Ecuación ◦
Igualdad que contiene una o más incógnitas
Solución o raíces de una ecuación. ◦
Valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.
15 = 3 3 + 6
15 6 = 3 3 9 = 3 3=
con
Ecuación ◦
Igualdad que contiene una o más incógnitas
Solución o raíces de una ecuación. ◦
Valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.
15 = 3 3 + 6
15 6 = 3 3 9 = 3 3=
con
Existen diversos métodos de hallar la solución de ecuaciones en una variable entre las cuales se tienen: o Méto Método do anal analít ític ico. o. o Método grafic fico. o Método numér éri ico.
Hallar la solución.
Aplicamos la formula cuadrática
Como resultado se obtiene
= 2
∨ = 3
% Definir polinomio >>p=[2 10 12];
% Definir polinomio >>syms x; >>p=2*x^2 + 10*x + 12
% Solución o Raíces >>R=roots(p)
%Solución o Raíces >>R=solve(p)
Manejo vectorial
Matemática simbólica
Encontrar de la región comprendida entre las graficas f (x) y g(x) con
2
1.5
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Considerando inicialmente, el problema de encontrar una raíz de una función no-lineal con dominio y valores reales, es decir, se resuelve la ecuación:
f ( x) = 0 con f:[a,b]→ℝ
Suponiendo que f es continua, con una sola raíz la cual pertenece al intervalo [, ].
3
2
) x ( f
1
0
-1 -2
-1
0
1
2
3
x
Trabajaremos Secante
los
métodos
de:
Bisección,
Newton
y
Aplica si () es una función continua en el intervalo [,] con () y () con signos opuestos.
f(a)
b 0
a
c
f(b)
De acuerdo con el teorema del valor medio, existe α [a,b] tal que f (α) = 0.
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a α.
El procesos se repite precisión deseada.
hasta
la
lograr
la
Primera iteración del algoritmo Mitad del intervalo que contiene a α
y f (a ) y = f (x ) f (c1) b
x
a
f (b ) α c1= (a+b)/2
Segunda iteración del algoritmo y
Mitad del intervalo que contiene a α y = f (x ) f (a ) b
x a =c 1
f (c 2)
α c2= (a+b)/2
f (b )
1.
Sea () continua
2.
Encontrar valores iníciales [, ] tales que () y () tienen signos opuestos, es decir:
() • () < 0 3.
La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre a y b :
=
+ 2
4.
Al evaluar se puede caer en uno de los siguientes casos
Para poder seleccionar uno de los intervalos se debe tener en cuenta en cual de ellos se encuentra la raíz
4.
para ello evaluamos () ∙ () < 0
Si () y () tienen signos opuestos la raíz se encuentra en el intervalo [a, c] Por otra parte si f(a) y f(c) tienen el mismo signo, entonces la raíz se encuentra en el intervalo [c, b]. Pero si () ∙ () = 0 este caso se tiene que () = 0, y por lo tanto ya encontramos la raíz.
El proceso se vuelve intervalo, hasta que:
e a
a
repetir
Tol
es decir, cb
Tol
con
el
nuevo
o
Se aplica a funciones analíticas
o “Robusto”
o
Detecta singularidades
o
El método siempre converge
o
Lento
o
No usa toda la información de la función
o
No detecta ceros en mín. o máx. locales
o
No detecta un número par de ceros
f (a) f (b) 0
f(x)
c f(a)
c b
ab 2
Tol
¿ f (a) f (c) 0 ?
f(c) a f(b)
c
b
sii
b
c
noo
a
c
x
f (a) f (b) 0
f(x)
c
c b
ab 2
Tol
¿ f (a) f (c) 0 ?
b
c
noo
a
c
c
f(a) a f(b)
sii
b
x
Hallar la raíz de la expresión
= − Con un error aproximado menor al 1% Solución:
[0,0.5]
se toma el intervalo [0,1]
[0,10]
= − =
¿ ∗ < 0?
= ∗ 100
+ 2
a
b
1
0
1
1
-0.63212
0.5
0.10653
100.00
2
0.5
1
0.10653
-0.63212
0.75
-0.27763
33.33
3
0.5
0.75
0.10653
-0.27763
0.625
-0.08974
20.00
4
0.5
0.625
0.10653
-0.08974
0.5625
0.00728
11.11
5
0.5625
0.625
0.00728
-0.08974
0.59375
-0.04150
5.26
6
0.5625
0.59375
0.00728
-0.04150
0.57813
-0.01718
2.70
7
0.5625
0.57813
0.00728
-0.01718
0.57031
-0.00496
1.37
8
0.5625
0.57031
0.00728
-0.00496
0.56641
0.00116
0.69
Iteración
f(a)
c
f(b)
α= 0.56641
f(c)
e a %
= − % Definir función >>syms x; >>y=exp(-x)-x; % evaluar op1 >>a=1; >>yl=inline(y); >>ya=yl(a); % evaluar op2 >>b=0; >>yb=vpa(subs(y,b),6)
Resolver
y Con una exactas.
10 x
3
tolerancia
61 x
de
2
86 x 8
2 cifras
significativas
Primero graficamos la función para ver la raíz el intervalo que vamos seleccionar
Para este ejercicio se toma el intervalo [-1,0] y se verifica que la validez del intervalo mediante
y (a) y (b) 0 Entonces y
1
27
y 0
8
por tanto el intervalo es válido. y
1 y0 216 0
Analizamos la tolerancia con la formula donde k=2 entonces Tol= 0.005
Ahora llenamos la tabla ejercicio las formulas
utilizando
para
este
Y un error absoluto
a
b
c
Ya
Yc
Y b
ea
-1.0000
0.0000
-0.5000
-27.0000
-21.0000
8.0000
0.5000
-0.5000
0.0000
-0.2500
-21.0000
-9.8438
8.0000
0.2500
-0.2500
0.0000
-0.1250
-9.8438
-1.8164
8.0000
0.1250
Recuerda se debe validar el nuevo intervalo
sii y (a) y (c)
0
noo
b a
c
c
La concentración () de una bacteria contaminante en un lago decrece según la expresión:
= 80 − + 20 −. Siendo el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el número de bacterias se reduzca a siete.
