MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DE LA RECHERCHE SCIENTIFQUE ET DE LA TECHNOLOGIE
UNIVERSITE DE MONASTIR
ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE MONASTIR
ELEMENTS DE CALCUL VECTORIEL ET TENSORIEL
Compléments au cours
« Mécanique des Milieux Continus » A. DOGUI Octobre 1998 Révision septembre 2009
On présente dans ce document un résumé relatif à quelques conventions, définitions, opérateurs et théorèmes souvent utilisés en mécanique des milieux continus.
1. Calcul indiciel. a- Notations. - Indice franc: (V1,V2,V3) - Indice muet - convention de sommation:
→
Vi
→
V = Vi e i = V j e j
(i = 1, 2, 3)
3
r
V=
∑
Vi e i r
r r
r
i =1
FiTi = F1T1 + F2T2 + F3T3 - Dérivation partielle: - Symbole de Kronecker:
Ui,j
- Symbole de permutation:
εijk
Tii = T11+T22+T33 = ∂Ui / ∂x j =1 si i=j =0 si i≠ j =1 si (i,j,k) est une permutation paire de (1,2,3) = -1 si (i,j,k) est une permutation impaire de (1,2,3) =0 dans les autres cas.
δij
On démontre sans difficultés que:
δ il
δ im
δ in
εijk εlmn = det δ jl
δ jm
δ jn
δ kl
δ km
δ kn
εijk εimn = δ jm δkn - δ jn δkm
εijk εijn
= 2 δkn
εijk εijk
=6
b- Applications. r
r
( e 1, e 2, e 3) base orthonormée. V = Vi e i r
r
r
r
r
W = Wi e i
r
r
r
- Produit vectoriel:
r
r
r
V . W = ViWi X = V∧ W
- Produit scalaire:
X = Xi e i
r
r
r
→
r
- Produit mixte: - Produit matriciel:
( X , V , W ) = εijk Xi V j Wk Y=AX → Y=AX →
- Déterminant:
εijk det A
- Inversion d’une matrice:
B = A-1
=
Xi = εijk V j Wk ( e i, e j, e k ) = εijk Yi = Aij X j Yij = Aik Xkj r
r
r
εmnp Aim A jn Akp →
det A =
1
B ji =
2detA
1 6
εijk εmnp Aim A jn Akp
εimn ε jpq Amp Anq
2. Tenseurs. En : espace vectoriel euclidien de dimension finie n et dont le dual En* lui est identifié. Toutes les bases utilisées dans la suite sont supposées orthonormées. e i : base orthonormée r
• Produit tensoriel de deux vecteurs. r
r
r
r
Le produit tensoriel des deux vecteurs V et W de En noté V ⊗ W est un opérateur définit par l’une ou l’autre des deux propriétés équivalentes: r
r
r
r
r
- à tout vecteur X , il fait correspondre (linéairement) le vecteur Y = V ( W . X ); r
r
r
r
r
r
r
r
- à tout couple de vecteurs X , Y , il fait correspondre le réel F( X , Y ) = ( V . X )( W . Y ). Le produit tensoriel de deux vecteurs est linéaire par rapport à chacun des facteurs, mais non commutatif.
• Tenseurs du second ordre. Définitions: - Un tenseur d’ordre 2 (T) défini sur En est une somme de produits tensoriels de vecteurs appartenant à En. - Les tenseurs du second ordre définis sur E n forment un espace vectoriel de dimension n2 dont une base, associée à e i , est e i ⊗ e j . Un tenseur T peut donc s’écrire (Tij étant les composantes de T dans cette base): r
r
r
- 2-
T = Tij e i ⊗ e j - Tout tenseur T défini une application linéaire de En sur En: r
r
r
r
Y = T. X → Yi = Tij X j
Y=TX r
r
- Tout tenseur T fait correspondre à un couple ordonné de vecteurs X , Y la forme bilinéaire F: r
r
r
r
F( X , Y ) = X .T. Y = Tij Xi Y j Chacune de ces propriétés peut être considérée comme définition du tenseur T. Tenseurs particuliers: r
r
- Le tenseur unité 1 est tel que 1. X = X . Ses composantes dans toute base orthonormé sont δij (symbole de Kronecker), éléments de la matrice unité. - Le tenseur transposé TT d’un tenseur T est défini par: TT = TTij e i ⊗ e j ; Ttij = T ji r
r
- Un tenseur S est symétrique s’il est identique à son transposé:
S = ST.
- Un tenseur A est antisymétrique s’il est opposé à son transposé:
A = -AT .
r
A tout tenseur antisymétrique A on peut associer un vecteur A dit adjoint de A tel que: r
r
r
A. X = X ∧ A
Aij = εijk Ak
Ai = ½ εijk A jk
- La partie symétrique TS et la partie antisymétrique TA d’un tenseur T sont définies par: TS = ½ (T + TT) TA = ½ (T - TT) ; T = TS + TA ;
• Tenseurs d’ordre supérieur. - Par récurrence, on définit le produit tensoriel de p vecteurs. Un tenseur d’ordre p est alors la somme de plusieurs produits tensoriels de p vecteurs. Les tenseurs d’ordre p définis sur En forment un espace vectoriel de dimension np. Par exemple, si p=3, on peut écrire: A = Aijk e i ⊗ e j ⊗ e k r
r
r
- Par convention, on considérera qu’un vecteur est un tenseur d’ordre 1 et qu’un scalaire est un tenseur d’ordre zéro. - On défini le produit tensoriel de deux tenseurs T et S d’ordre p et q comme le tenseur d’ordre p+q définit comme suit. Si, par exemple, p=2 et q=1; T, S et T⊗S s’écrivent: T = Tij e i ⊗ e j ; S = Sk e k T⊗S = Tij Sk e i ⊗ e j ⊗ e k → r
r
r
r
r
r
• Contraction. - Soit T un tenseur d’ordre p ≥2. La contraction appliquée à T est une opération qui associe à T un tenseur d’ordre p-2. Si par exemple p=3, la contraction associe à T= Tijk e i façon suivante: r
⊗ e j ⊗ e k , r
r
r
le vecteur T défini de la
r
T= Tijk e i ⊗ e j ⊗ e k contraction → T = Tijj e i Ceci revient donc à remplacer le dernier produit tensoriel par un produit scalaire. En particulier l’opération r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
qui au produit tensoriel de 3 vecteurs X ⊗ V ⊗ W fait correspondre le vecteur X ( V . W ) est une contraction. - La contraction opérée sur un tenseur du second ordre, conduit à sa trace: T= Tij e i ⊗ e j contraction → Tij e i . e j = Tij δij = Tii = tr(T) r
r
r
r
- Le tenseur contracté d’un tenseur T d’ordre p et d’un tenseur S d’ordre q est le tenseur C (C = T.S) d’ordre p+q-2, résultat d’une contraction opérée dans le produit tensoriel T⊗S sur les indices p et p+q. Par exemple si p=2 et q=1, le tenseur C sera d’ordre 1(Vecteur) défini par: T = Tij e i ⊗ e j S = Sk e k T⊗S = Tij Sk e i ⊗ e j ⊗ e k → C = Tij Sk e i ( e j . e k ) = Tij S j e i soit Ci = Tij S j r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
La contraction de deux tenseurs d’ordre 2 est un tenseur d’ordre 2: [T.S]ij = Tik S jk La contraction de deux vecteurs (tenseurs d’ordre 1) est le produit scalaire (tenseur d’ordre zéro) de ces deux vecteurs.
- 3-
- Le tenseur doublement contracté d’un tenseur T d’ordre p≥2 et d’un tenseur S d’ordre q≥2 est le tenseur C (C = T:S) d’ordre p+q-4, résultat d’une contraction opérée dans le produit tensoriel T⊗S sur les indices p et p+q d’une part et p-1, p+q-1 d’autre par. Par exemple si p=4 et q=2, le tenseur C sera d’ordre 2 défini par: T = Tijkl e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l S = Smn e m ⊗ e n T⊗S = Tijkl Smn e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ⊗ e m ⊗ e n → soit Cij = Tijkl Slk C = Tijkl Smn e i ⊗ e j ( e l. e n ) ( e k . e m ) = Tijkl Skl e i ⊗ e j r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T:S = Tij Sij = tr (TST)
La double contraction de deux tenseurs d’ordre 2 est un scalaire:
• Changement de base. e i : base orthonormée e ’i: autre base orthonormé e ’i = Qij e j La matrice Q de composantes Qij est la matrice de passage de e i à e ’i. Les deux bases étant orthonormées, cette matrice est orthogonale: Q QT = 1 Qik Q jk = δij r
r
r
r
r
r
r
- Les composantes V’ i dans la base e ’i d’un vecteur V s’obtiennent à partir de celles relatives à la base e i comme suit: V’i = Qij V j r
r
- Les composantes T’ij relatives à la base e ’i d’un tenseur du second ordre T s’obtiennent à partir de celles relatives à la base e i comme suit: T’ij = Qik Q jl Tkl et ainsi de suite ... r
r
• Invariants scalaires d’un tenseur du second ordre. Un invariant est une fonction indépendante de la base choisie. Les invariants X I, XII et XIII définis comme suit sont appelés invariants principaux de X. - XI: Trace de X (notée XI ou tr X)
XI = tr X = X1 + X2 + X3 = Xii
- XII:
XII = ½[tr 2(X) - t r(X2)] = X1 X2 + X2 X3 + X1 X3
- XIII: Déterminant de X (notée XIII ou det X)
det X = X1 X2 X3 =
1 6
εijk εmnp Xim X jn Xkp
3. Opérateurs vectoriels Définitions: xi : coordonnées cartésiennes (r, θ, z): coordonnées cylindriques (r, θ, φ): coordonnées sphériques
ei ( e r, e θ, e z) ( e r, e θ, e φ) r
r
r
r
r
r
r
: vecteurs orthonormés associés : vecteurs orthonormés associés : vecteurs orthonormés associés
r
-
r
Gradient d'une fonction scalaire: grad (f) ou
r
∇f
df =
r
∇f . dM
r
∇f
= f ,i e i r
= f ,r e r + r
= f ,r e r + r
1 r 1 r
f ,θ e θ + f,z e z r
f ,θ e θ + r
r
1
f,φ e φ r
r sin θ r
-
r
Gradient d'une fonction vectorielle: Grad ( V) ou V = Vi,j e i ⊗ e j
r
V
dV =
r
r
⎡ ⎢ Vr,r ⎢ = ⎢ Vθ,r ⎢ ⎢ ⎢⎣ Vz,r
r
Vr,θ Vθ,θ
− Vθ
r
+ Vr
r Vz,θ r
⎤ Vr,z ⎥ ⎥ Vθ,z ⎥ dans ( e r, e θ, e z) ⎥ ⎥ Vz,z ⎥ ⎦ r
- 4-
r
r
r
r
V . dM
=
⎡ ⎢ Vr,r ⎢ ⎢ ⎢Vθ ,r ⎢ ⎢V ⎢⎣ φ ,r
− Vθ
Vr,θ
⎤ ⎥ r 2 sin θ ⎥ Vφ cot gθ ⎥ 1 Vθ ,φ − ⎥ r sinθ r ⎥ Vr Vθ cot gθ ⎥ 1 Vφ ,φ + + ⎥⎦ r sinθ r r Vφ
r
Vθ ,θ
+ Vr
r Vφ ,θ r
Vr,φ
dans ( e r, e θ, e φ) r
r
r
r
-
r
Divergence d'une fonction vectorielle: div( V ) div( V) = Vi,i 1 1 = Vr + Vr,r + Vθ,θ + Vz,z r r 1 V cot gθ 1 2 = Vr,r + Vr + Vθ,θ + Vφ ,φ + θ r r r sinθ r
r
div( V ) = tr ( V )
r
-
Laplacien d'une fonction scalaire: Δ(f) = f ,11 + f ,22 + f ,33 Δ(f) ( rf ,r ), r f θθ = + , 2 + f ,zz r r f ,θθ 2f ,r 1 = f ,rr + + f ,φφ + r r2 r 2 sin 2θ
r
Δ(f) = div( ∇ f)
+
cos θ r 2 sin θ
f ,θ
-
r
r
Rotationnel d'une fonction vectorielle: Rot ( V ) Rot ( V )∧ X = 2 [ V ] . X Rot ( V ) = εijk Vk,j e i 1 1 = [ Vz,θ - Vθ,z] e r + [Vr,z - Vz,r] e θ + [(rVθ),r - Vr,θ)] e z r r Vφ cot gθ Vφ 1 1 1 = [ Vφ ,θ − Vθ ,φ + ] er +[ Vr ,φ − Vφ ,r − ] eθ + r r sinθ r r sinθ r r
r
r
r
r
A
r
r
r
r
r
r
r
1 r
r
[(rVθ),r - Vr,θ)] e φ r
r
-
Divergence d'un tenseur du second ordre: di v (F) di v (F) = Fij,j e i 1 1 1 1 = [Frr,r + Frθ,θ + Frz,z + (Frr-Fθθ)] e r + [Fθr,r + Fθθ,θ + Fθz,z + (Frθ + Fθr)] e θ + r r r r 1 1 [Fzr,r + Fzθ,θ + Fzz,z + Fzr] e z r r 1 1 1 cotgθ = [Frr,r + Frθ,θ + Frφ,φ + (2Frr-Fθθ-Fφφ)+ Frφ] e r + r r r sinθ r r
r
r
r
r
r
[Fθr,r + [Fφr,r +
1 r 1 r
Fθθ,θ + Fφθ,θ +
1 r sinθ
1 r sinθ
-
Laplacien d'une fonction vectorielle : Δ V
-
Propriétés:
Fθφ, φ + Fφφ,φ +
3 r 3 r
Frθ +
cotgθ r
Frφ +2
(Fθθ-Fφφ)] e θ + r
cotgθ r
Fφθ] e φ r
Δ V = di v ( V )
r
r
r
r
r
r
Rot [ grad (f)] = 0
div[ Rot ( V )] = 0 r
r
Rot (f V) = f Rot ( V ) + grad (f) ∧ V
div(f V ) = f.div( V ) + grad (f). V
div[ grad (f)] = Δf
Rot ( Rot ( V)) = grad [div( V)] - Δ V
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
div( V ∧ W ) = W . Rot ( V ) - V . Rot ( W ) r
r
- 5-
r
r
r
r
r
r
2. Quelques théorèmes généraux Toutes les fonctions sont supposées continues.
- Théorème de la divergence.
→ n
On note (D) un domaine de frontière ( ∂D). Soit dv un élément de volume entourant un point M du domaine, et da un élément de surface de (∂D) entourant un point P où la normale à la frontière est n (voir figure).
P (D)
r
Si Fijk (M,t) est continue sur le domaine D, alors:
∫ F D
ijk, k dv
=
M
∫ F ∂ D
da
ijk n k da
dv
∂D
En particulier:
∫ ∫ ∫ gr ad (f)dv = ∫ f nda ∫ Rot (F)dv = ∫ n ∧ Fda ∫ d i v(F)dv = ∫ F.nda ∫ F(M, t).dM = ∫ Rot (F).nda div(F)dv = r
- Théorème d'Ostrogradsky: - Théorème de Green:
D
r
r
∂ D
F.nda r
r
D
∂ D
r
-
r
r
r
D
∂ D
r
-
r
D
∂ D
r
- Théorème de Stokes:
r
r
r
C
r
S
S étant une surface ayant C comme frontière (C est un contour fermé).
- Théorème de l'intégrale nulle:
∫ f(M, t)dv = 0 ∀ d ⊂ D d
- 6-
⇔
f(M,t) = 0
∀M
