8
Ecuaciones de movimiento, movimiento, planteamiento del problema y métodos de solución
Capítulo 1
Se considerarán dos tipos de excitación dinámica: (1) la fuerza externa p(t ) en la dirección lateral (�gura 1.2.1a), y (2) el movimiento del terreno ug(t ) inducido por un sismo (�gura 1.2.1b). En ambos casos u indica el desplazamiento relativo entre la masa y la base de la estructura.
1.3 RELACIÓN FUERZA-DESPLAZAMIENTO Considere el sistema mostrado en la �gura 1.3.1a sin excitación dinámica, sometido a una fuerza externa estática f S aplicada en la dirección del GDL u tal como se muestra. La fuerza interna que se opone al desplazamiento u es igual y opuesta a la fuerza externa f S (�gura 1.3.1b). Se desea determinar la relación entre la fuerza f S y el desplazamiento relativo u asociado con las deformaciones en la estructura durante el movimiento oscilatorio. Esta relación de fuerza-desplazamiento sería lineal para pequeñas deformaciones, pero volvería no lineal en el caso de grandes deformaciones (�gura 1.3.lc); se consideran tanto las relaciones lineales como las no lineales (�gura 1.3.1c y d). La determinación de la relación entre f S y u es un problema estándar en el análisis estructural estático, y se supone que el lector está familiarizado con este tipo de análisis. Por lo tanto, la presentación en esta sección es breve y se limita a los aspectos esenciales.
u
Fuerza externa f S
f S f S Fuerza restauradora
(a)
(b)
k
f S
f S
1 a
k
1 d
−uo
o
b
uo
u
u
c
(c)
(d) Figura 1.3.1
Sección 1.3
9
Relación fuerza-desplazamiento
1.3.1 Sistemas elástico lineales
Para un sistema lineal la relación entre la fuerza lateral f S y la deformación resultante u es lineal, es decir, f S
=
ku
(1.3.1)
donde k es la rigidez lateral del sistema; sus unidades son fuerza/longitud. En la ecuación (1.3.1) está implícito el supuesto de que la relación lineal f S -u determinada para pequeñas deformaciones de la estructura también es válida para el caso de grandes deformaciones. Esta relación lineal implica que f S es una función de u con un solo valor (es decir, las curvas de carga y descarga son idénticas). Se dice que tal sistema es elástico, por lo que se utiliza el término sistema elástico lineal para enfatizar ambas propiedades. Considere el marco de la �gura 1.3.2a con una crujía de tamaño L, altura h, módulo de elasticidad E y segundo momento de área de la sección transversal (o momento de inercia)† alrededor del eje de �exión I b e I c para la viga y las columnas, respectivamente; las columnas están sujetas (o empotradas) en la base. La rigidez lateral del marco puede determinarse fácilmente para dos casos extremos: si la viga es in�nitamente rígida (es decir, la rigidez a la �exión EI b q, �gura 1.3.2b), =
=
k
12 E I c
=
h3
columnas
=
E I c 24 3 h
Por otra parte, para una viga sin rigidez (es decir, EI b k
3 E I c
=
columnas
h3
=
(1.3.2)
0, �gura 1.3.2c),
=
E I c 6 3 h
(1.3.3)
Observe que para los dos valores extremos de la rigidez de la viga, la rigidez lateral de la estructura es independiente de L, la longitud de la viga o el tamaño de la crujía. La rigidez lateral del marco con un valor intermedio de la rigidez de la viga más realista, puede calcularse mediante los procedimientos estándar del análisis estructural estático. La matriz de rigidez del marco se formula con respecto a tres GDL: el desplazamiento lateral u y las rotaciones de los dos nudos viga-columna (�gura 1.3.2a). La relación fuerza u EI b
•
h
u f S
EI b =
∞
u f S
EI b = 0
f S
EI c •
L •
•
(a)
(b)
(c)
Figura 1.3.2 †
En este libro el término preferido para I es segundo momento de área en vez del que se usa comúnmente, momento de inercia; este último se reservará para de�nir los efectos de la inercia asociada con el movimiento rotacional de los cuerpos rígidos.
10
Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y métodos de solución
Capítulo 1
lateral-desplazamiento de la ecuación (1.3.1) se determina por condensación estática o por eliminación de los GDL de rotación. Al aplicar este procedimiento a un marco con L = 2h y EI b = EI c, se obtiene su rigidez lateral (vea el ejemplo 1.1): k =
96 E I c 7 h3
(1.3.4)
La rigidez lateral del marco puede calcularse de manera similar para cualquier valor de I b, I c, L y h utilizando los coe�cientes de rigidez de un elemento uniforme a �exión que se presentan en el apéndice 1. Si se desprecian las deformaciones por cortante en los elementos, el resultado puede escribirse en la forma k =
24 E I c 12ρ h3
+1
12ρ
(1.3.5)
+4
donde ρ = ( EI b/ L) ÷ (2 EI c/h) es la relación de rigidez de la viga con la columna (que se describe en la sección 18.1.1). Para ρ = 0, q y 14, la ecuación (1.3.5) se reduce a los resultados de las ecuaciones (1.3.3), (1.3.2) y (1.3.4), respectivamente. La rigidez lateral se representa de manera grá�ca como una función de ρ en la �gura 1.3.3; se incrementa por un factor de 4 cuando ρ crece desde cero hasta in�nito. 24 ) 3
h /
c I E ( / k
6
104
103
102
101
100
101
102
ρ
Figura 1.3.3 columna, r .
Variación de la rigidez lateral, k , con la relación de rigidez de la viga con la
Ejemplo 1.1 Calcule la rigidez lateral para el marco mostrado en la �gura E1.1a, suponiendo que los elementos son in�nitamente rígidos en la dirección axial.
2
u2
u3
EI b
•
h
EI c
k 21 = 6 EI c / h u1
k 11 =
EI c
k 22 = 4 EI c / h + 4 EI b / L
2
k 31 = 6 EI c / h
u1 =
2(12 EI c)
1
h
3
u2 =
1
k 12 =
•
L
= 2h
•
•
(a)
(b)
(c)
Figura E1.1
k 32 = 2 EI b / L
6 EI c h
2
Sección 1.3
Relación fuerza-desplazamiento
11
Esta estructura puede analizarse mediante cualquiera de los métodos estándar, incluyendo la distribución de momentos. Aquí se utiliza la de�nición de coe�cientes de in�uencia de la rigidez para resolver el problema. El sistema tiene los tres GDL mostrados en la �gura E1.1a. Para obtener la primera columna de la matriz de rigidez de 3 × 3, se impone un desplazamiento unitario en el GDL u1, con u2 = u3 = 0. Las fuerzas k i1 necesarias para mantener esta con�guración deformada se muestran en la �gura E1.1b. Éstas se determinan usando los coe�cientes de rigidez para un elemento uniforme a la �exión que se presenta en el apéndice 1. Los elementos k i2 en la segunda columna de la matriz de rigidez se determinan imponiendo u2 = 1 con u1 = u3 = 0; vea la �gura E1.1c. De manera similar, los elementos k i3 en la tercera columna de la matriz de rigidez pueden determinarse al imponer los desplazamientos u3 = 1 con u1 = u2 = 0. Así, se conoce la matriz de rigidez de 3 × 3 de la estructura y es posible escribir las ecuaciones de equilibrio. Para un marco con I b = I c sometido a la fuerza lateral f S , se tiene 24 6h 6h u1 f S E I c 2 2 6h 6h h u2 = 0 (a) h3 2 2 h u3 6h 6h 0 Solución
A partir de la segunda y tercera ecuaciones, las rotaciones de los nudos pueden expresarse en términos del desplazamiento lateral de la siguiente manera: 6 1 u2 6h 2 h 2 −1 6h u u = − = − (b) 1 u3 h 2 6h 2 6h 7h 1 1 Al sustituir la ecuación (b) en la primera de las tres ecuaciones de la ecuación (a) se obtiene 24 E I c E I c 6 96 E I c 1 f S = 6 h 6h u1 = u − (c) 1 7 h3 1 h3 h 3 7h Así, la rigidez lateral del marco es 96 E I c k = (d) 7 h3 Este procedimiento para eliminar rotaciones de los nudos, conocido como el método de condensación estática, se presenta en libros de texto sobre el análisis estático de las estructuras. Este tema se retomará en el capítulo 9. 1.3.2 Sistemas inelásticos
En la �gura 1.3.4 se muestra la relación experimental fuerza-deformación de un elemento estructural de acero sometido a niveles de deformacion cíclicos esperados durante un sismo. La curva de carga inicial es no lineal a los niveles más grandes de deformación y las curvas de descarga y recarga di�eren de la curva de carga inicial; se dice que un sistema así es inelástico. Esto implica que la relación fuerza-deformación depende de la dirección, es decir, depende de si la deformación está aumentando o disminuyendo. De este modo, la fuerza restauradora es una función implícita de la deformación: f S = f S (u)
(1.3.6)
La relación fuerza-deformación para el marco idealizado de un nivel (�gura 1.3.1a) que se deforma en el rango inelástico puede determinarse de dos formas. Un enfoque consiste en utilizar métodos de análisis estructural estático no lineal. Por ejemplo, en el análisis de una estructura de acero con un modelo constitutivo esfuerzo-deformación supuesta, el análisis
