1
I.E. CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA
CICLO VI GRADO UNDÉCIMO
2
TABLA DE CONTENIDO pág. UNIDAD 1
1. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS 1.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS 1.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES 1.2.1. Conectivos lógicos 1.2.2. Las proposiciones se clasifican 1.2.2.1. Negación 1.2.2.2. Conjunción 1.2.2.3. Disyunción 1.2.2.4. Condicional 1.2.2.5. Bicondicional 1.2.2.6. Tautologías, contradicciones y contingencias 1.2.2.7. Implicaciones lógicas 1.2.2.8. Equivalencias lógicas
6 6 6 6 7 8 8 8 9 9 9 12 15
2.
CUANTIFICADORES CUANTIFICADORES
18
3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5. 3.1.6. 3.1.7. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.
CONCEPTUALIZACIÓN CONCEPTUALIZACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS CLASES DE CONJUNTOS Conjunto Universal Conjunto Infinito Conjunto Finito Conjunto Vacío Conjunto Unitario Conjuntos Iguales Conjuntos Disjuntos OPERACIONES CON CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B La intersección de dos conjuntos A y B La diferencia de dos conjuntos A y B La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B
18 19 19 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 21
4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.
NÚMEROS REALES NÚMEROS NATURALES NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS REALES OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
22 22 23 23 24 24 24
PRUEBA TIPO ICFES
27
3
UNIDAD 2
1. 1.1.
INTERVALOS Y OPERACIONES CON INTERVALOS OPERACIONES CON INTERVALOS
32 33
2. 2.1. 2.1.1. 2.2. 2.3. 2.3.1. 2.4. 2.5. 2.5.1. 2.6. 2.6.1. 2.6.2. 2.6.3.
INECUACIONES INECUACIONES CON UNA Y DOS VARIABLES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO INECUACIONES INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Inecuaciones equivalentes INECUACIONES INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA INECUACIONES INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de inecuaciones PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES INECUACIONES DEFINICIÓN Y GRÁFICA DEL VALOR ABSOLUTO Tratamiento del valor absoluto utilizando la gráfica de f(x)=|x| ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c
35 35 35 38 40 41 42 43 44 45 45 45 46
PRUEBA TIPO ICFES
48 UNIDAD 3
1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES 1.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES 1.3. ALGEBRA DE FUNCIONES 1.3.1. Composición de funciones 1.4. CLASES DE FUNCIONES: FUNCIONES: POLINÓMICAS, TRASCENDENTES Y ESPECIALES 1.4.1. Funciones polinómicas 1.4.2. Funciones trascendentes 1.4.2.1. La función exponencial 1.4.2.2. La función logarítmica 1.4.3. Funciones especiales 1.4.3.1. Función constante 1.4.3.2. La función identidad 1.4.3.3. La función proyección 1.4.3.4. La función canónica 1.5. FUNCIÓN INVERSA Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 1.6. SERIES, SUCESIONES Y PROGRESIONES
52 52 54 55 56 57 57 57 57 58 59 59 59 59 60 60 63
PRUEBA TIPO ICFES
65 UNIDAD 4
1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2.
LÍMITE FUNCIONAL LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Límite finito de una sucesión Límite infinito de una sucesión
69 69 70 71
4
2. 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.2.
DEFINICIÓN ANALÍTICA DE LA DERIVADA TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Tasa de variación media Tasa de variación instantánea o derivada Derivadas laterales Derivabilidad y continuidad APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN OTRAS ASIGNATURAS Y CIENCIAS
73 73 73 74 74 75 75
3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3.
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Método de integración por sustitución Método de integración por partes Método de integración por cambio de variables
77 78 78 79 80
PRUEBA TIPO ICFES
82
BIBLIOGRAFÍA
87
5
UNIDAD 1 1. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Proposición es la oración afirmativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. En la lógica se distinguen dos tipos de proposiciones, siendo estas: Simples o atómicas y compuestas o moleculares.
si. Se les llama Proposiciones Compuestas o Moleculares. Ejemplos de proposiciones compuestas: 1. La ballena no es roja 2. Gustavo no es alto 3. Teresa va a la escuela o María es inteligente 4. 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10 5. El 1 es el primer número primo y es mayor que cero 6. El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10 7. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen 8. Si corro rápido entonces llegaré temprano 9. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa 10. Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho
Como ejemplos de proposiciones se dan los siguientes: 1. 4 es menor que ocho 2. Carlos es alto 3. México es un país de América 5. María es inteligente 6. El sábado no hay clases 8. El uno es el primer número natural Ahora se dan algunas expresiones que no son proposiciones:
Observación. Se les llama términos de enlace o conectivos lógicos a las partículas: No, o, y, si…entonces, si y solo si. Observemos que los conectivos: o, y, si…entonces, si y solo si, se usan para enlazar dos proposiciones, pero el conectivo no actúa sobre una sola proposición.
1. ¿Cómo te llamas? 2. ¿Qué hora es? 4. El árbol 5. ¡Levanta esa pluma! Estas expresiones no son proposiciones porque no afirman nada que sea verdadero o falso, es decir, la 1 y 2 son preguntas, la 3 es una frase y la 5 es una orden.
1.2.1. Conectivos lógicos: negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional.
A continuación se da una tabla en la que se da la expresión gramatical y el nombre del conectivo que representa:
1.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
Las proposiciones simples o atómicas son proposiciones que ya no pueden descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones. Ejemplos de proposiciones simples o atómicas: 1. La ballena es roja 2. La raíz cuadrada de 16 es 4 3. Gustavo es alto 4. Teresa va a la escuela 1.2. PROPOSICIONES MOLECULARES
COMPUESTAS
O
Para simbolizar cualquier proposición es necesario saber cómo se simbolizarán las proposiciones simples y los conectivos. A las proposiciones simples las simbolizaremos con letras mayúsculas:
Las proposiciones en las que aparecen las partículas gramaticales como: No, o, y, si…entonces, si y solo
6
5. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen L=Yolanda es estudiosa M=Yolanda pasará el examen La simbolización es: L⇒M
A, B, C, … , X, Y, Z El nombre y símbolo de los conectivos se da en la tabla siguiente:
6. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa
P=terminaré rápido La simbolización es: P⇔Q
Q=me doy prisa
7. Si 3 es mayor que 2 y 2 es mayor que cero entonces 3 es mayor que cero
A=3 es mayor que 2 B=2 es mayor que cero C=3 es mayor que cero La simbolización es: (A∧B) ⇒ C
Ejemplos
Simbolizar las proposiciones que se dan: 1. La ballena no se roja En este ejemplo la proposición simple es: la ballena es roja, luego podemos proceder de la forma siguiente:
8. No ocurre que Alejandro sea alto y sea chaparro
D=Alejandro es alto E=Alejandro es chaparro La simbolización es: ¬ (D ∧E)
A=la ballena es roja
Observación. Siempre que aparezca la expresión “no ocurre que” indica que en la simbolización la negación antecede a los paréntesis y dentro de ellos se debe incluir la simbolización de la proposición restante.
Y la simbolización para la proposición compuesta, al utilizar el símbolo correspondiente para el conectivo no, es: ¬A Es importante tener presente que la negación siempre antecede a la proposición simple al dar la simbolización.
9. Si estudio mucho y asisto a clases entonces no reprobaré el examen y pasaré la materia
2. Gustavo no es alto
F=estudio mucho G=asisto a clases H=reprobaré el examen I=pasaré la materia La simbolización es: (F ∧G) ⇒ (¬H ∧I)
B=Gustavo es alto Luego la simbolización es: ¬B
Con el fin de ahorrar paréntesis es importante considerar la fuerza o jerarquía de los conectivos. A continuación se dan los conectivos de menor a mayor fuerza: a) ¬ b) ∨ c) ∧ d) ⇒ y e) ⇔
3. Teresa va a la escuela o María es inteligente
C=Gustavo es alto D=María es inteligente Luego la simbolización es: C ∨ D 4. El 1 es el primer número natural y es mayor que cero
G=el 1 es el primer número natural mayor que cero La simbolización es: G∧H
Como se observa el más débil de todos es el conectivo “no” y el más de ellos es el conectivo “si y sólo si”.
H=el 1 es
1.2.2. Las proposiciones se clasifican de la siguiente forma: A partir de la fuerza o predominancia de los conectivos:
7
1.2.2.1. Negación. Dada una proposición p , se define la negación de p como la proposición p¬ que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p ". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden lógicas para efectuar diversas operaciones construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. La tabla de verdad de la negación es la siguiente:
cualquier otro caso. Se escribe p ∧ q, y se lee "p y q". Así por ejemplo, la proposición compuesta Palmira tiene montañas y ríos es verdadera porque cada parte de la conjunción es verdadera. No ocurre lo mismo con la proposición Palmira tiene montañas y tiene mar . Esta proposición es falsa porque Palmira no tiene mar.
Ejemplo: Si p es “algunas aves vuelan” y q es “el gato es un ave”, entonces p ∧ q expresa “algunas aves vuelan y el gato es un ave” , que es obviamente falsa pues los gatos no son aves. Por otro lado la proposición p ∧ ¬ q que dice “algunas aves vuelan y el gato no es un ave” es verdadera pues es la conjunción de las proposiciones verdaderas.
Ejemplo 1: Si p simboliza la proposición estamos en la clase de álgebra , entonces ¬p es no estamos en la clase de álgebra. Ejemplo 2: Consideremos la proposición p: “10 es múltiplo de 5”. Entonces el valor de p es (V). Su negación dese ser una proposición que es falsa siempre que p sea verdadera, por lo tanto ¬ p debe expresar exactamente lo contrario a lo que expresa
1.2.2.3. Disyunción. Es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q". La disyunción de dos proposiciones puede ser de dos tipos: Exclusiva o excluyente e inclusiva o incluyente. La exclusiva es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ⊻ q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.
p.
Ejemplo 3: Consideremos la proposición q : “Todos los perros son blancos”. No debe confundirse la negación con decir algo diferente, por ejemplo… r: ”Algunos perros son blancos”. La proposición r no es la negación de q , puesto que si q es verdadera también r lo es. Si decimos s : “Ningún perro es blanco”, tampoco s es la negación de q , puesto que si existiera un único perro de color blanco y los demás fueran marrones, entonces tanto q como s serían proposiciones falsas.
La disyunción de tipo inclusivo entre dos proposiciones es falsa sólo si ambas proposiciones son falsas. En el lenguaje coloquial y en matemática es más frecuente el uso de la disyunción inclusiva, también llamada el “ o inclusivo”. A veces el contexto de una frase indica si la disyunción es excluyente o incluyente.
La negación de q puede ser enunciada de la siguiente manera: ¬q :
“Algunos perros no son blancos”. Así, si q es verdadera, claramente ¬q es falsa, mientras que si ¬q es verdadera, resulta ser falsa q.
Ejemplo: “Los alumnos regularizan la materia si aprueban tres parciales o si aprueban o si aprueban dos parciales y tienen un 80% de asistencia”.
1.2.2.2. Conjunción. Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en
8
En este caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera de los dos requisitos, o también cumplir los dos. Pero por ejemplo, si en un restaurante con menú fijo se nos dice que tenemos como postre “helado o flan”
normalmente no significa que podamos pedir ambos, siendo en este caso la disyunción exclusiva.
1.2.2.4. Condicional. Es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p ⇒ q, y se lee "si p entonces q". 1.2.2.5. Bicondicional. Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p ⇔ q, y se lee "si y sólo si p entonces q".
Ejemplos de proposiciones simbolizadas en donde se pueden eliminar algunos paréntesis:
1.2.2.6. Tautologías, contradicciones y contingencias. Haciendo uso de las tablas de verdad podemos verificar cuando una proposición es una tautología, cuando es una contingencia y cuando es una contradicción, para tal efecto se dan las definiciones siguientes:
1. La proposición condicional (A ∧ B) ⇒ C se puede expresar como A ∧ B ⇒ C, dado que el conectivo “ ⇒” supera al conectivo “∧”. 2. La proposición bicondicional (A ∧ C) puede expresarse como A ∧ C ⇔ D ∨ E.
⇔
(D
∨
Definición 1. Una proposición compuesta es una Tautología si al construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es verdadero independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.
E)
3. La proposición disyuntiva (¬A) ∨ (¬B) se puede escribir como ¬ A ∨ ¬B.
Definición 2. Una proposición compuesta es una Contradicción si al construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es falso
4. La proposición bicondicional (¬A) ⇒ (¬B) ⇔ (¬C) ∨ D se puede escribir como ¬A ⇒ ¬B ⇔ ¬C ∨ D.
9
Ejemplos Construir la tabla de verdad de las proposiciones compuestas que se dan e indicar si se trata de una tautología, contradicción o contingencia.
independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen. Definición 3. Una proposición compuesta es una Contingencia si al construir su tabla de verdad no resulta tautología o contradicción.
10
Ejercicios 1. Simbolizar las proposiciones que se dan.
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Sergio es doctor y Gustavo es Matemático. El árbol es alto y da mucha sombra. Si corro entonces no llego tarde. 7-2=5 o 2+3=5 16=42 si y sólo si 16=4x4. No ocurre que el 3 sea número par e impar. No ocurre que si me levanto temprano entonces no llegue a tiempo. Si no estudio y no asisto a clases entonces no pasaré el examen. Si 2>1 y 1>-4 entonces 2>-4. Un número es primo si y sólo si es divisible por si mismo y por la unidad.
3. Evalúa cada proposición según los valores de verdad p = F. q = V. r = F.
a) p v q
b) ¬ p v ¬ q
c) ¬ p v q
d) p v ¬(q ∧ r)
11
e) ¬(p v q) ∧ (¬ p v r)
4. Escribe la negación de cada una de las siguientes proposiciones:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)
Todos los alumnos del curso son inteligentes. Todas las mujeres son lindas. Ninguna mujer es linda. Hay un banco que está roto. Hay exactamente un hombre inteligente. Al menos un hombre es inteligente. 4 es múltiplo de 8. A veces llueve. Me gusta estudiar. Me gusta estudair y tomar mate. Me gusta estudiar pero no me gusta tomar mate. No me gusta estudiar ni tomar mate. 7 ≤ 8 2 < 3 ≤ 5 (significa: 2 es menor que 3 y 3 es menor o igual a 5) a ∈ A ⋃ B.
1.2.2.7. Implicaciones lógicas. La noción de implicación lógica es esencial para formalizar los razonamientos deductivos.
La proposición P implica lógicamente la proposición Q si, y sólo si la proposición condicional P → Q es una tautología. Demostración: Veamos que P ⇒ Q sólo si P → Q es una tautología.
En efecto, supongamos que P implica lógicamente Q. Entonces, de acuerdo con la defin ición, cuando P es verdad, Q también lo es y cuando Q es falso, P es falso, por tanto, la tabla de verdad de P → Q conteniendo únicamente estas opciones es:
es decir, P → Q es una tautología. Recíprocamente, veamos que P ⇒ Q si P → Q es una tautología. En efecto, si P es verdad y P → Q es una tautología entonces Q ha de ser verdad. También podríamos haber dicho que si Q es falso y P → Q es una tautología, entonces P ha de ser falso. Debido a este teorema, los lógicos prefieren adoptar el lenguaje común como el lenguaje de la lógica y leen p → q como “p implica q”. En este caso, ellos utilizan la palabra implica como el nombre de un conectivo lógico y como el nombre de una relación paralela entre proposiciones. Resolvemos ahora el ejemplo anterior viendo que ¬(p∨q) → ¬p es una tautología. Su tabla de verdad es:
12
luego, ¬(p ∨ q) → ¬p es, efectivamente, una tautología. Implicaciones lógicas más comunes. La tabla siguiente presenta algunas implicaciones l´ogicas con los nombres que usualmente reciben.
13
14
1.2.2.8. Equivalencias lógicas. La equivalencia permite hacer transformaciones si tácticas de las sentencias sin perder su semántica.
Las proposiciones compuestas P y Q son lógicamente equivalentes y se escribe P ≡ Q ó P tienen los mismos valores de verda .
⇐⇒ Q
cuando ambas
Obsérvese que de esta definición se sigue que para probar que dos proposiciones son lógicamente equivalentes hay que probar que si P es verdad, Q también ha de serlo y que si P es falso, Q tien que ser falso. Obsérvese también que otra forma de demostrar lo mismo es probar que P es verdad partiendo de que Q lo es y probar que si Q es falso, entonces también lo es.
Equivalencia Lógica y Proposición Bicondicional. La proposición P es lógicamente equivalente a la proposición Q si, y sólo si la proposición bicondi cional P ←→ Q es una tautología. Demostración. Veamos que P ⇐⇒ Q sólo si P ←→ Q es una tautología. En efecto, si P ⇐⇒ Q, entonces ti nen los mismos valores de verdad, es decir P Q son, ambos, verdaderos o falsos, de aquí que el valor de verd d de P ←→ Q sea siempre verdadero, es decir s una tautología.
Recíprocamente, probemos que P
⇒ Q
si P ←→ Q es una tautología.
Efectivamente, si la proposición bicondicional P ←→ Q es siempre verdadera, entonces de acuerdo con su definición, P y Q son, ambas, falsa o verdaderas, es decir tienen los mismos valor s de verdad y, por tanto, P es lógicamente equivalente a Q.
15
En el ejemplo anterior vimos que ¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q, luego este teorema afirma que la proposición bicondicional ¬(p ∧ q) ←→ ¬p ∨ ¬q es una tautología. Veamos que es cierto. En efecto,
Equivalencias lógicas más comunes. Al igual que en la implicación lógica, veamos una tabla con las equivalencias lógicas más útiles junto con los nombres que reciben.
16
Ejemplo. Probar que la proposición condicional P → Q es lógicamente equivalente a su contrarrecíproca ¬Q → ¬P. Solución: Veamos que ambos condicionales tienen los mismos valores de verdad. En efecto, si P → Q es verdad, entonces P puede ser verdad o falso. Pues bien, − si P es verdad, q ha de ser verdad, luego ¬P y ¬Q son, ambas, falsas y, consecuentemente, ¬Q → ¬P es verdad. − si P es falso, entonces ¬P es verdad y ¬Q − → ¬P es verdad, cualquiera que sea el valor de verdad de Q. Por lo tanto, en cualquier caso, ¬Q −→ ¬P es verdad. Por otra parte, si P → Q es falso, entonces P es verdad y Q es falso, luego ¬Q es verdad y ¬P es falso y, por lo tanto, ¬Q → ¬P es falso.
También podemos hacerlo escribiendo su tabla de verdad.
Entonces, el bicondicional (P → Q) ←→ (¬Q → ¬P) es una tautología y es una equivalencia lógica.
Ejercicios a) Verificar si las proposiciones condicionales son equivalencias lógicas o no.
b) Simbolizar los argumentos que se dan y utilice tablas de verdad para verificar si son válidos o no.
1. Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nos despedimos ahora. Por tanto, no cumpliremos nuestro plan. 2. Si llovió la pasada noche, entonces la pista se ha limpiado. La pista no se ha limpiado. Por tanto, no llovió la pasada noche.
17
3. Este hombre es un abogado o un político. No es un abogado. Por tanto, no es un político. 4. Si Mr. Lincoln es elegido, entonc s los Estados del Sur se separarán con seguri ad. Si los estados del sur se separan, entonces estallará una guerra civil. Por tanto, Si Mr. Lincoln es elegido, entonces estallara una guerra civil. 5. Si 5>3, entonces 7>3. Si 7>3, entonces 5>0. Por tanton, 5>0.
2. CUANTIFICADORES
En lógica, teoría de conjuntos y ma emáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos e un conjunto dado cumplen con cierta propie ad. Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utiliz dos están: Cuantificador universal Para todo x, y... Cuantificador existencial Existe al menos un x, y... Cuantificador existencial único Existe exactamente un x, y. .. Negación del cuantificador existencial No existe ningún x, y... 3. CONCEPTUALIZACI N Y CLA IFICACI N DE LOS CONJUNTOS
Un conjunto es una colección d objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto objetos “tangibles” como abstracciones matemáticas. Esos objetos que al reunirse form n el conjunto, se denominarán elementos del conjunto.
diversos alfabetos. o más frecuente (más por tradición que por nor a) es usar letras mayúsculas para designar a lo conjuntos, y reservar las minúsculas para desig ar elementos. Como se puede fácilmente imaginar, la expresión del tipo “x es un ele mento del conjunto A” o equivalentemente “x pertenece al conjunto A” es de
Se designa a los conjuntos y a los lementos que los constituyen por medio de letras pertenecientes a
18
uso muy frecuente cuando se habla de conjuntos y elementos. Por ello, es útil recurrir a un símbolo que nos permita expresar esa idea más brevemente. Concretamente, “x pertenece al conjunto A” se representa por x ∈ A, “x no pertenece al conjunto A” se representa por x / ∈ A.
Los conjuntos suelen describirse encerrando sus elementos entre llaves “{” y “}”. Entre esas llaves pueden aparecer o bien todos los elementos del conjunto separados por comas, o bien expresar la condición que deben cumplir los elementos para pertenecer a dicho conjunto. Con un ejemplo se entiende mejor... pretendemos definir el conjunto A formado por los naturales que están entre 4 y 26 (ambos inclusive). Podemos hacerlo de dos modos, o bien A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, o también como: A = {n ∈ N : 4 ≤ n ≤ 26}.
Del mismo modo, usamos símbolos para sintetizar o acortar las expresiones más frecuentes. Así, el símbolo “∀” se lee “para todo”, el símbolo “ ∃” se lee “existe”, los dos puntos “:” se leen como “tal que”, etc...
3.1. CLASES DE CONJUNTOS 3.1.1. Conjunto Universal. Es aquel conjunto que contiene a oros conjuntos. Se simboliza con la letra U. Si observas el siguiente diagrama de Venn, el conjunto universal U contiene a los conjuntos A,B,C,
3.1.2. Conjunto Infinito. Es aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos. Es decir, tiene infinitos elementos. ℕ =
{0,1,2,3,4,5,…} Naturales
ℤ =
{…,-2, -1, 0,1,2,3,…} Enteros
3.1.3. Conjunto Finito. Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos.
A = {0,1,2,3} B = {a,e,i,o,u} 3.1.4. Conjunto Vacío. Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se le representa por ∅ sin llaves.
A ={ }
19
3.1.5. Conjunto Unitario. Es aquel que tiene un solo elemento.
conjunto B un elemento 4. El elemento 5 no lo es, entonces y – 3 = . Resolviendo: y – 3 = 4, obtenemos: y = 7.
A = { 2}
Igualmente, si en el c njunto B, hay un elemento 5, entonces debe haber n el conjunto A un elemento 5. El elemento 4 no lo es, entonce, x + 2 = 5.
B = {3,3,3,3} es también unitario. Los elementos repetidos se consideran una sola v z. 3.1.6. Conjuntos Iguales. Son a que tienen los mismos eleme conjuntos: A={2,3} y B={3,2}, enton tienen los mismos elementos, afirm
uellos conjuntos tos. Dados los es, debido a que mos que A = B.
Resolviendo: x + 2 = 5, obtenemos : x = 3. Por lo tanto: “x + y” es: 3 + 7 = 10 3.1.7. Conjuntos isjuntos. Se dice que dos conjuntos son disju tos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjunto .
Ejemplo: Si los siguientes conju tos son iguales, hallar “x+y”. A={x + 2; 4} y B={5; y – 3)
Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el c njunto vacío; es decir, si
Como los conjuntos A y B son iguales, entonces deben tener los mimos elementos: Si en el conjunto A hay un elemento 4, entonces ebe haber en el
EJERCICIOS 1)
Cuáles son los elementos d : a) El conjunto de los días de la s mana b) El conjunto de las estaciones el año c) Los números impares menore de 11 d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20 e) Los números primos menores de 15
2)
Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } b) y { o, p, q, x } c) x { o, p, q, y } d) Perú { países de Europa } e) Amazonas { ríos de América }
3)
( ( ( ( (
) ) ) ) )
¿Cuáles de los siguientes c njuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinit s? a) A = { x / x es día de la semana } b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} d) D = { x / x es un habitante de l luna} e) E = { x N / x < 15} f) F = { x N y 5 < x < 5 } g) G = { x N y x > 15}
20
h) H = { x N y x = x} i) I = { x / x es presidente del Océano Pacífico} j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } 3.2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 3.2.1. La unión de dos conjuntos A Y B , denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos de A ó B, ó de ambos.
3.2.3. La diferencia de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene exactamente aquellos elementos de A que no están en B.
Ejemplos: 1) Si A = {a, b}, B = {c, d}, entonces A B = {a, b,c, d}
Ejemplos: 1) {a, b, c} {a} = {b, c}
2) Si A = {a, b}, B = {a, c}, entonces A B = {a, b, c}
2) {a, b, c} {a, d} = {b, c}
3) Si A = {a,b}, B = {}, entonces A B = {a, b}
3) {a, b, c} {d, e} = {a, b, c}
4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, entonces A B = {a, b, c, {a, b}}
3.2.2. La intersección de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos que están tanto en A como en B.
3.2.4. La diferencia simétrica de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene todos los elementos que están en A o en B pero no en ambos, es decir, A B = (A B) (A B).
Ejemplos: 1) {a, b} {a, c} = {a}
Ejemplos: 1) {a, b} {a, c}={b, c}
2) {a, b}
{c, d} = {}
2) {a, b}
{}= {a, b}
3) {a, b}
{} = {}
3) {a, b}
{a, b}={}
21
EJERCICIOS…… 1. Sea A= {a,b,c} y B= {b,c,d,e} entonces A ⋃B = (represente con Diagrama de Venn). 2. Sea A= {1,3,5,7,…} y B= {2,4,6,8,…} entonces A⋂B = (represente con Diagrama de Venn). 3. Supongamos que C= {a,e,i,o,u} y D= {e,o,u} entonces C ⋂D= (represente con Diagrama de Venn). 4. Sean A= {p,q,r,s} y B= {r,s,k} entonces: A – B= y B – A= (represente con Diagrama de Venn). 5.
4. NÚMEROS REALES
Los números son muy importantes para el hombre moderno. En estos tiempos en los que se realizan viajes espaciales y en los que las computadoras son usadas tanto por amas de casa, así como por investigadores, los números están presentes en toda actividad del hombre. Los números afectan a las actividades más comunes, como la adquisición de alimentos en el mercado y la consulta de fechas en el calendario. Resulta claro que sin los números no existirían instrumentos de medición como el reloj, la regla y el termómetro.
aplicaciones, se han creado diversas clases de números. Los números reales son: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales. 4.1. NÚMEROS NATURALES
Son los que se usan con mayor frecuencia, en actividades cotidianas; son también los números más antiguos que se conocen. Este conjunto de números se denota como: □ y está definido como sigue:
El número es útil en una amplia gama de situaciones reales. Sin embargo, situaciones reales diferentes requieren el uso de diferentes clases de números: el pastor, que desea conocer el número de ovejas de su rebaño, necesita de los números naturales o números para contar; el ama de casa, que dispone de la receta de un guiso para 7 personas y desea prepararlo para 11, necesita de los números racionales o números para comparar. Para diversas
□ =
{1,2,3,4,5, }
La gráfica de los números naturales sobre la recta real (siendo ésta la recta horizontal que va de menos infinito a más infinito) es la siguiente:
22
4.3. NÚMEROS RACIONALES
Observemos que los números naturales al ser graficados sobre la recta real, son únicamente puntos aislados sobre ella.
Estos números son útiles cuando es necesario trabajar con fracciones. Los números racionales se denotan por: □ y para definirlos se utiliza la notación constructiva de un conjunto.
4.2. NÚMEROS ENTEROS
Los números naturales no son suficientes para todas las actividades del hombre. Existen diversas situaciones en que las cantidades pueden considerarse en una dirección o en la dirección opuesta. Por ejemplo, un saldo de quinientos pesos a favor es muy diferente a un saldo de quinientos pesos en contra, una temperatura de quince grados sobre cero es diferente a quince grados bajo c ero, no es lo mismo 100 años antes de cristo que 100 años después de cristo, etc. En estas situaciones los números naturales únicamente sirven para describir una dirección y para describir la dirección contraria, es necesario usar los números enteros. El conjunto de números enteros se denota como: □ y se define por:
Observemos que el cociente formado por números enteros (siempre y cuando el denominar sea diferente de cero) es un número racional. Como ejemplos de números racionales se dan los siguientes:
Anteriormente se indicó que todo número natural es un número entero, ocurrirá que todo número entero también sea un número racional, la respuesta es si y la forma más simple es dividir a cada número entero entre uno. De esta forma siguen siendo números enteros, pero representadas como números racionales. Luego, se obtiene que los números enteros sean un subconjunto de los números racionales, es decir: □ ⊂ □ de manera mas completa □ ⊂ □ ⊂ □
La gráfica de los números enteros sobre la recta real es:
El diagrama de Venn es: En la gráfica se observa que los números enteros sobre la recta real, continúan siendo puntos aislados, pero ya también aparecen números negativos. Además también nos damos cuenta que los números naturales son un subconjunto de los números enteros, es decir, todo número natural es un número entero y se representa como: □⊂□
Un diagrama de Venn es el siguiente: La gráfica de algunos números racionales es la siguiente:
23
Se puede observar que aunque fueron graficados sólo algunos números racionales, cubren mucho más espacio sobre la recta real y si nos imaginamos la gráfica de todos los números racionales, nos podremos dar cuenta que aún quedan huecos sobre la recta real y dichos huecos corresponden a los números irracionales.
4.5. NÚMEROS REALES
4.4. NÚMEROS IRRACIONALES
Un diagrama de Ven en donde se contemplan a todos los conjuntos de números que hemos visto es el siguiente:
Los números reales se denotan por: “ □” y lo forman todos los números racionales y todos los números irracionales, es decir:
Estos números no son representados como números racionales y si se representan en su expansión decimal, se distinguen de los números racionales por que su expansión decimal no es periódica y la expansión decimal de todo número racional si es periódica. A continuación se dan ejemplos de números en su expansión decimal y se indica si es racional o irracional.
4.6. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Para todo número real a, b y c: Los ejemplos 1, 2, 3 y 4 representan números irracionales, dado que su expansión decimal no es periódica y los números de los ejemplos 5, 6 y 7 son números racionales por que su expansión decimal si es periódica, para el ejemplo 5 el período es dos, para el ejemplo 6 el período es tres y para el ejemplo 7 el período es cuatro.
Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a·b=b·a Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5 2x4=4x2 Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c
Si ahora sobre la recta real se graficaran todos los números racionales y todos los números irracionales, se cubrirían todos los puntos de la recta real, es esta la razón del por qué a cada punto de la recta real le corresponde un número real y también el por qué de dicho nombre. Los números irracionales serán denotados como: .
Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7 Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a
Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4 Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a
Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3
24
Inverso Aditivo: a + (-a) = 0
Ejemplos:
Ejemplo: 6 + (-6) = 0 Inverso
Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Multiplicativo:
Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4
25
EJERCICIOS…… Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo: Número/Conjunto numérico 11 -7 0 ¾ 0.272727… 7.25 2.7985413… 1½
Natural
Cardinal
Entero
Racional
Irracional
Real
Identifica la propiedad en cada enunciado: 1. 7 + 5 = 5 + 7 ___________________________
6. 11 + 0 = 11 ___________________________
2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ___________________
7. 9 + -9 = 0 ____________________________
3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) ____________________
8. 2 x ½ = 1 ____________________________
4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ____________________ 5. 7 x 1 = 7 ________________________________
26
PRUEBA TIPO ICFES CONTESTA LAS PREGUNTA 1 A 3 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE I FORMACIÓN
de las bases ciirculares de la lata y multiplicar dicho valor por la altura.
El gerente de una compañía pro esadora de atún cita al fabricante de env ses de lata, especificaciones sobre algunas e sus posibles alternativas. El fabricante advierte que el calibre de las latas con las cuales se fabrican los envases es el mismo y por lo tanto no incide en la capacidad de los envases. Además presenta las dos alternativas siguientes:
b) Multiplicar el diámetro de una de las bases circulares por la altura. c) sumar a la altura la longitud de la circunferencia e una de las bases circulares de la lata. d) Determinar el área total de la lata y ha dicho valor restarle l doble del área de una de las bases circular s de la lata. 3. Para vender atún, las latas se empacan en cajas sin tapa, como se muestra en las figuras. Si el gerente se decidi por la lata No.1 y en cada caja deben ir 6 lat s, ¿cuál de las siguientes cajas no debe usar l compañía, si quiere utilizar la caja de volumen m nor?:
a) 1. Si por conveniencia financiera, la compañía requiere la lata en la cual pueda nvasar la menor cantidad de atún, ¿cuál de las d s latas se debe elegir?:
b)
a) La No. 2 ya que el radio e la No. 1 es el triple de la No. 2 y en consecuencia, el volumen de ésta resulta menor. b) Cualquiera de las dos la as, pues ambas tienen un volumen igual a 108 cm³. c) La No.1 ya que la No.2 tiene mayor volumen por tener una altura mayor. d) Cualquiera de las dos latas, pues, aunque el radio No.2 es la tercera pa te del radio de la lata No.1, su altura es nueve veces la de la No.1, lo cual implica que su volumen sea el mismo. 2. Si al envase se le debe coloca papel en el contorno (como lo i deseamos saber la cantidad de en cada lata; de los siguientes ¿cuál será el más conveniente?:
una etiqueta de dica la figura) y papel requerida procedimientos
c)
d)
a) Determinar la longit d de la circunferencia de una
27
CONTESTA LAS PREGUNTA 4 A 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE I FORMACIÓN
porcentaje de ratone enfermos entre el tiempo t y un tiempo (t + 1) es:
6. Luego de resultar infectado con el virus, un ratón tiene tan solo un 35% de posibilidad de sobrevivir. Según e to, si hubiera suspendido el experimento al cabo de la primera hora de iniciado, el número de ratones vivos, unas horas más tarde, posiblemente sería 432. Esta afirmación es:
4. La gráfica que representa mejor el porcentaje de ratones enfermos es:
a) Falsa, porque de los 516 ratones morirían 129. b) Falsa, porque al cabo de esta hora habría aproximadamente 180 ratones vivos. c) Verdadera, porque sobrevivirían 65 ratones de los 387 que se contagiaron con el virus. d) Verdadera, p rque al cabo de esta hora lograrían sobrevivir 45 ratones de los infectados.
a)
b)
c)
d)
a) 25t
b) 25 • 2t
Para probar el efecto que tiene un vacuna aplicada a 516 ratones sanos, se realiza u experimento en un laboratorio. El experimento con iste en identificar durante algunas horas la regularida en el porcentaje de ratones que se enferman l ser expuestos posteriormente al virus que atac la vacuna. Las siguientes gráficas representan l porcentaje de ratones enfermos al cabo de la priimera, segunda y tercera hora de iniciado el experimento.
c)
d)
CONTESTA LAS REGUNTAS 7 A 9 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
7. El vendedor del almacén afirma que en el día se recibió la misma cantidad de dinero por la venta de baldosas triado que por la venta de baldosas cuadu. Ba ándose en la afirmación del vendedor usted puede deducir que:
a) La cantidad d baldosas cuadu vendidas fue el 1.6% de la cantidad de baldosas trado. b) Por cada 8 aldosas triado vendidas, se vendieron 5 baldosas cuadu. c) La cantidad d baldosas triado vendida fue 1.6 veces la c ntidad de baldosas cuadu. d) El 50% del total de baldosas vendidas fue triado ya que se recibió la misma cantidad de dinero por su venta que por la venta de las baldosas cuadu.
5. Sea t el número de horas transcurridas después de iniciado el experimento. La expresión que representa el incremento en el
28
8. Para incentivar la compra de baldosas cuadu, el dueño del almacén decide unificar el valor por centímetro cuadrado de baldosas triado y cuadu. El procedimiento que usted le sugeriría al dueño para encontrar valores adecuados a sus propósitos es:
Tabla 1. Nacimientos en la primera semana DÍA Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
a) Sumar y luego dividir entre 2 los cocientes resultantes de la división entre el precio de cada baldosa y el área que cubre. b) Sumar y luego dividir entre 31 los precios de una baldosa triado y una cuadu. c) Sumar y luego dividir entre dos los precios de una baldosa triado y una cuadu. d) Sumar los cocientes resultantes de la división entre el precio de cada baldosa y el doble del área cubierta por ella.
HOMBRES 10 9 7 12 11 6 9
MUJERES 8 13 9 11 8 8 8
Tabla 2. Nacimientos en la segunda semana DÍA # TOTAL DE HOMBRES NACIMIENTOS Lunes 20 17 Martes 22 10 Miércoles 20 9 Jueves 18 9 Viernes 22 11 Sábado 16 4 Domingo 17 8
9. Un cliente sea dirigido a la sección de quejas y reclamos del almacén asegurando que, de los 24 m² que compró en baldosa cuadu, el 25% salió defectuosa y por tanto exige al almacén la devolución de $110.000 correspondientes al precio de las baldosas defectuosas. Usted no está de acuerdo con el cliente, pues:
10. Con los datos que registraron los estudiantes desean hacer una comparación entre la cantidad de hombres nacidos durante las dos semanas. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor esta comparación?
a) No es posible que haya comprado 24 m² en este tipo de baldosa porque ello implicaría que le vendieron partes de baldosas. b) La cantidad de dinero que exige como devolución sobrepasa el valor correspondiente al 25% de las baldosas compradas. c) La cantidad de dinero exigido como devolución es inferior al costo de 6 m² de baldosa cuadu. d) El precio de seis baldosas cuadu no corresponde al exigido en devolución.
a)
CONTESTA LAS PREGUNTAS 10 A 12 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
b)
Algunos estudiantes de una universidad recogieron información acerca del número de hombres y mujeres que nacieron en un hospital durante dos semanas. La información la registraron en las siguientes tablas:
29
c)
hombres naci os es igual a la cantidad de mujeres. d) No, porque lo datos registrados en la tabla no permiten e tablecer el porcentaje entre el nacimiento de hombres y de mujeres durante las dos semanas. CONTESTA LAS PREGUNTAS 13 A 15 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
d)
Un profesor de matemáticas le propone a sus estudiantes realizar l conteo de dígitos de los números que hay des e 1 hasta 999, como lo indica el siguiente ejemplo: ¿Cuántos dígitos hay desde 8 hasta 13?
11. Partiendo de los datos pre entados en las tablas es falso afirmar:
La cantidad de dígitos e los números que hay desde 8 hasta 13 es 10 dígitos.
a) En la primera semana hubo más nacimientos que en la segunda semana. b) El nacimiento de hombres en la primera semana fue menor que l nacimiento de mujeres. c) El número de nacimiento de mujeres fue menor que el nacimiento de hombres durante las dos semanas. d) El número de nacimiento de mujeres fue mayor en la segunda se ana que en la primera semana.
El profesor les da co o información que la cantidad de dígitos que hay des e 1 hasta 99 es 189. 13. Para responder a la situación planteada por el profesor, cuatro estu iantes presentaron algunos procedimientos. Si el procedimiento debe ser el más rápido y confiable, ¿cuál de los presentados por los estudiantes e cogería?
a) Contar de 1 en 1 hasta llegar a 999. b) Contar de 1 a 9, luego de 10 a 99, por último de 100 a 999 y sumar la cantidad obtenida en cada grupo contado. c) Contar cuántos números hay con 1 dígito, con 2 dígitos con 3 dígitos, multiplicar por 1, por 2 y p r 3 respectivamente y luego sumar. d) Contar cuántos números hay desde 100 hasta 999; m ltiplicar por 3, y finalmente sumarle la cantidad de dígitos que ahí desde uno hasta 99.
12. Según los datos reco idos por los estudiantes durante las dos emanas en el hospital ¿es posible afirmar qu la probabilidad de que nazca un varón en cualquier día de la semana es de 1/2.?:
a) Sí, porque el porcentaje de nacimientos de hombres y mujeres en las dos semanas es del 50%. b) No, porque el número d nacimientos de hombres en la primera semana fue distinto al número de nacimientos en la segunda semana. c) Sí, porque al mirar el número de nacimientos al finalizar las dos seman s la cantidad de
14. Daniel, luego de hacer el conteo afirma que cada dígito se repite la misma cantidad de veces en los números des e 1 hasta 999, pero uno de
30
sus compañeros comenta que e a afirmación es falsa, porque:
las siguientes láminas, ¿cuál considera que Germán Camilo debe elegir para cortar las tablas para la repisa?:
a) Los números de 1 a 999 tienen un orden pero sus dígitos no pueden repetirse la misma cantidad de veces. b) El conteo se hace desde 1 y no desde cero, teniendo al cero mínimo un vez menos. c) La cantidad de números que tienen 2 dígitos es distinta a la cantidad de números que tienen sólo 1 dígito. d) La cantidad de veces que se repite el cero no es la misma con la q e se repiten los demás dígitos. 15. Un estudiante le pregunta al profesor si es posible saber cuántos dígitos hay desde – 999 hasta – 1, conociendo la cantida que hay desde 1 a 999, sin contar de 1 en 1. i usted fuera el profesor, le respondería a este estudiante que: a) No, porque el conteo sólo s posible hacerlo de manera ascendente, es decir, desde 1 hasta 999. b) Sí, porque aunque esté ntecedido por el signo menos no afecta el c nteo de dígitos. c) Sí, porque el orden y l signo no son involucrados en el conte , siendo así el mismo número de dígi os el conjunto anterior. d) No, porque los dígitos son iempre positivos, entonces -1 no es un dígito.
17. Germán Camilo requiere enviar 25 repisas a Bogotá, pero como fueron selladas con un pegante especial y ara que no se dañen, hay que transportarlas d pie y como máximo colocar una repisa sobre la otra. El furgón que contrataron para el transporte tiene un contenedor con capacidad de 2,4 m de largo, 1.2 m de ancho y 1.8 m e alto. ¿Este furgón servirá para llevar todas las episas en un solo viaje?:
a) Sí, porque ca a repisa solamente ocupa un área de menos de ¼ de metro cuadrado y además se pu den colocar dos hileras. b) No, porque e requieren tres viajes del furgón. c) Sí, porque co o el volumen del furgón es de 5,184 metros cúbicos y el de cada repisa 0,192 metro cúbicos, necesariamente caben 27 repisas. d) No, porque s lamente se puede llevar en este furgón 24 repisas.
CONTESTA LAS PREGUNTAS 16 A 18 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE I FORMACIÓN
Una biblioteca mandó a construir ell siguiente tipo de repisa para colocar los libros y textos escolares:
18. El dueño de la biblioteca requiere de otro tipo de repisa cuyas tablas tengan el doble del área de las tablas de la repisa ini ial. Para ello Germán Camilo analiza posibles cambios en las dimensiones de las tablas de la repisa inicial. ¿Cuál de los siguientes cambios le conviene ás a Germán Camilo?
16. Las tres tablas que tiene la repisa son rectángulos de madera completos. Germán Camilo es el encargado de cortar estas tablas, pero lo debe hacer de una misma lámina para cada repisa. De
a) Cuadruplicar el largo y dejar el ancho de las tablas. b) Cuadruplicar l ancho y dejar la mitad del largo de las ta las. c) Triplicar el largo de las tablas. d) Triplicar el largo de las tablas y dejar la mitad del ancho de l s tablas.
31
UNIDAD 2 1. INTERVALOS INTERVALOS
Y
OPERACIONES
CON
Supongamos que se tienen los conjuntos:
Al conjunto A3 se le llama intervalo cerradoabierto, contiene todos los valores que están entre 0 y 3, contiene el 0 y no contiene el 3. Su notación es:
Observemos que difieren entre sí, dado que por ejemplo en el primero se incluyen los extremos que son el 0 y el 3, y en segundo conjunto ya no se incluyen los extremos, es decir, en unos conjuntos se consideran los extremos y en otros no.
Al conjunto A4 se le llama intervalo abiertocerrado, contiene todos los valores que están entre 0 y 3, no contiene el 0 y contiene el 3. Su notación es:
Gráfica, nombre y notación para cada uno de los conjuntos indicados Observemos que cuando el extremo se considera geométricamente se representa por “ • ” y cuando no se considera se gráfica representa por “o”. Intervalos infinitos. Analicemos los conjuntos:
Al conjunto A1 se le llama intervalo cerrado, es decir, contiene todos los números que están entre 0 y 3. También contiene los extremos, siendo estos el 0 y el 3. Su notación es:
La gráfica para cada intervalo es: Al conjunto A2 se le llama intervalo abierto, contiene todos los números que están entre 0 y 3, no contiene los extremos. Su notación es:
32
Observemos que la flecha hacia la derecha indica que el intervalo tiende a infinito y la flecha hacia la izquierda indica que el intervalo tiende hacia menos infinito. 1.1. OPERACIONES CON INTERVALOS
Las operaciones con las que trabajaremos son: unión, intersección y resta o diferencia. A continuación se recuerdan las definiciones de estas operaciones y para tal efecto, se utiliza la notación constructiva de conjuntos.
33
34
EJERCICIOS…… Realizar la unión, la intersección y la resta en ambos sentidos y construir las gráficas para cada pareja de intervalos que se dan:
2. INECUACIONES CON UNA Y DOS VARIABLES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO 2.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Una desigualdad es cualquier expresión en la que se utilice alguno de los siguientes símbolos: < (menor que), > (mayor que) ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) Por ejemplo: 2<3 (dos es menor que 3) 7>π (siete es mayor que pi) x≤5 (x es menor o igual que 5)
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Aquí estudiamos sólo las de primer grado.
2.1.1. Inecuaciones equivalentes. El proceso de resolución de inecuaciones se basa (igual que en el caso de las ecuaciones) en la transformación de la inecuación inicial en otra equivalente más sencilla.
35
36
EJERCICIOS….. En cada caso indica cuál de las inecuaciones, I, II, III, IV es equivalente a la dada: 1. Dada la inecuación −4 x ≤ −3x − 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: I) − x ≥ −5 II) x ≤ −5 III) x ≤ 5 IV) − x ≤ −5 2. Dada la inecuación I) x ≥ −
6 9
II) x ≤ −
3. Dada la inecuación I)
x ≥ −
50 6
9 x ≤ 6 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella:
−
−
6 9
6 x − 5 ≤ 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: 9 50 II) x ≤ − 6
37
2.2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
38
39
2.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
En este caso, las soluciones no son conjuntos de números, sino conjuntos de parejas de números, por lo que no pueden representarse sobre una línea recta: deben representarse como subconjuntos del plano.
Resolución gráfica
Una solución de una inecuación de dos variables es una pareja de números (x0,y0), tales que al sustituir sus valores en las incógnitas de la inecuación, hacen que la desigualdad sea cierta. Cada pareja de números reales se puede representar como un punto del plano. Por tanto, resolver la inecuación equivale a obtener todos los puntos del plano cuyas coordenadas hacen que se verifique la desigualdad. Para ello se procede de la siguiente forma: se dibuja la recta, se elige un punto que no pertenezca a la misma y se comprueba si las coordenadas del punto cumplen la desigualdad o no, si la cumplen la zona en la que está el punto elegido es la solución de la inecuación, si no la cumplen la solución es la otra zona.
40
2.3.1. Sistemas de inecuaciones
41
EJERCICIOS…… INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Resuelve la inecuación siguiente en forma gráfica: x2 –5x>0 INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Averigua si el punto P(-1,-2) es una solución de la inecuación -2x + 3y ≤ 1 y dibuja el semiplano solución, indicando si incluye o no a la recta -2x + 3y = 1 2.4. PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES
42
EJERCICIOS…… 1.
2.
2.5. DEFINICIÓN Y GRÁFICA DEL VALOR ABSOLUTO
Dado un número real cualquiera, a , se define su valor absoluto como:
Este valor se conoce también com módulo de a y representa la distancia del origen de la recta real al punto que representa al número a. Si a, b ∊ ℝ y k ≥ 0 se verifican las siiguientes propiedades:
43
2.5.1. Tratamiento del valor absoluto utilizando la gráfica de f(x)=|x|. El registro gráfico es muy útil para resolver ecuaciones del tipo , |x−3| = 3 si tenemos en cuenta el “efecto gráfico” de la aplicación del valor absoluto a funciones lineales.
Para resolver |x−3| = 3, bastará graficar y=x-3, aplicar la reflexión con respecto del eje x de la parte negativa de la gráfica, obteniendo la gráfica de y=|x-3|, procediendo posteriormente a hallar la intersección con la recta y=3. En ejemplos como el dado quizá no queda clara la eficacia de este método. Sin embargo, debemos poner énfasis en su aplicación, aún en ecuaciones e inecuaciones sencillas, por constituir la base conceptual y procedimental para avanzar en el estudio de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto más complejas. Es aquí donde la potencia del uso del registro gráfico se pone de manifiesto al resolver ecuaciones e inecuaciones como: |||x|-1|-1|=5 ; |x+2| < 3x+4 ; |x2-3x+2| > 4x+7.
ACTIVIDADES…… Actividad 1: ¿Cómo opera el valor absoluto sobre la función y=x?. Observa con detenimiento las siguientes gráficas:
44
¿Puedes obtener alguna conclusión? El objetivo de esta actividad - claramente del tipo “mirar y ver”- indaga la capacidad de i nferencia de los alumnos, a través de una secuencia en registro gráfico, sobre el “efecto” del valor absoluto sobre la gráfica de f(x)=x. Actividad 2: Utilizando lo anterior, graficar y= |x+1| Actividad 3: A partir del gráfico de la Actividad (2) determinar la solución de: a) |x-1|=0 b) |x-1|=3 c) |x-1|= -5
2.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 2.6.1. Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│.Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3. Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c. Ejemplos para discusión:
1) │3x - 4│ = 5
EJERCICIOS…… 1) │3x - 4│= 23 2) │2x + 1│ + 3 = 8
4) │x - 6│ = │5x + 8│ 2.6.2. Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c
¿Qué significa │x│< 2 ? Significa que x es un número menor que 2 unidades desde cero a la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica.
45
Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│<2 están entre -2 y 2. Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2 y 2, esto es, -2 < x < 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│< a, entonces –a < x < a. Ejemplos para discusión:
1) │x│< 3 2) │x + 5│ ≤ 10 3) │3x - 2│≤ 8
EJERCICIOS…… Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones: 1) │x│≤ 5 2) │x - 6│ < 15 3) │2 + 3(x – 1)│< 20 2.6.3. Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c
¿Qué significa │x│> 2 ? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando x está a la izquierda de -2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numérica en el espacio provisto para que puedas visualizarlo.
46
De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a. Ejemplos para discusión:
1) │x│≥ 3 2) │x - 4│> 5 3) │2x - 3│> 5
EJERCICIOS…… Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. 1) │x│> 5 2) │x + 6│> 2 3) │-5x - 2│>13
47
PRUEBA TIPO ICFES MEDICIÓN
c)
Responda las preguntas 1 y 4 on la siguiente información:
En una fábrica de congeladores construyen neveras como la representada en el dibujo. En el manual de instrucciones de esta nevera se menciona, entre otras cosas, sus medidas y el volumen en litros por compartimiento, el cual es de 4 litros para el congelador y 176 litros para el cons ervador. d)
a)
2. En el manual de i strucciones de la nevera se menciona que la pro orción entre el volumen del congelador y del onservador es de 1 a 4, respectivamente. Est significa que: a) Por cada litro e volumen del congelador hay 4 litros de volumen en el conservador. b) La diferencia entre volúmenes en litros apenas es tres veces el volumen del congelador. c) El volumen el congelador es ¼ en comparación al volumen del conservador. d) Por 4 litros de volumen en el congelador hay 1 litro de volu en en el conservador.
b)
3. La empresa decidi construir un nuevo modelo de nevera, manteniendo el volumen total de la anterior y en el que la proporción entre el volumen del congela or y el conservador sea de 1 a 3 respectiv mente. Analizando esta proporción se pued afirmar que en el nuevo modelo. a) El volumen del conservador y el del congelador aumentan respecto a la nevera inicial.
1. Para información a los c nsumidores se grafica la distribución del volu en total de la nevera. La gráfica más adecuada sería:
48
Se ha colocado x en las dimensiones de cada pieza, ya que puede variar de acuerdo con las necesidades de los compradores. Para que el fabricante de estas piezas logre construir la pieza 2, debe: a) A una pieza de dimensiones (2x+5).2x.3x quitarle un pedazo de dimensiones x.x(2x+5). b) Ensamblar 5 iezas iguales de dimensiones x.x(2x+5) c) Ensamblar tre piezas, dos de dimensiones iguales de 2x.(2x+5) y otra de dimensiones x.x. (2x+5). d) Ensamblar tre piezas, dos de éstas iguales cuyas dimensi nes corresponden a 2x.x y la otra de 3x.2x( x+5)
b) El volumen del congelad r aumenta y el volumen del conservado disminuye, en comparación con la nevera inicial. c) El volumen del congelad r representa un tercio y el del conservador representa dos tercios del volumen total. d) El volumen del congelador representa la cuarta parte y el del conservador representa las tres cuartas partes del volumen total. 4. El espacio para colocar l nevera en el apartamento de don Felipe tiene un área rectangular de 3.900 cm2. Él podría colocar allí una nevera como la representada en el dibujo inicial, si: a) La medida de las dos dim nsiones del área rectangular es la misma (A rox. 62-45). b) La medida de una de las dimensiones del rectángulo es 80 cm. c) La medida de un lado del rectángulo es 52 cm. d) Al multiplicar las medidas de cada una de las dimensiones del rectángulo no excede a 3.900 cm2.
RESPONDA LAS REGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACI N
En un club deportivo ti nen 3 cubos numerados del 1 al 3, como se muestra en la figura, que se utilizan en el momento de entreg r las medallas de oro, plata y bronce, a los ganador s de cada competencia.
5. Las siguientes piezas son utilizadas en la industria de la ornamentación omo piezas de seguridad.
6. Si se gasta un galón de pintura para pintar el cubo 3. ¿De qué ma era se puede determinar el número de galones de pintura que se necesita para pintar los cubos 1 y 2?. a) Contando el número de cuadrados de área 2
x 4 que se ecesita para formar una cara del cubo 1 y u a cada del cubo 2. b) Contando el número de cubos de volumen 3 x 4 que se ecesita para formar los cubos 1 y 2.
49
c) Sumando los valores de t que solucionan las ecuaciones 1 1 t t y 2 = 2 2 = 6 x 2 x x x 6 6 6 4 4 4 d) Sumando los valores de t que solucionan las ecuaciones 1 1 t t y = 3 3 3 = 2 x x x x 4 4 4
9. Es posible quitar triángulos equiláteros de las esquinas del triángulo ABC, buscando que el polígono que se forma en el interior sea siempre de 6 lados, sólo si el lado de cada uno de estos triángulos: a) Es mayor o igual a 0 pero menor que la mitad de la longitud del lado del triángulo ABC. b) Es mayor que 0 pero menor o igual que la mitad de la longitud del lado del triángulo. c) Es mayor que 0 pero menor que la mitad de la longitud del lado del triángulo ABC. d) Está entre o y la mitad de la longitud del lado del triángulo ABC. 10. Suponga que la longitud de los lados de los triángulos, en las esquinas del triángulo ABC, es exactamente la mitad de la longitud del lado de dicho triángulo, entonces, es cierto afirmar que: a) El polígono interior es congruente con cualquiera de los triángulos de las esquinas. b) El perímetro del polígono interior es la tercera parte del perímetro del triángulo ABC. c) El polígono que se forma en el interior no altera el perímetro del triángulo ABC. d) El área del polígono interior es la tercera parte del área del triángulo ABC.
7. Si se cambian los cubos 2 y 3 por cajas de base rectangular que tienen el mismo ancho y alto que los cubos 2 y 3 respectivamente, pero cada una con largo igual a la arista del cubo 1, y las numeramos 4 y 5 respectivamente, podemos decir que: a) Las cajas 4 y 5 tienen el mismo volumen, y éste es el doble del volumen del cubo 2. b) El área total de la caja 5 es tres veces el área total del cubo 3, y el área total de la caja 4 es menor que el doble del área total del cubo 2. c) El volumen de la caja 4 es el doble del volumen del cubo 2, y el volumen de la caja 5 es cuatro veces el volumen del cubo 3. d) El área total de las cajas 4 y 5 es la misma y ésta es cuatro veces el área total del cubo 3.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 13 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En los frascos de pintura de cierta marca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN A un triángulo equilátero de 75 cm de perímetro se le quitan tres triángulos también equiláteros de 5 cm de lado, como se muestra en la figura.
11. Un estudiante de publicidad, cuenta con 40 cm3 de pintura roja, pero para su trabajo requiere mínimo 50 cm3 de la misma. El asegura que puede mezclarla con 10 cm3 de pintura blanca siempre y cuando la tonalidad no disminuya más de un 25%. Respecto a agregar los 10 cm3 de pintura blanca, el estudiante debe tomar la decisión de: a) Agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan solo en 2,5%. b) Agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan sólo un 10% c) No agregarlos ya que la tonalidad disminuiría en 50%. d) No agregarlos ya que la tonalidad disminuiría un 60%.
8. El perímetro de la zona sombreada puede ser calculado así: a) A 75 cm le restamos el perímetro de cada uno de los triángulos de 5 cm de lado. b) A 75 cm le restamos el perímetro de uno de los triángulos de 5 cm de lado. c) Calculamos la medida de cada uno de los lados de la figura sombreada y luego sumamos estos valores. d) A cada lado del triángulo ABC le restamos 10 cm y luego multiplicamos ese valor por 3.
12. Un artista ha tomado cierta cantidad de pintura verde y por equivocación la ha mezclado con pintura
50
blanca, que equivale en cantidad a la tercera parte de la inicial. Ante la equivocación, el artista decide agregar la misma cantidad de pintur verde inicial para recobrar la tonalidad. El resultado que el artista obtiene luego de las mezclas indica as no es el que él espera, porque: a) Para recobrar la tonalidad debió agregar tanta pintura verde, como la que agregó por equivocación. b) La tonalidad de la intura disminuyó aproximadamente en 1,66%. c) Para recobrar la tonalidad debió agregar, en pintura verde, cinco veces la cantidad de pintura que agregó por equivocación. d) La tonalidad de la intura disminuyó aproximadamente en 3,33%.
14. Por disposiciones generales, debe pintarse un molde tipo I de tal for a que la mitad de él sea en color blanco. Para construir un diseño ajustado lo pedido, puede recurrirs a: a) Indicar, dentro el molde, una circunferencia de radio X/4 y pintar su interior de blanco. b) Trazar dos diá etros perpendiculares y unir sus extremos forma do un cuadrilátero. El interior del cuadrilátero ser la región en blanco. c) Trazar dos pares de diámetros perpendiculares y unir sus extre os formando un octágono. El interior del octá ono será la región en blanco. d) Indicar, dentro el molde una circunferencia de diámetro igual a la distancia entre los puntos sobre la circunf rencia del modelo, determinados por dos radios perpendiculares.
13. Un estudiante necesita mezclar cierta cantidad de pintura verde con otra blanca. Luego de analizar cuál recipiente era el más adecuado para guardar la mezcla, ha escogido uno que tiene capacid d para seis veces la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que los llenará completamente. De acuerdo con esto, el objetivo del estudiante, al realizar la ezcla era: a) Obtener pintura verde con una tonalidad 6% menor a la inicial. b) Disminuir la tonalidad de la intura verde en un 60%. c) Obtener pintura verde con na tonalidad 10% menor a la inicial. d) Disminuir la tonalidad de la intura verde en un 50%.
15. La persona encargada de recortar los moldes, debe cumplir con un pedido de dos moldes tipo I y tres de tipo II, pero al no s ber cuál de las dos láminas disponibles debe escoger pide la opinión del ingeniero a quien le presentó las os láminas:
Una respuesta acert da por parte del ingeniero es: a) Dado que el área total de los moldes del pedido es menor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles, puede escoger cualquiera de las dos. b) Aunque los dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 1 pues, por su forma, se des reciaría menos material. c) Aunque las dos láminas tienen la misma área, es más propiada la 2 pues, es posible superponer todos los moldes del pedido sobre ella. d) El área de los moldes del pedido es menor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles sin embargo tendría que usar las dos para cumplir con el pedido.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 14 Y 15 DE ACUERDO CON LA SIGUEINTE INFORMACIÓN Para la señalización de las diferentes vías de transporte, se recorta de láminas de aluminio de ariados tamaños y formas, dos tipos de moldes, c n las siguientes características:
51
UNIDAD 3 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Relación de A en B: Dados dos conjuntos A y B, llamaremos relación de A en B a cualquier subconjunto de AxB. Llamaremos relación binaria en A, a cualquier subconjunto de AxA. Propiedades de Relaciones de A en A
Para ejemplificar las propiedades de las relaciones utilizaremos el conjunto A={1,2,3,4}.
52
53
1.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES
54
1.3. ALGEBRA DE FUNCIONES
Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta,multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x). Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:
Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.
55
EJERCICIOS……
1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x – 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas. 2) Sea: Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas. 3) Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?
1.3.1. Composición de funciones Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:
donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:
EJERCICIOS…… Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.
Notas:
1) El dominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f. 2) Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x) está definida.
56
1.4. CLASES DE FUNCIONES: POLIN MICAS, TRASCENDENTES Y ESPECIAL S
1.4.1. Funciones polinómicas. Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de s ma, diferencia, multiplicación, división y potenciaci n, si una función no es algebraica es trascendente.
1.4.2. Funciones tra cendentes. Una función es ALGEBRAICA, si las operaciones de la expresión son algebraicas, caso contrario se llaman TRASCENDENTES (trascienden el campo del álgebra).
Las funciones algebraicas incluyen a las:
1.4.2.1. La función exponencial. Se llama función exponencial a la función:
Funciones polinómicas que son l s funciones P(x), donde P es un polinomio en x , es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x . Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos)
a>0 ⋀ a ≠1 Dada las condiciones anteriormente mencionadas, tenemos dos casos po ibles:
1. Que a>1, por eje plo f(x)=2x, cuya gráfica es la siguiente:
Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen: Función constante: f(x)= a Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado. Función cuadrática: F(x)= ax² + bx c es un trinomio del segundo grado.
57
La característica de esta función es que es creciente, corta a las ordenada en 1 y el eje de las abscisas es asíntota a la curv . El dominio son los reales, y la imagen los reales po sitivos.
Con esta idea, y parti ndo de la función exponencial se tiene:
2. Cuando 0
O sea que la función logarítmica está dada por:
Cuya gráfica es:
Como esta función es la inversa de la exponencial y la base a es también la base de la exponencial, entonces se dan los si uientes casos: Para a>1, por ejemplo: f(x)=log2 x tiene la siguiente gráfica:
La función es decreciente, corta al eje de las ordenadas en 1, el eje de las abscisas es asíntota a la curva, el Dominio son los reales y la Imagen lo reales positivos. Observamos que la g áfica es creciente, corta a las abscisas en 1 y el eje de las ordenadas es asíntota de la curva. Por otro lado el dominio son los reales positivos y la imagen t dos los reales.
Si clasificamos la función expone cial observamos que bajo las condiciones lanteadas ésta es biyectiva ya que es inyectiva po que para valores distintos de los reales, la funció tiene imágenes distintas; y es sobreyectiva por que todos los elementos del conjunto de llegada, o sea los reales positivos, tienen preimágenes.
Probemos para el caso de que 0
1.4.2.2. La función logarítmica. Como la función exponencial es biyectiva, entonces dmite inversa.
Recordemos primero qué es el logaritmo de un número: Lo que significa que calcular el log ritmo en base “a” de un número “b”, es encontrar el xponente “c” a la que hay que elevar la base para obtener el argumento “b”. Así por ejemplo, log3 81= 4, ya que
4
=81.
58
La función es decreciente, corta al eje de las abscisas en 1, y el eje de las ordenadas es asíntota de la curva. Por otro lado, el dominio son los reales positivos y la imagen todos los reales.
Esta se lee “identidad de x” O sea que si a ∊A⟹i (a) a, y así para todos los valores de A. En diagrama de Venn será: A
Para el caso de que a=1 (base 1), no queda definida la función logarítmica. 1.4.3. Funciones especiales. 1.4.3.1. Función constante. La función f:A ⟶ B se llama constante si para todo elemento del dominio, le hace corresponder como imagen un único elemento “K” del codominio.
O sea que:
Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y siempre paralela al eje de las abscisas. O sea:
Haciendo un estudio de esta función se tiene que: - La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos del dominio es imagen de sí mismo, y ellos son distintos. - La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del dominio también son imagen. - Como conclusión podemos decir que esta función es biyectiva. 1.4.3.3. La función proyección. Sea el conjunto R, sean los conjuntos A⊂R y B⊂R. Sea el producto cartesiano AxB, en donde un punto cualquiera P(a,b) pueden determinarse dos funciones llamadas proyecciones de la siguiente manera:
Trabajando con los números reales observamos que elementos distintos del conjunto de partida o dominio tienen siempre la misma imagen k, por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de todos los elementos del codominio, solamente k tiene preimagen, por lo tanto no es sobreyectiva.
Gráficamente:
Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x=k, su gráfica cortará al eje de las abscisa en k y será paralela a las ordenadas.1.4.3.2. La función identidad. La función identidad es aquella a la que a todo elemento del dominio le hace corresponder como imagen ese mismo elemento, o sea:
59
1.4.3.4. La función canónica. Se una relación de equivalencia “~” definida en un conjunto A, por supuesto a partir de ella se generan las clases de equivalencias y el conjunto cociente.
Esta función es sobreyectiva, ya que todos los elementos del conjunto cociente (clases de equivalencias), tienen algún antecedente en el conjunto A, pero no es inyectiva ya que varios elementos de A tienen la misma imagen en el conjunto cociente.
Se llama función canónica a aquella definida desde el conjunto A hasta el conjunto cociente, de tal manera que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder la clase a la que pertenece. O sea:
1.5. FUNCIÓN INVERSA Y CONTI UIDAD DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función que asocia a un unto x de su dominio la imagen y=f(x). Supongamos que f es tal que diferentes x son transformados siempre en di erentes y. Así, cada y en el rango de f es la i agen de a lo más un valor x. Puede asociarse con cada y en el rango de f el valor x que es su preimagen. De esta manera, se define una función g cuyo dominio es el rango de f y que al aplicarse a una imagen y=f(x), reproduce el valor original x, esto es, g(f(x))=x. g se denomina la inversa de f y se denota f-1. Esta función g se halla al despejar la en función de y. f también es la inversa de g, de mo o que también f(g(y))=y.
60
61
TEOREMA
62
1.6. SERIES, SUCESIONES Y PR GRESIONES
Sin embargo, no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, en la importante sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... no hay ninguna fór ula que exprese el término general.
Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Cada uno de los númer s reales se llama término de la sucesión.
Consideremos la suce ión de término general a n = 3 n + 2; 5, 8, 11, 14, 17, 20,...
Dada una sucesión { an }, se lllama serie a la sucesión que forman los siguientes términos: a1, a1+ a2, a1+ a2+ a3, a1+ a2+ a3+ a4, …
Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es una progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la progre ión.
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión de números reales. Al término: an = 3 + 2(n-1) se le llama término general.
Una progresión arit ética es una sucesión de números tales que ada uno de ellos (salvo el
63
primero) es igual al anterior má un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Son progresiones arit éticas:
En la progresión anterior a1 = 5, a = 8 y d = 8 - 5 = 3.
-
-
En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n primeros términos de la p ogresión; en este caso se trata de una progresión arit ética limitada.
-
Los múltiplos de o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2. Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3. Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a... La diferencia es d = .
EJERCICIOS…… 1- Calcular el dominio de las funciones polinómicas:
2. Calcular el dominio de las funciones racionales:
4. Determinar la fun ión inversa de cada de las siguientes funciones
3. Calcular el dominio de las funciones radicales:
64
PRUEBA TIPO ICFES RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 4 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACI N
b) En cuatro uniidades de área porque para conocer el área se multiplican largo por ancho. c) Agregándole al área anterior un número par en forma consecutiva. d) Agregándole al área anterior el doble de cada número natural en forma consecutiva.
Observe los siguientes dibujos. Se tomó una forma rectangular a la que se le ha ido aumentando una unidad de longitud y una unidad de área por cada lado, conservando la misma forma rectang lar.
4. Si alguna forma rec angular en la misma posición de la inicial de dimen iones 5 x 4 se le añaden dos unidades de área de dimensiones 2 x 1, el perímetro de la nueva forma ectangular será mayor dos unidades de longitud ebido a que: a) Sólo aporta al perímetro el valor de una dimensión. b) Sólo incremen a al perímetro el largo de la figura, y cada lado aporta la mitad de este incremento. c) Incrementa el perímetro el valor del largo y ancho de la fig ra. d) Cada unidad d área aporta dos unidades más de longitud al perímetro.
1. La relación que se puede establecer entre las respectivas áreas al variar en una unidad las dimensiones, corresponde al siguiente arreglo numérico: a)
2 6 12 20 30 42 , , , , , ........ 6 12 20 30 42 56
b)
6 10 14 18 22 26 , , , , , ........ 10 14 18 22 26 30
RESPONDA LAS PRE UNTAS 5 Y 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE IN FORMACI N Un estudiante de 11A recoge datos con las edades de sus 25 compañeros de curso y organiza en filas de la siguiente manera:
c) 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72 ……..
17 17 16 16 16
d) 6, 12, 20, 30, 48, 64, 81…… 2. Al aumentar las dimensiones el rectángulo en una unidad de longitud, el perím tro de la nueva forma rectangular obtenida: a) Aumenta en cuatro unidades porque el número de lados de esta figura es cu tro. b) Se duplica porque cada dimensión que en todos lados con igual longitu . c) Se aumenta en dos unidad s porque en cada dimensión se aumenta una u nidad. d) Se aumenta en cuatro unidades porque cada uno de los lados del rectángulo adiciona una unidad al perímetro.
15 16 16 17 15
17 15 15 16 15
15 17 17 15 17
16 17 17 17 16
5. ¿Con cuál de las siguientes opciones se podría diferenciar la info mación recogida por el estudiante?:
3. Al agregar por cada lado una unidad de área, la nueva forma rectangular obtenida on respecto a la inmediatamente anterior aumenta cada vez: a) En dos unidades de área de ido a que en cada dimensión aumenta una unidad de área.
65
d) No, porque la i clinación de las rectas depende solamente la al ura de cada tanque.
6. El estudiante concluye que 2/5 de los estudiantes tienen 17 años, esto significa que: a) 3/5 de los estudiantes so menores de 17 años. b) Por cada fila de cinco personas hay dos estudiantes de 17 años. c) De las cinco filas por lo menos 2 son de estudiantes de 17 años. d) El 40% de los estudiantes tienen 17 años.
9. Dado que a los 30 inutos cada tanque se llena. Se puede concluir que : a) La capacidad de los dos tanques es la misma. b) El área de la b se de tanque uno es mayor que el área de la base de tanque dos. c) El nivel del ag a es directamente proporcional al área de la base de los tanques. d) La altura del tanque dos varia frente a la altura del tanque uno.
7. Un estudiante de 11B observa que su curso guarda las mismas proporcione de número de estudiantes por edad. Si en 11B hay 12 alumnos cuya edad es de 17 años se puede firmar que: a) El número de estudiantes de 11B es 25. b) El número de estudiantes m nores de 16 años es 18. c) El número de estudiantes de 15 años está entre 8y10. d) El número de estudiantes de 11B es mayor que 25.
10. ¿La forma lineal de las gráficas depende solamente de la forma cilíndrica de cada tanque?: a) Sí, porque el ivel del agua crece longitudes iguales en tiem os iguales. b) No, porque ta bién depende del flujo de agua que entra por inuto a cada tanque. c) No, porque a emás de la forma, también influye la medida del radio de cada tanque. d) Sí, porque en n instante de tiempo, la altura en un tanque cilíndrico es igual en cualquier punto. RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 14 DE ACUERDO CON LA SI UIENTE INFORMACI N
RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACI Dos tanques de forma cilíndrica est n siendo llenados de tal manera que a cada tanqu entra la misma cantidad de agua minuto. Las gráficas uno y dos muestran la variación del nivel de agua de cada tanque:
Cada figura se forma cubos, que tendrán la lista de los cubos qu como se ilustra a contin
partir de un cierto número de rista la mitad de longitud de la componen la figura anterior, ación:
11. Se puede afirmar de la superficie total de la figura tres en relació con la superficie total de la figura uno que:
a) La suma de la superficie de los 64 cubos de 1 cm de arista e 4 veces la superficie del cubo de 4 cm de aris ta. b) La superficie d la figura 3 está en razón de 1 a 4 con respecto a la superficie de la figura 1. c) La superficie total de la figura 3 es mayor que la superficie de la figura 1 por estar compuesta por un mayor n mero de cubitos.
8. ¿La inclinación de cada gráfica depende de la medida del radio de cada tanque?: a) No, porque al utilizar un tanque de radio mayor el nivel del agua crece más r pidamente. b) Sí, porque al utilizar un tanq e de radio menor, el nivel de agua crece más r pidamente. c) Sí, porque la inclinación de las rectas depende también del flujo constante d agua.
66
d) La superficie total de las os figuras es la misma, pues la arista del cu o de la figura 1 es equivalente a la suma de las aristas de 4 cubos de la figura 3. 12. A medida que va aumentan o el número de cubitos en cada nueva figura, resultan cubos más pequeños; de éstos cubos podemos afirmar que: a) Sus superficies se conservan. b) Sus volúmenes van disminuyendo a medida que disminuyen sus superfici es. c) La superficie de cada u o de los cubos aumenta al igual que la c antidad de cubos resultantes en cada nueva fi ura. d) Sus superficies disminu en, aunque la superficie total de la figura a menta.
15. Se puede determinar la medida de la base de cualquier triángulo n de la sucesión, teniendo en cuenta que: a) La medida de l base de cualquier triángulo de la sucesión si mpre mide 1 m más que la medida de la b se del primer triángulo. b) La medida de la l base del triángulo 1 es 2 m; que hay (n – 1) triángulos entre el triángulo 1 y el triángulo n y que la diferencia entre la medida de l s base de dos triángulos consecutivos e 1 m. c) La medida de la base de cualquier triángulo n puede obtenerse sumándole al número que representa su posición 1 m. d) Entre las medidas de los lados de cualquier triángulo n de l sucesión, la diferencia es 1 m.
13. El volumen en cada nueva figura: a) Aumenta, dado que se van dispersando más los cubos resultantes en cad figura. b) Crece, pues es directamente proporcional al número de cubos resultantes en cada figura. c) Se conserva invariante, pues si se encajan cada uno de los cubos de ca a figura formando uno solo, las aristas de estos nuevos cubos quedarían de igual longitud. d) No varía, puesto que la sum de los volúmenes de los cubos que componen cada figura, siempre es constante.
16. Si se quiere modificar la sucesión de triángulos para que la medida de los ángulos θ1, θ2, θ3, …, sea siempre la misma, se odría:
14. En la figura 2 se puede afirmar que el número de vértices: a) Es múltiplo del número de cubos que conforman la figura. b) Es inversamente proporcio al al número de cubos que conforman la figur a. c) Es equivalente al númer de cubos que conforman la figura elevada l cuadrado. d) Excede en ocho el núme o de cubos que conforman la figura.
a) No modificar l medida de la base de cada triángulo de la sucesión y hacer que todas las alturas de los triángulos miran 5 m. b) Modificar la edida de la altura de cada triángulo de la sucesión y hacer que todas las bases de los tri ngulos miran 6 m. c) Por cada aum nto de una unidad en la altura, duplicar la base . d) No modificar la medida actual de las bases de los triángulos de la sucesión y aumentar la longitud del cateto opuesto a 0n, en 1 m, para obtener triángulos rectángulos isósceles.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 15 A 17 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INF ORMACI N Observe la siguiente sucesión de triá gulos. Los puntos suspensivos significan que la suce ión de triángulos continúa.
17. Se puede inferir que los ángulos θ1, θ2, θ3, …, de los triángulos de la sucesión NO MIDEN lo mismo porque: a) Los triángulos e la sucesión son semejantes. b) Las medidas de los catetos de los triángulos son proporcion les.
67
c) Los triángulos de la sucesión no cumplen con criterios de semejanza de tri ngulos. d) La razón entre las medidas de los catetos del triángulo 1 es θ y de nin uno de los otros triángulos puede obtenerse la misma razón, pues la razón entre dos úmeros naturales consecutivos mayores que 2 nunca es θ. RESPONDA LAS PREGUNTAS 18 Y 19 ACUERDO CON LA SIGUIENTE INF ORMACI N
18. Para ubicar la posición exacta de un equipo en el río, respecto del puesto de arranque, se requiere conocer: a) La medida del segmento de recta que une el puesto de arra que con ese punto del recorrido y el ángulo qu forma ese segmento de recta respecto a la r cta que representa la dirección Norte — Sur. b) La distancia desde cualquier punto de la recta que representa la dirección Norte — Sur , hasta ese punto del r corrido. c) Las coordenad s de ese punto que indican su dirección Norte —Sur y su dirección oriente— occidente . d) Si ese punto d l recorrido está entre la base 1 y la base 2.
DE
El Campeonato Mundial de deporte de río de 1998, tuvo como sede un país latinoamericano y contó con la participación de 23 equipos de los cin co continentes. La prueba principal – canotaje - se d sarrolló en el río Amarillo que corre de norte a sur. All oriente del río se encuentra una autopista desde l cual se puede apreciar el recorrido de la compe encia. La gráfica muestra el mapa de la competencia por el río Amarillo, que toma como referencia el puesto e arranque. Entre el puesto de arranque y la meta se han dispuesto tres bases. Cuando un equipo pasa por u a base se registra el tiempo que ese equipo tardó en lcanzar esa base desde el inicio.
19. Se puede afirmar ue toda posición en el mapa, con coordenada ma or de 600 m Oriente, se encuentra más al Oriente que todo punto que pertenece al recorrido del río Amarillo, porque: a) La posición q e se ubica más al oriente y pertenece al r corrido del río Amarillo, es la meta. b) La coordenada en la dirección oriente— occidente, de todo punto que pertenece al recorrido del rí Amarillo, está entre los 300 m occidente y los 600 m oriente. c) Todo punto dell recorrido del río Amarillo está más al oriente ue el puesto de arranque. d) El punto más al oriente que pertenece al recorrido del río Amarillo tiene coordenadas 1500 m sur y 6 0 m oriente.
La tabla muestra el registro de tie po (en minutos y segundos) de siete equipos, en la bas e.
Equipo Japón Suecia Rusia Canadá Argentina USA Brasil Tiempo promedio
2 2 2 2 2 2 2
Base 3 min 40 seg min 38 seg min 02 seg min 15 seg min 38 seg min 29 seg min 18 seg 26 min
68
UNIDAD 4 1. LÍMITE FUNCIONAL
1.1. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitiv mente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariam nte a un único número o punto , si existe, pa a valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la defi ición del límite de una función cuando tiende a . Formalmente, se dice que la sucesión se denota como:
tiende hasta su límite
69
, o que converge o es convergente (a
), y
si y sólo si para todo valor real ε > se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que converjan a cuando crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de anera compacta: Este límite, si existe, se puede de ostrar que es único. Si los términos de la su esión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice ue la sucesión es divergente . 1.1.1. Límite finito de una sucesión. Una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un érmino a k , a partir del cual todos los términos e a n, siguientes a ak cumplen que |a n −L| < ε .
La sucesión an = 1/n tiene por límit 0.
Se puede determinar a partir de qu término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.
Como k>10 a partir del a 11 se c umplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.
Vamos a determinar a partir de qué término la distancia a 0 es menor que 0.001.
70
A partir del a 1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001. También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos : Una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε , existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.
1.1.2. Límite infinito de una sucesión. Una sucesión a n tiene por límite + ∞ cuando para toda M>0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n, siguientes a ak cumplen que a n > M .
El límite de la sucesión a n= n2 es +∞. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a 101 superará a 10 000. a101= 1012 = 10 201 Una sucesión a n tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que a n < −N .
Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a n = −n 2 es − ∞ . −1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...
Si N = 10 000 , su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a 10 1 superará a −10 000 . a101= −1012 = −10 201
71
Ejemplo:
Demuestra que la sucesión 0.1.
tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que
A partir de a 41 la distancia a 2 será menor que una decima.
EJERCICIOS……
1. Probar que la sucesión tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001).
2. Demuestra que la sucesión tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).
3. Probar que que 0.01.
. Averigua los términos cuya distancia al límite es menor
4. Demuestra que la sucesión tiene por limite + ∞ . Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón. 5. Demuestra que la sucesión an = −n 2 tiene por limite − ∞ . Y calcula a partir de qué término la sucesión toma valores menores que -10 000.
72
2. DEFINICIÓN ANALÍTICA DE LA DERIVADA
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado . Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial. La derivada de una función f en un punto x se denota como f ′( x ). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f , denotada por f ′ . El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo. 2.1. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 2.1.1. Tasa de variación media
73
2.1.2. Tasa de variación instantánea o derivada
2.1.3. Derivadas laterales
74
2.1.4. Derivabilidad y continuidad
2.2. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN OTRAS ASIGNATURAS Y CIENCIAS
El concepto de derivada es uno d los dos conceptos centrales del cálculo infinit simal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental el cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo es án basados en el concepto de límite, el cual s para las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios d Física, Química y Biología, o en ciencias s ociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando e refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la l pendiente de esta tangente como ellímite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta s ecante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o con exidad. Algunas funciones no tienen deriv da en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontiinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es s usceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
75
EJERCICIOS…… 1. Las gráficas 1, 2 y 3 corresponden, en otro orden, a las funciones derivadas de las gráficas a), b) y c). ¿Cuál es la derivada de cuál? Razona tu respuesta:
2. Obtén el valor de f '(3), utilizando la definición de derivada, para la función:
3. Halla la derivada de la función f (x), en x0 = - 1, utilizando la definición de derivada:
4.
5.
76
3. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en lo campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños ue están bajo la curva. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Dada una función la recta real, la integral
de una variable real
y un intervalo
de
es igual al área de la región del pla o limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje . La palabra "integral" también pued hacer referencia a la noción de primitiva : una función F , cuya derivada es la función dada . En este caso se d nomina integral indefinida, mientras que las inte rales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Alguno autores mantienen una distinción entre integral s primitivas e indefinidas. Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a fin les del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálcul , que desarrollaron los dos de forma independi nte, la integración se conecta con la derivación, y la integral de inida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. Bernhard Riemann dio una definici n rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generaliza o los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a ,b ] se sus ituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o d l espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas difere ciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral sur ieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se asan en la teoría matemática abstracta conocida como integral d Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.
77
3.1. TÉCNICAS DE INTEGRACI 3.1.1. Método de integración por ustitución
El método de integración por s stitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita co vertir el integrando en algo sencillo con una int gral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este métod realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la erivación. Ejemplo #1 Suponiendo que la integral a resolv r es:
En la integral se reemplaza
con ( ): (1)
Ahora se necesita sustituir también Se tiene que Se despeja
para que la integral quede sólo en función d e
:
por tanto derivando se obtiene y se agrega donde corresponde en (1):
Simplificando:
Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar lla regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo
: (límite inf rior) (límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma fiinal:
78
Ejemplo #2 Suponiendo ahora que la integral a resolver es:
Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: sustitución conveniente resulta ser
y
:
,
Entonces (por Teorema de la suma y la resta) por otra parte
o
la integral queda después de dicha sustitución:
3.1.2. Método de integración por artes
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema: Eligiendo adecuadamente los valor s de
y
, puede simplificarse mucho la res lución de la integral. .
Existen diversos dichos mnemotécnicos para recordar la integración por partes, la c al dice así:
79
la
"Sentado ( ) un día vi, un valiente soldado (
) vestido de uniforme" .
"Un día vi un viejo sin bastón vesti o de uniforme". "un viejo soldado (-integral) vestido de uniforme" . "Unamuno dice verdades: una verd d menos integra verdaderas dudas universales" . Eligiendo adecuadamente los valor s de Para elegir la función
y
, puede simplificarse mucho la res lución de la integral.
se puede usar una de las siguientes reglas mnemotécnicas::
1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarít icas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES. 2. Inversas trigonométricas, Logarít icas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenci les. ⇒ I L A T E.
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE. 3. Inversas trigonométricas, Logarít icas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométri as ⇒ I L P E T
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET. 3.1.3. Método de integración por ambio de variables
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Per ite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si e la variable original y es una función inv rtible, se tiene:
80
EJERCICIOS……
Método de integración por sustit ción 1.
2.
3.
Método de integración por partes 1.
2.
3.
Método de integración por cambi de variables 1.
2.
3.
81
PRUEBA TIPO ICFES RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 5 E ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
I= Internet PB= Pago en banco PP= Punto de pago. CE= Cajero Electrónico
En una una ciudad ciudad se se reali realiza za un estud estudio io pa para determinar cómo prefie prefieren ren paga pagarr las las persona personass las las factur factur s correspondientes a algunos algunos servi servicio cioss público públicos. s. La siguie siguiennte tabla muestra los resultados del estudio. Servicio Forma pago Bancos p. de pago Cajero electrón internet
Teléfono
Agua
Gas natural
Luz
TV cable
11% 14%
10% 15%
23% 15%
5% 25%
53% 26%
20%
63%
37%
40%
0%
55%
12%
25%
30%
21%
3. Si en el estudio se e trevistaron 300 personas, para determinar el número e personas que pagan el agua utilizando Internet se d be: a) Multiplicar 55 300, ya que el 55% de las personas prefie en utilizar Internet para parar el agua. b) Explicar 300 × 0,12 ya que el 12% de las personas pagan el agua utilizando Internet. c) Dividi Dividirr 300 entr entre 15, puesto que el 15% de las persona personass utiliz utilizaa Internet para pagar el agua. d) Dividi Dividirr 300 entr entre 12, puesto que el 12% de las personas prefi ren pagar el agua utilizando Internet.
1. De acuerdo con la información de la tabla, se puede afirmar que: a) La forma de pago preferida preferida por las personas para pagar el teléfono es el cajero electrónico. b) Las personas prefieren pagar el agua utilizando Internet. c) La mayoría mayoría de las persona persona prefiere pagar el serv serviicio cio de luz luz uti utiliza lizand ndoo los los ca ca jeros electrónicos. d) La mayo mayorí ríaa de pers person onas as q e tienen tv cable prefieren pagarlo utilizando el ajero electrónico.
4. Se puede decir que e 300 personas, la cantidad de ella ellass que que pref prefie iere ren n util utiliizar Internet para pagar el agua es: a) 36 c) 15 b) 278 d) 360 5. De la expresión "ninguna persona prefiere pagar tv cable cable utili utilizand zando o el cajer cajero electrónico" se puede afirmar que: a) Es falsa puesto que el 20% de las personas paga el serv serviicio cio util tilizando el cajero electrónico. b) Es ciert ciertaa puest puest que 0% de las personas utilizan caj cajero ero pa para pag pag r el servicio. c) Es falsa puesto que todas las personas utilizan el caj cajero ero pa para pag pag r el servicio. d) Es cierta ya ue todas las personas utilizan Internet para pa ar el servicio.
2. La gráfi ráfica ca que que repr eprese esenta, ta, cómo cómo pagan las personas el gas natural es: a)
b)
PARA PARA RESPO RESPOND NDER ER LA LAS PREGUNTAS 6 A 10 TENGA EN CUENTA LO SIGUIENTE El diagrama de barras, l cual representa el consumo de luz de una famili familiaa durant durant los últimos siete meses del año c)
d)
82
6. El mes mes en en el cual cual se pres resenta enta el m yor consumo es: a) Noviembre. c) J nio. b) Julio. d) Diciembre. 7. El promedio del consumo de luz durante los últimos tres meses es: a) 204. c) 1 0. b) 157. d) 2 0. 8. Para determinar el porcentaje de luz que se consumió en diciembre teniendo en cuenta el total de luz consumido en los siete meses se puede: a) Encontrar Encontrar el total de luz que s consumió en los 7 meses meses y el el result resultado ado de de divid dividir irlo entre 180 que es el con consu sumo mo de de luz luz en dic dicie iemb mbre y el resultado de vivirlo vivirlo entre 100 para para expresa expresarlrllo como porcentaje. b) Dividir Dividir 1500 que es el total d luz consumido en los 7 meses entre 180 que corresponde a la cantidad de luz consumida en diciembre y el resul resultad tadoo mult multip iplilicar carlo lo por por 100 para escribirlo como porcentaje. c) Multi Multipl plic icar ar 180 180 que que corre corresp spon on e a la cantidad de luz consumida en diciembre or 1500 que es el total de luz consumida en los 7 meses. d) Dividir 180 (consumo de diciembre) entre 1500 que es el total de luz que se consumió en los 7 meses ses y el re resul sultado multipl tiplii arlo por 100 para expresarlo como porcentaje.
12. La La cantidad de hombres y de mujeres que trabajan en la empresa es respe tivamente: a) 40 y 60. c) 40 y 40. b) 60 y 40. d) 40 y 80. 13. Para determinar la probabilidad de que al selec seleccio ciona narr un prof profes es r sea escogida una mujer que trabaje en la sección de primaria se debe: a) dividir 7/20 pu sto que en primaria de los 20 profe profesor sores es 7 so mujeres. b) Dividi vidirr 7/80 /80 pue to que en primaria hay 7 mujeres del total de 80 profesores del colegio. c) Dividir 20/80 pu sto que de los 80 profesores del col colegi egio 20 20 tra traba bajjan en primaria. d) Dividir 7/60 puesto que hay 7 profesoras en primaria y 60 rofesores que no pertenecen a dicha sección.
9. El El po porcen centaje de de lu luz qu que se se co cons mió en diciembre con con resp respect ecto o al tot total al de de luz luz consu consumi mi o en los 7 meses es: a) 12%. b) 18% c) 15%. d) 22%
14. Si el Comité de dmisiones en el colegio está conformado por 6 profesores seleccionados de las tres secciones, el número de maneras en que se puede nomb nombra rarr un pres presid iden ente, un vicepresidente y un secretario es: a) 210. c) 18. b) 20. d) 120.
10. 10. De la gráf gráfica ica pres presen enta tada da se se pue pue e afirmar que los tre tres me meses ses en en los los cu cuales se se pr prese esen aron los mayores consumos de luz son: a) Junio, octubre y diciembre. b) Junio, agosto y noviembre. c) Junio, agosto y septiembre. d) Diciembre, julio y octubre.
15. Si a un curso de capacitación se inscriben 16 profesores y deben conformar grupos de tres pers person onas as para para elabo elaborr r un trabajo, el número de maneras en las cuales pueden organizar los profeso profesores res que que están están e el curso es: a) 3360. c) 560. b) 650. d) 3630.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 15 TENIENDO EN CUENTA LA SIGUIENTE INFORMACI N El esquema muestra las secciones que hay un colegio y el número de de profesores profesores y profesoras profesoras que trabajan en cada sección.
PARA PARA RES RESPON PONDE DER R LA PREGUNTAS 16 A 19 TENGA EN CUENTA LA SIGUIE TE INFORMACIÓN
11. 11. Si Si se dese deseaa esc escoger oger un rep repres resentante de todos los profesores profesores (hombres (hombres y mujeres mujeres para que los repre represen sente te ant antee el Conse Consejo jo dire direct ctii o del colegio, la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre es: a) 1 / 2 c) 8 / 40 b) 4 / 80 d) 4 / 10
Estos son los resultados de un estudio que se realizó en un colegio con el fin de determinar qué pensaban hacer los estudiantes de grado 11º una vez terminado el bachillerato. Según los resultados del estudio el 60% pensaba ingresar a la uni univers versiidad, dad, el 3 % pensaba trabajar y el 10% pensaba estudiar en la Universidad y trabajar para poderse pagar sus estudios.
83
16. Si se escoge un estudiante del colegio, la probabilidad de que cuando salga del colegio se dedique solamente a trabajar es: a) 10%. c) 30%. b) 20%. d) 50%.
a) 150.000 b) 300.000
c) 1.350.000 d) 1.800.000
22. De un grupo de 300 niños trabajadores que vive en Bogotá, el número de niños obligados a t rabajar es de:
17. La probabilidad de que un estudiante no haya pensado que hacer al terminar el bachillerato es: a) 20%. c) 10%. b) 30%. d) 0%.
a) 75
b) 100
c) 200
d) 225
Responde las preguntas 23, 24 y 25 de acuerdo con la siguiente información.
18. La probabilidad de que un estudiante del colegio piense únicamente en ingresar a la universidad corresponde a: a) 60% puesto que el 30% piensa piensa trabajar y el 20% no han pensado que hacer. b) 50% puesto que el otro 50% corresponde a los que han pensado trabajar o han pensado trabajar y estudiar. c) 50% puesto puesto que del 60% de los estudiantes que han pensado ingresar en la Universidad, el 10% también ha pensado trabajar al mismo tiempo para pagarse sus estudios. d) 20% puesto puesto que del 30% de estudiantes que han pensado trabajar, el 10% también ha pensado en estudiar.
Un banco abre sus puertas a las 9:30 a.m. y entran 14 personas. A partir de este momento cada 9 minutos minutos sale una persona y cada 6 minutos entra una, durante todo el día. 23. A las 11:00 a.m. hay en el banco: a) b) c) d)
5 personas más que a las 9:30 a.m. 4 personas menos que a las 9:30 a.m. 5 personas menos que a las 9:30 a.m. Igual número de personas personas que a las las 9:30 a.m.
24. ¿En qué4 momento hay en el banco 24 personas? a) b) c) d)
19. Si el colegio había en total 50 estudiantes en grado 11º, el número de estudiantes que pensaban ingresar la universidad es: a) 30 estudiantes. b) 25 estudiantes. c) 15 estudiantes. d) 10 estudiantes.
A medio día Tres horas más tarde después de abrir. A las 11:30 a.m. En un mismo día no puede haber 24 personas en el banco.
25. ¿Será posible que en algún momento haya en el banco 33 personas, si se cierra a las 3:30 p.m.? a) Sí, porque siempre el número de personas va aumentando. b) Sí, hay exactamente 33 personas en el banco antes de que entre la última. c) No es posible, porque el número de personas dentro del banco salta de 32 a 34. d) No, porque el máximo de personas en el banco es de 29.
Responde las preguntas 20, 21 y 22 de acuerdo con la siguiente información. En Colombia hay 2,5 millones de niños trabajadores. Se considera que en Bogotá, una cuarta parte de los niños es población económicamente activa (trabajadores) y de estos, uno de cada tres está obligado a trabajar. 20. En Colombia hay aproximadamente 40 millones de habitantes. Los niños trabajadores representan aproximadamente:
26. ¿En cuál de las siguientes figuras se representa un ángulo de 270º?
a) El 25% de los habitantes de Colombia. b) Entre el 2,5% y 4% de los habitantes de Colombia. c) El 6,2% de los habitantes de Colombia. d) Entre el 1% y 3% de los habitantes habitantes de Colombia.
a)
21. Si en Bogotá hay aproximadamente 450.000 niños trabajadores, el número aproximado de niños que vive en Bogotá es:
84
b)
c)
d)
a)
b)
Responde las preguntas 27, 28, 29 y 30 de acuerdo con la siguiente información.
c)
d)
30. ¿Cuál fue, en promedio, la producción anual de café en Colombia entre 1995 y 2000? a) b) c) d)
27. Con base en la gráfica anterior, se puede afirmar que la producción de café, a nivel nacional fue de:
a) b) c) d)
350 millones de toneladas en el año 1996 750 millones de toneladas en el año 1995 1250 millones de toneladas en el año 1998 1600 millones de toneladas en el año 1999 1999
Responde las preguntas 31, 32, 33 y 34 de acuerdo con la siguiente información: Observa la siguiente secuencia de circunferencias
28. En el año 2000 se exportó el 83% del café producido en Colombia. ¿Cuántas toneladas quedaron para abastecer de café a todo el país?
a) 269 millones b) 269,5 millones
1.125 millones de toneladas 1.250 millones de toneladas 1.750 millones de toneladas 1.997,5 millones de toneladas
c) 279,5 millones d) 297,5 millones
29. Si se proyecta que la producción de café aumenta al mismo ritmo que el presentado en la gráfica durante los siguientes cinco años, la producción en millones de toneladas desde el año 2000 al 2005, estará representada por la gráfica:
85
33. La expresión que representa el radio de la circunferencia de una figura n cualquiera es:
b) 2r
c)
b)
c)
d)
a) La figura 5 b) La figura 9
d) 5r
32. Se puede observar en la secuencia, que la longitud de una circunferencia (2 r) cualquiera se incrementa con respecto a la longitud de la anterior. Dicho incremento es: a) 1
b)
34. El radio de una circunferencia de la secuencia está dado por la expresión 10r, dicha circunferencia se encuentra en:
31. El radio de la figura 4 es: a)
a)
c) r
d) r
86
c) La figura 19 d) La figu7ra 20
