Exercícios resolvidos de mdc e mmc.

Exercícios Resolvidos

Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

M.M.C. e M.D.C. Contato: Contato:

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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 25/09/2016 - Atualizado em 29/03/2018

Exemplo 1: Qual o menor número inteiro positivo cujo triplo é divisível por 9, 11, 14?

determine então r e s ∈ Z. Solução: 1 05 Sabendo que o mdc (420 , 105 ) = 105 então pelo Teorema de Bezout:

Solução:

O menor numero  divisível por 9, 11 + 420 105 r + 42 0 s = 105 e 14 é o menor múltiplo comum desses valores (M.M.C.) que no caso é 462, asdividindo ambos os membros da idensim a solução será 154 (462 dividido por tidade acima por 105 obtemos uma sim3). plificação. + 4 s = 1 1r + Exempl Exemplo o 2: Qual Qual o menor menor numer numero o natural não nulo que se deve multiplicar cuja cuja soluç solução ão se verific verifica a facilm facilment ente e por 4500 para se obter um numero dipara r = 1 e s = 0 . visível por 2520?

Solução: Exemplo 4: Determinar dois inteiros positivos  e b tais tais que b = 4032 e mmc ( , b) = 336 .

Queremos um número n tal que: 2520 | 4500 n

Solução:

Para descobri-lo tomamos o m.m.c de 4500 e 2520, que é 63000, e igualamos a 4500 n.

Uma propr propried iedade ade conhec conhecida ida é a de que:

63000 = 4500 n ⇒ n = 14

Como 14 ∈ N (restrição do enunciado) então 14 é a solução.

 · b = mmc mm c( , b) · mdc ( , b)

Exemplo 3: Pelo Teorema de Bezout sabe-se que + 420 s = mdc md c( 105 , 420 ) 105 r +

como como por por hipó hipóte tese se b = 4032 e mmc ( , b) = 336 então 4032 = 336 · mdc ( , b)

⇒ mdc md c( · b) = 12

1



Se mdc ( · b ) = 12 então podemos podemos Exemplo 6: Ao proceder-se a divisão afirmar que  = 12 c e b = 12 d para al- de um certo numero n por 12 ou por 15 gum c e d naturais. ou por 27, obtêmobtêm-se se sempre sempre o mesmo mesmo resto 4 e quocientes maiores que zero. Como mmc (12 c, 12d ) = 12 cd e Deter Determin mine e o menor menor valor valor positi positivo vo posposmmc (12 c, 12 d ) = mmc (, b) então: sível para n . Solução:

= 336 12 cd = ⇒ cd = = 28

Se a divisão de n por 12, 15 e 27 sempre resulta em resto igual a 4, então n − 4 sendo assim os possíveis valores para deve ser divisível por 12, 15 e 27. c e d são: Leva Levand ndo o tamb também ém em cont conta a que que n deve ser o menor valor divisível por 12, a) c = 7 e d = 4 15 e 27 então vale a igualdade. = 7 e c = 4 b) d = = 14 c) c = 2 e d = = 2 e c = 14 d) d =

n − 4 = mmc (12, 15 , 27 ) ⇒ n − 4 = 540

Se usarmos a alternativa  ou b então respectivamente respectivamente teremos: teremos:

⇒ n = 544

 = 12 · 7 = 54 e b = 12 · 4 = 48

Ou seja, o menor valor possível para n é 544.

ou  = 12 · 4 = 48 e b = 12 · 7 = 54

o que satisfaz o problema.

Exemplo Exemplo 7: Seja A = 2 4 · 32 · 54 e B = 2 · 33 · 51 · 72 , determinar o mmc de A e B. 3

m dc ( − 120 , 68 ). Exemplo 5: Calcule mdc Solução: Solução: mdc ( − 120 , 68) = mdc md c( 120 , 68 ).

Como 120 = 22 · 3 5 e 68 = 22 · 1 7 conjunto de divisores de cada um será:

Os fatores primos comuns a decomposição de A e B são os números 2, 3 e 5. Tomando Tomando então o maior expoente desses o valores concluí-se que: mmc(A, B) = 2 4 · 33 · 54 · 72

D120 = {1 { 1, 2, 3, 5, 120} 120 } e D68 = {1 { 1, 2, 17 , 68} 68 }.

Exemplo 8: Sejam A = 32 · 53 · 11 4 e B = 23 · 33 · 51 · 72 , determinar o mdc de A e B.

assim mdc = (120 , 68 ) = m m {D120 ∩ D68 } = m {1, 2} ⇒ mdc md c(120 , 68 ) = 2 .

Solução:

2



Neste caso, tomamos os valores coExemplo Exemplo 11: O máximo divisor comuns a decomposição de A e B com os mum mum de dois dois núme númerros é 20. 20. Para ara se menores expoentes. expoentes. chegar chegar a esse esse resul resultad tado o pelo pelo proce processo sso das divisões divisões sucessiv sucessivas, as, os quociente quocientes s mdc(A, B) = 3 2 · 51 encontrados foram, pela ordem, 2, 1, 3 ⇒ mdc(A, B) = 45 e 2. Encontre os dois números. Soluçã Solução o (Reti (Retirad rada a do PROFM PROFMA AT Exemplo 9: Sejam A = 23 · 3  · 5 y e 2014.1): B = 10 4 · 38 . Se mdc(A,B mdc(A,B)) = 360, 360, então então quanto vale  + y ? Utilizando o processo das divisões sucessivas, para os inteiros positivos , b, Solução: obtém-se:

Sabe-se que A = 23 · 3  · 5 y B = ( 2 · 5) 4 · 38 Note Note que que da deco decomp mpos osiç ição ão em fafatores primos de A e B os números primos 2, 3 e 5 se repetem. Sendo assim, podemos afirmar que:



 = b · 1 + r ; 0 < r < b



b = r · · 5 + r 1 ; 0 < r 1 < r



r = r 1 · 3 + r 2 ; 0 < r 2 < r 1



r 1 = r 2 · 3 + r 3 ; 0 < r 3 < r 2



r 2 = r 3 · 1 + r 4 ; 0 < r 4 < r 3



r 3 = r 4 · 3

mdc(A, B) = 23 · 3 · 5b Portanto, r 4 = mdc (, b) e por hipótese r 4 = 20 o que implica em r 3 = 60.

Como mdc(A, B) = 360 então 3



360 = 2 · 3 · 5

Subs Substi tittuind uindo o ess esses valo valorres nas nas equações equações anterior anteriores es encontra encontra-se -se  = 180 e b = 500 .

b

⇒ 45 = 3  · 5b

Onde por inspeção chegamos a:  = 2 Exemplo 12: Prove que mdc(n, 2n + e b = 1 que serão os valores de  e y re- 1) = 1, qualquer que seja o inteiro n. = 3 . spectivamente. Logo  + y = Solução: Usando o método de divisões sucessiExemplo Exemplo 10: O máximo divisor comum de dois números é 48 e o maior de- vas les é 384. Encontre o outro número. mdc(n, 2 n + 1 ) = mdc(n, 1) = 1. Solução:

Como 384 é divisível por 48 então 48 é a resposta.

Exemplo Exemplo 13: Sejam  e b números inteiros tais que mdc md c(,  + b) = 1 . Prove

3



que mdc m dc ( , b) = 1 . O reciproco desse resultado também é verdadeiro. Enuncie-o e demonstre-o.

a) 234 e 456

Para a primei primeira ra parte, parte, tome tome Sugestão: Para um divisor de c de  e b e mostre que ele também é divisor de  e  + b .

c) 200 e 480

b) 456 e 780

Solução de A:

Solução:

A decomposição de 234 e 456 é:

Se mdc (,  + b ) = 1 , então pelo teorema de bezout existem dois inteiros  e y , tais que:

234 = 2 1 · 32 · 13 456 = 2 3 · 31 · 19

Note Note que que na deco decomp mpos osiç ição ão de amambos existe em comum o numero 2 e 3. Fazendo azendo o produto produto desses valores valores,, elevados a menor potencia dada, determinamos o mdc.

( )  + ( + b ) y = = 1 ⇒  + y + by = 1 ⇒  (  + y ) + by = = 1

mdc ( 234 , 456 ) = 2 1 · 31

⇒ mdc md c( , b) = 1

mdc ( 234 , 456 ) = 6 Solução de B:

Por outro lado, se mdc (, b) = 1, en = 1 . tão existe um  e y tais que    + by = Fazendo  = y + z , teremos

456 = 2 3 · 3 · 19

( y + z ) + by = 1 ⇒ (  + b ) y + z = 1 ⇒ mdc md c (, (  + b )) = 1 .

780 = 2 2 · 3 · 5 · 13

⇒ mdc md c( 456 , 780 ) = 2 2 · 3 = 12

Como queríamos demonstrar. demonstrar.

Solução de C: 200 = 2 3 · 52

Exem Exempl plo o 14 14:: Ache o máximo divi diviso sorr comu comum m dos dos segu seguin inte tes s par pares de númer números os atravé através s da decomp decompos osiçã ição o desses números em fatores primos:

480 = 2 5 · 3 · 5

⇒ mdc md c( 200 , 480 ) = 2 3 · 5 = 40

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