COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN REGIÓN EN COORDENADA COORDENADAS S POLARES POLARES
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COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN REGIÓN EN COORDENADA COORDENADAS S POLARES POLARES
INDICE I. OBJETIVOS……………………………………………………………………………… II. MARCO TEORICO………………………………………………………………………. 1. SISTEMA DE COORDENADAS………………………………………………………… 2. INTEGRAL DEFINIDA……………………………………………………………………… 3. COORDENADAS POLARES…………………………………………….................... POLARES…………………………………………….................... 3.1. Conversión de coordenadas polares………………………………………… 3.1.1. Relación entre polares po lares y cartesianas………………………….. 3.1.2. Transformación de polares a rectangulares……. rectangulares…….………….. 3.1.3. Transformación de rectangulares a polares……………….. 3.2. Gráficas de ecuaciones en coordenadas polares ………………………. 3.2.1. Rectas………………………………………………………………………… 3.2.2. Circunferencias………………………………………………………….. 3.2.3. Caracoles…………………………………………………………………… 3.2.4. Rosas ………………………………………………………………………… 3.2.5. Lemniscatas ………………………………………………………………. 3.2.6. Espiral……………………………………………………………………….. 3.2.7. Cónicas……………………………………………………………………… 3.3. Pendiente y rectas tangentes………………………………………………….. 3.4. Áreas en coordenadas polares…………………………………………………. 3.4.1. Teorema 1………………………………………………………………. 3.4.2. Teorema 2……………………………………………………………….. 3.5. Punto de intersección de gráficas polares……………………………….. 4. Ejercicios resueltos…………………………………………………………… resueltos……………………………………………………………………….. ………….. 5. Ejercicios propuestos…………………………… propuestos……………………………………………………………………. ………………………………………. III. Conclusiones………………………………………………………………………………… IV. Bibliografía……………………………………………………………………………………
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4 5 5 5 6 8 8 9 9 10 10 12 18 20 21 22 23 24 26 27 27 28 28 38 39 40
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INDICE I. OBJETIVOS……………………………………………………………………………… II. MARCO TEORICO………………………………………………………………………. 1. SISTEMA DE COORDENADAS………………………………………………………… 2. INTEGRAL DEFINIDA……………………………………………………………………… 3. COORDENADAS POLARES…………………………………………….................... POLARES…………………………………………….................... 3.1. Conversión de coordenadas polares………………………………………… 3.1.1. Relación entre polares po lares y cartesianas………………………….. 3.1.2. Transformación de polares a rectangulares……. rectangulares…….………….. 3.1.3. Transformación de rectangulares a polares……………….. 3.2. Gráficas de ecuaciones en coordenadas polares ………………………. 3.2.1. Rectas………………………………………………………………………… 3.2.2. Circunferencias………………………………………………………….. 3.2.3. Caracoles…………………………………………………………………… 3.2.4. Rosas ………………………………………………………………………… 3.2.5. Lemniscatas ………………………………………………………………. 3.2.6. Espiral……………………………………………………………………….. 3.2.7. Cónicas……………………………………………………………………… 3.3. Pendiente y rectas tangentes………………………………………………….. 3.4. Áreas en coordenadas polares…………………………………………………. 3.4.1. Teorema 1………………………………………………………………. 3.4.2. Teorema 2……………………………………………………………….. 3.5. Punto de intersección de gráficas polares……………………………….. 4. Ejercicios resueltos…………………………………………………………… resueltos……………………………………………………………………….. ………….. 5. Ejercicios propuestos…………………………… propuestos……………………………………………………………………. ………………………………………. III. Conclusiones………………………………………………………………………………… IV. Bibliografía……………………………………………………………………………………
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COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN REGIÓN EN COORDENADA COORDENADAS S POLARES POLARES
INTRODUCCIÓN En el desarrollo de nuestro curso se ha tratado diferentes problemas únicamente mediante el uso de coordenadas cartesianas. Ahora, dentro de este trabajo se observara observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares. Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, teoremas, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo.
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I. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones, trabajando con coordenadas polares. OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Analizar las ventajas que trae el trabajo en coordenadas polares. 2. Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares rectangulares en forma forma polar y viceversa. 3. Familiarizarse de manera global con los gráficos que resultan de determinadas funciones.
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II.MARCO TEORICO 1.-SISTEMA DE COORDENADAS En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas ) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico. Existen los siguientes tipos de sistemas:
Coordenadas cartesianas Coordenadas polares Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas geográficas Coordenadas curvilíneas generales Coordenadas curvilíneas ortogonales
2.-INTEGRAL DEFINIDA Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de las abscisas, y las líneas verticales x=a y x=b
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COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES Se presenta por:
∫ es el signo de integración
a es el límite inferior de la integración b es el límite superior de la integración f(x) es el integrando o función a integrar dx es diferencial de x, e indica cual es la variable de la función que se integra.
3.-COORDENADAS POLARES Es un sistema en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Para formar sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen) y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares ( r, ), como sigue:
r = distancia dirigida de O a P “coordenada radial” = ángulo dirigido “coordenada angular”, en sentido contrario del reloj desde el
eje polar hasta el segmento OP Plano de coordenadas polares.
En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. En coordenadas polares, no sucede así. Las coordenadas (r, ) y (r, 2 + ) representan el mismo punto.
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A continuación se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en el sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un retículo de circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo. 11 a 2, , b 3, c 3, 3 6 6
a)
b)
c)
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3.1- CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES COORDENADAS RECTANGULARES O VICEVERSA.
tan cos
sen
y x x
r y r
x r .cos y r . sen
r x y 2
2
A
2
3.1.1.-Relación entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas Cuando utilizamos tanto el sistema de coordenadas polares como el cartesiano en un plano, colocamos los dos orígenes juntos y tomamos el rayo polar inicial como el eje x positivo. El rayo , r>0, entonces el eje y positivo. Entonces los dos sistemas de coordenadas están relacionados por las ecuaciones siguientes. Ecuaciones que relacionan coordenadas polares y cartesianas
Dadas las coordenadas polares r y , las primeras dos de estas ecuaciones determinan de manera única las coordenadas cartesianas x y y. Por otra parte, si se dan x y y, la tercera ecuación proporciona dos alternativas para r (una positiva y una negativa). Para cada alternativa existe un único que satisface las dos primeras ecuaciones, cada una de las cuales de una representación en coordenadas polares del punto cartesiano (x,y). Las
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COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES otras representaciones en coordenadas polares para el punto pueden determinarse a partir de estas dos.
Ejemplo ecuaciones equivalentes. Coordenadas polares
Equivalente cartesiana
3.1.2.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES.
Dado el punto (r, ) = (2, ) y
x = r.cos = 2cos = – 2
y = r.sen = 2sen = 0
Por lo tanto las coordenadas rectangulares son (x, y) = ( – 2, 0)
Dado el punto (r, ) = ( 3 , /6)
3 6 2
3 2 6 3 Por lo tanto las coordenadas rectangulares son (x, y) = 2 x
3 cos
y
Y
3 sen
3
,
3.1.3.-TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES.
Dado el punto (x, y) = r x y 2
r
3
2
3 ,1
tan
2
12
r 3 1
tan
tan
x y 1
r 2
9
x y
4 1
1 3
6
2
30º
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Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es:
r , 2,
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3.2.-GRAFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por inspección describir su lugar geométrico.
3.2.1.-RECTAS 3.2.1.1-RECTAS QUE ESTAN EN EL ORIGEN La ecuación cartesiana de una recta que pasa por el origen es:
Para transformar:
Por lo tanto Ө= Ҩ
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3.2.1.2.-RECTAS QUE NO PASAN POR EL ORIGEN Y SE ENCUENTRAN A UNA DISTANCIA ¨d¨ DEL ORIGEN
Del triángulo observamos:
Por lo tanto la ecuación del lugar geométrico es:
3.2.1.3.-CASOS ESPECIALES Para
1.-Si
; entonces la ecuación que se obtiene es:
Despejando tenemos:
2.- Si
; la ecuación resultante es:
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3.- Si
; la ecuación es:
Por lo tanto: Es una recta vertical hacia la izquierda del eje de las ordenadas.
4.-Si
; entonces la ecuación resultante es:
Por lo que: Es una recta horizontal bajo el eje de las abscisas
NOTA: si d contrario.
cumplen con los parámetros anteriores pero su gráfica será al lado
3.2.2.-CIRCUNFERENCIAS 3.2.2.1.-CIRCUNFERNCIAS CON CENTRO EN EL ORIGEN La ecuación cartesiana de una circunferencia es:
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COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES Al aplicar sus respectivas transformaciones resulta:
Entonces: r = a
3.2.2.2.-CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL PUNTO ( PASAN POR EL ORIGEN
Al aplicar ley de cosenos y despejando obtenemos:
Entonces:
3.2.2.3.-CASOS ESPECIALES 1.- Si
; tenemos la ecuación La transformamos en su ecuación cartesiana de la siguiente manera:
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) Y QUE
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Por lo tanto observamos que es una circunferencia con centro en el punto (a, 0) y con r=a
2.- Si
tenemos
Es una circunferencia con centro en el punto (-a, 0) y con r=a
3.- Si
tenemos
Es una circunferencia con centro en el punto (0, a) y con r=a
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4.- Si
entonces tenemos
Es una circunferencia con centro en el punto (0,-a) y con r=a
Ejemplos.Describir la gráfica de una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular.
a) r = 2
La gráfica de la ecuación polar r=2 está formada por todos lo puntos que distan 2 unidades del polo. En otras palabras, la gráfica es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen, podemos confirmarlo usando la relación r 2 = x 2 + y 2 para obtener la ecuación rectangular
: x 2 + y 2 = 2 2
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b) =
3
La gráfica de la ecuación polar = / 3 contiene todos los puntos de la semirrecta radial que forma un ángulo de / 3 con el semieje x positivo. Podemos confirmarlo usando la relación tg = x / y para obtener la ecuación rectangular. y=
3 x
Ecuación rectangular.
c) r = sec
La gráfica de la ecuación polar r = sec no es evidente por simple inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular usando la relación rcos = x. r = sec r cos = 1 x = 1
Ecuación polar Ecuación rectangular
Deducimos que la gráfica es una recta vertical.
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Resumen de ecuaciones polares de rectas y circunferencias C, a y b son constantes
Recta que contiene al polo; forma un ángulo de C radianes con el eje polar. Recta paralela al eje polar; arriba del eje polar si b >0; debajo del eje polar si b<0. Recta paralela al eje , a la derecha del
eje si a<0.
si a>0; a la izquierda del eje
Circunferencia; centro en el polo; radio C. Circunferencia; radio ; tangente al eje ; centro en el eje polar o en su prolongación. Circunferencia; radio ; tangente al eje polar; centro en el eje o en su prolongación.
||
||
Antes de discutir otras graficas polares, se establecerán los siguientes criterios de simetría, los cuales pueden demostrarse a partir de la definición de simetría de una gráfica.
Criterios de simetría Una gráfica es: 1. Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r, θ) se sustituye por ( r, -θ) o (-r, π-θ). 2. Simétrica con respecto al eje si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r, θ) se sustituye por (r, π-θ) o (-r,-θ). 3. Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r, θ) se sustituye por ( -r, θ) o (r, π+θ).
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Teorema:
La grafica de ecuación polar r=f ( ) está definida por las ecuaciones paramétricas: Y
Demostración: Sea (x, y) la representación cartesiana de un punto P cuya representación polar es (r, ). Entonces
Y
Como
se tiene Y
Al sustituir
por t de modo que el parámetro sea t, se tiene Y
3.2.3.-CARACOLES Los caracoles tienen ecuación polar de la forma:
o de la forma
Tipos de Caracoles
donde a >0 y b>0
De la ecuación 1. 2. 3. 4.
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Caracol con lazo. Cardioide (forma de corazón). Caracol con hendidura. Caracol convexo (sin hendidura).
COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES 1. CARACOL CON LAZO
2. CARDIOIDE
3. CARACOL CON HENDIDURA
4. CARACOL CONVEXO
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COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES A partir de la ecuación de un caracol, también se puede determinar su simetría, y la dirección en la que apunta.
Simetría y dirección de un caracol
Si
Simetría con respecto al eje polar; apunta hacia la derecha. Simetría con respecto al eje polar; apunta hacia la izquierda. Simetría con respecto al eje ; apunta hacia arriba.
Simetría con respecto al eje hacia abajo.
3.2.4.-ROSAS Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma , para n>1 .
De aquí consideramos 2 casos: 1. Si n es PAR es una rosa de 2n pétalos.
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; apunta
COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES 2. Si n es IMPAR es una rosa de n pétalos.
3.2.5.-LEMNISCATAS Tienen ecuación polar de la forma
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o de la forma
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3.2.6.-ESPIRAL Consideremos de 2 tipos: 1. ESPIRAL DE AQRUIMIDES Son ecuaciones de la forma
2. ESPIRAL LOGARITMICA
Son de la forma
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3.2.7.-CÓNICAS. Tales que el foco es el polo y su recta directriz está a una distancia "d" del polo. Obsérvese en la figura.
Se define a la parábola (e=), a la elipse (01) como el conjunto de puntos del plano tales que:
Entonces:
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Casos especiales son: 1. Si ф=0
tenemos
2. Si ф=
tenemos
3. Si ф=
4. Si ф=
tenemos
tenemos
3.3.-PENDIENTE Y RECTAS TANGENTES TEOREMA:
Si m es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de entonces
Demostración: Del teorema, la gráfica de
en el punto (r, Ө)
está definida por las ecuaciones paramétricas: Y
En donde es el parámetro. Si f es una función derivable de , se sabe que:
Al sustituir
por m,
por r y
por
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, se obtiene:
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A partir de este teorema podemos hacer las siguientes observaciones. 1. Las soluciones de 2. las soluciones de
dy d dx d
=0 conducen a tangentes horizontales siempre que
0 conducen a tangentes verticales, siempre
dy d
EJEMPLO: Hallar las tangentes horizontales y verticales de r =sen ,0 Primero escribimos la ecuación en forma paramétrica e y = r sen = sen sen = sen 2 Luego derivamos x e y con respecto a e igualamos a 0 cada derivada.
X = r cos =sen cos
dx d dy d
cos2 sen 2 cos2 0
2 sen cos sen2 0 0,
4
,
3 4
2
Por tanto la siguiente grafica posee tangentes verticales en ( 2 2 , 4 ) y ( 2 2 , 3 4 ), Y tangentes horizontales en (0,0) y (1, ). 2
Tangentes horizontales y verticales de r = sen .
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dx d
0
0
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3.4.-ÁREAS EN COORDENADAS POLARES El proceso que culmina en una fórmula para el área de una región polar es paralelo al del área en coordenadas cartesianas, pero utiliza sectores circulares en lugar de rectángulos como elementos básicos. Observemos, en la figura 9.47, que el área de un sector circular de radio r viene dada por , en el supuesto de que se ida en radianes. Consideremos la ecuación , con continua y no negativa en el intervalo
. La figura 9.48 muestra la región acotada por la gráfica y por las rectas radiales y . Para hallar el área de esta región, dividimos el intervalo en subintervalos iguales.
Aproximamos el área de la región por la suma de las áreas de los
∑
Radio del i-ésimo sector Angulo central del i-ésimo sector Tomando el límite cuando
se obtiene
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sectores.
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3.4.1.- TEOREMA 1
∫
Si f es continua y no negativa en el intervalo gráfica de y las rectas radiales y
, el área de la región limitada por la viene dada por
Ejemplo 1 Hallar el área de un pétalo de la rosa de ecuación
En la figura 9.49 vemos que el pétalo de la derecha se recorre cuando crece de a . Así pues, el área es:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ [ ]⁄ 3.4.2.-Teorema 2
Para calcular el área de una región como la de la siguiente figura, comprendida entre dos curvas de ecuaciones polares r=r 1() y r=r2() entre los rayos de ecuaciones θ =α y , θ = β simplemente restamos las áreas que encierran cada una de ellas en este sector. Entonces obtenemos la siguiente definición. El área de la región limitada por la curvas de ecuaciones polares r=r1() y r=r2() y los rayos de ecuaciones θ =α y θ = β se define como la integral
∫
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3.5.-PUNTO DE INTERSECCIÓN DE GRAFICAS POLARES Dado que cada punto admite diversas representaciones en coordenadas polares, hay que tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas en polares. Por ejemplo, consideremos los puntos de intersección de las gráficas de:
Si intentáramos, como hacemos con las ecuaciones rectangulares, hallar los puntos de intercesión resolviendo las dos ecuaciones simultáneamente, obtendríamos:
( ⁄) ( ⁄)
Primera ecuación
Sustituir
de la segunda ecuación en la primera
Simplificar Despejar
Los correspondientes puntos de intersección son
y
. Sin embargo, en la
figura, se puede observar que existe un tercer punto de intercesión que no aparecía al resolver las ecuaciones simultáneamente. El motivo por el que no se encontró el tercer punto es que no aparece con las mismas coordenadas a las ambas gráficas. En la gráfica , corresponde a las coordinas , mientras que en la de , sus coordenadas son .
4.-Ejercicios resueltos 1. Hallar el área de la región comprendida entre los lazos interior y exterior del caracol . En la figura 9.50 observamos que el lazo interior se recorre
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ [ ]
cuando
crece de
a
limitada por el lazo interior es:
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. Por lo tanto, el área
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⁄ ⁄ ⁄⁄ (√ ) √ ⁄ ⁄ √ ⁄ √ √ √
De forma similar integrando de exterior sea
diferencia entre
a
obtenemos que el área limitada por el lazo
. El área de la región comprendida entre ambos lazos es la
y
2. Calcular el área de la región interior a
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3. Calcular el área de la región encerrada por
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COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES
4. Calcule el area de la región a las curvas:
y
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COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES 5. Calcular el area de la región interior a las curvas
y
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6. Hallar la ecuación que pase por el punto (4;30º) y forme un ángulo de 150º con el eje polar
√ 7. Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada
a.
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b.
8.
En los siguientes ejercicios describir y graficar las ecuaciones c.
Esta ecuación nos dice que su grafica es una rosa con 8 pétalos
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d.
⁄
e.
Esta ecuación nos indica que su grafica será la de la espiral logarítmica
Por la forma de esta ecuación sabemos que es una lemniscata
vertical
f.
Esto significa que la
ecuación nos da la grafica de la espiral de Arquímedes
9.
Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada g.
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h.
10. Trace las gráficas de las dos ecuaciones, e identifique gráficamente los puntos de intersección. Resuelva también analíticamente.
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Según el grafico el punto de intersección es (1,1) en coordenadas cartesianas
De las ecuaciones tenemos:
Reemplazamos en las ecuaciones y obtenemos
√ √
Entonces la intersección en coordenadas polares es (1,1) L.Q.Q.D.
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y en coordenadas cartesianas es
COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES 5.-EJERCICIOS PROPUESTOS
Pasar las siguientes ecuaciones a coordenadas polares
1. 2. 3.
R. R. R.
Pasar las siguientes ecuaciones a coordenadas cartesianas 4. R. 5. 6.
R. R.
Calcular el área exacta de la región limitada por la grafica. 7.
R:
8. Hallar el área dentro
R:
9. Hallar el área dentro de R:
√
√ u2
de y fuera de
√ u
2
y fuera de
u2
10. a) Determine las coordenadas de todos los puntos de intersección del caracol y la circunferencia b) Calcule el área de la región dentro del caracol y fuera de la circunferencia R: a)
√ b)
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u2
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III. CONCLUSIONES
Podemos darnos cuenta que hay muchas figuras que se forman en las coordenadas polares que pueden ser identificadas y reconocidas mediante una ecuación particular. Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computación que hacen las gráficas con la simple acción de introducir la función que necesitamos, es totalmente necesario que como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman y de dónde nacen matemáticamente cada una de estas figuras. En el trabajo elaborado hemos tratado de realizar ejemplos que permitan la comprensión de aquellas personas que lean este documento.
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