a) Jenis dan sifat Matriks. b) Operasi aljabar Pada Matriks - Kesamaan Matriks - Penjumlahan - Pengurangan
Fakultas
Program Studi
Teknik
Teknik Sipil
Tatap Muka
Abstract Dalam kehidupan sehari-hari ada beberapa masalah yang akan lebih mudah diselesaikan dengan merangkum masalah tersebut dalam bentuk tabel, dan bentuk tabel ini biasanya diubah ke dalam bentuk baris dan kolom. Inilah yang disebut matriks.
Kode MK
Disusun Oleh
90017
Hendy Yusman F, M.Pd
Kompetensi Agar Mahasiswa Mahasiswa : 1. Memahami pengertian matriks, notasi matriks, matriks bagian, penjumlahan matriks, dan pengurangan matriks.
1. Pengertian Matriks.
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berebentuk persegi panjang. Susunan bilangan-bilangan itu dibatasi oleh kurva biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Bilangan-bilangan penyusunnya disebut elemeneleman dari matriks itu. Contoh :
6
8
10
3
4
5
A =
2. Notasi Matriks.
Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar dan ditulis secara umum sebagai berikut:
Amxn
a11 a 21 . . . a m1
a12
.
.
.
a1n baris.ke 1
a 22
.
.
.
a 2 n baris.ke 2
.
. . a mn baris.ke m .
. .
am2
.
.
.
kolom ke-n kolom ke-2 kolom ke-1 Amxn artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom sebanyak n. Setiap bilangan yang terdapat pada baris dan kolom dinamakan anggota atau elemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom serta dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriknya. a11 = elemen baris pertama kolom pertama. a12 = elemen baris pertama kolom kedua. a1n = elemen baris pertama kolom ke-n. a21 = elemen baris kedua kolom pertama. a22 = elemen baris kedua kolom kedua. a2n = elemen baris kedua kolom ke-n. am1 = elemen baris ke-m kolom pertama. am2 = elemen baris ke-m kolom kedua. amn = elemen baris ke-m kolom ke-n.
2015
2
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Contoh:
4 A = 2 7
3 5 6
8
10 9
6 = elemen baris ketiga kolom kedua. 5 = elemen baris kedua kolom kedua. 9 = elemen baris kedua kolom ketiga. 10 = elemen baris ketiga kolom ketiga. dan seterusnya. Ordo Matriks
Ordo suatu matriks adalah banyaknya elemen-elemen suatu matriks atau perkalian antara baris dan kolom. Contoh:
5
2
3
2
5
3
1
0
A =
; A berordo 2x2 atau A2x2. 4 1
B =
; B berordo 2x3 atau B2x3.
1 C = 2 ; C berordo 3x1 atau C3x1. 5 D = ( 6 7 8 ) ; D berordo 1x3 atau D1x3. 3. Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks itu berordo sama dan elemenelemen yang seletak besarnya sama. Contoh:
3 5
3 2 dan B = maka dikatakan A = B. 1 5 1
2
3
7
1
Jika A =
Jika M =
2015
3
2
5
2 dan N = 8 7
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
3
5
1
8
maka dikatakan M = N.
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
x Jika K =
7
2 dan L = y 8 7 5
3
3
5
1
8
maka dikatakan K = L jika x = -2 dan y = 1
4. Operasi Pada Matriks a. Transpose Matriks
Jika pada matriks A setiap baris ditempatkan pada setiap kolom maka matriks itu merupakan matriks transpos. Jika diketahui matriks A berordo mxn maka matriks transpos dari A dilambangkan dengan At yang berordo nxm. Beberapa Sifat matriks transpose : 1) ( A + B ) T = AT + BT 2) (AT ) T = A 3) ( AT ) = ( A)T 4) ( AB ) T = BT AT Contoh:
4 A = 1 3
5
6
3
2
2
3
4 5 t 0 maka matriks transposnya A = 6 1 5
1
5
3 2 0
2 3 1 3
b. Penjumlahan Matriks
Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang bersesuaian letaknya. Apabila matriks A dan matriks B ordonya berlaianan maka penjumlahan matriks itu tidak didefinisikan. Contoh:
1
Diketahui matriks A =
3
2
5 dan B = 4 6
7
1
a. Tentukan A + B b. Tentukan B + A Jawab:
1
a. A + B =
3 5
b. B + A =
6
2015
4
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
2
5 + 4 6 7 1 + 1 3
7
= 1 2 = 4
1 5 3 6 5 1 6 3
2 7
= 4 1 7 2 = 1 4
6 9 6 9
9
5 9
5
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Dari contoh di atas, ternyata A + B = B + A. Jadi pada matriks berlaku sifat komutatif penjumlahan. Juga dapat kita buktikan bahwa pada matriks berlaku sifat assosiatif penjumlahan yaitu (A+B)+C = A+(B+C). c. Pengurangan Matriks
Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B, atau ditulis sebagai berikut: A – B = A + (-B). Contoh:
4
1) Jika P =
3
7
2 1 dan Q = , maka tentukan P – Q ! 2 3 2
Jawab:
4
7
2 1 - = 2 3 2
P – Q =
3
4 3
7
+ 2
2 1 = 3 2
2 0
6
4
2) Jika X matriks ordo 2x2, tentukan matriks X jika diketahui persamaan :
5 3 = 2 4
X +
1 4 3 2
Jawab:
5 3 = 2 4
X +
1
X =
3
1 4 3 2
2 4
5 3 = 2 4 6
Jadi matriks X =
1
1 4 + 3 2
5 3 = 2 4
6 7 1 6
6 7
Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan matriks :
1. A+B = B+A
( komutatif untuk penjumlahan)
2. A+(B+C) = (A+B)+C ( asosiatif untuk penjumlahan) 3. A+O = O+A = A 4. (A+B)t = At + Bt 5. Ada matriks B sedemikian sehingga A + B = B + A = 0 yaitu B = - A
2015
5
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
d. Contoh Aplikasi Matriks
1. Tabel berikut menunjukkan jarak antara dua kota dalam kilometer(km) Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta Surabaya Bogor Bandung
0
130
367
428
675
126
Cirebon
130
0
237
317
545
256
Semarang
367
237
0
115
308
493
Yogyakarta
428
317
115
0
327
554
Surabaya
675
545
308
327
0
801
Bogor
126
256
493
554
801
0
Pertanyaan : a) Dengan menghilangkan judul baris dan kolom, tulislah matriks yang diperoleh. b) Berapa banyak baris dan kolm yang anda peroleh? c) Sebutkan elemen-elemen baris ke empat d) Sebutkan elemen baris ke-3 kolom ke-6 2. Perusahaan garmen “Indah” tiap bulannya mengekspor 3 macam model busana keempat negara tujuan. Berikut ini adalah tabel daftar barang pesanan pada bulan November 2013 dalam satuan lusin. Jenis Model
Negara Tujuan Jepang
Korea
Cina
Taiwan
A
0
25
10
0
B
20
30
11
24
C
15
0
12
16
Tabel berikut adalah daftar harga masing-masing model busana dalam satuan US $.
2015
6
Model
Harga per lusin
A
120
B
144
C
180
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Pertanyaan : a.
Berapakah pemasukan yang akan diperoleh perusahaan tersebut dari negara Korea pada bulan Nopember tersebut ?
b.
Jika pada bulan Desember 2013 pesanan dari Jepang meningkat 3 kalinya dan pesanan dari Cina meningkat 2 kalinya, sedangkan pesanan dari Korea dan Taiwan tetap, berapakah total pesanan baju masing-masing model pada bulan Desember 2013 tersebut ?
Jawab: a.
Hasil matriks perkalian berikut ini merupakan nilai pemasukan yang akan diperoleh perusahaan”Indah”
0 25 10 0 120 144 180 20 30 11 24 15 0 12 16 Pemasukan dari negara Korea diperoleh dari hasil kali baris ke-1 matriks harga dengan kolom ke-2 matriks pesanan, yaitu : (120x25)+(144x30)+0 = 3000+4320 = 7320. Jadi pemasukan yang akan diperolehnya adalah US $ 7320.
b.
3 0 25 10 0 20 30 11 24 1 = 2 15 0 12 16 1
45 136 85
Jadi daftar pesanan dari 4 negara pada bulan Desember 2013 adalah 45 lusin model A, 136 lusin model B dan 85 lusin model C.
2015
7
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut: a.
b.
2 A = 5 9
1
1
2
6
0
4
5
1
2
B =
7
0
2. Diketahui matriks berikut:
3 A = 1 2
1 2 4
2
4 dan B = 9
1 1 1 1 1 1
2 1 1
2 1 1
a. Tentukan nilai a11, a23, a32 dan a31. b. Tentukan nilai dari b11 + b12 + b13 + b14. 3. Tentukan nilai dari x dan y dari persamaan berikut :
2 x y 8 x y 2 1
a.
3 x
b.
4
x 8 5 y 4
x y c.
2
2
7
5 9 4
4
30
3 x y 7
4. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut : 4
5
3
x3+1
5
3
= 2 -1
x1 2
6 x2+3
2
4
1/2x4
-1
2
5
Carilah x1 , x2 , x3 , x4
1 4 2 5. Jika 2 + 3 0 + k 1 = 2 3 3
7 0 , tentukan nilai k ! 1
6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut :
2015
8
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
4 x 2 + 3 2
6 8 3 = 2 11 6 2
1
0 4 1
3
1
7. Tentukan nilai x + y + z dari :
5 a. 1 + 6 3
b.
4
x y = z
7 8 3
6
x y + = 1 7 z
6 8
4
4
8. Toko Bangunan “Jujur” tiap minggu mengirim 4 macam material bangunan
keempat
proyek bangunan perumahan. Berikut ini adalah tabel daftar material yang dikirim pada minggu pertama bulan Maret 2015 dalam satuan truk engkel. Jenis
Proyek Tujuan
Material
A
B
C
D
Pasir
5
2
10
8
Bata merah
7
5
112
20
split
12
1
10
16
Batu kali
10
2
12
15
Tabel berikut adalah daftar harga masing-masing materila dalam satuan ribu rupiah Jenis
Harga truk
Pasir
1.400
Bata merah
2.100
Split
1.450
Batu kali
1.300
Pertanyaan:
2015
9
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
a. Berapakah pemasukan yang akan diperoleh toko tersebut dari proyek A pada minggu tersebut ? b.
Jika pada minggu kedua toko tersebut mendapat pesanan bata merah dan split dari proyek A meningkat 2 kalinya dan pesanan pasir proyek B dari meningkat 3 kalinya, sedangkan pesanan dari proyek C dan D tetap, berapakah total pesanan material masing-masing material pada minggu kedua tersebut ?
2015
10
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Daftar Pustaka: 1. Anton, Howard, Chris Rerres .,Elementery Linear Algebra,John Wiley & Sons, 2005. 2. Kreyzig, Erwin. (2003). Matematika Teknik Lanjutan. Edisi ke-6, Jakarta:
Erlangga 3. Purcell,Edwin J., Kalkulus dan Geometri Analitik II , Erlangga, Jakarta, 2003 4. K. A. Stroud, Matematika Teknik, jilid I, Erlangga. Jakarta 2003 5. Yusuf Yahya, D.Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika dasar Untuk Perguruan Tinggi , Ghalia Indonesia, 2004
2015
11
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
2015
12
Matematika II Hendy Yusman F, M.Pd
Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
