1MODELO MATEMÁTICO DE UN LEVITADOR MAGNÉTICO
Arichavala Alvarracin Mauricio Aníbal Caisaguano Duran Stalin Omar León Bacuilima Pablo Andrés Pia Orellana Cali!to Daniel "alde# Pilata!i Luis Manuel Octubre$%&1'
(niversidad Politécnica Salesiana )eoría de control
Tabla de Contenidos 1. ".
Introdui!n***************************************************************************************************************************1 Ob#eti$os*********************************************************************************************************************************1 ".1 Ob#eti$o General*************************************************************************************************************1 "." Ob#eti$os Es%e&'ios******************************************************************************************************1 (. Maro Te!rio************************************************************************************************************************1 (.1 Din)*ia de la le$itai!n Ma+n,tia*****************************************************************************1 (." -uera eletro*a+n,tia*************************************************************************************************1 (.( Me)nia**************************************************************************************************************************1 (./ Modelo el,trio**************************************************************************************************************% /. Modelado *ate*)tio***********************************************************************************************************% /.1 -uera eletro*a+n,tia*************************************************************************************************% /." Euai!n -&sia****************************************************************************************************************+ /.( A%liai!n de la le0 de ir22o'' ***********************************************************************************+ /./ Le$itai!n *a+n,tia******************************************************************************************************, /.3 Variables de estado**********************************************************************************************************, /.4 Euaiones de estado*******************************************************************************************************' 3. Conlusiones***************************************************************************************************************************' 4. 5iblio+ra'&a*****************************************************************************************************************************-
Lista de 'i+uras -i+ura. 1. Sistema de levitación magnética***********************************************************************************% -i+ura. ". .uer#as /ue act0an en la bola****************************************************************************************+ -i+ura. (. Circuito del eléctrico del levitador magnético**************************************************************,
1. Introdui!n n el estudio de los sistemas de control el 2rimer 2aso debe ser la obtención del modelo matem3tico /ue describa la din3mica del sistema* Se de4ine al modelo matem3tico de un sistema din3mico como un con5unto de ecuaciones /ue 2resentan la din3mica del 2roblema inclu6endo las 2rinci2ales características* Para reali#ar métodos de control cl3sico es 2re4erible tener descrito el modelo matem3tico re2resentado como 4unción de trans4erencia mientras /ue 2ara el resto de métodos de control cl3sico 6 2ara métodos de control no lineal es 2re4erible tener el modelo matem3tico re2resentado en es2acio de datos* Para 2oder describir la din3mica de sistemas 4ísicos en términos de ecuaciones di4erenciales se obtienen a 2artir de las le6es 4ísicas7 algunos e5em2los de las le6es 4ísicas a2licables serían las le6es de 8e9ton 2ara sistemas mec3nicos 6 las le6es de :irchho44 2ara sistemas eléctricos*
". Ob#eti$os 2.1 •
Obtener las ecuaciones en el espacio de estado que defnen el sistema de un levitador magnético.
2.2 •
Objetivo General
Objetivos Específcos
Determinar las ecuaciones ísicas del levitador magnético. Defnir las variables de estado. Realizar una linealizacion de las ecuaciones de estado.
(. Maro Te!rio 3.1
Dinámica de la levitación Magntica
La levitación consiste en mantener un ob5eto sus2endido en el aire sin ning0n ti2o de contacto mec3nico* n el caso de la levitación magnética7 la 4uer#a /ue 2ermite esta sus2ensión es la 4uer#a electromagnética* sta 4uer#a electromagnética es generada 2or un electroim3n /ue mediante atracción 2ermite mantener en sus2ensión un ob5eto 4erromagnético*
3.2
!"er#a electromagntica
La 4uer#a magnética es la 4uer#a generada 2or el cam2o magnético sobre un di2olo n la 4uer#a electromagnética este cam2o magnético esta generado 2or el 2aso de una corriente eléctrica sobre un conductor*
3.3
Mecánica
La mec3nica es la 2arte de la 4ísica encargada de estudiar el movimiento de un sistema 6 las 4uer#as /ue lo 2rovocan* l estudio de la mec3nica del levitador magnético se basa en a2licar la segunda le6 de 8e9ton*
3.$
Modelo elctrico
(tili#ando las le6es de :irchho44 la cual describe /ue La suma algebraica de las di4erencias de 2otencial a lo largo de cual/uier camino cerrado del circuito es cero*
/. Modelado *ate*)tio n la 4igura 1 se 2resenta el es/uema b3sico 6 los 2ar3metros /ue est3n involucrados en este 2roceso*
Figura. 1. Sistema de levitación magnética. Fuente: (Guijarro Solorzano, 2015)
y(t): s la distancia entre el electroim3n 6 la bola $6t78 s el volta5e de alimentación del electroim3n i(t) s la corriente /ue circula 2or el electroim3n R: s la resistencia del electroim3n L: s la inductancia del electroim3n *8 s la masa de la bola 6 g es la aceleración
$.1
!"er#a electromagntica
La 4uer#a electromagnética viene determinada 2or la ecuación; i
=
"
; 8umero de es2iras de la bobina
" % ×µ % % × µ &
µ
; Permeabilidad del n0cleo µ &
; Permeabilidad del vacío
$.2
Ec"ación !ísica
>ndica /ue la suma de 4uer#as sobre un ob5eto es igual al 2roducto de la masa del ob5eto 2or la aceleración del mismo7 es decir;
∑ F = m ×a Se anali#a las 4uer#as /ue e5ercen sobre la bola7 el cual son % <.igura %=; el 2eso 6 la 4uer#a electromagnética*
Figura. 2. Fuerzas #ue act$an en la %ola. Fuente: (&errera, 2012)
m
m
d % !
d % !
$.3
= ' − F electromagnética i
= g −
i
×
m !
%plicación de la le& de 'irc((o)
Figura. 3. ircuito del eléctrico del levitador magnético. Fuente: utor
n la 4igura + se 2resenta un circuito ?L 6 a2licando la le6 de :irchho44 se obtiene la siguiente ecuación; di
$.$
=
* +
v
×i
+
*evitación magntica
La din3mica del levitador magnético se re2resenta mediante las siguientes ecuaciones; d % !
$.+
=
* +
v
×i
+
,ariables de estado ,& 1 =
,1 = ! ,% =
,&% =
d!
dt ,+ = i
,& + =
d!
= ,%
d % !
dt di
Sustitu6endo en las ecuaciones /ue describen la din3mica del levitador magnético
,& 1 = ,% ,&% = g − ,& + =
,+%
u
×
m ,1%
−
* +
×,+
Como se observa en las ecuaciones obtenidas no son lineales 2or lo cual es necesario ,&% lineali#ar las mismas a2licando las series de )a6lor en * La serie de )a6lor se denota mediante la ecuación* ∞
d n - < , − c=n
∑ d,
- < ,= =
n= &
,&% =
d & < ,&% = ×< , −c =&
+
&@
d 1 < ,&% = × < , −c =1
n
×
+
1@
n@
d % < ,&% = <×, c−=% %@
+
d + <,&% = <,× c − =+ +@
A 2artir de la segunda derivada se trunca la serie debido a /ue a 2artir de ese término la 4unción 2ierde linealidad* ,&% =
d & < ,&% = ×< , −c =& &@
+
d 1 < ,&% = × < , −c =1 1@
,&% = & + d 1 < ,&% = ×< , −c =1
,&% =
d,&% d,
×< , −c= , = ,
n&
Se tiene /ue anali#ar la ecuación 2ara las condiciones de e/uilibrio; ,1& = Posición de e/uilibrio ,%& = "elocidad de e/uilibrio ,+& = Corriente de e/uilibrio d,& ,&% = % ×< , −c= d,1&
,&% =
d,&% d,%&
×< , −c=
, = ,n + c , − c = ,n Desde n1 hasta n+
,&% =
d,&% d,+&
×< , −c=
,&% =
d,&% d,1&
×< , −c= =
,&% =
d,&% d,1&
d,&% d,%&
×,1 =
d,&%
×< , −c= =
d,&% d,%&
d,+&
d,&%
×,% =
d,+&
<×, c−=
,×+
cuaciones lineali#adas en torno a la 2osición de e/uilibrio . ,+&
&
=
. ,
$.-
Ec"aciones de estado . ,&= % × m
&
,+&
1
×
&
&
&
,1&
& . ,+&
,1 ,× % ,+
& &+ u
,1
,1
,1
3. Conlusiones •
•
•
•
•
Un levitador magnético de un grado de libertad es un sistema de una entrada y una salida así que !nicamente tendremos una variable de entrada y una variable de salida. "a variable de entrada siempre ser# la tensi$n de entrada al circuito y la variable de salida siempre ser# la altura pudiendo controlar el volta%e de entrada al sistema para controlar la posici$n requerida del ob%eto levitante. iertas constates no se pueden obtener por linealizacion por lo que se debe a recurrir a datos e'perimentales como enuncia ()ui%arro *olorzano +,-/ se da valores y luego se trata de interpolar linealmente pero de este depender# enteramente el comportamiento del sistema. 0l sistema de levitaci$n magnética es no lineal por lo tanto se debe recurrir a utilizar las series de 1aylor para poder linealizar las ecuaciones. Dando como resultado una matriz linealizada esto acilita el c#lculo de la unci$n de transerencia del levitador magnético. 2dem#s cabe recalcar que al linealizar el sistema se puede controlar el mismo de una manera m#s #cil pero para obtener un control m#s apegado a la realidad se debería traba%ar con un sistema no lineal. 3ediante las ecuaciones de estado se logra controlar tres aspectos primordiales en el levitador magnético que son4 la velocidad del ob%eto levitado la corriente que pasa por el campo magnético y la posici$n del ob%eto.
4. 5iblio+ra'&a 5ico )arrido 3. (+,,6/. Dise7o de un sistema de control para un levitador magnético que opere en 8uidos con viscosidades y densidades sustancialmente dierentes a la del aire. 9ucaramanga. )ui%arro *olorzano :. (+,-/. Dise7o e implementaci$n de un levitador electro;magnético basado en pid utilizando lab vie<. )uayaquil. =errera 9. (+,-+/. Dise7o modelamiento simulaci$n e implementaci$n de un sistema de levitaci$n magnética con un grado de libertad. >uito.
3ilena 3oreno :. (+,-,/. ontrol lineal y no lineal de un levitador magnético 0studio comparativo. 9arcelona. 3ora ". (+,-?/. *imulaci$n de un levitador magnético para estudiar y dise7ar un controlador @AD en tiempo continuo y discreto. 9arcelona. Ortiz "opez 3. (+,-/. 2n#lisis dise7o y control de un levitador magnético. uernavaca. @anuncio ruz B. (+,,C/. ontrol de un sistema de levitaci$n magnética con compensaci$n en redes neuronales. 3é'ico DB.
