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M´ ultiplos, Divisores e N´ ultiplos, umeros umeros Primos
umero umero inteiro. inteiro. Dizemos Dizemos que um n´ umero inteiro m ∈ Z ( m ≥ a) ´e e Defini¸ c˜ ao 1. Seja a ∈ Z um n´ em em se diz que a e k s˜ ao divisores de m. m´ ultiplo de a se existe k ∈ Z+ tal que m = a ∗ k . Tamb´ Observe Observe que: 1. Todo n´ umero umero a ∈
Z possui
infinitos m´ultiplos ultiplos e finitos divisores.
2. Os n´ umeros umeros 1 e a s˜ao ao sempre divisores (triviais (triviais ) de a. umero inteiro, p ≥ 2. 2 . Dizemos que p ´e um n´ umero primo se seus Defini¸ c˜ ao 2. Seja p ∈ Z um n´ unicos divisores u ´nicos divisores s˜ ao os triviais ( 1 e p).
Exemplo 1.
• 8 ´e multiplo ´ de 2 e 4, pois 8 = 2 ∗ 4, 4, logo 8 n˜ ao pode ser primo.
15 ´e multiplo ´ de 5 e 3, pois 15 15 = 5 ∗ 3, 3, logo 15 ta 15 tamb mb´´em em n˜ ao pode ser primo. • 15 ´ 20 ´e multiplo ´ de 2, 4, 5 e 10, 10, pois 20 20 = 2 ∗ 10 = 4 ∗ 5, 5, logo 20 n˜ ao ´e prim pr imo. o. • 20 ´ 11 ´e primo, pri mo, pois s´ o ´e multiplo ´ dele mesmo, isto ´e, e, n˜ ao possui divisores divis ores al´em em dos d os triviais. trivia is. • 11 ´ ultiplos ( k = 1, 2, 3, ..., ..., 10) 10) de cada n´ umero abaixo: Exer Ex ercc´ıcio ıc io 1. Calcule os 10 primeiros m´ ultiplos de 3: a) M´ ultiplos de 4: b) M´ ultiplos de 5: c) M´ ultiplos de 7: d) M´ ultiplos de 8: e) M´ ultiplos de 9: f ) M´ ultiplos de 11: 11: g) M´ umeros abaixo: Exer Ex ercc´ıcio ıc io 2. Calcule os divisores dos n´
a) Divisores de 3: b) Divisores de 4: c) Divisores de 6: d) Divisores de 9: 10: e) Divisores de 10: 12: f ) Divisores de 12: 13: g) Divisores de 13: 18: h) Divisores de 18: 24: i) Divisores de 24: 1
umeros acima s˜ ao primos? Pergunta 1. Quais dos n´ ao os 10 primeiros n´ umeros primos? Pergunta 2. Quais s˜ umeros primos? Pergunta 3. Existem finitos ou infinitos n´ Para a defini¸c˜ cao a˜o a seguir, lembre que ´e o s´ımbolo ımb olo da interse inte rsec¸ c¸c˜ cao a˜o de conju conjunt ntos os,, ou seja, seja, m ∈ A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An significa que m est´ a em A1, A2, ..., ..., An ao mesmo tempo. umeros a1 , a2 ,...,an ∈ Z e os conjuntos dos m´ ultiplos Ai = { m ∈ Z; m = Defini¸ c˜ ao 3. Sejam os n´ ai ∗ k, k ∈ Z+ }, para cada i = 1, 2,...,n. Ent˜ ao definim definimos os o conjunt onjuntoo M do m´ ultiplos ultiplos em comum entre entre a1 , a2,...,an , mais pre precisamente, cisamente, M = { m ∈ Z; m ∈ A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An }. O m´ e justamente o menor elemento de M. Em m´ ınim ın imo o multiplo ultip ´ lo comum entre entre a1 , a2 ,...,an ´ linguagem simb´ olica, mmc(a1 , a2 ,...,an ) = min M.
Exemplo 2.
• Se a1 = 3 e a2 = 4, vemos que M = { 12, 24, 36, 48,...}, logo mmc(3, 4) = 12. 12.
8. • Se a1 = 4 e a2 = 8, vemos que M = { 8, 16, 24, 32, 48,...}, logo mmc(4, 8) = 8. 24. • Se a1 = 3, a2 = 4 e a3 = 8, vemos que M = { 24, 48, 72...}, logo mmc(3, 4, 8) = 24. 15, vemos que M = { 30, 60, 90,...}, logo mmc(6, 15) = 30. 30. • Se a1 = 6 e a2 = 15, umeros abaixo: Exer Ex ercc´ıcio ıc io 3. Calcule o m.m.c. dos n´
a) mmc(2, 3) = b) mmc(3, 5) = c) mmc(2, 5) = d) mmc(2, 3, 5) = e) mmc(6, 8) = f ) mmc(6, 9) = g) mmc(4, 10) = Defini¸ c˜ ao 4. Sejam a1 , a2 ,...,an ∈ Z e os conjuntos dos divisores Ai = {d ∈ Z+ ; ∃k ∈ Z, onde ai = d ∗ k }, para cada i = 1, 2,...,n. Ent˜ ao definim definimos os o conjunt onjuntoo D do divisor divisores es em comum omum entr entre a1 , a2 ,...,an , mais pre precisamente, cisamente, D = { d ∈ Z+ ; d ∈ A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An }. O m´ lin-aximo divisor divisor comum entre entre a1 , a2 ,...,an ´e justamente o maior elemento de D. Em lin guagem simb´ olica, mdc(a1 , a2 ,...,an ) = max D. umeros a, b ∈ Defini¸ c˜ ao 5. Dois n´
Exemplo 3.
Z
s˜ ao ditos primos entre si se mdc(a, b) = 1.
• Se a1 = 6, a2 = 9 e a3 = 12, 12, vemos que D = { 1, 3}, logo mdc(6, 9, 12) = 3. 3.
1, ou seja, s˜ • Se a1 = 3 e a2 = 4, vemos que D = { 1}, logo mdc(3, 4) = 1, ao primos entre si. 24, vemos que D = { 1, 2, 3, 6}, logo mdc(18, 24) = 6. 6. • Se a1 = 18 e a2 = 24,
• Se a1 = 8 e a2 = 15, 15, vemos que D = { 1}, logo mdc(8, 15) = 1, 1, isto is to ´e, e, s˜ ao primos entre si. 2
umeros a, b ∈ Resultado 1. Dados os n´
Z,
temos que
mmc(a, b) =
a ∗ b mdc(a, b)
Em particular, se mdc(a, b) = 1, ent˜ ao mmc(a, b) = a ∗ b. umeros abaixo: Exer Ex ercc´ıcio ıc io 4. Utilizando o Resultado anterior, calcule o m.m.c. dos n´
a) mmc(3, 5) = b) mmc(4, 7) = c) mmc(4, 9) = d) mmc(9, 10) = e) mmc(8, 11) = f ) mmc(5, 6, 7) =
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