UNIVERSIDAD PERUANA UNION FACULT FACULTAD DE INGENERIA Y ARQUITECTURA ARQUITEC TURA E.P. INGENERIA CIVIL
ANÁLISIS ESTRUCTURAL TRABAJO ENCARGADO: TEOREMA DE MENABREA PRESENTADO POR: MAMANI CHIPANA, Moisés GUERRA CHAYA, P!"#o Ro$%&" CHOQUECHAMBI CONDORI, Y!#so$ O&'!# MANGO MAMANI, A&(i"!s DOCENTE: TEORIA: I$). VITULAS QUILLE, Y%s'%$i T!*+i&o SEMESTRE: VIA
J-&i%(% s!/i!'0#! "! 1234
INDICE 1. Luigi Federico Federico Menabrea (1867-1896)..................... (1867-1896)................................ ......................................... .............................. 1 2.
Carlo lber!o Ca"!igliano.................... Ca"!igliano............................... ...................... ..................... ...................................... ............................ #
#. $eore%a de Menabrea................... Menabrea.............................. ..................... ..................... ............................................... .................................... # &. C'NCLI'NE....... C'NCLI'NE................. ..................... ..................... ..................... ..................... ................................................ ...................................... 6 *. +EC'MENDCI'NE.......... +EC'MENDCI'NE..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ...................................... ........................... 6 6. ,I,LI'+F.......... ,I,LI'+F.................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................................ ...................................... 6
INTRODUCCI5N 2
Para resolver resolver los problemas problemas de cálculo cálculo estructural estructural necesitam necesitamos os una serie de herramienta herramientass como son los Principios, los teoremas, los métodos y los procedimientos.. La Teoría de estructuras, al igual que la Resistencia de Materiales y la lasticidad se asienta sobre una serie de Principios. !tili"ando los Principios se establece un con#unto de Teoremas Teoremas que dan soporte a un con#unto de Métodos. $ su ve" el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de Procedimientos. La presente monogra%ía presentará el Teorema Teorema de menabrea o el principio del traba#o mínimo el cual es una aplicaci&n del teorema de castigliano a sistemas hiperestáticos. Menabrea '()*)+ y astigliano '()-+ calcularon estructuras hiperestáticas a través del principio del traba#o mínimo. ste tipo de estructuras, y mediante el método de las %uer"as, %ue calculado por /tto Mohr '()01+, utili"an do el conocido teorema de Ma23ell4Mohr.
3. L-i)i F!"!#i(o F!"!#i(o M!$%0#!% M!$%0#!% 637483794 Menabrea naci& en hambéry , hambéry , entonces parte del Reino del Reino de erde5a . erde5a . 6ue educado en la !niversidad de Turín , Turín , donde obtuvo el título de ingeniero y se convirti& en un médico de las matemáticas. omo o%icial de ingenieros reempla"& avour en ()7( en la%or la%ortal tale"a e"a de 8ard 8ard . Lueg Luegoo se conv convirt irti& i& en pro% pro%es esor or de mecá mecáni nica ca y de la construcci&n en la academia militar y en la !niversidad de Turín. ntre sus notables publicaciones9 8osque#o 8osque#o de la máquina máquina analítica analítica inventado inventado por harles harles 8abbage 8abbage , , sq. on notas notas por por el tradu traduct ctor or de $da Lovelace Lovelace '()1:+ '()1:+,, que descri describe be muchos muchos aspe aspect ctos os de la arquit arquitect ectura ura de los ordena ordenador dores es y la progra programa maci& ci&n. n. Rey arlos arlos $lberto le env envi& i& en ()1 ()1)) en mision misiones es diplom diplomáti ática cass para para asegur asegurar ar la adhes adhesi&n i&n de M&dena y Parma de Parma de erde5a . ntr ntr&& en el Parl Parlam amen ento to piam piamon onte tesa sa,, y se une une sucesivamente a los Ministerios de ;uerra y $suntos 2teriores. syst>me mess élasti élastique que pub public licad adoo #
en omptes rendus en ()*). l principio de Menabrea establece que la energía elástica de un cuerpo en per%ecto equilibrio elástico es un mínimo con respecto a cualquier posible sistema de estrés variaci&n compatible con las ecuaciones de la estática de continua, además de las condiciones de contorno. n ()0) se public& un demonastration me#ora de su principio en ?tudes de @tatique Physique 4 Principe géné généra rall verte verterr dete determ rmin inad ador or les les Pres Pressi sion onss et les les tens tensio ione ness dans dans un élas élasti tiqu quee syst>me. @e public&, con#untamente con AL6 8ertrand , la primera prueba del todo correcta de este principio en ()-B. astigliano , astigliano , con la que Menabrea estaba en disputa en relaci&n con este principio, se hi"o más conocido por los conceptos de traba#o y energía en la mecánica analítica. Menabrea más tarde public& otros dos documentos que responden a las críticas de astigliano . astigliano . Menabrea en ()*) enunci& el Teorema del C Traba#o mínimo C9 Cn un sistem sistemaa de cuerpo cuerposs elásti elásticos cos,, el valor valor de las reacci reaccione oness hipere hiperestá státic ticas as,, correspon correspondien dientes tes a los enlaces enlaces superabu superabundan ndantes, tes, hacen hacen estaciona estacionario rio el potencia potenciall interno del sistema C $unque puede utili"arse para la determinaci&n de vinculaciones hiperestáticas, ha quedado superado por la operatividad del Teorema Teorema de astigliano.
1. C%#&o A&0!#/o C%s/i)&i%$o arlo $lberto $lberto astiglia astigliano no ' de noviembre noviembre de ()1-, $sti ()1-, $sti 4 4 :* de octubre de ())1, Milán Milán + %ue un italiano matemático matemático y y %ísico %ísico cono conocido cido por el méto método do de astigliano para para la dete determ rmin inac aci& i&nn de los los desp despla la"a "ami mien ento toss en un elástico lineal sistema lineal sistema basado en las derivadas parciales de parciales de energía de de%ormaci&n . de%ormaci&n . $lberto astigliano se traslad& desde la regi&n de su nacimiento, Piamonte en Piamonte en el noro noroes este te de Dtal Dtalia ia,, con con el Dnstitu Dnstituto to Técni Técnico co de Terni 'en!mbría 'en!mbría + en ()00.
@istemi por la que es %amoso. n su disertaci&n aparece un teorema que ahora lleva el nombre de astigliano. n ()-7 $lberto astigliano elabora una tesis sobre el Método del Traba#o Mínimo. (er. Teorema Teorema 9 n ()-0 presenta su C Método de cálculo de de%ormaciones C como un primer teorema, que dice9 CLa derivada parcial del traba#o respecto de una %uer"a, nos da el valor de la de%ormaci&n que produce C :E Teorema 9 n relaci&n al traba#o mínimo, e2pone su segundo teorema 9 Cuando un sistema elástico está sometido a la acci&n de distintas %uer"as, la distribuci&n del traba#o interno es tal que da lugar a un traba#o tr aba#o mínimoF. La operatividad que introduce astigliano ha determinado su relevante posici&n en la Teoría oría de struc structur turas, as, pue puess aunqu aunquee los %undam %undament entos os te&ric te&ricos os %ueran %ueran enunciados por Menabrea, %ue astigliano quien los desarroll& e hi"o aplicables y operativos para el cálculo de estructuras hiperestáticas.
;. T!o#!'% "! M!$%0#!% l teorema de Menabrea es una aplicaci&n del teorema de astigliano a sistemas hiperestáticos. @i el s&lido elástico está vinculado de %orma hiperestática el nGmero de inc&gnitas vinculares supera al de ecuaciones de equilibrio estático por lo que la obtenci&n de dichos vínculos no se puede reali"ar utili"ando Gnicamente estas ecuaciones. @in emba embarg rgoo en el punt puntoo de actu actuac aci& i&nn de un vinc vincul ulee se cono conoce ce la magn magnit itud ud del del movimiento correspondiente prescrito 'normalmente nulo+ por lo que si la energía de de%ormaci&n se pone en %unci&n de las magnitudes vinculares correspondientes se deriva respecto de cada una de ellas y se iguala a los movimientos prescritos se obtiene un sistema de tantas ecuaciones como vínculos de tiene el s&lido lo que permite su resoluci&n. resoluci&n. Por Por e#em e#empl ploo en el caso caso de un sist sistem emaa hipe hipere rest stát átic icoo de grad gradoo dos dos '%ig '%ig.( .(++ se seleccionaran y eliminaran dos de las inc&gnitas hiperestáticas sustituyéndolas por las
*
%uer"as desconocidas correspondientes '
+ se consideraran como %uer"as
e2te e2teri rior ores es cuy cuyo movi movimi mien ento to pre prescri scrito to del del punt puntoo de actu actuac aci& i&nn es cono conoci cido do 'normalmente nulo+
6ig.( @istema hiperestatico e2terno
Para la determinaci&n de las 6uer"as vinculares el traba#o de las %uer"as
e2te e2teri rior ores es '
+ se se pon pondr dráá en en %un %unci ci&n &n de esta estass inc inc&g &gni nita tass vin vincu cula lare ress
y se deri deriva vara ra resp respec ecto to de cada cada una una de ella ellass igua igualá lánd ndos osee al movim ovimie ient ntoo pres prescr crit itoo correspondiente al vinculo
n
el caso comGn en que los movimientos
prescritos sean nulos nulos estas e2presiones e2presiones serian
6
Hue
indican
que
para
los
valores
correspondientes correspondientes a las inc&gnitas hiperestáticas la %unci&n potencial es mínima. l teorem teoremaa de menab menabrea rea tambié tambiénn se pue puede de aplica aplicarr a sistem sistemas as hipere hiperestá státic ticos os intern internos os producido por un nGmero e2cesivo de barras en un sistema. @i el sistema es hiperestático interno se convierte en isostático seccionando e introduciendo las inc&gnitas hiperestáticas correspondientes correspondientes '6ig.:+ 6ig.: @istema
hiperestatico interno
Por e#emplo, en un cuadro de nudos rigidos sometido a %le2ion el grado de hiperestaticidad es tres por lo que se secciona por un punto y se introducen los tres es%uer"os de la barra
secciona seccionada da como incognita incognitass hiperestá hiperestáticas ticas 'es%uer"o 'es%uer"o a2il
momento %lector
, es%uer"o es%uer"o cortante cortante
y
+, siendo iguales y opuestas en ambos e2tremos de la secci&n.
Para Para la dete determ rmin inaaci& ci&n de esto estoss es%ue %uer"o r"os, el tra traba#o ba#o de las las %ue %uer"a r"as e2te 2terio riores res '
+ se
pondrá en %unci&n de estas inc&gnitas.
2presiones que indican que para los valores correspondientes a los es%uer"os hiperestáticos la %unci&n potencial es mínima. 7
<. EJERCICIOS DE APLICACI5N Ejercicios PROBLEMA 01: Consideramos una incógnita redundante la reacción “R” en el apoyo B. El trabajo t rabajo de la deformación elástica, considerando solo los esfuerzos de la fleión.
T =
→
∗∂ x
Realizamos el corte !ue el m"todo indica.
8
−Wx
M =
+ Rx − M =0
−
+ Rx
=0 →
=
−
+ Rx
= x
Reemplazamos en el teorema de mena brea
( M M )
dx
−
+ Rx ( x x ) dx
−
2
+ Rx dx
+
#espejamos R igualando la ecuación a cero $%&
9
=
R =
8
∗3
R=
$hora reali"amos los diagramas de %uer"a cortante y memento %lector9
10
R
R
=
WL
=
−
=
=
'R()*C+ #E -+-E/+ )EC/+R
11
M B= R B L −WL
M B=
=0
L −WL
M =
M =
M =
12
1#
PROBLEMA 02: (plicando 02: (plicando el el teorema de mena brea resol0er resol0er la 0iga (BC (BC perfectamente empotrada empotrada en (C y con articulación articulación en B
1&
− − = x
Rempla"ando en Mena brea
1*
dx + M
M
dx
R ( x x )−2 ( x x −1 ) ] ( x ) dx (− Rx )(− x ) dx + Rx ( x x ) dx + [ R
2
2
2
2
− R x dx + R x dx + ( R x −2 x +2 x ) dx
+
R=
−
+
−
−
+
IB
→ R =0.686
;ra%ica
16
PROBLEMA 03: (plicando 03: (plicando el el teorema de mena brea resol0er resol0er la 0iga1
17
yx ) ( x x ) dx + ( y y − p ) x x + pa ) x ( x ) dx ( yx
2
y x dx + ( yx − px + pa )( x ) dx
2
2
2
y x dx + ( y x − p x + pax ) dx
+
−
+
18
y a
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
+
−
=0
−
+
−
=
y =
3
19
y =
3
2 P
=
+ RB +
2 P
=
+
2 P
−
= R B
R
=
+ R B
P
20
21
4. BIBLIOGRAF=A
22
;arc ;a rcia ia,, . ':BB ':BB0+ 0+./ ./pe penn o our urse se Jare !n !niv iver ersi sida dadd de @evi @evill lla. a. Recu Recupe pera rado do el (* de @eptiembre de :B(0de9 http9KKoc3us.us.e http9KKoc3us.us.esKmecanica4de4med sKmecanica4de4medios4continuos4y4teoria4de ios4continuos4y4teoria4de44 estructurasKcalculo4de4estructuras4(Kaparta estructurasKcalculo 4de4estructuras4(KapartadosKapartado:( dosKapartado:(.html .html
Pato Pato,, P. Teorem rema de Men Menabre brea. Rec Recupe uperad rado el (* de septi eptiem embr bree de :B(0 B(0 de9 http9KK333.academia.ed http9KK333. academia.eduK-(())KT/RM uK-(())KT/RM$<M=$8R$ $<M=$8R$ ;arc ;a rcia ia,, . ':BB ':BB0+ 0+./ ./pe penn o our urse se Jare !n !niv iver ersi sida dadd de @evi @evill lla. a. Recu Recupe pera rado do el (* de @eptiembre de :B(0de9 http9KKoc3. http9KKoc3.uc7m.esKmeca uc7m.esKmecanica4de4medios4contin nica4de4medios4continuos4y4teoria4 uos4y4teoria4 de4 estructurasKelasticidadresistenciama estructurasKelasticid adresistenciamaterialesiKe#erciciosK$PDT!L terialesiKe#erciciosK$PDT!L/0'Te /0'Teoremase oremase nergeticos+.pd%
Teorema de menabrea. Recuperado el (* de @eptiembre de :B(0 http9KK333.scien"adellecos http9KK333. scien"adellecostru"ioni.co.uK
More Moreno no,, L. @ama @amart rtin in,, $. ;o ;on" n"al ales es,, A. '() '()0+ 0+.. Recuperado
el
(*
de
alc alcul uloo conv conven enci cion onal al @eptiembre
de
de estr estruc uctu tura rass . :B(0
de9
http9KKoa.upm.esK7:1(:K(K@$M$RT http9KKoa.upm.esK7:1 (:K(K@$M$RTD=B*.pd% D=B*.pd%
https9KKen.3iipedia.orgK3iiKLuigi6edericoMenabrea https9KKen.3iipedia.orgK3iiKarlo$lbertoastigliano http9KK3334history.mcs.st4and http9KK3334history .mcs.st4and.ac.uK8iographie .ac.uK8iographiesKMenabrea.html sKMenabrea.html 2#
2&
