Part I
Coordenadas polares Se construirá un sistema de coordenadas en el plano, bajo las siguientes condiciones: 1. Se elegirá un punto arbitrario arbitrario O en el plano como origen del sistema de coordenadas. 2. Se trazará trazará un rayo con origen origen en O y que pase por un punto arbitrario X: Dado un punto cualquiera A sobre el plano ¿cómo determinar sus coordenadas? Se procede asi: se traza un vector desde el punto O hasta el punto A;se A; se elige una unidad de medida de longitud, y se determina la norma o longitud de OA;se OA;se mide el menor de los ángulos formado entre el vector OA y el rayo OX;lo OX; lo usual es tomar como unidad de medida el radián y considerar positivo el sentido sentido de giro contrario contrario al giro de las manecill manecillas as del reloj. El par ordenado formado por la norma del vector OA y OA y la medida del ángulo AOX AO X será será el el par par de coordenadas del punto A; en coordenadas polares.
! !
! !
! !
! Si OA = r y la medida del ángulo X OA es b las coordenadas polares del
punto A punto A serán ( serán (r; r; b) :
1
Coord Coorden enad adas as polar polares es y cart cartes esia iana nas s
El sistema sistema de coordenas coordenas cartesianas cartesianas parte de dos ejes, p erpendicular erpendiculares es entre entre si, cualquier punto del plano tendrá como coordenadas un par de número obtenidos al trazar desde el punto una paralela a uno de los ejes que corte al otro, la distancia desde el origen hasta el punto de corte será una de las coordenadas, 1
la otra se obtiene de manera similar, lo usual es considerar un eje horizontal y otro vertical, la distancia determinada sobre el eje horizontal es la primera componente del par ordenado y la determinada sobre el eje vertical es la segunda.
Se puede construir otro sistema de coordenadas con ejes paralelos a uno dado, si las coordenadas de un punto en el primer sistema son (x; ( x; y ) y en el segundo (x ; y ) la relación entre estas dos coordenadas será x = x = x x + h y y y y = = y y + k donde h es el desplazamiento horizontal del origen del segundo sistema con respecto al primero y k y k es el desplazamiento vertical. 0
0
0
0
Si las coordenadas del punto A punto A en en el sistema de coordenadas X Y es ( es (m; m; n) y en el sistema sistema de coordenadas coordenadas X X Y son ( son (c; c; d) entonces m entonces m = c = c + h y n = d = d + k: En este caso se dice que se ha producido una traslación del sistema. En lugar de trasladar los ejes pueden rotarse un cierto ángulo ; el nuevo sistema se obtiene a partir de una rotación del primero, la relación entre los dos sistemas de coordenadas para un punto cualquiera está dada por las siguientes 0
0
2
ecuaciones Supóngase que la distancia entre el origen de los dos sistemas de coordenadas y el punto A es r; que el ángulo entre el segmento de longitud r y la parte positiva del eje X es y entre el segmento de longitud r y la parte positiva del eje X es : : En el sistema de coordenadas X Y las coordenada coordenadass del punto A serán x = r cos ; y = r sin ; ; y en el sistema de coordenadas X Y x = r cos( cos( ) ; y = r sin( sin( ) 0
0
0
0
0
x y
0
0
)
= r cos cos + + r sin sin = x = x cos + + y sin = r sin cos r cos sin = y = y cos x sin
^
La discusión anterior permite encontrar las relaciones existentes entre coordenaas polares y cartesianas, en efecto si el rayo OX se ubica sobre sobre la parte parte positiva positiva del eje X; haciendo haciendo que el punto punto O coinci coincida da con el origen origen del sissistema cartesiano se tendrá que para el punto A con coordenadas polares (r; ) que x = r cos ; y = r sin y por p or tanto sus coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas serán (r cos ; r sin ) con:
krk =
p x + y 2
2
y ; = arctan = arcsin x
p x y+ y 2
2
= arccos
p x x+ y 2
2
Para gra…car puntos en coordenadas polares se usa papel polar, el cual consiste en una familia de circunferencias concéntricas cuyos radios son multiplos enteros del radio menor, este radio se toma como unidad de medida el centro de las circunferencias se hace coincidir con el polo y el radio horizontal es el eje polar, a partir de éste se forman los ángulos, trazando rectas que pasan por el polo de tal manera que los ángulos formados entre dos recta consecutivas son iguales.
3
1.0.1 1.0.1
Ejerci Ejercicio cios s
1. En un sistema polar ubicar ubicar los siguiente siguientess puntos. puntos. (a) (1; (1; 50 ) (b) 2; 3 (c) (4; (4; 125 ) (d) (0; (0; 180 ) (e) 3; 54 (f) (2; (2; 330 ) ¿En donde quedarían estos puntos si se tomanran valores negativos para r? r ?
2. Las coordenadas de dos de los vértices de un triángulo equilatero son 1; 4 ; 2; 6 determinar el tercer vértice. (Dos respuestas posibles)
3. Un cuadrado de lado 2a tiene su centro en el polo, dos de sus lados son paralelos al eje polar, hallar las coordenadas principales de sus vértices. 4. Escribir Escribir en coordenadas coordenadas polares: polares: (a) x (a) x 2 + y 2 = 4 (b) x 2
4y 4 = 0
5. Escribir Escribir en coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas:: (a) r (a) r = = 4 sin sin (b) r (b) r = r = sec 2
1.1
4 (c) 1 + 2 cos
2
La ecua ecuació ción n de la recta recta en en coorden coordenad adas as polares polares
La ecuación general de una recta en coordenadas cartesianas es Ax + By + C = = 0; teniendo en cuenta las relaciones establecidas se tiene Ar cos + B + Brr sin +
4
C = 0 que puede escribirse como r (A cos + B sin ) = C; haciendo los ajustes necesario para considerar a C C positiva. Se expresará A expresará A y y B B en en función de cierto ángulo, para ello se construirá sobre el plano cartesiano un triángulo rectángulo de catetos A y B; ubicándolos de tal manera que el cateto A quede sobre el eje X y el B sobre el eje Y, teniendo en cuenta sus respectivos signos, entonces entre la hipotenusa de este triángulo y la parte positiva del eje X se forma un ángulo, llamémosle ; para el cual se B A tiene que: sin que: sin = ; cos = : A2 + B 2 A2 + B 2
p
p
Dividiendo cada uno de los términos de r (A cos + B sin ) = C; = C; por se obtiene r
A cos + 2 A + B2
p
B sin 2 A + B2
p
=
p A C + B 2
p A
2
+ B2
2
lo que es equivalente a r (cos cos + sin sin ) = y se deduce …nalmente r cos( cos(
p A C + B 2
2
) = h con h = p A C + B 2
2
. La ecua ecuaci ción ón
r cos( cos( ) = h se conoce con el nombre de ecuación polar de la recta. h representa la distancia desde el origen del sistema de coordenadas a la recta, es el ángulo formado entre el rayo OX O X y y el segmento h, r es el radio vector que va desde O hasta la la recta y el ángulo que se genera al moverse el punto de coordenadas ( coordenadas (r; r; ) : El movimiento de este punto genera la recta.
Example 1 Escribir en coordenadas polares la ecuación de la recta 3x 3 x + 4y 4y + 10 = 0; 0; la ecuación se reescribirá como: 3x 4y = 10; 10; con A = -3, B = -4, C
= 10, entonces cos =
q
3 ; =
3
2
2
( 3) + ( 4)
4 ; h = 2; arccos 3 5 5
:
5
4 0:92730 = arcsin arcsin ; 5 5
sin =
q
4
2
2
=
( 3) + ( 4)
por ser A y B negativas, el
ángulo estará en el tercer cuadrante, por tanto = (0: (0:92730 + ) radianes, la ecuación en coordenadas polares será r equivalente, r cos( cos( 1.1.1 1.1.1
3 5
4 cos + sin = 2 o en forma 5
(0: (0:92730 + )) = 2: 2:
Ejerci Ejercicio cios s
1. Llevar Llevar a coordenadas coordenadas polares la ecuación 2 ecuación 2x x
5y = 3
2. Llevar Llevar a coordenadas coordenadas rectangulares rectangulares la ecuación ecuación (a) r sin = 5 (b) r = 6cos (c) r = 2
1.2
Las seccio seccione nes s cónicas cónicas en coorde coordena nada das s polares polares
Considérese un punto …jo F y F y una recta …ja D, D , F = D, D , la distancia entre F y D es m. m . Sea P Sea P un un punto del plano, F P la P la distancia de F a P , P , P D la distancia del punto P P a la recta D, el punto P P se mueve sobre el plano de tal forma < 1 F P F P que ocurre una de las tres situaciones: 0 < = = 1 El cociente se PD P D > 1 llama excentricidad, y se representará por e, e , el caso en que e = e = 1 de…ne la curva llamada parábola, se propone como un ejercicio demostrar que el caso en que e < 1 de…ne 1 de…ne la elipse y cuando e > 1se 1se tiene una hipérbola. A parti partirr de este este princi principio pio de uni…ca uni…cació ción n se puede puede fácilm fácilmen ente te obtene obtenerr la ecuación de las tres curvas en coordenadas polares, para ello se tomará el punto …jo como el polo y el eje polar es el rayo perpendicular a la recta D y punto inicial F inicial F
2
8< :
De acuerdo al grá…co, F P = r;sea r;sea m m la distancia del polo a la recta …ja D, D , el ángulo entre el eje polar y el segmento P F , F , dado que el eje polar es perpendicular F P r a la recta D recta D se tiene que P D = m + m + r r cos , por tanto, = = e PD m + r cos em lo cual es equivalente a = r 1 cos
6
Part II
Grá…cas en coordenadas polares Al gra…car la ecuación de una curva expresada en coordenadas polares, uno de los aspectos a tener en cuenta es la simetría de la misma, esta simetría se considera con respecto al eje polar, un eje auxiliar, el cual es perpendicular al polar, y el polo. Geométricamente, una curva es simétrica con respecto a un eje si éste divide la región determinada determinada por la curva en dos regiones regiones congruente congruentes. s. Con respecto a un punto, la simetría es de caracter radial, por tanto en este caso la distancia medida desde el polo en un sentido debe ser igual a la distancia medida en sentido contrario. contrario. Algebraícamente Algebraícamente hay simetría siempre que la ecuación no se altere o se transforme en una equivalente, al reemplazar la variable. La siguiente tabla resume las acciones que deben hacerse para analizar las tres simetrías simetrías de una curva curva dada en coordenadas coordenadas polares: Simetr Simetría ía con respect respecto o al: Modo 1 Sustit Sustituir uir:: Modo 2 Sustit Sustituir uir:: Eje polar por p or por por y r por p or r Eje perpend p erpendicul icular ar al polar por p or por y r por p or r Polo por p or + + r por p or r Nota: Nota: Hasta Hasta el mome momento nto sólo se consideró consideró r > 0, pero puede considerarse r < 0, com como o el radio radio vecto vectorr de igual igual mag magnit nitud ud y direcc dirección ión pero de sentid sentidoo contrario a r: a r: La ecuación en coordenadas polares puede determinar una curva cerrada o abierta, es cerrada si r es …nito para todos los valores de : : Es abierta, si para ciertos valores de ; ; r tiende a in…nito. Si r Si r = R = R ( ) lim R ( ) = la curva es abierta
^
1.3
!
1
Repre Re presen sentac tación ión grá…ca grá…ca
Para efectos de la construcción de la grá…ca es conveniente escribir r en función de ; veri…car si existen simetrías, si la curva es cerrada o abierta, si existen intersecciones con el eje polar y el perpendicular al polar, determinar los valores extremos y considerar valores negativos de r ya que para algunas grá…cas la diferencia entre si se consideran o no esto valores es notable. Example 2 Sea r = 3sin 3sin 2: Simetría
eje polar 3sin( 2 ) = 3sin2 3sin2 eje perpendicular al polar 3sin2( 3sin2( ) = 3sin2 3sin2 polo 3sin2( 3sin2( + ) = 3sin 3sin 2
la comprobación de las simetrías muestra que la grá…ca sólo es simétrica con respecto al polo. Lo que se hizo en cada caso fue reemplazar por el valor adecuado
7
y desarrollar el lado izquierdo mediante las conocidas identidades trigonométricas. Intersección con los ejes: eje polar, = 0 eje perpendicular al polar, =
2
3 sin 2 (0) = 0 3sin2 2 = 0
la curva pasa por el polo. Extensión de la curva: Dado que sin 1; 1 ; R; se tiene que 3sin2 3sin2 3; 3 ; se tendrá por tanto una curva cerrada cuyos valores oscilarán entre 3 y 3. Con la información información obtenida y teniendo en cuenta que sin = sin( sin( ) = sin( sin( + ) = sin(2 sin(2 ) , que el seno es positivo para valores entre cero y y negativo para valores entre y 2 2 , bastará tomar valores de pertenecientes al intervalo 0; 2 , considerando puntos equiespaciados con 1 un paso de 36 , los valores de r cuando pertenece a alguno de en los interva los 2 ; ; ; 32 ; 32 ; 2 ;coincidirán en valor absoluto con los de la tabla, eligiendo el mismo paso :
j j
j
j j
j j
j j j
j j
r
0 0 r
j 8 2 2
j
36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
7 36
8 36
9 36
0:52
1:03
1:5
1:93
2:30
2:60
2:82
2:95
3
10 36
11 36
12 36
13 36
14 36
15 36
16 36
17 36
18 36
2:95
2:82
2:60
2:30
1:93
1:5
1:03
0:52
0
La grá…ca generada mediante un programa gra…cador es
Obsérvese que si solo se consideran valores positivos de r la grá…ca sólo tendría las hojas de la parte parte superio superior. r. A partir partir de r = 3 sin 2 multiplicando a ambos 2 3 2 lados por r ; se tiene r = 3r sin2 sin2 = 3r2 2sin cos = 6 (r sin ) (r cos ), 2 2 2 Dado que r que r = x + y , se tiene que la ecuación en coordenadas cartesianas se expresaría como: x6 + 3x 3x4 y2 + 3x 3x2 y 4 + y6 = 6xy 6 xy..
p
Example 3 r = 1 esta curva se cono conoce ce como espira espirall hiperb hiperbólic ólica, a, no existe existe simetr simetría ía con respe especto al eje polar, olar, al polo, olo, ni al eje perpend erpendicu icular lar al eje po1 eje polar = 1 1 lar, lar, según según se observ observa a a continu ontinuaci ación ón eje perpendicular al polar 1 = 1 1 polo = + Cuando , lue luego la curv curva a no es cerr errada, ada, cuan cuando do , 0, r r 0, la curva tiende hacia el polo sin alcanzarlo. Intersección con los ejes:
!
!
6 6 6 !1
!1
8
eje polar, = 0 Inde…nido del hecho que r = 1, la grá1 eje perpendicular al polar, = 2 = 2 …ca de esta curva está por debajo de la recta recta paralela paralela al eje polar polar a una distancia de una unidad unidad por encima del eje. Para Para hacer el grá…co grá…co de esta curva es conveconveniente tomar como unidad de medida del ángulo 1radian, teniendo presente que un radian es 180 = 57: 57 : 296 con una aproximación de tres cifras decimales.
2
r = r = 1.3.1 1.3.1
1
1
1 10
2 10
10
5
11 10 10 11
12 10 5 6
13 10 10 13
3 10 10 3 14 10 5 7
4 10
5 10
2:5
2
15 10 2 3
6 10 5 3
16 10
0:625
7 10 10 7 17 10 10 17
8 10
1:25
9 10 10 9
18 10
1 1 19 10 10 19
0:55556
2 0:5
Ejerci Ejercicio cios s
Identi…c Identi…car ar y trazar trazar las curvas. curvas. En algunos casos puede ser útil transformar transformar a coordenadas cartesianas. También tener presente que C cos cos ( ) = A cos + B sin ; donde ; donde A A = C = C cos cos ; B = C = C sin sin
1. r =
12 3sin
2. r =
2 1 + sin
3. r =
2 3 + 3cos
4. r =
4cos sin2
1 cos
5. r2 = 4cos 4cos 2 6. r = 2 7. r =
1 3
cos (caracol) csc 5
8. Hallar la ecuación de la elipse en la cual uno de sus focos coincide con el polo, pasa por los puntos (2; (2 ; 0 ) y 4; 2 , el eje perpendicular al eje focal contiene ambos focos.
9
