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Metodo de bisseci´ on
Consiste en obtener una raiz, o soluci´on, de una ecuaci´on de la forma f (x) = 0 para una funci´on dada f . (Al n´ umero x se le llama tambi´en cero de f . Supongamos que f es una funci´on continua en el intervalo {a, b} con f (a) y f (b) de signos diferentes. De acuerdo con el teorema del valor intermedio, existe un n´ umero p en (a, b) tal que f (p) = 0. Si bien el procedimiento se aplica aunque exista m´as de una ra´ız en el intervalo (a, b), por razones de simplicidad suponemos que la ra´ız de este intervalo es u ´nica. El m´etodo requiere dividir varias veces ala mitad que contenga a p. Para empezar, supongamos que a1 = a y b1 = b y p1 el punto medio de {a, b}; es decir, p1 = a1 +
b1 −a1 2
=
a1 +b1 2
Si f (p1 ) = 0 entonces p = p1 ; de no ser as´ı, entonces f (p1 ) tiene el mismo signo que f (a1 ) o f (b1 ). Si f (p1 ) y f (a1 ) tienen el mismo signo, entonces p ∈ (p1 , b1 ) y tomamos a2 = p1 y b2 = b1 . Si f (p1 ) y f (a1 ) tienen signos opuestos, entonces p ∈ (a1 , p1 ) y tomamos a2 = a1 y b2 = p1 . Despu´es volvemos a aplicar el proceso al intervalo [a2 , b2 ]. Esto nos da el m´etodo de biseccion. En resumen: El metodo de biseccion es un metodo dise˜ nado con el objetivo de encontrar las raices de un polinomio por medio de la aproximaci´on en base a intervalos. Pasos a seguir para resolver un polinomio por medio de la bisecci´on: 1. Determinar un intervalo {a, b} siempre y cuando f sea continuo en este. 2. Verificar que al sustituir las componentes del intervalo {a, b} en la funci´on f los resultados sean de signo opuesto ya que esto representa el cruce de la funcion al eje de las ordenadas, si no no es una raiz.
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Figura 1: Representaci´on grafica de la Bisecci´on 3. Si el resultado de la sustituci´on es o se aproxima a cero, se ha llegado ala respuesta; si no habra que utilizar la siguiente form´ ula para obtener los puntos medios. Xi+1 =
Xi−1 +Xi 2
4. Al obtener el punto medio, este se sustituye en la funci´on y dependiendo el signo del resultado, formara parte de otro intervalo completandose con una componente del intervalo anterior. Es decir, si el resultado es negativo el intervalo se completa con el positivo del intervalo anterior. Si es positivo se completara con el negativo del anterior. 5. Se repetira el proceso hasta que el resultado de la sustituci´on del intervalo sea o se aproxime a cero. Ejemplo 1.1. Encontrar la raiz de la siguiente funci´on por medio de la bisecci´on: f (x) = e−x − 2x Soluci´ on: Paso 1: Se seleccionan los intervalos deacuerdo con la continuidad de f (x) en este caso seleccionaremos [1, 0]
2
x 1 0
Cuadro 1: f (x) −1,632120559 1
Paso 2: Ya que ninguno de los resultados se aproxima a cero se usara la f´ormula del punto medio y evaluarlo en la funci´on. Cabe se˜ nalar que las dos respuestas anteriores tienen signos opuestos lo cual nos indica que hay una ra´ız en ese intervalo. X2 =
1+0 2
= 0,5
Evaluando 0,5 en la funci´on: f (X2 ) = e−(0,5) − 2(0,5) = −0,3934693403 Paso 4: Verificar los signos; ya que al sustituir X2 en f (x) el signo es negativo lo completaremos con el positivo del intervalo anterior, entonces el nuevo intervalo es [0, ,5] Notese que el al sustituir los valores aun no se iguala ni se aproxima a cero El proceso se repetira desde el paso dos usando la formula ya establecida. Xi+1 =
Xi−1 +Xi 2
Ademas cabe se˜ nalar el criterio de convergencia:
f (X) • f (Xn ) < 0 A continuaci´on se mostraran solo los intervalos y las sustituciones hasta llegar al resultado m´as aproximado.
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Cuadro 2: Intervalo [0, ,5] x f (x) 0 1 0,5 −0,3934693403
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