UNIVERSIDAD PERUANA LOS
“
ANDES”
CURSO
:
CONCRETO ARMADO
ALUMNOS
:
GONZALES RONDON KEVIN
CICLO
:
VIII
SECCION
:
C1
HUANCAYO
–
Perú
DEDICATORIA
Dedico este trabajo a mis padres por su gran apoyo en mis estudios
INTRODUCCIÓN Las vigas son elementos cuya disposición en las estructuras es principalmente horizontal, tienen la importante función de servir de apoyo de otros miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por la gravedad, las cuales actúan lateralmente a lo largo de su eje. Esta condición hace que las vigas estén sometidas a esfuerzos diferentes a la tensión simple, representados por los esfuerzos de flexión. En este caso las fuerzas externas pueden variar de una sección a otra a lo largo de la viga, además la disposición de ellas, las condiciones de soporte y la geometría, genera en el interior de la misma la aparición de cuatro fuerzas llamadas resistentes. Si consideramos un sistema espacial.
FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS 1.
TIPOS DE VIGAS De acuerdo al número y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen dos grandes grupos de vigas: A)
Vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas presentan un número mayor de reacciones externas que de ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cual significa que estas vigas presentan al menos una condición de sujeción adicional a las mínimas requeridas para que se mantenga en equilibrio estable, es decir, tienen 9 reacciones sobrantes, cuya eliminación las convertiría teóricamente en isostáticas. A continuaron se muestran algunos ejemplos:
Viga empotrada y apoyada en un rodillo: # Reacciones = 4 # Ecuaciones = -3 (ΣFx, ΣFy, ΣMA) G.I. = 1
Viga empotrada- empotrada: # Reacciones = 6 # Ecuaciones = -3 (ΣFx, ΣFy, ΣMA) G.I. = 3
Viga de dos tramos empotrada y apoyada: # Reacciones = 5 # Ecuaciones = -3 (ΣFx, ΣFy, ΣMA) G.I. = 2
B)
Vigas Isostáticas o estáticamente determinadas En estas vigas el número de reacciones externas coincide con el número de ecuaciones de equilibro disponibles. No sobra ni faltan reacciones para que el sólido permanezca en equilibrio estable, tiene grado de indeterminación (G.I) cero. A continuación se muestran algunos ejemplos:
Viga simplemente apoyada de un tramo: # Reacciones = 3 # Ecuaciones = -3 (ΣFx, ΣFy, ΣMA) G.I. = 0
Viga en cantiliver, voladizo o ménsula: # Reacciones = 3 # Ecuaciones = -3 (ΣFx, ΣFy, ΣMA) G.I. = 0
Viga simplemente apoyada con volados: # Reacciones = 3 # Ecuaciones = -3 (ΣFx, ΣFy, ΣMA) G.I. = 0
Viga continúa de dos tramos, con volados y articulación: # Reacciones = 4 # Ecuaciones = -4 (ΣFx, ΣFy, ΣMA, ΣMC izq o ΣMC der) G.I. = 0
2.
RELACIÓN ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO FLECTOR Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y del momento flexionante en un punto de la viga, sino más bien a lo largo de todo el elemento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición más desfavorable de esfuerzo resistente en el interior del sólido, por lograr esto se construyen los llamados diagramas de fuerza cortante y momento flector. La realización de estos diagramas requiere conocer la relación existente entre las cargas externas y las fuerzas internas de corte y momento flector. En el siguiente gráfico, se ha considerado una viga simplemente apoyada, con un sistema de cargas distribuida general “q”, de signo
positivo, por tener sentido vertical hacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la viga separadas una distancia dx. A la derecha se ha graficado en forma ampliada, el diagrama de cuerpo libre del elemento diferencial de viga contenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto las fuerzas externas “q”, como las fuerzas internas V y M, las
cuales se supusieron con signo positivo. Para la cara de la sección 01, los valores de fuerzas cortantes y momentos flexionantes son respectivamente V y M, mientras que para la sección 02, son los valores de la sección 01 más un cierto diferencial dV y dM respectivamente.
A)
Relación Carga – Corte:
Por sumatoria de fuerzas verticales,
De esta manera se encuentran las siguientes relaciones:
Se puede calcular el corte en la sección 02, con el corte anterior en la sección 01, más el área del diagrama de carga existente entre las secciones 01 y 02
B) Relación Corte – Momento Por sumatoria de momentos en el punto “0”:
Las relaciones entre corte y momento son:
La Intensidad del diagrama de corte, define la variación de la pendiente del diagrama de Momentos, como se muestra a continuación:
Se puede calcular el momento en la sección 02, con el momento anterior en la sección 01, más el área del diagrama de corte existente entre la sección 01 y 02:
3.
ANÁLISIS SIMPLIFICADO DE VIGAS SUJETAS A CARGA VERTICAL 3.1
Hipótesis Simplificadora de la Norma E-060 La norma peruana de concreto armado E-060, así como el reglamento norteamericano ACI, permiten analizar a las vigas de los edificios sujetas a carga vertical, suponiendo que los extremos lejanos de las columnas que concurren a la viga en estudio, están empotrados; esto es, se supone que no existe repercusión de los giros entre los niveles consecutivos. La hipótesis mencionada es correcta cuanto mayor sea la rigidez al giro de las columnas (Ki) en relación con la rigidez de las vigas, ya que en ese caso, las vigas estarían prácticamente empotradas en las columnas y el efecto de las rotaciones sobre los esfuerzos sería despreciable. También se admite que los pórticos no tienen desplazamiento lateral, o que los efectos de estos desplazamientos son despreciables. Esta hipótesis es cierta cuando el edificio es simétrico, o sino, cuando contiene una densidad adecuada de placas o muros de albañilería (elementos muy rígidos lateralmente) que limitan los desplazamientos horizontales; lo último puede explicarse por el hecho que los pórticos están conectados entre sí a través de la losa del techo, la que se asume que actúa como una gran plancha axialmente rígida ("DIAFRAGMA RíGIDO") que trata de compatibilizar los desplazamientos laterales de los distintos ejes, por lo tanto, si uno de los ejes no se desplaza, el resto tampoco lo hará. La hipótesis de Diafragma Rígido es válida cuando los techos son losas aligeradas o macizas, pero no es aplicable cuando el techo es metálico o de madera, en cuyo caso, los pórticos deben analizarse independientemente contemplando los desplazamientos laterales. Asimismo, debe indicarse que la hipótesis simplificatoria de la Norma E-060 es válida sólo cuando se analiza por carga vertical a los pórticos, ya que los muros se desplazan lateralmente cuando el edificio está sujeto a cargas horizontales Para obtener el momento flector en las columnas, deberá repartirse el momento desequilibrado en los nudos proporcionalmente a las rigideces de las columnas que concurran al nudo en análisis. El diagrama de momento flector, así como el
cálculo de los momentos en la columna central del segundo entrepiso.
3.2
Máximos Momentos Flectores en Vigas de Edificios En un edificio las sobrecargas (sic) actúan en forma esporádica sobre sus ambientes; es decir, un día el ambiente puede estar sobrecargado y al otro día descargado. Esta continua variación en la posición de la sobrecarga origina los máximos esfuerzos en los diversos elementos estructurales, que deben ser contemplados en el diseño.
A) Máximo Momento Flector Positivo Para determinar el máximo momento flector positivo debe buscarse que los extremos del tramo sobrecargado roten lo mayor posible, asimilando el tramo en análisis al caso de una viga simplemente apoyada Esta condición se logra sobrecargando en forma alternada los tramos. Para la viga que se muestra los máximos momentos positivos en los tramos 1-2 y 3-4 se logran sobrecargando en forma simultánea dichos tramos y descargando al tramo central, ya 73 que si se hubiese sobrecargado también al tramo central, la deformada se aplastaría y las rotaciones de los nudos 2 y 3 decrecerían; cabe destacar que ante esa hipótesis de carga podría ocurrir inversiones de esfuerzos en la región central del tramo 2-3. En cambio, el máximo momento positivo en el tramo central (23) se obtiene sobrecargando sólo ese tramo y descargando los paños adyacentes. Para el caso de los pórticos se sobrecarga con una disposición en forma de "damero"; aunque, para estos casos, puede emplearse el modelo simplificado de la Norma E-060. Cabe mencionar que cualquiera fuese el caso, se necesita resolver tan sólo dos hipótesis de carga para obtener los máximos momentos positivos en todas las vigas del pórtico.
B) Máximo Momento Flector Negativo Si se desea obtener el máximo momento flector negativo en un nudo, debe tratarse que ese nudo rote la menor cantidad posible, mientras que el nudo opuesto tiene que rotar lo mayor posible, tratando de asimilar el tramo sobrecargado al caso de una viga empotrada en el extremo en estudio y articulada en el otro. Esta condición permite además calcular la máxima fuerza cortante en el nudo empotrado. Sin embargo, ha podido observarse que mientras no exista mucha variación en la magnitud de la sobrecarga, así como en las longitudes de los tramos, es suficiente con sobrecargar todos los tramos para calcular simultáneamente los máximos momentos negativos en todos los nudos. Otras razones que conducen a esa conclusión. 3.3
Envolvente de Momento Flector Por lo expresado en los párrafos anteriores, para determinar los máximos momentos flectores positivos se realizará la alternancia de sobrecargas, mientras que para evaluar los máximos momentos negativos se sobrecargará todos los tramos en simultáneo, a no ser que exista demasiada diferencia entre las magnitudes de la sobrecarga o entre las longitudes de los tramos, en cuyo caso, deberá realizarse la combinación de sobrecarga que permita calcular el máximo momento flector negativo en cada nudo. Cabe resaltar que las combinaciones se realizan variando la posición de las sobrecargas, en vista que las cargas permanentes (cp.) siempre están presentes, en tanto que el efecto sísmico y los factores que se utilizan para amplificar las cargas para pasarlas a condición de "rotura", se verán en el acápite 7.2. Cada hipótesis de carga genera su propio diagrama de momento flector (DMF) y su propio diagrama de fuerza cortante (DFC), y para el diseño se utiliza la curva que envuelva a estos diagramas ("Envolvente del DMF" y "Envolvente del DFC"). Los pasos a seguir son:
Efectuar las alternancias de sobrecarga para determinar los máximos momentos flectores positivos; luego, resolver cada
estado aplicando Cross, para después graficar para cada hipótesis de carga su DMF, montándolos en un sólo diagrama.
4.
Sobrecargar totalmente la estructura para obtener, aproximadamente, los máximos momentos flectores negativos; luego, resolver la estructura aplicando Cross, para después trazar su DMF montándolo sobre los diagramas anteriores.
Trazar la envolvente del DMF
METODO DE LOS COEFICIENTES Este método podrá ser utilizado para el diseño de vigas continuas, losas aligeradas y losas armadas en una dirección, se podrán utilizar para el análisis de cargas por gravedad y calcular momentos flectores y fuerzas cortantes que se obtiene con la amplificación de cargas aplicadas a este método. Siempre y cuando cumpla las siguientes condiciones: 1.- Existan dos o más tramos. 2.- Los tramos sean aproximadamente iguales sin que la mayor de las luces adyacentes exceda en más de 20 % a la menor.
3.- La carga deberá ser uniformemente distribuida sobre el elemento continuo. 4.- La carga viva no excede en tres veces a la carga muerta. 5.- Los elementos deberán ser prismáticos, es decir que tengan sección cuadrada, rectangular, Te, circular etc.
A) IDEALIZACION DEL ELEMENTO CONTINUO:
M OM E NT O F LE CT OR ES MOMENTOS POSITIVOS: PARA TRAMOS O LUCES EXTREMAS
-
1. Wu. Ln² 11 Extremo discontinuo Monolítico en el Apoyo: 1. Wu. Ln² 14 Extremo discontinuo no empotrado:
Luces Interiores:
1. Wu. Ln² 16
MOMENTOS NEGATIVOS: a) Cara Exterior del Primer Apoyo Interior - Dos tramos: 1. Wu. Ln² 9 - Más de dos tramos: 1. Wu. Ln² 10 b) Demás caras de los apoyos Interiores : 1. Wu. Ln² 11
c) En cara de todos los apoyos con luces de cálculo menor o igual a 3.00 m en que la relación entre la suma de sus rigideces de la columna y la rigideces de la viga sea más de 8. ∑ Kcolumnas ≥ 8 → 1. Wu. Ln² ∑ Kvigas
12
d) En la cara interior del primer Apoyo Exterior para elementos construidos monolíticamente con sus apoyos. - Si el apoyo es una viga: 1. Wu. Ln² 24 - Si el apoyo es una columna: 1. Wu. Ln² 16
NOTA: El momento mínimo a considerarse para lo especificado en el punto “d” (no monolíticos con sus apoyos) es igual: 1. Wu. Ln² 24
F UE RZ A C OR TA NT E
a) Fuerza cortante en la cara exterior del primer apoyo interior:
1.15. Wu. Ln 2 b) Fuerza cortante en la cara de todos los demás Apoyos: Wu. Ln 2 El valor de Ln será la luz libre para el cálculo de los Momentos Positivos y fuerzas cortantes. El promedio de las luces libres (L1+L2/2) de los tramos adyacentes para el cálculo de los Momentos Negativos.
MOMENTOS FLECTORES EN ELEMENTOS CONTINUOS
LONGITUD DE CÁLCULO (Ln): a) para el caso de elementos que no estén construidos monolíticamente con sus apoyos, la longitud de cálculo a utilizar se obtendrá como la luz libre + el peralte del elemento, pero no mayor que la distancia entre ejes de los apoyos.
La evaluación de las longitudes de cálculo se efectuara con el siguiente criterio: TRAMO 1-2 L1= 4.00+0.20= 4.20 L1-2 ≤
L2= 4.00+0.25= 4.25
Ln1-2= 4.20 m
TRAMO 2-3 L2= 3.80+0.20= 4.00 L2-3 ≤
L2= 3.80+0.25= 4.05
Ln2-3= 4.00 m
c) para elementos de pórticos o construcciones continuas se considera la luz central entre caras de los apoyos. (Luz libre de sus tramos).
Método de la Parábola Unidad (PEABODY) Este método es aplicable al caso de barras sujetas a carga uniforme, con momentos conocidos en sus extremos.
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El proceso consiste de los siguientes pasos: Tener dibujado de antemano una parábola cuadrática a cualquier escala (por ejemplo, luz = 10 cm, flecha = f = 5 cm. Definir las escalas: Longitud: L = luz escala horizontal Momentos: w L2 / 8 = f escala vertical Sobre la parábola llevar M 1 Y M2, empleando la escala de momentos. Trazar la línea de cierre Y hallar los puntos de inflexión (PI). Trazar una paralela a la línea de cierre hasta que toque tangencialmente con la parábola en el punto de tangencia se hallará el máximo momento flector positivo M(+). Cuya magnitud se mide con la escala de momentos.
Finalmente, como se conoce 5 puntos (M1, M2, P11, PI2 Y M(+) máximo). Empleando un pistolete se puede enderezar el Diagrama de Momento Flector. La razón por la cual se le llama a este método "Parábola Unidad", se debe a que con una sóla parábola puede definirse el DMF de una (o varias) viga con varios tramos. Ya que sólo será cuestión de modificar las escalas para el tramo en análisis.
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Además que si existiese una sola carga concentrada (P) al centro de un tramo, puede seguirse el método descrito, utilizando un triángulo de altura "f" en vez de la parábola cuadrática; en este caso, la escala de momentos se define igualando el momento isostática central (PL / 4) a uf".
BIBLIOGRAFÍA: Resistencia de Materiales: Pytel•Singer 4ta Edición (Pág. 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales Universidad Nacional de Ingeniería http://www.politecnicovirtual.edu.co/ana-estru/analis-estruc-1.htm http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometricos/def lexiones%20geometricas.htm www.ing.una.py/.../APOYO/Mecanica%20de%20Materiales%20I/Clase%2012%20 -%20Viga%20Conjugada%20V250505.pdf
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