valor médio H X = 45,4 HRC
HX = IC + DM + SM onde IC = calibração do indenter DM = medição da profundidade SM = máquina de padrão secundário 1. A incerteza da calibração indenter é em termos de HRC (±0,3 HRC). A medição da profundidade e sua incerteza são convertidas diretamente em unidades HRC (±0,1 HRC). A máquina de medição de dureza é verificada por comparação com uma máquina padrão nacional usando uma faixa de blocos de teste. A incerteza nesta verificação é em unidades HRC (±0,5 HRC). Todas estas contribuições são tratadas como tendo distribuições de probabilidade retangular.
Da eq. (4) e (5), tem-se: u(H X ) = s(H X ) =
0,073 10
= 0,023HRC
Resultado reportado
O valor medido dureza da amostra é: 45,4 HRC ± 0,68 HRC A incerteza reportada é baseada em uma incerteza padrão multiplicada por um fator de cobertura de k = 2, que fornece um nível de confiança de aproximadamente 95%.
Balanço da Incerteza
Símbolo
Fonte de incerteza
valor ±HRC
Distribuição probabilidade
IC
Calibração do indenter
0,3
retangular
DM
Medição da profundidade
0,1
SΜ HX
Máquina padrão secundário Repetibilidade
uc(HX) U
Incerteza combinada Incerteza expandida
ci
ui(HX) ±HRC
νi ou νef
3
1,0
0,17
∞
retangular
3
1,0
0,06
∞
0,5
retangular
3
0,02
0,29
∞
0,023
normal
1,0
0,023
9
0,34 0,68
>500 >500
normal normal (k = 2)
Divisor
1,0
27
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição
G8. Calibração de um termopar tipo N
Um termopar do tipo N é calibrado contra dois termopares padrão de referência do tipo R em um forno horizontal, à temperatura de 1000 oC. As medições são feitas usando se um voltímetro digital e os termopares são ligados ao voltímetro através de uma chave seletora/inversora. Todos os termopares são ligados a um ponto de referência de 0 oC. O termopar sob teste (Tipo N) é ligado ao ponto de referência através de cabos de compensação. Os termopares tipo R são fornecidos com certificados de calibração que relacionam a fem de saída com a temperatura e cada um tem a incerteza estabelecida como ±0,3 oC com um nível de confiança de 95%. Nenhuma correção é feita para desvio desde a última calibração mas foi estimada uma incerteza de ±0,3 oC das calibrações anteriores. O resultado reportado será a fem de saída do termopar sob teste para uma temperatura determinada. Porém, como os termopares sob teste e de referência têm sensitividades diferentes, a incerteza é calculada em termos de temperatura ( oC) e então a incerteza expandida será convertida para a incerteza da fem de saída. A seqüência de medições é a seguinte: 1. primeiro padrão 2. termopar sob teste 3. segundo padrão 4. segundo padrão 5. termopar sob teste 6. primeiro padrão A polaridade é então invertida e a seqüência é repetida. São obtidas 4 leituras para todos os termopares. Os resultados são os seguintes.
o
o
Termopar
1 termopar padrão
Termopar sob teste
2 termopar padrão
Voltagem, após qualquer correção para a calibração do voltímetro digital
+10 500 µV +10 503 µV -10 503 µV -10 504 µV 10 502,5 µV 1,73 µV
+36 245 µV +36 248 µV -36 248 µV -36 251 µV 36 248 µV 2,45 µV
+10 500 µV +10 500 µV -10 500 µV -10 500 µV 10 504 µV 1,15 µV
13,0 µV/oC 0,13 oC 1000,4 oC
38,6 µV/oC 0,064 oC
13,0 µV/oC 0,09 oC 1000,6 oC
Média dos valores absolutos Desvio padrão das saídas dos termopares Sensitividade dos termopares (nota 1) Desvio padrão em temperatura s(T) Temperatura do forno (nota 2) Temperatura média do forno
1000,5 oC
Nota 1: A sensitividade dos termopares de teste e padrão em 1000 oC é obtida de tabelas de referência padrão. O recíproco da sensitividade do termopar é o valor de c i é usado para converter a incerteza da fem dos termopares em µV para a incerteza da temperatura em oC. Nota 2: A temperatura quando medida por cada um dos termopares padrão é calcular de seus certificados de calibração individuais. Neste exemplo, é assumido que os procedimentos requeiram que a diferença entre estes dois valores não exceda 0,3 oC. Quando a diferença exceder 0,3 oC, então a medição deve ser repetida e a razão da diferença é investigada. O maior dos dois desvios padrão, em termos de temperatura, é tomado como a incerteza devida à repetibilidade dos termopares padrão, ou seja, 0,13 oC. O desvio padrão para o termopar sob teste, 0,064 oC, também deve ser incluído.
28
NIS 3003 * Incerteza e Confiança na Medição Enquanto 4 leituras foram feitas no total, somente duas leituras foram feitas com cada polaridade e este valor de n = 2 é considerado ser o mais apropriado para se usar no cálculo dos desvios padrão da média. Das eq. (4) e (5), tem-se: u( TS ) = u( T S ) =
s( TS ) 0,13
u( TT ) = u( T S ) =
s(TT ) 0,064
n
=
2
= 0,09 oC
e n
=
2
= 0,045 oC
A incerteza em termos de temperatura é ±1,3 oC A incerteza em termos de fem de saída é
±1,3 oC x 38,6 µV/oC = ±50 µV Resultado reportado: Temperatura medida
Saída do termopar
1000,5 C ± 1,3 C
36,248 µV ± 50 µV
o
o
A incerteza reportada é baseada em um incerteza padrão multiplicada por um fator de cobertura de k = 2, que fornece um nível de confiança de aproximadamente 95%. Balanço das incertezas Símbolo
Fonte de incerteza
Valor ±
ES DS
Calibração termopares padrão Desvio nos termopares padrão
0,3 oC 0,3 oC
Distribuição probabilidade normal retangular
VS SS
Calibração do voltímetro Contatos da chave
2,0 µV 2,0 µV
normal retangular
o
Div.
ci
νef
1,0 1,0
ui(T) ±oC 0,150 1,173
2,0
3
0,077 0,077
0,077 0,089
∞ ∞
3
1,0
0,058
∞
3
1,0 0,026 0,026
0,09 0,026 0,030
1 ∞ ∞
3
2,0
∞ ∞
RS
Determinação ponto referência
0,1 C
retangular
TS VT SS
Repetibilidade do 1o padrão Calibração do voltímetro Contatos da chave
0,09 oC 2,0 µV 2,0 µV
normal normal retangular
RS
Determinação ponto referência
0,1 oC
retangular
3
1,0
0,058
∞
CT
Fios de compensação
5,0 µV
retangular
3
0,026
0,075
∞
FT
Não uniformidade do forno
1,0 oC
retangular
3
1,0
0,577
∞
TT
Repetibilidade termopar de teste
0,045 oC
normal
1,0
1,0
0,045
1
uc(T) U
Incerteza combinada Incerteza expandida
normal normal (k = 2)
1,0 2,0
0,65 1,3
>500 >500
APOSTIILA\METROLOGIA
NIS3003.DOC
05 MAI 96
29
