MÉTODOS GRÁFICOS
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f ( x x ) = 0 consiste en graficar la función y observar dónde cruza el eje x . Este punto, que representa el valor de x para el cual f ( x x ) = 0, ofrece una aproximación inicial de la raíz. Planteamiento del proble problema. ma. Utilice el método gráfico para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
C
f(c)
4
34.115
8
17.653
12
6.067
16
–2.269
20
–8.401
Estos puntos se grafican en la figura 5.1. La curva resultante cruza el eje c entre 12 y 16. Un vistazo a la gráfica proporciona una aproximación a la raíz de 14.75. La validez de la aproximación visual se verifica sustituyendo su valor en la ecuación (E5.1.1) para obtener
Que está cercano a cero. También se verifica por sustitución en la ecuación (PT2.4) Junto con el valor de los parámetros de este ejemplo para dar
Que es muy cercano a la velocidad de caída deseada de 40 m/s. EL GRAFICO
Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado, ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficos se utilizan para obtener aproximaciones de la raíz. Dichas aproximaciones se pueden usar como valores iniciales en los métodos numéricos analizados en este capítulo y en el siguiente. Las interpretaciones gráficas, además de proporcionar estimaciones de la raíz, son herramientas importantes en la comprensión de las propiedades de las funciones y en la prevención de las fallas de los métodos numéricos
FIGURA 5.2
Ilustración de las formas generales en que puede ocurrir una raíz en un intervalo preescrito por los límites inferior xl y superior xu. Las fi guras a) y c) muestran que si f (xl) y f (xu) tienen el mismo signo, entonces no habrá raíces dentro del intervalo o habrá un número par de ellas. Las fi guras b) y d) muestran que si la función tiene signos diferentes en los puntos extremos, entonces habrá un número impar de raíces dentro del intervalo.
FIGURA 5.3
Ilustración de algunas excepciones a los casos generales mostrados en la fi gura 5.2. a) Pueden ocurrir raíces múltiples cuando la función es tangencial el eje x. En este caso, aunque los puntos extremos son de signos opuestos, hay un número par de intersecciones con el eje x en el intervalo. b) Función discontinua donde los puntos extremos de signo opuesto contienen un número par de raíces. Se requiere de estrategias especiales para determinar las raíces en estos casos.
Uso de gráficas por computadora para localizar raíces Planteamiento del problema. Las gráficas por computadora facilitan y mejoran la localización de las raíces de una ecuación. La función F(x) = sen l0x + cos 3x Tiene varias raíces en el rango que va de x = 0 a x = 5. Utilice gráficas por computadora para comprender mejor el comportamiento de esta función. FIGURA 5.4
Amplificación progresiva de f(x) = sen 10x + cos 3x mediante la computadora. Estas gráficas interactivas le permiten al analista determinar que existen dos raíces distintas entre x = 4.2 y x = 4.3.
EL MÉTODO DE BISECCIÓN
Cuando se aplicaron las técnicas gráficas en el ejemplo 5.1, se observó (figura 5.1) que F(x) cambió de signo a ambos lados de la raíz. En general, si f(x) es real y continúa en el Intervalo que va desde xl hasta xu y f (xl) y f (xu) tienen signos opuestos, es decir, F (xl) f (xu) < 0 Entonces hay al menos una raíz real entre xl y xu. Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característica localizando un intervalo en el que la función cambie de signo. Entonces, la localización del cambio de signo (y, en consecuencia, de la raíz) se logra con más exactitud al dividir el intervalo, en varios subintervalos.
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. Planteamiento del problema. Emplee el método de bisección para resolver el mismo problema que se resolvió usando el método gráfico del ejemplo 5.1. Solución. El primer paso del método de bisección consiste en asignar dos valores iniciales a la incógnita (en este problema, c) que den valores de f(c) con diferentes signos. En la figura 5.1 se observa que la función cambia de signo entre los valores 12 y 16. Por lo tanto, la estimación inicial de la raíz xr se encontrará en el punto medio del intervalo
Dicha aproximación representa un error relativo porcentual verdadero de et = 5.3% (note que el valor verdadero de la raíz es 14.7802). A continuación calculamos el producto den los valores en la función en un límite inferior y en el punto medio: F (12) f (14) = 6.067(1.569) = 9.517 Que es mayor a cero y, por lo tanto, no ocurre cambio de signo entre el límite inferior y el punto medio. En consecuencia, la raíz debe estar localizada entre 14 y 16. Entonces, se crea un nuevo intervalo redefiniendo el límite inferior como 14 y determinando una nueva aproximación corregida de la raíz
La cual representa un error porcentual verdadero et = 1.5%. Este proceso se repite para obtener una mejor aproximación. Por ejemplo, F (14) f (15) = 1.569( –0.425) = –0.666 Por lo tanto, la raíz está entre 14 y 15. El límite superior se redefine como 15 y la raíz estimada para la tercera iteración se calcula así:
Que representa un error relativo porcentual et = 1.9%. Este método se repite hasta que el resultado sea suficientemente exacto para satisfacer sus necesidades.
Criterios de paro y estimaciones de errores Terminamos el ejemplo 5.3 diciendo que el método se repite para obtener una aproximación más exacta de la raíz. Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe terminar el método. Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. En el ejemplo 5.3 se observa que el error relativo baja de 5.3 a 1.9% durante el procedimiento de cálculo. Puede decidirse que el método termina cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo, al 0.1%. ESTIMACIÓN DEL ERROR EN LA BISECCIÓN
Planteamiento del problema. Continúe con el ejemplo 5.3 hasta que el error aproximado sea menor que el criterio de terminación de es = 0.5%. Use la ecuación (5.2) para calcular los errores. Solución. Los resultados de las primeras dos iteraciones en el ejemplo 5.3 fueron 14 y 15. Sustituyendo estos valores en la ecuación (5.2) se obtiene
Recuerde que el error relativo porcentual para la raíz estimada de 15 fue 1.5%. Por lo Tanto, ea es mayor a et. Este comportamiento se manifiesta en las otras iteraciones:
ALGORITMO DE BISECCIÓN
El algoritmo en la figura 5.5 se extiende para incluir verificación del error (figura 5.10). El algoritmo emplea funciones definidas por el usuario para volver más eficientes la localización de las raíces y la evaluación de las funciones. Además, se le pone un límite superior al número de iteraciones. Por último, se incluye la verificación de errores para evitar la división entre cero durante la evaluación del error. Minimización de las evaluaciones de una función El algoritmo de bisección de la figura 5.10 es adecuado si se quiere realizar la evaluación de una sola raíz de una función que es fácil de evaluar. Sin embargo, hay muchos casos en ingeniería que no son así. Por ejemplo, suponga que se quiere desarrollar un programa computacional que localice varias raíces. En tales casos, se
tendría que llamar al algoritmo de la figura 5.10 miles o aun millones de veces en el transcurso de una sola ejecución.
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación por “fuerza bruta” es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica.
Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de xl a xu en mitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de f (xl) y f (xu). Por ejemplo, Si f (xl) está mucho más cercana a cero que f (xu), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de xl que de xu (figura 5.12). Usando triángulos semejantes (figura 5.12), la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima mediante
En la cual se despeja Xr
Ésta es la fórmula de la falsa posición. El valor de Xr calculado con la ecuación (5.7), reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, Xl o Xu, y da un valor de la función con el mismo signo de f (Xr). De esta manera, los valores Xl y Xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al de la bisección (figura 5.5), excepto en que la ecuación (5.7)
DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
Aunque el método de la falsa posición parecería ser siempre la mejor opción entre los métodos cerrados, hay casos donde funciona de manera deficiente. En efecto, como en el ejemplo siguiente, hay ciertos casos donde el método de bisección ofrece mejores resultados Un caso en el que la bisección es preferible a la falsa posición Planteamiento del problema. Con los métodos de bisección y de falsa posición localice la raíz de F(x) = – 1 Entre x = 0 y 1.3. Solución. Usando bisección, los resultados se resumen como sigue:
De esta manera, después de cinco iteraciones, el error verdadero se reduce a menos del 2%. Con la falsa posición se obtienen resultados muy diferentes:
FALSA POSICIÓN MODIFICADA
Una forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posición consiste en obtener un algoritmo que detecte cuando se “estanca” uno de los l ímites del intervalo. Si ocurre esto, se divide a la mitad el valor de la función en el p unto de “estancamiento”. A este método se le llama método de la falsa posición modificado. El algoritmo dado en la figura 5.15 lleva a cabo dicha estrategia. Observe cómo se han usado contadores para determinar si uno de los límites del intervalo permanece fijo “estancado” durante dos iteraciones. Si ocurre así, el valor de la función en este valor de “estancamiento” se divide a la m itad
Falsa posición convergerán, respectivamente, después de 14 y 39 iteraciones. En cambio el método de la falsa posición modificado convergerá después de 12 iteraciones. De manera que para este ejemplo el método de la falsa posición modificado es más eficiente que el de bisección y muchísimo mejor que el método de la falsa posición no modificado.
