EJERCICIOS (I Parcial 20%) NOTA: Usa Usa todo todos s los los dígi dígito tos s en tu calc calcul ulad ador ora a para para que que la aproximación sea lo más exacta posible. 1. Usa el método de bisección para aproximar la raíz de comenzando comenzando en el intervalo que
Solución:
.
N
An
Bn
y hasta
P= 0,8046875. 0,8046875 . F(a)
P
F(Pn)
F(a)*F(Pn)
0,7500000000 1,0000000000 0,1558160112 0,8750000000 0,2382514434 0,0371233895 00 00 72 00 19 93 0,7500000000 0,8750000000 0,1558160112 0,8125000000 0,0401365940 0,0062539239 00 00 72 00 55 92
1 2
4
0,7500000000 0,8125000000 0,1558160112 0,7812500000 0,0582436040 0,0090752860 00 00 72 00 68 68 0,7812500000 0,8125000000 0,0582436040 0,7968750000 0,0091382595 0,0005322451 00 00 68 00 44 71
5
0,7968750000 0,8125000000 0,0091382595 0,8046875000 0,0154800560 0,0001414607 00 00 44 00 94 70
3
2. Usa el método de bisección para aproximar la raíz de
comenzando en el intervalo que
.
N
An
Solución: Bn
P=
y hasta
0,9453125
F(a)
P
F(Pn)
F(a)*F(Pn)
1
0,50000000 0,5000000000001,000 00001,00000000 0000000000,571 00000,57173149 7314989060,750 89060,75000000 0000000000,318 00000,318403540 4035400560,182041 0560,18204133321 333213 3
2
0,75000000 0,7500000000001,000 00001,00000000 0000000000,318 00000,31840354 4035400560,875 00560,87500000 0000000000,131 00000,131346597 3465973570,041821 3570,04182122157 221573 3
3
0,87500000 0,8750000000001,000 00001,00000000 0000000000,131 00000,13134659 3465973570,937 73570,93750000 5000000000,008 00000,008660036 6600360900,001137 0900,00113746627 466273 3
4
0,93750000 0,9375000000001,000 00001,00000000 0000000000,008 00000,00866003 6600360900,968 60900,96875000 7500000000,063 00000,063004824 0048243470,000545 3470,00054562405 624053 3
5
0,93750000 0,9375000000000,968 00000,96875000 7500000000,008 00000,00866003 6600360900,953 60900,95312500 1250000000,026 00000,026193390 1933904710,000226 4710,00022683570 835707 7
6
0,93750000 0,9375000000000,953 00000,95312500 1250000000,008 00000,00866003 6600360900,945 60900,94531250 3125000000,008 00000,008531818 5318186660,000073 6660,00007388585 885858 8
3. Sea f(x) = x2 - 6 con xo=3 y x1=2 encuentre x3. Aplicar el método de secante con x=0.001. (Raíz = 2.45454). N
Po
P1
Q0
Q1
P
1
3,00 3,0000 0000 0000 0000 0000 00
2,00 2,0000 0000 0000 0000 0000 00
3,00 3,0000 0000 0000 0000 0000 00
2,00 2,0000 0000 0000 0000 0000 00
2,40 2,4000 0000 0000 0000 0000 00
2
2,00 2,0000 0000 0000 0000 0000 00
2,40 2,4000 0000 0000 0000 0000 00
-2,0 -2,000 0000 0000 0000 0000 000 0
0,24 0,2400 0000 0000 0000 0000 00
2,45 2,4545 4545 4545 4545 454 4
4.Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de comenzando en el intervalo
y hasta que
. Solución: 5. Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de comenzando en el intervalo .
Solución:
y hasta que
.
6. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de comenzando
con
. Solución:
y
hasta
que
.
7. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de , comenzando con y con 4 interacciones. Solución: . N
Xo
F(Xo)
F'(Xo)
X
1
1 ,000000000000
-0, 459697694132
-1,841470984808
0,750 363867840
2
0,750363867840
-0,018923073822
-1,681904952941
0,739112890911
3
0 ,739112890911
-0, 000046455899
-1,673632544224
0,739 085133385
4
0,739085133385
-0,000000000285
-1,673612029309
0,739085133215
8. Usa el Método de la Secante para aproximar la raíz de comenzando con que
.
y
Solución:
hasta
.
9. Usa el método de la secante para aproximar la raíz de comenzando con
10.
hasta que
Solución:
. N
y
Po
P1
Q0
Q1
P
1 0,000000000000 1,000000000000
1,000000000000 -0,632120558829
0,612699836780
2 1,000000000000 0,612699836780
-0,632120558829 -0,070813947873
0,563838389161
3 0,612699836780 0,563838389161
-0,070813947873
0,567170358420
0,005182354507
Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de . Solución:
comenzando con .
y hasta que
11. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de . Solución:
comenzando con
y hasta que
.
12.Calcular mediante los métodos de bisección la ecuación x = -6 x e con(x) una Tolerancia 10 . Tomar [0;1]como intervalo de partida. Comparar las primeras 5 iteraciones de la secante. 13.Aplicar el método de Newton para resolver la raíz de la ecuación xe x -1 = 0, partiendo de x 0 = 0. 14.Calcular la raíz cuarta de 10 mediante el método de Newton, partiendo de x 0 = 1. 15.Demostrar que la ecuación 1- x-sin x = 0 tiene una raíz entre 0 y 1. Estimar cuantas iteraciones son necesarias para calcular la raíz mediante el método de bisección con una tolerancia 10 -6. Calcularla con dicha precisión por el método de Newton y de la secante. 16.Comparar el número necesario de iteraciones por cada método. 17.Determínese con un error absoluto de 0.001 la solución de la ecuación x -cos( x )=0. 18.Resolver la ecuación ln(2- x 2) = x 2, utilizando el método de Newton Rapson, partiendo de x 0 = 0 y calculando la raíz con una precisión de 0.0001. 19.Considérese el polinomio P( x ) = x 4+3 x 3-2. Calcular las raíces reales comprendidas en el intervalo [-4;4]: realizar una localización previa calculando el polinomio en pasos de una unidad en dicho intervalo. Determinar las raíces con un error absoluto de 0.001. ¿Puede haber raíces reales fuera de este intervalo? Razonar la respuesta. 20. Considérese la ecuación 2 x-cos( x ) = 3. Demostrar que tiene una sola raíz. Calcularla por el método de Newton y por un método iterativo de un punto con una precisión de 0.001. 21.Calcula el error absoluto y relativo en los siguientes casos:
Número
Aproximació n
2,345
2,35
1,114
1,11
12,452
12,4
54,1237
54,12
213,1011
213,123
0,216
0,22
Error absoluto
Error relativo
22.Escribe las aproximaciones que se indican a continuación: a. De p por redondeo a las diezmilésimas. b. 1/7 por truncamiento a las décimas. c.
por redondeo a las centésimas.
d. 2/7 por truncamiento a las cienmilésimas. 23.Si 5,37 es una aproximación por redondeo de un número a las centésimas, señala entre qué valores está comprendido dicho número. ¿Cuál es la cota de error? 1. Si 3/7 = 0,428571428... y tomamos como aproximación el número 0,4286, ¿cuál es la cota de error? 24. Sea f(x) = x 3 - cos x con x1= -1 y x2 = 0 encontrar x 3 con el método de la secante. (3 iteraciones). N
Po
P1
Q0
Q1
P
1
-1,000000000000
0,000000000000
-1,540302305868
-1,000000000000
1,850815717681
2
0,000000000000
1,850815717681
-6,000000000000
-2,574481179185 3,241813835209
3
1,850815717681
3,241813835209
-2,574481179185
4,509356942151
2,356346534806
