PELUANG
Ruang Sampel Percobaan Acak
Sebelum mempelajari materi peluang, ada beberapa hal atau istilah dalam peluang yang harus dipahami terlebih dahulu.
Ruang Sampel (S) adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Banyaknya anggota ruang sampel dinotasikan dengan n(S).
Titik sampel adalah unsur-unsur atau anggota dari ruang sampel.
Kejadian adalah himpunan dari beberapa atau seluruh titik sampel.
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 1 kali, maka
Ruang sampel: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6.
Pada pengetosan 2 buah uang logam sebanyak satu kali, maka untuk menentukan ruang sampel dapat menggunakan beberapa cara.
Diagram pohon
Tabel
Ruang sampel: {(G, G), (G, A), (A, G), (A, A)}
Banyaknya titik sampel: n(S) = 4
Peluang suatu Kejadian, P(A)
Peluang suatu kejadian dapat ditentukan dengan tiga cara:
Pendekatan frekuensi relatif
Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali. Jika kejadian acak A muncul sebanyak k kali , maka frekuensi kejadian A adalah
Contoh :
Dari percobaan pengambilan kartu domino sebanyak 2.800 kali, diperoleh kartu double empat sebanyak 100 kali. Maka tentukan frekuensi relatifnya!
Jawab :
Diketahui : banyaknya kejadian acak= k = 100
Banyak percobaan= n = 2.800
Ditanyakan :
Maka frekuensi relatif terpilihnya kartu double empat adalah
Pendekatan definisi peluang klasik
Misalkan kejadian A terjadi dalam k cara dari keseluruhan n cara yang mempunyai kemungkinan yang sama, maka peluang kejadian A adalah :
Contoh :
Dalam sebuah kotak terdapat 3 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan peluang terambilnya:
Kelereng warna merah
Kelereng warna putih
Jawab :
Dik : misal A = kejadian terambilnya kelereng merah, dan
B = kejadian terambilnya kelereng putih
n = 3 + 5 = 8
Dit :
P (A)
P (B)
Pedekatan ruang sampel
cara untuk menentukan peluang munculnya kejadian A dalam suatu percobaan adalah
Dengan = banyak kejadian A, dan = banyak titik sampel.
Contoh :
Pada percobaan pelemparan dadu sebanyak satu kali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu ganjil.
Jawab :
Misalkan A = kejadian munculnya mata dadu ganjil
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = 6
A= {1, 3, 5}, maka = 3
Sehingga
LATIHAN
Tentukanlah ruang sampel dari :
Pengetosan tiga keping mata uang logam secara bersama-sama
Pelemparan dua buah dadu
Pengambilan secara acak (random) dua buah kelereng dari sebuah keranjang yang berisi 4 kelereng putih, dan 3 keleng kuning
Pemilihan 3 orang perwakilan kelas dari 5 orang siswa laki-laki dan 5 orang siswa perempuan.
Pelemparan sebuah dadu dan sekeping uang logam secara bersama-sama
Pemilihan 2 orang anggota kelompok secara acak dari 4 orang perempuan dan 2 orang laki-laki
Dua buah dadu dilempar secara bersama-sama. Tentukanlah peluang kejadian munculnya mata dadu berjumlah 10.
Dari seperangkat kartu bridge akan diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang kartu yang terambil adalah kartu berwarna merah.
Sebuah percobaan pengetosan tiga keping mata uang logam secara bersamaan, tentukanlah peluang munculnya paling sedikit 1 sisi gambar.
Sebuah kotak berisi 25 bola hitam, 15 bola biru, 20 bola merah, dan 30 bola kuning. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak tersebut. Tentukanlah peluang kejadian terambilnya adalah bola berwarna hitam.
Dua buah dadu dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Tentukanlah peluang dari :
Kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 3 dan mata dadu kedua adalah 6
Kejadian munculnya mata dadu pertama adalah ganjil, dan mata dadu kedua adalah genap
Kejadian munculnya mata dadu pertama dan mata dadu kedua adalah prima
Kejadian munculnya jumlah mata dadu pertama dan kedua adalah prima
Kejadian munculnya jumlah mata dadu > 10
Sebuah keluarga memiliki 4 orang anak. Tentukanlah peluang dari :
Kejadian semua anaknya berjenis kelamin perempuan
Kejadian 2 orang anak berjenis kelamin perempuan dan 2 orang yang lain berjenis kelamin laki-laki
Kejadian anak pertama adalah laki-laki
Kejadian anak kedua dan ketiga adalah perempuan
Kejadian anak bungsu adalah laki-laki
Peluang Komplemen dari suatu Kejadian
Menurut teori batasan nilai peluang, nilai peluang suatu kejadian selalu berada dalam kisaran antara 0 dan 1
,
jika
= 0, disebut peluang kemustahilan atau kejadian yang tidak mungkin terjadi
Contoh :
Kubus mempunyai delapan sisi
Matahari terbit dari utara
Dua garis yang berpotongan pasti sejajar
= 1, disebut peluang kepastian atau kejadian yang pasti terjadi
Contoh :
Setiap makhluk hidup pasti mati
Segitiga memiliki tiga sisi
Matahari tenggelam di barat
Perhatikanlah diagram venn berikut ini :
SAA'
S
A
A'
Jika A adalah sebuah kejadian yang mungkin terjadi, maka kejadian bukan A disebut A'. Dan hubungan peluang kejadian A dengan bukan A adalah
dan
Contoh :
Hari ini cuaca mendung. Peluang hari ini tidak turun hujan adalah 0,13. Berapakah peluang hari ini turun hujan?
Jawab :
Misal A = kejadian hari ini turun hujan
A'= kejadian hari ini tidak turun hujan
Maka
Sehingga, peluang hari ini turun hujan adalah 0,87.
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan suatu kejadian A dinotasikan dengan E(A). Misalkan dalam suatu percobaan, A adalah suatu kejadian yang diharapkan dan peluang kejadian A adalah P(A). Maka frekuensi kejadian A dalam N kali percobaan adalah :
Contoh :
Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 150 kali. Hitunglah frekuensi harapan munculnya mata dadu angka genap!
Jawab :
Misal A adalah kejadian munculnya mata dadu genap, maka
dan
, sehingga
Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu genap adalah 75 kali.
Peluang Kejadian Majemuk
Konsep kejadian majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih kejadian sederhana. Untuk menentukan peluang dua buah kejadian maka kita gunakan teori himpunan.
Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam satu ruang sampel S, maka peluang kejadian adalah :
Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam satu ruang sampel S, maka peluang kejadian adalah :
Contoh :
Dua buah dadu dilempar bersamaan. Hitunglah peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 atau keduanya bermata genap.
Jawab :
Misal A = kejadian munculnya mata dadu berjumlah 8
B = kejadian munculnya kedua mata dadu adalah bilangan genap
, maka
, maka
, maka
LATIHAN
Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah dan 6 kelereng biru. Sebuah kelereng diambil secara acak dari kotak. Bila A adalah kejadian terambilnya kelereng biru, maka tentukanlah :
P(A)
P(A')
Peluang Adi terpilih sebagai siswa teladan di sekolahnya adalah 0,45. Jika peluang Dina terpilih menjadi siswa teladan dua kali lebih besar daripada peluang Adi, maka tentukanlah peluang bahwa Dina :
Terpilih sebagai siswa teladan di sekolah
Gagal menjadi siswa teladan di sekolahnya
Sebuah bilangan yang terdiri atas tiga angka akan disusun secara acak dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 tanpa pengulangan. Berapa peluang mendapatkan bilangan yang bukan kelipatan 2 ?
Dari 15 buah lampu terdapat 5 buah lampu yang rusak. Jika dipilih sebuah lampu secara acak, tentukanlah peluang bahwa :
Yang terambil adalah lampu yang rusak
Yang terambil adalah lampu yang tidak rusak
Dari susunan angka 0, 1, 2, 3, ..., 9 diambil sebuah angka secara acak. Hitunglah peluang :
Yang terambil adalah angka prima
Yang terambil adalah angka genap
Yang terambil adalah bukan 0
Pada pelemparan tiga keping uang logam sebanyak 600 kali. Tentukanlah frekuensi harapan peluang muncul sedikitnya dua sisi gambar.
Peluang seseorang terserang Demam berdarah adalah 0,05. Dari 5.500 orang, berapa orang yang diperkirakan terserang demam berdarah ?
Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 1200 kali, tentukanlah frekuensi harapan munculnya mata dadu ganjil !
Sebuah perusahaan benang pintal, mempunyai mesin pintal sebanyak 2.200 unit. Peluang sebuah mesin pintal rusak adalah 2,5% per tahun.
Berapa banyak mesin pintal yang mungkin rusak setiap tahunnya?
Biaya perbaikan sebuah mesin setiap kali mengalami kerusakan adalah Rp. 6.750.000. berapa biaya perbaikan seluruh mesin pintal tersebut selama setahun?
Sebuah dadu dilemparkan sebanyak satu kali.
Berapakah peluang munculnya mata dadu bilangan prima atau ganjil ?
Berapakah peluang munculnya mata dadu bilangan genap atau kelipatan 2?
Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali.
Berapakah peluang munculnya mata dadu berjumlah 10 atau berjumlah genap?
Berapakah peluang munculnya mata dadu kembar atau keduanya bilangan prima?
Berapakah peluang munculnya mata dadu berjumlah 12 atau berjumlah 10 ?
Peluang Kejadian Bersyarat
Pada dua kejadian acak A dan B, peluang terjadinya kejadian B setelah kejadian A terjadi disebut kejadian bersyarat, dinotasikan dengan
Peluang kejadian bersyarat dapat dihitung dengan :
Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi:
Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi:
Contoh :
Sebuah dadu dilempar satu kali. Berapa peluang muncul angka prima apabila telah muncul angka ganjil ?
Jawab :
dan
Misal A = kejadian munculnya angka ganjil, A={1, 3, 5}
B = kejadian munculnya angka prima, B={2, 3, 5}
dan maka
Peluang Dua Kejadian
Peluang dua kejadian saling lepas
Dua kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling lepas maka berlaku :
Contoh :
Dari satu set kartu bridge akan diambil dua kartu satu per satu, dengan pengembalian. Peluang terambilnya kartu as atau kartu king adalah ?
Jawab :
n(S)= 52
kartu As = 4, maka n(As)= 4,
kartu King= 4, maka n(King)= 4,
Peluang dua kejadian saling bebas
Dua kejadian A dan B disebut kejadian yang saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadi atau tidaknya kejadian B. Jika kejadian A dan B saling bebas maka berlaku :
x
Contoh :
Sebuah dadu dan sebuah mata uang ditos sekali secara bersamaan. Periksa apakah kejadian munculnya mata dadu angka 5 dan angka pada mata uang adalah kejadian yang saling bebas?
Jawab :
Misalkan A = kejadian munculnya mata dadu angka 5 , n(A)= 1 dan n(S)= 6
B = kejadian munculnya angka pada uang, n(B)= 1, dan n(S)= 2
Maka dan
, maka
Maka, kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas.
LATIHAN
Misalkan E dan F adalah dua kejadian yang saling bebas, dengan dan . Hitunglah :
Jika diketahui , dan , tunjukkan bahwa A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas.
Dalam kantong A terdapat 3 bola merah dan 5 bola putih. Kantong B berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Secara acak dipilih satu kantong lalu dari dalamnya diambil sebuah bola. Tentukan peluang :
Terambil bola putih
Bola yang terambil dari kantong B apabila terambil bola putih
Tiga keping uang logam dilempar secara bersamaan. Hitunglah peluang muncul ketiganya adalah sisi angka apabila telah muncul paling sedikit satu angka.
Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping uang 500-an dan dua keping uang 100-an. Dompet yang lain berisi uang logam, 1 keping uang 500-an dan 3 keping uang 100-an. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam 100-an adalah...
Dari satu set kartu bridge, akan diambil sebuah kartu. Tentukan peluang terambilnya kartu berwarna merah atau kartu berwarna hitam.
Sebuah dadu dilempar sekali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu ganjil atau mata dadu genap.
Dalam sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Jika akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya keduanya adalah bola merah.
Sebuah keranjang berisi 3 kelereng biru dan 4 kelereng hitam. Jika diambil dua buah kelereng secara berurutan tanpa pengembalian. Tentukan peluang :
Terambil keduanya kelereng biru
Termbil kelereng pertama berwarna biru dan kelereng kedua berwarna hitam
Terambil kelereng kedua berwarna hitam jika diketahui kelereng pertama berwarna biru
Sebuah kantong berisi 10 kelereng merah, 18 kelereng hijau, dan 22 kelereng biru. Dari dalam kantong tersebut diambil sebuah kelereng secara acak. Tentukan peluang terambil kelereng merah atau biru.
8
8
