ModuL Fungsi Komposisi n Invers01

6 Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi Relasi dan Fungsi

;

Aljabar Fungsi

;

Fungsi Komposisi

;

Fungsi Invers

;

Jika sebuah benda terletak di depan cermin datar, tentu bayangan benda itu akan terlihat di dalam cermin yang persis seperti benda aslinya. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa bayangan di dalam cermin merupakan invers dari benda yang berada ber ada di depa depan n cerm cermin. in. Dala Dalam m bab ini, kamu akan mem mempela pelajari jari lebi lebih h lanj lanjut ut meng mengenai enai komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

171 17 1

Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari

Fungsi komposisi

Fungsi invers terdiri dari

menentukan

Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan

Fungsi komposisi dari beberapa fungsi

• • • • •

17 2

komposisi fungsi kodomain fungsi fungsi injektif fungsi bijektif fungsi ganjil

Nilai Nilai fungsi fungsi komposisi dan pembentukn pembentuknya ya

Sifat-sifat komposisi fungsi

• • • • •

Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers

Sifat-sifat fungsi invers

Grafik fungsi invers

Fungsi invers dari suatu fungsi

domain fungsi range fungsi fungsi surjektif fungsi genap fungsi invers

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

A

Relasi dan Fungsi

1. Relasi Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A himpunan A ke himpunan B himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A himpunan A ke anggota-anggota himpunan B himpunan B.. Jika diketahui himpunan A himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A himpunan A ke himpunan B himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. a.

b.

Diagram panah 0 1 2 5

1 2 3 4 6

A

B

Diagram Cartesius B

• (5, 6)

6

3 2

•

(2, 3)

(1, 2)

•

(0, 1) • 0

2

1

3

4

A

5

c.

Himp Himpun unan an pasa pasang ngan an beru beruru ruta tan n R = {(0, 1), (1, 2), (2, (2, 3), (5, 6)}

d.

Dengan rumus f ( x) x) = x = x + 1, di mana x ∈ {0, 1, 2, 5} 5} dan f ( x) x) ∈ {1, 2, 3, 4, 6}

2. Fungsi a. Pen Pengerti ertia an Fun Fungsi f

A

x X

>

C f ( x) x)

B

Suatu relasi dari himpunan A himpunan A ke himpunan B himpunan B disebut fungsi dari A dari A ke B ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B anggota B..


173 17 3

Jika f Jika f adalah adalah suatu fungsi dari A dari A ke B ke B,, maka: himpunan A disebut domain (daerah asal), himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan anggota B yang pasangan (himpunan C ) disebut range (hasil) fungsi f fungsi f . Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B himpunan B disebut aturan fungsi f fungsi f . Misal diketahui fungsi-fungsi: f : A : A → B ditentukan dengan notasi f(x) g : C → D ditentukan dengan notasi g(x) Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal

Diketahui A Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f fungsi f :: A → B ditentukan oleh f oleh f ( x) x) = 2 x – 1. 1. Gambarlah fungsi f dengan f dengan diagram panah. 2. Tentu entuka kan n ran rang ge fu fungsi ngsi f. f. 3. Gamb Gambar arla lah h graf grafik ik fung fungsi si f. f. Penyele Pen yelesai saian an

a.

1 2 3 4 5 6 7 8

f A

1 2 3 4

B

b.

Dari diagram di atas, terlihat bahwa: bahwa: f ( x) x) = 2 x – 1 f (3) (3) = 2 ⋅ 3 – 1 = 5 f (1) (1) = 2 ⋅ 1 – 1 = 1 f (4) (4) = 2 ⋅ 4 – 1 = 7 f (2) (2) = 2 ⋅ 2 – 1 = 3 Jadi, range fungsi f fungsi f adalah adalah {1, 3, 5, 7}.

c.

Grafik fungsi

f ( x) x) 8 7

•

6 5

•

4 3

•

2 1 0 17 4

• 1

2

x 3

4


b. Maca Macam m-Mac -Macam am Fung Fungsi si 1) Fung Fungsi si kons konstan tan (fu (fung ngsi si teta tetap) p)

Suatu fungsi f fungsi f :: A → B ditentukan dengan rumus f rumus f ( x) x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f berlaku f ( x) x) = C , di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini. Contoh soal

Diketahui f Diketahui f :: R → R dengan rumus f ( x) x) = 3 dengan daerah domain: { x | –3 ≤ x < 2}. Tentukan gambar grafiknya. Penyele Pen yelesai saian an

x f ( x) x)

–3 3

–2 3

–1 3

Grafik:

0 3

1 3

Y f ( x) x) = 3 3 2

3

1 –3

–2 –1

0

1

X

2) Fungs ungsii llin ine ear

Suatu fungsi f ( x) x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f ( x) x) = ax + b, b, di mana a ≠ 0 , a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Pelajarilah Pelajarila h contoh soal berikut ini agar kamu lebih jelas memahami fungsi linear. linea r. Contoh soal Jika diketahui f diketahui f ( x) x) = 2 x + 3, gambarlah grafiknya. Penyele Pen yelesai saian an

x

0

f ( x) x)

3

Y

Grafik:

2 x + 3

f ( x) x) = 2 x + 3

–1 12

3

0

1 –1 2

0

X

3) Fung Fungsi si kuad kuadra ratt

Suatu fungsi f ( x) x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f ( x) x) = ax2 + bx + c, c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.


175 17 5

Perhatikan contoh soal berikut ini untuk lebih memahami tentang fungsi kuadrat. kuadrat. Contoh soal

Perhatikan gambar di bawah ini, fungsi f fungsi f ditentukan ditentukan oleh f oleh f ( x) x) = x = x2 + 2 x – 3. Y 5

–1 –4 –3

1

X

2

–3

Tentukanlah: a. Domain fungsi f. b. Nilai minimum minimum fungsi fungsi f. c. Nilai ilai maksi aksimu mum m fun fung gsi f. si f. d. Range fungsi f. e. Pembuat nol fungsi f. f. Koord oordin inat at tit titik ik bali balik k min minim imum um..

–4

Peny elesai Penyele saian an a. Domain fungsi f adalah f adalah { x | –4 ≤ x < 2}. b. Nilai minimum fungsi f fungsi f adalah adalah –4. c. Nilai ilai maks maksim imum um fun fungsi gsi f adalah f adalah 5. d. Range fungsi f adalah f adalah { y | –4 ≤ y ≤ 5}. e. Pembuat nol fungsi f adalah f adalah –3 dan 1. f. Koor Koordi dina natt titi titik k bali balik k mini minimu mum m graf grafik ik fun fungs gsii f adalah f adalah (–1, –4). Ingat!!

Di kelas X kamu sudah mempelajari cara membuat grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Caranya adalah sebagai berikut. a. Mene Menent ntuk ukan an titik titik poto potong ng deng dengan an sumb sumbu u X → y = 0. b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y → x = 0. c.

Mene Menent ntuk ukan an pers persam amaan aan sumb sumbu u sime simetr trii x = –

d.

Menen enentu tuka kan n titi titik k punc puncak ak

(− 2 , − 4 ) . b a

D a

b . 2a

4) Fung Fungsi si iden identi tita tas s

Suatu fungsi f fungsi f ( x) x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f berlaku f ( x) x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f ( x) x) = x. Agar kamu lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah pelajarila h contoh soal berikut ini. Contoh soal

Fungsi pada R pada R didefinisikan sebagai f sebagai f ( x) x) = x = x untuk setiap x setiap x.. a . Carilah f (–2), f (–2), f (0), f (0), f (1), f (1), f (3). (3). b. Gambarlah grafiknya.

17 6


Penyele Pen yelesai saian an

a . f ( x) x) = x f (–2) (–2) = –2 f (0) (0) = 0 f (1) (1) = – 1 f (3) (3) = 3

Y

b.

Grafi Grafikny knya: a:

y = x

3

–2 –1

1

X 1

3

–1

–2

5) Fung Fungsi si tang tangga ga (ber (bertin tingk gkat at) )

Suatu fungsi f fungsi f ( x) x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f fungsi f ( x) x) berbentuk interval-interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal

Diketahui fungsi: f ( x) x) =

Tentukan interval dari: da ri: a . f (–2) b. f (0) c . f (3) (3) Pen yelesai Penyele saian an a . f (–2) = –1 b. f (0) (0) = 0 c . f (3) (3) = 2 d. f (5) (5) = 3

–1, jika x –1 0, jika –1 < x 2 2, jika 2 < x 4 3, jika x jika x > 4

d. f (5) (5) e. gambar grafiknya.

e.

grafiknya:

Y 3 2 –1 0

1 –1

X

2

4

6) Fung Fungsi si mod modul ulu us

Suatu fungsi f fungsi f ( x) x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. f : f : x

→

| x | atau f : f : x

→

| ax + b |

f ( x) x) = | x | artinya: | x |

x, jika x jika x ≥ 0 ⎧⎪ x, ⎨ ⎪⎩ – x, x, jika x < 0

Y

y = –x

0

y = x

X


177 17 7

7) Fungsi Fungsi ganjil ganjil dan fungsi fungsi genap genap

Suatu fungsi f fungsi f ( x) x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f (– (– x) x) = – f ( x) x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f berlaku f (– (– x) x) = f ( x). x). Jika f Jika f (– (– x) x) ≠ – f ( x) x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal

Tentukan fungsi fun gsi f f di di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil. 1. f ( x) x) = 2 x3 + x 2. f ( x) x) = 3 cos x cos x – 5 3. f ( x) x) = x2 – 8 x Penyele Pen yelesai saian an

1. f ( x) x) = 2 x3 + x f (– (– x) x ) = 2(– x) x )3 + (– x) x) = –2 x3 – x – x = –(2 x3 + x) x) = – f ( x) x ) Jadi, fungsi f fungsi f ( x) x) merupakan fungsi ganjil. 2. f ( x) x) = 3 cos x cos x – 5 f (– (– x) x ) = 3 cos (– x) x ) – 5 = 3 cos x – 5 Jadi, fungsi f fungsi f ( x) x) merupakan fungsi genap. 3. f ( x) x ) = x2 – 8 x f ( –x) –x) = (– x) x )2 – 8 (– x) x) = x2 + 8 x Fungsi f Fungsi f (– (– x) x) ≠ f ( x) x) dan f (– (– x) x)

≠ – f ( x). x).

Jadi, fungsi f fungsi f ( x) x) adalah tidak genap dan tidak ganjil. c. Sifat Fu Fungsi 1) Fung Fungsi si inje injekti ktiff (satu (satu-sa -satu) tu)

Jika fungsi f fungsi f :: A → B, B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A di A,, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif. a

>

p

a

b

>

q

b

c

>

r

c

A

B

fungsi fun gsi inj injekt ektif if

17 8

A

> >

>

p

a

q

b

r s B

fungsi fun gsi inj injek ektif tif


c A

> >

p q

>

B

bukan buk an fun fungsi gsi inj injek ektif tif

2) Fung Fungsi si surj surjek ekti tiff (ont (onto) o)

Pada fungsi f : f : A → B, B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A di A,, maka f maka f disebut disebut fungsi surjektif atau onto. a

p

a

p

b

q

b

q

c

r

c

r

d

s B

A

A

fungsi fun gsi sur surjek jekti tif f

B

bukan fungsi surjektif

3) Fungsi Fungsi bijek bijektif tif (kore (korespo sponde ndensi nsi satu-s satu-satu) atu)

Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. a

p

a

p

b

q

b

q

c

r

c

r

d

s

d

A

B

A

fungsi fun gsi bij bijekt ektif if

B

bukan fungsi bijektif

6.1 Kerjakan soal-soal di bawah ini.

1. Dari hi himpunan A dan B dan B berikut, manakah yang merupakan fungsi? Sebutkan pula domain, kodomain, kodomain, dan rumusnya. rumusnya. a. b. c. –1 –2

0

0

1

1

1

2

0

4

2

3

1

9

3

4

A

B

A

B

–1

>

> >

>

0 1

3

>

2 A

B

2. Gamb Gambar arla lah h gra grafi fik k dar dari: i: a. f ( x) x) =

⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

0, jika 0 < x ≤ 1 2, ji jika 1 < x ≤ 2 4, jika 2 < x ≤ 3


179 17 9

b. f ( x) x) = x = x2 + 2 x – 3 c. f ( x) x) = | x + 2 | 3. Selidiki Selidiki fungsi fungsi berikut berikut termasu termasuk k fungsi fungsi ganjil, ganjil, genap, genap, atau bukan bukan keduanya. keduanya. a. f ( x) x) = x2 – 3 b. f ( x) x) = 2 sin x sin x + cos x cos x c . f ( x) x) = 3 x5 – 2 x3 4. Tentukan entukan daera daerah h asal dan dan range range fungsi fungsi berik berikut ut bila bila x ∈ B dan B dan B = { x | –3 < x < x ≤ 2}. a. f ( x) x) = 2 x – 1 b. b. f ( x) x) = x = x2 + 3 c . f ( x) x) = 4 d. f ( x) x) = | x + 1 | 5. Diket iketah ahui ui fu fungsi ngsi A A = {1, 2, 3, 4} ke B ke B = {5, 6, 7} yang dinyatakan dalam pasangan berurutan berikut berikut ini, manakah yang merupakan pasangan surjektif? a . f = f = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6)} b. b. f = f = {(1, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 5)} c . f = f = {(1, 6), (2, 7), (3, 5), (4, 5)} d. f = f = {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 7)}

B

Aljabar Fungsi

Bila f Bila f dan dan g g suatu suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut. 1. Penjumlahan f dan f dan g g berlaku (f (f + + g)( g)( x ) = f ( x ) + g( g( x )

Perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal

Diketahui f Diketahui f ( x) x) = x = x + 2 dan g dan g ( x) x) = x = x2 – 4. Tentukan ( f + f + g )( )( x). x). Penyele Pen yelesai saian an

( f + f + g )( )( x) x) = f ( x) x) + g ( x) x) = x + 2 + x2 – 4 = x2 + x – 2 2. Pengurangan f dan f dan g g berlaku (f (f – – g)( g)( x ) = f ( x ) – g( g( x )

Untuk memahami sifat tersebut, pelajarilah contoh soal berikut ini. Contoh soal

Diketahui f Diketahui f ( x) x) = x = x2 – 3 x dan g dan g ( x) x) = 2 x + 1. Tentukan ( f – f – g g )( )( x). x).

18 0



( f – g – g )( )( x) x) = f ( x) x) – g – g ( x) x) = x2 – 3 x – (2 x + 1) = x2 – 3 x – 2 x – 1 = x2 – 5 x – 1 3. Perkalian f dan f dan g g berlaku (f (f ⋅ g)( g)( x ) = f ( x ) ⋅ g( g( x )

Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami fungsi tersebut. Contoh soal Diketahui f Diketahui f ( x) x) = x = x – 5 dan g dan g ( x) x) = x = x2 + x. Tentukan ( f × f × g )( )( x). x). Penyele Pen yelesai saian an

( f × g )( )( x) x) = f ( x) x) ⋅ g ( x) x) = ( x x – 5)( x x2 + x) x) = x3 + x2 – 5 x2 – 5 x = x3 – 4 x2 – 5 x

⎛ f ⎞ f ( x ) x ) = ( x 4. Pembagian f dan f dan g g berlaku ⎜⎜ ⎟ ⎟ g ⎝ ⎠

g( x )

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini. Contoh soal

Diketahui f Diketahui f ( x) x) = x = x2 – 4 dan g dan g ( x) x) = x = x + 2. Tentukan Penyele Pen yelesai saian an

⎛ f ⎞ ( x) f ( x) ⎜ g ⎟ = g ( x) ⎝ ⎠ x 2 − 4 = x + 2 C

=

⎛ f ⎞ ( x) . ⎜ g ⎟ ⎝ ⎠

( x − 2)( x + 2) = x – 2 x + 2

Fungsi Komposisi

1. Sya Syarat rat dan dan Aturan Aturan Fungsi Fungsi yang yang Dapat Dapat Dikomp Dikomposis osisikan ikan Jika diketahui A diketahui A = {a {a1, a2, a3}, B }, B = {b {b1, b2, b3, b4}, dan C = {c1, c2, c3}, maka fungsi C = {c f : f : A → B dan g dan g :: B → C didefinisikan C didefinisikan seperti diagram berikut. a1 a2 a3 A

f

>

b1 b2 b3 b4 B

f (a1) = b2 f (a2) = b1 f (a3) = b3

b1 b2 b3 b4 B

c1 c2 c3 g

g (b1) = c2 g (b2) = c1 g (b3) = c3

C


181 18 1

Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari A ke C sebagai C sebagai berikut.

a1 a2 a3

b1 b2 b3 b4

f

A

c1 c2 c3

f (a1) = b2 da dan n g (b2) = c2 sehingga ( g g f ) (a1) = c2 D

g (b2) = c1 da dan n g (b1) = c1 sehingga ( g g f ) (a (a2) = c1 D

g (b3) = c3 da dan n g (b3) = c3 sehingga ( g g f ) (a (a3) = c3

g

D

B

C

Jika fungsi yang langsung memetakan A memetakan A ke C itu C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.

a1 a2 a3

>

g f ( g f )

c1 c2 c3

( g g f ) (a1) = c2 D

( g g f ) (a2) = c1 D

( g g f ) (a3) = c3 D

D

C

A

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan g f dibaca f dibaca “fungsi g “fungsi g bundaran bundaran f” f”.. g f adalah f adalah fungsi komposisi dengan f dengan f dikerjakan dikerjakan lebih dahulu daripada g daripada g . D

D

Fungsi komposisi tersebut dapat ditulis: ( g f )( )( x) x) = g ( f f ( x)) x)) D

( f g )( )( x) x) = f ( g ( x)) x)) D

B

A

x

f ( x) x)

C

g ( f f ( x)) x))

g f Sedangkan, untuk f untuk f g dibaca fungsi f bundaran g . Jadi, f g adalah fungsi komposisi dengan g dengan g dikerjakan dikerjakan lebih dahulu daripada f daripada f . D

D

A

B

x

g ( x) x)

C

f ( g g ( x)) x))

f g

18 2


Buatlah kelompok-kelompok di kelasmu, kemudian buktikan sifat-sifat komposisi fungsi berikut ini. Catat dan bacakan hasilnya di depan kelas. Bila f Bila f , g, dan h suatu fungsi, maka: a. tida tidak k berl berlak aku u sifa sifatt komu komuta tati tif, f, yait yaitu u f g ≠ g f; b. jika I jika I fungsi fungsi identitas berlaku : I : I f = f = f I = I = f; c. berl berlak aku u sif sifat asos asosia iati tif, f, yaitu aitu : f ( g g h) = ( f f g ) h. D

D

D

D

D

D

D

D

Untuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini. Contoh soal

1.

Diketahui f ( x) x) = 2 x – 1, g 1, g ( x) x) = x = x2 + 2. a . Tentukan ( g g f )( )( x). x). b. Tentukan ( f f g )( )( x). x). c. Apak Apakah ah ber berla laku ku sif sifat at kom komut utat atif if:: g f = f = f g ? D

D

D

D


2.

a.

( g f )( )( x) x) = = = = =

b.

( f g )( )( x) x) = = = = =

c.

Tidak idak ber berla laku ku sifa sifatt kom komut utat atif if kare karena na g g f ≠ f g.

D

D

g ( f f ( x)) x)) g (2 (2 x – 1) (2 x – 1)2 + 2 4 x2 – 4 x + 1 + 2 4 x2 – 4 x + 3 f ( g ( x)) x )) f ( x2 + 2) 2( x x2 + 2) – 1 4 x2 + 4 – 1 4 x2 + 3 D

D

Diketahui f ( x) x) = x = x2, g ( x) x) = x = x – 3, dan h( x) x) = 5 x. x. a . Tentukan ( f f ( g h))( x). x). b. Tentukan (( f f g ) h)( x). x). c . Apakah f ( g h) = ( f f g ) h, mengapa? D

D

D

D

D

D

D

D

Pen yelesai Penyele saian an a . ( f f ( g h))( x) x) = …. Misal p Misal p(( x) x) = ( g h )( x) x) = g (h( x)) x)) = g (5 (5 x) x) = 5 x – 3 D

D

D


183 18 3

Soalnya menjadi ( f ( g h)( x) x)) = = = = = D

b.

D

( f p)( p )( x) x ) f ( p( p( x)) x)) f (5 (5 x – 3) (5 x – 3)2 25 x2 – 30 x + 9 D

(( f f g ) h)( x) x) = …. D

D

Misal s Misal s(( x) x) = ( f g )( )( x) x) D

= f ( g ( x)) x)) = f ( x x – 3) = ( x x – 3)2 Soalnya menjadi: (( f g ) h)( x) x) = = = = = D

c. 3.

D

( s h)( x) x) s( s(h( x)) x)) s(5 s(5 x) x) (5 x – 3) 2 25 x2 – 30 x + 9 D

Ya, (f ( g h))( x) x) = (( f g ) h)( x) x) sebab berlaku sifat asosiatif. D

D

D

D

Diketahui f ( x) x) = 5 x – 2 dan I dan I ( x) x) = x. = x. Buktikan I Buktikan I f = f = f I = I = f. D

D

Bukti ( I f )( )( x) x) = I ( f f ( x)) x)) = I (5 (5 x – 2) = 5 x – 2 D

( f I )( )( x) x) = f ( I I ( x)) x)) = f ( x) x) = 5 x – 2 Tampak bahwa I bahwa I f = f = f I = I = f (terbukti). D

D

D


1. Diketahui f ( x) x) = x = x – 2 dan g dan g ( x) x) = x = x2 – x x – 2. Tentukan: a. ( f + f + g )( )( x) x) c . ( f f × g )( )( x) x) b. ( f f – g – g )( )( x) x)

18 4

d.

⎛ f ⎞ ( x) ⎜ g ⎟ ⎝ ⎠


2. Diketahui f ( x) x) = x = x2 dan g dan g ( x) x) = x = x + 4. Tentukan: a. ( f f + g )(–3) c . ( f f × g )(–1) )(–1) b. ( f f – g )(1)

d.

⎛ f ⎞ (2) ⎜ g ⎟ ⎝ ⎠

3. Diketa Diketahui hui fungsi fungsi yang yang diten ditentuk tukan an oleh oleh f f ( x) x) = x + 1, g 1, g ( x) x) = 2 – x. x. Tentukan Tentukan fungsi fun gsi 2 2 yang dinyatakan oleh f oleh f ( x) x) + g ( x) x) + ( f + f + g )( )( x) x) + ( g g – f )( )( x). x). 4. Fungsi f : f : R → R dan g dan g :: R Tentukan: a. ( f g )( )( x) x) b. ( g f )( )( x) x) D

D

oleh f ( x) x) = 2 x – 1 dan g dan g ( x) x) = x = x + 3. → R ditentukan oleh f c . ( f f )( )( x) x ) d. ( g g )( )( x) x ) D

D

5. Diket iketah ahui ui fu fungsi ngsi f f ( x) x) = 2 x + 1 dan g dan g ( x) x) = x = x2. Tentukan: a. ( f g )( )( x) x) c. ( f f f )(x) )(x) b. ( g f )( )( x) x) d. ( g g g )(x) )(x) D

D

D

D

6. Diketahui g ( x) x) = 2 x + 3 dan ( g g f )( )( x) x) = 2 x2 + 4 x + 5. Tentukan f Tentukan f ( x). x). D

2. Nila Nilaii Fungsi Fungsi Komposi Komposisi si dan Komp Komponen onen Pembe Pembentu ntuknya knya Untuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini. a . Dengan Dengan menentu menentukan kan rumu rumuss komposi komposisiny sinyaa terlebih terlebih dahulu, dahulu, kemud kemudian ian disub disubstitu stitusikan sikan nilainya. b. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari. Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal

Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f rumus f ( x) x) = 3 x – 1 dan g dan g ( x) x) = x = x2 + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut. a . ( g f )(1) )(1) b. ( f g )(–2) )(–2) c . ( g f )(–3) )(–3) D

D

D

Penyele Pen yelesai saian an Cara 1 a .

( g f )( )( x) x) D

= = = = =

g ( f ( x)) x)) g (3 (3 x – 1) (3 x – 1)2 + 4 9 x2 – 6 x + 1 + 4 9 x2 – 6 x + 5

( g f )(1) = 9 ⋅ 12 – 6 ⋅ 1 + 5 = 9–6+5 = 8 D


185 18 5

b.

( f g )(–2) D

( f g )(–2) D

c.

= = = = = = = =

f ( g ( x)) x)) f ( x2 + 4) 3( x x2 + 4) – 1 3 x2 + 12 – 1 3 x2 + 11 3(–2) 2 + 11 3 ⋅ 4 + 11 12 + 11 = 23

( g f )( )( x) x) = 9 x2 – 6 x + 5 ( g f )(–3) = 9(–3) 2 – 6 (–3) + 5 = 81 + 18 + 5 = 104 D

D

Cara 2 a .

( g f )(1) ) (1) = = = = D

g ( f (1)) (1)) g (3 (3 ⋅ 1 – 1) g (2) (2) 22 + 4 = 8

b.

( f f g ) (–2) = = = =

f ( g (–2)) (–2)) f ((–2) ((–2)2 + 4) f (8) (8) 3 ⋅ 8 – 1 = 23

c.

( g f )(–3)

g ( f (–3)) (–3)) g (3 (3 (–3) – 1) g (–10) (–10) (–10)2 + 4 = 104

D

D

= = = =

6.3

Kerjakan soal-soal di bawah ini di buku tugas.

1. Diket iketah ahu ui fung fungsi si p p dan q pada A pada A = {2, 3, 4, 5, 6} ditulis sebagai fungsi berurutan sebagai berikut. p = {(2, 4), (3, 6), (4, 4), (5, 2), (6, 3)} q = {(2, 5), (3, 2), (4, 2), (5, 3), (6, 4)} a. Tentukan ( p p q)(2), ( p q)(3), ( p q)(4), ( p q)(5), ( p q)(6). b. Tentukan (q p)(2), p)(2), (q (q p)(3), p)(3), (q (q p)(4), p)(4), (q (q p)(5), p)(5), (q (q p)(6). p)(6). c. Buktikan ( p p q) ≠ (q p)( p)( x). x). D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

18 6

D


2. Diket iketah ahui ui fun fung gsi f : f : R → R dan g dan g :: R → R ditentukan oleh f oleh f ( x) x) = 2 – x x dan g ( x) x) = 3 x + 4. Tentukan nilai fungsi komposisi berikut ini. a. ( f g )(–2) c . ( f f )(–1) )(–1) b. ( g f )(1) d. ( g g )(2) )(2) D

D

D

D

3. Di ket ahui f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f ( x) x) = x + 1 dan g ( x) x) = 2 x – 1. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai nila i pada fungsi-fungsi berikut berikut ini, tentukan tentukan nilai: nilai: a. ( f g )(–1) c . ( g f )(–2) )(–2) b. ( f g )(3) d. ( g f )(1) )(1) D

D

D

D

4. Diket iketah ahui ui fu fungsi ngsi f f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f ( x) x) = 2 x2 dan g ( x) x) = x = x – 3. Tentukan nilai x nilai x:: a . jika ( f f g )( )( x) x) = 2 c . ( g g f )( )( x) x) = 5 b. jika ( f g )( )( x) x) = 4 d. ( g g f )( )( x) x) = –1 D

D

D

D

D

Fungsi Invers

1. Menj Menjelas elaskan kan Syara Syaratt agar Suatu Suatu Fungsi Fungsi Mempu Mempunyai nyai Inver Invers s Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Perhatikanlah gambar di bawah ini. (i)

a1 a2 a3 a4 A

g = f -1

f

b1 b2 b3 B

(ii) ii)

b1 b2 b3

a1 a2 a3 a4

B

A Dari gambar (i (i), himpunan A yang beranggotakan (a (a1, a2, a3, a4) diperakan oleh fungsi f ke himpunan B yang beranggotakan (b ( b1, b2, b3) daerah hasil adalah: {(a {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4)}. Pada gambar (ii (ii)) himpunan B dipetakan oleh fungsi g ke himpunan A himpunan A daerah hasil adalah: {( {(b b1, a1), (b2, a2), (b (b2, a4), (b (b3, a3)}. Pemetaan g Pemetaan g :: B → A diperoleh dengan cara menukarkan atau membalik pasangan terurut f terurut f :: A → B atau B atau B merupakan balikan dari f dinotasikan f dinotasikan g g = = f -1, sering disebut g disebut g merupakan merupakan invers dari dari f f . Ingat!!

Jika fungsi f fungsi f = = A → B dinyatakan dengan pasangan terurut f terurut f = = {( {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B} B} -1 -1 maka invers fungsi f fungsi f adalah adalah f f = b → A ditentukan oleh f oleh f = {(b {(b, a) | b ∈ B, B, dan a ∈ A}. A}.


187 18 7

2. Mene Menentuk ntukan an Aturan Aturan Fungs Fungsii Invers Invers dari dari Suatu Suatu Fungsi Fungsi Suatu fungsi f fungsi f akan akan mempunyai invers, yaitu f yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f fungsi f bijektif bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f Misalkan, f merupakan merupakan fungsi dari A dari A ke B ke B,, maka f –1 merupakan fungsi invers f invers f jika jika berlaku ( f –1 f )( )( x) x) = x dan ( f f –1)( x) x) = x. x. D

D

Perhatikanlah gambar di bawah ini.

a1

b1

b1

a1

a2

b2

b2

a2

a3

b3

b3

a3

A

B

A B fungsi invers f

fungsii f fungs

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara beriku berikutt ini. a. Buatla tlah permisalan lan f ( x) x) = y = y pada persamaan. b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f dengan f ( x) x) = y, y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x nyatakanlah x = f ( y). y). c . Gantilah y dengan x dengan x,, sehingga f sehingga f ( y) = f –1( x). y) = f x). Untuk lebih memahami tentang fungsi invers, pelajarilah contoh soal berikut ini. Contoh soal

1.

Jika diketahui f ( x) x) =

x

x + 2

, x ≠ –2, tentukan inversnya.


Misal f Misal f ( x) x) = y = y,, maka soalnya menjadi: f ( x) x) = y y( x + 2) yx + 2 y yx – x x ( y – 1) x

2.

18 8

= = = = =

Diketahui f : f : R

x =

−2 y y − 1

f ( y) y) =

−2 y y − 1

f –1( x) x) =

−2 x x − 1

x

x + 2 x x + 2 x x –2 y –2 y

ketentuan f ( x) x) = 3 x + 8. → R dengan ketentuan f

a.

Tentukan f –1( x). x).

b.

Tentukan ( f )( x). f –1 f )( x).

c.

Tentukan ( f f f –1)( x). x).

d.

Buktikan bahwa ( f f –1 f )( )( x) x) = ( f f f –1)( x). x).

D

D

D

D



a.

b.

Misalnya f ( x) x) = y f ( x) x) = 3 x + 8 y = 3 x + 8 y – 8 = 3 x 3 x = y – 8 x =

y − 8 3

x =

1 8 y − 3 3

( f –1 f )( x )( x)) D

x =

1 2 y − 2 3 3

f ( y) y) =

1 2 y − 2 3 3

f –1( x) x) =

1 2 x − 2 3 3

= f –1 ( f ( x)) x )) = f –1(3 x + 8) 1 2 (3 x + 8) − 2 = 3 3 8 2 = x + − 2 3 3 = x

c.

( f f –1 )( x )( x)) D

= f ( f –1 ( x)) x )) 2 ⎞ ⎛1 = f ⎜ x − 2 ⎟ 3 ⎠ ⎝3 2 ⎞ ⎛1 3 ⎜ x − 2 ⎟ + 8 3 ⎠ ⎝3 = x – 8 + 8 = x =

d.

Dari Dari jawa jawaba ban n b dan dan c terb terbuk ukti ti ( f f –1 f )( )( x) x) = ( f f f –1)( x) x) = x. D

D


1. Jika fu fungsi f mempunyai f mempunyai invers, tentukanlah rumus untuk fungsi f fungsi f –1 dari: a. f ( x) x) = 3 x – 2 b. b. f ( x) x) = 2x + 5

2 + x 1 , x ≠ − 2 x − 1 2 2 d. f ( x) x) = x + 4

c . f ( x) x) =

2. Jika f dan f dan g g suatu suatu fungsi yang dinyatakan oleh f oleh f ( x) x) = x = x + 1 dan g dan g ( x) x) = 2 x – 7, tentukan: a. f –1( x) x) c. ( f f f ) –1( x) x) b. b. g –1( x) x) d. ( g g –1 g –1)( x) x) D

D


189 18 9

3. Jika f suatu f suatu fungsi yang dinyatakan oleh f oleh f ( x) x) = 2 x – 3, tentukanlah: a. f –1( x) x) b. ( f f –1)( x) x) c. ( f –1 f –1)( x) x) D

D

4. Jika f dan f dan g g suatu suatu fungsi yang dinyatakan oleh f oleh f ( x) x) = x = x – 1 dan g dan g ( x) x) = 3 x + 4, tentukanlah: a . f –1 ( x) x ) b. b. g –1 ( x) x ) c. ( f f –1 )( x) x ) d. ( g –1 g –1 )( x )( x)) D

D

3. Meng Menggam gambar bar Grafik Grafik Fungsi Fungsi Invers Invers dari dari Grafik Grafik Fungsi Fungsi Asalnya Asalnya Untuk menggambarkan grafik f grafik f –1 da n f, perhatikanlah diagram di samping. Dari diagram di samping dapat diketahui jika y = f ( x) x) maka x maka x = f (y). (y). Demikian pula, jika x jika x = f (y) (y) maka y maka y = f ( x). x). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa fungsi yang memetakan A memetakan A ke B ke B bersifat bijektif dan mempunyai fungsi invers.

x = f ( y) y)

f > >

f –1

A

y = f ( x) x) B

Fungsi-fungsi lain selain fungsi bijektif tidak memiliki fungsi invers. Jadi, hanya fungsi bijektif yang mempunyai fungsi invers. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh soal berikut ini. Contoh soal

Diketahui f Diketahui f ( x) x) = x = x + 3. Gambarlah grafik f f ( x) x) dan f dan f –1( x). x). Penyele Pen yelesai saian an f ( x) x ) = y = x = f ( y) y ) = f –1( x) x) =

x + 3 x + 3 y – 3 y – 3 x – 3

Y

f(x) = x + 3

3

f (x) = x – 3

Grafik:

–3

0

–1

3

X

–3

4. Kai Kaitan tan Sifat Sifat Fungsi Fungsi Inver Invers s dengan dengan Fungsi Fungsi Kompo Komposisi sisi Jika terdapat fungsi komposisi ( g f ), ), maka ( g g f ) dapat dipandang sebagai suatu fungsi tunggal, sehingga pada fungsi tersebut dapat dicari inversnya. D

19 0

D


Perhatikan diagram berikut. h = g o f A x

B

f f

f(x)

-1

-1

C

g

y = g (f( x ))

-1

g

-1

-1

h = (g o f) = f

o

-1

g

Dari gambar diagram di atas f atas f :: A → B, B, g : g : B → C , dengan f dengan f dan dan g g berkorespondensi berkorespondensi –1 –1 –1 satu-satu sedermikian sehingga h = g f , maka h = f g . Dalam hal ini ( g f ) –1 = h –1 = disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifatsifat berikut ini. D

D

D

( g f ) –1( x) x) = ( f –1 g –1)( x) x) D

D

( f g ) –1( x) x) = ( g –1 f –1)( x) x) D

D

Pelajarilah contoh soal berikut ini agar kamu lebih memahami fugnsi invers dari fungsi komposisi. Contoh soal

1.

Diketa etahui fungsi f : R → R dan g : R g ( x) x) = x = x + 3. Tentukan: a . f –1 ( x) x ) c. ( g g f ) –1( x) x) b. g –1 ( x) x ) d. ( g g f ) –1( x) x)

→

R dengan ketentuan f ( x) x) = 2 x – 6,

D

D

Pen yelesai Penyele saian an a . f ( x) x) = 2 x – 6 misal y misal y = f ( x) x) f ( x) x) = 2 x – 6 y = 2 x – 6 y + 6 = 2 x

x = Jadi f Jadi f –1( x) x) = b. b.

y

+6

2 x

+6 2

g ( x) x) = x = x + 3 misal y misal y = g ( x) x) g ( x) x) = x + 3 y = x + 3 y – 3 = x x = y – 3 Jadi g Jadi g –1( x) x) = x – 3

c.

( g g f )( )( x) x) = = = = D

g ( f ( x) x ) g (2 g (2 x – 6) 2 x – 6 + 3 2 x – 3

misal y misal y = ( g f )( )( x) x) ( g f )( )( x) x ) = 2 x – 3 y = 2 x – 3 y + 3 = 2 x D

D

y

+3 2 x

= x =

y

+3 2

Jadi ( g g f ) –1( x) x) = D

x

+3 2


191 19 1

d.

( f f g )( )( x) x) = = = = = D

f ( g ( x) x ) f ( x x + 3) 2( x x + 3) – 6 2 x + 6 – 6 2 x

misal y = ( f g )( )( x) x) ( f f g )( )( x) x) = 2 x y = 2 x D

D

y 2 x Jadi ( f f g ) –1( x) x) = 2 . x =

D

2.

Diket iketaahui fungsi f : f : R → R dan g dan g :: R → R dengan ketentuan f ketentuan f ( x) x) = x – 3 dan g ( x) x) = 2 x + 4. Tentukan: a . f –1 ( 2 ) c . ( f –1 g –1 )( x )( x)) b. g –1 ( –2 ) d. ( g –1 f –1 )( x )( x)) D

D


a . f ( x) x) = x – 3 misal y = f ( x) x) f ( x) x) = x – 3 y = x – 3 x = y + 3

c.

( f f –1 g –1)( x) x) = D

= =

Jadi f Jadi f –1( x) x) = x + 3 f –1(2) = 2 + 3 = 5

=

y

d.

−4 2

x

−4

+3

−4+6

D

= g –1 ( x + 3) =

−4

2 =

6.5 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1. Gamb ambarla arlah h graf grafik ik f ( x) x) dan inversnya jika diketahui:

19 2

x

x

⎜ 2 ⎟

( g –1 f –1 )( x )( x)) = g –1 ( f –1( x)) x))

x − 4 2 −2 − 4 = –3 g –1 ( –2 ) = 2

Jadi g –1( x) x)

f –1

2 x + 2 1 = = x + 1 2 2

b. g ( x) x) = 2 x + 4 misal y = g ( x) x) g ( x) x) = 2 x + 4 y = 2 x + 4 y – 4 = 2 x x =

f –1 ( g –1( x)) x))

b. b. f ( x) x) = 2 x + 1

d. f ( x) x) = x – 3

c . f ( x) x) = 2 – 3 x

e . f ( x) x) = 4 – x x


( x

+ 3) − 4

2 x + 3 − 4 = 2 x − 1 = 2 1 = 1 x – 2 2

2. Diketahui f : R → R dan g : R g ( x) x) = 3 x + 2. Tentukan:

→

R ditentukan oleh f ( x) x) = 2 x – 7 dan

a. ( g f ) –1 ( x) x ) D

c . ( g –1 f –1 )( x )( x))

b. ( f g ) –1 ( x) x )

d. ( f –1 g –1 )( x )( x))

D

D

D

3. Tentukan f –1( x) x) dari: x − 1 x + 5 2 x + 1 b. b. f ( x) x) = x − 2

x + 3 2 x − 5 3 x − 1 d. f ( x) x) = 2 x + 4

a. f ( x) x) =

c. f ( x) x) =

4. Diketahui f ( x) x) = x = x – 3, g 3, g ( x) x) = 2 x + 5, dan h( x) x) = x = x2 – 2. Tentukan: a. f –1( x); x); g –1( x); x); dan h –1( x) x)

c . ( g g f ) –1( x) x) dan ( f g ) –1( x) x)

b. f –1(–3); g –1(6); dan h –1(7)

d. ( f h) –1( x) x) dan ( g h) –1( x) x)

D

D

D

D

5. Tentukan g –1( x) x) jika diketahui: a. f ( x) x) = 2 x + 1 dan ( f g )( )( x) x) = x = x + 5 D

b. f ( x) x) = 2 x dan ( f g )( )( x) x) = x + 3 D

c. f ( x) x) = x = x2 + 5 dan ( f g )( )( x) x) = x = x2 – 2 x + 6 D

d. f ( x) x) =

1.

1 x + 1 dan ( f g )( )( x) x) = f –1( x) x) 2 D

Relasi a. Fung Fungsi si adal adalah ah rela relasi si dua dua him himpu puna nan n A dan B dan B yang memasangkan setiap anggota pada himpun himpunan an A A dengan tepat satu anggota himpunan B himpunan B.. Jadi, fungsi merupakan relasi khusus artinya tidak semua relasi merupakan fungsi. b. Macam-macam fungsi 1) Fungsi Fungsi konst konstan an (fung (fungsi si tetap) tetap) dide didefin finisi isikan kan deng dengan an f : x → C atau f ( x) x) = C , di mana C konstan. C konstan. 2) Fungsi Fungsi linea linearr adalah adalah fungsi fungsi yang yang variab variabelny elnyaa berpang berpangkat kat satu. satu. 3) Fungsi Fungsi kuadr kuadrat at adalah adalah fungs fungsii yang vari variabe abelny lnyaa berpang berpangkat kat dua. dua. 4) Suatu fungsi fungsi disebut disebut fungsi fungsi identita identitass apabila apabila setiap anggota anggota dari dari daerah asal dipetakan pada dirinya. 5) Fung Fungsi si tang tangga ga adal adalah ah fung fungsi si f f yang yang memasangkan anggota bentuk interval pada daerah asal ke beberapa anggota yang tetap te tap pada daerah kawan. 6) Fungsi Fungsi modulu moduluss (mutlak) (mutlak) adalah adalah fungsi fungsi yang memasang memasangkan kan setiap setiap bilangan bilangan real pada daerah asal ke unsur harga mutlaknya.


193 19 3

7)

c.

2.

Fung Fungsi si gan ganji jill dan dan fun fungs gsii gena genap p a) Fung Fungsi si ganj ganjil il apab apabil ilaa f (– (– x) x) = – f ( x). x). b) Fungsi genap apabila a pabila f f (– (– x) x) = f = f ( x). x).

Jika f Jika f (– (– x) x) ≠ f ( x) x) dan f dan f (– (– x) x) ≠ – f ( x) x) disebut fungsi tidak genap dan tidak ganjil. Sifat-sifat fun fungsi 1) Fung Fungsi si inje injekt ktif if (sat (satuu-sa satu tu). ). 2) Fung Fungsi si surj surjek ekti tiff (ont (onto) o).. 3) Fungsi Fungsi bijekt bijektif if (kor (koresp espon onden densi si satu satu-sa -satu) tu)

Aljabar fu fungsi a . Penjumlahan f dan f dan g g didefinisikan didefinisikan ( f + f + g ) ( x) x) = f = f ( x) x) + g + g ( x). x). b. Pengurangan f Pengurangan f dan dan g g didefinisikan didefinisikan ( f – f – g g )( )( x) x) = f = f ( x) x) – g – g ( x). x). c . Perkalian f dan f dan g g didefinisikan didefinisikan ( f ⋅ g )( )( x) x) = f = f ( x) x) ⋅ g ( x). x). d.

3.

Pembagian f dan f dan g g didefinisikan didefinisikan

f

⎜ g ⎟ ( x) = ⎝ ⎠

f ( x) . g ( x)

Fungsi ko komposisi Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi.

4.

Fungs Fungsii invers invers dari dari fun fungs gsii kom kompo posis sisii Bila suatu fungsi h : A → C ditentukan C ditentukan oleh h = g f dengan f dengan f f :: A → B dan g : g : B → C maka C maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah h –1 = ( g f ) –1. D

D

I

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

1.

Bila f ( x) x) = 2 x3 – 6 x, x, maka f maka f ( x x + 1) = …. a . x3 – 6 x2 – 3

d. x3 + x – 3

b. 2 x3 – 6 x2 – 4

e. x2 – x x – 3

c. 2 x3 – 6 x2 – 4 2.

Diketahui f ( x) x) = 3 x – 6 dan g dan g ( x) x) = 2 x + a. Bila ( f f g )( )( x) x) = ( g g f )( )( x) x) maka a = …. D

a. 5 3.

b. 1

Bila f ( x) x) = 3 x2 – 2 dan g dan g ( x) x) = a. 32

19 4

b. 38

c. –1

x

d. –5

D

e. –6

2 x , maka ( f f g )(2) )(2) = …. −3

c. 41

D

d. 43


e. 46

4.

Jika diketahui f ( x) x) = x = x2 – 2 x + 1, maka f maka f –1(4) adalah …… a. 3

5.

b. 1

c. 0

d. –1

e. –3

Jika diketahui g ( x) x) = x = x – 1 dan ( f g )( )( x) x) = 2 x2 – 4 x + 3, maka fungsi f fungsi f ( x) x) = …. D

a . x – 2

d. x2 – 2 x

b. x + 2

e. x2 + 2 x

c. x2 + 2 6.

Jika f : f : R

→

R dan g dan g :: R → R dengan f dengan f ( x) x) = x = x2 dan g dan g ( x) x) = 3 x + 1, maka f maka f ( g g (2)) (2)) = ….

a. 13 7.

b. 25

e. 81

D

Jika f ( x) x) = a.

9.

d. 49

Jika f ( x) x) = x2 dan ( f g )( )( x) x) = x = x2 – 2 x + 1, maka g maka g (3) (3) adalah …. a. 2

8.

c. 37

b. 4

c. 6

d. 7

e. 9

x maka f maka f –1( x) x) adalah …. x − 1

x − 1 x

b.

x + 1 x

c.

x x − 1

d.

x x + 1

e.

1 x

Misalkan f ( x) x) = x + 2 untuk x untuk x > 0 dan g ( x) x) = 15 untuk x > 0. Dengan demikian x untuk x ( f –1 g –1)( x) x) = 1 untuk x x = …. D

a. 1 10. Jika f –1( x) x) =

b. 3

c. 5

d. 8

e. 10

x − 1 3 − x dan g dan g –1( x) x) = , maka ( f f g ) –1(6) = …. 5 2 D

a. 1

b. 2

c. 6

d.

1 6

e.

1 10

11. Jika Jika dike diketa tahu huii f ( x) x) = x = x – 3 dan g dan g ( x) x) = 2 x + 4, maka ( g g f ) –1(2) adalah …. D

a. –4

b. –2

c. 2

d. 4

e. 7

12. Dike Diketa tah hui f ui f ( x) x) = 3 + 2 x, x, g ( x) x) = 2 + x, + x, dan h( x) x) = 2 x. x. Bila ( f f g h) –1( x) x) = –1, maka maka nilai x adalah ….. D

a. 5

b. 3

13. Jika Jika diket diketahu ahuii fungs fungsii f ( x) x) =

c. 2

d. –3

5 x + 3 , x 2 x − 1

≠ 12

D

e. –5

dan g ( x) x) = 3 x + 2 maka ( f –1 g )( )( x) x) D

adalah …. a.

6 x − 5 , x 6 x − 3

≠ 12

d.

3 x − 5 1 , x ≠ 6 6 x − 1

b.

6 x + 5 , x 6 x − 3

≠ 12

e.

3 x + 5 , x 6 x − 1

c.

3 x + 5 , x 6 x + 1

≠ 16

≠ 16


195 19 5

14. Jika Jika fung fungsi si f : R

R dan g : R

→

→

R dirumuskan dengan f ( x) x) =

x + 1 ; x x − 1

≠

0 dan

g ( x) x) = x + 3, maka ( g g ( f ( x)) x)) –1 = …. 2 − 3 x x − 1

a.

2 + 3 x x + 1

b.

x − 2 x

c.

d.

4 x − 1 x

e.

1

4 − x

1 dan g 15. Jika f ( x) x) = x dan g ( x) x) = 2 x – 1, maka ( f f g ) –1( x) x) = …. D

2 x − 1 x

a.

x 2 x − 1

b.

c.

x − 1 2 x

d.

x + 1 2 x

e.

2 x x − 1

II. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.

1.

Perhatikan Perhatikan relasi-relas relasi-relasii yang yang ditunjukkan ditunjukkan dengan diagram diagram panah panah di bawah bawah ini. 1

a

1

a

1

a

1

a

2

b

2

b

2

b

2

b

3

c

3

c

3

c

3

c

4

d

4

d

4

d

4

d

B

A

B

A

B

A

A

(a)

(b)

(c)

(d)

B

a. Mana Manaka kah h yang yang mer merup upak akan an fun fungs gsi? i? b. Jika relasi merupakan fungsi, tentukanlah domain, kodomain, dan rangenya. 2.

3.

Diketahui f ( x) x) = x = x2 – 3 x + 2 dan g dan g ( x) x) = x = x – 1. Tentukan: a . ( f + f + g )( )( x) x)

c. ( f f ⋅ g )( )( x) x)

b. ( f f – g – g )( )( x) x)

d.

Diketahui f : f : R → R; g : g : R → R dengan f dengan f ( x) x) = 2 x2 + 1 dan g dan g ( x) x) = x = x + 2. Tentukan: a . ( g f )( )( x) x )

c.

( g g f )(1) )(1)

b. ( f g )( )( x) x )

d.

( f g )(–2) )(–2)

D

D

4.

⎛ f ⎞ ⎜ g ⎟ ( x) ⎝ ⎠ x)

D

D

Tentuka entukan n fungs fungsii inver inverss dari dari fung fungsi si di di bawah bawah ini. ini. a . f ( x) x) = 3 x + 10 b. b. f ( x) x) = ( x x – 3)2 c . f ( x) x) = x2 – 4 x + 4 d. f ( x) x) =

5.

x − 5 , x 6 x + 1

≠ 16

Diketahui f ( x) dan g ( x) x) = 2 x – 1 dan g x) = 3 x + 5. Tentukan: a . ( f g ) –1 ( x) x)

c.

( f f g ) –1 (1)

b. ( g f ) –1 ( x) x)

d.

( g g f ) –1 (–2)

D

D

19 6

D

D


ModuL Fungsi Komposisi n Invers01

Recommend Documents