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Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo.
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Tabla de contenido INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 4 LA INTEGRAL ......................................................................................................................................................... 5 Antiderivada ........................................................................................................................................................... 5 Integral Indefinida ............................................................................................................................................... 6 Ecuaciones Diferenciales ..................................................................................................................................8 Ecuaciones Diferenciales Separables .......................................................................................................... 8 Integración por Sustitución .......................................................................................................................... 17 Regla de la Potencia para la Integración ................................................................................................ 19 Integrales que Involucran Funciones Exponenciales ....................................................................... 28 Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas.......................................................................... 37 INTEGRALES DEFINIDAS............................................................................................................................... 58 ÁREA BAJO LA CURVA ..................................................................................................................................... 65 ÁREA ENTRE CURVAS ..................................................................................................................................... 70 INTEGRACIÓN POR PARTES ........................................................................................................................ 41 INTEGRACIÓN POR TABULACIÓN ............................................................................................................ 46 FRACCIONES PARCIALES .............................................................................................................................. 52 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA ............................................................................................................................................................ 75 Valor promedio................................................................................................................................................... 75 Ingreso Total ........................................................................................................................................................ 81 Valor Presente de un flujo continuo de ingreso .................................................................................. 82 Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso ...................................................................................... 82 Superávit de Consumidor .............................................................................................................................. 87 Superávit del Productor ................................................................................................................................. 90 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................. 100 Web-grafía ......................................................................................................................................................... 101
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El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino). La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad. El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante más sencilla de los y fortalecer el desarrollo de problemas de explicación aplicación orientados hacia su conceptos perfil profesional. El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.
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A través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información de costo marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar las funciones de ingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre el costo marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacional con base en información acerca de la propensión marginal al consumo.
La integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de una función, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de . Por ejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función srcinal podría ser f(x)=x 2, pero también podría ser f(x)=x 2 + 1 ó f(x)=x 2 2 en general toda antiderivada de la función f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x2+ c donde c es un constante
–
Sea G una antiderivada de una función f. Entonces toda antiderivada de f debe tener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constante
Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
si si
´´ == 342 2 2´==2521012= = 2 10 ´ = = (−) ´´ == 3 = = 4√ 3 ´´==√ == 1 + ´´ == √1 1 = = − 11= ´= /+3 3/==21−/ 3 si
es
es
es
es
si si
si si
si
si
si
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El símbolo ∫
- El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es el límite de una sumaindica que la operación de integración debe realizarse sobre cierta función f. Así
∫
f(x) dx = F(x) + C
Indica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C, donde F´(x) = f(x). La función f por integrar es el integrando y C es la constante de integración. La expresión recuerda que la operación se efectúa respecto a x. Si la variable independiente es t f(t) dt.
Regla
, se escribe ∫
Expresión
De una ∫ k dx = kx + c donde es una constante de integración Constante Ejemplo: ∫ 2 dx = 2x + c
+
n n≠1 De la ∫ x dx = Potencia Ejemplo: ∫ x3dx =
De múltiplo un ∫k f(x) dx = k ∫ f(x) dx constante Ejemplo: ∫ 2x2dx = 2∫ x2dx = 2 [
2x 3
] = 3 +c
∫[f(x) ± g(x)] dx =∫f(x) dx ± ∫g(x) dx De la suma
Exponencial Logarítmica
3
∫(3x2 + 4x – 1)dx = ∫3x2 dx + ∫4x dx – ∫1 dx =3x3 + =x3 + 2x2 – x + c
= 1 = ||
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4x 2 2
x+c
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Calcule las integrales y verifique sus respuestas derivando
225
9 3 − 31 5 4 3 1 √2 √ 1 16
8 1 5 6 2√
15
35 2√ 2 4 6 1 3√√ 3 √ √ 3√ 10 1 √ 25 12 2 √ ´ = 3 4 1 = 13/2 ´´ == 4 123= 15= 19/2 ´´ == 2 262= 10= 1 4 3 = 45 ´ = 2 = 8 ´´ == 5 263 53= 140= 8 ´´ == 86 3 1 = 10 6 ´ = 10 2 = 7 ´ = √ 4 = 10 ´= 1 ;1 = 3
En los siguientes problemas encontrar la función srcinal dada la derivada y las condiciones iniciales 1. 3. 5. 7. 9.
11. 12.
y
2.
y
4.
y
y
y
y
y
y
6.
y
8.
y
10.
y
13.
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y
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Es una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ; y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama . Se llama de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación. Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son Ecuación
= 2 4 3 = 0 = = 4
Tipo
Orden
Ordinaria
Primer
Ordinaria Segundo
Parcial
Primer
Parcial
Tercer
En esta unidad nos dedicaremos solo a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
= , =
Si se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: Se dice que es separable si se puede expresar:
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,
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, donde representa el producto de dos funciones, una depende de la variable y la otra de la variables . En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial:
= = = ∫= = ∫ = = = √ = 0 ∫ ==∫ == / = = = = ∫ ∫ = = + = = ∫ = ∫
Resuelva cada ecuación diferencial 1.
Separamos variables: Integramos: Resolviendo: Despejando: Es decir: 2.
Despejamos la ecuación: Separando variable: Integrando: Resolviendo: Despejando:
3.
Separando variables: Integrando:
Resolviendo: Despejando:
4.
Separando variables: Integrando:
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== = = = √= √=√√ = √ = √ = − − = = 12 = 32 2 = 23 = 3 = 3 Resolviendo: Despejando:
Por igualación: Por tanto
5.
Por propiedad de los radicales , despejando
, como
, integrando
, dado que:
, despejando
, elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad
´=∫´=1 ;1 =
Determine Sabemos que
si
, por tanto
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= ´ = 1 1 =
, aplicando la propiedad distributiva
, integrando, hallamos la solución general , como
1 =
, remplazamos
, despejando , es decir
==1 0l n1 1 = 1 = = 1
, sustituyendo en la solución general
Resolver cada ecuación diferencial
= = 3 = 1 = 1 Demuestre que si
= 5 = = 0 2 = 4
9´ = 0
entonces
= √ +
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= 1 = 0 =
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1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es: C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólares Si el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo de fabricar 60 unidades.
Cx=5x-x2x=3c´ = 5 2 3 = 5 22 33 29 050 = 530= 262503030 = 150 – 900 27 000 29 050 - 26250 = c ó c = 2800 Cx = 5x - x2 x3 2800 60 = 560= 215 60500 60 2 800 = 300 3 600 216 000 2 800 Solución General Como C(x)=29 050 cuando x=30,
Despejando
Remplazando en la solución general Solución Particular Cuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular
El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares 2. La tasa de incremento del costo de mantenimiento en dólares para un complejo privado de locales comerciales es: M'´(x) = 90x2 + 5000, siendo x la edad del complejo en años y M(x) costo total de mantenimiento acumulado en los x años. Halle el costo del mantenimiento en 5 años
= ´ = 90x 5000dx = 90 x3 5000x c = 30x 5000x c = 30x 5000x
Para x=0, M(x)=0 por lo tanto c=0. La solución particular es
Para hallar el costo del mantenimiento en 5 años, hacemos x=5, remplazando
= 305 50005 = 30125 25000 = 3750 25000 = 28750
En 5 años el costo de mantenimiento será de 28750 dólares
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3. La razón de cambio del ingreso anual promedio actual ( en miles de pesos) que una persona puede recibir al buscar un empleo ordinario respecto al número de años de educación está dada por
= 100 / = = 100/ = 100/ = 100/52 = 10025 / = / 55000 = 409/ = 9720 = 45280 55000 9720 =
, donde R=55 000 cuando t=9. Encontrar a. La función ingreso total Integrando
, la solución general
, como R=55 000 cuando t=9, , despejando , entonces particular
, remplazando en la solución general, obtenemos la solución
/
=/5 ==405 = 4751645280
b. El ingreso anual que puede recibir una persona con 5 años de estudio. Remplazamos en la solución particular Por tanto el ingreso anual que puede percibir una persona con 5 años de estudio es de 47516 miles de pesos
= 0, = 0
4. Dada la función de ingreso marginal para cierto producto Como para determina a. La función Ingreso Total b. Calcula el ingreso para
= 100
´ = 275 0.3
.
5. La tasa de variación del costo de cierto producto está dada por
000
, donde es el costo total y 8 U.M, determinar:
= 0.08 1.6 6.5
las unidades producidas. Si producir 25 unidades cuesta
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a. La función costo total b. ¿Cuánto cuesta producir 100 unidades?
´ = 15 4
6. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es
Si unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de pesos: a. Determine la función ingreso total. b. Determine la ecuación de demanda. 7. Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por vender x seguros de gastos médicos es
´ = 32´92
, donde es el número de seguros vendidos y es el costo marginal dado en pesos. a. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de $10000 (es decir si x=0 entonces Q(x)=10 000). b. Determinar el costo de vender 100 seguros.
´ = 4 5 /
0 = 3000
8. Sea la razón de cambio de la circulación de cierta revista por t semanas, además la condición inicial es . a. Halle la función que determina la circulación de la revistas dentro de t semanas. b. Determine el número de copias que circularan en 125 semanas 9. La tasa de cambio del costo promedio de fabricar cierto artículo está dado por
̅´ = 48 6
, si el costo promedio de producir 2 artículos es de $41 a. Halle la función que determina el costo promedio. b. Determine el costo promedio de producir 100 artículos 10. El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto es R´(x)=12 0.0004x Si el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares, determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades
–
11. El costo marginal de cierta empresa está dado por C´(x)= 24- 0.03x +0.006x2 Si el función costo decosto producir 200 unidades es de $22.700, encuentre a.La b.El costo de producir 500 unidades
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12. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de sus productos es
= 100 3
, determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5 unidades.
̅
13. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es =-0.3x + 450, ¿Cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades? 14. Una compañía ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por producto es
̅´ = 14 100
, donde x es el número de unidades y el c osto en dólares. El costo promedio de producir 20 unidades es de $40. a.Encuentre la función de costo promedio del producto b.Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto 15. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones de dólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante
= 160.869.
, donde t es el número de años que han pasado desde 1990. a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995, encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos. b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 2000 16. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones de dólares, ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. La razón de cambio del gasto se puede modelar con
, donde t=0 en 1960.
= 0.0042 2.1 8.349 Cálculo Integral
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a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la salud b. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado al cuidado de la salud para el 2010 17. Si el ingreso marginal está dado por
= 100 32 2 = 7 6
Determine la ecuación de la demanda correspondiente 18. Si el costo marginal está dado por
, si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y el costo total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares 19. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada por R´(x)=0.009x +12, donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y R`(x) se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresos R(x) asociada con la producción y venta de relojes 20. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de sus relojes está dada por R`(x)=-0.009x + 12
, donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) se mide en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre la función de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes.
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Es utilizada cuando la integral no es posible resolverla utilizando las reglas básicas. Corresponde a la regla de la cadena de la derivación y consiste en reducir la integral mediante un cambio de variable.
∫2 1= 2 1 = 2 = 1 1 2 = 2 = 2 8 = 16 2 1 = 2161 ∫ +√−√√ 12√√1√1√ √√ 1 √ + = 12√√ 11 √√ = 1 √ 2√ ∗ =√ = 1 21 = √=
Evaluar cada integral 1. Hacemos , despejando
derivando u respecto a x obtenemos remplazando en la función srcinal
Remplazando el valor de u obtenemos
2. Evalué la integral
Le sumamos y restamos
en el numerador
, operando
, como
Ahora para la primera integral , despejando , despejando
, derivando
y remplazando
Reemplazando en la integral
2121 4 1 1 Cálculo Integral
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4 112 4 1 2 44 1 2 4 2 2 4ln(1 √)2(1 √) (12√) 4ln (1 √)8(1 √) 2(1 √)
, aplicando la propiedad distributiva
Simplificando Integrando
, remplazando el valor de U,
Evalué cada integral
4.
∫ √− 1 ∫∫ −+ 6.9.2. ∫∫√ 8. ∫ √ + 12. ∫ 11. ∫ − = − 14. ∫63 5/ 15. ∫42 3 1. 5.
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7. 10. 13. 16.
∫√∫ 3+ 5 ∫√(2 √) ∫1 ∫ √+
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. ´ = + , ≠ 1.
∫ 1.2
Si comparamos con la definición entonces Si derivamos obtenemos
2.
∫3 1 ∫.´
= 1 ´ =2 1 11 .2 = 5 = 551.2 = 5 = 1.2 y
= 3 13 .3 .3 = 113 3 1 = 3 1 3 1 = . 24 ∫ . ´ = + 3 8 3241 8.3241 .3 = 24.3241 = 3 1 Para
que
tengamultiplicamos la forma y dividimos por 3 Factorizando Aplicamos
la
fórmula
Si derivamos obtenemos
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3.
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∫√4 5
4 5 ∫. ´ = 4 5 .4 .4 = 1 4 4 4 5 4 4 1 5 5 = . = ∫ . ´ = + 4 3/2 6 4 5 6 32 4 654 = 124125 = √4 5 ∫ − −− 2 5 2 5 = 5 .5 ∫.´ −.5 = 151 2 5 − = 1 . 1 25 = . 5 1 ∫ .´ = + = 1 5 2 5 2 5− 525 1 = 5 52125 5 −5 − = 2 51 5 = 2 5 El ejercicio se puede expresar Para
tenga la forma multiplicamos y dividimos por 4 Factorizando
que
Aplicamos
la
fórmula
Si derivamos obtenemos
4.
20
El ejercicio se puede expresar Para
que
tenga la forma multiplicamos y dividimos por -5 Factorizando Aplicamos
la
fórmula
Si derivamos obtenemos
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21
. Integrar 1.
∫ 32 ∫3 33 ∫ 5
4. 7.
2.
3.
5.
6.
∫∫ − 1− ∫2 ∫ −− ∫ + ∫−
10.
∫7∫ √− √−+ 6 ∫ −
8.
9.
11.
12.
´ = 358 2 0 ≤ ≤ 10
1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de
, donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los panales costaban $10 dólares. a. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al inicio del año t. b. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000?
3582 = − 3 2 ∫58 − = 58332 = 58 23 −3 ∫. ´ 58 − − 33 32123 ∫. ´ = + = =3 58 Para hallar la expresión del costo de producción debemos hallar Que podemos expresar
Para
que
tenga la forma multiplicamos y
dividimos por 3 Factorizando
Aplicamos la fórmula
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22
= 583 3 1258 = 33582 = 3358 2 58 10 = ;1 0 = = 10 586 6 .3302 = . = 2000 1990 = 10 = 331058 2 0.33 = 5896 0.33 = 0.6 0.33 ≈ 0.93
La ecuación general sería Como para 1990 los panales costaban $10 dólares. Despejando Entonces Remplazando en la ecuación general se obtiene la ecuación particular Si queremos saber el costo de los paneles en el 2000 hallamos t Remplazando
Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costo aproximado de $0.93 dólares 2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los estudiantes aumentará a razón de
´ = 20001 0.2−/
Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años. b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años? Para hallar la expresión total de estudiantes inscritos debemos hallar
20001 0.2−/
Que podemos expresar
= 200010.2 −/ Cálculo Integral
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∫. ´
Para
que
tenga la forma multiplicamos y dividimos por 0.2 Factorizando Aplicamos la fórmula
23
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= 2000 10.20.2−0.2 = 20000.2 10.2 −0.−2
∫. ´ = + 21 == 1000010. 20000 11/2 0. 2 1 = 20000 1 0.2 = √ . 2000020 1000 = 10. == 1000 30002000 . = 5= √ = . = √ = . = =
La ecuación general sería
Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes Despejando Entonces Remplazando en la ecuación general se
obtiene la ecuación particular Para saber cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años, hacemos Remplazando
En cinco años el número de inscritos será de 1586 estudiantes
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3. El gerente de una zapatería determina que el precio (dólares) por cada par de zapatos deportivos de cierta marca popular, cambia a una tasa de
’= 300 9⁄ =4
cuando los consumidores demandan (cientos) de pares. Cuando el precio es de US$ 75 por par, son demandados 400 pares ( ). Determine la función de demanda (precio). ¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? ¿A qué precio no se demandarán zapatos deportivos? ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de US$ 90 por par? Debemos hallar
= ´ = 300 9⁄ = = 9 = 2 = 300 ⁄ 2 300 − − = 150 = 150 1 = / +/ 2 = = 4, = 75 75 = 4 3009/ = 60 = 15 = +/ 15 =5 = 300 9/ 15 = 66.44
, hacemos
, derivando
, despejando
, remplazando
, simplificando
, remplazando el valor de :
, Solución general
, como cunado
, luego
, remplazando
, remplazando en la solución general
, solución particular o función de demanda
¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? , remplazando en
, para demandar 500 pares de zapatos se debe vender a US$66.4 el par de zapato.
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=0 = 9300/ 15 = 115
¿A qué precio no se demandarán zapatos deportivos? , remplazando en: , A un precio de US$ 115 no se demandarán zapatos.
¿Cuántos pares se demandarán a un precio de US$ 90 por par? , remplazando en: , despejando:
90 = 300 9/ 15 75 = 300300 / 9 75 = 90000 / 9 5625 = 90000 9 9 = 5625 =16≈ 2.694= 7
= 90
A un precio de 90 dólares por par se demandarán aproximadamente 264 pare de zapatos.
´ = 100 2500
4. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por , en donde x es el número de pares de zapatos producidos. a. Determine la función costo b. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos
= 29003
5. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por:
Encuentre la función de la demanda si q=100
5. Dada la función de ingreso marginal de cierto producto
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26
= 2002
Determine a. La función ingreso total b. El ingreso si se producen y venden 5 unidades 6. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por
̅ = 2301 30
, donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el ingreso total.
̅= 60 000 1040 000
7. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por , donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares. Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras. 8. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina productividad física y es una función del número de máquinas y es una función del número de
= = 90 1
máquinas o trabajadores. Si es la productividad física, es la productividad física marginal. Si la productividad física marginal de unos albañiles es
, donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles, encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=0
= 2001 40 400
9. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio de
, donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha estado en producción. a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el número total de artículos producidos como una función del tiempo.
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27
b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana? 10. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción se incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa de desempeño está dada por
= 2√11
, donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminaran después de 8 horas? 11. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por:
R´(x) =
x2 √x3 +3600
a.Encuentre la función ingreso b.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades 11. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de
. ` = 1 5. 1. 4 5218 0 9
, años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1900. Halle una expresión para para la esperanza de vida (en años) de una mujer. Si dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es la esperanza de vida de una mujer que nace en 1991?
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28
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.´ = =
∫ = ∫5
Calcule las integrales 1. 2.
El ejercicio lo podemos escribir Tiene la forma fórmula
3.
∫.´ = ∫ =
∫
, aplicando la
Para que quede expresado de la forma
∫ .´ ∫.´ = ∫ =
4.
∫5−
La expresión se puede escribir
Si multiplicamos y dividimos por -2 Factorizamos Aplicamos la fórmula
,
=12 1 222 = 2 5− = 55 −22 = −2 ∫.´ = ∫ = =252 −
multiplicamos y dividimos por 2 Factorizamos Aplicamos la fórmula
= 5
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Ejercicios Calcule cada integral
33
. 1 000 −√ √
29
840−. 3 /
1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólares puede modelarse por medio de
= 8.
, donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en dólares) de la casa. a. Encuentre V(t) b. Determine el valor de la casa 10 años después de construida La expresión
equivale a
= 8.
= 8∫ ∫8.... = 8∫8 . .0.05 = 0. 0 5 ∫. ´ = ∫ = = 0.805 . 805 . 350000 = 0. 350000 =1601601= 350000 = 349840 = 0.805. 349840
Factorizando Multiplicamos y dividimos por 0.05 Factorizando
Aplicamos la fórmula , obtenemos la ecuación general Para t=0 V=350000, remplazando hallamos el valor de la constante C
Remplazando en la ecuación general
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Para hallar el valor de la casa 10 años después de construida hacemos t=10, remplazamos
En 10 años la casa costará 350103 dólares
̅ = ´ = 6.
30
. 10 = 0.805 349840 10 10 == 160 1601..64349840 349840 10 = 263.35010379 349840
2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es ¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto? La expresión
´ = 6.
= ∫6. . = 6∫ . = 6∫6 .. = 0.01 .0.01 ∫.´ = ∫ = 0 =0 = 6001 600= 600.. = 600 . 600 = 600 . 1 = 600 . 1 = 600 = 6002. 600 71 11 = == 6001. 1030.9761 equivale a
Factorizando Multiplicamos y dividimos por 0.01 Factorizando
Aplicamos la fórmula , obtenemos la ecuación general Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos el valor de la constante C
Remplazando en la ecuación general
Para hallar el ingreso por la venta de 100 unidades hacemos x=100
El ingreso por la venta de 100 unidades será de 1030.96 dólares aproximadamente
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3. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por Encuentre la función de demanda para el producto. Inicialmente hallamos la función ingreso Utilizando las propiedades de la potenciación y La integral de la suma
= −
= ∫´
31
´ = . 10
= ´∫ = =40 0.0−.1=∫ ∫ 10= 0.01 −. = = 40 0.01 10 = 0.4001 10
, para la primera integral, hacemos despejando
derivando
, reemplazando
, integrando
= 4000 10 = 4000 −. 10 = 0 = 00 = 4000 −. 100 0 = 4000 = 4000 = 4000 −. 10 4000 =
, remplazando U, obtenemos la solución general
, ahora como
si
, resolviendo y despejando , por tanto
, remplazando en la solución general, obtenemos la función ingreso
, sabemos que el ingreso es igual al producto de la cantidad demandada el precio unitario , es decir
Cálculo Integral
por
.
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32
= = = 4000−. 10 4000 −.
, despejando hallamos la función demanda
, dividiendo la función ingreso por
=4000 10 4000 4000 4000 = . 10
, simplificando encontramos que la función demanda es:
4. Durante una crisis económica reciente, el porcentaje de desempleados creció a razón de
´ = 10.4−.−
Donde t es el tiempo en meses. Dado que t=0 había el 4% de desempleados ¿qué porcentaje estaba empleado un año después de la crisis? , debemos hallar
=−∫´= 10.4−.− −. = 1. = = 0.1 −. = 0.4−. 0.1−. = 0.0.41 = 4− 4− = =1 14−.
, hacemos , despejando , remplazando
derivando
, simplificando , integrando
Cálculo Integral
y
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, como
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33
= 4 = 0 4 = 4 14 =−.4 14 1 4 = =2 24 = 1 =−.12 2 12 = 1 4−. 2 12 = 5.07% cuando
, por tanto
, ahora un año tiene 12 meses por lo tanto
Como se pregunta el número de empleados un año después de la crisis restamos el total de empleados al iniciar la crisis (100) menos el número de desempleados a la fecha 5.07
100 5.07 = 94.93 = 0.1 .
Por tanto el número de empleados un año después de la crisis será de 94.93% 5. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años? b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro? 6. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante
= 16.984.
, donde t es el número de años transcurridos desde 1950. a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84, encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados Unidos.
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b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60). 7. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una campaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa
´ = 147.78−., 0 ≤ t ≤ 100
, donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino. Suponga que S=7 389 cuando t=0. el número de ventas diarias t días después de a. Encuentre la unidades función que describe culminar la campaña b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña 8. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos (en miles de millones de dólares se puede modelar mediante
= 32.324. 60 ´60.
, donde t es el número de años que han pasado desde 1960 a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre la función que modela el ingreso personal total. b. Encuentre e intérprete )y 9. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por
dx = 10 (1-e-t/50) dt
Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas 10.Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela particular dado por , donde x es el número de rollos producidos de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calcule el costo de producir 100 rollos de tela.
´ = 20 .
11. Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de
´ = 200032− Cálculo Integral
, unidades por año
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Donde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. ¿Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción al mercado?
Para integrar una función de la forma , donde y la integramos de la forma
= ∫3
, la expresamos de la forma
∫∈ = 3 = = = 3 = 3 = 3 = 3 = 31 = 31 = 3 3 = 3 3 = 33 ∫5− = 5− = = − = 125 = 25 − = .
Integrar
1.
Expresamos de la forma
, hacemos , remplazando
derivando
, despejando
, remplazando :
2.
Expresamos de la forma
, hacemos , remplazando
derivando
, despejando
3 = 25 = 25 1 = 25 1
, remplazando :
Cálculo Integral
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36
− = 3 = 25 25 − 5 3 = 25
= 7501.3 ×1.3−
1. La tasa de variación del volumen de ventas de un detergente disminuye después de culminar una campaña publicitaria a razón de
meses
Si al mes de culminar la campaña publicitaria el volumen de ventas fue de 577 unidades, ¿cuál será el volumen de ventas 6 meses después de culminar la campaña publicitaria?
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37
= Calcule cada integral 1.
∫
Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada de la expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma
∫ ´ du
´ aplicando la formula ∫ du = u c obtenemos 8 = ln 8 8 2. ∫ +
44149 ∫ ´ du = u c 14 144ln4499
Multiplicamos y dividimos el integrando por 4 Factorizamos El integrando tiene la forma resolvemos 3.
∫ + 3 1 6
,
636 1 16 36 1 ´ 1 ∫ du = u c 6ln3 1
Observamos que la derivada del denominador del integrando ( es , por lo tanto al numerador le faltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos y dividimos el integrando por 6 Factorizamos el 6 del denominador El integrando tiene la forma resolvemos
Cálculo Integral
,
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Calcule cada integral 1.
4. 7.
∫ ∫+ ∫ +
2.
5. 8.
∫ ∫ + ∫ +
3.
6. 9.
∫ + ∫+− ∫ +
´ = 213
1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por , si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 14 dólares Debemos hallar Factorizamos
3 = 323 21 1 ∫ ´ du = u = 2 ln1 2727 == 3. 321ln171 = 30.113 = 2 ln1 30.11 3
El integrando tiene la forma , resolvemos y obtenemos la ecuación general
c
Como para p=7 dólares x(p)=27 unidades
Remplazando en la ecuación general Para p=14 dólares
14 = 26 2ln30.14 1 11 Cálculo Integral
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39
Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades
400 ´ = 2 1
2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por
x es el número de unidades producidas , a.donde Encuentre la función costo
b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares ¿cuál será el costo de producir 50 unidades? Debemos hallar Factorizamos
= 24001 1 = 400 2 1 ∫ ´ du = = 400ln 2 1 1980 251 1980 == 400l 400lnn 251 1980= 1021= 400l 959n2501 2102111021 = 2867
El integrando tiene la forma , resolvemos y obtenemos la ecuación general Como C(5)=1980
u c
Remplazando en la ecuación general Para x=50 unidades
Producir 50 unidades costaría 2867 dólares
= 10 10010
3. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por
, donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuando se producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad. Determine el costo de producir 200 unidades 4. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad respecto a las unidades vendidas semanalmente está dado por
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40
´ = −
, dólares Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades 5. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada por
´ = 231 ´ = 31501
Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 4 dólares. 6. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas está dada por Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si se venden 40 unidades
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41
Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método conocido como integración por partes Este método tiene como base la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones.
== = =
Así Integrando
=
Para aplicar la fórmula en la práctica, se separa el integrando en dos partes; una de ellas se iguala a y la otra, junto con a .
∫
Por eso se llama integración por partes. Es conveniente considerar los dos criterios siguientes. a. La parte que se iguala a debe ser fácilmente integrable. b. La no debe de ser más complicada que
∫
Luego se aplica la fórmula de integración por partes. Este proceso convierte el integrando srcinal - que no se puede integrar - en un integrando que si se puede integrar.
Para escoger en orden el “” y “” se utiliza una técnica denominada ILATE, acrónimo : inversas arctanx, arcsecx…etc. que resume los nombres de las funciones que podemos encontrar.
: logarítmicas (ln(x)) : algebraicas (polinomios de grado n: en suma, multiplicación y división) : trigonométricas (sen(x), cos(x), tan(x), csc(x) ,..etc) : exponenciales (
Cálculo Integral
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42
Para seleccionar la función , se clasifican las funciones en las siguientes categorías ILATE la que aparece primero de izquierda a derecha va ser y lo que sobra será Integrar 1.
∫
Clasificamos las funciones en el acrónimo
= = ∫= = = = = 2 2 1 = 1 = 2 2 1 2 2 2 = 2 4 ∫ = = = = ∫ = = = 22 12 2 Como la primera función es Entonces y Aplicando la formula
2.
I
L
A
T
E
hacemos
y
Clasificamos las funciones en el acrónimo I L A Como la primera función es hacemos Entonces y Aplicando la formula
T
y
Cálculo Integral
E
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3.
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= 2 12 2 = 2 4 ∫√1 √1 / = = √1 = = 1 2= 2 √1 = 21 3 1//2 3 1 / √1 =213/ 2321/ / √√11 == 21 33 /31451/ ∫ = = = = = 1 = = Clasificamos las funciones en I el acrónimo L A
Como la primera función es hacemos Entonces y Aplicando la formula
4.
E
T
E
y
Clasificamos las funciones en el acrónimo I L A Como la primera función es Entonces y Aplicando la formula
T
hacemos
Cálculo Integral
y
43
Mis Notas de Clase
5.
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= ∫ = = = = ∫ln = == = = = = ln = ln 2 = ln2 = ln2 ∫ = = = 2 = = 12 12 2 = 12 = = = 12 1 1 1 1 1 1 = 12 2 2 = 2 2 4 = 4 2 2 1 ∫√ 1= = 2 = 1/ = 13 1/ Hacemos fórmula
6.
entonces
Hacemos remplazando en la fórmula
7.
44
Hacemos la fórmula
remplazando en la
entonces
entonces
y
y
remplazando en
Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e2xdx entonces remplazando
8.
Hacemos
entonces
dx luego:
, remplazando
Cálculo Integral
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9.
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45
1 1 = 3 1 1 3 12 1/2 1 / 1 = 1 1 3 1 3 2 = 3 1 5 ∫ √ √ = = = ∫==√∫ √ = ln 2 2 1 √ = 23 ln 23 3/ = 23 3ln 23 23 /42 √ = 23 ln 49 / 42 = 23 ln 23 42 √ = 23 4 ln4 2323 2 ln2 23 √ =23 4 ln4 2323 2 ln2 23 √ = 3.80.3 049 = 3.78
Clasificamos las funciones en el acrónimo I
L
A
T
Como la primera función es hacemos y , por tanto y Remplazamos en la fórmula de integración por parte
, simplificando , remplazando
, en conclusión
√= 3.78 Cálculo Integral
E
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10. 13. 16. 19. 22.
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∫√ 2 ∫ √− ∫ 4 ∫√−
11. 14. 17. 20. 23.
∫3√2 3 ∫ ∫ ∫∫ √−
12. 15. 18. 21. 24.
46
∫ + ∫ ∫ ∫∫ √+3 2−
En algunos casos las integrales de productos de polinomios con funciones trascendentes (logarítmicas, exponenciales y trigonométricas) conllevan cálculos demasiado laboriosos al aplicar la fórmula de integración por partes varias veces. En tales situaciones se utiliza una técnica denominada , que consiste en: Derivar las funciones polinómicas hasta llegar a cero e integrar las trascendentes tantas veces como se derivó la otra función. Colocando las derivadas e integrales correspondientes una al frente de la otra, luego conectamos la primera derivada con la
segunda integral y le ubicamos los signos más ( ) y el ysigno intercalado, luego multiplicamos la derivada con le integral correspondiente se le (-) asigna el signo que le corresponde, al final se le agrega la constante de integración. Para verificar se deriva. Este método funcionas bien con las funciones exponenciales, hiperbólicas, senos y cosenos.
∫
Integrar
1.
Clasificamos las funciones en el acrónimo I
A
T
E
la función a derivar es
Como la primera función es será de
L
. Hacemos una tabla con las derivadas de
Cálculo Integral
, por tanto la función a integrar
y al frente colocamos las integrales
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22 0
Las derivadas de la función
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47
Las integrales de + --
Relacionamos las derivadas con las integrales partiendo de la primera derivada y segunda integral, le colocamos signos intercalados partiendo del +, luego se multiplican la derivada con la integral relacionada
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
∫∫ ∫∫−5 2∫ 832 −− ∫
= 2 2
1. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de S ´(x) = 4 000te-0.2t juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como una función de t. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas? Debemos hallar
=
= 4000−. = 4000−.−. = = ∫ = . ∫ = . −.
Hacemos entonces y aplicando la formula de integración por parte
entonces
= 4000 4000 .−.−.=4000 . ∫−.0.12 −. 0.12 −. ]
Cálculo Integral
,
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48
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= 4000 0.12 −. 0.12 0.12 −. = 4000 . −. 25−. −. 25−. = 400025 0 = 4000 0.1=2 0100000 = 100000 = 4000 . −. 25−. 100000 12 4−. 25−. 100000 = 4000 0. = 399 919 147.1 La ecuación general es
Para S(0)=0
Remplazando en la ecuación general, se obtiene la ecuación particular
Para saber cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas hacemos t=4
Las ventas totales durante las primeras cuatro semanas será de 399 919 147 juegos 2. Suponga que el valor del petróleo producido por una pieza de un equipo de extracción se considera un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual (en dólares por año) en el momento t, en años, dado por f(t)=300 000 – 2500t, y el dinero crece 8% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente de la pieza para los próximos 2 años.
∫ − = 2 = 0.08 300000 2500−. = 300000−. 2500 −. = ∫ 300000−. 2500∫ ∫ −.−. La fórmula del valor presente es remplazando
donde
(1)
Resolvemos la integral
integrando por parte.
Cálculo Integral
y
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49
= ∫==. ∫= −. = . −. −. = 0.108 −. 0.108 −. −.−. = 0.1108−.−. 0.1108−.−. = 0.08 0.08 ∫ −. = . −. . .−. −. = 0.108 −. 156.25−.20 = 0.108 2−.1156.25−. 0−. 156.25−. = 154.45 156.0.2058 = 1.8 ∫ −. = . −.20 300000−. = 300000 0. 0 8 −. −. = 3750000 300000−.=3750000 −. −. = 574460.79 Hacemos entonces Aplicando la fórmula
y
entonces
Integrando
entonces
Integramos
Remplazando en (1)
−. = 300000= 558960. 250079 = 574460. 79 2500 −.
Cálculo Integral
1.8
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50
n 20 ´ = 5000l 20
3. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por
, donde es el nivel de producción. Calcule el costo de producción de las primeras 100 unidades Inicialmente hallamos la función costo
´ = 5000l = n 20 20 = ´= 5000 ln2020 − = + = 20 = + = ln 20 ∫ = . ∫ = 50001 ln2020 1 1 = 5000ln 20ln 20 20 20 1 20 = 5000l =n5000 20 1 100 = 50000. 20 1 20 20 = 50000.14 = 721.83 04 0.19
, sacamos al 5000 de la integral por ser un múltiplo constante, la integral queda
, hacemos
, por tanto
, hacemos
luego
, aplicando la fórmula
El costo de producción de las primeras 100 unidades es de 721.83 U.M.
4. El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de sus productos es
´ = 200 −. 10 . = 30 50 2 1 = 30
, dólares. Determine el ingreso total si se producen de 10 a 20 unidades 5. Si la función oferta para unidades de una mercancía es pesos ¿cuál es el superávit del productor en ?
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
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51
= 10 000 – 500
6. Suponga que se puede considerar la producción de una máquina como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente encuentre el valor presente de la máquina para los próximos 5 años.
7. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se considera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta máquina los próximos 8 años.
= 280 000 14 000
8. Suponga que el ingreso de una empresa de acceso a Internet es un flujo continuo de ingreso con una tasa anual dada por
= 100−.
, en millones de pesos por año. Encuentre el ingreso total durante los próximos 10 años. 9. Suponga que la curva de Lorenz para la distribución de ingresos de cierto país está dada por
= −
Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso
= 600√1 3
10. Evalúa el ingreso total obtenido en 8 años, si la razón de ingresos en dólares por año es 11. La tasa de variación del ingreso de cierto producto está dada por
´ = √49 6
Calcular el ingreso si se producen y venden 5 unidades
Cálculo Integral
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Toda función racional se puede integrar en términos de funciones elementales. Una función racional es de la forma
= = = ⋯
, donde y son polinomios. El método de fracciones algebraicas es una técnica que permite descomponer a en una suma de términos: , donde p(x) es un polinomio y las dificultad.
es una fracción que puede integrarse con poca
=
Se dice que una función racional es una fracción propia, si el grado del polinomio es menor que el grado del polinomio . En caso contrario, es decir, si el grado de es mayor o igual al de , la fracción se llama impropia.
El primer paso consiste en determinar si la fracción es propia o impropia. Si impropia, la solución puede encontrarse mediante una división de entre
es
,
Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio más una fracción propia.
En el caso de que la fracción sea impropia la forma de descomposición de la fracción se realiza dependiendo de , así Si escribir
es un producto de factores lineales distintos, es decir que lo podemos
= · · · , ,…, = ⋯
, en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes que
Cálculo Integral
tales
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53
32 2 Integrar
Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos factores, la fracción se descompone en dos sumandos
32 2 = 3 2 32 2 = 2 32 3 2 = 2 3 ① 3 = 0, = 2 = 0,3= 2 = 0 Eval =uamos los valores obtenidos en la ecuación ① Operando el término de la derecha de la igualdad
Comparando las expresiones de la igualdad
Hallamos los valores que hacen la expresión indeterminada, igualando el denominador de la integral en cero Por tanto
ó
Si
Si
23 = 3623 ==565 3 22 = 22 4==54 23 5 32 22 = 3 6 2 =4 65 3 45 2 3 2 = 5 3 5 2
=
, por tanto
El denominador
es un producto de factores lineales, algunos de los cuales
se repiten.
Cálculo Integral
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54
= ⋯ , ,· · · ,
Si tiene un factor lineal repetido veces de la forma , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene términos de la forma: , donde
son constantes.
2
Integrar
Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos factores, la fracción se descompone en dos sumandos
21 = 2 2 2 1 2 = 2 2
Operando el término de la derecha de la igualdad
, comparando
, agrupando y factorizando 1 = 4 444 4 22 4
4 2 = 0 ①= 0 ② 4 =③1③= = , de ① = , ②
, por tanto
, de
, remplazando en
, remplazando en la integral
41421 14 = 0 1 2 = 0 = Cálculo Integral
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2 1= 1 2 21 2 =1 4 14 2 2 12 = 2 2 4 4 2 2 4 < 0 110 9 El denominador cuales se repite.
55
contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los
Si
tiene un factor cuadrático no repetido de la forma , en donde, , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma: , donde
son constantes.
Integrar
Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos
110 9 = 1 9 110 9 = 9 19 1 10 = 9 10 = 9
factores, la fracción se descompone en dos sumandos
Operando el término de la derecha de la igualdad
, comparando y resolviendo , factorizando , entonces
9Sumando ==010①②①③y ② = 0, =
remplazando en
Cálculo Integral
③
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56
9 = 10, = = = 1 110 9 = 1 9 = 11 9 9= 1 9 19 ∫ +1 10 1 − = 110 9 = 1 12 9 13 − 3 , luego
y
, por tanto la integral quedaría
, por fórmula , resolviendo
Integrar
1. 4. 7. 10.
− ∫ +− −− ∫ +− − ++ ∫ − ∫ −−
2. 5. 8.
∫ − ∫ +− − ∫ +−
3. 6. 9.
∫ −−− ∫ +− −+ ∫ −−
1. La tasa de cambio del precio de cierto producto cuando se venden x unidades está dada por
= 150
Calcule el precio cuando se venden entre 5 y 10 unidades. Hallamos
= = 150 = 150 11 Cálculo Integral
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Factorizando
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= 150 1 1 1 = 111= 111 1 = 1 ① = 0 1 = 0 1 = 0 = 1
57
, por fracciones parciales
, operando , comparando
Hallamos los valores críticos , por ser un factor nulo: y
ó
por tanto
, luego los valores críticos son
=0 =1 =0 ① 1 = =01 10 = 1 ① 11 == 1 11 =1 = 150 11 =150 1 1 1= 150 lnln 1150 = 150 ln10 ln10 1 ln5 ln51 Si
en
, por tanto Si en
, por tanto
, remplazando en la integral
= 1500. 18 10 0.22 = 1500.10 0.22 = 1500.12 = 18
El precio cuando se venden entre 5 y 10 unidades es aproximadamente de 18 U.M.
Cálculo Integral
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58
= 200 763
2. La ecuación de la demanda para cierto artículo está dado por
, = 10,15
, donde es el precio por unidad cuando se demanda unidades calcular el superávit del consumidor. Suponga que el equilibrio de mercado se obtiene en el punto
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es una antiderivada de f, entonces:
= =
Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones 1. 2. 3. 4. 5.
= 2814= 14 ∫7 = 7 421 = 7472 − ∫− = 1 = = = 0 ∫23 =3 ==2191.= l0n9 21 =12310 =1=3=7.l981n13==6.719 ln1 ∫ + = 2 1 =12= 2 =−= 21 = 12 2 = 12 21 = 14 1 Hacemos: , despejando :
, derivando , reemplazando
, entonces
, despejando
, luego
, por tanto 21 = 14 1 = 14 1 Cálculo Integral
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59
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21 = 14 ln21 = 2 1 1 2 1 = 4 2 1 ln2 121 2 21 = 1 4 221l n 22 1 4 1 211 l n 211 1 1 1 1 5 3 = 5 l n 3 l n = 3 . 3 9 1 . 9 0 4 4 4 = 0.37 1 4 21 = 0.37 ∫− 6 4 ∫− ∫ ∫4 ∫− 1 ∫(2 1 ) 3 ∫ √ ∫∫4 (2 2 ∫ ∫ √ + √) ∫ √3 1 ∫−− + ∫ 2− 2 ∫ ∫ ++− ∫ + ∫ +
, como
, sustituyendo
, concluyendo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
11.
13.
14.
9.
16.
2
5x
19.
15.
4
dx
2
2x
2
x
3
1 dx
0
1
4
4
12.
17.
1
x
3
2x 2 5 x 6 dx
18. 21.
20.
.
´ = .
1. La función ingreso marginal de una empresa está dada por . Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades
Cálculo Integral
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= ..
Debemos calcular
Integrando
Simplificando remplazando
60
y
= . . = .. . . = = =
El incremento en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades será de 950 unidades monetarias
= .
2. Si el costo promedio de reparación de un automóvil con t años de antigüedad es dólares por año, calcule el costo total de reparación durante los primeros 2 años y durante el periodo t=4 y t=6 Debemos calcular Integrando
Simplificando
Remplazando
= . = . = . . = . = . = .
El costo total de reparación de un automóvil con 2 años de antigüedad será de 133.6 dólares
Cálculo Integral
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Para un periodo de t=4 Calculamos Remplazando
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61
. == . . =. =
El costo total de reparación de un automóvil con 4 años de antigüedad será de 300.8 dólares Para un periodo de t=6 Calculamos Remplazando
. == . .= . =
El costo total de reparación de un automóvil con 6 años de antigüedad será de 511.2 dólares Encontramos reparación
que a mayor antigüedad del automóvil mas es el costo de
3. El costo marginal de cierta empresa está dado por
´ =
, mientras que su
√
ingreso marginal es R´ (q)= , donde q son las unidades producidas y vendidas. Determine el incremento en las utilidades de la empresa si las ventas se incrementan de 10 a 50 unidades.
´ = ´ ´ ´ = 120 23 = ´ = 120 23 = 1202q 5010 240q/ q 5010 = 863.72 725.61 = 138.1 = 138.1 Inicialmente hallamos la utilidad marginal: , remplazando
, sabemos que
, integrando
=
, por tanto
En conclusión el incremento de utilidad de 10 a 50 unidades es 138,11
Cálculo Integral
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62
4. La productividad física (número de unidades producidas) marginal, para una industria es
= /
, donde es el número de máquinas en funcionamiento. Determine la productividad física cuando están en funcionamiento 4 máquinas
= = / = , = = = / = / = / = [ /] / /] = . = [ = . =
Debemos calcular , hacemos
derivando
, despejando
, remplazando
, integrando
, remplazando
Unidades
Cuando están en funcionamiento 4 máquinas se producirán aproximadamente 21 810 unidades.
= .
5. La función de costo marginal de un fabricante es
Si está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 65 a 75 unidades.
=
6. La función de ingreso marginal de un fabricante es
Si está en dólares, encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de 500 a 800 unidades 7. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto es , dólares por unidad Encuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a 1600 unidades
´ = . – . . Cálculo Integral
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63
8. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años está dado por (millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobre los primeros 8 años.
´ = – – .
9. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con un costo de 5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición. ¿Se pagará la máquina a si misma durante los próximos 5 años?
= . ´ = –
10.La función ingreso marginal de un fabricante es
Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si la producción se incrementa de 15 a 25 unidades
por año, 0 ≤ ≤ 20.
11.La tasa de depreciación de un edificio está dada por t Use la integral definida para encontrar: a. La depreciación los primeros 10 años b. La depreciación los primeros 20 años c. La depreciación entre 10 y 20 años
´ = 1000 5000 = , =
dólares
12. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga años de uso la razón de ahorro sea de pesos al año donde . ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?
13. La curva de demanda está dada por la ley . Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades 14. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es . Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos 15. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: , donde t 30.
es el número de días después ´ de= terminada la campaña publicitaria y 0 ≤ t ≤ Cálculo Integral
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a. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se terminó la campaña (t=0 a t=7) b. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se terminó la campaña (t=7 a t=14) 16. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0 unidades de un artículo está dado por donde es la función de la demanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es
=∫ ,
Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidores están dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. /264 mil pesos 17. Una empresa que fabrica y vende balones encuentra que sus utilidades cambian a razón de
´ =
, donde representa el número de balones fabricados y vendidos. Calcule la utilidad total si se venden de 1 a100 balones.
Cálculo Integral
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=, = ≥ , Á =
= Si
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es un función continua en y el eje de las en
y
a
en
65
entonces el área exacta entre
esta dada por
Dibuje y encuentre el área bajo la curva de cada función entre las coordenadas dadas 1.
= = =
entre Inicialmente tabulamos para graficar Tabulación 0 1 2 3 4 5 6
Gráfica
-1 1 3 5 7 9 11
= = = = =
El área sería
Cálculo Integral
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2.
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= = =
66
, entre
Tabulación
Gráfica
-1 0 1 2 3
3 4 3 0 -5
= = = = . = . = = = El área sería
3.
, entre
Tabulación -2 -1 0 1 2 3
Gráfica
-7 0 1 2 9 28
= − = = = . = .
El área sería
Cálculo Integral
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4.
José F. Barros Troncoso
= √ = = √√ √ , entre
Tabulación 0 1 2 3 4 5
2
3
El área sería
5.
Gráfica
=
, entre
Tabulación
= √ = = . == Gráfica
-1 0 1 2
0.73 2 5.4 14.7
El área sería
= = = . Cálculo Integral
67
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6.
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68
= + = = , entre
Tabulación
Gráfica
0 1 2 3 4 5
12 6 4 3 2.4 2
= = × = . = = = El área sería
7.
, entre
Tabulación
Gráfica
-2 -1 0 1 2
-16 -11 0 11 16
= =
=
Para hallar el área total ( ) la dividimos en dos partes, un área 1 ( la cual integramos entre y un área 2 ( la cual integramos entre y al final las sumamos
=
==− = == Cálculo Integral
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´ =
dólares al
= = == == == == == == == √√+ = ====== = Por tanto
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
, entre , entre , entre , entre , entre y , entre y , entre y
y y
y
y
≤ ≤
1. La tasa de depreciación de un edificio está dada por año ( . a. Haga una gráfica que represente la depreciación total del edificio b. Calcule la depreciación de los primeros 10 años.
2. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: S´(t) = -3t2 + 300t
paña publicitaria y 0 ≤ t
, donde t es el número de días después de terminada la cam 30 Haga una gráfica que represente las ventas los primeros 10 días.
≤
Cálculo Integral
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, = =
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, ≤
Si y son funciones continuas en un intervalo y en , entonces el area de la región acotada por las graficas verticales y se obtiene por
y
=
Grafique y calcule el área entre las funciones dadas 1.
= =
; Inicialmente hallamos los puntos de intersección igualando las funciones , despejando , factorizando , es decir
= = = = , = = , =
, por tanto los límites de integración son de 1 a 4 Tabulamos y graficamos Tabulación
Gráfica
= =
1 2 3 4
0 -1 0 3
0 1 2 3
Hallamos el área utilizando la fórmula
Cálculo Integral
70
para todo y las rectas
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= = = = = = = . = == = = = = ==,, == = = = =
, por gráfico hacemos
2.
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y
remplazando
;
Hallamos los puntos de intersección igualando las funciones , despejamos
, factorizamos , es decir
, por tanto los límites de integración son Tabulamos y graficamos Tabulación -2 -1 0 1 2 3
8 3 0 -1 0 3
Gráfica
8 11 12 11 8 3
Hallamos el área utilizando la fórmula
, por gráfico = y == remplazando Cálculo Integral
71
Mis Notas de Clase
3.
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72
= − = = . = √ = ; Hallamos los puntos de intersección igualando las funciones
(√=√) = = == ==,, == ==
, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, para eliminar el radical , despejando , factorizando , es decir
, por tanto los límites de integración son Tabulamos y graficamos Tabulación
Gráfica
= √ =
1 2 3 4
-1 0 3 4
11 8 3 4
Hallamos el área utilizando la fórmula
, por gráfico
y
= remplazando
= =[(√√) = ] = / = . Cálculo Integral
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73
= ; = = 2 2 244= 0= 0 21= 0= 0 2 ==,, === =
4. Hallamos los puntos de intersección igualando las funciones , resolvemos la ecuación , factorizamos , es decir
, por tanto los límites de integración son Tabulamos y graficamos
Tabulación
Gráfica
= =
-2 -1 0 1 2 3
8 3 0 -1 0 3
0 3 4 3 0 -5
Hallamos el área utilizando la fórmula
= = = = − = − = = = =..
, por gráfico
y
remplazando
Cálculo Integral
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= ; = ==√;;;== √= | = ; = |
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= = ; =
, por tanto el área comprendido entre las curvas 9 5. 6. 7. 8. 9. 10.
74
;
Cálculo Integral
es de
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El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [ a, b] es Valor promedio =
− ∫
1. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por: C (x)= 5000+16x+0.1x2 El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costo promedio semanal C (x)= 5000+16x+0.1x2 =
200-1100 ∫100200500016x0.1x2dx
(5000x +8x² + 0.033x³) 100 1 100 200 = 1100 5000200820020.0332003- 5000100810020.031003 1 1 = 100 (1.584.000 – 613000) = 100(971000) =
Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades serán de 9710 dólares 2. La función demanda para cierto articulo está dada por: P= 500+
+
,demanda donde P:enprecio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si se 50 y 100.
Cálculo Integral
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= 100-1 50 ∫500 + 501 500q100ln|q115000 =
(25 068.329) = 501.3666 El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36 = (50461.512- 25393.183) =
Unidades Monetarias. 3. El ingreso total de una máquina de videos está dada por: I=50e0.2t
Encuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas =
− ∫ 50 .
62.52.22 1 = 76.59
∫ . = .. 40 = 62.5(. .) =
=
El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de 76.59 Unidades Monetarias 4. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función describe la razón de ventas cuando pasaron años desde que el producto se presentó en el mercado por
= 2700√ 900
Calcule la venta promedio entre el segundo y cuarto año de lanzamiento del producto al mercado Debemos calcular
=2 =4
, donde y Remplazando
̅ = 1 ̅ = 4 2 1 2700√ 900 Cálculo Integral
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77
̅ = 12 2700 3/2/ 900 42 = ̅ = 12 [1800/ 900]42 ̅ = 12 18004 9004 18002 9002 ̅ = 1 18000 6891.16 ̅ 2 = 5554.42
La venta promedio entre el segundo y cuarto año de lanzamiento del producto al mercado fue de 5554.42 U.M. 5. Una firma de publicidad es contratada para promover un programa nuevo de televisión durante 3 semanas antes de su debut y durante 2 semanas después. Al cabo de semanas de la campaña publicitaria se determina que por ciento de los televidentes conoce acerca del programa, donde
= 0.759 16 ̅ = 1 ==00.7= 5 16 ̅ = −∫ .=1.4+ = ̅ = 15 59 1.4 . ̅ = 597 ̅̅ = 8.42ln50 = 8.42ln0.7 1650 = 8.423.512.77 = 84.28∗ 0.74 = 6.23
¿Cuál es el porcentaje promedio de televidentes que conoce acerca del programa durante las 5 semanas de la campaña publicitaria? Tenemos que calcular
, por datos
, hacemos
y
, remplazando
derivando
, es decir
, sustituyendo
, simplificando
, integrando
El porcentaje promedio de televidentes que conocen acerca del programa durante las 5 semanas de campaña es de 6.23%
Cálculo Integral
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= 60 503600
78
6. La ecuación de demanda para cierto producto está dada por
Encuentre el precio promedio si se demandan de 100 a 200 unidades Debemos hallar
, donde = 100 ̅y =̅=200−=, remplazando ∫200 1 60 503600 100 ̅ = 1001 60 503600 ① , resolvemos las integrales por separado 60 = 60 200100 = 60200 100 = 60100 = 6000 Para resolver la integral 503600 , hacemos , derivando , despejando , remplazando 3600 50 50/ 2 = = = 2 = 3600 , simplificando e integrando 503600 = 25 −/ = 25[2/]210000 = 50[/]210000 503600 = 50 [ 3600/]210000 503600 = 50 [200 3600/ 100 3600/] 503600 = 50 208.80 116.61 = 5092.16 = 4609.5
, remplazando en ① ̅ = 1001 6000 4609.5 = 13.9 Cálculo Integral
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79
Por tanto el precio promedio si se demandan entre 100 y 200 unidades de 13.9 U.M.
= 369 – 2.12 – 400 = 1 = 100 = 4000 10 0.1 = 400 0.3
7. La utilidad (en dólares) de un negocio está dada por
, donde es el número de unidades del producto vendido. Encuentre la utilidad . promedio sobre el intervalo de a 8. Suponga que el costo
de producir unidades de un producto está dado por
Encuentre el costo promedio sobre el intervalo de q=100 a q=500 9. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por , donde
es el número de unidades. Encuentre el costo promedio de producir de 10 a 20 unidades
= 400 2 000
10.El costo en miles de pesos, de producir x unidades de cierto artículo es Encuentre el valor promedio de C(x) sobre el intervalo de 0 a 100. ¿Qué significa el resultado? 11.El número de ventas diarias de un producto está dado por
= 100 − 100
, x días después de iniciarse una campaña publicitaria para este producto. a. Encuentre las ventas diarias promedio durante los primeros 20 días de la campaña, es decir x=0 a x=20. b. Si no se inició una nueva campaña publicitaria, ¿cuál es el número promedio de ventas por día durante los próximos 10 días? (de x=20 a x=30) 12. El valor futuro de 1 000 dólares, invertidos, en una cuenta de ahorros con una tasa de interés compuesto continuamente de 10% es S=1000e0.1t, donde t está en años. Calcule la cantidad promedio en la cuenta de ahorros durante los primeros 5 años.
13. Suponga que la tasa de variación de los beneficios obtenidos por determinada empresa está dada por
´ = 3 62 Cálculo Integral
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80
, se da en millones de euros, siendo los años de vida de la empresa. Se pide calcular el beneficio promedio que se obtiene los primeros 5 años de vida de la empresa. 14. Una firma de publicidad es contratada para promover un programa nuevo de televisión durante 3 semanas antes de su debut y durante 2 semanas después. Al cabo de semanas de la campaña publicitaria se determina que por ciento de los televidentes conoce acerca del programa, donde
= 0.759 16
¿Cuál es el porcentaje promedio de televidentes que conoce acerca del programa durante las 5 semanas de la campaña publicitaria?
Cálculo Integral
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81
Sea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total para k años está dado por Ingreso total =
∫
1. Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de un pozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 600e-0.2t, en miles de dólares al año. Encuentre un estimado del ingreso total por este pozo durante los próximos 10 años. 2. Encuentre el ingreso total durante los próximo 10 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=12 000 dólares por año 3. Encuentre el ingreso total durante los próximo 8 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=8 500 dólares por año 4. Una compañía acerera visualiza la producción de su colado continuo como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo mensual en el tiempo t, dado por f(t) = 24 000e 0.03t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de este colado en el primer año 5. Suponga que la franquicia de una empresa de servicio se da cuenta que el ingreso generado por sus tiendas se puede modelar suponiendo que el ingreso es un flujo continuo con una tasa de flujo mensual en el tiempo t dado por f(t) = 10 000e0.02t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de una tienda para los primeros dos años. 6. Una pequeña destiladora considera la producción de su máquina embotelladora como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=80e0.1t, en miles de pesos por año. Encuentre el ingreso de este flujo para los siguientes 10 años.
Cálculo Integral
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82
Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso es Valor-presente = Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempo
∫ −
Si f(t) es la tasa del flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso es Valor-futuro =
∫ −
1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t) = 9 000e0.12t (dólares al año). Si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años encuentre a. El Ingreso total Por definición el ingreso total está dado por
9000. = 9000 .0.0.1212 = 9000 0.12 .0.12 = 75000 . 100 = 75000. . = 750003.32 1 = 750002.32 = 174 000 = , por datos
= 9 000e0.12t y k = 10 remplazando
El ingreso total del flujo continuo 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 174 000 dólares por año b. El valor presente
Cálculo Integral
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83
= 9 000.−. = 9000. = 9000 .0.0.0606 ..0.06.= 150000 . 100 = 9000 0. 0 6 = 150000[ ] = 1500001.82 1 = 1500000.82 = 123318
El valor Presente de un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 123 318 dólares c. El valor futuro
==1.82123318 = 224700 = .123318
El valor futuro de un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 224 700 dólares 2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 12 000e0.04t U.M. Si el dinero crece a una tasa del 8% compuesta encuentre para los próximos 8 años a. El Ingreso total Por definición el ingreso total está dado por
12 000. = 12 000 .0.0.0404
, por datos f(t) = f(t) = 12 000e 0.04t y k = 8 remplazando
12 000. = 12000 0.04 .0.04 = 300000 . 80 Cálculo Integral
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12 000. = 300000. . = 3000001.37 1 12 000. = 3000000.37 = 113138
El ingreso total del flujo continuo será de 113138 U.M. b. El valor presente Por definición el ingreso total está dado por
−
, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t , k = 8 y r=0.08 remplazando
12 000.−. = 12 000 −.−. = 12 000 0.0.04 04 = 12 000 −.0.04 = 300000 300000 0.04 0−..72 801==300000[ 300000−.0.27 =82−.155.3]
El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 U.M c. El valor futuro Por definición el ingreso total está dado por
, por datos
− ∫ − = 82 155.3
, r=0.08 y k=8, remplazando
− . El valor futuro 155 806 U.M. del flujocontinuo = en882años155.a3una = 1.tasa8982del 8%155.será3 =de155806 Cálculo Integral
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85
= 6 537 −.
3. Se transfiere dinero continuamente a una cuenta a una tasa de flujo anual en un tiempo dado por dólares por semana. La cuenta gana interés a una tasa anual de 6%, capitalizado continuamente. Encuentre para los próximos 5 años. a. El Ingreso Total b. El valor presente. c. El valor futuro
= 5 = 0.06
Por datos: y a. Ingreso total. Debemos calcular
= = 6537 −. = 6537 0.−.3 50 = 21790−.∗ −.∗ = 21790 2 1.21790 0=.216996 . ∗078 = −
, remplazando e integrando
b. Valor presente. Debemos calcular
, remplazando y simplificando
−. −.=565376537−.−.−.∗ = −.6537 = 65370.36 0 = 0.36 ∗ = 181580.16 1 = 15252.72 .. = × .∗ ×15252.72 = 20589.01 = = 20589.01
, integrando
c. El valor futuro. Debemos calcular , remplazando
4. Suponga que una compañía planea vender un pozo y quiere usar su valor presente durante los próximos 10 años para establecer su precio de venta. Si la compañía determina que la tasa de flujo anual es f(t)=600e-0.2(t+5), en miles de dólares por año y si el dinero crece con una tasa de 10% compuesto continuamente, encuentre este valor presente
Cálculo Integral
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86
= 1 000 .
5. Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es , en millones de pesos por año, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuesto continuamente, para los próximos 4 años, encuentre a. El ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro 6. Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada por f(t) = 5 000e-0-01t y el dinero crece un 7% compuesto continuamente, para los próximos 5 años calcule: a. El Ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro 7. Suponga que una compañía de impresión considera la producción de sus prensas como un flujo continuo de ingreso. Si la tasa de flujo anual en el tiempo t está dada por en millones de pesos al año, si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, encuentre el valor presente y el valor futuro de las prensas durante los siguientes 10 años.
= 97.5−.+
8. Una pareja piensa abrir un negocio propio, van a comprar ya sea un almacén de ropa para hombres o una tienda de video. El almacén de ropa para hombres tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por (miles de pesos por año) y la tienda de video tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa anual proyectada en el tiempo t dada por (miles de pesos por año).
= 30 000
= 21 600 .
La inversión inicial es igual para ambos negocios y el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente y el valor futuro de cada negocio durante los próximos 7 años, para saber cuál es la mejor compra.
= 2000−.
9. El valor actual de un flujo continuo de ingreso de 2000 U.M. durante 5 años al 6% de interés compuesto continuamente está dado por . Determine: a. El Ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro
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87
El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta. Algunos consumidores están dispuestos a comprar x3 unidades si el precio fuera $p3. Los consumidores que están dispuestos a pagar más de $p1 se benefician por el precio más bajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p 1 se conoce como cuya fórmula está dada por
=
, donde f(x) es la demanda, p 1 es el precio de equilibrio y x 1 es la cantidad en equilibrio, p1x1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieron como ingreso.
1. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si el precio de equilibrio es $20, ¿cuál es el superávit del consumidor? Por datos f(x)=100/(x+1) y p1=20, debemos hallar q1
20 = 1001 , 1 = 10020 = 5 1 = 4 Remplazando
Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es
Cálculo Integral
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= 100 1 20 ∗4 = 100ln 1 80 == 100 n180 100l1n.65l 0 80 = 160 80 = 80 = √49 6
El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares 2. La función demanda de un producto es y su función de oferta es p = x + 1 donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta
√49 6 = 1 (√49496 6)= =211 2 81 64849= 0 = 0 12 = 0, = 4 =0,12 = 4 = =4 0 =4=1,5 = = ∫ = √49 6 = √ 49 6 54 = 19149 6/ 4020 1 / / = 13. 949 88 38. 64 1120949= 4.260 3 20 Elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad
Factorizando Ósea que
o Es decir que la cantidad en equilibrio ecuación de la oferta Entonces el precio de equilibrio remplazamos en la ecuación
unidades, remplazando en la
, como la demanda
Resolviendo
El superávit del consumidor será aproximadamente de 4.23 dólares
Cálculo Integral
,
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89
3. La función de demanda para un producto es p = 34 – x2. Si el precio es de $9. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 4. La función de demanda para un producto es p = 100 –4x. Si el precio es de $40. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 5. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?
Cálculo Integral
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90
Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se benefician ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo. El área entre la línea p=p1 y la curva de la oferta x=0 y x=x1 da como resultado el .
Si la función de la oferta es p = g(x), el superávit de productor está dado por la diferencia entre el área entre la gráfica p=g(x) y el eje de las x entre 0 a x1.
=
, p1x1 representa el ingreso total en el punto de equilibrio.
1. Suponga que la función oferta para una mercancía es p = 4x2 + 2x + 2. Si el precio de equilibrio es de $422. ¿Cuál es el superávit del productor?
= 422 422 = 4 2 2 44 2 422==0 0 22420 = 10 ó = 10. =5 10 = 4 2 2 = ∫ = 42210 4 2 2 Inicialmente debemos hallar la cantidad en equilibrio remplazando el precio de equilibrio en la función oferta
Factorizando La cantidad en equilibrio es La función oferta es
, remplazamos en
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= 4220 43 2100 = 4220 4103 10 210 403 0 20 = 4220 1453.33 0 = 2766.67 Resolviendo
El superávit del productor será de 2766.67 dólares
2. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda es p = 81 – x2 y su función oferta es p = x2 + 4x + 11. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta Despejando Factorizando Ósea que
81 = 4 11 2 4 70 = 0 72 10 = 0
o2 Es decir que la cantidad en equilibrio función demanda
unidades, remplazando en la
7 = 0, = 10 = =0,81==556, = 5 = 4 11 = ∫ = 565 4 11 = 280 3 2 1150 = 280 53 25 11503 20 110 = 280 146.66 0 = 133 Entonces el precio de equilibrio , remplazamos en
, como la oferta es
Resolviendo
El superávit del productor será aproximadamente de 133.33 dólares
Cálculo Integral
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3. Suponga
que la función demanda para y la de oferta para la misma mercancía a. El punto de equilibrio b. El superávit del consumidor c. El superávit del productor
= √245 2
una
: = 5
92
mercancía , calcule
es
√245 2 = 5 (√245 2) = 5 245 – 2 = 25 10 0 = 0 10 = 1225220245 2 22 10 = 0 =22 22==220 óó –=10 = 0 = 5 10 = 15
a. El punto de equilibrio. Igualamos las funciones de demanda y oferta , elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad
, simplificando y resolviendo el producto notable , igualando a cero
, factorizando , por ser un producto nulo , es decir
, depreciamos la cantidad ya que no tiene sentido para el problema y tomamos como la cantidad de equilibrio. Remplazamos en la función de oferta,
= 10
, luego el precio de equilibrio es de 15 U.M.
b. Superávit del Consumidor. Debemos calcular
á =
, donde es la demanda, Remplazando
la cantidad de equilibrio y
el precio de equilibrio.
á = √245 2 1510 Cálculo Integral
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á = √245 2 150 = 245 2 = 2 −1= 2/ / áá = 1= 12150 [245/=2/2]103150 100/150 3 á = 3 {245 210 245 20 }150 1 á = 3 33753834.85 150 á á = 13 459150 = 153. 2 8 150 = 3.28 á = 5 á = 1510 5 10210100 á = 150 510 2 0 á á = 150= 50100
, hacemos
, entonces
, por tanto
, remplazando
c. Superávit del productor. Debemos calcular
, remplazando e integrando
4. Dadas las ecuaciones de demanda y de oferta determine el superávit del consumidor y del productor
:: == 651 2 5 3
Inicialmente hallamos el punto de equilibrio es decir
, despejando
65 = 13 2 5 = Cálculo Integral
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94
13 2 5 65 = 0 43 2 60 = 0 = 7.5 ó = 6 = 6 = 7.5 = 29 = 65 6 = 29 = = 65 296 = 65 3 60 174 = 656 63 174 = 318 174 = 144 = 144 .. = = 296 13 2 5 = 174 9 5 60 = 174 90 = 84 = 84 ..
, resolviendo , como es la cantidad la expresión sentido por tanto la depreciamos y trrabajamos solo con Remplazamos en la función demanda para hallar el precio de equilibrio
no tiene
, luego Hallamos el superávits del consumidor
, donde
es la función demanda, remplazando
El superávits del consumidor es de 144 U.M. Hallamos el superávits del productor , donde
es la función oferta, remplazando
, integrando
El superávits del productor es de 84 U.M.
5. Suponga que la función oferta para una mercancía es p=0.1x2+3x+20. Si el precio de equilibrio es de $36. ¿Cuál es el superávit del productor? 6. Si la función de oferta para un producto es p = 10ex/3. ¿Cuál es el superávit del productor cuando se venden 15 unidades?
Cálculo Integral
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7. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p=200e-0.01x y la función oferta es , si la cantidad en equilibrio es de 31 unidades encuentre: a. El punto de equilibrio b. El superávit del consumidor c. El superávit del productor
= √200 49
8. Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen en seguida
:: == 153 2 :: == 40020–100 :: == 112/ 0.2 1 = 15 :: = 81 4 11 D: O:
:: == 1750.– 0.35 : == √4916 :: ==449 – 4 ==8 4 :: = 5√245 2 D:
D: O:
Cálculo Integral
:: == 1100 – 300 :: == 1102 –6/5 1/5 :: == 622– 1.0.28 == 10010 – 0.0.015 D: O:
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LA INTEGRAL DOBLES
La integral doble tiene una interpretación geométrica como volumen de un sólido. Efectivamente cada término de la sumatoria (1) representa el volumen de un cuerpo elemental de base ( ) y altura ( )
Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra el procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple.
∫ ∫ ,
Si la expresión se refiere a una integral iterada, la parte externa es la integral con respecto a x de la función de x:
∫….
= ∫ ,
Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. En otras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es , y por lo general se calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:
ó
∫ ∫ , ≠ ∫ ∫ ,
Las sumas empleadas para estimar la temperatura promedio en la habitación son semejantes a las sumas de Riemann que se utilizan para definir la integral definida en una función en una variable. Para una función de dos variables; decimos:
≤
,
≤≤≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Dada una función continua definida en una región rectangular , construimos una suma de Riemann al subdividir la región de rectángulos más pequeños. Esto se hace subdividiendo cada uno de los intervalos , en n y m sub-intervalos iguales respectivamente, y se obtienen sub-rectángulos (figura 4).
Cálculo Integral
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∆ = ∆.∆
97
∆ = − ∆ = −
Cada sub-rectángulo tiene un área , siendo . Para calcular la suma de Riemann, multiplicamos el área de cada subrectángulo por el valor de la función en un punto del rectángulo y sumamos todos los números resultantes. Si elegimos el valor máximo de cada función , obtenemos la suma superior: . La suma inferior se obtiene al tomar el valor mínimo de cada rectángulo . Luego cualquier otra suma de Riemann satisface la siguiente relación:
∑, ∆∆ , ∆∆ ≤ , (,)∆∆ ≤ ∆∆ , (, ) ∆ ∆ Donde
es cualquier punto del ij-ésimo subrectángulo.
Luego, integralo definida como el límite para el número subdivisiones ny m que definimos tienden a lainfinito lo que es equivalente, la longitud de de estas subdivisiones tienden a cero. Tenemos entonces la siguiente definición:
Cálculo Integral
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98
≤≤ , ≤≤ ∬ = l∆→ im , (,) ∆∆ ∆→
Supongamos que la función f es continua en D, el rectángulo Definimos la integral definida de sobre D, como:
.
Esta integral recibe el nombre de integral doble.
= ∬ = ∬ ,
Muchas veces consideramos a altura , de modo que
como un rectángulo infinitesimal de longitud , entonces
y
Ejercicio. Resolver cada integral doble 1. Resolvemos inicialmente la integral más interna
∫ ∫4 4 = 4 = 4 3 20 = 5.33
, ahora resolvemos la integral externa o la que queda
, por tanto 4 = 5.33 = 5.3330 = 16 4 = 16 2. ∫ ∫− 2 Resolvemos inicialmente la integral más interna 2 = 2 − − 2 0 0 = 2 = 2 2 2 2 2 − 2 = 2 4 − , resolvemos la integral que nos queda
− 2 = 23 4230 = 23 230 = 18 18 = 0
, en conclusión
Cálculo Integral
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9.
∫ ∫
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− 2 = 0
Resolvemos inicialmente la integral más interna en función de
= = = = 3 2 21 = 0.66 0.16 = 0.83 = 0.83
, resolvemos la otra integral en función de
, en conclusión
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫− ∫−143 ∫ ∫ + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 ∫ ∫
Cálculo Integral
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100
HARSHBARGER R., REYNOLDS J. Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima Edición LEITHOLD L. El Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales. Editorial Harla. 1988 LEITHOLD L. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Mexicana. Quinta Edición STEWART J. Cálculo Trascendente Tempranas. Ed. Thompson Learning. Cuarta Edición HOFFMAN L. D., BRADLEY G. Cálculo Aplicado a la Administración Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición. SOLER F. F., Núñez R. y Aranda S. M. Fundamentos de Cálculo con aplicaciones a las Ciencias Económicas y Administrativas. Ecoe Ediciones. ARYA J. C., LARDNER R. W. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Pearson, Prentice Hall. Tercera Edición LARSON R. E, HOSTETLER R. P. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill
–
–
HAEUSSLER E. F. PAUL R. S. WOOD R. J.. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Decimosegunda Edición. México 2008. SOO TANG TAN. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Thomson. Tercera Edición. 2005 ANDONEGUI ZABALA, MARTÍN. La función Matemática. Serie Desarrollo del Pensamiento Matemático N° 20. Federación Internacional Fe y Alegría. Enero de 2008. Caracas Venezuela JIMÉNEZ, RENÉ. Funciones. Pearson Educación, México, 2006
Cálculo Integral
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101
BECERRA ESPINOZA, JOSÉ MANUEL. Matemáticas V, El placer de dominarlas sin complicaciones. Universidad Nacional Autónoma de México, 2044. Primera Edición SALAS, S., HILLE, E., ETGEN, G., CALCULUS: Una y varias variables. Volumen I. Cuarta Edición. Editorial Reverte. España 2007 ZUAZUA, Enrique. Ecuaciones en Derivadas Parciales. Universidad Autonoma de Madrid. España. 2004 ANTONYAN N, CENDEJAS L., AGUILAR G. Matemáticas 2: Funciones. Thomson Editores S. A. México 2007. CASTRO P J, GONZÁLEZ N. Problemario de Matemáticas para Administración y Economía. Thomson Editores S.A. México 2002. VARONA MALUMBRES JUAN LUIS. Métodos Clásicos de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Servicio de Publicaciones, Universidad de La Rioja, España 1996. GEORGE BRINTON THOMAS. Cálculo de varias variables. Pearson Educación, 2006 - 544 páginas
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