Mira Desde La Pagina 39

5/10/2018

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Universidad Austral de Chile Instituto de Electricidad y Electrónica

PORTAFOLIO EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS, CAPÍTULO 1

Integrantes:

• • •

Víctor Arriagada M. Julio Fritz G. Álex Reyes H.

Profesor: Alejandro Villegas M. Fecha de entrega: 8 de octubre de 2010 1

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ÍNDICE Introducción

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Tabla Resumen

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Resolución de ejercicios Boylestad …Ejercicio 4.2

5

…Ejercicio 4.13

5

…Ejercicio 4.35

6

…Ejercicio 5.1

8

…Ejercicio 5.7

9

…Ejercicio 6.9

11

…Ejercicio 6.12

13

…Ejercicio 7.3

15

…Ejercicio 7.10

17

…Ejercicio 7.21

20

…Ejercicio 8.3

22

…Ejercicio 8.7

23

…Ejercicio 8.46

24

…Ejercicio 9.3

27

…Ejercicio 9.9

33

…Ejercicio 9.19

36

…Ejercicio 10.5

39

…Ejercicio 10.8

39

…Ejercicio 10.27

39

…Ejercicio 12.12

44

…Ejercicio 12.15

46

Resolución de ejercicios Edminister-Schaum …Ejercicio 2.29 …Ejercicio 3.35

49 50

…Ejercicio 4.22

52

…Ejercicio 5.24

53

…Ejercicio 5.27

54

Resolución de ejercicios Kemmerly …Ejercicio 2.5 …Ejercicio 2.27

56 57

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1. INTRODUCCIÓN Adquirir conocimientos es una de las experiencias más maravillosas de la vida. Saber como funciona el mundo, a qué se deben los fenómenos naturales o cómo podemos aprovecharlos resulta fascinante desde cualquier punto de vista. De esta manera surgen instituciones dedicadas a difundir el conocimiento y enriquecer la mente humana, así como los jóvenes se interesan en recibir esta información. Dentro de las ramas del conocimiento se encuentra la Ingeniería, una disciplina encargada de dar soluciones a problemas prácticos o mejorar la calidad de vida de las personas con técnica e ingenio. Pero para llevar a cabo tan noble tarea no sólo es necesario asistir a clases a la Universidad o aprobar todos los ramos, también es necesario que el Ingeniero someta a juicios valóricos las decisiones que toma; que se aferre a la ética profesional. De esta manera un Ingeniero será un profesional responsable, íntegro, que realmente será un aporte para la humanidad. En esta relacionados etapa, comocon estudiantes, estamos formándonos, más básicos la Ingeniería Electrónica, sólo deadquiriendo esta maneralos seráconocimientos posible continuar con estudios más avanzados que nos lleve a crear y mejorar lo existente en la materia. La mejor manera de impregnarnos de estos conocimientos es practicando, enfrentándonos a un gran abanico de situaciones de tal manera que más adelante no suponga un problema encontrarse con escenarios de mayor complejidad. En este marco se nos ha propuesto resolver, en grupo, una serie de problemas relacionados con el análisis de circuitos, a nivel básico, pensados para que el estudiante adquiera mayor habilidad en su área. En este informe se presentan 30 ejercicios resueltos, extraídos de tres libros: Introducción al Análisis de Circuitos, de Boylestad, Robert L, Circuitos Eléctricos, de Edminister, Joseph A, y Análisis de Circuitos en Ingeniería, de Kemmerly, Jack E. Antes de la sección de Resolución de Ejercicios se encuentra una tabla que muestra el nivel de desarrollo alcanzado para cada uno de ellos.

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2 TABLA RESUMEN

2. TABLA RESUMEN A continuación se muestra la tabla resumen, que indica el nivel de desarrollo para cada uno de los ejercicios propuestos. El número 0 indica que el ejercicio no fue resuelto, 1 indica que está inconcluso pero que tiene parte del desarrollo y el 2 indica que fue totalmente resuelto. Se referirá a los ejercicios en el formato .. Así, por ejemplo, el ejercicio 4 del capítulo 10 será llamado “Ejercicio 4.10”.

Boylestad

Edminister-Schaum

Kemmerly

Ejercicio Nivel de desarrollo Ejercicio Nivel de desarrollo Ejercicio Nivel de desarrollo

4.2 4.13 4.35

2 2 2

2.29 3.35 4.22

2 2 2

5.1 5.7 6.9 6.12 7.3 7.1 7.21 8.3 8.7

2 2 2 2 2 2 2 2 2

5.24 5.27

2 2

8.46 9.3 9.9 9.19 10.5 10.8 10.27 12.12 12.15

22 2 2 2 2 2 2 2

2.5 2.27

2 2

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3 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS BOYLESTAD – CAPÍTULO 4

3. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS “BOYLESTAD” Ejercicios extraídos del libro “Introducción al Análisis de Circuitos”, décima edición.

Capítulo 4 Ejercicio 4.2 ¿Cuál es la corriente a través de un resistor de 72

Ω

si la caída de voltaje en él es de 12 V?

Solución Valiéndonos de la Ley de Ohm es posible encontrar la corriente pedida, donde la tensión V corresponden a los 12 V de caída de voltaje en el resistor, R es el valor resistivo del resistor, 72 Ω e I es la corriente a través del resistor: =

Reemplazando:

   =  12  = 72 Ω = 0.167

Por lo tanto, la corriente a través del resistor tiene un valor de 0.167 A.

Ejercicio 4.13 a) Si un calentador eléctrico extrae 9.5 A al estar conectado a una fuente de 120 V, ¿Cuál es su resistencia interna? b) Emplee las relaciones básicas del capítulo 2 para responder a la pregunta: ¿cuánta energía se convierte en 1 h?

Solución a) A partir de la Ley de Ohm es posible encontrar la resistencia interna del calentador eléctrico, donde V es la tensión de la fuente e I la corriente que extrae el aparato:

 =   = / Reemplazando: 5


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 = 12.632Ω  = 120 9.5 b) Un joule de energía utilizado en una hora corresponde a un watt, y el watt es la unidad correspondiente a la potencia. La pregunta es equivalente a preguntar por la potencia demandada por el calentador. De acuerdo a las relaciones básicas citadas y reemplazando, tenemos: =

 

 = 1209.5  = 1140 Ejercicio 4.35 a) Grafique la potencia en función de la corriente para un resistor de 100 Ω. Use una escala de potencia de 0 a 1 W y una escala de corriente de 0 a 100 mA con divisiones de 0.1 W y 10 mA, respectivamente. b) ¿Es la gráfica lineal o no lineal? c) Usando la gráfica resultante, determine la corriente a un nivel de potencia de 500 mW.

Solución: a) La gráfica obtenida se muestra a continuación: Potencia (W)

Potencia vs. corriente

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Corriente (A)

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

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b) La gráfica es no lineal. c) De acuerdo al gráfico resultante en a), la corriente para un nivel de potencia de 500 mW en un resistor de 100 Ω es de aproximadamente 70 mA.

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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS BOYLESTAD – CAPÍTULO 5

Capítulo 5 Ejercicio 5.1 Calcule la resistencia total y la corriente I para cada circuito:

Solución Para el circuito (a) se tienen tres resistencias en serie con la fuente de 60 V, por lo tanto la resistencia total corresponde a la suma de las tres resistencias:

  2Ω  6Ω  12Ω  20Ω La corriente I es constante en todo el circuito al estar sus componentes en serie. De acuerdo con la Ley de Ohm y reemplazando se obtiene:

   60  3     20Ω Para el circuito (b) se tienen resistencias con valores representados con múltiplos de 10, por lo que se debe prestar atención. Este circuito está en serie y se sigue el mismo procedimiento que para el circuito (a):

  200Ω 1Ω 330Ω  0.1Ω   200000Ω 1000000Ω  330000Ω 100000Ω  1630000Ω  1.63Ω 8


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Por lo tanto, para la corriente I:

10  6.135μ     1.63Ω El circuito (c) presenta una topología “accidentada” pero mantiene sus elementos en serie. La resistencia total es:

  15Ω  10Ω  25Ω  25Ω 10Ω 25Ω  110Ω Para la corriente:

    35  318  110Ω Por último, el circuito (d) también tiene sus resistencias en serie, sin embargo se debe despreciar la de 2.2 pues la corriente tiende a viajar hacia la 1.3 kΩ, que se encuentra dentro del camino cerrado del circuito. En circuito abierto no circula corriente. Con esto en mente hacemos los cálculos para la resistencia total y la corriente:

Ω

  1.2Ω  4.5Ω  1.3Ω  3Ω  10Ω     120 10Ω  12

Ejercicio 5. 7 Encuentre Vab con polaridad para los circuitos de la figura. Cada cuadro puede contener una carga o una fuente de voltaje, o una combinación de ambas.

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Solución El circuito (a) presenta una fuente de 10 V en paralelo con tres elementos en serie. La restricción es que estos tres elementos en serie tengan una diferencia de potencial de 10 V en conjunto entre sus extremos, pues coincide con los terminales de la fuente de 10 V, en paralelo. Matemáticamente, la diferencia de potencial requerida, considerando el sentido de la corriente es de:

 = 2 + 3 +   = 10 − 2 − 3 = 5 10

El circuito (b) se encuentra abierto, por lo tanto la resistencia R es irrelevante en los cálculos a realizar pues no existe corriente a la cual oponerse. Luego sólo se consideran la sumatoria correspondiente de tensiones, considerando su polaridad:

 = 20 + 60 − 10 = 70

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Capítulo 6 Ejercicio 6.9 Para la red de la figura siguiente

a) Encuentre la conductancia y la resistencia totales. b) Determine Ix y la corriente a través de cada rama paralela. c) Verifique si la corriente de la fuente es igual a la suma de las corrientes de ramas paralelas. d) Encuentre la potencia disipada por cada resistor, y observe si la potencia entregada es igual a la potencia disipada. e) Si los resistores están disponibles con clasificación de potencia de ½, 1, 2 y 50 W, ¿cuál es la clasificación de potencia mínima para cada resistor?

Solución a. La conductancia corresponde al recíproco de la resistencia, es decir:

  1 Por lo tanto, la conductancia total corresponde a

1  1.667   1  1  1  3Ω1  6Ω1  1.5Ω La resistencia total, en paralelo corresponde a

  1  0.857Ω b. La corriente Ix corresponde, según la Ley de Ohm:

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0.9  =  = 0.857 Ω = 1.05

La tensión es la misma para cada rama, que a su vez coincide con la de la fuente, (configuración en paralelo). Luego, la corriente para cada rama depende sólo de la resistencia presente en cada una, por lo tanto, según la Ley de Ohm:

 =  = 0.93Ω = 0.3  =  = 0.96Ω = 0.15 0.9  =  = 1.5 Ω = 0.6

c. Efectivamente, la suma de las corrientes de cada rama es igual a la corriente de la fuente, I x:  +  +  = 1.05 = 

  

 

La potencia disipada por cada resistor se da de acuerdo a las igualdades ya estudiadas en los capítulos anteriores, para la potencia, la corriente y la tensión:

 =  

La potencia disipada por  es: =

= 0.9

0.3

= 0.27

        =  = 0.90.15 = 0.135 La potencia disipada por  es:  =  = 0.90.6 = 0.54 La potencia disipada por  es:

La suma de las potencias disipadas es: =  +  +  = 0.945      La potencia de la fuente está dada por:  =  = 0.91.05 = 0.945

Por lo tanto, la potencia disipada por todos los resistores es igual a la potencia entregada por la fuente. 12


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e. La clasificación de potencia mínima para cada resistor debe ser inmediatamente superior a la potencia que está disipando, por lo tanto, se tiene que para  y  corresponde 0.5 W y para  corresponde 1 W.

 



Ejercicio 6.12 Una parte de un servicio residencial a una cada se muestra en la siguiente figura:

a) Determine la corriente a través de cada rama en paralelo de la red. b) Calcule la corriente extraída de la fuente de 120 V. ¿Se desconectará el interruptor del circuito de 20 A? c) ¿Cuál es la resistencia total de la red? d) Determine la potencia suministrada por la fuente de 120 V. ¿Cómo se compara con la potencia total de la carga?

Solución a. Como se aprecia e indica en la figura, cada elemento conectado al circuito opera bajo una tensión de 120 V (los focos están en paralelo, los que a su vez lo están con la lavadora, la TV y la fuente). Luego, de acuerdo a las igualdades matemáticas vistas se tiene que:

      

Utilizando esta ecuación se puede descubrir el valor de la corriente en cada rama: Para los diez focos de 60 W en paralelo tenemos una potencia total de 600 W (los valores de potencia de cada uno se suman, véase ejercicio 9 del capítulo 6, inciso (c)) La corriente que pasa por la rama correspondiente es: 13


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 = 5  =  = 600 120 Para la rama correspondiente a la lavadora, que demanda una potencia P 2 de 400 W se tiene que pasa una corriente de:

 = 3.333  =  = 400 120 Para la televisión de 360 W se tiene que:

 = 3  =  = 360 120 b. La corriente que pasa a través del interruptor del circuito es la suma de estas tres corrientes:

 =  +  + 1 = 11.333 Por lo tanto la corriente aun no llega al límite del interruptor (20 A) y no la corta.

c. La resistencia total del circuito es, según la Ley de Ohm:

 =   = 120 = 10.589 Ω  11.333    d. La potencia suministrada por la fuente es:  =  =

 = 12011.333 = 1360 Este resultado corresponde también a la suma de las potencias en cada rama: = 600



+ 400



+ 360



= 1360





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Capítulo 7 Ejercicio 7.3 Para la red de la siguiente figura:

a) b) c) d) e) f)

    5   2         6   10    3Ω,   2Ω,   4Ω  1Ω

¿Es   ? Explique. Si e  , encuentre  . ¿Es     ? Explique. Si  y , encuentre . Si  , ¿cuál será el valor de  ?    Si los resistores tienen los valores dados en el inciso (e) y , ¿cuál será el valor de I en ampere? g) Utilizando los valores dados en los incisos (e) y (f), encuentre la potencia entregada por la batería E y disipada por los resistores R1 y R2.

   10

Solución a. De acuerdo con la primera Ley de Kirchhoff, la corriente que entra por un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. En este caso, la corriente I es necesariamente la misma que en I3 e I6 pues en cierto modo, son el mismo camino. La corriente I 1 sumada con la corriente I2 equivalen a I, la corriente I se “reparte” en cada una de ellas y por lo tanto sale con la misma intensidad. Además, R1 y R2 pueden transformarse en un R equivalente, lo que transforma el circuito completo en uno en serie, y como se sabe, en estos casos la corriente es constante en el circuito. b. Como se mencionaba en el inciso (a), la corriente I se reparte entre I1 e I2. Matemáticamente se tiene que:

     15


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 =  −  = 5  − 2  = 3 

 

c. De acuerdo al análisis hecho en el inciso (a), se tiene que la suma de corrientes  +  es necesariamente igual a  +  porque la corriente es constante.

 

d. De acuerdo con la Ley de Tensiones de Kirchhoff y a la topología, se tiene que:

 −  −  = 0  =  −   = 10 − 6 = 4 Este hecho es debido a que las tensiones se encuentran en serie. e.  y  están en paralelo, así como  y  también lo están. Luego, las resistencias  y  en conjunto están en serie con las resistencias  y  . Llamemos  a la resistencia equivalente a  y , y  a la resistencia equivalente a  y . Entonces se tiene que la resistencia total es:

    

 

   

 



 =  +    3Ω2Ω 4Ω1Ω  =  +  +  +  = 3Ω + 2Ω + 4Ω + 1Ω = 2Ω f. Según la Ley de Ohm y el análisis de inciso (a) se tiene que la corriente I es

 =  = 102Ω = 5 g. La potencia disipada por la fuente es: = = 10 5 = 50           La potencia disipada por cada resistor se puede encontrar considerando los valores  y  que

son las resistencias equivalentes para las resistencias originalmente en paralelo. Con esta consideración se pretende encontrar la caída de voltaje en  y  con los valores pedidos, luego esta caída de voltaje se utiliza para encontrar la corriente que pasa por  y  y así aplicarlo a la fórmula = . De esta manera, por Ley de Ohm, la caída de voltaje en  es:

 

 

  

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    51.2Ω  6 Esta tensión es común para  y  por estar en paralelo. La corriente que pasa por  es:   6  2 3Ω Por lo tanto, la potencia disipada por  es:     62  12 Análogamente para  : 6  3   2Ω     63  18 Ejercicio 7.10 Para la red de la figura siguiente

Encuentre las corrientes I e I6 b) Encuentre los voltajes V1 y V5. c) Encuentre la potencia entregada al resistor de 6 k Ω a)

Solución

 , 

a.    se encuentran en paralelo y se puede establecer una resistencia equivalente (llamémosla  , lo mismo puede hacerse con  y  (llamémosla  ). Además, se puede



 



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

    

establecer otra resistencia equivalente,  proveniente de la suma de  y  que están en serie. Finalmente se puede considerar una resistencia equivalente a partir de  y  , que están en paralelo. Considerando la tensión de la fuente y la resistencia total,  , se puede obtener I. De esta manera:

 =  Con:

 = +  Pero 1

=

1

+

1

+

1

→

= 2 Ω

     

Y

 =  +  Con

 =  +  = 99ΩΩ+66ΩΩ = 3.6Ω Por tanto

 = 3.6Ω + 10.4Ω = 14Ω Entonces

 = 22ΩΩ+1414ΩΩ = 1.75Ω Por último

 = 28 = 16   1.75Ω  =



Para obtener  se debe considerar el circuito equivalente

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

Al observar su topología notamos de inmediato que la corriente  corresponde a:

 =  (Ley de corrientes de Kirchhoff)

 =  + 

 =  +   =  −  =  −  = 16 − 228Ω = 2  b. La tensión en V1 es la de la fuente pues se está midiendo desde los terminales de la misma, por lo tanto:

 = 28 La tensión en V2 corresponde a la caída de tensión en la resistencia equivalente Rb. Como se conoce la corriente que pasa por ella y también su valor resistivo, se puede encontrar el dato requerido:

 =  = 23.6Ω = 7.2 c. Potencia entregada al resistor de 6 k Ω: es necesario averiguar la caída de tensión en dicha resistencia, pero antes se debe conocer la corriente que pasa por ella:

 = 1.2  =  = 7.2 6Ω La potencia es

 =  = 7.21.2 = 8.64 19


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Ejercicio 7.21 Para la red de la figura siguiente: a) Determine la corriente I.

b) Calcule el voltaje de circuito abierto V.

Solución a. La corriente en I se puede obtener separando el circuito en dos partes, obtener I para cada una de ellas y luego volver a juntar las partes, sumando los I parciales encontrados. La primera parte corresponderá a un subcircuito conformado por la fuente de 20 V y la de 18 V, en conjunto con la resistencia de 8 Ω (todas en serie, se asumirá que por este motivo habrá una fuente equivalente de 38 V). Aplicando la Ley de Ohm se obtiene la corriente para el circuito completo (incluyendo el segmento donde se pide I):

    38 8Ω  4.75 El segundo subcircuito será conformado por la fuente de 18 V y las resistencias de 3 y 6 serie:

Ω

en

      18 9Ω  2

Al combinar estos resultados se obtiene

      6.75 b. Se puede hacer el mismo análisis con dos trayectorias separadas o “subcircuitos”: la tensión pedida es igual a la suma de caída de tensión de las resistencias de 8 y 3 Ω.

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Para la primera trayectoria se tiene que la caída de tensión en la resistencia de 8

Ω

es:

Ω

es:

 =  = 38  Para la segunda trayectoria se tiene que la caída de voltaje en la resistencia de 3

 =  = 23Ω = 6 Sin embargo, al ver la topología estas caídas de voltaje son en sentidos contrarios, tomando en cuenta los puntos a y b. Por lo tanto, para que la información sea congruente, se tomará positivo el valor de la caída de tensión de la resistencia de 8 Ω y negativo el de la resistencia de 3 Ω. Por lo tanto, considerando que ambas caídas están presentes en serie entre los puntos de referencia se procede a sumar los valores, obteniendo

 =  −  = 32

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Capítulo 8 Ejercicio 8.3 Para la red de la figura: a. Encuentre las corrientes I 1 e I 5. b. Encuentre los voltajes V 5 y V 3.

Solución: Primero se transforma la fuente de corriente en una de voltaje:

Con análisis de malla se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

8  2Ω  24  0 22


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24  8Ω  0   4  De aquí se obtiene que   8,  3,  12

Aplicando la Ley de Ohm se obtiene:

Ejercicio 8.7

  2Ω  24,  2Ω  6

Para la red de la figura:

Ω

a) la fuente corriente través del . a una fuente de voltaje y b) Encuentre Convierta la de acorriente y elresistor resistordede2 4 Ω nuevamente resuelva para la corriente en el resistor de 2 Ω. Compare los resultados.

Solución:

 Ω  4Ω12 4Ω  2Ω  8

a) Usando el divisor de corriente para Ω se tiene:



b) Al convertir la fuente de corriente en una de tensión y usando LCK y despejando Ω se obtiene lo siguiente:

Donde

Ω       8 23


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  12  48 Ejercicio 8.46 Escriba las ecuaciones nodales para la configuración de puente de la figura siguiente. Utilice el método de formato.

Solución Acomodamos la topología como se muestra en la siguiente figura:

Para el nodo 1 analizamos las corrientes: 24


24/60

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4

4

 =  +  + 

 −  +  −   = 1Ω + 100 Ω 200Ω

Para el nodo 2:

 =  +   −  =  −  + 9 +  100Ω 1Ω 200Ω  Para el nodo 3:

 +  =   −  + 9 +  −  =  1Ω 200Ω 100Ω Haciendo los cálculos pertinentes y simplificando llegamos a un sistema de ecuaciones dado por:



    1

800 = 203  − 2  −  1800 = −203  + 200

  1800 = 203  − 200           De la ecuación (1) tenemos que:  = 203 − 2 − 800(4) +  2 −  3

Y de la ec. (2) se tiene:

 = 900 + 101.5 − 100 (5) Uniendo (4) y (5) tenemos que:

 = 8.96



Evaluando (4) y (5) en (3) tenemos: 881.12



+ 1.0148



(6)

 

 = −95.5 + 896 + 101.48



Despejando tenemos:

25


25/60

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 = −2.488 

Evaluando  en (6) se obtiene:

 = 6.435   en (2):  = 3.948

Como resultado final, evaluando 

26


26/60

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Capítulo 9 Ejercicio 9.3 Utilizando superposición, encuentre la corriente a través de R 1 para cada red de la figura siguiente.

Solución Para la figura a. Eliminando la fuente de voltaje se tiene:

Usando divisor de corriente se obtiene que: 27


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  5  0.003 Donde

      1.32Ω Ahora, eliminando la fuente de corriente, dejándola como un circuito abierto, volvemos a calcular  :



  8    0.001454 La suma de las dos corrientes en  encontradas al eliminar la fuente de voltaje y la de corriente nos dará la corriente total en  .       0.0454545 Para la figura b Eliminamos las fuentes de voltaje y transformamos la fuente de corriente en una de voltaje:

28


28/60

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

Calculamos la corriente total que será:

24  1.411   4Ω 5 Ω 8Ω Por lo tanto la caída de tension en :

   5Ω  7.058

 

Como  y  están en paralelo, el voltaje es el mismo en cada uno de ellos, así que podemos calcular la corriente :



    1.176 Ahora eliminamos la fuente de corriente.

29


29/60

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

Después eliminamos una fuente de voltaje (  ):

30


30/60

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Simplificando (para reducer el número de resistencias):

   ∥    ∥ 

Donde 



  8Ω8  4Ω  0.667

Calculando la caída de tension en  :

    5.333 Expandiendo el circuito para llegar  :

   ∥    Como  y  están en paralelo, la caída de tension es la misma para cada una, y se puede calcular la corriente que pasa por  .     0.5925 Volvemos a “expandir” el circuito para lograr conocer la corriente que pasa por  . Donde 

31


31/60

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



 ∥  podemos calcular la caída de tensión en esta

Como  es igual para  como para  última:

∥   ∥   2.9629  Como  ∥ , tienen la misma tensión, se puede calcular  .   ∥   0.5925 Ahora calculamos la corriente en  eliminando la fuente  y dejando 

Simplificando el circuito obtenemos que:

32


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       ∥12    ∥   0.92857 Sumando todas las corrientes paraciales obtendremos la corriente total que circula por el resistor 1:

        2.6976 Ejercicio 9.9 Encuentre el circuito equivalente de Thévenin para las porciones de las redes de la figura siguiente externas a los puntos a y b.

Solución Para el circuito (I).



Calculando  , eliminamos las dos fuentes de voltaje:

33


33/60

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  60Ω30Ω 60Ω  30Ω  25Ω  45Ω 

Ahora calculamos  :



Observando el circuito nos damos cuenta de que  será igual a la caída de tensión en resistencia de 30 . Por lo tanto, usando divisor de voltaje se tiene:

Ω

  60Ω15  30Ω 30Ω  5 Luego, el circuito equivalente de Thevenin para el circuito (I) es:

Para el circuito (II).



Calculando  , se elimina la fuente de corriente:

34


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        11.3Ω Para el voltaje equivalente de fuente Thevenin se tienecon (transfomando la fuente deycorriente con resistencia en paralelo en una de voltaje una resistencia en serie aplicando divisor de tensión):





Se observa que  será igual a la caída de tensión en .

70.2     2.7Ω 4.7Ω 3.9Ω2.7Ω  16.77

Por lo tanto el circuito equivalente de Thevenin para el circuito (II) es:

35


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Ejercicio 9.19 Para cada red de la figura encuentre el valor de R para la potencia máxima hacia R.

a)

Para el circuito (I)



Para la máxima transferencia se calcula el  . Simplificando el circuito y eliminando la fuente de corriente obtenemos:

36


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      14Ω Para el circuito (II) Eliminando la fuente de corriente (cortocircuitando):

   ∥     7.5Ω b) Para calcular la potencia en  en el circuito (I) cambiando la fuente de corriente por una de voltale

37


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           23.14

Haciendo el mismo análisis para el circuito (II) y transformando la fuente de voltaje a una de corriente:

  45Ω7.5Ω 5Ω  7.∥55Ω Ω ∥ 5Ω  0.6667 Por lo tanto, la potencia en  es:     3.333 38


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Capítulo 10 Ejercicio 10.5 Encuentre la intensidad de campo eléctrico entre las placas de un capacitor de placas en paralelo si 100 mV se aplican en las placas y estas se encuentran separadas 2 mm. Solución Sabiendo que

    Y además que

 Por lo tanto,

         

Despejando:

    50/ Ejercicio 10.8 Encuentre la capacitancia de un capacitor de placas en paralelo si el área de cada placa es de 0.075 m2 y la distancia entre las placas es de 1.77 mm. El dieléctrico es el aire.

Solución

     3.7522510 Ejercicio 10.27 El capacitor de la figura inicialmente se encuentra cargado a 12 V con la polaridad mostrada.

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a) Encuentre las expresiones matemáticas para el voltaje vc y la corriente iC cuando el interruptor se cierra. b) Trace las formas de onda para vc y iC.

Solución Reescribiendo el circuito:



En  el capacitor ya se encuentra con una tensión igual a 12 V. 40


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

En  el condensador libera una energía (corriente) dada por:

  = −  +  = −0.6593

 Con  = 12 (voltaje inicial del condensador). En  la corriente es máxima y está dada por:





 = 28+ = 1.52  

Las expresiones para ( ) y  son:

 =  +        −   

 =  

Con

 





 =  +  Factorizando se tiene que

 =  −   



  = 0.00087912ℯ   ( .



Para 

)

 = 1   Reemplazando

 en la expresión anterior se tiene: 1  −   =      

Resolviendo:

 = ( − )  

  



+



Sabiendo que en ,  es igual a  , evaluamos: 41


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      Por ende

   La expresión final para  es:







    )       16.  28 b) El gráfico correspondiente a  se muestra a continuación:  

 

Voltaje (V)

Tiempo (s)



El gráfico correspondiente a  se muestra a continuación:

42


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Corriente (A)

Tiempo (s)

Observación:

5  5  0.6188, que es cuando el sistema se estabiliza.

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Capítulo 12 Ejercicio 12.12 Para el circuito de la figura:

a) Determine la constante de tiempo. b) Escriba la expresión matemática para la corriente i L después de cerrar el interruptor. c) Resuelva la parte (b) para v L y v R. d) Determine i L y v L en una, tres y cinco constantes de tiempo. e) Trace las formas de onda de i L, v L y v R.

Solución a)

    0.0000125  b)    1        2101     c)              0.04      1    d) Para 1 tenemos:    1     1.264210        0.01471 Para 3 tenemos:    1     1.910  

 

τ

τ

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       1.991410 Para 5τ tenemos: 

   1     210         0 

e) Para  se tiene: Corriente (A)

Tiempo (s)

Para  se tiene:



Voltaje (V)

Tiempo (s)

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

Para  se tiene: Voltaje (V)

Tiempo (s)

Observación: la gráfica (y el sistema) se estabiliza en

5  6.2510.

Ejercicio 12.15 Para la red de la figura:

a) Escriba las expresiones matemáticas para la corriente i L y el voltaje v L que siguen al cierre del interruptor. Observe la magnitud y la dirección de la corriente inicial. b) Trace la forma de onda i L y v L para todo el periodo desde el valor inicial hasta el nivel de estado estable.

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Solución

 



a) En = 0, la corriente es cero, pero está circulando una corriente  = 8 que:

. Tenemos

 =  1 −    =  = 36 = 0.004186   +  8.6Ω 

Ahora, sabiendo que

Y que los 8 mA irán disminuyendo con el tiempo, por lo que su expresión estará dada por:

   

 = 0.008 Desarrollando la sumatoria de las corrientes tenemos que:  =  −    + 0.008  



La caída de tensión en la bobina es:

 =   = 0.004186  − 0.004186  + 0.008  Evaluando la corriente   en la expresión anterior tenemos: ,

,

 =    − 0.008    = 36  − 68.8  

,



,

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

b) Para  se tiene: Corriente (A)

Tiempo (s)



Para  se obtuvo: Tiempo (s)

Voltaje (V)

Observación:

5    6.977710, que es cuando el sistema se estabiliza. 

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4 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS SCHAUM – CAPÍTULO 2

4. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS “SCHAUM” Ejercicios extraídos del libro “Circuitos Eléctricos”, segunda edición.

Capítulo 2 Ejercicio 2.29 Encuentre el valor de C en la Fig. 2-34 para que la capacitancia equivalente sea de 0.5µF.

Solución: El circuito de la figura 2-34 lo podemos reducir a la siguiente forma:

Entonces, para obtener C ocupamos la siguiente formula de condensadores en serie:

10.6  0.5  1  0.6   0.8  0.5  0.6   0.2  0.5   0.4 Finalmente, C debe tener un valor de 0.4µF para que la capacitancia equivalente sea de 0.5 µF.

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Capítulo 3 Ejercicio 3.35 Usando la regla de división de voltaje, calcúlese V 1 y V2 en la figura 3-47.

Solución: Antes de calcular el voltaje, reduciremos las resistencias en paralelo de 36 Ω y 12 Ω. Esto lo hacemos porque el voltaje V1 es el mismo que el voltaje del equivalente de las resistencias de 36 Ω y 12 Ω:

  1236 48  9Ω

Ahora utilizando el divisor de voltaje:

Para la resistencia de 103.2Ω serie de 16.4 Ω y 28.7 Ω.

  1059  11.39V   83 resulta más sencillo, ya que debemos reducir las resistencias en

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Entonces, por divisor de voltaje, la tensión V 2 es:

  105103.2 148.3  73,07 Debido a que V2 tiene establecida una polaridad según la figura 3-47 (opuesta a la establecida para el cálculo), el valor final es de:

  73.07.

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Capítulo 4 Ejercicio 4.22 Se muestran corrientes de trayectoria cerrada en la red de la figura 4-26. Por inspección escríbase la ecuación de matriz y resuélvase para I1, I2, e I3.

Solución: Hay que notar que I3 tiene un recorrido particular, que no pasa por el resistor de 2 Ω pero si por el resistor de 5Ω. Para encontrar las corrientes requeridas debemos escribir las ecuaciones de mallas del circuito:

Lo que es equivalente a:

110  5  2  5 210  20  5  5  3  4  4 30  4  2  4 410  7  5 5 10  5  4 12 60  6  4

La solución del sistema 4-5-6 es:

  3.55   1.98   2.98 52


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Capitulo 5 Ejercicio 5.24 En el circuito RC mostrado en la fig. 5.39 el interruptor está cerrado en la posición 1 en t=0 y entonces se mueve a 2 despues del paso de una constante de tiempo. Obtengase el transitorio de corriente para: a) 0< t < τ b) t > τ

Solución: Antes que nada calcularemos la constante de tiempo τ:

  5010100  5 a) Calcularemos el transitorio para 0< t < τ. La corriente en la etapa transitoria para un circuito RC como el de la figura esta dado por la siguiente formula:

    Donde E es el voltaje de la fuente y R es el valor resistivo del resistor conectado en serie con el condensador. En el primer caso i(t) es:

Para un valor de t entre 0< t < τ.

 50 .   100  0.5

b) En la etapa 2 el condensador ya tiene una carga. Usando la ecuacion del voltaje para un circuito RC podemos calcular el voltaje que tiene el condesador cuando el interruptor cambia.

  1      501    31,61 53


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Ahora, en la posicion 2 se cambia la polaridad de la fuente y toma un valor de 20V, por lo que la corriente del circuito ahora sera:

  20 31.61       100   0.516 Notese que la exponencial esta elevada a 200 τ) en vez de 200, esto se debe a que en la posicion 2, el tiempo se empieza a contar desde t = τ . El voltaje que se tomo en cuenta como E es la suma del voltaje de la fuente de la posicion 2 mas el voltaje de carga obtenido por el condensador en la etapa 1. Ahora bien hay que tener en cuenta que cambio la polaridad del circuito por lo que la corriente va a circular en sentido opuesto con respecto a la etapa 1 entonces la corriente sera negativa:

  0.516 Ejercicio 5.27 En la figura 5.40 el interruptor esta cerrado en la posicion 1 en t=0 entonces se mueve a 2 en t=1ms. Encuentrese en que número el voltaje a traves del resistor es 0, invirtiendo la polaridad.

Solución: Primero calculamos la constante de tiempo τ:

0.2  0.4     500 El voltaje en el paso 1(1 ms) que adquiere la bobina esta dado por:

    50.  4.104 El voltaje en la resistencia en el mismo periodo de tiempo es:

  1    501  .   45.9 54


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Ahora analizamos cuando el interruptor esta en 2. Por la ley de voltajes Kirchhoff : 50 =

 + 

Pero vR debe ser 0, por lo que:

 = 50   = 50 En este caso V es igual a la suma del voltaje de la fuente con el voltaje de la resistencia en el paso 1 que ahora pasa a ser el voltaje de la bobina (ya que se cambio la polaridad de la fuente), entonces: 95.9

 = 50

Utilizando las propiedades adecuadas resolvemos esta ecuacion, que da por resultado:

 = 0.000261 = 0.261 Son 0.261 ms pero le debemos agregar el tiempo que estuvo el interruptor en 1, entonces:

 = 1 + 0.261 = 1.261 Luego, para que el voltaje en la resistencia sea 0, deben pasar 1.261ms

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5 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS KEMMERLY – CAPÍTULO 2

5. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS “KEMMERLY” Ejercicios extraídos del libro “Análisis de Circuitos en Ingeniería”, quinta edición.

Capítulo 2 Ejercicio 2.5 Utilice el análisis de nodos para encontrar v 4 en el circuito de la figura 2-46.

Solución: Debido a que existen fuentes de voltaje, las cuales no tienen un resistor en serie asociado, será necesario utilizar la técnica de análisis de supernodos. Para ello cortocircuitamos las fuentes de voltaje e identificamos los nodos y supernodos del circuito:

Podemos apreciar que los nodos v1 y v2 forman un supernodo al igual que v 3 y v0 (siendo v0 el nodo de referencia). A partir de esto podemos escribir las ecuaciones del circuito:

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−    −    12.5 + + 20 10 2) 150 = 

1) 5 =



 10−  + 25 4) −  = 100

3) − 10 =

Arreglando un poco las ecuaciones: 5)

1 1 1 1 1  12.5 +   +  −  −  = 5 20 10 12.5 10

 = 1501 1 7) − +   +  10 10 25 8)  −  = 100 6) 1

La ecuación 5) corresponde a la ecuación del supernodo. Hay que tomar en cuenta que no se hizo el análisis de corrientes en v3 – ecuación 6) - ya que al existir una fuente de voltaje entre v3 y el nodo de referencia sin ningún otro elemento entre ellos, el voltaje de v 3 es igual al de la fuente de tensión. La ecuación 8) relaciona la fuente los voltajes nodales v 1 y v2 con la fuente de 100V. Resolviendo el sistema obtenemos:

 = 111.71  = 11.71  = 150  = −63.063

Por lo tanto el voltaje V 4 asociado a la resistencia de 25Ω es V4=-63.063V pero debido a la polaridad que se muestra en la figura 2-46 el voltaje corresponde a V 4 =63.063.

Ejercicio 2.27 Encuentre el equivalente de Thévenin en la red de la figura 2-64 visto desde las terminales: a) x y x’ b) y y y’ 57


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Solución: a) Para calcular Rth, cortocircuitamos la fuente de tensión y reemplazamos la fuente de corriente por un circuito abierto:

Las resistencias de 20Ω y 40Ω están en serie formando una resistencia equivalente de 60Ω:

Luego, la resistencia equivalente de estos tres resistores en paralelo es:

 1 1 1   10  50  60  7,32Ω Que corresponde a la resistencia de Thévenin R th. Para calcular el voltaje de Thévenin Vth utilizaremos análisis de nodos a la figura 2-64. De antemano sabemos que Vth es igual a la caída de voltaje del resistor de 50 Ω.

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Las ecuaciones de nodos son:

 88      0 1  10 50 20   1 2 20   40 Arreglando las ecuaciones:

3 101  501  201    201  8.8 4 201   201  401   1 Resolviendo el sistema obtenemos los valores de V 1 y V2: 

  69.3   59.5

Donde V1 corresponde al voltaje de Thévenin para el circuito visto desde los terminales x y x’. El circuito entonces queda de la siguiente forma:

b) Reemplazamos la fuente de tensión por un cortocircuito y la fuente de corriente por un circuito abierto para obtener Rth:

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Las resistencias de 10Ω y 50Ω están en paralelo, formando una resistencia equivalente de 8.333Ω.

La resistencia equivalente del circuito está dada por:

 1 1   28.333  40  16.59Ω Luego, el voltaje de Thévenin V th visto desde los terminales y y y’ no es mas que la caída de voltaje del resistor de 40 Ω, ya que están en paralelo. El voltaje de este resistor fue calculado en la parte a) de este ejercicio, donde el voltaje del resistor de 40 Ω es V2=59.5 V que es también el voltaje de Thévenin Vth. Finalmente el circuito queda de la siguiente forma:

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