Los métodos de Euler. Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de las tangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida. y
Curva Solución
R (x1, y(x1)) error
Q (x1, y1)
o bien y1 = y 0 + hy 0′ en donde y 0′ = f ( x 0 , y 0 ) ) ) Si denotamos x 0 0 + h por x1, entonces el punto Q(x 1, y 1 ubicado ubicado sobre la tangente es una aproximaci aproximación ón del punto R(x 1, y(x 1 )) )) que se encuentra sobre la curva solución. Esto ). es y 1 ≈ y(x 1 )
P(x0, y0) x0
De la ecuación de una recta que pasa por un punto da dado do,, te tene nemo mos s: y1 − y 0 y1 − y 0 = y 0′ ; = y 0′ ( x 0 + h) − x 0 h
x1 = x0 + h h
Por supues supuesto, to, la exacti exactitud tud de la aproxi aproximac mación ión dep depend ende e muc mucho ho del tam tamaño año del increm increment ento o h. Usualmente debemos elegir el tamaño de esta medida de modo que sea “razonablemente pequeña. Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener una sucesión de puntos (x 1,y 1 ), ), (x 2 ), ), ), que sean aproximaciones de los puntos (x 1,y(x 1 )), )), (x 2 , y(x 2 )), . . ., (x n, y(x n )). )). 2, y 2 2 . . ., (x n, y n 2,y(x 2 Ahora bien, usando el valor de y 2 2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos: y 2 − y1 y 2 = y1 + hy1′ es decir y 2 = y1 + h f ( x1 , y1 ) = y1 ; o bien h En general se tiene que: y n +1 = y n +hy n′ y n
y n
1 =
+
h f ( x n , y n )
+
En donde x n = x 0 0 + nh. Ejemplo: Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y(1.5) ; a) con h= 0.1 y b) con h =0.05 para el problema de valor inicial y ’ = 2xy sabiendo que y(1) = 1. Compare con el valor . verdadero de y a partir de la solución y =e a) f(x, y) = 2xy; x0 = 1; y0 = 1; ‘ h = 0.10 y 1 = y 0 ) = 1 + 0.10 [2 (1) (1) (1) ] = 1.2 0 + h(2 x 0 0 y 0 0 y 2 ) = 1.2+ 0.10 [2 (1.1) (1.2) ] = 1.4640. ) 2 = y 1 + h(2 x 1 y 1 x
2
− 1
Ver tabla para los demás valores obtenidos.
N
Xn
Yn
0 1 2 3 4 5
1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50
1.000000 1.200000 1.464000 1.815360 2.287354 2.927813
Por lo que se obtiene un valor aproximado de y(1.5) ≈ 2.9278. El valor real es y(1.5) = 3.49034296 Error = 0.562530 Error relativo (%) = 16.12%,
Se reduce considerablemente el error si tomamos h = 0.05. Ver tabla. Métodos Numéricos
Ing. José Alfredo Sevilla López
Abril de 2009
Para
y(1.5)=3.173277 h = 0.05 Error = 0.317066 Error relativo (%) = 9.084089%
N
Xn
Yn
N
Xn
Yn
0 1 2 3 4 5
1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25
1.000000 1.100000 1.215500 1.349205 1.504364 1.684887
6 7 8 9 10
1.30 1.35 1.40 1.45 1.50
1.895498 2.141913 2.431071 2.771421 3.173277
El método de Euler mejorado o fórmula de Heun. f ( xn , y n ) + f ( xn +1 , y ∗n+1 ) y n+1 = y n + h La fórmula . . . . . . (A) 2 y ∗n +1 = y n +hf ( xn , y n ) donde
se conoce como Fórmula de Euler mejorada o Fórmula de Heun . Los valores de f(x n, y n ) y f(x n+1, y ٭n+1 ) son aproximaciones de la pendiente de la curva en (x n, y(x n )) y f ( xn , y n ) + f ( xn+1 , y ∗n +1 ) (x n+1,y(x n+1 )) y en consecuencia el cociente puede ser interpretado 2 como una pendiente promedio en el intervalo entre xn, xn+1. Las ecuaciones de (A) se pueden visualizar fácilmente. En la figura se muestra el caso en que n = 0. Observe que f(x 0, y 0 ) y f(x 1, y 1٭ ) son las pendientes de las rectas indicadas que pasan por los puntos y ( x 0, y 0 ) y (x 1, y 1٭ ), respectivamente. m prom
m f(x = 1,
(x 1, y(x 1 ))
y 1٭ )
(x 1, y 1 ) m prom
m=f(x 0,
(x 0, y 0 )
y 0 )
Tomando un promedio de estas pendientes obtenemos la pendiente de las rectas oblicuas (flechas). En lugar de seguir la recta de pendiente m = f(x 0, y 0 ) hasta el punto de ordenada y 1٭ obtenida por el método de Euler usual, seguimos la recta por (x 0 , y 0 ) con pendiente mprom hasta llegar a x 1.
x
m prom
=
f ( x 0 , y 0 ) + f ( x1 , y ∗1 ) 2
Examinando la figura, es plausible admitir que y1 es una mejora de y 1٭.
Además podríamos decir que el valor de y ∗1 = y0 que:
y1 = y 0
+
h
f ( x0 , y0 ) + f ( x1 , y ∗1 ) 2
+ hf ( x0 ,
y0 ) predice un valor de y(x 1 ), mientras
, corrige esta estimación.
Ejemplo: Utilice el método de Euler mejorado o fórmula de Heun para obtener el valor aproximado de y(1.5) para la solución de y’ = 2xy ; y(1) = 1, considere: a) h = 0.1 y b) h = 0.05. Métodos Numéricos
Ing. José Alfredo Sevilla López
Abril de 2009
a) Para n = 0 y h = 0.1 primero calculamos y* = y 0 + h(2x 0 y 0 ) = 1 + (0.1) [(2)(1)(1)] = 1.2
y1 = y 0
Entonces: 1 +(0.1)
+
h
f ( x0 , y0 ) + f ( x1 , y ∗1 )
= y + 0
2
h
2 x 0 y 0
+
2 x1 y ∗ 1
2
2(1)(1) +2(1.1)(1.2)
2 y1 = 1.232000, y así sucesivamente, los valores obtenidos se muestran en la tabla.
N 0 1 2 3 4 5
Xn 1.000000 1.100000 1.200000 1.300000 1.400000 1.500000
Y*n+1 1.200000 1.503040 1.919377 2.498769 3.316208
Yn 1.000000 1.232000 1.547885 1.983150 2.590787 3.450929
Entonces por el método de Euler mejorado (Fórmula de Heun ) el valor de y(1.5) =3.450929 b) Para n = 0 y h = 0.05 primero calculamos y* = y 0 + h(2x 0 y 0 ) = 1 + (0.05) [(2)(1)(1)] = 1.1
y1 = y 0
entonces: 1+(0.05 )
+
h
f ( x0 , y 0 ) + f ( x1 , y ∗1 ) 2
= y + 0
h
2 x 0 y 0
+
2 x1 y ∗ 1
2
2(1)(1) +2(1.05 )(1.1)
2 y1 = 1.107750, y así sucesivamente, los valores obtenidos se muestran en la tabla.
N 0 1 2 3 4 5
Xn 1.000000 1.050000 1.100000 1.150000 1.200000 1.250000
Y*n+1 1.100000 1.224064 1.368886 1.538442 1.737582
Yn 1.000000 1.107750 1.233230 1.379769 1.551412 1.753096
n 6 7 8 9 10
Xn 1.300000 1.350000 1.400000 1.450000 1.500000
Y*n+1 1.972233 2.249671 2.578854 2.970847 3.439366
Yn 1.990859 2.272118 2.606006 3.003813 3.479542
En este caso se obtiene un valor aproximado de y(1.5) =3.479542 ¿Cuál es el valor relativo del error? _____________
Ejercicios: Métodos Numéricos
Ing. José Alfredo Sevilla López
Abril de 2009
=
I.- En los ejercicios de valor inicial 1 a 5, aplique la fórmula de Euler para hallar una aproximación al valor indicado con cuatro cifras de precisión. Primero use h = 0.1 y después h = 0.05 , 1.- y’ = 2x – 3y + 1;
y(1) = 5;
y(1.5) = ____________
2.- y’ = 4x – 2y;
y(0) = 2;
y(0.5) = ____________
3.- y’ = 1 + y 2;
y(0) = 0;
y(0.5) = ____________
4.-
y ' = xy
+
2 5.- y ' = xy
−
y
y x
y(0) = 1; y(1) = 1;
y(0.5) = ____________ y(1.5) = ____________
II.- Repita los cálculos de los ejercicios anteriores aplicando la fórmula de Euler mejorada (Heun), utilice un valor de h = 0.1
III.- Repita los cálculos de los ejercicios 1, 3 y 5 anteriores aplicando la fórmula de Euler mejorada (Heun) utilice un valor de h = 0.05
Métodos Numéricos
Ing. José Alfredo Sevilla López
Abril de 2009
