“Modelos de optimización y recursos” Unidad 6: “Modelación Y Simulación De Operaciones Y Procesos ” Alumnos: Araujo García Marvin Noe Poot Puc Raúl Fernando Tuz Cahum José Enrique Tuz Ek Luis Miguel
Docente: M. en Arq. Aguilar Rivero Lucila Guadalupe Grado: 3° Grupo: “A “ Carrera: Ingeniería Civil
“Investigación Documental“
Introducción: En esta investigación documental se hablara de la unidad 6 que trata de modelación y simulación de operaciones y procesos, que son algoritmos para dar una solución a un problema dado, en este caso, primero se dará una pequeña introducción al tema con el concepto del proceso de simulación al igual que los elementos y fases, otro tema será la técnica de Montecarlo que son métodos que se agrupan a una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios. Al igual que las aplicaciones en los problemas de líneas de esperas e inventarios. La modelación y simulación de procesos permite desarrollar modelos virtuales y experimentar en forma dinámica con ellos. Lo que facilita identificar y cuantificar oportunidades de mejora en el desempeño actual, así como analizar el comportamiento del proceso bajo estudio en diferentes condiciones de operación y adelantarse proactivamente a cambios futuros.
6.1 El proceso de simulación: concepto, elementos y fases Concepto: La simulación es la mejor alternativa de la observación de un sistema. Nos permite recopilar Información pertinente acerca del comportamiento del sistema al paso del tiempo. La simulación no es una técnica de optimización. Más bien se usa para estimar las mediciones del desempeño de un sistema modelado. La simulación moderna suele manejar situaciones que se pueden describir en el contexto de una línea de espera o cola. La simulación no se limita a eso, porque casi cualquier situación de funcionamiento se puede considerar como alguna forma de línea de espera. Ésta es la razón por la que la simulación ha gozado de aplicaciones tan tremendas en las redes de comunicaciones, manufactura, control de inventario, comportamiento del cliente, pronósticos económicos, sistemas biomédicos y estrategias y tácticas bélicas. Un precursor de la simulación de nuestros días es la técnica de Monte Carlo, esquema dirigido hacia la estimación de parámetros estocásticos o determinísticos con base en el muestreo aleatorio. La diferencia principal entre las dos técnicas es que en el método de Monte Carlo el elemento tiempo no es factor pertinente. Como ejemplos de las aplicaciones Monte Carlo está la estimación del área de una curva o, en forma más general, la evaluación de integrales múltiples, la estimación de la constante pi = 3.1416, y la inversión de matrices. La simulación es un experimento estadístico y en consecuencia sus resultados se deben interpretar con las pruebas estadísticas adecuadas.
Elementos: El objetivo final de la simulación es estimar algunas medidas de desempeño deseables que describan el comportamiento del sistema simulado. Por ejemplo, en una instalación de servicio, las medidas de desempeño asociadas pueden incluir el tiempo de espera promedio hasta que un cliente es atendido, la longitud promedio de la cola y la utilización promedio de la instalación de servicio. Esta sección muestra cómo se recopilan las estadísticas del sistema simulado con base en el concepto de eventos.
1.-El estado de sistema, es decir, un conjunto de variables que permitan describir el estado de los diferentes elementos del sistema 2.-El reloj de la simulación, que es un contador que guarda registro del instante en el que se encuentra la simulación. 3.-La lista de eventos, donde se almacenan los eventos que deben tener lugar y cuando deben ocurrir (por ejemplo, la lista de eventos puede contener la información siguiente “cuando el reloj de la simulación tome el valor 32.27 el llegara una nueva llamada al sistema”).
4.-Un procedimiento de inicialización, es decir, un programa para que el estado del modelo de simulación sea el deseado. 5.-Un procedimiento de actualización del reloj, para gobernar como avanza el reloj de la simulación. 6.-Un procedimiento para la generación de eventos, para generar eventos a partir de la ejecución de eventos previos y del cambio de estado de los elementos del sistema. 7.-Procedimientos para la generación de valores de variables aleatorias. 8.-Un generador de informes, que por defecto ofrece información sobre el comportamiento del sistema (contadores, niveles de ocupación, etc.) 8.-El programa principal, que gobierna la ejecución de todo el modelo e invoca, cuando corresponde, a cada uno de los elementos interiores.
Etapas del proceso de simulación: 1.- definición del sistema 2.- formulación del modelo 3.- preparación de datos 4.- traslación del modelo 5.- validación
6.- planeación estratégica 7.- experimentación 8.- interpretación 9.- documentación
6.2 MÉTODO MONTE CARLO Los métodos de Monte Carlo abarcan una colección de técnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas. En la práctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos cálculos realizados con números aleatorios. El método de Monte Carlo es una herramienta de investigación y planeamiento; básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para operar numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios o determinísticos, manteniendo tanto la entrada como la salida un cierto grado de incertidumbre.
Algoritmo: El algoritmo de Simulación Monte Carlo Crudo o Puro está fundamentado en la generación de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cual se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias: Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas (F) Generar un número aleatorio uniforme
(0,1).
Determinar el valor de la V.A. para el número Aleatorio generado de acuerdo a las clases que Tengamos. Calcular media, desviación estándar error y realizar el histograma.
Iterar tantas veces como muestras necesitamos
Analizar resultados para distintos tamaños de muestra. Otra opción para trabajar con Monte Carlo, cuando la variable aleatoria no es directamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre variables es la siguiente: Diseñar el modelo lógico de decisión Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes. Incluir posibles dependencias entre variables. Muestrear valores de las variables aleatorias. Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo (iteración) y registrar el resultado Repetir el proceso hasta tener una muestra estadísticamente representativa Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones Calcular media, desvío. Analizar los resultados Las principales características a tener en cuenta para la implementación o utilización del algoritmo son:
para evitar que se produzca correlación entre los valores muéstrales. Iterar tantas veces como muestras necesitamos
Ejemplos: Utilizaremos un muestreo Montecarlo para estimar el área del siguiente círculo: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 El radio del círculo es r = 5 cm, y su centro es (x, y) = (1, 2).
El procedimiento para estimar el área requiere encerrar estrechamente el círculo en un cuadrado cuyo lado sea igual al diámetro del círculo, como se muestra en la figura 19.1. Los puntos de esquina se determinan a partir de la geometría del cuadrado. La estimación del área del círculo se basa en
un
experimento de muestreo que brinda una oportunidad igual de seleccionar cualquier
punto
en el cuadrado. Si m de n puntos muestreados
quedan
dentro del círculo, entonces
Para asegurarnos de que todos los puntos en el cuadrado son igualmente probables, las coordenadas x y y de un punto en el cuadrado se representan por medio de las siguientes distribuciones uniformes:
La determinación de una muestra (x, y) se basa en el uso de números (seudo) aleatorios independientes 0-1. La tabla 19.1 incluye una muestra de tales números, los cuales utilizaremos en los ejemplos de este capítulo. Para el propósito de simulación general, se utilizan operaciones aritméticas especiales para generar números (seudo) aleatorios 0-1. Se puede usar un par de números aleatorios 0-1, R1 y R2, para generar un punto aleatorio (x, y) en el cuadrado utilizando las siguientes fórmulas:
Para demostrar la aplicación del procedimiento, consideremos R1 5 .0589 y R2 5 .6733.
Este punto queda dentro del círculo debido a que
Ejemplo 2: Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.
6.3 Aplicaciones de la simulación en problemas de líneas de espera e inventarios. Teoría de cola: Una cola es una línea de espera. La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de esperas particulares.
El objetivo es encontrar el estado más estable del sistema y determinar una capacidad de servicio. Un sistema de colas se puede describir como sigue. Un conjunto de “clientes” llega a un sistema buscando un servicio, esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar. El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano,
puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir en una impresora en red.
Características de los sistemas de cola: Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas: a) Patrón de llegada de los clientes b) Patrón de servicio de los servidores c) Disciplina de cola d) Capacidad del sistema e) Número de canales de servicio f) Número de etapas de servicio
Patrón de llegada de los clientes En situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir la llegada depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos llegadas de cliente sucesivas. Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o simultáneamente.
Patrones de servicio de los servidores. Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo
individual. El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes
Disciplina de cola La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina LIFO atender primero al último).
Capacidad del sistema En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.
Número de canales del servicio Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una única línea de espera para todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor. Etapas de servicio Un sistema de colas puede ser uní-etapa o multi-etapa. En los sistemas multietapa el cliente puede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema uní-etapa, salvo que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por un servidor diferente.
Etapas de servicio Un sistema de colas puede ser uní-etapa o multi-etapa. En los sistemas multietapa el cliente puede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema uníetapa, salvo que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por un servidor diferente.
Aplicación de la teoría de colas:
Una vez llegados a este punto se han obtenido una serie de datos y resultados, de modo que el siguiente paso es analizarlos y buscarles una aplicación útil para la empresa. Estos resultados son de suma utilidad a la hora de diseñar los sistemas de líneas de espera. La decisión a tomar más común es el número de servidores que deben estar en funcionamiento, aunque también son importantes otros aspectos como número de servidores por instalación de servicio, eficiencia de los servidores, número de instalaciones de servicio, tamaño de la sala de espera…
A la hora de tomar estas decisiones en la empresa el objetivo será normalmente optimizar costes. Para ello se han de tener en cuenta dos grandes factores: en primer lugar el coste que supone dar el servicio, ya que cuanto mayor sea el número de servidores en mayores costes incurrirá la empresa, cuanto mayor sea la eficiencia de esos servidores en menores costes incurrirá pero mayor inversión requerirá; en segundo lugar nos encontramos con el coste que supone que los clientes esperen dentro del sistema. Así pues la decisión correcta es la que suma ambos costes y hace este resultado mínimo.
Importancia de la distribución exponencial y de Poisson: La forma algebraica de la distribución exponencial es:
T: tiempo (horas, minutos, etc.) La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos de llegadas pequeños. En general se considera que las llegadas son aleatorias. Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas. Por otra parte la forma algebraica de la distribución de Poisson es:
P (k)= probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo. ʎ= tasa media de llegadas.
Ejemplos: Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es de 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales conteste las preguntas. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero este ocioso? 2. ¿Cuál es el numero promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando) 3. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo del servicio). Solución De acuerdo con las premisas, estamos trabajando con un sistemas de colas de M/M/1/GD/∞/∞ para el cual ʎ= 10 automóviles por hora y µ= 15 automóviles por hora. Por lo
tanto p= 10/15 = 2/3 1. Según
(24),
Por lo tanto el cajero estará ocioso por un promedio de un tercio de tercio de tiempo. 2. Determinemos Lµ
3.
EJEMPLO
Una máquina en servicio tiene una unidad de reserva para sustituirla de inmediato cuando falle. El “tiempo a la falla” (tiempo entre fallas) de la máquina (o de su unidad de reserva) es
exponencial, y sucede cada 40 min. En promedio. El operador de la máquina dice que esta “tiene la costumbre de descomponerse cada noche a eso de las 8:30 pm. Analizar lo que
dice
el
operador.
La tasa promedio de fallas de la máquina es λ = 60 / 40 = 1.5 fallas por hora. Así, la distribución exponencial del tiempo a la falla es
En cuanto a lo que dice el operador, ya se sabe que no puede ser correcto, porque se opone al hecho de que el tiempo entre fallas es exponencial y, en consecuencia, es totalmente aleatorio. La probabilidad de que una falla suceda a la 8:30 pm no se puede usar para respaldar ni refutar esa afirmación por que el valor de esa probabilidad depende de la hora del día (en relación a las 8:30 pm) con la que se calcule. Por ejemplo si ahora son las 8:20 pm, la probabilidad de lo que dice el operador sea cierto esta noche es baja.
Modelo general de inventario: La naturaleza del problema de los inventarios consiste en colocar y recibir en forma repetida pedidos u órdenes de determinados tamaños a intervalos de tiempo establecidos. Desde un punto de vista, una política de inventario contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cuánto pedir? 2. ¿Cuándo pedir? Las respuestas de estas preguntas se basan en minimizar el siguiente modelo de costos:
(Costo total del inventario) = (costo de compra) + (costo de preparación) + (costo de almacenamiento) + (costo de faltante). Todos esos costos se deben expresar en la cantidad económica de pedido (¿Cuánto pedir?) y el tiempo entre los pedidos (¿Cuándo pedir?). 1. El costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante, o puede ofrecerse con descuentos. 2. El costo de preparación representa el costo fijo incurrido cuando se coloca un pedido. Es el independiente de la cantidad pedida. 3. El costo de almacenamiento o de posesión representa el costo de mantener una existencia de inventario. Comprende el interés sobre el capital y el costo de almacenamiento, mantenimiento y manejo. 4. El costo faltante es la penalización en que se incurre cuando se terminan las existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos y el costo, más subjetivo, de perdida de la buena voluntad del cliente. Un sistema de inventarios se puede basar en la revisión periódica (por ejemplo, pedir cada semana o cada mes), cuando se reciben nuevos pedidos al iniciar cada periodo. En forma alternativa, el sistema se puede basar en una revisión continua, cuando se colocan los nuevos pedidos y la cantidad de inventario baja hasta cierto nivel, que se llama punto de reorden.
Modelo clásico de cantidad económica de pedido: El modelo más sencillo de los modelos de inventario implica una tasa constante de demanda con el surtido instantáneo del pedido y sin faltante. Se definen. Y= cantidad pedida (cantidad de unidades) D= tasa de demanda (unidades por unidad de tiempo) T0= duración del ciclo de pedido (unidades de tiempo) El nivel de inventario sigue el patrón de la figura 11.1. Cuando el inventario llega al valor cero, se coloca un pedido cuyo tamaño es y unidades, y recibe en forma instantánea.
Figura 11.1
Después la existencia se consume uniformemente y la tasa constante de demanda D. el ciclo de pedido para este comportamiento es
El nivel promedio de inventario que resulta es: Nivel de promedio de inventario =
El modelo requiere de dos parametros: K= costo de preparacion correspondiente a la colocacion de un pedido ($/pedido) h= costo de lamacenamieto ($ por unidad en inevntario por unidad de tiempo) el costo total por unidad de tiempo (TCU, de total cost per unit time) se calcula como sigue:
El valor óptimo de la cantidad de pedido y se determina minimizando TCU (y) con respecto a y. suponiendo que y sea continua, una condición necesaria para determinar el valor óptimo de y es
Esta condición también es suficiente, porque TCU (y) es convexa. La solución de la ecuación da como resultado la siguiente cantidad económica de pedido y *
Así, la política óptima de inventario para el modelo propuesto se resume como sigue:
En realidad, no se necesita hacer un nuevo pedido en el instante en que se pide, como se ha descrito aquí. En lugar de ello puede transcurrir un tiempo de entrega positivo, L, entre la colocación y la recepción de un pedido, como se ve en la figura 11.2. En este caso, el punto de reorden se presenta cuando el nivel del inventario baja LD unidades. En la figura 11.2 se supone que el tiempo de entrega L es menor que la longitud del ciclo t *0. Lo cual en general no es el caso. Para tener en cuenta otras situaciones, se definirá el tiempo efectivo de entrega como sigue:
Figura 11.2
Donde n es el entero mayor que L/t 0. Este resultado se justifica, porque después de n ciclos de t*0 cada uno, el estado del inventario es como si el intervalo entre colocar un pedido y recibir otro es LtD unidades, y la política de inventario se puede reenunciar como sigue: Pedir la cantidad y* siempre que la cantidad de inventario baja L tD unidades.
Ejemplo:
Se cambian luces de neon en el campus de la U de A a una tasa se 100 unidades diarias. Estas luces de neon piden en forma periodica. Cuesta $ 100 al iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neon en el almacen cuesta unos $ 0.02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocacion y la recepcion de un pedido es de 12 dias. Determine la politica optima de inventario para pedir las luces de neon. De acuerdo al problema. D= 100 unidades por dia K = $ 100 por pedido h = $ 0.02 por unidad y por dia tt = 12 dias
asi
La longitud correspondiente es
Como el tiempo de entrega L = 12 días es mayor que la longitud del ciclo t *0 (= 10 días), se debe calcular Lt la cantidad de ciclos incluidos en L es
Entonces
Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a
La política de inventario para pedir las luces de neón es Pedir 100 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades. El costo de inventario correspondiente a la política propuesta es
Conclusión: Con base a lo leído pudimos llegar a la conclusión de que La simulación es un procedimiento cuantitativo que describe un proceso la cual desarrolla un modelo del mismo y después conducir una serie de experimentos de tanteos organizados para predecir el comportamiento del mecanismo, de la cual se apoya con diferentes algoritmos del cual cada uno tiene diferente solución según sea el caso que se presente.
Bibliografía: 1.- Hamdy A. Taha, Investigación de operaciones 9na edición, Capitulo 19: Modelado De Simulación, página 647 2.- Hamdy A. Taha, Investigación de operaciones 7ma edición, capitulo 18: Modelado De Simulación, página 639
