UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA FACULTA FACULTAD D DE D E RECURSOS RECU RSOS NA N ATURALES RENOVA REN OVABLES BLES DEPERTAMENTO ACADEMICO DE CIENCIAS EN CONSERVACION DE SUELOS Y AGUA METODOS ESTADISTICOS TABLA DE FRECUENCIAS Sirven para ordenar y organizar los datos estadísticos. Con ellas, una masa amorfa de datos pasa a ser una colección ordenada. -
Clas Clases es so sonn llos os grup grupos os de da dato tos: s:
Formula de Sturges Numero de clases = ! "."## log n , donde n es el numero total de datos. Si se o$tiene un numero decimal, se apro%ima al siguiente entero. -
&l interv intervalo alo o anc' anc'oo de clase clase ( es es el espac espacio io )u )uee 'ay entr entree el límite límite superior y el limite inferior de la clase.
-
*nc'o *nc'o de clas clasee = + dato dato superi superior or dato dato in infer ferior ior nume numero ro de clas clases. es.
-
/a frecue frecuencia ncia a$soluta a$soluta es el el numero numero de de ve veces ces )ue )ue se se repite repite cada cada dato.
-
/a marca marca de de clase clase eess el punto punto med medio io de la la clase clase.. Se o$tie o$tiene ne divid dividien iendo do entre dos la suma de los valores e%tremos de cada clase.
-
&l rango rango es la dif difere erenci nciaa entre entre el el valor valor mayo mayorr y el valo valorr menor menor..
-
/a frecue frecuencia ncia a$soluta a$soluta acumulada acumulada es la la frecuen frecuencia cia total 'asta el limite limite superior de cada clase.
-
/a frecue frecuencia ncia relativa relativa se se o$tiene o$tiene dividiend dividiendoo la frecuenci frecuenciaa a$ a$solut solutaa en entre tre el numero total de datos y se puede e%presar como una fracción se sim$oliza f = F n
PRACTICA TABLA DE FRECUENCIA Se desea sa$er cómo varia el peso de un grupo de estudiantes de 0ngeniería en Conservación de Suelos. Se selecciona una muestra de 12 estudiantes cuyos pesos se dan en 3ilos : DATOS 65 64 64 63 64
63 65 65 65 64
65 64 64 63 63
63 72 71 70 69
69 68 68 67 67
67 66 66 66 66
53 55 56 57 58
58 57 59 59 60
60 60 61 61 61
61 62 62 62 62
Paa !"#$%&' (a %a)(a $* +*)* !a(!&(a , N&-*" +* !(a$*$ " '#%*.a("$ / 1 3322 (" #
/ 1 3322 (" 50 664 7
Ra#" +a%" -'-" +a%" -#'-" A#!" +* !(a$* %a-a:" +*( '#%*.a(" ; I Ra#" < /
19 < 7 271 3
72 53 19
TABLA DE DATOS AGRUPADOS Ma!a +* !(a$*
F*!&*#!' a A)$"(&%a
='
>'
5 3 55
54
2
2
400
400
5 6 58
57
5
7
1000
1400
5 9 61
60
9
16
1800
3200
6 2 64
63
15
31
3000
6200
6 5 67
66
12
43
2400
8600
6 8 70
69
5
48
1000
9600
71 73
72
2
50
400
1000
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50
F*!&*#!' F*!&*#!'a F*!&*#!' a *(a%'.a a *(a%'.a A)$"(&%a a!&-&(a+ a!&-&(a+ ?' a a ?' F' @;
10000
E=PERIMENTO &l e%perimento es el con4unto de reglas usadas para o$te o$ tene nerr un unaa mu mues estr traa de la po po$l $lac ació iónn y al co conc nclu luir ir el en ensa sayyo o$ o$te tene ner r información acerca de la po$lación. /ittle y 5ac3son afirman )ue el e%perimento es un elemento de investigación utilizada para descu$rir algo desconocido, o para pro$ar un principio o una 'ipótesis. DISEO E=PERIMENTAL 6lanear 6lanear un e%perimento e%perimento de manera )ue se pueda pueda o$tener la información información del pro$lema $a4o investigación. &s el proceso )ue se sigue para asignar los tratamientos a las unidades e%perimentales. TRATAMIENTO &lemento sometido a estudio o ensayo de comparación &s la cantidad o calidad, del factor a estudiar toma durante el e%perimento. &4m 7arca de fertilizante Cantidad de fertilizante Sistema de riego 6rofundidad de siem$ra TRATA TRATAMIENTO TESTIGO &s un tratamiento )ue se compara. &s un tratamiento especial del e%perimento y sirve como comparación de los tratamientos de prue$a. UNIDAD E=PERIMENTAL &s el material al )ue se le aplica los tratamientos. 8na maceta 8na parcela 8n pollo REPETICIN &s una replica de la aplicación de un tratamiento es otra unidad e%perimental $a4o las mismas condiciones. Cuando en un e%perimento se tiene un con4unto de tratamientos para poder estimar el error e%perimental, es necesario )ue dic'os tratamientos aparezcan m9s de una vez en el e%perimento, para así aumentar la precisión de ste, controlar el error e%perimental y disminuir la desviación est9ndar de la media. BLOUE &s un con4unto de unidades e%perimentales lo m9s 'omogneas posi$les, en el cual aparecen todos los tratamientos una sola vez( dic'o $lo)ue se de$e colocar perpendicular al gradiente para tratar de ma%imizar m a%imizar el error.
ERROR E=PERIMENTAL &s una fuente de variación )ue permite evaluar e valuar el efecto de los tratamientos. &l error e%perimental se forma por la variación de la unidades )ue reci$ieron el mism mi smoo trat tratoo en la ap aplilica caci ción ón de los los trat tratam amie ient ntos os y )u )uee po porr efec efecto toss no controla$les reportan cierta diferencias. /os resultados e%perimentales varían no sólo por la acción de los tratamientos, sino tam$in por variaciones am$ientales )ue tienden a enmascarar el efecto de los tratamientos. 6or lo general, para e%presar estas variaciones se usa el trmino error e%perimental. 6ero el trmino error no )uiere decir e)uivocación, sino )ue incluye todo todo tipo de variación e%terna a4ena al material e%perimental. e%perimental. &l erro errorr e% e%pe peri rime ment ntal al es la me medi dida da de va vari riac ació iónn )u )uee e% e%is iste te en entr tree las las o$servaciones de unidades e%perimentales e%perimentales en el mismo m ismo tratamiento, es decir la variación no proveniente de los tratamientos. /as modalidades m9s recomendadas para disminuir el error son: 8til 8tiliz izar ar un uniida daddes e% e%pe peri rime ment ntaales les mu muyy unifo niform rmes es,, co como mo sue uello 'omog 'om ogneo neo,, riesgo riesgos, s, de densi nsida dadd de siem$r siem$ra, a, fertil fertiliza izació ción, n, contro controll de plagas y 'ier$as, etctera. •
•
;ama
•
&liminación del efecto de orilla y de la competencia entre tratamientos.
•
istri$ución adecuada de los tratamientos mediante sorteos.
•
8sar el n>mero adecuado de repeticiones para cada tratamiento.
•
6oner todos los tratamientos en igualdad de condiciones, de manera )ue si alguno es superior a los dem9s, se pueda pro$ar.
POBLACIN Con4unto de unidades elementales +personas, animales, plantas, etc. con características comunes en las cuales se estudian una o m9s varia$les. &4m: &l con4unto de madereros de la ciudad de 6ucallpa.
&l con4unto de docentes de la 8N*S. Con4unto de especies forestales de Contamana.
UNIDAD ELEMENTAL Son los elementos )ue conforman la po$lación. &s la unidad de donde se o$tienen la información deseada acerca de una característica o un atri$uto especifico. &4m: 8n maderero de la Ciudad de 6ucallpa.
8n ocente de la 8N*S.
8na especie forestal madera$le de contamana. MUESTRA
&s un su$con4unto de una po$lación conformado por uno o m9s unidades elementales. &4m: #2 madereros de 6ucallpa
2 docentes de la 8N*S
#1 especies forestales madera$les de Contamana.
TAMAO DE LA MUESTRA #
2 HHHHHHHHHH *2
a&$%a#+"
N
# HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH 1 # K 1 ; HHHHHHHHH N
196 * *" 3@ 003 ; 05 05
N ")(a!'J#
VARIABLE Son elementos, características, propiedades, atri$utos o conductas )ue tienden a tomar diferentes valores, cuando son o$servadas las unidades elementales de la muestra o po$lación. /as varia$les son o$servadas a travs de evaluaciones, mediciones o encuestas. &4m: *ltura de planta de ?am$u.
Sa$or del fruto de agua4e.
Calidad de fruto de cacao.
N>mero de flores de planta de rosa.
i9metro de planta de Cedro.
6eso de Cerdo. TIPOS DE VARIABLES
Va'a)(*$ Va'a)(*$ C&a('%a%'.a$ Son Son a) a)ue uellllas as ca cara ract cter erís ístitica cass )u )uee cu cuyyos resu resultltad ados os no pu pued eden en se ser r e%presadas en forma de valores numricos. &4m: Color de 'o4a de maíz.
Sa$or de la fruta de 8ngura'ui.
Calidad de fruta del Cacao.
Se%o de los vacunos.
/ugar de procedencia de c'oferes.
@eligión de los po$ladores de Aarinacoc'a.
Va'a)(*$ Va'a)(*$ C&a#%'%a%'.a$ Son a)uellas características cuyos resultados pueden ser e%presados en valores numricos. &4m: *ltura de planta de Camu Camu.
i9metro de planta de ;ornillo.
/ongitud de ?am$u.
6eso de los estudiantes de Conta$ilidad.
CLASES DE VARIABLES CUANTITATIVAS CUANTITATIVAS Va'a)(*$ Va'a)(*$ C&a#%'%a%'.a$ D'$!*%a$ Son a)uellas )ue presentan valores enteros. &4m: N>mero de 'o4as.
N>mero de 'i4os.
N>meros de frutos.
Brado de &studio.
Va'a)(*$ Va'a)(*$ C&a#%'%a%'.a$ C"#%'#&a$ Son Son a) a)ue uellllas as ca cara ract cter erís ístitica cass )u )uee pu pued eden en as asum umir ir cu cual al)u )uie ierr va valo lor r numrico dentro de un intervalo continuo. &4m: *ltura de planta.
/ongitud de 9r$ol.
Va'a)(*$ Va'a)(*$ I#+**#+'*#%*$ &s el conte%to e%perimental es la )ue el investigador manipula con el fin de esta$lecer la posi$le influencia )ue tiene so$re la varia$le dependiente. Va'a)(* D**#+'*#%* &s la varia$le )ue va a ser afectada en los resultados o )ue e%perimenta modificaciones por la presencia de la varia$le 0ndependiente. &sta varia$le no se manipula solo se mide. I#+'!a+"*$ Son su$varia$les )ue se desprenden de la varia$le principal a partir de un proceso del an9lisis y deducción lógica con el o$4etivo de facilitar su control, manipulación, medición y evaluación.
ANALISIS DE VAIANCIA &s un proc proced edim imie ient ntoo arit aritm mtic ticoo )u )uee co cons nsis iste te en de desd sdo$ o$la larr la su suma ma de cuadrados total + variación total en fuentes de variación reconocidas, con todo y la variac variació iónn )u )uee no se pu pued edee me medi dirr + prov proven enie ient ntes es de la va varia ria$i $ililida dadd in'erente al material e%perimental e%perimental o de la falta de 'omogeneidad del am$iente donde se realizó el e%perimento ( fuente de variación )ue se conoce como residuo o error e%perimental . &l *N* *N* se utiliza en todos los campos de investigación investigación cuando los datos se miden cuantitativamente. FUENTES DE VARIACIN &stan referidas a las fuentes controla$les y no controla$les de un dise
COEFICIENTE DE VARIACIN &s una medida de variación del e%perimento en función del error e%perimental y la magnitud de la varia$le en estudio. C = √C7& KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK % 22 6romedio general
DISEOS E=PERIMENTALES
DISEO COMPLETAMENTE AL AL AAR AAR DCA ; &s el dise
mero de repeticiones. &s fle%i$le en cuanto al n>mero de tratamientos y repeticiones, el límite esta dado por el n>mero de unidades e%perimentales en general. DESVENTAAS No es eficiente cuando el material es 'eterogneo. &l error e%perimental incluye la variación total entre las unidades e%perimentales
MODELO ADITI ADITIVO VO LINEAL O MODELO ESTADISTIV ESTADISTIVO O Y ' & ' ' A i 4 = E$servación. 8 = 7edia i = &fecto del tratamiento G i 4 = &rror
H EEMPLO DISEO COMPLETO AL AAR &n un ensayo ensayo con maceta macetass se aplicaro aplicaronn cinco cinco tratamie tratamiento ntoss a vetive vetiveria, ria, consistentes en sustratos diversos : .- arena, #.- aserrín, ".- tierra agrícola, I.tierra negra negra y 1.-pa4a de arroz . Se tomaron cuatro cuatro macetas por tratamien tratamiento. to. /os rendimientos en peso seco se e%presan en gramos. Jipotesis : Jo = No e%iste diferencia diferencia entre tratamientos. ;= ;# = ;" Ja = Si e%iste diferencia entre tratamientos ; H ;# H ;"
;ratamientos 7aceta # " I 1 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 2 1 L" M #O # O" M ML I2 I1 " O" 1O # IM 1 I OM 1L 1 1# I# KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKK K ;otal
A . = "L" A # . = ##O A " . = #OL A I . = #21 A 1 . = M #L#
7edia P = O1.1 P
#
= 1.#1 P " = I.12
I
= 1.#1 P 1 = I.1
A Q# = + #L# # = L#M n3 #2
FC ó ;C =
SC T"%a( T"%a( = R R + A i 4 - P # = R R A i 4 i
P
4
i
4
#
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SC total = 2# ! 1# ! QQQQQ..! 1# ! 1## - L#M = LML SC Ta%a-'*#%" = n R R + P i - P # = R Ai # .. - A .. # n n3 i 4 i SC tratami tra tamiento ento = "L" # ! ##O # ! #OL # ! #21# ! M# - L#M = #LM I SC E" = R R + A i 4 - P i # - R R A # i 4 - R A .. # i 4 i 4 i n3 SC E" = E" = SC total - SC tratamiento Sc &rror = LML #LM = LL#
ANALISIS DE VARIANCIA F&*#%*$ +* .a'a!'J#
GL
Ta%a-'*#%"
CM
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C7t C7e
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ANALISIS DE VARIANCIA F&*#%*$ +* .a'a!'J#
GL
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CM
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LML
CV
588 641
√
100 118 @
Fuentes : 6adron C. 5ulio OOM ise
DISEO COMPLETAMENTE AL AAR CON DIFERENTE NUMERO DE UNIDADES POR TRATAMIENTO * veces se presenta el caso )ue por insuficiencia de material para todos los tratamientos, o por)ue se 'an perdido unidades e%perimentales no se dispone de igual numero de o$servaciones por tratamiento. &sta es una de las venta4as del C*, ya )ue los datos se pueden estimar directamente sin tener )ue estimar parcelas prdidas. 6or e4emplo durante un e%perimento para pro$ar 2I 'ormonas de enraizamiento. urante el e%perimento se presento la c'upadera y no no enraizaron enraizaron M estacas de anturios. /a 'ipótesis 'ipótesis por pro$ar es : Jo : No e%iste diferencia entre los tratamientos. Ja : Si e%iste diferencia entre los tratamientos .- Se analizó en en un e%perimento e%perimento de cuatro niveles de 'ormona para enraizar estaca estacass de ant anturio urioss con O estac estacas as por nivel. nivel. urante urante el e% e%per perime imento nto no enraizaron M estacas. Se midieron la altura en cm. @esultados del e%perimento e%perimento + cm KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKK K
Niveles KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK @epeticiones # " I KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK I1 "1 "I I # IM "" "I I " IO "1 II I II "I I" 1 "" I M I# II L I O I KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKK ;otal ;otal 6romedio
LI
ML
2
"L
IM
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I#
Fc ó ;c = + I1 !IM ! IO !QQQQ.! II ! I ! I # = "#22 #2 SC tratami tra tamiento ento = LI# ! ML# I #
! 2 # ! "L # - ;c = I"# 1 O
SC total = I1# ! IM# ! IO ! QQQQQ.. ! II# ! I# ! I# - ;c = IMI SC error error = SC total total SC tratamiento tratamiento = IMI I"# = "#
ANALISIS DE VARIANCIA Fuentes de variación
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C = T # ------ % 22 22 = #.O D I.1
PRUEBAS ESTADISTICAS PARA LA COMPARACION DE MEDIAS
DIFERENCIA LIMITE DE SIGNIFICACION DLS ; &ste &ste m mto todo do es la ap aplilica caci ción ón de la prue prue$a $a de t de Stud Studen ent, t, util utiliz izad adaa suce su cesi siva vame ment ntee en las las co comp mpar arac acio ione ness po posi si$l $les es en entr tree las las me medi dias as de los los tratamientos evaluados. &s recomenda$le solo en el caso de 'a$er especificado algunas comparaciones al planear la investigación i nvestigación U &ncontrar la /S = C7 error t V + gl error n #U Colocar los promedios en orden descendente ; + testigo * ? C . "U Jacer las comparaciones mediante el cuadro CE76*@*C0EN
0F&@&NC0*
/S
S0BN0F0C*C0EN
PRUEBA DE DUNCAN &sta prue$a permite permite comparar todas las medias entre si, sin sin restricciones. /a venta4a consiste en el 'ec'o de )ue no necesita )ue el valor F sea significativo para poderlo usar. &l procedimiento es el siguiente: a eterminar eterminar la desviac desviación ión estan estandar dar de la media media s% = T
C7 error n
$ &%traer &%traer los valores valores correspo correspondien ndientes tes de la ta$la empleand empleandoo los grados grados de li$ert li$ertad ad del error error y de los tratam tratamien ientos tos y multip multiplic licarl arloo po porr la desviac desviación ión estandar de la media. &stos productos constituyen los valores críticos. c &sta$lece &sta$lecerr l orden de de mrito de de las medias medias de de los tratamien tratamientos. tos. d ete etermin rminar ar las las difer iferen enccias ias entre tre las las media dias y co comp mpar arar arla la con el correspondiente valor crítico. Si la diferencia o$servada es mayor )ue el
valor crítico correspondiente se acepta )ue 'ay diferencia entre las medias comparadas
CE76*@*C0EN
iferencia
6
*&S
alor Crítico
Sig
PRUEBA DE TU/EY &sta prue$a se usa para 'acer las comparaciones de medias entre si y es v9lida cuando las repeticiones est9n completas PRUEBA DE CONTRASTES ORTOGONALES &s un unaa prue prue$a $a de co comp mpar arac ació iónn de trat tratam amie ient ntoo )u )uee el inve invest stig igad ador or de de$e $e conocer antes de iniciar su e%perimento . 6reviamente de$e sa$er cu9les comparaciones de tratamientos son las )ue le dar9n la información deseada. 6ara el an9lisis de las comparaciones se usan los totales de los tratamientos en lugar de las medias, por)ue así se a'orra y se evitan errores por redondeo de cifras. &ste mtodo consiste en descomponer los grados de li$ertad y la suma de cuadrado para tratamientos . &%isten + t contrastes ortogonales donde t es el n>mero de tratamientos.
PRUEBA ESTADISTICAS PARA LA COMPARACION DE MEDIAS .- Se estudió I tipos de raciones raciones para a
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I.2 I.I 1. I.
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M.I .1 L.I M.O
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DIFERENCIA LIMITE DE SIGNIFICACION DLS ;
&ste &ste m mto todo do es la ap aplilica caci ción ón de la prue prue$a $a de t de Stud Studen ent, t, util utiliz izad adaa suce su cesi siva vame ment ntee en las las co comp mpar arac acio ione ness po posi si$l $les es en entr tree las las me medi dias as de los los tratamientos evaluados. &s recomenda$le solo en el caso de 'a$er especificado algunas comparaciones al planear la investigación i nvestigación U &ncontrar la /S = T # C7 error t V + gl error n /S = T # + 2.I1 % #.L I /S = .2"1 #U Colocar los promedios en orden descendente ; + testigo = ".I * = I. ? = I.O C = ." . "U Jacer las comparaciones mediante el cuadro CE76*@*C0EN ;estigo ;estigo vs. * ;estigo vs ? ;estigo vs C * vs ? * vs C ? vs C
0F&@&NC0*
/S
S0BN0F0C*C0EN
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.2"1 .2"1 .2"1 .2"1 .2"1 .2"1
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Erden de merito C a ? $ * $ ;
c
".I - I. = ".I I.O = ".I ." = I. I. = I. - ." = I.O - ." =
PRUEBA DE DUNCAN
&sta prue$a permite permite comparar todas las medias entre si, sin sin restricciones. /a venta4a consiste en el 'ec'o de )ue no necesita )ue el valor F sea significativo para poderlo usar. &l procedimiento es el siguiente: e eterminar eterminar la desviac desviación ión estan estandar dar de la media media s% = T
C7 error n
s % = T 2 .I1 = 2."" I
f &%trae &%traerr los valores valores corresp correspond ondien ientes tes de la ta$ ta$la la emplean empleando do los grados grados de li$ert li$ertad ad del error error y de los tratam tratamien ientos tos y multip multiplic licarl arloo po porr la desviac desviación ión estandar de la media. &stos productos constituyen los valores críticos. /S + valor crítico = *&S . S % &l valor de *&S depende de W , gl del error y 6 6 es el n>mero de tratamiento del orden + ascendente o descendente comprendido entre los dos tratamientos a comparar. comparar. /os valores de *&S aumentan a medida )ue crece 6. g &sta$lece &sta$lecerr el orden de mrito mrito de las las medias de de los tratamiento tratamientos. s. ;estigo * ? C
= ".I = I. = I.O = ."
' ete etermin rminar ar las las difer iferen enccias ias entre tre las las media dias y co comp mpar arar arla la con el correspondiente valor crítico. Si la diferencia o$servada es mayor )ue el valor crítico correspondiente se acepta )ue 'ay diferencia entre las medias comparadas. X = 2.21
gl = # cm = 2.I1
CE76*@*C0EN ;estigo ;estigo ;esti ;estigo go ;estigo ;estigo * * ?
vs * vs ? vs C vs ? vs C vs C
Erden de merito C ? *
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iferencia
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alor Crítico
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.2M .2M# .2O1 .2"" .2M# .2M
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Sig n.s
testigo
c
Fuente. *puntes de de Clase de 7todos &stadísticos &stadísticos de 8N*/7
DISEO BLOUE COMPLETO AL AAR DBCA ; &ste disene las unidades e%perimentales + u.e a las cuales se aplicar9n los tratamientos en $lo)ues de cierto tamaen dentro de cada $lo)ue. /as u.e son 'omogneas en el $lo)ue y 'eterogneas entre $lo)ues. /a varia$ilidad entre u.e de $lo)ues diferentes ser9 mayor )ue entre unidades del mismo $lo)ue. &n cada $lo)ue en n>mero de unidades es igual al n>mero de tratamientos + $lo)ues completos . /os tratamientos son asignados al azar en las unidades e%perimentales de dentro de cada $lo)ue. urante el e%perimento todas las parcelas dentro del $lo)ue se de$en tratar por igual, e%cepto cuando se apli)ue un tratamiento cuyo efecto se )uiera medir. &s de f9cil planeación y procedimiento de c9lculo simple. /a de desv sven enta ta4a 4a radi radica ca en )u )ue, e, cu cuan ando do el n> n>me mero ro de trat tratam amie ient ntoo es alto alto,, aumenta la superficie del terreno dentro de cada $lo)ue y tam$in el error e%perimental . Se considera #2 el límite. l ímite. MODELO ADITIVO LINEAL O MODELO ESTADISTIC ESTADISTICO O Y ' & ' Q '
A i 4 = E$servación. 8 = 7edia i = &fecto del tratamiento Y 4 = &fecto del $lo)ue G i 4 = &rror
ANALISIS DE VARIANCIA
Fuentes de variación
B/
SC
C7
Fc
Ft
Si g
?lo)ue ;ratamiento &rror ;otal
DISEO BLOUE COMPLETO AL AAR DBCA ; 6@*C;0C* Se )uiere estudiar cinco ecotipos de fri4ol de palo , *, ?, C , , &, si e%isten diferencias en sus rendimientos. 6ara el efecto se llevo a ca$o el e%perimento en un campo acomodando acomodando 1 $lo)ues al terreno y distri$uyendo los ecotipos ecotipos al azar en cada $lo)ue.. /os rendimientos o$tenidos se dan en 3g por parcela de O m #. &CE;06ES ?/EZ8&
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Jo = ? = ?# = ?" = ?I = ?1 Ja = ? H ?# H ?" H ?I H ?1 ;ratamientos Jo = ;* = ;? = ;C = ; = ;& Ja = ;* H ;? H ;C H ; H ;& C(!&("$ Suma cuadrados de ?lo)ues ?lo)ues + SC ? = .I# ! M.1# ! 1.1# ! ."# ! 1."# ------------------------------------------------------ ------------------1
"## - ------ = 2. #1
Suma de de cuadrado cuadrado de de ;ratamientos ;ratamientos + SC t = ."# ! M.O# ! 1.1# ! L.I# ! ". O# -------------------------------------------------------- -------------------------1
"## - ------ = #.I# #1
Suma de cuadrados del total + SC; = .M# ! .L# ! .# !QQQQQ.!.2# ! ."# ! 2.#
- "## = ".L ---#1
Suma cuadrado del error + SC e = .M# ! .L# !.....! ."# ! 2.# -
.I !QQ.! 1." - ." ! Q.!".O + -------------------------------------- - + ------------------ = 2.1O 1 1
ANALISIS DE VARIANCIA Fuentes de variación
B/
SC
C7
Fc
Ft
Si g
+ 2.21 I
2.
2.O
I.1
;ratamiento &cotipos
I
#.I#
2.M
1.#1
&rror
M
2.1O
2.2I
;otal
#I
".L
?lo)ue
C = 1.M D
Fuente : 7todos &stadísticas para para la 0nvestigación. Calzada Calzada ?enza, 5os 7todos &stadísticos , 6adron 5ulio.
DISEO BLOUE COMPLETO AL AAR DBCA ; PERDIDA DE UNIDADES E=PERIMENTALES Se )uiere estudiar cinco ecotipos de fri4ol de palo , *, ?, C , , &, si e%isten diferencias en sus rendimientos. 6ara el efecto se llevo a ca$o el e%perimento
en un campo acomodando acomodando 1 $lo)ues al terreno y distri$uyendo los ecotipos ecotipos al azar en cada $lo)ue.. /os rendimientos o$tenidos se dan en 3g por parcela de O m #. 6or motivos de fuerza mayor se perdió una unidad e%perimental &CE;06ES ?/EZ8&
*
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C
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K A.4
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#.2
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2.
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.2M
."
1 .1
L .I
".O
.IM
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2.L
;E;*/ K yi.
Se estima mediante la ecuación de Aates Y
B %T K G % 1; 1 ;
r = n>mero de $lo)ues t = n>mero de tratamientos ? = total de los valores de las unidades )ue )uedan en el $lo)ue ; = total de los valores de las unidades )ue )uedan en el tratamiento B = total de los valores de las unidades )ue )uedan en el e%perimento 1 + 1.2 ! 1 + 1.12 - "2.L A = ----------------------- ------------------------------------------------------+1 +1
Suma cuadrados de ?lo)ues ?lo)ues + SC ? = Suma de cuadrado de ;ratamientos ;ratamientos + SC t =
= ."LL
Suma de cuadrados del total + SC; = Suma cuadrado del error + SC e = *N*/0S0S & *@0*NC0* *@0*NC0* Fuentes de variación
B/
SC
C7
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I
?lo)ue ;ratamiento &cotipois
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DOS UNIDADES PERDIDAS
;@*;*70&N;E K
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O
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B %T K G % 1; 1 ;
% = I + L ! " + O - + II ! [ + " +I [ = I + L ! " + O ! + II II ! % +" +I
%=
[=
*N*/0S0S & *@0*NC0* *@0*NC0* Fuentes de variación
B/
SC
C7
Fc
Ft + 2.21
Sig
?lo)ue ;ratamiento &rror ;otal C =
FACULTA FACULTAD D DE D E RECURSOS RECU RSOS NA N ATURALES RENOVA REN OVABLES BLES CURSO , METODOS ESTADISTIC ESTADISTICOS OS DISEO CUADRADO LATINO LATINO DCL
0ng. 5ES& /&*NE C@0SES;E7E &s el agrupamiento de las unidades e%perimentales en dos direcciones + filas y columnas y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal form formaa )ue en cada fil fila y en ca cada da column lumnaa se enc ncue uent ntra rann todo todoss los los tratamientos. &4emplo. ;ratamientos ;ratamientos con cinco niveles de 'ormonas para el crecimiento. Jileras en cinco camadas de 'uanganas de cinco 'uanganas cada uno. Columnas de cinco sistemas de siem$ra. Cinco variedades tornillo en 'ileras -
CARACTERISTICAS -
-
-
/as unidades e%perimentales se distri$uyen en grupos $a4o los criterios de 'omogeneidad dentro de cada fila y dentro de cada columna y 'eterogeneidad en otra forma. &n cada fila y en cada columna el n>mero de unidades es igual al n>mero de tratamientos. &l n>mero de filas y columnas es igual al n>mero de tratamientos. tr atamientos.
VENTAAS -
-
isminuyen los efectos de dos fuentes de varia$ilidad de las u.e en los promedios de los tratamientos y en el error e%perimental. &l *N* es sencillo. &n el caso )ue se pierdan pierdan todas las u.e de un mismo tratamiento, el resto de los tratamientos sigue a4ustado a las características del cuadrado latino.
DESVENTAAS -
No es recomenda$le para m9s de 2 tratamientos. * igualdad de n>mero de tratamientos tratamientos y repeticiones , ste dise
Y ' ; = E$servación U = 7edia general ' = &fecto de la fila = &fecto de la columna = &fecto del tratamiento ' ; = &rror e%perimental FORMACION DE CUADRADOS LATINOS Supongamos I tratamientos *, ?, C, . * ?
C
* ? C
*
?
C
? * C
? C
*
?
*
C
C ? *
C *
C * ?
*
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C
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? C
C
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ANALISIS DE VARIANCIA Fuentes de variación
B/
Fila
r
Columna
r
;ratamiento
r
&rror
+r +r #
;otal
r#
SC
C7
DISEO CUADRADO LATINO 6@*C;0C*
Fc
Ft
Si g
&n un e%perimento piloto, se evaluó el efecto de la varia$ilidad del suelo en el rendimiento de cuatro variedades de fre4ol de palo, con el supuesto para el dise
#
"
I
A.4
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#1#.2
C*/C8/E & S87* & C8*@*ES ;ermino ;ermino de corrección correcci ón = ;C = + #1# # M = "OMO
SC variedad = 1.# ! MI.O# ! 1L.2# ! 1".I# ------------------------------------------------------ --------------I
- "OMO = 2.11
SC filas = M2.M# ! 2.O# ! 1".M# ! MM.O# ------------------------------------------------------ ------------------- - "OMO = I#.O"1 I SC columnas = ML.L# ! ML.# ! M2.# ! 1".L# -------------------------------------------------------- --------------------- - "OMO = "O.21 I SC total = O.# ! #.I# ! #.## ! QQQQQQ..! #. # ! ".I# - "OMO =M.2 SC error = SC total SC variedad SC filas Sc columnas columnas = M.2 2.11 I.O"1 - "O.21 = I.M"1 ANALISIS DE VARIANCIA Fuentes de variación
Fila Columna ariedad &rror ;otal
B/
SC
C7
Fc
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".221
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"
2.11
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O.MI
M
I.M"1
#.I"O
1
C. = O.O D DISEO PARCELAS DIVIDIDAS &ste dise
grandes, Si es )ue 'ay inters de parte del e%perimentador en estudiar con mayor precisión unos factores )ue otros. &n este caso lo )ue se desea estudiar con mayor precisión de$en ir en las su$parcelas y los )ue se desea con menos precisión en las parcelas. &stos disen el disemero de su$ - parcelas por parcela de$en ser igual al n>mero de niveles de ?. Se forman dos errores: error en parcelas conocido como &rror + a y un error en su$ - parcelas llamado &rror + $ . 8na unidad e%perimental puede ser una parcela de terreno, una camada de cerdos, un 9r$ol, un 'orno. /as su$ - unidades serían las su$-parcelas en cada parcela, los cerdos de cada camada, las ramas de un 9r$ol y los moldes en )ue se ec'a la fundición de un 'orno. &ste tipo de dise
CROUIS DE PARCELAS DIVIDIDAS " tipos de riego en parcelas y I variedades en su$ parcelas ?/EZ8& 000
?/EZ8& 0
?/EZ8& 00
r
r #
r "
r #
r
r "
r "
r
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I
#
"
#
r = vol>menes de riegos v = variedades de algodón
B@*ES & /0?&@;* &N 8N ?C* 1*#? CEN 1 @&6&;0C0EN&S F8&N;&S B/ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKK ?lo)ues + r=I * +p=I &rror +a + p + r = M ;otal parcelas pr = #I KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKK ?lo)ues en su$ parcelas parcelas pr = #I ? ) = *? +p+)=I &rror + $ p + r + ) = #2 ;otal ;otal rp) = IO KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKK
PRACTICA DE PARCELAS DIVIDIDAS Se realizó un e%perimento para determinar la materia seca del pasto &strella *fricana, en tres frecuencias de de corte + parcela grande y tres alturas de de corte + parcela c'ica . /os datos de presentan en gramos . Frecuencia de corte + días #2
*ltura de corte + cm 2 1 2
6arcela grande I2
2 1 2
6arcela grande M2 6arcela grande ;E;*/ ;E;*/
2 1 2
#
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I
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#.2"
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M."2 1.2M ".MM
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1.2#
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I.O2 1."I ".I2
1." I.#L 1.I
#.22 M.M I.L
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".O ##.# .I2
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##.OI
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IL."
L.O2
IL.#2
I".1
I.LL
;a$ a$la la de do$le entrada para los totales de los tratamientos KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 2 1 2 ] Frecuencias KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKK K #2 #"."I 1."" #.OI #.OI 1.M I2 #1.II .LL ##.#M M1.1L M2 ".O ##.# .I2 2. KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKK ] *ltura O.O 11."" 1#.M2 L.O2
/os c9lculos son : ;C = + L L.O .O22 # "M
= OL2."
+ IL.#2 # ! + I".1 # ! + I.LL # ! + IL." IL." # SC repeticiones = ------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------- ;C = .O O + 1.M # ! + M1.1L # ! + 2. # SC frecuencia + F = ------------------------------------------------------------ ----------------------- - ;C #
= M.#O
+ O.O # ! + 11."" # ! + 1#.M2 # SC altura + * = ------------------------------------------------------------- -------------------- - ;C = ".LL # + #"."I # ! + 1."" # ! + #.OI # !+ #1.II # ! .... ! SC interacciones + F % * = -------------------------------------------------------------------I ! + ##.#M # ! + ".O # ! + ##.# # ! + .I2 # ------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------- - ;C SCF SC* = L. + "..2 # ! + #.2" # ! + .L # ! .......! + ##.OI # SC total parcela grande = ------------------------------------------------------------------" ! + L.M1 # ------------------ - ;C = I.1# SC error parcela grande = SC total parcela grande SC repeticiones SC F = #O.II SC total parcela c'ica = + 1.MO # ! + 1.OL # ! + 1." # !...............! + 1.I # ! ! + I.L # ! + ".1 # ;C = IO.2 SC error parcela c'ica = SC total parcela c'ica SC total parcela grande SC * SC + interacción + F % * = 1I.O
ANALISIS DE VARIANCIA DEL DISEO DE PARCELA DIVIDIDA F&*#%*$ +* Va'a!'J# Va'a!'J#
Ga+"$ +* (')*%a+
SC
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"1
IO.2
FACULTA FACULTAD D DE D E RECURSOS RECU RSOS NA N ATURALES RENOVA REN OVABLES BLES METODOS ESTADISTICOS E=PERIMENTOS FACTORIALES /os e%perimentos factoriales son a)uellos )ue prue$an varios niveles de dos o mas factores. 6or lo tanto cuando se presente un e%perimento con dos o mas factores y se de$a analizar como un e%perimento factorial. 8n factor es un grupo de clase de tratamientos de un determinado tipo. 8n nivel corresponde a los diferentes componentes del factor. /os e%perimentos factoriales en si , no constituyen un disetiles en las investigaciones e%ploratorios en los )ue poco se sa$e acerca de muc'os factores, por e4m . Fertilización, nuevo cultivo en la zona, pocas de siem$ra, densidad de siem$ra. ;odos los tratamientos de un factor se com$inan con todos los tratamientos de los otros factores. Supongamos un e%perimento de dos factores factores : Nitrógeno + N y Fósforo + 6 , cada uno en dos niveles, para e%aminar su efecto en el rendimiento de un cultivo. &l nitrógeno se ensaya a los niveles N 2 , N y el fósforo a los niveles niveles 62 6. Si todas las com$inaciones posi$les se ensayan entre los dos niveles de N y los otros dos de 6, se o$tienen cuatro com$inaciones de tratamientos. A se representan así #*#?.
N2
N
62
6
62
6
N 2 62
N 2 6
N 62
N 6
&n sim$ología se representan : N 2 62 # N 2 6 " N 62 I N 6
Si en un ensayo , se )uiere pro$ar Nitrógeno + N , Fósforo + 6 y 6otasio + ^ con tres niveles cada uno, 'acer su representación representación
Supongamos )ue desearíamos estudiar # factores * y ?, el factor * con con I niveles + a = I y el factor ? con " niveles + $ = " con distri$ución en $lo)ues al azar con I repeticiones. r epeticiones. &/ 7E&/E &S;*0S;0CE E 7E&/E *0;0E /0N&*/ A = 8 ! * i ! ? 4 ! C 3 ! + *? i 4 A = E$servación E$servación individual 8 = 7edia general * i = &fecto del factor * ? 4 = &fecto del factor ? C 3 = &fecto de $lo)ues + *? i = &fecto de la interacción & i 4 3 = &rror e%perimental
! & i43
E=PERIMENTO E=PERIME NTO FACTORIAL FACTORIAL 2 A 2 B 2C EN DBCA Se )uiere pro$ar en un e%perimento de fertilización en cacar para evaluar su rendimiento en ;n 'a . N = osis osis de Nitrógeno Nitrógeno N = 2 3 'a N# = #22 3 'a 6 = osis de Fósforo 6 = 2 3 'a 6# = #22 3 'a ^ = osis osis de 6otasio 6otasio ^ = 2 3 'a ^# = #22 3 'a N
Suma
N#
6
6#
6
6#
^
^#
^
^#
^
^#
^
^#
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N 6 ^#
N 6# ^
N 6# ^#
N# 6 ^#
N# 6 ^#
N# 6# ^
N# 6# ^#
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#.2
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MO.1
LI
C9lculos : + IIM # ;C = KKKKKKKK = 2",LO.# 2",LO. # "# SC total = + #1.M # ! + #. #. # ! ......! + #2.1 # K ;C SC total = #22M.M# SC $lo)ues $lo)u es = + 1#. 1#.22 # ! ............ ........ .... ! + #M.# # - ;C L SC $lo)ues = 2IM."2 SC tratamient tr atamientos os = + IMI.1 IMI. 1 # ! ........ ..... ... ! + "M. "M.II # - ;C I SC tratamientos = L1".LO /os siguientes cuadros cuadros se utilizan para calcular calcular las Suma de Cuadrados de de los efectos e interacciones de los tratamientos.
C9lculos : + IIM # ;C = KKKKKKKK = 2",LO.# 2",LO. # "# SC total = + #1.M # ! + #. #. # ! ......! + #2.1 # K ;C SC total = #22M.M# SC $lo)ues $lo)u es = + 1#. 1#.22 # ! ............ ........ .... ! + #M.# # - ;C L SC $lo)ues = 2IM."2 SC tratamient tr atamientos os = + IMI.1 IMI. 1 # ! ........ ..... ... ! + "M. "M.II # - ;C I SC tratamientos = L1".LO /os siguientes cuadros cuadros se utilizan para calcular calcular las Suma de Cuadrados de de los efectos e interacciones de los tratamientos. *rreglo N6 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKK KK N
6
2
#22
Sumas
2
O11."
21M.L
#2#.
#22
"O.1
II.I
#"". O
Sumas ##I.L #I.# IIM.2 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKK KK
*rreglo N^ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKK KK N 2 ^
#22
Sumas
2
"2. "2.
I.O I.O
#"21.2
#22
II. II.
#OM."
#II.2
Sumas ##I.L #I.# IIM.2 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKK KK *rreglo 6^ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKK KK 6
^
2
#22
Sumas
2
OM.I
"I".M
#"21.2
#22
212.
"O2."
#II.2
Sumas #2#. #"".O IIM.2 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKK KK &ntonces o$tenemos : SC + N = + ##I.L # ! + #I.L #I.L # M
- ;C = #21.I
SC + 6 = + #2#. # ! + #"".O #"".O # M
- ;C = M#L.
SC + N6 = + O11." # ! ..... ! + I II. I.II # M SC + ^ = + #"21 #"21.2 .2 # ! + #II #II. .22 # M
- SC + N SC + 6 - ;C = ."1
- ;C = 1L.22
SC + N^ = + "2. # ! ..... ! + #O #OM. M."" # L
- SC + N SC + ^ - ;C = "1M.I
SC + 6^ = + OM.I # ! ..... ! + "O "O2." 2." # L
- SC + 6 SC + ^ - ;C = 1M.
SC + N6^ = SC + ; CS + N SC + 6 SC + ^ SC + N^ SC + 6^ SC + N6 = "I.O ANALISIS DE VARIANCIA Fuentes de variación
B/
SC
C7
Fc
Ft + 2.21
Sig
?l ?lo)ues
"
2IM."2
"IL.
.2I
".2
NS
;ratamientos
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.IM
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N 6 ^ N6 N^ 6^ N6^
#21.I M#L. 1L.22 ."1 "1M.II 1M. "I.L
#21.I M#L. 1L.22 ."1 "1M.II 1M. "I.L
".I2 I1.O# .M" 2.221 .2 2. 2.
I."# I."# I."# I."# I."# I."# I."#
NS NS NS NS NS NS
&rror
#
IIM.I"
;otal
"
#22M.M#
"1I.1O
0NC@&7&N;E &N &/ @&N070&N;E Nitrógeno + #.# t 'a Niveles
Fósforo + L.1 t 'a
6otasio + 1". t 'a
toneladas de ca
2
I#.#
2
II.
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#1.L
#22
1I.I
#22
1#.M
#22
2.O
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKK KK
METODOOS ESTADISTICOS ANALISIS DE REGRESION LINEAL &l an9lisis de regresión consiste en emplear mtodos )ue permiten determinar la me4or relación funcional entre dos o m9s varia$les concomitantes o + relacionada relacionadass . &l an9lisis an9lisis de correlaci correlación ón estudia estudia el grado grado asociació asociaciónn de dos o m9s varia$les.. &studia me4or el efecto de la varia$le independiente \ so$re la varia$le dependiente A. /a va vari ria$ a$le le inde indepe pend ndie ient ntee \ es un unaa o$ o$se serv rvac ació iónn 'e 'ec' c'aa en ca cada da un unid idad ad e%perimental antes de aplicar los tratamientos, e indica 'asta cierto grado la respuesta final A de la unidad e%perimental. /as relaciones entre varia$les + características pueden presentarse cual)uiera de los tres casos: 8na varia$le \ puede influir en otra varia$le A, esto esto es \ _ A. A. &4m . &l vigor de las plantas influye so$re el rendimiento, la lluvia influye en la cantidad de cose co sec' c'as as,, la temp temper erat atur uraa infl influy uyee en la inte intens nsid idad ad de ata) ata)ue ue de las las cosec'as, la materia org9nica influye en la densidad de los suelos, , la temperatura influye en el porcenta4e de 'umedad. os varia$les pueden estar influenciadas entre si ( esto es \ ` A, &4m. 6recio y producción de un artículo, peso y volumen de trozas, peso y altura de los 9r$oles, nu$osidad y 'oras de sol. os varia$les sin estar influenciadas, pueden estar relacionadas entre sí, por estar am$as influenciadas por una tercera varia$le., esto es J _ \ _A &4m. &l peso de las 'ermanas y el peso de los 'ermanos, est9n relacionados por la influencia de la varia$ilidad gentica de los padres, las notas de )uímica y $io)uímica est9n relacionadas por la afición de los alumnos a los cursos de ciencias, el precio del pan y el precio de las papas est9n relacionadas por la influencia del aumento del costo de vida a travs de los altimo por correlación.. /a varia$le )ue influye so$re otra se denomina aria$le independiente y se representa por \ , mientras )ue la varia$le )ue es influenciada se denomina varia$le dependiente y se representa por .A. 6or la forma de influencia influencia e%isten los siguientes siguientes tipos de regresión regresión . /as variacion variaciones es de la varia$le varia$le independ independiente iente pued pueden en provocar provocar variacion variaciones es proporcionales en la varia$le dependiente. &ste tipo de relación de$e 'acerse por regresión lineal., y la representación es una línea recta., es una ecuación de primer grado &4m peso al nacer y peso a los tres meses de edad, nu$osidad y 'oras de sol. E cuadr9tica si la ecuación es de segundo grado o regresión curvilínea e4m lluvia y rendimiento. &l estudio de la regresión tiene m>ltiples aplicaciones en las investigaciones en los mas diversos campos . 6or e4m por el an9lisis estadístico por un largo n>mero de a
-
-
MODELO ESTADISTICO O MODELO ADITIVO LINEAL
Y1 Q0 Q1 = A = E$servación Y2 ! Y \ = 7edia de la po$lación. = &rror *N*/0S0S & *@0*NC0* *@0*NC0* Fuentes de variación
B/
@egresión
&rror
SC
$#] + \i \ # ó $ S6 \A
n # ] + Ai A # - $#]+ \i \ # b SCtotal SCtotal - SC regresión
;otal
n-
C7
Fc
Ft +2.21
Sig
SCr C7r Cme
Sce n-#
] + Ai A #
&S;07*C0EN & 6*@*7&;@ES /a función de regresión lineal simple es e%presado como : Y1 Q0 Q1 = /a estimación de los par9metros consiste en determinar los par9metros c a partir de datos muestrales o$servados ( es decir , de$en 'allarse valores como $2 y $ de la muestra , )ue represente a Y2 y Y . Y2 = alor alor de la ordenada donde donde la línea de regresión intercepta el e4e A Y = &l coeficiente de regresión po$lacional + pendiente de la línea recta .
$2 =
A $ \ ] + \ i - \ + Ai A
] \i Ai + ] \i + ] Ai n
S6\A
$ = KKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKK KKKKKKKK = KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKK = KKKKKKK ] + \i % #
] \i # + ]\i # n
SC\
onde: $2 = es el valor )ue representa + estimador a Y2 $ = es el valor )ue representa + estimador a Y. S6\A = denota a la suma de productos de \ con A SC\ = denota a la suma de cuadrados de \. /uego la ecuación de regresión es Y )0 )1 = &l coeficiente coeficiente de regresión + $ = &sta e%presado en las mismas m ismas unidades de la varia$le \, e indica el n>mero de unidades )ue varia A en promedio cuando se produce cam$io en una unidad en \ + pendiente de la recta de regresión . Si $ = 2 , se dice )ue no e%iste relación lineal entre las dos varia$les. S0 $ es positivo, la línea de regresión es ascendente de iz)uierda a derec'a, y si es negativo, la línea es ascendente de derec'a a iz)uierda. $ es el promedio de los incrementos de A de$ido a los aumentos unitarios de \, y - $ es el promedio de las disminuciones de A de$ido a los aumentos unitarios de \. EEMPLO &n la ta$la siguiente se presentan las alturas + \ y los pesos + A de varios 'om$res. Se escogieron las alturas de antemano y se o$servaron los pesos de un grupo de 'om$res al azar )ue tenían las alturas escogidas, escogidas, resultando. \i *lturas + cm 1# 11 1# 11 1 1# 1 M1 M# L M" L
Ai 6esos + 3g 12 M.1 1I.1 1.1 M".1 1O M # MM # LI L#
]\ OIM ] A L" n = # K K \ = M#.M A = M1.#1
\ #
A#
\A
#"2I #I2#1 #"2I #I2#1 #IMIO #"2I #IMIO ###1 #M#II "MLI #M1MO "MLI
#122 "L#.#1 #O2.#1 ""2M.#1 I2"#.#1 "IL "# 1LI I"1M 1LI 21M M#I
M22 O1"#.1 L#LI LO#.1 OOMO.1 LOML O1 LL2 2MO# #LM "MO# I1OM
]\ # "MOLM
]A# 1##O
]\A #LOO
SC \ = ] \i # + ]\i # n = "MOLM - + OIM # # = I2O.MM
SC\A = ] \i Ai + ] \i + ] Ai n = #LOO - + OIM + L" # = ##" ##" ] + \ i - \ + Ai A ] \i Ai + ] \i + ] Ai n S6\A )1 = KKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKK KKKKKK = KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKK = KKKKKKK ] + \i % #
] \i # + ]\i # n
SC\
= ##" I2O.MM = 2.LMM. 2.LMM. )1 08676 /uego se calcula K K )0 = A $ \ = M1.#1 + 2.LMM + M#.M = - 1 .IIM )0 K 75446 /uego la ecuación de regresión es Y )0 )1 = por lo tanto la ecuación $uscada es Y K 75446 08676 = &l valor de )1 08676 indica )ue por cada centímetro de aumento en la altura de los 'om$res, 'a$r9 un incremento, en promedio, de 2.LMM 3g en el peso de los mismos.. /a prue$a estadística es F y se eval>a las 'ipótesis Jp : Y = 2
No e%iste regresión lineal entre \ e A
Ja : Y H 2
&%iste regresión lineal de A en función de A
Se realiza el *N* SC total = SC; = ]A# - +]A # # = 1##O - + L" # # = #2M.#1 SC regresión = SC@ = $ S6 \A = + 2.LMM + ##" ##" = 2M.2IL 2M.2IL SC error = SC; SC@ = #2M.#1 2M.2IL = I1.1#
ANALISIS DE VARIANCIA
Fuentes de variación
B/
@egresión
&rror ;otal
SC
C7
Fc
2M.2IL
2M.2I ".2LO L
n# # # = 2
I1.1#
I.11
n # =
#2M.#122
COEFICIENTE DE CORRELACION
Ft +2.21
Sig
I.OM
&l coeficiente de corrección lineal es el cociente entre la varianza y el producto de las desviaciones típicas de am$as varia$les. &l coeficiente de corrección lineal se e%presa mediante la letra r .
@=
Ơ xy Ơ x Ơ y
P"'*+a+*$ +*( !"*>'!'*#%* +* !"*(a!'J# . &l coeficien coeficiente te de correlació correlaciónn no varía al 'acerlo 'acerlo la escala escala de medició medición. n. &s de deccir, ir, si e% e%pr pres esam amos os la altu altura ra en me metr tros os o en ce cent ntím ímet etro ross el coeficiente de correlación no varía. #. &l signo igno de co coef efic icie iennte de corre orrela lacción ión es el mi missmo )ue el de la covarianza Si la covarianza es positiva, la correlación es directa. Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa. Si la covarianza es nula, no e%iste correlación. ". &l coeficien coeficiente te de correlació correlaciónn lineal lineal es un n>mero n>mero real compren comprendido dido entre entre - y . -r I. Si el coefic coeficien iente te de correl correlaci ación ón lineal lineal toma valores valores cercan cercanos os a - la correlación es fuerte e inversa, y ser9 tanto m9s fuerte cuanto m9s se apro%ima r a -. 1. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a la correlación es fuerte y directa, y ser9 tanto m9s fuerte cuanto m9s se apro%ime r a . M. Si el co coef efic icie ient ntee co corre rrela laci ción ón line lineal al toma toma va valo lore ress ce cerc rcan anos os a 2, la correlación es d$il. . Si r = o -, los puntos de la nu$e est9n so$re la recta creciente o decreciente. &ntre am$as varia$les 'ay dependencia funcional.
&4emplos /as notas de # alumnos de una clase en 7atem9ticas y Física son las siguientes: Matemáticas(X)
2
3
4
4
5
6
6
7
7
8
10 10
Física a(Y)
1
3
2
4
4
4
6
4
6
7
9
10
Jallar el coeficiente de correlación de la distri$ución e interpretarlo. %i yi %i.yi %i# y i# 2
1
2
4
1
3
3
9
9
9
4
2
8
16
4
4
4
16
16
16
5
4
20
25
16
6
4
24
36
16
6
6
36
36
36
7
4
28
49
16
7
6
42
49
36
8
7
56
64
49
10
9
90
100
81 81
10
10
10
100
100
72
60
431
504
380
Jallamos las -*+'a$ a'%-%'!a$ Ẋ=
∑ Xi n 72
Ẋ=
12
∑ Yi n
Ῡ=
60
=6
Ῡ=
12
=5
# Calculamos la !".a'a#Wa V%y=
∑ XiYi −ẊẊ n 431
V%y=
12
− 6.5=5.92
" Calculamos las +*$.'a!'"#*$ %'!a$ V%=
√
V%=
√
√
2
∑x i 2 − xi n 504 12
2
−
6
=
Vy= 2.45
Vy=
√
2
∑y i − Ẋi2 n
380 12
−
25 =2.58
I *plicamos la fórmula del coeficiente de correlación lineal.
r=
α xy α x. α y 5.92
r=
2.45 2.45 .2 .58
=2.OI
*l ser el coeficiente de correlación correlación positivo, la correlación es directa. directa. Como coeficiente de correlación est9 muy pró%imo a la correlación es muy fuerte
