ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE CINÉTICA PLANA En el análisis siguiente limitaremos nuestro estudio de cinética plana a cuerpos rígidos los que, junto a sus cargas, se consideran simétricos con respecto a un plano de referencia fijo. Como el movimiento de un cuerpo se puede ver dentro de un plano de referencia, todas las fuerzas (y momentos de par) que actúan en el cuerpo pueden proyectarse entonces en el plano, un ejemplo de un cuerpo arbitrario de este tipo se encuentra en la figura 1. Aquí el origen del marco de referencia inercial x, y, z coinciden con el punto arbitrario P en el cuerpo. Por definición, estos ejes no giran y están fijos o se trasladan a velocidad constante.
fig. 1
Ecuación de movimiento de traslación. Las fuerzas externas que actúan en el cuerpo de la figura anterior representan el efecto de las fuerzas gravitacionales, eléctricas, magnéticas o de contactos entre cuerpos adyacentes. Como este sistema de fuerzas se consideró previamente en Ecuación de movimiento para un sistema de partículas , aquí puede usarse la siguiente ecuación.
∑ Esta ecuación se conoce como ecuación de traslación del centro de masa de un cuerpo rígido. Plantea que la suma de todas las fuerzas externas que actúan en el cuerpo es igual a su masa por la aceleración de su centro de masa G. Para movimiento del cuerpo en el plano x-y, la ecuación del movimiento de traslación puede escribirse en la forma de dos ecuaciones escalares independientes, independientes, es decir,
∑ ( ) ∑ ( )
Ecuación de movimiento rotatorio. A continuación determinaremos los efectos originados por los momentos del sistema de fuerzas externas, calculados con respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento, el eje z, y que pasa por el punto P. Corno se ve en el diagrama de cuerpo libre de la misma partícula, f¡ representa la fuerza externa resultante que actúa sobre la partícula, y f¡ es la resultante de las fuerzas internas originadas por las interacciones con partículas adyacentes. Si la partícula tiene una masa m¡ y en fig. 2
el instante que se considera su aceleración es a¡ entonces el diagrama cinético se construye como se muestra en la figura 2. Si se suman los momentos de las fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto al punto P, necesitamos que
Entonces
A continuación escribiremos esta ecuación en términos de la aceleración ap. De un punto P, figura 3. Si el cuerpo tiene una aceleración
angular velocidad angular mediante la ecuación se llega a
fig. 3
,
entonces,
El último término es cero, ya que r x r = 0 . Expresando los vectores en función de sus componentes cartesianos, y llevando a cabo las operaciones del producto vectorial, se
fig. 4
obtiene
Haciendo que m¡ → dm e integrando con respecto a la masa total m del cuerpo, se obtiene la ecuación del momento resultante.
Aquí ∑Mp representa sólo el momento de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, con respecto al punto P. El momento resultante de las fuerzas internas es cero, porque para la totalidad del cuerpo estas fuerzas se presentan en pares iguales y opuestos, y con ello se anula el momento de cada par de fuerzas con respecto al punto P. Las integrales en el primer y segundo términos de la derecha se emplean para ubicar fig. 4
al centro de masa G del cuerpo con respecto a P.
∫
y
̅ ∫ ,
figura 4.
También, la última integral representa el momento de inercia del cuerpo calculado con respecto al eje z, esto es
∫ , por lo tanto.
Es posible reducir esta ecuación a una forma más simple si el punto P coincide con el centro de masa G del cuerpo. En este caso, entonces
, y por consiguiente.
∑
Esta ecuación del movimiento rotatorio establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas calculadas, se puede replantear también en términos de las componentes x y y de G Y del momento de inercia IG del cuerpo. Si el punto G está ubicado en el punto (x, y), entonces de acuerdo con el teorema del eje paralelo, Ip = h + m(x + y). Sustituyendo en la ecuación y re arreglando los términos, se obtienen respecto al centro de masa G del cuerpo es igual al producto del momento de inercia de éste con respecto a un eje que pasa por G, y la aceleración angular del cuerpo.
De acuerdo con el diagrama cinemático se puede expresar en términos de aG, de la siguiente manera:
Al llevar a cabo el producto vectorial e igualar las componentes i y j respectivas se obtienen las dos ecuaciones escalares.
De acuerdo con estas ecuaciones.
Sustituyendo estos resultados en la ecuación y simplificando se obtiene.
Este importante resultado indica que cuando se suman los momentos de las fuerzas externas que se muestran en el diagrama de cuerpo libre, con respecto al punto P, figura 5, son equivalentes a la suma de los "momentos cinéticos" de las componentes de maG con respecto a P, más el "momento cinético" de IG , En otras palabras, cuando se calculan los "momentos cinéticos" vectores mx y my se tratan como vectores deslizantes; esto es, pueden actuar en cualquier punto de su línea de acción. De modo semejante, IG se puede tratar como un vector libre, y por consiguiente, puede actuar en cualquier punto. Es importante tener en cuenta que me IG no son lo mismo que una fuerza o el momento de un par. En cambio, son originados por los efectos externos de fuerzas y momentos de par que actúan sobre el cuerpo. Tomando en cuenta lo anterior, podemos entonces escribir la ecuación en una forma más general como:
fig. 5
∑ ∑( )
fig. 6
Aplicación general de las ecuaciones de movimiento. Para resumir este análisis, pueden plantearse tres ecuaciones escalares independientes para describir el movimiento general de un cuerpo rígido simétrico en el plano.
