NEPOTPUNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE II REDA I tip Najprostije diferencijalne jednačine II reda su oblika y``= f ( x) i rešavaju se dvostrukom integracijom. integracijom. Primer 1. Reši diferencijalnu jednačinu: y``=
1 cos2
Rešenje: y ``= `=
1
integralimo integral imo jednom da dobijemo y`
cos2 1
∫ cos x dx 2
y `= tgx + C 1
Dodali smo konstantu C 1 jer ćemo posle morati da dodamo još jednu,sad integralimo još jednom i gotov posao: = ∫ ( tgx + C1 )dx = ∫ tgxdx + ∫ C1dx dx
Na stranu nadjemo vrednost prvog integrala, metodom smene.
∫
tgxdx =
sin x
∫ cos x
cos x = t dx = − sin xdx = dt = sin xdx = − dt
∫
−1 t
dt = − ln t = − ln cos x
Sad se vratimo u rešenje ( evo celog postupka zajedno):
y ``= y `=
1 cos 2 x 1
∫ cos x dx 2
y `= tgx + C 1
∫ ( tgx + C )dx y = ∫ tgxdx + ∫ C dx y = ∫ tgxdx +C ∫ dx y =
1
1
1
y = − ln cos x + C1 x + C 2
Ovo je opšte rešenje zadane diferencijalne jednačine!
1
Primer 2. Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine y``= 12 x 2 − 4 a zatim i partikularno rešenje koje zadovoljava uslove: y`(0) = 0 i y (2) = 8 Rešenje: Tražimo najpre opšte rešenje dvostrukom integracijom: y ``= 12 x 2 − 4
∫ (12 x − 4 )dx y `= 12 ∫ x dx − 4 ∫ dx y `=
2
2
y `= 12
x 3 3
− 4 x + C 1
y `= 4 x 3 − 4 x + C 1
∫ ( 4 x − 4 x + C )dx y = 4 ∫ x dx − 4 ∫ xdx + C ∫ dx y =
3
1
3
1
y = 4
x 4 4
−4
x2 2
+ C1 x + C 2
y = x 4 − 2 x 2 + C1 x + C 2
Sad tražimo partikularno rešenje: y`(0) = 0 nam govori da u
`= 4 x 3 − 4 x + C 1
zamenimo x = 0 ∧ y`= 0 ( Pazi, ne u opšte rešenje, već i y`)
y `= 4 x 3 − 4 x + C 1 0 = 4 ⋅ 03 − 4 ⋅ 0 + C1 → C 1 = 0
Sad u opšte rešenje menjamo da je
y (2) = 8 , to jest x = 2 ∧ y = 8 a već smo našli da je C 1 = 0
y = x 4 − 2 x 2 + C1 x + C 2 8 = 24 − 2 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ + C 2 8 = 16 − 8 + C2 → C 2 = 0
Sad vrednosti konstanata zamenimo u opšte rešenje: y = x 4 − 2 x 2 + C1 x + C 2 y = x 4 − 2 x 2 + 0 ⋅ x + 0 y = x 4 − 2 x 2
Ovo je traženo partikularno rešenje! 2
II tip Drugi tip, malo složeniji je diferencijalna jednačina drugog reda u kojoj se javlja
``, y` i x a nema y.
Matematički bi to zapisali F ( y``, y`, x) = 0 Uvodimo smenu y`= p → y``= p` Primer 3. Reši diferencijalnu jednačinu y``+ y`tgx − sin 2 x = 0 Rešenje: y ``+ y `tgx − sin 2 x = 0
Uvodimo smenu y`= p → y``= p` y ``+ y `tgx − sin 2 x = 0 p`+tgx ⋅ p = sin 2 x
Ovo je linearna diferencijalna jednačina prvog reda, “po p”. − P ( x ) dx P ( x ) dx p ( x) = e ∫ ( c + Q ( x )e ∫ dx)
∫
Iz
`+tgx ⋅ p = sin 2 x je P( x) = tgx ∧ Q( x) = sin 2 x
∫ P( x)dx = ∫ tgxdx = − ln cos x = ln(cos x) ∫
Q ( x)e ∫
P ( x ) dx
−1
∫
−1
∫
dx = sin 2 x ⋅ e l n( cos x ) dx = 2 sin x cos x ⋅
1 cos x
∫
dx = 2 sin xdx = −2 cos x
− P ( x ) dx P ( x ) dx p ( x) = e ∫ ( c + Q ( x )e ∫ dx)
∫
p ( x) = e − ( − ln(cos x )) (C1 − 2 cos x) p ( x) = cos x(C1 − 2 cos x)
Sad vratimo smenu:
`= p
y `= cos x(C1 − 2 cos x)
1 + cos 2 2
y `= C1 cos x − 2 cos 2 x = C1 cos x − 2 y `= C1 cos x − 1 − cos 2 x
Ovo je sada diferencijalna jednačina prvog reda koja razdvaja promenljive:
3
y `= C1 cos x − 1 − cos 2 x dy
= C1 cos x − 1 − cos 2 x dx dy = (C1 cos x − 1 − cos 2 x) dx
∫ dy = ∫ (C cos x − 1 − cos 2 x)dx = C ∫ cos xdx − ∫ dx − ∫ cos 2 xdx 1
1
1
y = C1 sin x − x −
sin 2 x + C 2
2
III tip Treći tip je je diferencijalna jednačina drugog reda u kojoj se javlja y``, y` i y a nema ga x. Matematički bi to zapisali F ( y``, y`, y) = 0 Ove jednačine se rešavaju smenom y`= p, ali pazimo , sada je y``= p ⋅
dp dy
, odnosno y``=p ⋅ p`
Primer 4. Nađi opšti integral jednačine y``+ 2yy`3=0 Rešenje:
3
y``+ 2yy` =0
uzećemo smenu y`= p , odakle je y``= p`p
3
izvučemo p kao zajednički
2
odavde je p = 0 ili p`+ 2yp = 0
p`p + 2y p = 0 p(p`+ 2yp ) = 0
2
Za p = 0 odmah dobijamo rešenje y` = 0 to jest y = C (konstanta) 2
p`+ 2yp = 0 dp
= −2 yp 2
dy dp
= −2 ydy
p 2
dp
∫ p −
2
1 p
1 p
d.j. koja razdvaja promenljive, integralimo
= ∫ − 2 ydy
= −2
y 2
+ c1
2
= y 2 − c1
p = y `=
1 y 2 − c1 1 y 2 − c1
vratimo
y` = p
Zamenimo da je y`=
dy dx
4
dy dx
=
1 y − c1 2
2
(y – c1 )dy = dx y 3 3 Dakle, rešenja su:
− c1 y = x + c 2
y = c
i
opšti integral y 3 3
− c1 y = x + c2
IV tip LINEARNA HOMOGENA D.J. SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA
y``+a1 y`+a2 y =0
Njoj najpre pridružujemo karakterističnu jednačinu: 2
λ
+ a1λ + a 2 = 0
U zavisnosti od rešenja karakteristične jednačine razlikujemo tri slučaja: 1)
λ 1 i λ 2 su
realna i različita, onda je : y(x)= c1e λ 1 x + c 2 e λ 2 x
2)
λ 1 i λ 2 su
realna i jednaka rešenja , onda je : y(x)= c1e λ 1 x +x c2 e λ 2 x
3)
λ 1 i λ 2 su
konjugovano kompleksni brojevi :
λ 1 =a+bi, λ 2 =a-bi
ax
ax
, onda je :y(x)=c 1e cosbx+c2e sinbx
PAZI : U KARAKTERISTIČNOJ JEDNAČINI NEKO UZIMA KAO SMENU p, NEKO r , A NEKO
λ .
VI RADITE ONAKO KAKO RADI VAŠ PROFESOR! ( u suštini je sve jedno)
Primer 5. Nađi opšti integral jednačina: a) y`` - 3y` + 2y = 0 b) y`` - 2y + y = 0 c) y`` - 2y` +2y = 0 Rešenje: a)
y`` - 3y` + 2y = 0
najpre rešimo karakterističnu jednačinu
2
p - 3p + 2 = 0 ( 1. slučaj ) 3±1 p1, 2 = ⇒ p1 = 2, p 2 = 1 2 y = c1e 2 x + c 2 e x 5
b)
y`` - 2y + y = 0
najpre rešimo karakterističnu jednačinu
2
p - 2p + 1 = 0 p1, 2 =
2±0 2
( 2. slučaj )
⇒ p1 = 1, p 2 = 1
y = c1e x + c 2 xe x c)
y`` - 2y` +2y = 0 2
p - 2p + 2 = 0 ( 3. slučaj ) p1, 2 =
2 ± 2i 2
=
2(1 ± i ) 2
⇒ p1 = 1 + i, p 2 = 1 − i
y = c1e x cos x + c 2 e x sin x
6
