Lista de Exercícios – MMC e MDC Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 11 – MMC e MDC – (parte 1 de 1) 1)
Endereço: https://www.outu!e.co"/watch#v$l%&''(P)*+, (a!arito e -esolução nas lti"as lti"as páginas.
E1: Decomponha os números a seguir e os represente como um produto de fatores primos primos (ou um único fator fator primo, caso o número em questão seja primo).
E2: Calcule o MMC dos seguintes números:
E3: Calcule o MDC em cada um dos itens do exercício E2.
exe rcício E2. ! que são primos entre si" E4: ndique os primos entre si no exercício
E5: ! ##C entre dois números $ 72 e o MDC entre os mesmos %ale 12. &a'endo que um dos números %ale 36, quanto %ale o outro"
Página 1 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E6: Com relaão ao número *: a) +uantos di%isores ímpares ele possui" ') +uais são esses di%isores di%isores ímpares" ímpares" E7: Com relaão ao número - (considere apenas di%isores ou múltiplos naturais):
a) +uantos di%isores ele possui" ') +uantos de seus di%isores são primos" c) +uantos de seus di%isores são quadrados perfeitos" d) +uantos de seus di%isores são cu'os perfeitos" e) +uantos de seus di%isores são pares" f) +uantos de seus di%isores são ímpares" g) +uantos de seus di%isores são nulos" h) +uantos de seus di%isores são múltiplos de " i) +uantos de seus di%isores são múltiplos de -" j) +uantos de seus di%isores são múltiplos de " /) +uantos de seus di%isores são tam'$m di%isores de " l) +uantos de seus di%isores são tam'$m di%isores de 0" m) +uantos são di%isores de 12" n) +uantos de seus di%isores são múltiplos de 0" 3ustifique. E8: 4ães de ham'úrguer são %endidos em em'alagens de * unidades. 35 os ham'úrgueres, em em'alagens de 1 unidades. unidades. &e eu não quero quero que falte pães e nem ham'úrgueres, qual a quantidade mínima de em'alagens eu comprarei" E9: 6m marceneiro deseja cortar uma placa retangular de madeira de medidas 7- cm por 8- cm em quadrados iguais de maior lado possí%el, de forma que não haja desperdício de sperdício (so'ras) de madeira. a) +ual de%e ser o lado de cada quadrado o'tido" ') +uantos quadrados foram o'tidos" E10: 3os$ e #aria possuem possuem 7 'olinhas 'rancas, 17 a9uis e 8 %ermelhas %ermelhas e precisam criar /its idnticos usando o maior número de 'olas possí%el sem que so're nenhuma 'ola. a) quantos /its iguais podem fa9er" ') +uantas 'olas de cada cor ha%er5 em cada /it" Página 2 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E11: Certo fen;meno raro ocorre de 1 em 1 anos. !utro fen;meno, mais raro ainda, ocorre de em anos. &e em 1- os dois e%entos ocorreram juntos, em qual ano eles irão ocorrer juntos no%amente" E12: &e o número
8 ⋅ 6
tem 8 di%isores naturais, qual o %alor de n?
E13 (UERJ): ! ano 'issexto possui -- dias e sempre $ múltiplo de *. ! ano de 1 foi o último 'issexto. 4or$m, h5 casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de *, não são 'issextos: são aqueles que tam'$m são múltiplos de 1 e não são múltiplos de *. ! ano de 18 foi o último caso especial. < soma dos algarismos do pr=ximo ano que ser5 um caso especial $: a) ') * c) 7 d) E14: >em?se um certo número de moedas. Contando?se de 1 em 1 ou de 12 em 12, sempre so'ram 0 moedas. ! número de moedas pode estar entre: a) 1 e 11 ') 11 e 1 c) 1 e 1 d) 1 e 1* e) 1* e 17 E15 (FGV): 6m 5l'um de figurinhas possui 7 p5ginas, cada uma com 7 figurinhas, distri'uídas em 7 linhas e 7 colunas.
Depois que o 5l'um for completado com todas as figurinhas, a última p5gina que se iniciar5 com uma figurinha especial $ a de número: a) 0
') 2 c) d) e) *
Página 3 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E16 (Desafi): ! MMC de dois números a e ! %ale 60 e o MDC de am'os %ale ". Determine todos os pares de números que satisfa9em a condião:
ax bx 7
Página 4 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
Ba'arito e esoluão @ota: enha em mente que na pro%a uma explicaão tão detalhada não $ necess5ria e que algumas das questes (que foram pensadas originalmente para serem reali9adas por tentati%a) foram feitas pelo modo alg$'rico, mais complexo. E1:
Página 5 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E2:
Página 6 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E3:
Easta FpintarmosG os %alores na decomposião que foram capa9es de di%idir >!D!& os números de uma determinada linha.
E4: !s primos entre si foram os itens !,e f e #. &ão todos os números que possuem #DC H 1 (@ote que al$m de m5ximo, o 1 $ o único di%isor natural entre eles). Página de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E5: &ejam os números a e '. Easta lem'rarmos que:
, ⋅, ⋅
E6:
Ia9endo a decomposião do *, temos:
!s possí%eis di%isores de * são com'inaes das 'ases 2 e 3 com os seguintes possí%eis expoentes:
a) 4ara que haja di%isores ímpares, todos os fatores de 'ase 2 são descartados da contagem. estam então os fatores de 'ase 3 ( e ). >emos então di%isores ímpares. ')
3 1 3 3 e
. Jogo, 1 e 3 são os di%isores ímpares de 24.
Página ! de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E7: a) $%an&s 'iises e*e +ss%i?
Kamos comear fatorando o -:
⋅ ⋅
@ote que a fatoraão resultou em (>rs 'ases distintas, 2, 3 e 5). >odos os di%isores podem ser escritos como um produto de todas as 'ases, com os expoentes %ariando de 0 at$ n (em que n $ o maior expoente possí%el para cada 'ase). 4or exemplo, como o m5ximo expoente do 2 %ale 4, então todos os di%isores podem ser escritos com uma 'ase 2 cujos expoentes %ão de de 0 at$ 4 (0, 1, 2, 3, 4 ). Como o m5ximo expoente do 3 $ o 2, então os %alores possí%eis para o expoente do 3 são 0, 1 e 2 e para o 5, cujo m5ximo expoente $ 2, os expoentes possí%eis são 0, 1, 2. Lsquematicamente:
@ote que n=s temos 5 e"+en&es para o , 3 e"+en&es para o e 3 e"+en&es para o 7. !u seja, teremos um total de 7 possi'ilidades para a 'ase , para a 'ase e para a 'ase 7, num total de:
5 ⋅3⋅3 5 !"#"$%&'$ (
Página " de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
!) $%an&s 'e se%s 'iises s- +i.s?
⋅ ⋅
Como %imos no i&e. a, a fatoraão de 3600 fornece como resultado. 4ara entendermos o caso dos primos, %amos pegar um pro'lema simples: &er5 que um número como $ um di%isor primo" !'%iamente, não, pois ou seja, possui mais de um fator primo. L ser5 que $ um di%isor primo" !'%iamente não, pois ele apresenta, no%amente, mais de um fator primo. L " esulta em 1, que sa'emos que não $ primo.
⋅ ⋅
Do o'ser%ado, temos então trs condies: C1) @ão podemos ter produtos de primosM C) @ão podemos ter expoentes maiores que 1 para as 'asesM C) @ão podemos ter expoentes iguais a 9ero. &e não podemos ter produtos, as 'ases de%em ser consideradas separadamente (2, 3 e 5). L se não podem ter expoentes maiores que 1 e nem iguais a 9ero, so'ram apenas os expoentes iguais a 1. Jogo, 2, 3 e 5 são os di%isores primos (total 3). Dica: os di%isores primos de um número sempre serão as 'ases o'tidas da decomposião, cada uma delas com o expoente 1 (que não precisa ser representado). /) $%an&s 'e se%s 'iises s- %a'a's +efei&s?
4ara ser um quadrado perfeito, todas as 'ases de%em ter expoentes múltiplos de (não se esquea: 9ero tam'$m $ múltiplo de N) Como a fatoraão de - resultou em são:
!u seja,
⋅ ⋅
os possí%eis expoentes
3 ⋅)⋅) 1) !"#"$%&'$ *+' $% *+a!&a!%$ -'&.'"/%$ Página 10 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
') $%an&s 'e se%s 'iises s- /%!s +efei&s?
aciocínio similar ao do i&e. !: para ser um cu'o perfeito, de%emos ter todos os expoentes múltiplos de 3 (não se esquea do 9ero).
!u seja,
) ⋅1⋅1 ) !"#"$%&'$ *+' $% 0+b%$ -'&.'"/%$(
e) $%an&s 'e se%s 'iises s- +aes? 4ara serem pares, os di%isores precisam ter, pelo menos, um fator 2. !'%iamente, não podemos ter , pois este resultado %ale 1. sso significa que para os expoentes de 2 %alendo 1, 2, 3 e 4 e as demais 'ases assumindo quaisquer %alores, teremos números pares.
!u seja,
⋅3⋅3 36 !"#"$%&'$ -a&'$
f) $%an&s 'e se%s 'iises s- .+aes? &e %oc fe9 o i&e. a (todos os di%isores) e o i&e. e (di%isores pares) 'asta fa9er a su'traão 45 36 9 di%isores que o'teremos a resposta (afinal, se tirarmos os di%isores pares de todos os di%isores, os que so'ram são o'%iamente ímpares). !utra forma de se pensar: os di%isores ímpares UEM nenhum fator 2 (o que $ equi%alente a di9er que o m5ximo expoente do 2 $ o 9ero ou, se preferir, podemos simplesmente desconsiderar todas as 'ases iguais a 2). !s demais expoentes permanecem inalterados. Iica então:
!u seja,
1 ⋅3⋅3 !"#"$%&'$ 2-a&'$ Página 11 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
) $%an&s 'e se%s 'iises s- n%*s?
Di%isor nulo (de %alor 9ero) não $ definido para os naturais. ! que existe $ múltiplo nulo (o 9ero). ! 9ero $ o múltiplo de todos os naturais. #) $%an&s 'e se%s 'iises s- .*&i+*s 'e 3?
3
aciocínio similar ao do i&e. e: neste caso, para que um número seja múltiplo de , ele de%e ter ao menos um fator . 35 os demais %alores são indiferentes.
!u seja,
5 ⋅)⋅3 34 !"#"$%&'$ /"-%$ !' 3
i) $%an&s 'e se%s 'iises s- .*&i+*s 'e 6?
Kamos fatorar o -: Nota"os /ue ⋅ o /ue significa /ue se tiver"os 0 pelo "enos u" fator e pelo "enos fator o n"ero resultante será "ltiplo de '.
!u seja,
⋅)⋅3 ) /"-%$ !' 6 Página 12 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
;) $%an&s 'e se%s 'iises s- .*&i+*s 'e 20?
aciocínio parecido com o do item i. Kamos fatorar o : Nota"os /ue ⋅ o /ue significa /ue se tiver"os 0 pelo "enos u" fator e pelo "enos fator o n"ero resultante será "ltiplo de %1.
!u seja,
3 ⋅3⋅) 18 /"-%$ !' )4
Página 13 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
<) $%an&s 'e se%s 'iises s- &a.!=. 'iises 'e 20?
⋅
35 %imos, no i&e. ; que a decomposião em fatores primos de 20 fornece . sso significa que, para ser um di%isor de 20 de%emos ter (nesta an5lise inicial) uma 'ase 2 (de, no m5ximo, expoente 2) e uma 'ase 5 (de, no m5ximo, expoente 1). @ote que não h5 nenhuma 'ase 3 na decomposião do 20, logo, a 'ase 3 de%e ser desconsiderada. emos que o'ser%ar o 3600 e %er se essas 'ases existem (2 e 5) e %er se h5 limitaes para os m5ximos considerados (por exemplo: %imos que um múltiplo de 20 pode ter em relaão ao 2, no m5ximo ). @o entanto, %amos supor que a decomposião do 3600 fornecesse, no m5ximo, . @esse caso, o'%iamente o nosso m5ximo expoente do 2 (para um di%isor de 20) seria redu9ido para . L se não hou%esse fator 5 na decomposião de 3600" !'%iamente, desconsideraríamos todos os fatores 5. Como a decomposião de 3600 fornece (possui todas as 'ases necess5rias que são 2 e 5 e admite os m5ximos iniciais de e ) então temos:
!u seja,
3 ⋅) 6 !"#"$%&'$ !' )4
Página 14 de 22
⋅ ⋅
Lista de Exercícios – MMC e MDC
*) $%an&s 'e se%s 'iises s- &a.!=. 'iises 'e 70?
aciocínio parecido com o i&e. < . @ote que não h5 fatores iguais a 7 na decomposião de 3600, por isso %amos desconsider5?lo. @a decomposião de 0, a 'ase 2 assume, no m5ximo o %alor de e a 'ase 7, no m5ximo . Lstas duas 'ases (2 e 5) estão presentes tam'$m na decomposião de 3600 que admite os m5ximos expoentes considerados ( e ). Jogo, podemos escre%er:
!u seja,
) ⋅) !"#"$%&'$ !' 74
.) $%an&s s- 'iises 'e 128?
aciocínio parecido com o i&e. < @ote que, na decomposião de 128 o expoente m5ximo do 2 %ale 7. @a decomposião de 3600, o expoente m5ximo de 2 %ale 4 (afinal, temos que ⋅ ⋅ ). sso significa que o m5ximo expoente de 2 a ser considerado ser5 o 4. Como 128 não possui outras 'ases al$m de 2, consideraremos apenas a 'ase 2. Jogo, podemos escre%er:
!u seja,
5 5 !"#"$%&'$ !' 1)8
Página 15 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
n) $%an&s 'e se%s 'iises s- .*&i+*s 'e 7? J%s&ifi%e>
@ote que 7 $ um número primo (desnecess5rio então fa9er a decomposião em fatores primos). 4ara termos múltiplos de 7 em 3600 temos que, o'rigatoriamente, ter (pelo menos) um fator na decomposião de 3600, mas não $ o que ocorre, pois (temos apenas as 'ases , e 7, não h5 uma 'ase 0).
⋅ ⋅
E8: +ueremos a quantidade mínima de em'alagens de forma que tanto pães quanto ham'úrgueres possam ser ser%idos nas mesmas quantidades. Lsse resultado $ fornecido pelo ##C (atente para o fato: quantidades #O@#<& de pacotes).
Jogo, temos:
Página 16 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E9: &e queremos que o lado seja o #<! possí%el, estamos lidando com um caso cl5ssico de #DC.
a) Jogo, cada quadrado ter5 uma medida de x cm. ') Prea da placa: )56 ⋅ 6 )5769: . 35 a 5rea de um quadrado $ 3) ⋅ 3) 14) 9: . Di%idindo?se a 5rea maior pela menor, o'temos: portanto teremos * )576; 14) ), quadrados. 6ma outra forma de se pensar: ; < e =; > Jogo, temos 2 x H * quadrados.
E10: @o%amente: se os /its precisam usar a #<! quantidade de 'olas de cada possí%el, temos um pro'lema de #DC.
Lntão teremos 7 /its e em cada /it teremos: 7: 7 H 7 'olinhas 'rancas, 17: 7 H 'olinhas a9uis e 8: 7 H 12 'olinhas %ermelhas.
Página 1 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E11: Ien;menos que ocorrem hoje, possuem períodos di%ersos e ocorrerão no%amente juntos (ou pr=ximos) em uma data futura são casos cl5ssicos de pro'lemas de ##C.
Jogo, o fen;meno ocorrer5 no%amente em 8- anos e, se ocorreram em 1-, ocorrerão no%amente no ano de 1- Q 8- H 11
8 )> 6 )⋅ 3
8)>? ⋅ ⋅6)⋅3 ))>?>?@ ⋅ ) ⋅ 3⋅ 3 A > a ) ) ) ) B ⋅ 9C 33EE ) 1 ) 1 4 F 3 ⋅ 3 4 F 4 3E3E 334G3 3 FF 3E3E 3 )7F34 F 3EE 34G3 F 3E )7 E12: Jem'rando que
, e que
, temos:
H
)> 31 1 D 1
&e %oc entendeu 'em os exemplos at$ agora feitos, sa'e que, para cada fator do tipo teremos ('Q1) di%isores. 4or exemplo: fornece ( ) di%isores ( , , e ). Consequentemente, se temos, na decomposião em primos, os fatores , então a quantidade de di%isores $ de . Desse raciocínio, temos que a quantidade de di%isores (8) pode ser encontrada da seguinte forma:
Página 1! de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E13: @AERABV #uito f5cil, pelo detalhe do número em questão ser múltiplo de 1 (ou seja, termina em ). Depois de 18 temos (que d5 pra di%idir por *) logo depois 1 (que j5 $ a resposta, pois 1 não d5 pra di%idir por *). Jogo, Q 1 Q Q que seria a alternati%a <.
E14: @AERABV &e sempre so'ram 0 moedas, temos então que o número em questão (menos 0) $ ao mesmo tempo múltiplo de 1 e de 12. Kamos calcular o mmc entre 1 e 12:
36 7 3
Jogo, ao somarmos 0 ( ) encontraremos o primeiro número natural que satisfa9 a condião do pro'lema (%erifique). L isso %ai ocorrer de - em -. Jogo, ao reali9armos * Q - (que resulta em 08) encontramos o segundo número que satisfa9 as condies do pro'lema. Iinalmente, ao somarmos no%amente - (08 Q - H 117) encontraremos um %alor que agora est5 entre as alternati%as (alternati%a E).
Página 1" de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
E15: @AERABV E &a: e"e//i = !e. si.+*es e e*a&ia.en&e +i' 'e se es*e + &en&a&ia (= a +i.eia s*%-) en&an&, a+esen&ae.s %.a se%n'a s*%-, .ais a*=!i/a e /.+*e"a> 4odemos resol%er o pro'lema por tentati%a, mas com um detalhe: Cada número de cada p5gina inicial $ um múltiplo de 7 acrescido de 1 ( a primeira $ , a segunda $ ) e, de modo geral, todas as primeiras p5ginas podem ser o'tidas pela expressão .
4 ⋅ )5 1 1 H⋅
1⋅ )5 1 )6
H G ⋅
+ueremos que essa expressão seja um múltiplo de 0. 6sando a expressão anterior e testando as alternati%as (de tr5s para a frente, pois se testarmos do menor para o maior seremos o'rigados a testar todas as alternati%as).
3⋅33⋅ )5)5 11 8518)6
(não $ múltiplo de 0) ($ a respostaN)
&oluão : se a questão fosse dissertati%a, teríamos que pensar em outra soluão. <í %ai ela: 35 sa'emos que os primeiros números de cada p5gina podem ser o'tidos pela expressão
H G⋅
! pro'lema $ encontrar o primeiro múltiplo de 0 que ocupa o primeiro lugar na p5gina. 6ma %e9 encontrado, o ciclo se repetir5 (no%o múltiplo de 0 na primeira p5gina) a cada 7 x 0 H 107 p5ginas (mmc entre 7 e 0). Como j5 conhecemos as p5ginas 1 e , %amos testar as p5ginas de em diante. 4ara 4ara 4ara 4ara
EE 3;; G⋅ G ⋅ EE 5;6; GG ⋅⋅ IJKLMJN OP Q Página 20 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
Lncontramos o primeiro múltiplo de 0 que ocupa a primeira p5gina (1-). &a'emos que o maior %alor num$rico $ 207. Jogo, teremos no m5ximo (207R107 H 7) 7 sequncias de números múltiplos considerando at$ o último número da última p5gina (o que $ mais do que o limite necess5rio, que %ai at$ o primeiro número da última p5gina). Jogo, como estamos tra'alhando com números naturais, de%emos considerar at$ a * sequncia. Disso, temos:
1)6 ⋅ 175 8)6
H G ⋅
Jem'rando?se que este número (assim como todos os primeiros números de cada p5gina) pode ser o'tido pela expressão , então temos:
RR GG 1⋅)5 1 8)6 F 1⋅)5 8)6G1 F RR GG 11 ⋅)5 8)5 8)5F F )5 ERG331 1 33FF E 3 SST U,V IIW SXT U,V IOW Y IOW (
E16: 4ara facilitar a notaão e a compreensão, %amos adotar e . !u seja, .
&a'emos que:
IIWU ⋅ IOWV UV F IOW IIWUV
4elo enunciado,
IOW IOW
&a'emos tam'$m que ../ 60. Kamos su'stituir nas duas f=rmulas acima:
:D9 [ \]^_ ` 64 Z :D9 :D9 7 [\]^_ `
Página 21 de 22
Lista de Exercícios – MMC e MDC
7 64 64 fgh f ⋅ fBi iB
&u'stituindo a Lquaão na Lquaão , temos:
Di%idir $ multiplicar pelo in%erso.
de
Ia9endo a mesma simplificaão com o
iB if 7
Bgh if de o'temos
c de
:
.
Claro que não d5 pra resol%er uma equaão com duas inc=gnitas, mas note os seguintes fatos: 1) a e ! são naturais não nulos (pois não se fala de ##C e #DC se os números en%ol%idos não forem naturais e diferentes de 9ero). ) !s resultados
if iB BjCk jCkf e
são naturais (pois estes resultados são
equi%alentes, respecti%amente a
e
e a di%isão pelo #DC (%eja
'em: m5ximo DBVBR comum) s= pode fornecer números naturais. ) < soma das duas parcelas %ale 0. Jogo, as parcelas podem assumir, inicialmente, os %alores: 1, , , *, 7 e e tanto a como ! são di%isores de -. L quais números, di%idindo o -, fornecem os resultados 1, , , *, 7 e -" especti%amente -, , , 17, 1 e 1.
ii i 7 i> i 7 i il 7 Jogo, os trs pares são: 60 e 10 , 30 e 12 e 20 e 15. Página 22 de 22
