Modul Peluang

halaman 1 Soal Pre Soal Pre Tes Latihan 1.

1. Berapa banyak banyak kata kata sandi sandi yang terdiri terdiri dari dari 4 huruf huruf dapat dibent dibentuk uk dibentuk dibentuk dari 8 huruf pertama dalam abjad , jika: a. tidak ada huruf yang boleg diulang b. huruf-huruf boleh diulang c. han hanya huruf ruf pert pertam amaa yang ang tid tidak bole boleh h diula iulan ng 2. Tersedia Tersedia angka-angka angka-angka 1,2,3 1,2,3,4,5. ,4,5. Berapa banyak banyak bilang bilangan an ratusan ratusan dapat dapat dibentuk dari angka-angka tersebut, jika: a. angka ti tidak boleh berulang b. angka tidak boleh diulang dan bilangan bilangan yang terbentuk merupakan bilangan ganjil c. angk angkaa tida tidak k bol boleh eh beru berula lang ng,, dan dan bila bilang ngan an yan yang g ter terbe bent ntuk uk kura kurang ng dari dari 300 d. angk angkaa tid tidak ak bole boleh h ber berul ulan ang, g, dan dan bil bilan anga gan n yan yang g ter terja jadi di ganj ganjil il dan dan kurang dari 400 3. Tentukan Tentukan banyak banyak mobil mobil yang yang dapat memaka memakaii nomor polisin polisindenga dengan n angkaangkaangka 2,3,4,5,6,dan 7 jika nomor mobil harus dimulai angka 5 4. Satu baris baris kursi terdiri terdiri dari dari 5 baris baris kursi. Berapa Berapa banyak banyak susunan susunan duduk duduk yang yang mungkin untuk 3 orang yang akan duduk pada kursi tersebut. 5. Tentukan Tentukan banyak banyak bilangan bilangan lebih lebih besar besar dari 1000 1000 dapat dapat dibentuk dibentuk dari angka 1,2,3,4,dan 5 dengan tanpa ada angka yang berulang. 6. Pada suatu suatu perlombaan perlombaan pacuan pacuan kuda, kuda, seorang seorang bertaruh bertaruh dengan dengan memilih memilih tiga tiga kuda pertama yang sampai ke garis finis dengan urutan yang tepat. Jika ada delapan ekor kuda yang mengikuti perlombaan , berapa banyak cara berbeda yang mungkin diperoleh untuk menebak urutan ketiga e kor kuda tersebut 7. Suatu kelas kelas terdiri terdiri dari 40 40 siswa, dari dari kelas kelas tersebut tersebut akan dipilih dipilih seorang seorang ketua ketua kelas, wakil ketua kelas, dan bendahara. Jika tidak diperbolehkan ada jabatan rangkap, ada berapa cara pemilihan pengurus kelas tersebut.

SIKLUS 1 Soal Post Tes Pertemuan 1 Latihan 2 16 !

1. Hitung nilai dari 12 !5 ! 2. Hitung nilai dari

12 !

(6 !) 2 3. Tentukan nilai n dari ( n

1) !=10(n

−

4. Tentukan nilai n dari ( n + 6) ! =

1

10

5. Buktikan bahwa

n ! (n − 2) ! (n −1) ! (n −3) !

Soal Post Tes Pertemuan 2

Soal / Matemaika / Peluang Peluang

=

2) !

−

( n + 7) ! n

2

− 2n

halaman 2

Latihan 3

Hitu Hitung ngla lah h nilai nilai dari dari 10 P 4 Tent Tentuk ukan an nil nilai ai n dar darii 4. n P n = 12. n −1P 3 Tent Tentuk ukan an nil nilai ai n dar darii n P 5 = 9. n −1P 4 Dalam sebuah sebuah rumah rumah terdapat terdapat 6 kursi, kursi, dan ada ada 4 orang yang akan akan duduk duduk pada pada kursi tersebut. Ada berapa cara 4 orang bisa duduk pada pada 6 kursi yang disusun berderet. 5. Ada berapa berapa macam macam tumpukan tumpukan yang dapat dapat dibent dibentuk uk dari dari 6 buku buku berbeda? berbeda? 6. Dari 8 orang orang calon calon pelajar pelajar teladan di di suatu daerah daerah akan akan dipilih dipilih pelajar pelajar teladan teladan I, II, dan III. Hitung berapa cara susunan pelajar yang mungkin akan terpilih sebagai pelajar teladan I, II, dan III 7. Enam pemud pemudaa dan tiga tiga pemudi pemudi akan akan duduk duduk pada pada 9 kursi kursi yang yang disusun disusun berderet. Ada berapa cara mereka bisa duduk jika yang menempati bagian pinggir adalah pemudi 8. Akan dipilih dipilih dua dua karyawan karyawan dari dari 9 karyawan karyawan perusahaa perusahaan n untuk menduduk mendudukii jabatan direktur utama dan wakil direktur. Ada berapa cara memilih dua karyawan dari 9 karyawan tersebut? 9. Ada 3 orang orang India, India, 4 orang orang Belanda, Belanda, dan dan 2 orang perancis perancis yang akan akan duduk duduk pada 9 kursi yang disusun berderet. Ada berapa cara mereka bisa duduk, jika mereka yang sebangsa harus berdampingan. 10. Seorang guru bahasa ingin ingin menempatkan buku dalam bahasa yang sama berdampingan pada rak bukunya. Jika ia mempunyai mempunyai 6 buku dalam bahasa indonesia, 5 buku dalam bahasa inggris, dan 4 buku dalam bahasa jerman, dengan berapa cara ia dapat menyusun buku-buku tersebut? 1. 2. 3. 4.

SIKLUS 2 Soal Post Tes Pertemuan 3 Latihan 4

1. Berapa banyak banyak susunan susunan huruf huruf dari dari kata ”MATEMATIK ”MATEMATIKA” A” 2. Berapa banyak banyak susunan susunan huruf huruf pada pada kata kata ”COOPERA ”COOPERATOR” TOR” 3. Berapa banyak banyak susunan susunan huruf huruf pada kata ” CURRICULU CURRICULUM” M” jika: jika: a. dimulai huruf M b. dimulai huruf R c. dimulai huruf C 4. Ada 3 buku buku kimia kimia jilid 1, 1, 4 buku buku matematika matematika jilid jilid 2, dan 3 buku biolog biologii jilid 1. Dengan berapa cara b uku-buku tersebut dapat disusun dalam suatu rak buku? 5. Berapa banyak banyak kata kata sandi sandi yang terdiri terdiri dari dari 6 lambang lambang dapat dapat dibentuk, dibentuk, jika jika setiap kata harus terdiri dari 4 titik dan 2 garis 6. Terdapat Terdapat 5 bola merah, merah, 4 bola bola putih, putih, 3 bola bola biru, biru, dan 2 bola bola hijau. hijau. Dengan Dengan berapa cara bola-bola itu dapat disusun secara berdampingan. Soal Post Tes Pertemuan 4


halaman 3

Latihan 5

1. Berapa cara cara 7 orang orang akan akan duduk duduk pada pada kursi kursi yang disusun disusun melingkar melingkar?? 2. Sebuah Sebuah keluarga keluarga yang terdiri dari dari Ayah, Ayah, Ibu, dan dan 3 orang orang anaknya anaknya akan makan makan dimeja makan yang bentuknya bundar. Ada berapa cara mereka bisa duduk mengelilingi meja bundar, jika: a. mereka mereka bisa bisa dudu duduk k secara secara beba bebass b. Ayah dan Ibu selalu berdampingan 3. Pengurus Pengurus sebuah sebuah organisasi organisasi terdiri terdiri dari dari 8 orang, orang, yang yang terdiri terdiri dari seorang seorang ketua, wakil ketua, dan bendahara, serta 5 orang anggota. Ada berapa cara mereka bisa duduk dalam sebuah rapat dengan duduk mengelilingi meja bundar, jika 3 orang pengurus harus selalu berdampingan. berdampingan.

Latihan 6

Hitu Hitung ng nila nilaii dar darii 20 C 18 Tent Tentuk ukan an nila nilaii n dari dari n −1 C 2 = 66 Tent Tentuk ukan an nila nilaii n dari dari n +2 C 3 = 4. n C 2 Seorang Seorang pelukis pelukis akan membua membuatt kombinasi kombinasi warna, warna, bila satu satu warna warna baru terdiri terdiri dari 2 warna, tentukan banyaknya campuran warna baru, bila mempunyai 8 warna. 5. Sebuah Sebuah kantong kantong berisi berisi 8 kelereng kelereng merah, merah, dan 4 keleren kelereng g biru. Dari Dari kantong kantong diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Tentukan berapa cara pengambilan jika kelereng yang terambil: a. keti ketiga gany nyaa berwa berwarn rnaa mera merah h b. 2 merah dan 1 biru c. ketig etigan any ya bir biru u 6. Dalam suatu suatu ruangan ruangan terdapat terdapat 24 orang. orang. Jika Jika setiap setiap dua orang orang berjabat berjabat tangan tangan satu kali ada berapa kali jabat tangan yang terjadi? 7. Dengan Dengan berapa berapa cara suatu panitia panitia yang yang terdiri terdiri dari 4 pria dan 4 wanita wanita dapat dibentuk dari 8 pria dan 6 wanita. 8. Seorang Seorang siswa harus harus menjawab menjawab 10 10 dari 15 pertanyaan pertanyaan pada pada suatu ulanga ulangan. n. Jika soal nomor 1 s/d 4 harus dikerjakan ada berapa cara siswa tersebut dapat memilih soal untuk dijawab. 9. Dengan Dengan berapa berapa cara 9 orang orang dapat dibagi dibagi dalam dalam 3 kelompo kelompok k yang terdiri terdiri dari dari 4 orang, 3 orang dan 2 orang? 10. Dengan berapa cara 13 buku yang berbeda berbeda dapat dibagi pada 3 orang kakak beradik, jika yang tertua mendapatkan 5 buku, dan dua orang adiknya masingmasingmasing mendapatkan 4 buku. 1. 2. 3. 4.

Uji Kompetensi


halaman 4

Kerjakan soal berikut ini di buku latihan Anda 1. dan buah buah dadu dilamb dilambungk ungkan an bersama-sama. bersama-sama. Peluan Peluang g muncul muncul mata dadu dadu 5 pada dadu pertama dan mata dadu 2 pada dadu kedua adalah....

a.

6 36

b.

5 36

c.

4

d.

36

3

e.

36

1 36

2. Kotah I terdapat terdapat 3 bola merah merah dan 4 bola bola putih, putih, dalam dalam kotak kotak II berisi 2 bola merah, dan 7 bola hitam. Dari setiap kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambil bola putih dari kotak I, dan bola hitam dari kota II adalah........... a.

5 63

b.

6 63

c.

8

d.

63

21

e.

63

28 63

3. Diketahui Diketahui bahwa bahwa kejadian kejadian A dan kejadia kejadian n B adalah dua dua kejadian kejadian yang yang saling saling bebas tetapi tidak saling lepas. Jika P ( A)

=

1 3

, dan P ( A ∪ B )

=3 5

, maka

P(B) a.

2 5

b.

4 15

c.

3 15

d.

1

e.

13

14 15

4. Pada sebuah sebuah almari almari tersimpan tersimpan 6 baju baju hijau dan dan 5 baju baju kuning. kuning. Jika Jika diambil diambil 2 baju satu persatu tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju kuning, dan kedua baju hijau adalah........... a.

3 11

b.

5 11

c.

11

d.

110

15

e.

22

11 30

5. Dadu merah merah dan dadu dadu putih putih dilambun dilambungkan gkan bersama-sa bersama-sama ma satu kali. kali. Peluang Peluang muncul mata dadu prima pada dadu merah, dan mata dadu genap pada dadu putih adalah...... a.

5 36

b.

6 36

c.

7 36

d.

9 36

e.

12 36

6. Kotak I berisi berisi 5 bola bola merah dan dan 3 bola bola kuning. kuning. Sedangk Sedangkangka angkan n kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambil keduanya bola berwarna sama adalah......... a.

1 8

b.

5 16

c.

7 16

d.

9 16

e.

7 8

7. Kotak I berisi berisi 3 bola bola merah dan dan 2 bola bola putih. putih. Kotak II II berisi 3 bola bola hijau, hijau, dan 5 bola biru. Dari masing-masing kotak diambil dua bola sekaligus secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah....... a.

1 10

b.

3 28


c.

4 15

d.

3 8

e.

57 140

halaman 5

8. Dalam sebuah sebuah kotak kotak terdapat terdapat 10 bola bola lampu lampu yang empat empat diantarany diantaranyaa rusak. Jika dipilih 3 bola lampu, maka peluang terpilihnya lampu yang tidak rusak adalah....... a.

1 6

b.

2 21

c.

9. Peluan Peluang g siswa siswa A lulus lulus ujian ujian adal adalah ah

1 12 3 5

d.

1

e.

20

1 30

, peluang siswa B lulus ujian adalah

2 7

. Pada ujian tersebut peluang satu diantaranya lulus ujian adalah......... a.

4 35

b.

6 35

c.

15 35

d.

12 35

10. Peluang Amir diterima diterima di Perguruan Tinggi Negeri adalah Budi diterima di Perguruan tinggi Negeri adalah

1 3

e. 3 7

32 35

, dan peluang

. Peluang sekurang-

kurangnya satu diantaranya diterima di Perguruan Tinggi Negeri adalah.......... a.

3 21

b.

4 21

c.

8 21

d.

13 21

e.

15 21

11. Dari setumpuk kartu yang mempunyai angka 1 sampai dengan 10. Jika diambil dua kartu sekaligus, maka peluang terambil keduanya tidak bernomor genap adalah............ a.

1 9

b.

2 9

c.

4 9

d.

7 9

e.

8 9

12. Pada percobaan melempar dua buah buah dadu, peluang peluang muncul jumlah mata mata dadu 5 atau muncul mata dadu selisih satu adalah....... a.

1 3

b.

2 3

c.

5 6

d. 0

e. 1

13. Pada percobaan melempar 3 keping keping uang logam logam bersamaan, peluang muncul paling tidak 2 angka atau muncul semua angka angka adalah......... a.

1 8

b.

1 4

c.

3 8

d.

3 8

e.

5 8

14. sebuah kotak berisi 7 kelereng kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus. Peluang terambil sekurang-kurangnya satu kelereng putih adalah........ a.

7 44

c.

10 44

c.

34 44

d.

35 44

e.

37 44

15. Dalam sebuah kotak terdapat 10 10 bola putih dan dan 5 bola merah. merah. Dari kotak tersebut diambil satu bola berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Peluang terambil kedua bola berwarna putih adalah......... adalah......... a.

4 15

c.

2 5


c.

3 7

d.

4 9

e.

14 19

halaman 6

Dra Tri Handayani

MODUL 2

PELUANG 1. Pen enda dahu hulu lua an Modul ini adalah modul kedua mata pelajaran Matematika XI, isinya membahas tentang Kaidah Pencacahan, Peluang Suatu Kejadian, dan Kejadian Majemuk. Kuasailah modul ini baik-baik sebagai bekal untuk memahami permasalahan peluang lebih lanjut. Tujuan dari modul ini adalah Anda mampu menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan peluang suatu kejadian dan menafsirkannya. Sedangkan setelah membaca modul ini diharapkan Anda dapat: a. Menentukan Menentukan berbagai berbagai kemung kemungkinan kinan aturan pengisian pengisian tempat tempat b. Menerapkan rumus aturan perkalian, permutasi dan kombinasi untuk menyelesaikan soal c. Menyelesaikan Menyelesaikan masalah-masalah masalah-masalah aplikasi aplikasi yang yang berkaitan berkaitan dengan dengan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi d. Menent Menentuka ukan n ruang ruang sampel sampel dari suatu suatu perco percobaa baan n e. Menentukan Menentukan peluang peluang suatu kejadian, kejadian, dan peluang peluang komplemen komplemen suatu kejadia kejadian n f. Menent Menentuka ukan n peluan peluang g kejadi kejadian an majemu majemuk k

2. Satandar Kompetensi 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah

3. Kompetensi Dasar 1.4 Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah 1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan 1.6 Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

4. Indikator 1. Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi 2. Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi 3. Menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai situasi 4. Menuliskan himpunan kejadian dari suatu percobaan. 5. Menentukan peluang kejadian melalui percobaan. 6. Menentukan peluang suatu kejadian secara teoritis

5. Kegiatan Belajar 1. Aturan perkalian, permutasi dan kombinasi 2. Peluang suatu kejadian


halaman 7

3. Kejadian majemuk


halaman 8

Untuk mempermudah mempelajari materi peluang perhatikan diagram alur berikut ini

Peluang Pencacahan

Aturan Perkalian

Permutasi

Kombinasi

Kejadian Majemuk Perkalian Peluang Saling Bebas

Peluang Komplemen

Saling Bergantung

Kejadian Sederhana Peluang Gabungan

Saling Lepas

P ( A ∩ B )

P ( A ∪ B)

= P ( A) xP ( B A)

= P ( A) + P ( B)

Tidak Saling Lepas P ( A ∪ B ) P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )

=

=


Teori Peluang

halaman 9

Kegiatan Belajar

1 Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi .A. Kaidah Pencacahan Kaidah pencacahan adalah suatu cara untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Kita akan mempelajari tiga metode pencacahan yaitu metode pengisian tempat, metode permutasi dan metode kombinasi.

1. Aturan Perkalian Contoh 1.1 Perhatikan ada 3 orang siswa Andi, Belia, dan Candra. Ketiga siswa tersebut akan dijadikan ketua kelas, Sekretaris, dan Bendahara dengan tidak boleh ada jabatan rangkap. Perhatikan analisa berikut: a. Untuk jabatan ketua kelas kelas dapat dapat dipilih dipilih dari dari ketiganya ketiganya,, jadi ada ada 3 cara untuk memilih ketua kelas. b. Untuk jabatan sekretaris hanya bisa dipilih dari 2 orang, karena yang satu orang sudah dipilih menjadi ketua kelas. Jadi ada 2 cara untuk memilih sekretaris. c. Untuk jabatan bendahara bendahara hanya hanya ada satu cara cara untuk untuk memilihny memilihnya, a, karena karena 2 orang yang lain sudah menjadi ketua dan sekretaris. Dari uraian di atas banyaknya cara untuk memilih ketua kelas, sekretaris, dan bendahara adalah 3 x 2 x 1 = 6 cara Contoh 1.2 Berapa Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dapat disusun dari angka 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 dengan tidak ada angka yang berulang. Untuk menjawab masalah tersebut perhatikan analisa berikut ini. a. Untuk memilih memilih angka angka pada posisi posisi ke ke tiga ada ada 3 cara, cara, karena karena posisi posisi ke tiga tiga hanya mungkin ditempati oleh angka ganjil seperti 1 , 3 , dan 5 b. Untuk memilih angka pada posisi ke dua ada ada 5 cara, karena satu angka sudah ditempatkan pada posisi ke tiga. c. Untuk memilih memilih angka angka pada pisisi pisisi pertama pertama ada ada 4 cara, karena karena dua angka angka sudah sudah ditempatkan pada posisi ke dua dan ke tiga. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan banyaknya bilangan ganjil yang dapat dibentuk adalah 4 x 5 x 3 = 60 bilangan. Latihan 1. 8. Berapa banyak banyak kata kata sandi sandi yang terdiri terdiri dari dari 4 huruf huruf dapat dibent dibentuk uk dibentuk dibentuk dari 8 huruf pertama dalam abjad , jika: a. tidak ada huruf yang boleg diulang


halaman 10

b. c.

huruf-huruf boleh diulang han hanya huruf ruf pert pertam amaa yang ang tid tidak bole boleh h diula iulan ng

9. Tersedia Tersedia angka-angka angka-angka 1,2,3 1,2,3,4,5. ,4,5. Berapa banyak banyak bilang bilangan an ratusan ratusan dapat dapat dibentuk dari angka-angka tersebut, jika: a. angka ti tidak boleh berulang b. angka tidak boleh diulang dan bilangan bilangan yang terbentuk merupakan bilangan ganjil c. angk angkaa tida tidak k bol boleh eh beru berula lang ng,, dan dan bila bilang ngan an yan yang g ter terbe bent ntuk uk kura kurang ng dari dari 300 d. angk angkaa tid tidak ak bole boleh h ber berul ulan ang, g, dan dan bil bilan anga gan n yan yang g ter terja jadi di ganj ganjil il dan dan kurang dari 400 10. Tentukan banyak mobil mobil yang dapat memakai memakai nomor polisindengan angkaangka 2,3,4,5,6,dan 7 jika nomor mobil harus dimulai angka 5 11. Satu baris kursi terdiri dari 5 baris kursi. Berapa banyak susunan duduk yang mungkin untuk 3 orang yang akan duduk pada kursi tersebut. 12. Tentukan banyak bilangan bilangan lebih besar dari 1000 dapat dibentuk dari angka 1,2,3,4,dan 5 dengan tanpa ada angka yang berulang. 13. Pada suatu perlombaan pacuan kuda, seorang bertaruh dengan memilih tiga kuda pertama yang sampai ke garis finis dengan urutan yang tepat. Jika ada delapan ekor kuda yang mengikuti perlombaan , berapa banyak cara berbeda yang mungkin diperoleh untuk menebak urutan ketiga e kor kuda tersebut 14. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, dari kelas tersebut akan dipilih seorang ketua kelas, wakil ketua kelas, dan bendahara. Jika tidak diperbolehkan ada jabatan rangkap, ada berapa cara pemilihan pengurus kelas tersebut.

2. Faktorial n ! dibaca n faktorial n ! = n (n-1)(n-2) .............3.2.1 , dengan n bilangan asli Jadi 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 4 ! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 Didenisikan 0 ! = 1 Contoh 2.1 12! 9!

=

12.11.10.9! 9!

=1320

Contoh 2.2

Buktikan bahwa

(n + 1)! (n − 1)!

= n2 + n


halaman 11

Bukti: (n +1)!

(n +1).n.(n −1)!

=

(n −1)!

=

(n −1)!

n

2

+

n (terbukti )

Contoh 2.3 Tentukan n dari (n + 3)! =10 (n + 2)!

Jawab: (n

+ 3)! =10

⇔(n + 3)

(n + 2)!

(n

+ 2)! =10 (n + 2)!

⇔n + 3 =10 ⇔n = 7

Latihan 2 16 !

1. Hitung nilai dari 12 !5 ! 2. Hitung nilai dari

12 !

(6 !) 2 3. Tentukan nilai n dari ( n

1) !=10(n

−

4. Tentukan nilai n dari ( n + 6) ! =

1

10

5. Buktikan bahwa

n ! (n − 2) ! (n −1) ! (n −3) !

=

2) !

−

( n + 7) ! n2

− 2n

3. Permutasi Contoh 3.1 Dalam suatu kelas ada 6 calon pengurus kelas yang akan dijadikan ketua, wakil, dan sekretasis kelas dengan tidak ada jabatan rangkap. Posisi ketua dapat dipilih dengan 6 cara, posisi wakil dapat dipilih dengan 5 cara, dan posisi sekretaris dapat dipilih dengan 4 cara. Jadi banyaknya cara pemilihan pengurus kelas adalah 6 x 5 x 4 = 120 cara Definisi: Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsure yang berbeda tanpa adanya pengulangan

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dinotasikan P(n,r) atau nPr nPr = n . (n-1) . (n – 2) . ................(n – (r – 1))

n Pr =

n! (n

− r ) !

, r ≤ n

Contoh 3.2 Dari angka 1,2,3,4,5,6 akan dibentuk bilangan terdiri dari 3 angka berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibentuk.


halaman 12

Jawab: Dalam contoh ini adalah permutasi 3 unsur yang diambil dari 6 unsur 6 P3 =

6!

=

(6 −3) !

6!

=

6.5.4.3!

3!

3!

=120

Contoh 3.2 Dari kartu angka 2 , 3 , 4 , 5 , 6 akan dibuat bilangan yang kurang kurang dari 500 dan terdiri dari 3 angka berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibentuk.

Jawab: a. Karena bilangan bilangan kurang kurang dari dari 500, 500, maka maka angka angka ratusan ratusan dapat dapat dipilih dipilih dari dari angka 2 , 3 , 4 . jadi ada 3 cara untuk memilih. b. Sedangkan angka puluhan puluhan dan satuan dapat dipilih dari 4 angka yang tersisa. Jadi harus dipilih 2 angka dari 4 angka, yaitu 4 P 2 Dengan demikian banyaknya bilangan adalah 3.

3. 4 P 2 =

4! (4

−2) !

=3.

4.3.2 ! 2!

=3.4.3 =36

Latihan 3 11. Hitunglah Hitunglah nilai nilai dari dari 10 P 4 12. Tentukan Tentukan nilai nilai n dari dari 4. n P n =12. n −1P 3 13. Tentukan Tentukan nilai nilai n dari dari n P 5 = 9. n −1P 4 14. Dalam sebuah rumah terdapat 6 kursi, dan ada 4 orang yang yang akan duduk pada kursi tersebut. Ada berapa cara 4 orang bisa duduk pada pada 6 kursi yang disusun berderet. 15. Ada berapa macam tumpukan tumpukan yang dapat dibentuk dibentuk dari 6 buku berbeda? 16. Dari 8 orang calon pelajar pelajar teladan di suatu daerah akan dipilih pelajar teladan I, II, dan III. Hitung berapa cara susunan pelajar yang mungkin akan terpilih sebagai pelajar teladan I, II, dan III 17. Enam pemuda dan tiga pemudi akan duduk duduk pada 9 kursi yang disusun disusun berderet. Ada berapa cara mereka bisa duduk jika yang menempati bagian pinggir adalah pemudi 18. Akan dipilih dua karyawan karyawan dari 9 karyawan perusahaan untuk menduduki menduduki jabatan direktur utama dan wakil direktur. Ada berapa cara memilih dua karyawan dari 9 karyawan tersebut? 19. Ada 3 orang India, 4 orang Belanda, Belanda, dan 2 orang perancis yang akan duduk duduk pada 9 kursi yang disusun berderet. Ada berapa cara mereka bisa duduk, jika mereka yang sebangsa harus berdampingan. 20. Seorang guru bahasa ingin ingin menempatkan buku dalam bahasa yang sama berdampingan pada rak bukunya. Jika ia mempunyai mempunyai 6 buku dalam bahasa indonesia, 5 buku dalam bahasa inggris, dan 4 buku dalam bahasa jerman, dengan berapa cara ia dapat menyusun buku-buku tersebut? a. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama Contoh 3.a.1


halaman 13

Misalkan ada 2 bendera berwarna putih, 3 bendera berwarna merah dan 4 bendera berwarna hijau. Berapa banyak cara untuk menyusun bendera-bendera secara berjajar? Untuk menjawab permasalahan tersebut perhatikan analisa berikut ini. Andaikan semua bendera berbeda warna, maka ada 9 ! cara untuk menyusunya. Pada kenyataannya 2 bendera berwarna putih tak dapat dibedakan, 3 bendera berwarna merah juga tidak dapat dibedakan, demikian juga juga uuntuk 4 bendera berwarna hijau. Dengan demikian banyaknya cara untuk menyusun bendera-bendera tersebut 9!

adalah 2 !3! 4!

9.8.7.6.5.4 ! =

2.1.3.2.1.4 !

1260

=

Contoh 3.a.2 Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf pada kata ”MISSISSIPI”

Jawab: Ada 4 huruf I , 4 huruf S , dan secara keseluruhan ada 10 huruf. Banyaknya cara menyusun huruf-huruf tersebut adalah: 10 ! 4!4 !

=

10.9.8.7.6.5.4 ! 4.3.2.1.4 !

=10.9.2.7.5 = 6300

Kesimpulan: Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai k 1 unsur jenis pertama, k 2 unsur jenis kedua, k 3 unsur jenis ketiga, ....., k m unsur jenis jenis ke m yang sama n!

adalah k ! k ! k !....k ! 1 2 3 m Latihan 4 7. Berapa banyak banyak susunan susunan huruf huruf dari dari kata ”MATEMATIK ”MATEMATIKA” A” 8. Berapa banyak banyak susunan susunan huruf huruf pada pada kata kata ”COOPERA ”COOPERATOR” TOR” 9. Berapa banyak banyak susunan susunan huruf huruf pada kata ” CURRICULU CURRICULUM” M” jika: jika: a. dimulai huruf M b. dimulai huruf R c. dimulai huruf C 10. Ada 3 buku kimia jilid 1, 4 buku buku matematika jilid 2, dan 3 buku biologi biologi jilid 1. Dengan berapa cara b uku-buku tersebut dapat disusun dalam suatu rak buku? 11. Berapa banyak kata sandi yang yang terdiri dari 6 lambang dapat dibentuk, jika setiap kata harus terdiri dari 4 titik dan 2 garis 12. Terdapat 5 bola merah, 4 bola putih, 3 bola bola biru, dan 2 bola hijau. Dengan berapa cara bola-bola itu dapat disusun secara berdampingan.

b. Permutasi Siklis Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasi siklis atau permutasi melingkar.


halaman 14

Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajari uraian berikut ini. Misalkan di dalam ruangan terdapat empat orang yang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang mengadakan rapat dengan duduk mengelilingi meja bundar. Dengan berapa cara mereka bisa duduk secara melingkar? Perhatikan posisi duduk berikut ini. A

D

B

D

A

C

D

B

C

C

C

B

B

A

A

D

Perhatikan keempat posisi duduk di atas. Jika diperhatikan urutan keempat posisi tersebut sama, hal yang demikian dianggap satu macam posisi saja. Untuk mendapatkan posisi yang berbeda, maka satu orang misalnya A dibuat posisi tetap, sedangkan yang lain dipertukarkan (lihat gambar di bawah ini) A

B

A

B

A

C

A

C

D

C

C

D

D

B

B

D

A

D

A

D

C

B

B

C

Jadi ada 6 cara empat orang bisa bisa duduk secara melingkar. Kesimpulan: Secara umum banyaknya permutasi cyclis dari n obyek adalah (n – 1)! Contoh 3,b.1 Dengan berapa cara 9 kue yang berbeda dapat disusun melingkar di atas meja?

Jawab: Banyaknya cara (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320

Contoh 3,b.2 Dengan berapa cara 4 pria dan 4 wanita duduk mengelilingi meja bundar jika mereka harus duduk selang seling Jawab:


halaman 15

Karena ada 8 orang yang akan duduk, maka satu orang dianggap tetap, misalnya 1 orang wanita, sehingga yang dipermutasikan adalah 3 wanita dan 4 pria. Jadi banyaknya cara mereka bisa duduk secara melingkar adalah 3!.4! = 6.24 = 144 Latihan 5 4. Berapa cara cara 7 orang orang akan akan duduk duduk pada pada kursi kursi yang disusun disusun melingkar melingkar?? 5. Sebuah Sebuah keluarga keluarga yang terdiri dari dari Ayah, Ayah, Ibu, dan dan 3 orang orang anaknya anaknya akan makan makan dimeja makan yang bentuknya bundar. Ada berapa cara mereka bisa duduk mengelilingi meja bundar, jika: a. mereka mereka bisa bisa dudu duduk k secara secara beba bebass b. Ayah dan Ibu selalu berdampingan 6. Pengurus Pengurus sebuah sebuah organisasi organisasi terdiri terdiri dari dari 8 orang, orang, yang yang terdiri terdiri dari seorang seorang ketua, wakil ketua, dan bendahara, serta 5 orang anggota. Ada berapa cara mereka bisa duduk dalam sebuah rapat dengan duduk mengelilingi meja bundar, jika 3 orang pengurus harus selalu berdampingan. berdampingan.

4. Kombinasi Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari 6 orang siswa untuk dijadikan ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Bagaimana halnya jika dari 6 orang siswa tersebut akan dipilih 3 orang untuk mewakili lomba cerdas cermat? Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita harus perhatikan bahwa memilih ABC, ACB, BAC, BAC, BCA, CAB, CBA CBA adalah satu cara pemilihan, karena karena urutan tidak perlu diperhatikan. Jadi banyaknya cara untuk memilih 3 orang siswa dari 6 orang siswa dengan tidak memperhatikan urutan adalah

6 P 3

3!

=

6! (6 −3)!3!

Definisi Kombinasi r unsure dari n unsure adalah susunan r unsure berbeda yang diambil dari n unsure tanpa memperhatikan urutan Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur dilambangkan dengan C(n,r) atau nCr n atu C r atau

n

n     r   

C r

=

n! (n −r )!r !

Contoh 4.1 Berapa banyaknya team volley dapat dibentuk dari 10 orang pemain bola volley? Jawab:


halaman 16

10 C 6

=

10! (10 −6)!6!

=

10! 4!6!

=

10.9.8.7.6 ! 4.3.2.1.6!

=

210

Contoh 4.2 Berapa banyaknya pertandingan sepak bola pada kompetisi galatama jika 12 kesebelasan akan bertanding dengan sistem setengah kompetisi? Jawab: Banyaknya pertandingan = kombinasi 2 dari 12 12 C 2

=

12! (12 −2) !2!

=

12! 10!2!

=

12.11.10! 10!. 2.1

=

66

Contoh 4.3 Berapa banyaknya segitiga dapat dibentuk dari 8 titik sudut segi delapan ABCDEFGH? Jawab: Banyaknya segitiga = kombinasi 3 dari 8 8 C 3

=

8! (8 −3) !3!

=

8! 5!3!

=

8.7.6.5! 5!.3.2.1.

=

56

Latihan 6

11. Hitung Hitung nilai nilai dari dari 20 C 18 12. Tentukan Tentukan nilai nilai n dari n −1 C 2 = 66 13. Tentukan Tentukan nilai nilai n dari n +2 C 3 = 4. n C 2 14. Seorang pelukis akan membuat membuat kombinasi warna, bila satu warna baru terdiri dari 2 warna, tentukan banyaknya campuran warna baru, bila mempunyai 8 warna. 15. Sebuah kantong berisi 8 kelereng merah, dan 4 kelereng biru. Dari kantong kantong diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Tentukan berapa cara pengambilan jika kelereng yang terambil: a. keti ketiga gany nyaa berwa berwarn rnaa mera merah h b. 2 merah dan 1 biru c. ketig etigan any ya bir biru u 16. Dalam suatu ruangan terdapat 24 orang. Jika setiap dua orang berjabat tangan satu kali ada berapa kali jabat tangan yang terjadi? 17. Dengan berapa cara suatu panitia yang terdiri dari 4 pria dan dan 4 wanita dapat dibentuk dari 8 pria dan 6 wanita. 18. Seorang siswa harus menjawab 10 10 dari 15 pertanyaan pertanyaan pada suatu ulangan. Jika soal nomor 1 s/d 4 harus dikerjakan ada berapa cara siswa tersebut dapat memilih soal untuk dijawab. 19. Dengan berapa cara 9 orang orang dapat dibagi dalam 3 kelompok yang terdiri dari 4 orang, 3 orang dan 2 orang? 20. Dengan berapa cara 13 buku yang berbeda berbeda dapat dibagi pada 3 orang kakak beradik, jika yang tertua mendapatkan 5 buku, dan dua orang adiknya masingmasingmasing mendapatkan 4 buku.


halaman 17

7. Bino Binomi mial al New Newto ton n Di SMP Anda telah mempelajari bentuk pemangkatan berikut ini (a + b)

2

(a + b)

3

(a + b)

4

(a + b)

5

=a =a =a

=a

2

3 4

5

+ 2ab + b + 3a

2

+ 4a

+ 5a

2

b + 3ab

2

+b

3

2 2

4

b +10a b

b + 6a b

3

+ 4ab

3 2

3

+10a

+b

2 3

b

4 + 5ab

4

+b

4

Perhatikan bahwa koefisien dari hasil pemangkatan mengikuti segitiga paskal berikut

1 1

1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Bagaimana jika Anda ingin menjabarkan (a +b)12 , (a +b)15 , (a +b)18 Perhatikan pola koefisiennya Baris ke dua 1 C 0 1C 1 Baris ke tiga 2 C 0 2 C 1 2 C 2 Baris ke empat 3 C 0 3C 1 3C 2 3C 3 Baris ke lima 4 C 0 4C 1 4 C 2 4C 3 4C 4 Dan seterusnya Kemudian perhatikan penjabaran berikut ini ( a + b) 2 (a + b) 3 (a + b) 4

= 2 C 0 a 2 + 2 C 1 ab + 2 C 2 b 2 =3 C 0 a 3 +3 C 1 a 2 b +3 C 2 ab 2 +3 C 3 b 3 =4 C 0 a 4 + 4 C 1 a 3b + 4 C 2 a 2 b 2 + 4 C 3 ab 3 + 4 C 4 b 4

Dari bentuk tersebut dapat disimpulkan sebuah rumus ( a + b)

n

( a + b)

n

=n

=

n 0

C 0 a b

+n

C 1 a

n −1

b +n C 2 a

n −2 2

b

+ ........... +n

n

∑ n C r a n − r b r

r = 0

Bentuk tersebut dinamakan binomial Newton atau ekspansi binomial


0 n

C n a b

halaman 18 Contoh 5.1 ( 2 x + y ) 4

= ( 2 x ) =16 x =16 x

4 4

4

+ 4.(2 x )

+ 4.8 x + 32 x

3

y

3

y

3

y

+ 6( 2 x )

+ 6.4. x

+ 24 x

2

2

y 2

y 2

2

y 2

1

+ 4(2 x)

+8 xy

+8 xy

3

3

+ y

+ y

y 3

+ y

4

4

4

Contoh 5.2 9 Carilah suku ke 8 dari (4 x − y ) Jawab: 9

(4 x − y ) = ∑ 9 C r ( 4 x) 9−r (− y ) r 9

r =o

Suku ke 8, maka r = 7 Jadi suku ke 8 adalah 9 C 7 ( 4 x )

2

( − y ) 7

=

9! 2 !7 !

.16. x 2 ( − y 7 )

= −576 x

2

y7

Contoh 5.2 6 2 Tentukan koefisien dari x pada ( 2 x

+

1 9 ) x

Jawab: Suku umumnya dapat ditulis

9 C r ( 2 x

2 9−r

)

1 r ( ) r = C ( 2 x 2 ) 9−r ( x − ) 9 r x

Perhatikan pangkatnya saja : 2(9 – r) – r = 6 18 – 3r = 6 r=4 Jadi koefisien x 6 adalah Latihan 7 1. Ekspa spansika ikan 2. Ekspa spansika ikan

(2 x

+

y)

( 2a

−3

9 C 4 .2

5

=

9! 4!5!

.32

=

9.8.7.6.5!.32 4.3.2.1.5!

= 4032

4

b) 5

1

12 3. Tentuk Tentukan an suku suku yang yang bebas bebas dari dari p pada pada penjaba penjabaran ran (2 p + )

p

4. Koef Koefisi isien en x pad padaa penj penjab abara aran n (1 + x ) n adalah 45, tentukan nilai n bulat positif yang memenuhi. 5. Tent Tentuk ukan an suku suku ke 4 dari dari ( x 2 − y 2 )11 6. Carilah Carilah suku suku yang yang meng mengand andun ung g

x

3

2 pada ekspansi ( x

3 7. Caril Carilah ah suk suku u yan yang g mem memua uatt x 2 dalam ekspansi ( x

8. Tent Tentuk ukan an suk suku u teng tengan an dar darii

( x 2

+ 2 x)

6

Rangkuman 1. Atur Aturan an Perk Perkal alia ian n Misalka Misalkan: n: Obyek Obyek 1 dapat dapat disusun disusun dalam dalam n1 cara Obyek 2 dapat disusun dalam n 2 cara


+

−

1 12 ) x

2 10 ) x

halaman 19

Obyek 3 dapat disusun dalam n 3 cara Obyek ke k dapat disusun dalam n k cara Maka banyaknya cara untuk menyusun k obyek tersebut secara berurutan adalah n1.n2.n3...........nk 2. Permutasi Permutasi r unsur unsur yang yang diambil diambil dari dari n unsur dinotasikan dinotasikan P(n,r) P(n,r) atau atau nPr nPr nPr = n . (n-1) . (n – 2) . ................(n – (r – 1))

n Pr =

n! (n

− r ) !

, r ≤ n

3. Permuta Permutasi si deng dengan an ada ada unsur unsur yang yang sama sama Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai k 1 unsur jenis pertama, k 2 unsur jenis kedua, k 3 unsur jenis ketiga, ....., k m unsur jenis jenis ke m yang sama n!

adalah k ! k ! k !....k ! 1 2 3 m 4. Perm Permut utas asii sikl siklis is Banyaknya permutasi siklis dari n elemen adalah (n – 1)! 5. Banyaknya Banyaknya kombina kombinasi si r unsur dari dari n unsur unsur dilamban dilambangkan gkan dengan dengan C(n,r) C(n,r) atau n nCr atau C r atau

n

C r

=

n      r  

n! (n −r )!r !

6. Bino Binomi mial al Newt Newton on ( a + b) n

=n

( a + b) n

=

C 0 a n b 0

+n

C 1 a n −1b +n C 2 a n −2b 2

+ ........... +n

C n a 0 b n

n

∑ n C r a n −r b r

r = 0

Uji Kompetensi 1 Kerjakan pada buku latihan Anda 1. Dari 7 orang orang pengurus pengurus sebuah sebuah organi organisasi sasi akan dipilih dipilih seorang seorang ketua, wakil wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah ... a. 210 b. 250 c. 252 d. 420 e. 840 2. Sebuah Sebuah gedung gedung mempunyai mempunyai 5 pintu masuk. masuk. Banyak Banyaknya nya cara 3 orang orang yang yang memasuki gedung tersebut melalui pintu yang berbeda adalah ...... a. 60 b. 50 c. 30 d. 20 e. 10 3. Dari angka angka 2,3,5,6, 2,3,5,6,7,9 7,9 akan akan dibentuk dibentuk bilangan bilangan terdiri terdiri dari dari 3 angka angka berlainan berlainan yang kurang dari 400. Banyaknya bilangan tersebut adalah.......... a. 10 b. 20 c. 40 d. 80 e. 120 1

10

4

4. Nilai da dari 14! −15! +16!


=.......

halaman 20

a.

144

108

b. 16 !

16 !

e.

c.

84 16!

d.

9 16!

4 16!

5. Jik Jika dik diket etah ahu ui n P 5 = 20 n P 3 , maka nilai n = ....... a. 3 b. 6 c. 8 d. 10 e. 12 6. Dari angka angka 3, 5, 6, 7 dan 9 akan dibuat dibuat bilanga bilangan n terdiri dari dari 3 angka angka berbeda berbeda yang kurang dari 600. Banyaknya bilangan tersebut adalah ........ a. 24 b. 18 c. 12 d. 10 e. 8 7. Banyaknya Banyaknya susunan susunan huruf dari kata kata ”KEMERDE ”KEMERDEKAAN” KAAN” adalah.... adalah.... a. 1.663.200 b. 1. 1.480.400 c. 1. 1.420.60 d. 1. 1.240.800 e. 1. 1.160.800 8. Dalam suatu suatu rapat rapat pengurus pengurus OSIS OSIS dihadir dihadirii oleh 7 orang yang duduk duduk mengelilingi meja bundar. Banyaknya cara mereka duduk adalah ......... a. 840 b. 720 c. 680 d. 540 e. 486 9. jika jika dik diketah etahui ui n C 3 =2n , maka 2nC 7 =......... a. 160 b. 120 c. 116 d. 90 e. 80 10. Jika diketahui diketahui n + 2 C 4 = 6. n C 2 , maka nilai n = ..... a. 4 b. 6 c. 7 e. 8 e. 10 11. Jika diketahui diketahui n C 3 = 5n , maka nilai dari 2nC 3 =...... a. 2184 b. 1468 c. 364 d. 286 e. 164 12. Suku ketiga ketiga dari ekspansi ekspansi (3 x 3 − 2 x 2 ) 5 adalah..... a. 1.080 x 9 y 4 b. 1.040 x 6 y 4 c. 1,080 x 6 y 4

d. 1.080 x 9 y 4 e. 1.080 x 6 y 4 13. Koefisien Koefisien suku ke tujuh tujuh pada (4a − y 3 )9 adalah....... a. 2.456 b. 3.650 c. 4.526 d. 5.376 e. 5.682 14. Seorang bapak membeli 8 buku cerita yang semuanya semuanya berbeda. Setibanya dirumah, ia membagi buku cerita tersebut kepada tiga anaknya, masingmasing memperoleh 3 buku, 2 buku dan 3 buku. Bapak tersebut dapat membagi buku kepada tiga anaknya dengan ......... cara a. 560 b. 480 c. 280 d. 240 e. 160 15. Banyaknya diagonal diagonal dari segi 8 adalah.......... a. 18 b. 20 c. 24 d. 28 e. 36 16. Jika huruf-huruf A, B, C, D, E, E, F ditukar-tukar ditukar-tukar letaknya dengan huruf A dan dan B selalu berdekatan, banyaknya susunan huruf berbeda adalah ......... a. 100 b. 120 c. 200 d. 240 e. 360 17. Dari 7 siswa yang lulus lulus dari seleksi olimpiade matematika, akan dibentuk dibentuk satu tim yang terdiri dari 3 orang. Banyaknya cara membentuk tim tersebut adalah . a. 24 b. 35 c. 48 d. 64 e. 96 18. Seorang siswa harus mengerjakan 8 dari 10 soal yang disajikan, tetapi nomor 1 sampai dengan nomor 4 harus dikerjakan. Banyaknya cara pemilihan soal tersebut adalah ... a. 8 b. 10 c. 12 d. 15 e. 24 19. Dari 7 siswa putra dan 5 siswa putri akan dikirim dikirim 8 siswa untuk dikirim ke Jepang. Jika akan dipilih 5 siswa putra dan 3 siswa putri, maka banyaknya cara pemilihan adalah ... a. 180 b. 196 c. 200 d. 204 e. 210 −


−

halaman 21

20. Seorang siswa diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, ulangan, tetapi nomor 1 sampai dengan 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat dikerjakan adalah ... a. 4 b. 5 c. 6 d. 9 e. 10 21. Banyaknya cara untuk memilih regu bulutangkis bulutangkis yang terdiri dari 3 pemain pemain putri dan 5 pemain putra dari keseluruhan 5 pemain pemain putri dan 8 pemain putra adalah .... a. 55 b. 104 c. 560 d. 600 e. 1000 22. Diketahui A = {p,q,r,s,t,u}. {p,q,r,s,t,u}. Banyaknya himpunan himpunan bagian yang yang memiliki anggota paling sedikit 3 unsur adalah ........... a. 22 b. 25 c. 41 d. 42 e. 57 23. Dalam suatu kelas terdapat 25 siswa 5 diantaranya perempuan, akan dipilih dipilih 3 orang untuk mengikuti rapat perwakilan kelas. Jika yang terpilih harus ada perempuannya, maka banyaknya cara pemilihannya adalah ........ ........ a. 10 b. 200 c. 950 d. 1.160 e. 2.300 24. Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik, dengan tidak ada tiga titik yang segaris. Jika setiap dua titik dibuat sebuah garis lurus, maka banyaknya garis yang bisa dibuat adalah ....... a. 21 210 b. 105 c. 90 d. 75 e. 65 25. Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari 8 titik dengan tidak ada 4 titik yang sebidang adalah..... a. 33 336 b. 326 c. 70 d. 56 e. 46 26. Suatu pertemuan dihadiri oleh 18 orang peserta. peserta. Bila peserta saling berjanat tangan, maka banyaknya jabat tangan yang terjadi paling sedikit adalah ...... a. 81 b. 120 c. 144 d. 153 e. 306 27. Banyaknya pasanyan pemain pemain ganda bulutangkis yang yang dapat disusun dari dari 7 orang pemain adalah ........ a. 9 b. 14 c. 21 d. 28 e. 42 28. Tono beserta 9 orang temannya akan membentuk membentuk sebuah tim volley yang terdiri dari 6 orang. Apabila Tono harus menjadi anggota tim tersebut, maka banyaknya cara untuk membentuk tim tersebut adalah ......... ......... a. 126 b. 162 c. 210 d. 216 e. 252 29. Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang terdiri dari 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka maka banyaknya tim yang akan dibentuk dibentuk adalah .. a. 168 b. 189 c. 210 d. 231 e. 252 30. Disuatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang . Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah.... a. 84 b. 82 c. 76 d. 74 e. 66 Cocokkan jawaban anda dengan kunci jawaban Uji Kompetensi 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini, dan hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat tingkat penguasaan Anda. Rumus:


halaman 22

Tingkat penguasaan =

Jumlah jawaban Anda yang benar x100% 30

Arti penguasaan yang Anda capai 90 % - 100 % 80 % - 89 % 70 % - 79 % < 70 %

baik sekali baik sedang kurang

Jika penguasaan materi Anda ≥ 70 % , maka Anda bisa mempelajari modul berikutnya, akan tetapi bila penguasaan materi Anda < 70 %, maka maka Anda harus mengulang mempelajari modul ini.


halaman 23

Kegiatan Belajar

2 Peluang Suatu Kejadian 1.

RUANG SAMPEL

Misalkan kita melakukan percobaan dengan melempar 2 koin bersamaan. Jika sisi koin adalah Gambar (G) dan Angka (A), maka kemungkinan hasil dari percobaan tersebut adalah {GG , GA , AG , AA }. Himpunan tersebut dinamakan ruang sampel suatu percobaan, sedangkan masing-masing elemen ruang sampel disebut titik sampel. Sedangkan himpunan {GG , AA ) disebut kejadian muncul dua sisi sama. Contoh 1.1 Tuliskan ruang sampel dan kejadian pada peristiwa-peristiwa di bawah ini. a. Satu dadu dan satu koin dilempar bersama Kejadian : muncul bilangan prima pada koin b. Dua dadu dilempar bersama Kejadian: muncul jumlah mata dadu lebih dari 9 c. Tiga Tiga koin koin dilem dilempa parr ber bersam samaa Kejadian : sekurang-kurangnya muncul satu sisi Gambar Jawab: a. S = {(1,A),(1,G),(2,A),(2,G),(3,A),(3,G),(4,A), (4,G),(5,A),(5,G),(6,A),(6,G)} Kejadian muncul bilangan prima pada koin{(2,A),(2,G),(3,A),(3,G),(5,A), (5,G)} b. Ruang sampel mudah didata dengan tabel berikut ini D II DI 1 2 3 4 5 6 1

(1,1) (1,2)

(1 (1,3) (1,4)

(1 (1,5)

(1 (1,6)

2

(2,1) (2,2)

(2, (2,3) (2,4)

(2 (2,5)

(2, (2,6)

3

(3,1) (3,2)

(3, (3,3) (3,4)

(3 (3,5)

(3, (3,6)

4

(4,1) (4,2)

(4,3) (4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5 (5,3) (5,4)

(5 (5,5)

(5 (5,6)

(5 (5,2)


halaman 24

6

(6,1)

((6 6,2)

((6 6,3) (6,4)

((6 6,5)

((6 6,6)

Kejadian muncul jumlah mata dadu lebih dari 9: {(6,4),(5,5),(4,6),(6,5),(5,6), (6,6)}

c.

Ruang sampel mudah didata dengan tabel berikut ini. K 1,K 2 K 3

AA

AG

GA

GG

A

AAA AAG

AGA

AGG

G

GAA GAG

GGA

GGG

Kejadian sekurang-kurangnya muncul satu sisi angka: {(AAA) , (AAG) , (AGA) Latihan 8 1. Tuliskan Tuliskan ruang ruang sampel sampel pada pada percobaan percobaan melempar melempar tiga tiga keping keping uang uang logam logam secara bersamaan 2. Tentukan Tentukan ruang sampel pada percobaan percobaan melemp melempar ar dua dadu 3. Tentukan Tentukan ruang ruang sampel sampel pada pada pelemparan pelemparan sekepin sekeping g uang uang logam logam dan sebuah sebuah dadu 4. Tentukan Tentukan banyakn banyaknya ya anggota anggota ruang ruang sampel pada pada percobaan percobaan pengambi pengambilan lan dua buah kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge

2.

Peluang Misalkan sekeping uang logam di tos 50 kali, kejadian muncul sisi angka

sebanyak 24 kali, sehingga frekwensi relatif munculnya angka adalah

24 50

. Jika

percobaan dilakukan berulang kali dengan frekwensi yang yang besar, maka frekwensi relatif munculnya sisi angka akan mendekati angka

1 2

. Bilangan ini disebut

sebagai peluang kejadian muncul muncul sisi angka. angka. Pada pengetosan sekeping uang logam yang simetris ruang sampelnya adalah { A , G }, dan peluang kejadian muncul sisi angka = munculnya sisi gambar =

1 2

, begitu juga peluang

1 2

Kesimpulan: Jika S adalah ruang sampel suatu kejadian, banyaknya anggota ruang sampel adalah n( S ) , A adalah suatu kejadian, dan banyaknya anggota kejadian A = n(A) , maka peluang kejadian A ditulis P(A) dengan P ( A)


=

n( A) n( S )

halaman 25

Contoh 2.1 Mis alkan sebuah kotak berisi 9 bola , yaitu 4 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola hijau. Dari dalam kotak diambil 1 bola secara acak. Tentukan peluang a. terambil bola berwarna merah b. terambil bola berwarna putih

Jawab: a. P(bola merah) =

4 9

3

b. P(bola putih) =

9

Contoh 2.2 Pada percobaan pelemparan satu dadu, tentukan peluang muncul bilangan prima.

Jawab: S = { 1,2,3,4,5,6} , n(S) = 6 , kejadian muncul bilangan prima = {2,3,5} P(bil. Prima ) =

3 6

=

1 2

Contoh 2.3 Dua buah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge. Tentukan peluang: a. tera teramb mbil il kar karu u diam diamon ond d b. terambil karu As c. tera teramb mbil il kart kartu u ber berga gamb mbar ar d. tera teramb mbil il kar kartu tu bern bernom omor or

Jawab: a. Banyaknya Banyaknya kartu kartu diamon diamond d adalah adalah 13, cara mengambi mengambill 2 kartu kartu dari 13 13 karu adalah 13 C 2 , banyaknya kartu bridge adalah 52, cara mengambil 2 kartu dari 52 kartu adalah 52 C 2 . 13! P (kartu diamond )

=

13 C 2 52 C 2

=

11!2! 52!

=

13.12 52.51

=

1 17

50!2!

b. Banyaknya kartu As ada 4, banyaknya banyaknya cara mengambil 2 kartu dari 4 kartu As adalah 4 C 2 , sehingga peluang terambil kartu As adalah 4! P(As)

=

4 C2 52 C 2

=

2 !2 ! 52! 50!2!


=

4.3 52.51

=

1 221

halaman 26

c. Kartu bergamb bergambar ar adalah adalah King, King, Queen, Queen, dan Jack, jadi jadi banyakny banyaknyaa kartu bergambar ada 12 dengan banyaknya banyaknya cara untuk mengambil 2 kartu dari 12 12C C 2 , jadi peluang terambil kartu bergambar kartu bergambar adalah 12 12! bergambar) ar) = adalah: P(kartu bergamb

12 C 2 52 C 2

=

10!2! 52!

=

12.11 52.51

=

11 221

50!2!

d. Banyaknya Banyaknya kartu kartu bernomo bernomorr adalah 36, 36, banyaknya banyaknya cara cara mengambil mengambil 2 kartu kartu dari 36 kartu adalah 36 C 2 , sehingga peluang terambil 2 kartu bernomor 36! bernomor) r) = adalah: P(kartu bernomo

36 C 2 52 C 2

=

34!2! 52!

=

36.35 52.51

=

105 221

50!2!

Latihan 9 1. Dalam suatu suatu kotak kotak terdapat terdapat 7 bola bola hitam, hitam, dan 3 bola bola putih. putih. Jika diambi diambill satu bola dari kotak itu, tentukan peluang teambil satu bola berwarna hitam. 2. Dari seperang seperangkat kat kartu kartu bridge bridge diambil diambil sebuah sebuah kartu kartu secara secara acak. Tentukan Tentukan peluang terambil kartu bernomor. 3. Dari 6 pria pria dan 5 wanita wanita akan akan dipilih dipilih tiga orang orang secara secara acak. Tentuk Tentukan an peluang peluang yang terpilih ketiganya wanita. 4. Dalam sebuah sebuah kantong kantong terdap terdapat at 5 bola berwarna berwarna putih, putih, dan 3 bola bola berwarna berwarna merah. Jika dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus, tentukan peluang terambil 3 bola berwarna putih. 5. Dari seperangk seperangkat at kartu bridge bridge diambi diambill dua karu sekalig sekaligus. us. Tentukan Tentukan peluan peluang g terambil keduanya kartu bergambar. 6. Tiga keping keping uang uang logam logam dilempar dilempar undi undi sekali. sekali. Tentukan Tentukan peluang peluang muncul muncul dua dua sisi angka dan satu sisi gambar. 7. Huruf-huruf Huruf-huruf pada pada kata ”MATEM ”MATEMATIKA ATIKA”” akan disusun disusun secara secara acak. acak. Tentukan Tentukan peluang susunan huruf tersebut huruf pertamanya konsonan. konsonan. 8. Suatu bilang bilangan an terdiri terdiri dari 3 angka angka akan akan dibentuk dibentuk dari dari angka-angk angka-angkaa 1 s/d 7. Tentukan peluang bahwa yang terbentuk adalah bilangan yang kurang dari 400. 9. Suatu bilangan bilangan terdiri terdiri dari dari 3 angka akan akan disusun disusun dari angka angka 1,2,3,4,5 1,2,3,4,5,6,da ,6,dan n 7. Tentukan peluang bahwa yang terbentuk bilangan antara 400 dan 500 10. Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola kuning dan dan 6 bola biru. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil satu bola kuning, dan 2 bola biru.

3.

Kisaran Nilai Peluang

Nilai peluang suatu percobaan paling kecil 0 dan paling besar besar 1. Jika x adalah kejadian pada percobaan tersebut, maka 0 ≤ P ( x) ≤ 1 . Apabila P(x) = 0, maka kejadian x mustahil terjadi, dan jika P(x) = 1 , maka kejadian x pasti terjadi.


halaman 27

Contoh 3.1 Pada percobaan pelemparan sebuah dadu. A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil yang lebih dari 6. Dalam hal ini P(A) = 0 karena munculnya bilangan ganjil lebih dari 6 adalah kemustahilan. Contoh 2 Pada percobaan pelemparan dua buah dadu. A adalah kejadian muncul jumlah mata dadu kurang dari 13. Dalam hal ini ini P(A) = 1 , karena kejadian A pasti terjadi. 4.

Frekwensi Harapan Anda telah mengetahui bahwa pada penget osan sekeping uang logam

peluang munculnya angka adalah

1 2

. Jika pengetosan dilakukan 1000 kali, maka

harapan munculnya permukaan angka adalah 500 kali. Kesimpulan: Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali, dan A adalah suatu kejadian pada percobaan tersebut. Peluang kejadian A adalah P(A). Frekwensi harapan kejadian A ditulis f H ( A) = P ( A) x n Contoh 4.1 Sebuah dadu ditos 300 kali, tentukan: a. frekwensi harapan muncul mata dadu ganjil b. frekwensi harapan muncul mata dadu yang habis dibagi 3 c. frekwensi harapan muncul mata dadu prima genap Jawab: S = {1,2,3,4,5,6} ganjil ) = a. f H (mata dadu ganjil

b. f H (habis dibagi 3)

3 6

x300

= 150

2

x 300 = 100 6 1 c. f H ( prima genap ) = x 300 =50 6 =

Contoh 4.2 Tiga keping uang logam ditos 200 kali. Tentukan frekwensi harapan: a. muncul dua sisi angka b. muncul tiga sisi gambar c. sekurang-kur sekurang-kurangny angnyaa muncul muncul satu satu sisi sisi angka angka Jawab: S = {AAA, AGA , AAG , GAA , GGA , GAG , AGG , GGG } a. f H (dua sisi angka)

=

gambar ) b. f H (tiga sisi gambar

3 8 =


x 200 =75 1 8

x 200 =25

halaman 28

sekurang − kurangnya satu angka) = c. f H ( sekurang

7 8

x 200 =175

Latihan 10 1. Pada percoba percobaan an pelemparan pelemparan sebuah koin sebanyak sebanyak 300 300 kalo, kalo, berapakah berapakah frekwensi harapan munculnya sisi angka? 2. Sebuah Sebuah dadu dilempa dilemparr 480 kali. kali. Tentukan Tentukan frekwen frekwensi si harapan harapan muncul muncul mata dadu bilangan prima genap 3. Peluang Peluang tim SMA TUNAS TUNAS BANGS BANGSA A memenan memenangkan gkan pertanding pertandingan an basket basket

melawan tim SMA KARTIKA adalah

4.

5.

6. 7.

2 3

. Jika diadakan 6 kali

pertandingan, berapakah frekwensi harapan SMA TUNAS BANGSA memenangkan pertandingan basket tersebut? Pada satu satu set kartu kartu bridge, bridge, akan diambil diambil 4 karu sekaligus. sekaligus. Jika Jika diadakan diadakan 260 kali percobaan, berapakah frekwensi harapan bahwa keempatnya adalah kartu hati. Menurut Menurut perkiraan perkiraan cuaca, cuaca, peluang peluang turunny turunnyaa hujan pada pada bulan bulan September September 1980 adalah 0,2. 0,2. Berapakalikah diharapkan turunnya hujan hujan pada bulan tersebut? Dua buah buah dadu dilempar dilempar 360 kali. kali. Berapa Berapa kalikah kalikah diharapka diharapkan n muncul muncul mata dadu kembar. Seorang Seorang peneliti peneliti mencatat mencatat bahwa bahwa dari dari 16 pohon pohon yang ditanam, ditanam, 2 pohon pohon akan mati karena hama. Jika ditanam 64 pohon, berapa pohonkah yang diharapkan akan mati karena hama?

Uji Kompetensi 2 Kerjakan soal-soal berikut ini duku latihan Anda 1. Sebuah Sebuah dadu dilemp dilempar ar undi sebanyak sebanyak 60 60 kali. Frekwen Frekwensi si harapan harapan munculnya munculnya mata dadu prima ganjil adalah....... a. 10 b. 15 c. 20 d. 30 e. 45 2. Dari angka angka 1,2,3,4, 1,2,3,4,5,6 5,6 akan akan dibentuk dibentuk bilangan bilangan terdiri terdiri dari dari 3 angka angka berbeda. berbeda. Peluang bahwa bilangan yang terbentu adalah bilangan ganjil adalah........ a.

11 30

b.

1 2

c.

3 5

d.

5 6

e.

5 8

3. Dalam suatu suatu populasin populasinkelua keluarga rga dengan dengan tiga orang orang anak, anak, peluang peluang keluarga keluarga tersebut mempunyai dua anak laki-laki adalah........ a.

1 8

b.

2 8

c.

3 8

d.

4 8

e.

5 8

4. Dari seperang seperangkat kat kartu kartu bridge bridge diambil diambil secara secara acak satu lembar lembar kartu. kartu. Peluang Peluang terambil kartu bukan As adalah........... a.

1 52

b.

1 13

c.

5 52

d

.

3 13

e.

5. Dari satu satu pak kartu kartu bridge bridge diambi diambill 2 kartu kartu sekaligus sekaligus secara secara acak. acak. Peluang Peluang bahwa yang terambil keduanya kartu As adalah......


12 13

halaman 29

a.

1

b.

221

e.

5

c.

221 221

7

d.

221 221

12 221

17 221

6. Pada percobaan percobaan lempar lempar undi undi dua dua buah dadu dadu sebanyak sebanyak 216 216 kali, kali, frekwensi frekwensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 4 adalah....... a. 24 b. 48 c. 60 d. 72 e. 96 7. Pada percobaa percobaan n melempar melempar dua dua dadu secara bersama-sa bersama-sama, ma, peluang peluang muncul muncul jumlah mata dadu 6 adalah..... a.

1 36

b.

3

c.

36

5 36

d.

6 36

e.

8 36

8. Dalam sebuah sebuah kotak kotak terdapat terdapat 4 bola bola putih, putih, dan 3 bola bola merah. merah. Dari dalam dalam kotak diambil dua bola sekaligus, peluang terambil keduanya bola putih adalah......... a.

3 21

b.

4

c.

21

5 21

d.

6 21

e.

8 21

9. Jika 3 keping keping uang uang logam dilempar dilempar bersama-sama, bersama-sama, maka maka peluang peluang muncul muncul dua sisi angka dan satu sisi gambar adalah.......... a.

1 6

b.

2

c.

6

1 8

d.

2 8

e.

3 8

10. Sebuah kantong berisi 25 buah kelereng yang terdiri atas 10 kelereng merah, dan yang lainnya putih. Dari dalam kantong tersebut diambil dua kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil dua kelereng merah adalah...... a.

2 3

b.

2

c.

5

3 5

d.

3 20

e.

7 20

Cocokkan jawaban anda dengan kunci jawaban Uji Kompetensi 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini, dan hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat tingkat penguasaan Anda. Rumus: Tingkat penguasaan =





Kegiatan Belajar


halaman 30

3 Kejadian Majemuk 11.

Peluang Komplemen Suatu Kejadian Jika diketahui A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel, dan A′ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut, maka kejadian bukan A yang ditulis A′ dinamakan komplen kejadian A. Dalam hal ini P(A) + P(bukan A) = 1 atau P(A) + P( A′ ) = 1

Contoh 1.1 Peluang Amir lulus ujian adalah 0,68, maka peluang Amir tidak lulus ujian adalah 1 – 0,68 = 0,32 Contoh 1.2 Dua puluh kartu diberi nomor 1, 2, 3, ..........20. Kartu tersebut dikocok, kemudian diambil satu kartu secara acak. Tentukan peluang bahwa kartu yang terambil adalah kartu bukan angka prima

Jawab: S = {1,2,3,4,5.......20} , n(S) = 20 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan prima, A = {2,3,5,7,11,13,17,19} {2,3,5,7,11,13,17,19} P( A′ ) = 1 – P(A) P ( A′)

=1−

8 20

= 12 = 3 20

5

Contoh 1.3 Tentukan peluang paling sedikit mempunyai satu anak laki-laki pada satu keluarga yang mempunyai 4 anak. Jawab: Perhatikan ruan sampel berikut ini III,IV I, I I LL LP PL PP

n( S )

LL

LLLL

LLLP LLPL LLPP

LP

LPLL

LPLP LPPL LPPP

PL

PLLL

PLLP PLPL

PLPP

PP

PPLL

PP PPLP

PPPP

= 16

PPPL

, P (empat anak perempunan)


=

1 16

halaman 31

P ( L

≥ 1) = 1 − P ( L = 0) ⇔ P ( L ≥ 1) = 1 −

1 16

= 15 16

Latihan 11

1. Jika Jika peluan peluang g hari hari esok esok akan akan turun turun huja hujan n adalah adalah 2. 3. 4. 5.

6.

1 7

, berapakah peluang bahwa

hari esok tidak turun hujan? Sebuah Sebuah bilangan bilangan yang yang terdiri terdiri dari tiga tiga berbeda berbeda akan disusun disusun dari dari angka-ang angka-angka ka 3,4,5,6,7,dan 8, berapakah peluang terbentuk bukan bilangan ganjl? Pada percobaan percobaan melempa melemparr 3 keping keping uang logam, logam, berapa berapa peluang peluang sekurang sekurang-kurangnya muncul satu gambar? Empat buah buah kartu kartu diambil diambil dari satu set set kartu diamon diamond. d. Berapakah Berapakah peluang peluang terambil keempatnya bukan kartu Queen? Seorang Seorang penjual penjual telor memilik memilikii 15 telor dengan dengan 2 diantaranya diantaranya busuk. busuk. Jika Jika diambil dua telor sekaligus, berapakah peluang terambil dua telur yang tidak busuk? Dalam kelas X 9 terdapat 4 siswa yang pandai berbahasa arab, 5 siswa pandai berbahasa jepang, dan 6 siswa pandai berbahasa Ingris. Jika diambil 3 siswa secara acak, berapakah peluang tidak mendapatkan siswa yang pandai berbahasa Jepang

12.

Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas

Dua kejadian A dan B saling lepas jika A dan B tidak dapat terjadi pada saat bersamaan, sehingga dalam hal ini A ∩ B = Φ Jika A dan B dua kejadian yang saling lepas, maka P(A atau B) = P(A) + P(B) Contoh 3.2.1 Pada percobaan melempar dua buah dadu bersamaan, tentukan peluang muncul jumlah mata dadu 6 atau 10 D II DI 1 2 3 4 5 6

1

(1,1) (1,2)

(1 (1,3) (1,4)

(1 (1,5)

(1 (1,6)

2

(2,1) (2,2)

(2, (2,3) (2,4)

(2 (2,5)

(2, (2,6)

3

(3,1) (3,2)

(3, (3,3) (3,4)

(3 (3,5)

(3, (3,6)

4

(4,1) (4,2)

(4,3) (4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5 (5,3) (5,4)

(5 (5,5)

(5 (5,6)

(5 (5,2)

6 (6,1) ((6 6,2) ((6 6,3) (6,4) ((6 6,5) ((6 6,6) Misalkan A adalah kejadian muncul jumlah mata dadu 6 dan B adalah kejadian muncul jumlah mata dadu 10. A = {(5,1),(4,2),(3,3),(2,4),((1,5)} ; B = {(6,4),(5,5),(4,6)}


halaman 32 P ( A atau B) = P ( A) + P ( B) P ( A atau B) =

5

+

36

3

=

36

8 36

=

2 9

Contoh 3.2.2 Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 2 bola putih, dan 4 bola biru. Dari dalam kotak diambil sebuah bola, tentukan probabilitas bahwa yang terambil bola merah atau biru.

Jawab: P(merah atau biru) = P(merah) + P(biru) P ( merah atau biru )

=3+4 =7 9

9

9

Jika pada kejadian A dan B berlaku A ∩ B ≠ Φ , maka kejadian A dan B dikatakan tidak saling lepas. Jika A dan B tidak saling lepas, maka P ( A atau B)

= P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)

Contoh 3.2.3 Sebuah kartu diambil dari satu set kartu bridge. Tentukan peluang yang terambil karu Skop atau kartu bergambar

Jawab: Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu Skop, dan B adalah kejadian terambilnya kartu bergambar. n(A) = 13 , n(B) = 12 , n( A ∩ B) = 3 , n(S) = 52 P ( A)

=

13

, P ( B)

52 P ( A atau B)

P ( A atau B)

=

12

, P ( A ∩ B)

=

3

52 52 = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)

=

13 52

+

12 52

−

3 52

=

22 52

=

11 26

Latihan 12 1. Selembar Selembar kartu ditarik ditarik dari seperang seperangkat kat kartu kartu bridge. bridge. Berapak Berapakah ah peluang peluang terambil kartu King atau kartu bernomor? 2. Sebuah Sebuah kartu diambi diambill secara acak dari dari satu set set kartu bridge. bridge. Tentukan Tentukan peluang peluang terambil kartu As atau kartu bergambar. 3. Sebuah Sebuah kartu diambi diambill secara acak dari dari satu set set kartu bridge. bridge. Tentukan Tentukan peluang peluang terambil kartu Queen atau kartu Diamond Diamond 4. Sebuah Sebuah kartu diambi diambill secara acak dari dari satu set set kartu bridge. bridge. Tentukan Tentukan peluang peluang terambil kartu bernomor atau kartu Heart. 5. Pada percobaan percobaan melempa melemparr dua buah buah dadu. dadu. Tentukan Tentukan peluang peluang muncul muncul jumlah jumlah mata dadu 7 atau jumlah mata dadu 9. 6. Pada percobaan percobaan melempa melemparr dua buah buah dadu. dadu. Tentukan Tentukan peluang peluang muncul muncul jumlah jumlah mata dadu kelipatan 3 atau jumlah mata dadu ganjil 7. Pada percobaan percobaan melempa melemparr dua buah buah dadu. dadu. Tentukan Tentukan peluang peluang muncul muncul jumlah jumlah mata dadu kurang dari dari 6 atau muncul mata dadu kembar.


halaman 33

8. Didalam Didalam sebuah kotak kotak ada ada 6 bola merah, merah, 4 bola bola kuning, kuning, dan dan 3 bola bola biru. Jika dari dalam kotak diambil tiga bola sekaligus, tentukan peluang terambil 3 bola berwarna sama. 9. Didalam Didalam sebuah kotak kotak ada ada 5 bola merah, merah, 4 bola bola kuning, kuning, dan dan 2 bola bola biru. Jika dari dalam kotak diambil tiga bola sekaligus, tentukan peluang terambil sekurang-kurangnya 2 bola berwarna merah. 10. Tiga huruf dari kata ”PELUANG” ”PELUANG” akan diambil secara acak. Tentukan peluang terambil tiga huruf tanpa huruf E atau tiga huruf tanpa huruf huruf A. 11. Kotak A berisi 5 kelereng kelereng merah, dan 6 kelereng kelereng putih, sedangkan kotak B berisi 4 kelereng merah, dan 5 kelereng putih. Dari masing-masing kotak diambil sebuah kelereng. Tentukan peluang terambil kelereng berbeda warna.

13.

Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas Stokastik jika munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka P(A dan B) = P(A) . P(B) Jika munculnya kejadian B dipengaruhi oleh munculnya kejadian A, maka dikatakan A dan B adalah dua kejadian bersyarat. Dalam hal ini P ( A dan B ) P ( A) . P ( B A) P ( B A) adalah peluang kejadian B setelah A terjadi =

Contoh 3.31 1. Pada percoba percobaan an melempar melempar satu satu keping keping uang uang logam logam sebanyak sebanyak dua kali. kali. A adalah kejadian muncul sisi angka pada pelemparan pertama, dan B adalah kejadian munculnya sisi gambar pada pelemparan kedua. Tentukan peluang kejadian A dan B 2. Didalam Didalam sebuah sebuah antong antong terdapat terdapat 4 kelereng kelereng merah, merah, 3 kelereng kelereng putih, putih, dan dan 5 kelereng kuning. Dari dalam kotak diambil 3 kelereng satu persatu dengan pengembalian. Tentukan peluang terambil berturut-turut merah, putih, putih, dan kuning. 3. Didalam Didalam sebuah sebuah antong antong terdapat terdapat 3 kelereng kelereng merah, merah, 2 kelereng kelereng putih, putih, dan dan 5 kelereng kuning. Dari dalam kotak diambil 3 kelereng satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambil kelereng merah pada pengambilan pertama, sedangkan pada pengambilan pengambilan kedua dan ketiga terambil kelereng kuning. 4. Kantong Kantong A berisi berisi 4 bola bola merah, dan dan 5 bola bola hijau, sedang sedangkan kan kotak kotak B berisi berisi 6 bola merah dan 3 bola hijaju. Satu kantong dipilih secara acak, dan dari kantong diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bola yang terambil berwarna hijau. Jawab:

1. P ( A)

1

2

, P ( B)

1

, P ( A dan B) 2 1 1 1 P ( A dan B) = . = 2 2 4 2. P (m, p, k ) = P (m). P ( p). P (k ) =

=


= P ( A). P ( B )

halaman 34

P ( m, p, k )

=

=

4

3

.

.

5

12 12 12 5 144

3. P (Im, IIk , IIIk ) =

P (Im). P ( IIk ) . P ( IIIk )

=

3 5 4 . . 10 9 8

=

1 12

5. Pemili Pemilihan han kanto kantong ng dilak dilakuka ukan n secara secara acak, acak, maka P ( A) = P ( B) = adalah kejadian terambil bola hijau. Jadi P ( H / A) = P ( H )

= P ( A). P ( H / A) + P ( B ). P ( H /

=

1 5 . 2 9

+

1 3 . 2 9

=

8 18

=

5 9

1 2

, dan H

dan da n P ( H / B)

=

3 9

B)

4 9

Rangkuman 1. Jika diketahui A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel, dan A′ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut, maka kejadian bukan A yang ditulis A′ dinamakan komplen kejadian A. Dalam hal ini P(A) + P(bukan A) = 1 atau P(A) + P( A′ ) = 1 2. Dua kejadian A dan B saling lepas jika A dan B tidak dapat terjadi pada saat bersamaan, sehingga dalam hal ini A ∩ B = Φ Jika A dan B dua kejadian yang saling lepas, maka P(A atau B) = P(A) + P(B) 3. Jika pada kejadian A dan B berlaku A ∩ B ≠ Φ , maka kejadian A dan B dikatakan tidak saling lepas. Jika A dan B tidak saling lepas, maka P ( A atau B)

= P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)

4. Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas Stokastik jika munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka P(A dan B) = P(A) . P(B) Jika munculnya kejadian B dipengaruhi oleh munculnya kejadian A, maka dikatakan A dan B adalah dua kejadian bersyarat. Dalam hal ini P ( A dan B ) P ( A) . P ( B A) P ( B A) adalah peluang kejadian B setelah A terjadi =

Uji Kompetensi 3 Kerjakan soal berikut ini di buku latihan Anda


halaman 35

16. dan buah dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang muncul mata dadu 5 pada dadu pertama dan mata dadu 2 pada dadu kedua adalah.... a.

6 36

b.

5 36

c.

4

d.

36

3

e.

36

1 36

17. Kotah I terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih, putih, dalam kotak II berisi 2 bola merah, dan 7 bola hitam. Dari setiap kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambil bola putih dari kotak I, dan bola hitam dari kota II adalah........... a.

5 63

b.

6 63

c.

8

d.

63

21

e.

63

28 63

18. Diketahui bahwa kejadian A dan kejadian B adalah adalah dua kejadian yang saling bebas tetapi tidak saling lepas. Jika P ( A)

=

1 3

, dan P ( A ∪ B )

=3 5

, maka

P(B) = .... a.

2 5

b.

4 15

c.

3 15

d.

1

e.

13

14 15

19. Pada sebuah almari tersimpan 6 baju hijau dan 5 baju kuning. Jika diambil 2 baju satu persatu tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju kuning, dan kedua baju hijau adalah........... a.

3 11

b.

5 11

c.

11

d.

110

15

e.

22

11 30

20. Dadu merah dan dadu dadu putih dilambungkan dilambungkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul mata dadu prima pada dadu merah, dan mata dadu genap pada dadu putih adalah...... a.

5 36

b.

6 36

c.

7 36

d.

9 36

e.

12 36

21. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. kuning. Sedangkangkan kotak kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambil keduanya bola berwarna sama adalah......... a.

1 8

b.

5 16

c.

7 16

d.

9 16

e.

7 8

22. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. putih. Kotak II berisi 3 bola hijau, dan 5 bola biru. Dari masing-masing kotak diambil dua bola sekaligus secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah....... a.

1 10

b.

3 28

c.

4 15

d.

3 8

e.

57 140

23. Dalam sebuah kotak terdapat 10 10 bola lampu yang yang empat diantaranya rusak. Jika dipilih 3 bola lampu, maka peluang terpilihnya lampu yang tidak rusak adalah....... a.

1 6

b.

2 21

c.

24. Peluang Peluang siswa A lulus ujian adalah adalah

1 12 3 5

d.

1 20

e.

1 30

, peluang siswa B lulus ujian adalah

. Pada ujian tersebut peluang satu diantaranya lulus ujian adalah......... a.

4 35

b.

6 35


c.

15 35

d.

12 35

e.

32 35

2 7

halaman 36

25. Peluang Amir diterima diterima di Perguruan Tinggi Negeri adalah Budi diterima di Perguruan tinggi Negeri adalah

1 3

3 7

, dan peluang

. Peluang sekurang-

kurangnya satu diantaranya diterima di Perguruan Tinggi Negeri adalah.......... a.

3 21

b.

4

c.

21

8 21

d.

13 21

e.

15 21

26. Dari setumpuk kartu yang mempunyai angka 1 sampai dengan 10. Jika diambil dua kartu sekaligus, maka peluang terambil keduanya tidak bernomor genap adalah............ a.

1 9

b.

2

c.

9

4 9

d.

7 9

e.

8 9

27. Pada percobaan melempar dua buah buah dadu, peluang peluang muncul jumlah mata mata dadu 5 atau muncul mata dadu selisih satu adalah....... a.

1 3

b.

2

c.

3

5 6

d. 0

e. 1

28. Pada percobaan melempar 3 keping keping uang logam logam bersamaan, peluang muncul paling tidak 2 angka atau muncul semua angka angka adalah......... a.

1 8

b.

1

c.

4

3 8

d.

3 8

e.

5 8

29. sebuah kotak berisi 7 kelereng kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus. Peluang terambil sekurang-kurangnya satu kelereng putih adalah........ a.

7 44

c.

10

c.

44

34 44

d.

35 44

e.

37 44

30. Dalam sebuah kotak terdapat 10 10 bola putih dan dan 5 bola merah. merah. Dari kotak tersebut diambil satu bola berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Peluang terambil kedua bola berwarna putih adalah......... adalah......... a.

4 15

c.

2

c.

5

3 7

d.

4 9

e.

14 19

Cocokkan jawaban anda dengan kunci jawaban Uji Kompetensi 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini, dan hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat tingkat penguasaan Anda. Rumus: Tingkat penguasaan =





halaman 37



Modul Peluang

Recommend Documents