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Formulario Básico
Razones y Proporciones
Razón aritmética: Razón geométrica:
ab r a r b
a: antecedente b: consecuente r: valor de la razón Proporción: Igualdad de dos razones aritméticas (proporción aritmética) o dos razones geométricas (proporción geométrica).
ac a c = bd b d
ab cd ab c d
;
Para serie de razones equivalentes: a1 a2 a3 a = =...= n =k b1 b2 b3 bn a1 a2 a3 .... an k b1 b2 b3 .... bn a1 a2 a3 .... an kn b1 b2 b3 .... bn
I) Proporción aritmética discreta: a b c d ; a b c d
Pro medios
“a y d” términos extremos “b y c” términos medios “d” cuarta diferencial de a, b y c
a a2 .... an Media aritmética: Ma 1 n
II)Proporción aritmética continúa: a b b c ; a b c “b” media diferencial de a y c “c” tercera diferencial de a y b
Media geométrica:
III) Proporción geométrica discreta a c ; abcd b d “a y d” términos extremos “b y c” términos medios “d” cuarta diferencial de a, b y c IV) Proporción geométrica continúa a b ; abc b c “b” media proporcional de a y c “c” tercera proporcional de a y b a c , se cumple: Propiedades: si b d ab cd b d
,
a c b ma d mc
Media armónica:
Mg n a1 a2 ... an Mh
n 1 1 1 ... a1 a2 a3
Propiedades: Ma Mg Mh 2
;
Ma Mh Mg
2
a b 2
Ma Mg
2
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Magnitudes Proporcionales
Magnitudes directamente proporcionales: * Dos magnitudes A y B son D.P. cuando al aumentar A la magnitud de B también aumenta. A A A Si A y B son D.P. 1 2 3 .... k B1 B2 B3 * Su gráfica es una recta Magnitudes inversamente proporcionales: * Dos magnitudes A y B son I.P. cuano al
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Básico aumentar A la magnitud B disminuye en la Va=Vn D misma proporción. Valor nonimal Vn : Cantidad de dinero Si A y B son I.P. A1 B1 A 2 B 2 .... k que se encuentra escrita en el papel. Su gráfica es una hipérbola equilátera. Descuento D Re gla de Tres Simple y Compuesta Descuento Comercial: Regla de Tres Simple Directa: compara dos magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes
64 7 48 A B Ab Ba , se multiplica en aspa a b
Dc=
Vn t r 100
;
Dc=
Va t r 100 t r
Descuento Racional: Dr=
Vn t r 100
;
Dr=
Va t r 100 t r
Regla de Tres Simple Inversa: compara El denominador puede ser 100, 1200 ó 36 000, dos magnitudes inversamente depende del tiempo “t” proporcionales. Magnitudes
64 7 48 A B AB ab ,se multiplica en línea a b
Regla Compuesta: compara más de dos magnitudes D.P. ó I.P. 6 Magnitudes 44 7 4 48 A B C ABc abC , se multiplica a b c
en forma de alicate. Interés Interés Simple:
I
C.t.r 100
Vencimiento Común: Vn t Vn2 t 2 ... Vnn tn Vcomun= 1 1 Vn1 Vn2 ... Vnn Sistemas de Números
Números naturales: ¥ 0, 1, 2, 3, 4, ... Números enteros: ¢ .., 1, 2, 0, 1, 2,.. a Números racionales: , b 0 b Decimal exacto: 0,ab
ab 100
(I: interés), (C:capital), (t:tiempo), (r: rédito º ab Periódico puro: 0,abab... 0,ab %) 9 Si “t” esta en años el denominador es 100 ) ab a Si “t” esta en meses el denominador es 1200 Periódico mixto: 0,abb... 0,ab Si “t” esta en días el denominador es 36 000 90 Nota: “r” siempre anual (mes comercial: 30 días) Números irracionales: π, 3, L og 6, ... (año comercial: 360 días) Interés Compuesto: Números imaginarios: I bi ; i= 1
t Ic C 1 r 1
Re gla de Descuento
Valor actual Va : dinero que se paga en efectivo 2
Números complejos: Z a bi Sistemas de Númeración
abcd... n
; a,b,c,d,...
Academia ANTONIO RAIMONDI De base “n” a base 10 abcd n an3 bn2 cn d
Formulario Básico * rd re d
a b c d 0,abcd n n n2 n3 n4 De base 10 a base “n”
pqrs n d q1 n c
Divisibilidad
Aspectos a tomar en cuenta: o
o
o
o
* n nn o
o
o
* n nn
o
* n k n donde k ¢
o o
o
* n nn
k
pqrs abcd n
q2 n b q3 n a q4
Cuatro Operaciones
Complemento aritmético: C A ( ab.....z { 14 2 43 ) 1 0....0
"n" ceros
"n" cifras
ab.....z 14 2 43
"n" cifras
C A ( 23 ) 100 23 C A ( 44567 ) 100000 44567 Formas sintéticas: C.A.( ab...z ) 9 a 9 b .... 10 z
o o n, donde k ¢ * n Criterios de divisibilidad: Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par o cero. abc...de 2 ; e par ó cero
Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
abc...de 3 ; a b c ... d e 3 Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 cuando el número que forman las dos últimas cifras del número es un múltiplo de 4.
abc...de 4 ; de 4 Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 cuando la termina en 0 ó 5.
C.A.( ab...z )(n) n 1 a n 1 b .... n z
abc...de 5 ; e 0 ó 5
C.A.( ab...z0 )(n) n 1 a n 1 b .... n z 0
Divisibilidad por 8: un número es divisible por 8 cuando el número que forman las tres últimas cifras del número es un múltiplo de 8.
División exacta:
D d.q
División inexacta por defecto: D d.q rd
; rd : resto por defecto
* 0 rd d * r máx d 1 * r mín. 1 División inexacta por exceso: D d. q 1 r e ; r e : resto por exeso
ab...cde 8 ; cde 8 Divisibilidad por 11: un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras que están en orden impar menos la suma de sus cifras que están en orden par resulta ser cero o múltiplo de 11.
°
abcde 11 ; e c a d b 0 ó 11 Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 cuando al multiplicar a sus cifras por el ciclo 1; 3; 2; –1; –3; –2; 1; 3; 2 ; … de derecha a izquierda resulta cero o un múltiplo de 7. abcde 7 ; e 3d 2c b 3a 0 ó 7 3
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Formulario
Básico Divisibilidad aplicada al binomio de Newton CD (N) = ( α + 1)( β + 1) θ 1 ..... ρ 1 o * (a b)k a bk , k ¢ CD(N) CDprimos CDcompuestos 1 o * (a b)k a bk ; si k es par Suma de los divisores de un número: o ρ 1 * (a b)k a bk ; si k es impar a( α + 1) 1 b( β + 1) 1 z 1 SD = . ..... (N)
Números Primos, Compuestos y PESI
a 1
b 1
z 1
Producto de los divisores de un número:
Números primos: Denominados también números primos absolutos, es aquel PD N NCD ;CD: cantidad de divisores número que tiene dos divisores únicamente: la unidad y el mismo. Suma de las inversas de los divisores de 2 3 5 7 11 13 17 19 23 un número. 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 179 181 191 193 197 199 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
SID
SD N
N Indicador de un número: Denominado también función de Euler “ Φ N ”, nos
Números Compuestos: Se llama número indica cuantos números menores o iguales compuesto a todo número que tenga más a un número “N” son primos entre sí con él. de dos divisores. N=aα .bβ .c θ ....zρ 1 4 2 4
1 2 6 3 6
1 2 8 4 6 8
1 9 3 9
Φ N aα 1. a 1 .bβ 1 b 1 .....zρ 1 z 1
MCD y MCM
* El M.C.D. de dos números divisibles entre si es el menor de ellos. o
Si A B MCD( A, B ) B , B
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Formulario Básico
Teoría de Conjuntos
Número de subconjuntos propios:
2n 1
Conjunto Nulo o Vació: no posee elementos: Vació , nulo=
Conjunto Universal: Denominado también universal, es el conjunto de todos los elementos que pueden ser considerados Conjunto Unitario (Singleton): Posee un para un asunto en común. solo alimento Relación entre conjuntos: Relación de pertenencia : Se da * A= x * B={0} * D={{}} * E={ø} Conjunto Finito e Infinito: un conjunto es entre un elemento y un conjunto. finito cuando consta de un determinado número de elementos distintos, el conjunto Dado: A a;b;c;d infinito es todo lo contrario, es decir la a A ; b A ; a A ; a;b A operación de contar de los diferentes elementos de uno en uno no tenga cuando Relación de inclusión : Se da entre terminar. un subconjunto y un conjunto. Conjuntos Disjuntos: Son aquellos que no Dado: A a;b;c;d tienen ningún elemento en común. A a; b; c B m;n;p a A ; a A ; a;b A ; A Conjuntos Juntos: Son aquellos que Operaciones con Conjuntos tienen cierta cantidad de elementos comunes. Operaciones con Conjuntos: Unión de Conjuntos: A a; b; c; m; p B m;n;p Conjuntos Comparables: Es cuando un conjunto esta totalmente incluido en otro. A a; b; c; m; n; p
A B x / x A x B
A
B
A
B m;n;p
B
A
Subconjunto de un conjunto: Son aquellos formados por los elementos de un Intersección de Conjuntos: conjunto encerrados entre llaves. Sea: A={1; 2; 3; 4; 5} los subconjuntos de “A” A B x / x A x B son: {}, {2}, {2;5}, A, …. B A B A * El conjunto vació es un subconjunto de cualquier conjunto. * El conjunto A es subconjunto de si mismo. Potencia de un Conjunto. Es aquel conjunto que tiene como Diferencia de Conjuntos: elementos a todos los subconjuntos del A B x / x A x B conjunto original. A B A B Dado: A a; b; c , entonces:
PA
conjunto:
2n
A B
; a ; b ; c ; a,b ; a,c ; b,c ; A
Número de elementos de la potencia de un
B
A B
Diferencia Simétrica:
A B x / x A B x B A
A
B
A
B
A B
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Formulario Básico Variable Cuantitativa Continua: Cuando toma valores fraccionarios como: Tiempo de vida de un foco.
Complemento de un conjunto: U U A A C x / x U x A
A
Tamaño de la muestra
n
: Cantidad
total de datos. Alcance
A
: Es el intervalo cerrado del
menor y mayor datos: A menor dato;mayor dato
Estadistica Estadística Descriptiva: Es la que se ocupa de la recolección, organización, Rango R : “recorrido de los datos “, es presentación, descripción y simplificación la diferencia del mayor dato con el menor de datos. dato. Estadística Inferencial: Es la parte de la R mayor dato menor dato Estadística que en base a los resultados del
análisis de los datos y a teorías necesarias, Frecuencia Absoluta f i : La frecuencia pretende inferir las peculiaridades y las leyes que gobiernan la población de la cuál absoluta de un valor, es la cantidad de veces que éste se repite. provienen los datos. Población: Es el conjunto de todos los Mediana (Med): Es el término central de varios valores ordenados. individuos (características comunes), que * Si el número de datos previamente se pretenden estudiar. ordenados es impar la mediana será el Ejemplo: Se desea averiguar la edad término central promedio de los alumnos de la Universidad * Si el número de datos previamente Nacional San Antonio Abad del Cusco. ordenados es par la mediana será la media aritmética de los dos términos Muestra: Se define como un sub–conjunto centrales. de la población. En el mismo ejemplo anterior, solo se Mediana para datos agrupados por intervalos de clase: considera la edad promedio de los ω n estudiantes de una carrera profesional. Med Lm m Fm 1 fm 2 Variable Cualitativa: Cuando presenta una cualidad, característica o atributo de la Lm : Limite inferior de la clasemediana. población Ejemplo. ωm : Ancho de la clase dela mediana. La variable “contextura” con posibles n :Total de datos. valores “gruesa”, “delgada”. F : frecuencia absolutaacumulada de la Variable Cuantitativa: Cuando los valores que toma son números.
m 1
clase que precede a la clasemediana. fm
: frecuencia absoluta dela clasemedia na.
Variable Cuantitativa Discreta: Cuando toma valores enteros, como: La cantidad Moda (Z ó mod): Es aquel dato que tiene mayor frecuencia, es decir es él que más de matriculados en la UNSAAC. veces se repite. Moda para datos agrupados por intervalos 6
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Formulario Básico
de clase: d1 Mo Lo ωo d1 d2 Lo :LimiteInferior a la clase modal. ωo :ancho de la clase modal. d1:Diferencia entre la frecuencia de la clase modal con la clase anterior. d2 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.
Lógica Matematica
Proposición: Es un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras (p, q, r, etc.) Conectivos lógicos: Son símbolos que enlazan proposiciones (p, q, r ,..) simples sin formar parte de ellas.
Operador
Nombre Negación
Esquema : p
Significado
:
Conjunción
pq
“p” y “q”
Disyunción débil
pq
“p” o “q”
Δ
Disyunción fuerte
pΔq
o “p”, o “q”
Condicional
pq
si “p”, entonces “q”
Bicondicional
pq
“p”, si y sólo si “q”
no “p”
Negación: Es un operador monadico, ya que Disyunción débil o inclusiva : Es un afecta solamente a una proposición, operador diadico que vincula dos cambiándole su valor de verdad con el adverbio proposiciones mediante el conectivo “o”. “no” * Ruben maneja o duerme. * Proposición: Dante es ingeniero p * Negación: Dante no es ingeniero : p Conjunción : Es un operador diadico ya que vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico “y” * Martha esta llorando y Pedro se rie p V V F F
q V F V F
pq V F F F
p V V F F
q V F V F
pq V V V F
– La proposición resultante es verdadera si por lo menos una de las proposiciones parciales es verdadera.
– La proposición resultante es falsa si todas las proposiciones parciales son falsas. Disyunción fuerte o exclusiva : Es un diadico que vincula dos La proposición resultante será verdadera si operador las proposiciones parciales son verdaderas. proposiciones. 7
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Formulario Básico
* o Marco es Abogado o ingeniero p V V F F
q V F V F
p q V V V F
Formula Lógica: Conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de colección. (1: 4q)442(P4 4 :43r)
Esquema molecular
Esquemas moleculares:
– La proposición resultante es verdadera si Tautologia: cuando sus valores de verdad solamente una de las proposiciones qué son siempre verdaderos. la forma es verdadera. Contradicción: cuando sus valores de – La proposición resultante es falsa si todas verdad son siempre falsos. las proposiciones parciales son falsas. Contingencia: Cuando contiene por lo Condicional : Este conectivo lógico menos un V y un F. toma dos proposiciones, antecedente y consecuente uniéndolas a través del Implicaciones Tautológicas conectivo (sí entonces). * Modus ponens * Si Daniel estudia ingeniería civil entonces conoce Autocad. p V V F F
q V F V F
pq V F V V
p q p q Si P implica Q, y P es verdadero, entonces Q es verdadero * Modus tollens
p q : q : p Si P implica Q, y Q es falso, entonces P también debe ser falso. – La condicional llamado también * Silogismo hipotético: conocido como Transitividad implicación será falso cuando el antecedente es verdadero y el p q q r p r consecuente falso en los demás casos Si P implica Q, y Q implica R, entonces P será verdadero. implica R. Bicondicional: Es el conectivo que * Silogismo disyuntivo: Conocido más vincula dos proposiciones mediante el correctamente como Inferencia de la conectivo “si y sólo si” alternativa * Arturo es amigo de Jesús si y sólo si Jesús es amigo de Arturo. p V V F F
–
q V F V F
pq V F F V
Es verdadera si ambas proposiciones parciales son verdaderas o falsas
8
p q : p q Si P o Q son ciertos, y P no es cierto, entonces Q es cierto. * Dilema constructivo: p q r s p r q s Si P entonces Q y si R entonces S, y P o R, entonces Q o S * Dilema destructivo: p q r s : q : s : p : r
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Formulario
Básico Si P entonces Q y si R entonces S, y no Q o no S, entonces no P o no R * Simplificación:
p q p P y Q entonces P * Conjunción: p,q p q P,Q entonces P y Q * Adición: p p q P entonces P o Q * Composición: p q p r p q r
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