Prólogo
C
O mo
nunca antes, la sociedad produce enormes cantidades de información, de ahí que a menudo sea llamada sociedad de la información y del conocimiento. Los gobiernos, las empresas privadas, las instituciones y los ciudadanos usan datos intensamente para tomar decisiones bajo situaciones inciertas: los partidos políticos quieren saber cuántos votos tendrán en las próximas elecciones, las empresas desean conocer sus consumidores potenciales, los investigadores a menudo (con frecuencia) deben estimar las áreas afectadas por una plaga, en fin, las aplicaciones son infinitas. En tanto no es posible evaluar todos los datos o la población total, es más factible y eficiente extraer una muestra que pueda validar estadísticamente y con una confianza aceptable los resultados para los datos o la población en su conjunto. ¿Por qué este libro? El interés por escribir este libro que el lector tiene en sus manos, surgió porque muchos administradores, estudiantes y profesionistas de nuestras instituciones académicas frecuentemente nos pedían apoyo para calcular tamaños de muestras, con el fin de fundamentar sus decisiones o incluso sus proyectos de investigación. El objetivo del libro es precisamente ayudar a elegir el esquema de muestreo apropiado, calcular el tamaño de muestra y hacer las estimaciones correspondientes, lo cual no es una tarea fácil para las personas que carecen de una formación intermedia o avanzada en estadística, además de que la mayoría de los libros de esta temática suelen ser poco accesibles. Estructura del libro El libro contiene una introducción general y seis capítulos adicionales que cubren conceptos básicos de estadística y los métodos de muestreo aleatorio simple, aleatorio estratificado, sistemático, por conglomerados en una etapa y de respuestas aleatorizadas; así mismo, por su naturaleza aplicada, el libro está acompañado por muchos ejemplos y ejercicios para que el lector practique los conceptos aprendidos. Pero es preciso aclarar dos cosas. En primer lugar, todos los métodos de muestreo cubiertos en este libro suponen que el investigador ya aplicó una encuesta piloto. Y en segundo lugar, para todos los métodos resaltamos la estimación puntual y por intervalo de la media, la proporción y el total poblacioneal, hechando mano de la información recabada con la encuesta piloto. En el capítulo 1 la introducción general describe en términos globales los métodos que cubren a detalle los capítulos posteriores, y también incluye ejercicios a fin de que el lector adquiera la habilidad de seleccionar el método de muestreo apropiado para su investigación y domine conceptos fundamentales como confiabilidad, precisión, muestra preliminar o piloto, marco de muestreo . El capítulo 2 aborda los conceptos básicos de estadística y muestreo estadístico que serán útiles para entender las técnicas de muestreo y como obtener los valores de las tablas de la distribución normal estándar y t-student; entre otras cosas, el capítulo versa sobre poblaciones, muestras, escalas de medición, parámetros y estimadores, sumatorias, variables aleatorias, la distribución normal y t-Student, los tipos de muestreo y las características deseables
de las encuestas. Los capítulos 3 y 4 tratan sobre el muestreo aleatorio simple y estratificado, respectivamente. En el muestreo simple todas las muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas, mientras que en el estratificado la población total se divide en subpoblaciones o estratos con criterios claramente definidos. La idea central de la estratificación es reducir el costo de la investigación, porque muchas variables comparten características similares como gustos, sexo, hábitos alimenticios, ubicación geográfica, etc. De igual manera para reducir costos, el capítulo 5 presenta la técnica del muestreo sistemático, donde la muestra se compone de unidades extraídas dando saltos de k unidades de la población. Otra ventaja de este método es que sólo se fija un intervalo de selección de las unidades muestrales y por ello se evita el uso de métodos de aleatorización complejos. Para finalizar, los capítulos 6 y 7 cubren los métodos de muestreo por conglomerados en un etapa y de respuesta aleatorizada. El primer método ayuda a simplificar los muestreos exhaustivos cuando la población es demasiado grande y sus elementos comparten rasgos comunes. Por ejemplo, en las encuestas nacionales de los clientes bancarios, de los usuarios de servicios públicos o del control de calidad de ciertos medicamentos. Por su parte, el método de respuesta aleatorizada, que se complementa con el aleatorio simple o el estratificado, intenta resolver el problema de la falta de respuestas a preguntas sensibles como el uso de enervantes, relaciones sexuales o de otra índole. Además, para este caso se presenta el procedimiento desarrollado por S. Warner (1965) para obtener respuestas difíciles que ayuden estimar la proporción de personas con la característica de interés que se busca. Agradecimientos Queremos dar las gracias a todas las personas que influyeron positivamente en la realización de este libro. En especial, a nuestros alumnos de la Licenciatura en Informática, de Ingeniería en Telemática y los de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Colima, por su paciencia, tolerancia y sugerencias para mejorar los borradores. También a los alumnos Martín Hugo del Toro Guzmán, Hugo Torres López Y Henry Nicole Ramírez de la Facultad de Ciencias, por su apoyo en la captura de la versión preliminar de los manuscritos. Los autores Colima, México
Índice general 1. Introducción
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2. Conceptos básicos de estadística 2.1. ¿Qué es la estadística y para qué sirve? . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Población y muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. ¿Qué es una medición? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Las escalas de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Parámetros y estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. La distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.La distribución normal estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.El Teorema Central del Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.La distribución t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.Los tipos de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.El marco de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.Pasos a seguir en el diseño de una encuesta . . . . . . . . . . . . 2.16.Las ventajas y desventajas del muestreo . . . . . . . . . . . . . . 2.17.Las características deseables en una investigación por muestreo 2.18.Errores de las encuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19.Muestra preliminar o piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20.La precisión de la estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20.1.Elementos para elegir la precisión o margen de error . . . 2.21.Uso de tablas para la distribución normal estándar y t-student 2.21.1.Distribución normal estándar para n > 30 . . . . . . . . . 2.21.2.Distribución t-student para n ≤ 30 . . . . . . . . . . . . . . 3. Muestreo aleatorio simple 3.1. Tipos de muestreo aleatorio simple . . . . . . . . 3.2. Selección de una muestra aleatoria simple . . . . 3.3. Estimación de la media poblacional . . . . . . . . 3.3.1. Estimador de la media y del total muestral 3.3.2. Estimación de la varianza . . . . . . . . . . 3.3.3. Estimación por intervalo . . . . . . . . . . 3.3.4. Determinación del tamaño de la muestra . 3.3.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. La estimación de una proporción poblacional . . III
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3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 22 23 24 24 25 26 28 28 30
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33 34 35 36 37 37 38 40 42 51 52
3.5.1. La medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. El estimador de la proporción poblacional P y su relación con el estimador de una media poblacional . . . . . . . . . 3.5.3. La varianza de la población para una proporción . . . . . . 3.5.4. Los intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5. El tamaño de muestra requerido para estimar P . . . . . . 3.5.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 52 53 54 55 56 63
4. El muestreo aleatorio estratificado 65 4.1. Ventajas de utilizar MAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2. ¿Cómo seleccionar una muestra aleatoria estratificada? . . . . . . 67 4.3. La estimación de la media poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.1. El estimador de la varianza de la media estratificada . . . . 68 4.3.2. El intervalo de confianza para la estimación de la media estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.3. El estimador del total estratificado . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.4. La varianza del estimador del total estratificado . . . . . . . 69 4.3.5. El intervalo de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.6. La determinación del tamaño de la muestra . . . . . . . . . 69 4.3.7. La asignación de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4. La selección de estratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.6. La estimación de la proporción poblacional . . . . . . . . . . . . . 88 4.6.1. El estimador de la proporción y total poblacional . . . . . . 89 4.6.2. Los intervalos de confianza para la proporción y total poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.6.3. El tamaño de muestra para estimar la proporción estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.6.4. Asignación de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5. El muestreo sistemático 105 5.1. Tipos de población por su estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2. ¿Cómo seleccionar una muestra sistemática? . . . . . . . . . . . . 108 5.3. La estimación de la media poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.1. La varianza de la media y del total. . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.2. El intervalo de confianza de la media y el total . . . . . . . . 111 5.3.3. La selección del tamaño de la muestra. . . . . . . . . . . . . 111 5.3.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5. La estimación de la proporción poblacional . . . . . . . . . . . . . 124 5.5.1. El estimador de la proporción y el total . . . . . . . . . . . . 124 5.5.2. La varianza estimada de la proporción y el total sistemático 125 5.5.3. El intervalo de confianza para la proporción y el total sistemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5.4. La selección del tamaño de muestra para la proporción y el total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.5.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6. El muestreo por conglomerados en una etapa 139 6.1. ¿Qué puede ser un conglomerado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.2. Una comparación con el muestreo estratificado . . . . . . . . . . . 141 6.3. Acerca del tamaño del conglomerado . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.4. La estimación de una media y un total poblacional con M conocida 143 6.4.1. El estimador de la media poblacional . . . . . . . . . . . . . 143 6.4.2. El estimador del total poblacional . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.4.3. La varianza estimada de y¯c y τˆc . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.4.4. El intervalo de confianza de la media y el total . . . . . . . . 144 6.4.5. La determinación del tamaño de muestra . . . . . . . . . . 145 6.4.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.6. La estimación de la media y un total cuando se desconoce M . . . 162 6.6.1. ¿Qué sucede cuando se desconoce el tamaño de la población M ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.6.2. El estimador de la media y el total poblacional . . . . . . . 162 6.6.3. La varianza estimada de la media y del total. . . . . . . . . 163 6.6.4. El intervalo de confianza de la media y del total. . . . . . . 163 6.6.5. Los tamaños de muestra para estimar la media y el total . 163 6.7. La estimación de una proporción poblacional . . . . . . . . . . . . 164 6.7.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada 175 7.1. ¿Cuándo se utiliza esta técnica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.2. Ventajas y desventajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.3. El modelo de respuesta aleatorizada bajo el MAS . . . . . . . . . . 177 7.3.1. El estimador de la proporción y el total poblacional . . . . 179 7.3.2. La varianza estimada de los estimadores de la proporción y del total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.3.3. El intervalo de confianza de la proporción y el total . . . . . 179 7.3.4. El tamaño de la muestra para la proporción y el total . . . 180 7.3.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.5. El modelo de respuesta aleatorizada bajo el MAE . . . . . . . . . 191 7.5.1. El estimador de la proporción y el total poblacional . . . . . 192 7.5.2. La varianza de los estimadores de la proporción y total poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.5.3. El intervalo de confianza para el promedio y total poblacional192 7.5.4. El tamaño de la muestra para estimar la proporción y el total193 7.5.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.7. Alternativa al modelo de respuesta aleatorizada . . . . . . . . . . . 211 7.8. Respuesta aleatorizada versión Horvitz bajo MAS . . . . . . . . . 212
7.8.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Respuesta aleatorizada versión Horvitz bajo MAE 7.11.¿Cuál método de respuesta aleatorizada es mejor?
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213 220 222 223
A. Tablas de la distribución normal estándar y de la distribución tstudent 225
Índice de figuras 2.1. Forma de la distribución normal para la variable estatura (Y ) con media 90 cm. y DE=5 cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Forma de la distribución normal estándar (Z), es decir, Z ∼ N (µ = 0, σ 2 = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Comparación de la distribución normal estándar con las distribuciones t-student con 1, 3, 5 y 10 gados de libertad . . . . . . . . . . . . . . .
12 13 15
5.1. La dispersión del marco de muestreo de una población aleatoria . . . . 107 5.2. La dispersión del marco de muestreo de una población ordenada . . . . 108 A.1. Varianzas de distribuciones finitas (S 2 ), en función de su forma y rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
III
Índice de cuadros 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
Ejemplo 1 para el uso de las tablas de la normal estándar . . Ejemplo 2 para el uso de las tablas de la normal estándar . . Ejemplo 3 para el uso de las tablas de la normal estándar . . smallcaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo para el uso de las tablas de la distribución t-student
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. . . . .
29 29 30 31 31
4.1. Plantas por hectárea infectadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Faltas justificadas por año. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. El ingreso promedio mensual (miles de pesos) de las familias chiapanecas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. El número de horas diarias que cada familia ve televisión . . . . . 4.5. Resultado del número más probable de coliformes fecales por 100 ml. de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Calificaciones de los egresados de la Normal Superior . . . . . . . 4.7. Daño promedio a corazoón de las tres sepas en porcentaje. . . . . 4.8. Porcentaje de tanino por kg. de nance. . . . . . . . . . . . . . . . .
73 77
5.1. Esquema de un muestreo sistemático . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. El porcentaje de grasa por envase de leche ultrapasteurizada . . . 5.3. El peso de los sacos de maíz (Kg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. El porcentaje de sacarosa por planta . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. El número de microprocesadores dañados por caja . . . . . . . . . 5.6. Datos de la muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Datos de la muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Datos de la muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Datos de la muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.Los alumnos satisfechos e insatisfechos. . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.Los colimenses que al menos en una ocasión se han enfermado de dengue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.Los estudiantes que tienen licencia para conducir . . . . . . . . . 5.13.Los asegurados que contrajeron gripe o tos por lo menos una vez en los últimos seis meses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15.Albañiles que consumen cerveza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16.Muestra de colchones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17.colimenses que han visitado Francia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18.colimenses que han visitado Palenque, Chiapas. . . . . . . . . . .
80 84 87 88 88 89 106 112 115 118 120 123 123 124 124 126 129 131 134 136 137 137 137
6.2. El gasto en útiles escolares por estudiante (en pesos). . . . . . . . 147 6.4. El contenido de carbohidratos por reja de refresco . . . . . . . . . 151 6.5. Ejemplares comprados por familia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 V
6.6. Emigrantes de las 12 localidades. . . . . . . . . . . . . . 6.7. Nivel de satisfacción de los médicos en cada hospital . 6.8. Kg. de basura producidos por vivienda semanalmente. 6.9. El total de cacahuates producidos por tramo . . . . . . 6.10.El agua de coco por palmera (litros). . . . . . . . . . . . 6.12.smallcaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13.smallcaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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157 161 162 165 168 173 174
A.1. Distribución normal estándar acumulada. . . . . . . . . . . . . . . 226 A.2. Puntos porcentuales de la distribución t-student. . . . . . . . . . 227 A.3. Tabla de números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Capítulo 1 Introducción
L
Os
cambios radicales en las tecnologías de la información y las telecomunicaciones han generado una enorme cantidad de información sin precedentes. La tecnología está cambiando el mundo en que vivimos. La importancia de este cambio es comparable al de las revoluciones industriales de los siglos XVIII y XIX. En las dos últimas décadas, la Internet y las tecnologías de la información han transformado el funcionamiento de las empresas, los métodos de aprendizaje de los estudiantes, los métodos de investigación de los científicos y la forma en que los gobiernos prestan sus servicios a los ciudadanos. Las tecnologías digitales han demostrado ser un potente motor del crecimiento económico y de la competitividad. En general, estos cambios continuos y evolutivos han transformado a la sociedad, de una basada en la producción de objetos físicos, a una donde el énfasis principal es la producción e intercambio de información. Por consiguiente, se ha alterado no sólo la interacción humana con la información, sino que también el comportamiento individual y colectivo de los individuos (Danger, et. al., 1996 [8]), ya que exige cambios muy rápidos a los nuevos paradigmas. Los gobiernos, las empresas privadas, las instituciones, así como los ciudadanos, necesitan usar intensivamente información y datos para el análisis de fenómenos y toma de decisiones en circunstancias de gran complejidad e incertidumbre. La información sobre la cantidad y calidad de un recurso para tomar tales decisiones pueden ser obtenidas mediante una evaluación exhaustiva, esto es, cuantificar o calificar todo el recurso (población). Sin embargo, en la mayoría de las circunstancias no es posible o conveniente hacer la evaluación exhaustiva sobre toda la población, principalmente por la carencia de recursos, por ello se justifica que gran parte de los conocimientos, actitudes y decisiones humanas estén basadas en el análisis de información parcial, es decir, en el estudio de muestras, concretamente en el uso del muestreo. Al hacer la evaluación con solamente una fracción de la población o del recurso, se espera que las determinaciones hechas también pertenezcan a la población, implícitamente se acepta esa suposición, aunque siempre se corre el riesgo de que tal suposición no sea totalmente cierta. El objetivo principal de las técnicas de muestreo es darle objetividad a ese riesgo. El uso del muestreo como un medio para obtener conocimiento y tomar decisiones, es algo normal y cotidiano en las actividades humanas. En estudios 1
Capítulo 1. Introducción de mercado, el muestreo sirve para conocer las preferencias de los consumidores de cierto producto; en los estudios demográficos y sociales, para conocer los niveles de empleo y desempleo, los ingresos y niveles de escolaridad en los habitantes de una ciudad o país, la prevalencia y la incidencia de la drogadicción, etc.; y en la industria, para el control de calidad en el proceso de producción. En fin, el muestreo se utiliza prácticamente en todas las áreas del conocimiento. Sin embargo, elegir el esquema de muestreo, calcular el tamaño de la muestra y realizar las estimaciones correspondientes no es una tarea fácil para todas aquellas personas con poca formación en estadística. Por ello, este libro pretende ayudar a los investigadores, estudiantes y profesionales de las distintas áreas del conocimiento que frecuentemente se encuentran con estos problemas para que realicen sus actividades de una forma apropiada y eficaz. Además, sirve en un primer curso de muestreo estadístico aplicado, dirigido a estudiantes de nivel licenciatura, en cualquier área del conocimiento. El material no supone conocimientos profundos sobre matemáticas o probabilidad y por lo tanto, tampoco realizar demostraciones formales. Los objetivos centrales que persigue este documento son: Presentar la forma adecuada de seleccionar una muestra, lo que denominaremos diseños de muestreo, considerando las características de las poblaciones de interés. Exponer las fórmulas para calcular los estimadores. Exponer las fórmulas adecuadas para calcular el tamaño de una muestra para satisfacer las exigencias preestablecidas sobre la calidad de los estimadores. Proporcionar ejemplos ilustrativos para cada uno de los esquemas de muestreo para facilitar su comprensión.
2
Capítulo 2 Conceptos básicos de estadística Que la estadística es bella, no lo vengo a presumir. Sólo requiere de entrega, para poderla sentir. OAML
2.1.
E
¿Qué es la estadística y para qué sirve?
la literatura existen numerosas definiciones de la estadística. En lugar de hacer acopio de diversas definiciones y darnos a la tarea de compararlas, señalando su ambigüedad o insuficiencia, aceptaremos la siguiente: N
Estadística ”La estadística es la ciencia que se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones” (Johnson, 1996). La estadística sirve para: Describir las diferentes medidas en un conjunto de objetos mediante el análisis de algunos de sus elementos. Tomar decisiones sobre opciones diversas con información parcial contenida en un conjunto de datos. Predecir el comportamiento de una medida o característica, en condiciones no observadas.
Los usos y aplicaciones son innumerables; sin embargo, éstos se pueden resumir en algunos de los puntos ya descritos con la finalidad de inferir sobre la población (estimación y prueba de hipótesis). Como en todas las áreas del conocimiento, el muestreo emplea una termi3
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística nología específica que define de manera apropiada los conceptos que se utilizan, por lo que es conveniente revisar algunos de ellos, en particular de la estadística, y presentar la simbología que se emplea en las técnicas de muestreo. Conjunto Es una colección de objetos definidos y distinguibles cuya única propiedad indispensable es que sean identificados como pertenecientes a dicho conjunto. A cada uno de los objetos que lo constituyen se le llama elemento. Por ejemplo, todas las computadoras dentro de una empresa o laboratorio pueden constituir un conjunto; también los estudiantes y las sillas dentro de un salón de clases constituyen un conjunto. Cabe mencionar que no es un requisito que los objetos sean de la misma naturaleza, aunque la mayoría de los casos que involucra las técnicas de muestreo los objetos suelen ser de la misma clase, o al menos muy semejantes.
2.2.
Población y muestra
Como se dijo, las técnicas de muestreo, y en general los métodos estadísticos, se aplican a un conjunto de datos propios de un conjunto de objetos. Denominamos población al conjunto de objetos tanto como al conjunto de valores. El segundo es una función del primero, y aunque con frecuencia no se distinguen explícitamente, el contexto en que se usa el término de población deja en claro la referencia. En este libro se usará la población, que se refiere al conjunto de mediciones que se hacen sobre una característica de interés en todos y cada uno de los elementos del conjunto de objetos. Población. Es una colección de objetos o de entes que se caracterizan por poseer o compartir ciertas características (propiedades) en común. Muestra. Es un subconjunto de elementos o unidades, seleccionados con alguna técnica, de la población en estudio. La población es el conjunto que incluye todas las partes constitutivas de un recurso. Así, la población es un conjunto de números que tienen las unidades en que se hace la medición. En general, en el análisis no suelen incluirse las unidades de medición de los valores de una variable, es decir, éstos se analizan simplemente como números. Sin embargo, resulta conveniente recordar que los valores de una variable siempre representan dimensiones físicas o de otra naturaleza, como peso, volumen, longitud, etc., y que estas dimensiones son medidas en unidades como kilogramos, metros cúbicos, centímetros, etc., por lo que los resultados del análisis son coherentes si se usan las unidades de medición, lo que facilita enormemente su interpretación. 4
Por ejemplo, si el recurso son los estudiantes de la Universidad de Colima y la característica de interés es su estatura promedio, la población original son todos los estudiantes, pero la población a la que las técnicas de muestreo se referirán son el conjunto constituido por las estaturas de esos estudiantes, que estarán denominadas por el número que indica la dimensión y las unidades en que se miden; por ejemplo 1.75 metros podría ser uno de los elementos constitutivos del conjunto población. El muestreo, en un sentido amplio, es un proceso que tiene como propósito obtener conocimientos de las características generales de una población, mediante la muestra. En contraste, el censo es un proceso de revisión exhaustivo de la población, es decir, mide la característica de interés de todas las unidades de la población.
2.3.
Variables
Una variable es una característica de los elementos de una población y se obtiene con una medición o una calificación. La altura de los estudiantes es una variable, también lo es la marca de computadoras portátiles que se encuentran en el mercado actual. El peso de cada silla o de cada estudiante también es una variable. Una variable continua, como su nombre lo indica, es aquella donde son posibles todos los valores dentro de un intervalo de los números reales, al menos teóricamente, ya que prácticamente, por limitaciones de los instrumentos de medición, muchos valores en ese intervalo no pueden ser observados. En general, este tipo de variables incluye mediciones en kilogramos, centímetros, etc., cuya precisión puede ser incrementada indefinidamente, afinando más y más el instrumento de medición. Una variable discreta se puede medir en una escala que no incluye todos los valores posibles de un intervalo de los números reales. Ejemplos de este tipo de variables son los conteos, el número de personas de un lugar, el número de libros en una biblioteca, entre otros. Las variables por atributos permiten la clasificación en función de la presencia de cierta propiedad en el elemento que desea evaluarse. La pertenencia a un grupo étnico es un ejemplo de un atributo; podría haber un número variable de atributos, como tener varios grupos étnicos, lo que permitiría hacer diversos grupos y cada elemento pertenecería solamente a uno de esos grupos o clases. Las técnicas de muestreo se aplican directamente a conjuntos de valores medidos en escalas apropiadas para variables continuas, discretas o de atributos. Digamos que pudiera ser de interés describir económica y socialmente las familias del estado de Colima, para ello se aplica un cuestionario a cada fami5
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística lia con preguntas sobre su situación socioeconómica, como ingreso mensual, el número de integrantes de la familia, el número de individuos que trabajan, el tipo de ocupación, entre otras. El conjunto de mediciones de cualquiera de estas variables medidas es el sujeto de aplicación de las técnicas de muestreo. Otro ejemplo puede ser la determinación de la calidad del aire en la Ciudad de México, para ello se toman mediciones de diferentes contaminantes: el conjunto de las mediciones del contaminante es la variable a la que se aplican los conceptos del muestreo. Pueden ser muchas las variables que se midan, pero el muestreo que aquí estudiaremos es univariado, es decir, se toma solamente una variable a la vez; aunque el estudio incluya varias variables, el proceso se realiza sobre todas y no más de una al mismo tiempo. Función es otro terminó muy usado. Matemáticamente, el concepto de función consta de tres elementos, dos conjuntos y una regla que asocia o vincula a cada elemento del primer conjunto con uno y sólo uno de los elementos del segundo conjunto. Una lista de nombres y un grupo de estudiantes pueden ser una función si cada nombre de la lista corresponde a uno y sólo uno de los estudiantes. Nótese que incluso todos los elementos del primer conjunto pueden estar vinculados al mismo elemento del segundo conjunto, pero lo que no es válido es que un elemento del primer conjunto esté vinculado con más de un elemento del segundo. Las funciones que comúnmente abordaremos en este texto son funciones matemáticas, en las que los conjuntos contienen números y la regla de asociación es una ecuación. Hemos mencionado que en el muestreo nos interesan los valores medidos del subconjunto muestra, que son seleccionados del conjunto población. A estos valores se les denomina datos, es decir, un dato es el valor específico que tiene la característica de interés de un elemento de la población. Conviene mencionar que dato se puede referir a un valor conocido o existente pero que aún no ha sido determinado. En este libro un dato es un valor que ya ha sido determinado. En el este contexto experimento es el procedimiento que permite obtener un dato. Este procedimiento incluye dos cosas: la forma de elegir el objeto, y la determinación del valor mediante algún método. Es prioritario considerar la forma en que se decide el elemento que se observará. La determinación del valor de la característica es la medición o la calificación, que algunas veces representa un problema difícil y requiere tratamientos específicos. Este es el tema que abordaremos a continuación.
2.4.
¿Qué es una medición?
La medición es una tarea en la que la estadística no interviene directamente, pero influye mucho en los resultados. Para hacer una medición deben usarse las técnicas adecuadas. En general la medición es la determinación del valor de la característica de interés de un elemento de la muestra. 6
Para medir la altura de los estudiantes se emplean técnicas muy distintas a las que miden la longitud de un virus o una bacteria; pero los métodos estadísticos para analizar los datos de ambos casos pudieran ser los mismos. Las técnicas de medición son muy diversas y algunas son difíciles de ejecutar. La instrumentación, selección y validez de las técnicas de medición son motivo de estudio de otras disciplinas, pero la comparación entre técnicas de medición sí son motivo de aplicación de los métodos estadísticos por lo que no abordaremos en este libro las técnicas de medición.
2.5.
Las escalas de medición
Las reglas que clasifican los datos en distintas categorías se denominan escalas de medición: nominal, ordinal, intervalo y proporción (Siegel, 1977 [7]).
Escala nominal La escala nominal se utiliza para clasificar a la población en categorías. Por ejemplo, los seres humanos se clasifican en hombres y mujeres; los colores se clasifican en rojo, azul, verde, etc. En este tipo de datos no existe una relación de orden ni se pueden realizar operaciones aritméticas como suma, multiplicación, división o resta. Sin embargo, se pueden establecer frecuencias y proporciones, así como calcular la moda y establecer relaciones de equivalencia. Las propiedades de las relaciones de equivalencia son: reflexión: X=X; simetría: si X=Y entonces Y=X; y transición: si X=Y y Y=Z, entonces X=Z. Las pruebas estadísticas no paramétricas son admisibles para datos con esta escala de medición.
Escala ordinal La escala ordinal clasifica y ordena las observaciones. Sin embargo, no puede definirse una distancia entre las observaciones. Las relaciones admisibles en esta escala son: >,<, =. Por ejemplo, la frecuencia con que un grupo de personas lee una revista científica podría clasificarse en: regularmente, a veces, pocas veces, casi nunca y nunca. Otro ejemplo es la definición de la jerarquía militar de un regimiento: teniente> subteniente> sargento 3ro.> sargento 1ro.> cabo. Un último ejemplo es la llegada a la meta de un corredor en una competencia de 20 participantes: su clasificación C es tal que C ∈ {1, 2, . . . , 20}. Las medidas que se pueden calcular en esta escala son: moda, frecuencia, coeficiente de contingencia y mediana. Las pruebas estadísticas admisibles para un conjunto de datos de esta naturaleza son las no paramétricas, en particular las estadísticas de rango, así como los coeficientes de correlación con base en rangos, es decir, el coeficiente de Sperman y el de Kendall.
7
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística
Escala de intervalo Esta escala incluye las dos anteriores; es decir, clasifica, ordena y además establece la proporción entre dos intervalos contiguos. Esta escala necesita una unidad de medida y un punto cero arbitrario (no es el cero que pertenece a los reales). En esta escala la proporción de dos intervalos cualesquiera es independiente de la unidad de medida y del punto cero. Por ejemplo, la temperatura en grados Celsius o Farenheit se mide en una escala de intervalo, ya que la unidad de medida y el punto cero son arbitrarios. Las pruebas estadísticas admisibles son las paramétricas y las no paramétricas. Dentro de las técnicas paramétricas se permite el cálculo de medias, de la desviación estándar, el coeficiente de correlación de Pearson, etc. Las pruebas estadísticas admisibles son las t-student y la F de Snedecor. Las únicas medidas que no se pueden obtener son el coeficiente de variación y la media geométrica, porque necesitan el cero de los números reales.
Escala de proporción Además de todas las características anteriores, la escala de proporción ubica al punto cero en el origen. En esta medida, además de conocer la proporción, se debe conocer la distancia entre dos puntos. Admite también todas las operaciones matemáticas y de igual manera se pueden establecer relaciones de igualdad y orden. Las pruebas estadísticas admisibles son todas las pruebas paramétricas, así como todas las pruebas estadísticas anteriores mas el coeficiente de variación y la media geométrica. Ejemplo 1. El peso en kilogramos de los estudiantes del primer semestre de Ingeniería en Software de la Facultad de Telemática de la Universidad de Colima. Ejemplo 2. El diámetro en metros de una plantación de parotas localizadas en Tecomán, Colima.
2.6.
Parámetros y estimadores
Parámetros Sobre el conjunto población se pueden definir funciones muy diversas como el valor más pequeño, el más grande, el que ocupa la posición central una vez que han sido ordenados ascendente o descendentemente, la suma de todos los valores después de elevarlos al cuadrado, el valor que se repite el mayor número de veces y muchos otros más. Todas esas funciones son parámetros. Los parámetros suelen ser representados por letras griegas como µ, τ , σ. Existe un número infinito de parámetros para una población dada; sin embargo, muchos no tienen utilidad, en cambio otros manifiestan el interés de la evaluación. Por ejemplo, la suma de todos los valores correspondientes al gasto de agua por familia en una localidad (población), porque la suma representa el gasto total de agua en dicha localidad. Por lo tanto, el promedio, el total, la varianza, la desviación estándar, el coeficiente de variación, la moda, 8
la mediana, el porcentaje o proporción son algunos ejemplos de parámetros. Estimadores Son funciones que se pueden proponer para calcular o estimar los parámetros. Si se definen sobre el conjunto población entonces se está calculando el parámetro; pero si esas funciones se definen para los datos de una muestra, entonces se realiza una estimación del parámetro. A ambos casos se les llamarán estimadores. Además, a cada parámetro le corresponde uno o más estimadores. Existe un número infinito de estimadores, pero sólo algunos tienen interés práctico. Aclaremos mejor la diferencia entre parámetro y estimador. Un estimador es una función de los datos que sirve para calcular (en un censo) o estimar (en un muestreo) un parámetro. Una definición general del parámetro es una constante que describe a la población, usualmente en forma numérica, mientras que un estimador es una función de los datos disponibles (muestra o censo) que se usa para estimar o calcular los parámetros.
2.7.
Sumatorias
La sumatoria es muy importante para comprender mejor los conceptos detrás del muestreo. Algunos parámetros y estimadores incluyen en su definición la suma de varios valores o datos. Si se simboliza por yi a cualquiera de esos datos, digamos el i-ésimo de ellos, y se tienen n datos, la suma de esos datos se simboliza empleando el operador de sumatoria (Σ), y1 + y2 + · · · + y n =
n X
yi
i=1
Se puede combinar otras operaciones matemáticas con la sumatoria; por ejemplo, si se desea sumar el cuadrado de cada dato, la simbología apropiada es: n X 2 2 2 y1 + y2 + · · · + y n = yi2 i=1
El subíndice señala una etiqueta que identifica a cada dato cuando éste aparece en una lista. Es importante hacer notar que el subíndice puede emplear cualquier símbolo, aunque convencionalmente se emplean letras intermedias minúsculas del alfabeto como ”i”, ”j”, ”k”, etc.; incluso los mismos datos pueden usar subíndices diferentes para indicar las operaciones apropiadas. Asimismo, un símbolo de dato como ”y” puede tener más de un subíndice cuando los datos tienen más de dos criterios o sentidos de clasificación, como puede ser el caso de una tabla o una matriz que tiene renglones y columnas, como ”yij ”, donde ”i” es el renglón y ”j” la columna, o al revés. Si existen más de dos criterios de clasificación podrán emplearse más de dos subíndices para identificar apropiadamente cada dato. 9
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística En otras ocasiones se empleará un subíndice con algún otro símbolo, tal vez el de una variable, un parámetro o un estimador, para señalar que ese símbolo pertenece al objeto identificado con la etiqueta que se usa como subíndice. Por ejemplo, σy se refiere a la desviación estándar de la variable (de los datos de) y. Veamos varios ejemplos sobre el uso de la sumatoria y los subíndices. En los ejemplos, i puede tomar valores entre 1 y n, mientras que yi puede ser cualquier valor de la variable y. Por decir, si estamos hablando de la variable ’íngreso familiar en el estado de Colima” (y), entonces yi representa el ingreso que tiene la familia i en el estado.
Propiedades de las sumatorias a)
n X
b) c)
i=1 n X
i=1 n X i=1
c = c + c + c + · · · + c = nc cyi = c(y1 + y2 + y3 + · · · + yn ) = c
n X
yi
i=1
(xi + yi ) = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + · · · + (xn + yn ) = x1 + y1 + x2 + y2 + · · · + x n + yn = (x1 + x2 + x2 + · · · + xn ) + (y1 + y2 + · · · + yn ) =
n X
xi +
i=1
d)
n X
yi =
i=1
que n. Ejemplo: 5 X
r X
yi +
i=1
n X
yi
i=1
n X
yi , donde r es un número entero mayor que 1 y menor
i=r+1
yi = (y1 + y2 ) + (y3 + y4 + y5 )
i=1
=
2 X i=1
2.8.
yi +
5 X
yi
donde yi = cualquier valor
i=2+1
Variable aleatoria
El concepto de variable aleatoria se relaciona con una característica o dimensión que tienen las unidades muestrales de una población, y que puede tomar diferentes valores, cada uno asociado a una unidad muestral. Esos valores posibles forman un conjunto, que a dicho conjunto se denomina espacio muestral. Así, una variable aleatoria Y es una función que va del espacio muestral (constituido por las unidades muestrales) a otro espacio muestral que son los números reales o a un subconjunto de éstos, que son todos los valores que 10
puede tomar la variable bajo un experimento aleatorio.
Por ejemplo, se desea saber si los miembros de un grupo de personas fuman o no. El espacio muestral inicial es el grupo de personas y = yi y el segundo espacio muestral es S = { sí, no}, que corresponde al hecho de que una persona dada (yi ) fume o no fume. Entonces podríamos definir la función Y como una variable aleatoria como sigue: ½ 1 si yi = sí fuma y(yi ) = 0 si yi = no fuma. Esta variable es conocida como la variable indicadora del conjunto yi y sólo toma los valores 1 ó 0.
2.9.
La distribución normal
Esta distribución tiene gran importancia debido a que es un modelo adecuado para muchos sucesos naturales y por su sobresaliente papel en la teoría estadística (Teorema Central del Límite), puesto que sirve como punto de partida para el desarrollo de muchas técnicas de inferencia (Mood, et al., 1974 [4]). Es importante mencionar que debido a que la distribución normal es continua, solamente pueden calcularse probabilidades para intervalos que pertenecen al espacio muestral de Y , ya que para cualquier posible valor k de Y , P (Y = k) = 0. Aunque con la corrección por continuidad es posible calcular probabilidades para cualquier posible valor k (Mood, et al., 1974 [4]). Decimos que una variable aleatoria Y se distribuye normal si su función de densidad es: 2 √ 1 e− (y−µ) 2σ 2 si y ∈ R fY (y) = 2πσ 2 0 de otra forma. Donde:
E[Y ] = µ −∞ < µ < ∞ V ar(Y ) = σ 2 σ2 > 0 e y π son las constantes conocidas. El lector debe notar que µ y σ 2 son los parámetros de la distribución, es decir, Y ∼ N (µ, σ 2 ). Para ejemplificar la forma de la distribución normal, supóngase que se mide la estatura (Y ) en centímetros a una población de niños de 5 años de edad y se encuentra que su promedio es de 90 cm. con una desviación estándar (DE) de 5 cm., es decir, Y ∼ N (µ = 90, σ 2 = 25). La forma de la distribución se presenta en la figura 2.1. La distribución normal tiene forma acampanada (Figura 2.1), con un solo pico o moda que es igual a la mediana y media porque es una distribución simétrica en torno a este punto. Además, cuando Y ∼ N (µ = 90, σ 2 = 25), el porcentaje de niños con una estatura entre 80 cm y 100 cm es de 95.45 por ciento (área sombreada en la figura 2.1). Los puntos en que cambia la dirección de la concavidad de la campana se llaman puntos de inflexión, y 11
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
están situados a una distancia de σ unidades por encima y por debajo de la media µ. El área total bajo la curva es 1 ó 100 por ciento, ya que es una distribución de probabilidad definida.
70
75
80
85
90
95
100
105
110
Y
Figura 2.1: Forma de la distribución normal para la variable estatura (Y ) con media 90 cm. y DE=5 cm.
2.10.
La distribución normal estándar
Sea Y una variable aleatoria distribuida N (µ, σ 2 ). Definamos la variable aleatoria Z = (Y − µ)/σ, que tiene distribución N (0, 1), es decir, es normal estándar porque su media es cero y su varianza es la unidad. Su función de densidad es: 1 − z2 √ e 2 si z ∈ R 2π fZ (z) = 0 de otra forma.
La forma de la variable aleatoria Z se ilustra en la figura 2.2. Se puede ver en la figura 2.2 que los valores con mayor ocurrencia de la variable aleatoria Z están entre -3.6 y 3.6, la media igual a la mediana es igual a cero y su desviación estándar igual a la varianza es uno. La importancia de esta función de densidad de probabilidad radica en que las probabilidades en cualquier miembro de la familia, o sea, cualquier normal con media µ y varianza σ 2 , puede calcularse con la distribución normal estándar. La ventaja estriba en que tiene media cero y varianza uno (Mood, et al., 1974 [4]) y facilita el cálculo de probabilidades porque la variable aleatoria normal original es una función no integrable, por lo que la integración se obtiene empleando tablas de la normal estándar o con un software estadístico. 12
0.4
0V2
1
0.0
0.1
0.2
0.3
N P
-4
-2
0
2
4
Z
Figura 2.2: Forma de la distribución normal estándar (Z), es decir, Z ∼ N (µ = 0, σ 2 =
1)
2.11.
El Teorema Central del Límite
El Teorema Central del Límite es de gran importancia porque en él se basan gran parte de los métodos estadísticos. Este teorema provee una aproximación efectiva a las probabilidades determinadas por sumas de variables aleatorias independientes y explica la gran importancia de la distribución normal en la teoría de probabilidades. Su enunciado preciso es el siguiente: sean Y1 , Y2 , . . . , Yn una muestra aleatoria de una función de probabilidades fY (y) (es decir, variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas), con media µY y varianza σY2 . Sea Y¯ = (Y1 + Y2 + · · · + Yn )/n la media aritmética de las variables aleatorias que integran la muestra. Para un tamaño de muestra n, la distribución de la variable aleatoria Y¯ es aproximadamente normal con media µY y varianza σY2 /n, es decir, Y¯ ∼ N (µY , σY2 /n),
cuando n → ∞
De acuerdo con el resultado anterior y estandarizando la variable aleatoria, la expresión puede escribirse como Y¯ − µY Y¯ − µY r ∼ N (0, 1) = σy¯ σY2 n El Teorema Central del Límite establece que para un tamaño de muestra grande, la distribución de Y¯ es aproximadamente normal, independientemente 13
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística de la función de probabilidades de la variable aleatoria Y (Mood, et al., 1974 [4]). Para casi todas las poblaciones, la distribución del muestreo de Y¯ es aproximadamente normal si una muestra simple al azar es lo suficientemente grande, pero ¿qué significa una muestra suficientemente grande? Esto dependerá de la naturaleza de la población muestreada y del grado de aproximación a la distribución normal requerido. Cuando la población muestreada tiene una distribución de probabilidad normal, no se requiere el teorema central del límite. En este caso, utilizamos otro teorema que establece que ”si la población muestreada es una distribución de probabilidad normal, la distribución de probabilidad de Y¯ es exactamente normal para cualquier tamaño de muestra”. Puesto que a menudo no conocemos el tipo de población muestreada, el Teorema Central del Límite nos dice la naturaleza de la distribución de muestreo de Y¯ para una muestra razonablemente grande, al margen del tipo de distribución que siga la población.
2.12.
La distribución t-Student
Es importante mencionar que la distribución t-student se publicó por primera vez en 1908, por el irlandés W.S. Gosset. En esa época Gosset trabajaba en una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de trabajos de investigación. Por tal motivo Gosset publicó su trabajo con el seudónimo ”Student”. Razón por la cual se le asigno el nombre a esta distribución de ”t-student”. Si Z es una variable N (0, 1) y χ2 es una variable χ2 (ν) (Ji cuadrada) independiente de Z, entonces la variable aleatoria definida por: t= p
Z χ2 /ν
tiene una distribución t-student con ν grados de libertad (Mood, et al., 1974 [4]). Su función de densidad es la siguiente: µ ¶−(ν+1)/2 1 [(ν + 1)/2]! t2 √ +1 si −∞ ≤ t ≤ ∞ ν νπ [ν/2]! fT (t) = 0 de otra forma.
La función de densidad t-student es simétrica con respecto a cero, como el caso de la función de densidad normal estándar. Además, para ν > 1, el valor ν esperado de t es cero, E[t] = 0; y para ν > 3, Var[t] = . Además, note que ν−2 cuando ν −→ ∞, Var[t] −→ 1. De esta manera vemos que una variable aleatoria t-student tiene el mismo valor esperado que una variable aleatoria con distribución normal estándar. Por ello, la forma de ambas distribuciones es muy 14
0.4
semejante. No obstante, una variable normal estándar siempre tiene varianza de 1, mientras que la varianza de una variable t-student es superior a 1. Esto se puede apreciar en la Figura 2.3, donde se compara la distribución normal estándar con la distribucione t-student con 1, 3, 5 y 10 grados de libertad. Es decir, se observa que las dos funciones de densidad son simétricas respecto al origen, pero la distribución t-student posee mayor masa de probabilidad en los extremos. Sin embargo, desde el punto de vista práctico las diferencias entre estas dos distribuciones son relevantes cuando el tamaño de muestra es menor o igual a 30, . Así, en el presente libro sugerimos obtener los valores de tablas que se utilizan para los ejemplos y ejercicios de los capítulos posteriores, a partir de la distribución t-student cuando el tamaño de la muestra sea menor o igual a 30, de lo contrario obtenerlos de la distribución normal estándar. N P
t10
0V2
1
t5
0.2
0.3
t3
0.0
0.1
t1
-4
-2
0
2
4
Figura 2.3: Comparación de la distribución normal estándar con las distribuciones t-student con 1, 3, 5 y 10 gados de libertad
2.13.
Los tipos de muestreo
A manera de definición, un método de muestreo es una forma objetiva, y comúnmente científica, de seleccionar unidades que pertenecen a la población. En este sentido el muestreo consiste en un conjunto de métodos de muestreo, por medio de los cuales es posible hacer aseveraciones sobre los parámetros de una población apoyándose en la muestra. Ahora bien, para conocer una población con base en la muestra recurrimos a dos procedimientos generales, que se diferencían en la manera de seleccionar 15
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística las unidades de la población y el método usado para determinar el tamaño de la muestra. A tales procedimientos comúnmente se les denomina muestreo probabilístico y muestreo no probabilístico; cada uno de ellos engloba una serie de métodos de muestreo (Rendón, 1997 [10]). Muestreo probabilístico. Comprende los métodos que usan un mecanismo aleatorio para la selección de las unidades de la muestra. Cada unidad de la población tendrá una probabilidad conocida de ser seleccionada, así como una probabilidad de ser incluida en la muestra; ninguna de tales probabilidades es igual a cero. Entonces, los métodos de este tipo de muestreo establecen una estructura probabilística que es la base para desarrollar la teoría del muestreo. Otra característica importante en estos métodos de muestreo es que la calidad, el error o la precisión de los estimadores puede ser determinada y expresada en términos probabilísticos. Algunos métodos de muestreo probabilístico son: el muestreo aleatorio simple, el muestreo aleatorio estratificado, el muestreo sistemático con iniciación aleatoria, el muestreo por conglomerados, el muestreo de respuesta aleatorizada, etc. (Bradburn,1998 [5]). Este tipo de métodos de muestreo se desarrollará más adelante. Muestreo no probabilístico. Incluye los métodos de muestreo donde la selección de las unidades de la muestra se realiza por medios subjetivos o procedimientos no aleatorios; en consecuencia, no se tendrá una estructura probabilística para desarrollar una teoría de muestreo, ni podrá averiguarse la bondad de las estimaciones muestrales en términos cuantitativos. De hecho, la calidad de las estimaciones se establece con base en la intuición y la experiencia, o a través de argumentos subjetivos, ya que la única manera de cuantificar la bondad de los resultados sería teniendo la población total. Aunque el muestreo no probabilístico resulta inadecuado para el desarrollo de la teoría, en ocasiones es la única alternativa viable (Bradburn,1998 [5]). Además, como los métodos de muestreo son de fácil aplicación, los resultados se obtienen con mayor rapidez y no implica mucho gasto. Veamos a continuación algunos ejemplos de muestreo no probabilístico:
Muestreo de juicio. También se le conoce como muestreo de expertos o muestreo dirigido. Su característica principal es la forma subjetiva con que son seleccionadas las unidades de la población. Por el elemento subjetivo no hay una manera de cuantificar la bondad de los resultados muestrales. En este caso, el investigador observa toda la población o parte de ella, y después selecciona una muestra compuesta por una o más unidades que en su opinión son típicas con respecto a la característica que se desea estudiar. Está claro que el investigador, al medir las unidades de esta forma seleccionadas, puede derivar estimaciones de los parámetros de inte-rés; sin embargo, las estimaciones dependerán de la selección subjetiva del investigador, de tal manera que otros investigadores podrían seleccionar muestras distintas y calcular otras estimaciones. Sucede lo mismo con las estimaciones que se apoyan en el análisis ocular de la población de interés, porque no involucran la selección ni la medición objetiva de las unidades. Asimismo, puede pasar cuando 16
confiamos en la opinión experta de personas quien uno supone son conocedoras de las características de una población dada (Rendón, 1997 [10]). Muestreo de cuota. Este método es ampliamente utilizado en las encuestas de opinión. Para su aplicación, la población se divide en grupos tomando como base ciertas características generales. Una vez hechas las divisiones, se tomará un número preestablecido de unidades al cual se le denomina cuota y que satisfaga las características del grupo de interés. De este modo, la muestra total quedará integrada por la suma de todas las cuotas. Por ejemplo, un investigador del observatorio vulcanológico de la Universidad de Colima está interesado en conocer la opinión de la población sobre un posible plan de emergencia frente a una eventual erupción volcánica. El investigador podría dividir la población en grupos definidos según la edad, el sexo, el estado civil, etc.; y después entrevistar a cierto número (cuota) de personas de cada grupo, por ejemplo, en parques, salidas de las tiendas de autoservicio, las comunidades aledañas al volcán, o en áreas específicas de la ciudad (Rendón, 1997 [10]). Muestreo de voluntarios. Este método se usa principalmente en aquellas situaciones donde sea difícil el proceso de medición de las unidades. Por ejemplo, si el proceso de medición requiere de mucho tiempo, resulta penoso y desagradable, o implica una gran concentración y esfuerzo mental, muchos individuos no desearán participar en el estudio. Por estas razones, el método consiste en integrar una muestra con aquellas unidades que acepten formar parte de ella, es decir, una muestra de voluntarios (Rendón, 1997 [10]). Muestreo de unidades accesibles. Este método se usa frecuentemente cuando resulta difícil el acceso o la comunicación a las unidades de la población. En este caso, la muestra se restringe a una parte de la población, donde es fácil el acceso o comunicación. Por ejemplo, para inspeccionar el maíz a granel que es transportado en un barco, puede tomarse una muestra de maíz a cierta profundidad de la parte superior del barco (Rendón, 1997 [10]). Obsérvese que en los métodos de muestreo probabilístico, para fundamentar una estructura probabilística y desarrollar la teoría de muestreo, se debe disponer de un marco de muestreo que permita la elección de las unidades mediante un procedimiento aleatorio. No contar con un marco por lo tardado e impráctico de su elaboración, lleva a la necesidad de usar los métodos de muestreo no probabilístico, con las desventajas que ya fueron mencionadas.
2.14.
El marco de muestreo
El marco de muestreo, o marco muestral, está constituido por un listado, real o virtual, de todas las unidades de muestreo. 17
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística Unidad de muestreo o unidad muestral Cada pieza acumulada constituye la población. A veces son colecciones de elementos de la población que cubren la población completa. En ocasiones las unidades de muestreo están ”naturalmente” definidas; en otras, se definen arbitrariamente por quien realiza el muestreo. Idealmente, cada elemento de la población debe estar incluido en una y sólo una unidad muestral. Por eso, se dice que las unidades muestrales son excluyentes entre sí y exhaustivas sobre la población. No siempre se satisface cabalmente esta condición ideal y su aceptación depende de las condiciones en que se suscite. A veces no todas las partes de la población quedan incluidas en alguna unidad muestral, como en la evaluación de recursos mediante parcelas de muestreo circulares. Podría ser intrascendente si las partes que quedan excluidas no presentan una característica distintiva del resto de la población y las inferencias todavía se pueden aceptar como aplicables a la población. Sin embargo, en otras aplicaciones puede ser decisivo el hecho de no incluir algunas partes de la población en la muestra si esas partes excluidas se distinguen de las partes incluidas en alguna unidad de muestreo, y por lo tanto en el marco, entonces las estimaciones serán sesgadas, o bien solamente serán aplicables a la población definida por el propio marco de muestreo. Si en las Ciencias Sociales se aplica una encuesta telefónica a una cierta población, debe quedar claro que los resultados solamente son aplicables a la población constituída por las personas en hogares que tienen teléfono y no a toda la población, ya que tener teléfono puede representar una diferencia importante. Hacer el listado de las unidades muestrales que conforman la población parece una labor simple, pero en la práctica es una tarea muy complicada, porque algunas poblaciones tienen características que demandarán tareas particulares al momento de obtener el marco de muestreo. Decimos que el marco de muestreo es real o virtual porque en ocasiones se puede tener físicamente la lista de todas las unidades, mientras que en otras bastaría con tener la posibilidad de generarlo para lograr el objetivo propuesto. Entenderemos que el marco de muestreo contiene una identificación única o etiqueta para cada unidad de muestreo, como puede ser un número progresivo desde 1 hasta N , donde N representa el número total de unidades muestrales de la población. Además es importante que se tenga el nombre completo, dirección, ocupación, sexo, localización geográfica de cada unidad de muestreo para facilitar el levantamiento de la encuesta cuando las unidades muestrales son individuos.
2.15.
Pasos a seguir en el diseño de una encuesta
1. El planteamiento de objetivos 18
Al empezar a diseñar un plan de muestreo o una encuesta, es importante que se definan los objetivos, pues permitirán mantenerse en una línea de investigación sin perder tiempo con demasiados detalles. 2. La población bajo muestreo Es trascendental que se definan desde el principio las unidades muestrales que serán tomadas en cuenta y se establezcan reglas claras para que el encuestador las identifique al momento de ubicarlas y hacer la medición. Recuérdese que la población que se quiere muestrear debe coincidir con la población sobre la cual se desea tener información. 3. La característica de la realización de la encuesta o mediciones Es conveniente cerciorarse de que todos los datos sean pertinentes a la encuesta y que no se omitan datos esenciales. Particularmente, en el caso de poblaciones humanas existe la tendencia a hacer un número excesivo de preguntas innecesarias; nótese que un cuestionario demasiado largo produce una baja general en la calidad de las respuestas, tanto en las preguntas importantes como en las secundarias. 4. El grado de precisión deseado Los resultados de una encuesta de muestreo siempre están sujetos a un nivel de incertidumbre porque sólo se mide una parte de la población. Esta falta de certeza se puede reducir al aumentar la muestra y emplear mejores dispositivos de medición. Sin embargo, esto suele costar tiempo y dinero. En consecuencia, la especificación del grado de precisión deseado es un paso decisivo en la preparación de la encuesta o muestreo. Este paso es responsabilidad de la persona que va a utilizar los datos, ya que es quien suele entender la magnitud del error tolerable de una encuesta para hacerla compatible con una buena decisión. 5. Los métodos de medición Podemos escoger el método de medición y el método de inspección de la población. Los datos del estado de salud de una persona se pueden obtener de sus declaraciones, o de un examen médico. La encuesta puede emplear un cuestionario autoadministrado, entrevista en la que los entrevistadores simplemente lean un cuestionario prescrito o una entrevista no estructurada. La inspección puede hacerse por correo, visitas personales, teléfono o una combinación de los tres medios. Una parte importante del trabajo preliminar es la construcción de las formas de registro donde se asientan las preguntas y las respuestas. En los cuestionarios sencillos a veces es posible precodificar las respuestas, es decir, colocarlas de tal modo que se puedan transferir rutinariamente a una computadora. De hecho, para la construcción de buenas formas de registro se necesita preveer la estructura de las tablas de resúmenes finales para obtener las conclusiones. En seguida se enumeran algunos puntos que se deben de tomar en cuenta para el diseño de cuestionarios. Sin embargo, si usted va a escribir un 19
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística cuestionario, consulte Tanur (1993) y Blair y Presser (1993) dos referencias útiles sobre este tema, debido a que los puntos que aquí se presentan son muy generales: a) Decida lo que quiere escribir; éste es el paso más importante para redactar un cuestionario. Escriba los objetivos de su encuesta y sea preciso para que se motive a las personas de la muestra a responder sin problema alguno. b) Siempre verifique sus preguntas, antes de realizar la encuesta. Lo ideal es que las preguntas se verifiquen mediante una encuesta piloto. Pruebe con diferentes versiones de las interrogantes y pregunten a los entrevistados en la prueba preliminar la forma en que interpretaron las preguntas. c) Elabore las preguntas de manera sencilla y clara. Las preguntas que pueden parecerle claras podrían no serlo para alguien que escucha toda la pregunta por teléfono o para otra persona con otro idioma materno. Belson (1981, 240) probó la pregunta "¿Qué proporción de tiempo que ve la televisión lo dedica a ver noticias?çon 53 personas. Sólo 14 de ellas interpretaron de manera correcta la palabra proporción como "porcentaje", "parte" o "fracción". Otras las interpretaron como ”cuanto tiempo” o ”cuales programas de noticias observa”. d) Utilice preguntas específicas en lugar de preguntas generales, de ser posible. e) Relacione las preguntas que elabore en el concepto de interés. f ) Decida si debe utilizar preguntas abiertas o cerradas. g) Informe sobre la pregunta que se planteó realmente. h) Evite preguntas que induzca o motiven al entrevistado a decir lo que usted quiere escuchar. i) Utilice preguntas de opción forzosa. j) Platee solo un concepto en cada pregunta. k) Preste atención al efecto del orden de las preguntas. 6. El marco de muestreo Antes de seleccionar la muestra, debemos dividir la población en unidades de muestreo. éstas deben cubrir toda la población y no traslaparse en el sentido de que todo elemento de la población pertenezca a una y solamente una unidad. Algunas veces la unidad apropiada es obvia, en otras no es sencillo escoger lo que será la unidad de muestreo. En el muestreo de los residentes de una ciudad, por ejemplo, la unidad puede ser una persona, los miembros de una familia o las personas que viven en una manzana. En el muestreo de una cosecha de limón la unidad puede ser un lote, una parcela o un área de terreno cuya forma y dimensiones son nuestra elección. 7. La selección de la muestra 20
Existe actualmente una gran variedad de planes para seleccionar una muestra. Por cada plan considerado se pueden hacer estimaciones del tamaño de la muestra partiendo de un conocimiento del nivel de precisión deseado y la varianza de la población. Los costos relativos y el tiempo empleado en cada plan se estudian antes de tomar una decisión (Lohr, 2000 [9]). 8. La encuesta piloto Es de gran utilidad probar el cuestionario y los métodos de campo en pequeña escala. Esto casi siempre ayuda a mejorar el cuestionario y puede evitar otros problemas serios, por ejemplo, que el costo fuera más que el esperado. 9. La organización del trabajo de campo Las encuestas extensas tienen muchos problemas de orden administrativo. Se debe supervisar al personal y entrenarlo para que apliquen las encuestas y los métodos de medición apropiadamente. De ahí que sea útil un procedimiento de verificación previo de la calidad de las respuestas. Se debe hacer un plan para manejar las respuestas en blanco, es decir, la falla del encuestador para obtener la información de ciertas unidades muestrales (Lohr, 2000 [9]). 10. Resumen y análisis de los datos Después de realizar las encuestas deben revisarse los cuestionarios obtenidos con la esperanza de corregir errores o cuando menos desechar los datos equivocados. Habrá que decidir respecto al cálculo en caso de omisión de respuestas o la eliminación de datos durante la revisión. Después se hacen los cálculos para las estimaciones. Como vimos, los mismos datos pueden servir para diferentes métodos de estimación. Un consejo práctico para la presentación de los datos es informar acerca de la magnitud esperada del error en las estimaciones más importantes. Una de las ventajas del muestreo probabilístico es que se pueden hacer tales enunciados (el error esperado). 11. La información para encuestas futuras Cuanta más información de una población se tenga inicialmente, más fácil será el diseño de una encuesta que arroje estimaciones adecuadas. Toda muestra obtenida es una guía potencial de futuros muestreos por los datos que revela sobre las medias, las desviaciones estándares y la naturaleza de la variabilidad de las medidas principales, así como los costos económicos. Las prácticas de muestreo avanzarán más rápidamente si se prevé lo necesario para reunir y registrar ese tipo de información. Hay otro aspecto importante en el que una muestra completa facilita la obtención de otras posteriores: el encuestador habilidoso aprende a reconocer los errores de ejecución y a evitar que se repitan. 21
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística
2.16.
Las ventajas y desventajas del muestreo
Las ventajas Aunque el objetivo del muestreo, al igual que muchas otras disciplinas, consiste en emplear recursos mínimos para obtener determinada información, o bien en conseguir la máxima información con recursos prefijados (Bradburn,1998 [5]). Los criterios generales para el uso de las técnicas de muestreo se pueden resumir en los siguientes puntos: Se empleará el muestreo cuando la población sea tan grande que el censo exceda las posibilidades del investigador. Se tomarán muestras cuando la población sea suficientemente uniforme como para que cualquier muestra dé una buena presentación de la misma. Se tomarán muestras cuando el proceso de medida o investigación de los caracteres de cada elemento sea destructivo (consumo de un artículo para juzgar su calidad, determinación de una dosis letal, etcétera.). Se utilizará el muestreo cuando las personas respondan con desagrado y así disminuir el número de elementos que serán encuestados. Se utilizarán las técnicas de muestreo para reducir costos, considerando tanto el costo absoluto como el costo relativo (con relación a la cantidad de información obtenida). Este criterio suele conocerse como el criterio de economía. El muestreo es conveniente cuando la precisión (el ajuste del valor estimado al valor real de la característica en estudio) resulta ser muy buena. Este criterio suele conocerse con el nombre de criterio de calidad. El muestreo es conveniente cuando la formación del personal y la intensidad de los controles y supervisión son onerosos. En general, el muestreo será conveniente cuando constituya la solución de mayor eficiencia en el sentido del costo-beneficio.
Las desventajas A veces el muestreo no es muy conveniente (Bradburn,1998 [5]). Por ejemplo: Cuando se necesita información de todos los elementos que conforman la población. Cuando sea difícil cumplir con los requisitos de las técnicas de muestreo probabilístico. 22
El muestreo exige menos trabajo material que una investigación exhaustiva, pero más refinamiento y preparación (conocimientos adecuados de los diseñadores y preparación de los entrevistadores, inspectores y supervisores), lo que puede suponer un uso limitado.
Cuando el costo por unidad, que es mayor en las encuestas que los censos, aconseje desestimar los métodos de muestreo.
2.17.
Las características deseables en una investigación por muestreo
Las características óptimas a las cuales deberían ajustarse las investigaciones por muestreo, son las siguientes: Precisión: la proximidad al valor verdadero de las características poblacionales estimadas. Pertinencia: la capacidad de los resultados estadísticos obtenidos por muestreo para completar la información faltante. Oportunidad: la utilidad de un estudio estadístico en función de su disponibilidad en el tiempo (puntualidad, rapidez y actualidad). En el caso de censos y grandes encuestas es aconsejable la publicación de resultados preliminares basados en muestras o submuestras. Accesibilidad: aunque se disponga de un banco de datos informatizado, puede haber dificultades legales para utilizarlo (la protección de la privacidad, el secreto estadístico y la ley de la función estadística pública). La información obtenida por muestreo ha de ser totalmente accesible, así como tener en cuenta la legislación vigente al momento del diseño del estudio por muestreo. Detalle y cobertura: la población que posee datos extensos puede complementar una investigación exhaustiva con una muestra. Economía: las consideraciones sobre costos en las diferentes etapas de planificación, el levantamiento y procesamiento de datos, la evaluación, el análisis y la publicación pueden indicar la inconveniencia de una investigación exhaustiva. Luego, este criterio ha de tenerse siempre presente a la hora de planificar una investigación por muestreo. Integración: Hay que tener una buena concepción global de la información y una buena comparabilidad. La información obtenida en la investigación por muestreo ha de ser integrable y comparable con otras informaciones existentes o futuras. 23
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística
2.18.
Errores de las encuestas
En general, en las encuestas puede haber varias fuentes de error (Bradburn,1998 [5]), como las siguientes: 1. Error de muestreo o de estimación. Error al que estamos expuestos cuando sólo se miden las unidades correspondientes a una muestra de la población, es decir, cuando sólo se estudia una fracción de la población. Este error es particular para cada una de las muestras posibles de tamaño n, y se define como la diferencia entre el valor del estimador y el valor del parámetro. 2. Error de marco. Es el que se presenta debido a los problemas en la elaboración del marco de muestreo. Tales problemas ocurren al construir marcos incompletos, al no incluir todas las unidades de muestreo que son de interés, o bien al incluir unidades ajenas a la población. 3. Error de respuestas en blanco. Este error se presenta a consecuencia de las fallas u obstáculos para medir algunas unidades de la muestra seleccionada. Así, la respuesta en blanco puede ocurrir por omisión o no localización de algunas unidades, así como por la renuncia o imposibilidad de medir algunas unidades. 4. Error de medición. Ocurre al medir las características de una unidad. Se presenta porque el método de medición puede estar sesgado o es impreciso y algunas veces, como en el caso de poblaciones humanas, algunas características son difíciles de medir, ya sea porque la persona entrevistada no posee la información exacta o da una respuesta incorrecta a la característica de interés. Tal es el caso, por ejemplo, en la medición del ingreso familiar, el padecimiento de cierta enfermedad, el número de abortos por persona, las ganancias obtenidas en el negocio anterior, etcétera. 5. Error de procesamiento. Es el error que se puede cometer en la edición, codificación y tabulación de la información obtenida de la encuesta. Cuando la información se recolecta mediante una enumeración total se está expuesto a cometer los cuatro últimos errores. Si la recolección se realiza mediante un muestreo, entonces estaremos expuestos a los cinco errores y en tal caso a los cuatro últimos se les denomina errores no debidos al muestreo.
2.19.
Muestra preliminar o piloto
Una muestra preliminar o piloto es una muestra que antecede a la definitiva, cuya selección se hace de acuerdo a los lineamientos que marca el diseño de muestreo que se utilizará en el estudio definitivo. La muestra preliminar juega un papel importante en el diseño de un estudio por muestreo, ya que será la fuente de información más inmediata para: 24
1. Tener una primera aproximación de los costos que se involucran en el estudio. 2. Tener una primera aproximación del tiempo que se llevará en la realización del estudio. 3. Estimar los parámetros involucrados en la determinación del tamaño de muestra, usualmente la varianza y el coeficiente de variación. 4. Probar la factibilidad de: los métodos de selección de las unidades muestrales, la medición de las variables y otros aspectos prácticos. 5. Probar la factibilidad del cuestionario. 6. Definir la precisión de los estimadores cuando no se tiene idea de los valores entre los cuales ésta (precisión) puede considerarse razonable. Algunos autores sugieren que la muestra preliminar podrá considerarse como parte de la muestra definitiva, solamente cuando los métodos de selección, medición, incluyendo el cuestionario, no hayan sufrido cambios o modificaciones severas.
2.20.
La precisión de la estimación
Cuando realizamos un estudio por muestreo es importante preguntarnos ¿cuál es la cantidad de error tolerable o la precisión de la estimación?. La persona que utilizará los resultados del muestreo debe definir el error, pues conoce el fenómeno en cuestión y lo delicado de las conclusiones que se desprendan del análisis. Así, en el muestreo probabilístico es usual referirse a la precisión de la estimación en los términos siguientes: a) Como un límite máximo que se fija de antemano para la varianza, la desviación estándar o el coeficiente de variación del estimador. En este libro, este límite máximo para todos los diseños de muestreo a estudiar se fijará en términos de la desviación estándar del parámetro de interés. b) Como un límite máximo de error y una confiabilidad, ambos establecidos de antemano. De igual manera es común denominar al error máximo como precisión del estimador, ésta se define como: Precisión: es el alejamiento o distancia máxima que el investigador está dispuesto a aceptar entre el estimador y el parámetro correspondiente (Cochran, 1985 [1]). De este modo, θ denota al parámetro y θˆ su estimador; entonces, la precisión del estimador, denotada por d, se define como: d = |θˆ − θ|
Esto significa que debemos especificar que θ y θˆ difieren en valor absoluto en una cantidad menor que d. 25
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística
Confiabilidad: es el grado de seguridad deseado en la precisión, y se mide en términos de probabilidad, aunque se interpreta con base en el de muestreo repetido (Cochran, 1985 [1]). Así, 1 − α = confiabilidad, donde α toma valores entre 0 y 1. La confiabilidad, generalmente, se expresa en porcentaje y los valores usuales son desde 80 %, observándose con más frecuencia 90 % y 95 %. El postulado probabilístico siguiente especifica la relación entre los términos precisión y confiabilidad: P ⌊|θˆ − θ| ≤ d⌋ = 1 − α, que es igual a
P ⌊−d ≤ θˆ − θ ≤ d⌋ = 1 − α
(2.1)
La ecuación anterior indica que la probabilidad de que la diferencia entre el estimador y el parámetro tome valores dentro de un intervalo delimitado por los valores −d y d, es 1 − α. La determinación de un límite específico con su confiabilidad asociada (1 − α) nos ayuda a comparar diseños diferentes (métodos de selección de la muestra) para especificar el procedimiento que dé la precisión deseada con un costo mínimo.
2.20.1. Elementos para elegir la precisión o margen de error Para los investigadores no experimentados en el diseño de encuestas o estudios donde se necesitan muestras para hacer inferencia hacia la población fijar la precisión es una labor confusa. Debido a que cuando por primera vez se pregunta a estas personas el grado de precisión deseado a menudo confiesan que nunca han considerado el asunto y que no tienen idea de la respuesta. Sin embargo, la elección adecuada de la precisión es fundamental para la toma de decisiones acertadas por lo que a continuación proporcionamos algunos elementos para su determinación. Si la variable a medir es dicotómica recomendamos una precisión menor del ocho por ciento. Por ejemplo, si se desea estimar y comparar los porcentajes de personas que tienen diabetes en dos estados de la republica Mexicana, podríamos elegir una precisión de cinco por ciento; sin embargo, si se tiene información de que los porcentajes en ambos estados son muy similares para poder tomar una decisión más certera sobre si el porcentaje de diabéticos entre los estados es distinto debemos de elegir un porcentaje de error mas pequeño digamos 2.5 %, para poder discriminar con mayor confiabilidad. Ahora, suponga que la secretaría de Economía desea estimar en el país el porcentaje de familias que tienen ingresos menores de 2,000 pesos mensuales para conocer el porcentaje de familias que viven en extrema pobreza, por tanto en este caso se puede elegir una precisión de 7 % y con los resultados obtenidos se tendrá una imagen bastante clara de el porcentaje de familias en esta situación. Sin 26
embargo, si la secretaría de economía además persigue implementar un programa para subsidiar con 1000 pesos mensuales a cada una de las familias en este estrato, por lo tanto una estimación con un error de 7 % puede provocar que al momento de implementar dicho programa el presupuesto para tal fin no alcance, por lo que se sugiere un error más pequeño. Si la variable respuesta es continua de igual manera recomendamos una precisión menor del ocho por ciento del promedio verdadero o estimado. Esto significa que para poder estimar la precisión del promedio o el total se necesita tener idea del valor verdadero del promedio o total verdadero, en caso de que no se tenga idea de estos se pueden estimar a partir de una muestra preliminar (piloto). Por ejemplo, suponga que un nutriólogo desea estimar el promedio de calorías consumidas de niños de 6 años de edad en el estado de Colima, como experto el sabe que el consumo promedio de calorías por niño debe ser de 400. Por lo tanto, él puede elegir una precisión de 20 calorías, que representa el 5 % del promedio de consumo recomendado (d = 0.05 ∗ 400 = 20). En este caso el nutriologo es un experto y tiene una idea bastante clara del valor del promedio, pero suponiendo que no tiene la mas remota idea de este valor, el puede estimar este promedio con una muestra piloto y obtener su precisión también multiplicando el 0.05 por el promedio de la muestra preliminar. Ahora, suponga que un investigador desea conocer el consumo promedio en pesos de energía eléctrica por hogar en el estado X. Además, suponga que no tiene la mínima idea, por lo tanto él puede proceder a consultar a un experto en el tema o realizar un muestreo piloto y con base en esto tener una estimación tentativa del promedio. Suponga que ya obtuvo el promedio preliminar (500 pesos mensuales por hogar), por lo tanto la precisión que utilizará para calcular su muestra definitiva será igual a 25 que equivale al 5 % del promedio preliminar d = 0.05 ∗ 500 = 25. Si además, el investigador desea comparar en dicho estado los consumos promedios entre los distintos municipios que sabe tienen un desarrollo económico similar, quizá sea necesario una precisión más pequeña. Pero, por el contrario suponga que si solo es de su interés comparar los municipios del norte, centro y sur que sabe que de antemano son distintos la precisión es aceptable. Por otro lado, si el parámetro que se desea estimar es el total ya sea a partir de variables dicotómicas o continuas se procede de igual forma y se recomienda un error menor del 8 % del total preliminar. Por ejemplo si se desea estimar el total de drogadictos en el estado de Colima para el año 2008, para fijar la precisión necesitamos una estimación tentativa del total. Supongamos que este es de 5000, por lo tanto la precisión será d = 0.05 ∗ 5000 = 250, es decir el 5 % del total preliminar. Esta forma de estimar la precisión del total es exactamente la misma (d=(porcentaje/100)* valor preliminar del parámetro a estimar) que para estimar la precisión para una proporción o un promedio. Por lo tanto, el lector debe siempre recordar que la precisión se debe de calcular para el parámetro de mayor interés en su investigación ya que de lo contrario debe de determinar una precisión para cada parámetro y con ello obtener más de un tamaño de muestra lo cual además de desgastarlo lo puede confundir. También, hay que dejar claro que si se determina la precisión usando la expresión que presentamos anteriormente, d=(porcentaje/100)* valor preliminar del parámetro a 27
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística estimar), el tamaño de muestra requerido usando el mismo porcentaje de error para estimar la proporción o total será el mismo. Lo mismo ocurrirá con el tamaño de muestra para el promedio y el total. La forma que se sugiere para determinar la precisión tiene la ventaja de que es en términos relativos no absolutos, esto facilita el proceso porque es fácil fijar un error en términos de porcentaje ya que de esta manera uno tiene claro la magnitud del error, mientras que tratar de fijar el error en términos absolutos es complicado ya que un valor pequeño puede ser un error relativo (porcentaje) muy pequeño que requerirá tamaños de muestras muy grandes o muy grande que me proporcionara tamaños de muestra muy pequeños y resultados poco confiables. También es importante mencionar que el nivel de precisión se decidirá por la cantidad de recursos disponibles para el estudio, ya que se pueden obtener resultados muy confiables con precisiones muy bajas, pero esto implica mayores costos. Por otro lado, sugerimos en la medida de lo posible para estimar la precisión extraer una muestra piloto para obtener las estimaciones preliminares de los parámetros, conocer la calidad del cuestionario, las dificultades de los encuestadores, los problemas del marco de muestreo y detalles que nos auxilien en el diseño de la encuesta definitiva. Finalmente, también es importante dejar claro que en la mayoría de las encuestas donde se trabaja con personas los márgenes de error mas usados son 3 % y 5 %, ya que garantizan resultados bastante confiables y con costos razonables.
2.21.
Uso de tablas para la distribución normal estándar y t-student
2.21.1. Distribución normal estándar para n > 30 Es conveniente mencionar que cuando el tamaño de la muestra es mayor a 30, los valores de la distribución t-student son muy cercanos a los de la distribución normal estándar, por lo cuál a menudo se utilizan los valores de ésta última distribución en vez de la primera. Se debe tener presente que Z representa a una variable aleatoria que tiene una distribución normal, con media cero (µ =0) y desviación estándar uno (σ = 1), mejor conocida como distribución de probabilidad normal estándar. Casi siempre se usa la letra Z para indicar esta variable aleatoria normal especial. Como con otras variables aleatorias continuas los cálculos de probabilidad con cualquier distribución normal, se llevan a cabo determinando las áreas bajo la grafica de la función de densidad de probabilidad, por ejemplo supongamos que se requiere encontrar: I.
La probabilidad de que una variable aleatoria de una distribución normal estándar sea menor a 1.75, es decir, P (Z < 1.75). Para encontrar tal probabilidad hacemos uso del Cuadro A.1(Apéndice A), en el cual nos ubicamos en la hilera correspondiente al valor de 1.70 de Z sobre la primer columna y en la columna correspondiente al valor de 0.05 de Z sobre la primer hilera, e interceptando la hilera y columna ya ubicadas, encontramos que 28
la probabilidad correspondiente es igual a 0.9599. Lo anterior se muestra en el Cuadro 2.1. Cuadro 2.1: Ejemplo 1 para el uso de las tablas de la normal estándar Z Z 0.00 0.10 . . . 1.70 . . . 3.80 3.90
0 0.5000 0.5398 . . . 0.9554 . . . 0.9999 1.0000
0.01 0.5040 0.5438 . . . 0.9564 . . . 0.9999 1.0000
0.02 0.5080 0.5478 . . . 0.9573 . . . 0.9999 1.0000
0.03 0.5120 0.5517 . . . 0.9582 . . . 0.9999 1.0000
0.05 0.5199 0.5596 . . . 0.9599 . . . 0.9999 1.0000
0.04 0.5160 0.5557 . . . 0.9591 . . . 0.9999 1.0000
0.06 0.5239 0.5636 . . . 0.9608 . . . 0.9999 1.0000
0.07 0.5279 0.5675 . . . 0.9616 . . . 0.9999 1.0000
0.08 0.5319 0.5714 . . . 0.9625 . . . 0.9999 1.0000
0.09 0.5359 0.5753 . . . 0.9633 . . . 0.9999 1.0000
Debido a la relación existente, P (Z > Z0 ) = 1 − P (Z < Z0 ), solamente se ejemplifica el uso del Cuadro A.1 para obtener la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar sea menor a un valor especifico Z0 . II .
La probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar se encuentre entre 1.64 y 1.98, esto es, P (1.64 < Z < 1.98). Encontrar P (1.64 < Z < 1.98) es relativamente sencillo solamente recordando la siguiente relación: P (1.64 < Z < 1.98) = P (Z < 1.98) − P (Z < 1.64), con la cual únicamente es necesario hacer lo que se hizo en I. para cada componente de la resta . Por tanto, al obtener de tablas P (Z < 1.98) = 0.9761 y P (Z < 1.64) = 0.9495 se tiene que P (1.64 < Z < 1.98) = 0.9761 − 0.9495 = 0.0267. Ver Cuadro 2.2.
Cuadro 2.2: Ejemplo 2 para el uso de las tablas de la normal estándar Z Z 0.0 0.1 . . . 1.6 1.7 1.8 1.9 . . . 3.8 3.9
III .
0.00 0.5000 0.5398 . . . 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 . . . 0.9999 1.0000
0.01 0.5040 0.5438 . . . 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 . . . 0.9999 1.0000
0.02 0.5080 0.5478 . . . 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 . . . 0.9999 1.0000
0.03 0.5120 0.5517 . . . 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 . . . 0.9999 1.0000
0.04 0.5160 0.5557 . . . 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 . . . 0.9999 1.0000
0.05 0.5199 0.5596 . . . 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 . . . 0.9999 1.0000
0.06 0.5239 0.5636 . . . 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 . . . 0.9999 1.0000
0.07 0.5279 0.5675 . . . 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 . . . 0.9999 1.0000
0.08 0.5319 0.5714 . . . 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 . . . 0.9999 1.0000
0.09 0.5359 0.5753 . . . 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 . . . 0.9999 1.0000
Ahora supóngase que se requiere encontrar el valor de Z0 tal que la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar sea igual a 0.975, es decir, P (Z > Z0 ) = 0.975. En este caso se procede de manera inversa que a I., es decir, ahora se tiene la probabilidad y se busca el valor de Z0 . Por lo tanto, se busca en el Cuadro A.1(Apéndice A) el valor de probabilidad más cercano a 0.975 y se encuentra que éste es exactamente el mismo (0.975). En seguida se obtienen los valores de Z para éste valor de la columna e hilera en que se ubica (ver Cuadro 2.3). En este caso el valor de Z en la columna es de 0.06 y en la hilera 1.90, por lo que Z0 = 1.90 + 0.06 = 1.96. Sin embargo, hay que tener presente que en la práctica el investigador lo que fija para su estudio es la confiabilidad (1 − α) y para ésta confiabilidad se debe encontrar el valor de Z0 . Por ello, a continuación se muestra 29
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística como llegar a partir de una confiabilidad especificada al valor de Z0 = Zα/2 . Suponga que el investigador decide para su estudio una confiabilidad de 90 %. Así, el nivel de significancia en término de proporción será α = 0.1, lo que implica que el valor de tablas que se busca es Z0 = Zα/2 = Z0.05 , que expresado en términos de probabilidad es equivalente a encontrar Z0.05 tal que P (Z < Z0.05 ) = 0.95. Por lo tanto, se busca en el Cuadro A.1 (Apéndice A) el valor de probabilidad más cercano a 0.95 y se encuentra que éste es igual a 0.9495. Luego, para éste valor, se obtienen los valores de Z de la columna e hilera en que se ubica (ver Cuadro 2.3), para este caso el valor de Z en la columna es 0.04 y el de la hilera 1.6, por lo que Z0 = Zα/2 = Z0.05 = 1.6 + 0.04 = 1.64. Un ejemplo más para garantizar el uso adecuado de esta tabla. Suponga que ahora el investigador decide una confiabilidad de 85 %; este implica un α = 0.15. Por lo tanto, el valor de tablas que se busca es Z0 = Zα/2 = Z0.075 ; en términos de probabilidad buscamos Z0 tal que P (Z < Z0 ) = 1 − 0.075 = 0.925. Nuevamente se busca en el Cuadro A.1 (Apéndice A) el valor de probabilidad más próximo a 0.9251 y se encuetra que es el mismo 0.9251. En seguida se obteinen los valores de Z para éste valor de la columna e hilera en que se ubica (ver Cuadro 2.3). Para este caso el valor de Z en la columa es igual a 0.04 y el de la hilera 1.4. De esta manera, Z0 = 1.4 + 0.04 = 1.44. Es importante enfatizar que al usar esta tabla no se obtienen valores exactos, sino aproximados. Cuadro 2.3: Ejemplo 3 para el uso de las tablas de la normal estándar Z Z 0.00 . . . 1.4 . . . 1.6 . . . 1.90 . . . 3.80 3.90
0.00 0.5000 . . . 0.9192 . . . 0.9452 . . . 0.9713 . . . 0.9999 1.0000
0.01 0.5040 . . . 0.9207 . . . 0.9463 . . . 0.9719 . . . 0.9999 1.0000
0.02 0.5080 . . . 0.9222 . . . 0.9474 . . . 0.9726 . . . 0.9999 1.0000
0.03 0.5120 . . . 0.9236 . . . 0.9484 . . . 0.9732 . . . 0.9999 1.0000
0.04 0.5160 . . . 0.9251 . . . 0.9495 . . . 0.9738 . . . 0.9999 1.0000
0.05 0.5199 . . . 0.9265 . . . 0.9505 . . . 0.9744 . . . 0.9999 1.0000
0.06 0.5239 . . . 0.9279 . . . 0.9515 . . . 0.9750 . . . 0.9999 1.0000
0.07 0.5279 . . . 0.9292 . . . 0.9525 . . . 0.9756 . . . 0.9999 1.0000
0.08 0.5319 . . . 0.9306 . . . 0.9535 . . . 0.9761 . . . 0.9999 1.0000
0.09 0.5359 . . . 0.9319 . . . 0.9545 . . . 0.9767 . . . 0.9999 1.0000
Finalmente, para facilitar el uso de esta tabla, en el Cuadro (2.4) se presentan los valores de Zα/2 para los niveles de confianza más usuales.
2.21.2. Distribución t-student para n ≤ 30
De igual manera el investigador fijará para su estudio la confiabilidad, por lo que únicamente explicaremos como encontrar de tablas el valor de t0 para ésta distribución a apartir de la confiabilidad y tamaño de muestra especificados. Si el investigador fija una confiabilidad de 1 − α y tiene un tamaño de muestra n; esto implica que el valor de tablas que se desea es t0 = t(n−1,α/2) , 30
Cuadro 2.4: Valores de Zα/2 para los niveles de confianza de uso más común Nivel de confianza α α/2 Zα/2 90 % 0.1 0.05 1.6449 95 % 0.05 0.025 1.9600 97.5 % 0.025 0.0125 2.2414 99 % 0.01 0.005 2.5758
que en términos de probabilidad equivale a encontrar t0 = t(n−1,α/2) tal que P (t < t0 = t(n−1,α/2) ) = 1 − α/2. Para encontrar éste valor se hace uso del Cuadro A.2 (Apédice A), cuyos valores corresponden a una distribución t-student con ν = n − 1 grados de libertad que deja una probabilidad a la derecha de ellos de α/2. Por lo tanto, para usar la tabla se requiren únicamente los valores de α/2 y los grados de libertad que se obtienen en función del tamaño de la muestra, para lo casos abordados en el presente libro ν = n−1. En seguida en la primera columna se localizan los grados de libertad ν y en la segunda hilera el valor de α/2, y en la intercepción de ésta hilera y columna se obtiene el valor de t0 . Por ejemplo, suponga que un investigador fija para su estudio una confiabilidad de 90 % y que cuenta con un tamaño de muestra de n = 6; esto implica que α = 0.1(en términos de proporción), entonces el valor de tablas que se desea es t0 = t6−1,0.05 ,es decir, se busca el valor de t0 tal que P (t < t0 ) = 1 − 0.05 = 0.95. Para encontrar éste valor de t0 , se busca en el Cuadro A.2 en la primera columna los ν = 6 − 1 = 5 grados de libertad y en la segunda hilera el valor α/2 = 0.05 y en la intercepción se obtiene el valor de t0 = 2.0150 (ver Cuadro 2.5 ). Para cerciorarnos de que no habrá dudas para obtener los valores t0 de tablas proporcionamos otro ejemplo. Suponga que otro investigador fija para su estudio una confiabiilidad de 98 % y cuenta con un tamaño de muestra de n = 16. Por lo tanto, α/2 = 0.01 y el valor de tablas que se desea es t0 = t(15,0.01) , que es equivalente a buscar el valor de t0 talque P (t < t0 ) = 1 − 0.01. Para encontrar tal valor, en el Cuadro A.2 se busca en la primera columna los ν = 16 − 1 = 15 grados de libertad y en la segunda hilera el valor de α/2 = 0.01 y en la intercepción de ésta hilera y columna se obtiene el valor de t0 = 2.6025 (ver Cuadro 2.5). Cuadro 2.5: Ejemplo para el uso de las tablas de la distribución t-student ν 1 . . . 5 . . . 15 . . . 180 210
0.25 1.0000 . . . 0.7267 . . . 0.6912 . . . 0.6759 0.6757
0.1 3.0777 . . . 1.4759 . . . 1.3406 . . . 1.2863 1.2856
0.05 6.3138 . . . 2.0150 . . . 1.7531 . . . 1.6534 1.6521
0.025 12.7062 . . . 2.5706 . . . 2.1314 . . . 1.9732 1.9713
α/2 0.01 31.8205 . . . 3.3649 . . . 2.6025 . . . 2.3472 2.3442
0.005 63.6567 . . . 4.0321 . . . 2.9467 . . . 2.6034 2.5994
0.0025 127.3213 . . . 4.7733 . . . 3.2860 . . . 2.8421 2.8370
0.001 318.3088 . . . 5.8934 . . . 3.7328 . . . 3.1361 3.1295
0.0005 636.6192 . . . 6.8688 . . . 4.0728 . . . 3.3454 3.3375
31
Capítulo 2. Conceptos básicos de estadística
32
Capítulo 3 Muestreo aleatorio simple Que el muestreo es imperfecto, no lo vengo a discutir. Pero es el mejor amigo, que ayuda a decidir. OAML
E
muestreo sirve para determinar, de la mejor manera, las características que describan a la población. La cantidad de información que la muestra aporte depende del tamaño de esta y de la variabilidad existente entre los elementos de la población en cuanto a la característica o variable de interés. El evaluador decide la forma de seleccionar la muestra y el número de unidades muestrales que se evaluarán, y con esto podrá controlar la calidad de la información extraída y la precisión requerida. L
Aunque es común en los estudios muestrales evaluar varias características o variables simultáneamente en cada sujeto o unidad muestral, en el estudio del muestreo probabilístico solamente se trabaja con una variable a la vez. Si se requiere, se pueden estudiar todas las variables pero una por una y al final conjuntar los resultados. Puede ocurrir el caso que de dos o más variables medidas se obtenga otra variable, y esta última sea la de interés, este caso debe considerarse como una forma de medición y la variable generada simplemente será solamente otra variable. Con la información proveniente de la evaluación de la muestra, podemos hacer inferencias sobre la población. La validez de tales inferencias depende fundamentalmente del diseño de muestreo, es decir, de la forma en que se obtuvo la muestra. Para que los principios de la probabilidad sean aplicables al hacer la inferencia, es necesario que la selección de la muestra se haga mediante una técnica de muestreo probabilístico. 33
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio simple (MAS) Se denomina muestreo aleatorio simple o completamente al azar, al diseño que habiendo decidido que el tamaño de la muestra será de n unidades de muestreo (o simplemente de tamaño n), le asigna la misma probabilidad de ser la elegida a cada una de todas las muestras posibles de ese tamaño. Es decir, cualquiera de las muestras distintas que podemos obtener de la población tendrá la misma probabilidad de ser elegida (Cochran, 1985 [1]). La definición anterior de MAS es equivalente a que cada una de las unidades de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas (Raj D. (1972)[14]). El MAS es el más sencillo que veremos en este libro y nos dará las bases para desarrollar diseños más elaborados.
3.1.
Tipos de muestreo aleatorio simple
Si sabemos que cada muestra posible tiene la misma probabilidad de ser elegida, nos preguntamos ¿cuántas muestras posibles existen? Para responder esta pregunta tendríamos que analizar dos aspectos: la selección con reemplazo y la selección sin reemplazo. Muestreo aleatorio simple con reemplazo En el muestreo con reemplazo, si el tamaño de la muestra es n y el de la población es N , existen N n muestras diferentes. El procedimiento de selección consiste en seleccionar una unidad que tiene la posibilidad de ser incluida nuevamente en la muestra. Esta opción genera fórmulas de estimación más fáciles, pero en la práctica tiene poco sentido medir más de una ocasión la misma unidad muestral, salvo en diseños específicos u otros más elaborados en los que las complicaciones teóricas sugieren simplificar los supuestos en que se sustenta su análisis. Muestreo aleatorio simple sin reemplazo En el muestreo sin reemplazo se pueden construir tantas muestras diferentes como combinaciones se pueden hacer de N elementos de tamaño n (N Cn ), cantidad que se calcula con: N Cn
=
N! n!(N − n)!
El procedimiento de integración de la muestra difiere en que una vez seleccionada una unidad, ésta ya no podrá volver a ser seleccionada. Conviene reiterar que la definición de MAS asigna la misma oportunidad a cada muestra posible, lo que haría suponer que todas las muestras posibles 34
deberían configurarse antes de seleccionarlas, lo cual sería imposible en poblaciones grandes. Simplemente obsérvese que el número posible de muestras de una población con 100 unidades muestrales y una muestra de tamaño 15, 100! sin reemplazo es 100 C15 = = 2.53338 × 1017 y con reemplazo es 15!(100 − 15)! 10015 = 1 × 1030 muestras posibles. Afortunadamente, la definición se satisface simplemente dejando que cada unidad muestral tenga la misma oportunidad de ser incluida en la muestra; esa probabilidad es n/N y solamente necesitamos conocer una muestra, que será la que usaremos. Cuando el tamaño de la población (N ) es muy grande con respecto al tamaño de la muestra (n) y el muestreo se lleva a cabo con reemplazo, la probabilidad de que una unidad muestral sea elegida dos veces es muy pequeña. De hecho, la probabilidad de elección de cualquier unidad una sola vez también es muy pequeña; de ahí que el muestreo aleatorio simple con reemplazo se aproxime al aleatorio simple sin reemplazo. En lo sucesivo consideraremos el muestreo aleatorio simple sin reemplazo, a menos que se indique otra cosa. También, es pertinente mencionar que este diseño de muestreo recibe diferentes nombres, como muestreo simple al azar, muestreo completamente aleatorio o muestreo irrestricto al azar. Por ello, es conveniente aclarar el concepto cuando se usa una u otra denominación.
3.2.
Selección de una muestra aleatoria simple
Una vez que se ha determinado el número de elementos a extraer de la población, el paso siguiente consiste en seleccionarlos y definir cuales serán, de tal manera que cada uno tenga la misma probabilidad de ser seleccionado. Existen muchos métodos para este fin, entre ellos: Empleando una tabla de números aleatorios Este método consiste en extraer n números de dicha tabla (Cuadro A.3) que estén comprendidos entre 1 y N . Para lo cual se inicia en cualquier punto de la tabla elegido al azar, siguiendo una ruta predeterminada y tomando tantas columnas como dígitos tenga N (tamaño de la población). Recordándose que la extracción es sin reemplazo. Para que el lector pueda hacer uso de esta tabla a continuación se proporcionan dos ejemplos: a). Supongamos que queremos una muestra aleatoria de 4 personas de una población de 15 individuos debidamente enumerados del 1 al 15. Para obtener las 4 personas elegimos una hilera y una columna aleatoriamente del Cuadro A.3. Suponemos que la hilera seleccionada es la 23 y la columna es la 4 y decidimos utilizar los últimos dos digítos del extremo derecho del grupo de 5, que en este caso es el 10 (primer elemento de la muestra). Ahora podemos proceder en cualquier dirección para 35
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple obtener los individuos que restan en la muestra. Si decimos proceder hacia abajo de la columna, el siguiente número (inmediatamente debajo del 10) es el 06. Entonces, nuestra segunda persona en la muestra sería la 6. Si seguimos, llegamos al 22, pero solamente hay 15 elementos en la población. Por consiguiente, ignoramos el 22 y continuamos hacia abajo de la columna y nos encontramos el 15. Así, nuestra tercera persona en la muestra es la 15. Para obtener la cuarta persona que conformará la muestra continuamos hacia abajo de la columna y nos encontramos un 58, luego un 83, 83, 59 y 96, pero recordando que nuestra población solamente es de 15 personas los ignoramos y continuamos hacia abajo de la columna. Aparece un 07, así que nuestro cuarto elemento en la muestra es la persona 7. b). Ahora supongamos que tenemos una población de 9,000 individos (enumerados del 1 al 9,000) y necesitamos elegir una muetra aleatoria de 10 de ellos. De igual manera que el ejemplo anterior, elegimos una hilera y una columna aleatoriamente del Cuadro A.3. Suponemos que la hilera seleccionada es la 5 de la columna 6 y decidimos utilizar los últimos 4 digítos del extremo derecho del grupo de 5, que en este caso es el 5,838 (primer elemento de la muestra). Para obtener los restantes individuos de la muestra podemos proceder en cualquier dirección. Si decidimos proceder hacia abajo de la columna, el siguiente número (inmediatamente debajo del 5,838) es el 0525. Entonces, nuestro segundo individuo en la muestra sería la 525. Siguiendo, encontramos que los restantes individuos que conformarán la muestra son: el 2,351, 8,605, 2,564, 7,222, 5,232, 7,291, 0393 y el 4,456 . Extracción de papelitos numerados Este método es sencillo, pero laborioso si la población es grande, y consiste en hacer papelitos debidamente numerados entre 1 y N . Se mezclan perfectamente en una bolsa y se extraen sin reemplazo uno por uno hasta completar n, el tamaño de la muestra.
3.3.
Estimación de la media poblacional
Al evaluar variables cuantitativas, la media (µ) de la variable ”y” es el parámetro que con mayor frecuencia nos interesa estimar. Este parámetro tiene la siguiente definición,
Media de la población = µy = µ =
N X
yi
i=1
N
Otro parámetro de gran interés es el total (τy ) de la variable ”y” para toda la población, cuya definición se presenta a continuación: Total de la población = τy = N µy =
N X
yi
i=1
36
En ocasiones se omite el subíndice ”y” ya que el contexto esclarece a qué variable se refiere. Como no tenemos acceso a todas las N unidades muestrales de donde proviene cada yi debemos definir estimadores de los datos de la muestra.
3.3.1. Estimador de la media y del total muestral
µ ˆ = y¯ =
n X
yi
i=1
(3.1)
n τˆ = N y¯
(3.2)
A los valores que arrojan estos estimadores (expresiones 3.1 y 3.2) aportadas por Scheaffer (1987[2]) se denominan estimaciones. Los estimadores son variables aleatorias que tienen propiedades estadísticas derivadas de la probabilidad, mientras que las estimaciones son simplemente números con las unidades de medición correspondientes. Los estimadores poseen algunas propiedades estadísticas deseables como el insesgamiento y la consistencia; sin embargo, la revisión y demostración de estas propiedades no es tema de este libro y los interesados pueden consultar algún libro de inferencia estadística (Mood, et al., 1974 [4]).
3.3.2. Estimación de la varianza La varianza es otro parámetro importante de la población, simbolizada por σ . Con su ayuda se hacen inferencias probabilísticas sobre la estimación de la media; también refleja la variabilidad que existe entre los valores de las variables. Este parámetro se define por la expresión 2
σY2 = σ 2 =
N X i=1
(yi − µ)2
N −1
Al igual que µ y τ , σ 2 también tiene su estimador muestral, el cual se obtiene de la muestra. Este estimador se denota como
Sy2 = S 2 =
n X i=1
(yi − y¯)2
n−1
=
n X i=1
yi2 − n¯ y2 n−1
Estimador de la media y la varianza de la media poblacional µy¯ = µ ¸ · N − n σy2 2 σy¯ = N n
(3.3) (3.4) 37
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple Al no conocer los parámetros incluidos en estas expresiones (3.3 y 3.4, recurrimos a utilizar sus estimadores (Scheaffer, 1987 [2]). µ ˆy¯ = µ ˆ = y¯ Sy¯2
¸ Sy2 n i Sy2 N − n Sy2 h = 1− = [1 − f ] = N n N n n ·
(3.5) (3.6)
f = n/N se llama fracción de muestreo y representa la proporción de la población que está incluida en la muestra, por lo que también se interpreta como la intensidad del muestreo. El factor (N − n)/N se denomina corrección por población finita (CPF), que también se puede expresar como [1 − (n/N )], donde el cociente (n/N ) es la fracción de muestreo (f ). La importancia del factor de corrección se reduce a medida que la fracción de muestreo se hace más pequeña, es decir, cuando la muestra representa una proporción menor de la población. Por la reducción de esta magnitud, en ocasiones suele omitirse si la fracción de muestreo es menor que 5 %, esto es, si f = (n/N ) < 0.05. Teniendo estos estimadores (3.5 y 3.6) y con las propiedades de la distribución normal, podemos establecer estimaciones por intervalo, para el promedio y el total poblacional, esto se presenta adelante detalladamente. Estimadores del total y la varianza del total poblacional µτˆ = τ = N µ
(3.7)
στ2ˆ = N σy2
(3.8)
Como no conocemos los parámetros incluidos en estas expresiones (3.7 y 3.8), utilizamos sus estimadores muestrales. Estimadores del total y de la varianza del total muestral µ ˆτˆ = τˆ = N µ ˆ = N y¯ · ¸ S2 2 2 y N −n Sτˆ = N n N
(3.9) (3.10)
Las expresiones 3.9 y 3.10 pueden simplificarse algebraicamente. Además, en lo sucesivo simplificamos las expresiones y notación para facilitar su lectura. Por lo general, la desviación estándar de los estimadores, o sea, la raíz cuadrada positiva de sus varianzas, se le conoce como error estándar de la media y del total, respectivamente.
3.3.3. Estimación por intervalo Debemos tener presente que lo que nos interesa estimar es la media o el total de la población, es decir, µ ó τ basándonos en la información de la muestra, 38
esto es, y¯, Sy¯2 , τˆ y Sτˆ2 que ya hemos calculado. Asimismo, suponiendo que los estimadores y¯ y τˆ tienen una distribución normal, o aproximadamente normal, se puede estimar por intervalo la media y total poblacional. Intervalo de confianza para la estimación de la media y¯ ± tn−1,(α/2) Sy¯ donde Sy¯ =
sµ
N −n N
¶
(3.11)
Sy2 . n
Es necesario aclarar la interpretación del intervalo (3.11) y el significado de los términos que aún no se han definido. Desde el punto de vista del muestreo repetido, significa que del total de muestras posibles de tamaño n, aproximadamente (1 − α)100 % de ellas producirá intervalos del tipo (3.11) que cubren el valor del parámetro, y que en (α)100 % dará intervalos diferentes que no cubren el valor del parámetro. Nótese que cuando calculemos y¯0 − tn−1,(α/2) Sy¯
y y¯0 + tn−1,(α/2) Sy¯
donde y¯0 indica el valor de la media muestral obtenido con la muestra específica. Nótese que implícitamente se acepta un error de α100 %, esto es, que el valor del parámetro no esté entre tales límites. tn−1,(α/2) representa el valor de una variable t de Student con (n − 1) grados de libertad y que deja del lado derecho de la curva una probabilidad de α/2. Este valor se obtiene de la distribución t de Student. Es necesario mencionar que cuando el tamaño de la muestra es grande, digamos mayor de 30, los valores de t son muy similares a los de una variable aleatoria con distribución normal estándar, por esta razón es común utilizar los valores de Zα/2 de la variable normal estándar en lugar de los valores tn−1,(α/2) . Intervalo de confianza para la estimación del total τˆ ± tn−1,(α/2) Sτˆ (3.12) s · ¸ · ¸ Sy2 N − n Sy2 N − n 2 =N . El intervalo de confianza donde τˆ = N y¯, Sτˆ = N n N n N es la referencia de mayor importancia para los resultados de un muestreo. El tamaño del intervalo nos indica la precisión que se ha logrado en la estimación del parámetro de interés. s
Por supuesto que siempre es deseable un intervalo pequeño, pero su amplitud depende del nivel de confiabilidad y del error estándar del estimador. Si deseamos más confiabilidad el intervalo tendría que ampliarse como resultado de una t más grande. La mayor confiabilidad se paga con menor precisión. Por su parte, el error estándar depende de la variabilidad de la población y del tamaño de la muestra. El tamaño de la muestra es el factor que podemos manipular para lograr una precisión deseada, ya que la varianza de y¯, y por lo tanto el error estándar, es cero cuando el tamaño de la muestra es igual al de la población. 39
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple
3.3.4. Determinación del tamaño de la muestra Determinar el tamaño de muestra y tomar la decisión de cuál tamaño elegir, es uno de los problemas importantes a que debe enfrentarse el usuario del muestreo. En la determinación de n se deben considerar tanto el aspecto teórico como el práctico. Por un lado, es necesario identificar el parámetro o los parámetros que se deben estimar, el esquema de muestreo a usar, la elección del estimador o los estimadores; asimismo, las especificaciones que se requieren hacer o que se desea que reúna un estimador, todo esto como parte de la teoría. Por otro lado, el aspecto práctico tiene gran influencia en la decisión del tamaño de muestra a usar en definitiva, ya que deben tomarse en cuenta factores como el dinero y el tiempo disponibles, el objetivo del estudio, la cantidad de información que se captará, la cantidad de personal especializado que se necesita, el tipo y la calidad de los materiales, los instrumentos necesarios para las mediciones, etcétera. Aquí se presentará un procedimiento para calcular un tamaño de muestra, para estimar la media poblacional o el total poblacional bajo una medida de la calidad en la estimación. El procedimiento comprende la precisión del estimador con referencia a un error absoluto máximo permisible (la precisión) y una confiabilidad dada.
Tamaño de la muestra para estimar la media Vamos a estimar una sola media poblacional, digamos Y¯ , mediante su estimador y¯ bajo el MAS, utilizando la relación de precisión y confiabilidad de la declaración (2.1), en este caso el parámetro θ = Y¯ , mientras que d y (1 − α) indican, respectivamente, la precisión y confiabilidad fijadas de antemano por el investigador. Además, suponemos y¯ tiene una distribución normal en consecuencia establecemos la precisión como: d = tn−1,α/2 Sy¯
(3.13)
donde tn−1,α/2 es el valor de una variable aleatoria t de Student que deja del lado derecho de la curva una probabilidad de α/2; y Sy¯ es la raíz cuadrada de la varianza de y¯. Formalmente, el desarrollo debe hacerse en términos de σ 2 y no de Sy¯2 , pero en virtud de que el parámetro no se conoce, usamos su estimador. Hay que resaltar que la precisión en este caso (3.13) se fijó en términos de la desviación estándar, pero también se puede fijar en términos de la varianza y el coeficiente de variación. Por tanto, a partir de la expresión (3.13) se procede a despejar n: sµ ¶ ¶ µ N − n S2 (N − n)S 2 2 2 d = tn−1,(α/2) Sy¯ ⇔ d = tn−1,(α/2) ⇔ d = tn−1,(α/2) N n Nn ¶ µ ³ n ´ S2 1 1 2 2 2 2 2 ⇔ d = tn−1,(α/2) S − d = tn−1,(α/2) 1 − N n n N µ ¶ d2 1 1 d2 1 1 = − ⇔ = + 2 2 2 2 tn−1,(α/2) S n N n tn−1,(α/2) S N 40
N d2 + t2n−1,(α/2) S 2 N t2n−1,(α/2) S 2 1 = ⇔n= n N t2n−1,(α/2) S 2 N d2 + t2n−1,(α/2) S 2 Por lo tanto, se obtiene una ecuación que indica cómo calcular un tamaño de muestra para la estimación de una media poblacional, en términos de una precisión y una confiabilidad preestablecidas: n=
N t2n−1,(α/2) S 2 N d2µ + t2n−1,(α/2) S 2
(3.14)
n = tamaño de muestra estimado para estimar la media poblacional, Y¯ . Es una muestra estimada porque no se conoce la varianza poblacional (σ 2 ) y en su lugar se utiliza su estimador correspondiente (S 2 ), que es igual a: S 2 = n X yi2 − n¯ y2 i=1
n−1
.
N = tamaño de la población, el cual es un valor conocido. tn−1,α/2 = valor de una variable aleatoria t de Student o normal estándar que tiene a la derecha de la curva una probabilidad de α/2. Este valor se conoce al fijar la confiabilidad deseada. dµ = alejamiento máximo permitido entre el estimador y el parámetro (la precisión), el cual es un valor conocido y que establece el investigador. S 2 = varianza muestral. Este valor se obtiene con los datos de una muestra preliminar de tamaño n′ . Hemos usado el subíndice µ en la precisión d, para aclarar que se trata de la precisión referida a la media; en este caso es el parámetro que se está estimando, pero podría ser que la estimación deseada fuera otro parámetro, como el total τ o algún otro. Además es importante mencionar que esta varianza muestral (S 2 ) será calculada con base en una muestra preliminar de tamaño n′ , la cual sólo será de utilidad para calcular el tamaño de muestra definitivo, pero no para el proceso de cálculo de estimaciones por intervalo de confianza. El tamaño de muestra preliminar n′ se determina de manera arbitraria, pero dependerá de los recursos económicos y humanos disponibles, así como del tiempo y las condiciones físicas y administrativas del estudio. Está claro que a medida que se incremente n′ la estimación de la varianza poblacional será mejor. En caso de no realizar una encuesta piloto para la estimación e la varianza se proponen las dos siguientes alternativas: Especificar el valor aproximado de la varianza con base en experiencia de estudios anteriores. Especificar el valor aproximado de la varianza mediante el conocimiento que se tenga sobre la forma de la distribución y el rango de variación de los valores de la variable bajo estudio. 41
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple Se presenta el la Figura A.1, donde aparecen formúlas sencillas de las varianzas de distribuciones a apartir de la forma y el rango de variación de la variable estudiada. Tablas similares son presentas por Deming (1966)[13] y Kish (1950)[12].
Tamaño de muestra para estimar el total poblacional De igual manera utilizando la relación de precisión y confiabilidad de la declaración (2.1), y considerando el parámetro θ = τ . Además, τˆ tiene una distribución normal y por tanto: d = tn−1,α/2 Sτˆ , s· s · ¸ 2 ¸ S N − n N − n Sy2 y 2 = N . Despejendo n se obtiene una donde Sτˆ = N N n N n ecuación que indica cómo calcular un tamaño de muestra para la estimación de un total poblacional, en términos de una precisión y una confiabilidad preestablecidas: N 2 t2n−1,(α/2) S 2 n= 2 dt + N t2n−1,(α/2) S 2 n: tamaño de muestra para estimar el total poblacional. N : tamaño de la población. S 2 : varianza estimada en la población de interés. dτ : precisión de la estimación del total poblacional que estamos dispuestos a aceptar. Conviene recordar que τ = N µ, y dτ = N dµ , por lo tanto, se puede usar la fórmula para el cálculo del tamaño de la muestra que más convenga, sabiendo cómo pasar de una a otra en las estimaciones de µ ó τ .
3.3.5. Ejemplos Ejemplo 1. IBM produce semanalmente N = 1, 000 computadoras, de donde el gerente de calidad seleccionó al azar una muestra n = 10 computadoras. La información sobre el número de fallas encontradas en cada una de las computadoras se muestra a continuación: 6, 7, 9, 8, 5, 4, 7, 8, 7 y 6. a) Haga una estimación puntual del promedio de fallas por computadora. y1 + y2 + · · · + y n n 6+7+9+8+5+4+7+8+7+6 = 6.7 y¯ = 10 y¯ =
b) Calcule la varianza muestral del número de fallas (S 2 )
S2 =
n X i=1
yi2 − n¯ y2 n−1 42
S2 =
62 + 72 + . . . + 72 + 62 − 10(6.7)2 = 2.2333 9
c) Calcule la varianza y la desviación estándar de la media muestral del número de fallas µ ¶µ 2¶ N −n S 2 Sy¯ = N n µ ¶µ ¶ 1, 000 − 10 2.2333 2 Sy¯ = 1, 000 10 Sy¯2 = (0.99)(0.2233) = 0.221 Sy¯ =
p 2 √ Sy¯ = 0.221 = 0.4702
d) Calcule un intervalo de confianza (IC) del promedio de fallas por computadora con una confiabilidad de 95 %. y¯ ± tn−1,α/2 Sy¯ donde: y¯ = 6.7, Sy¯ = 0.4702 y tn−1,α/2 = t10−1,0.025 = 2.262 Por lo tanto, 6.7±(2.262)(0.4702) 6.7±1.0634 5.6366≤ µ ≤7.7634 Es decir, con una confiabilidad de 95 % se estima que el valor verdadero del promedio de fallas por computadora está entre 5.6366 y 7.7634. e) Realice una estimación puntual del total de fallas. τˆ = N y¯=(1,000)(6.7)=6,700 f) Calcule un IC del total de fallas con la confiabilidad de 95 % τˆ ± N tn−1,α/2 Sy¯ donde: τˆ = 6, 700, N = 1, 000, Sy¯ = 0.4702 y tn−1,α/2 = t10−1,0.025 = 2.262 Por lo tanto, 6,700±(1,000)(2.262)(0.4702) 6,700±(1,000)(1.0634) 6,700±1,063.4 5,636.6≤ τ ≤7,763.4 43
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple Es decir, con 95 % de confianza se estima que el total de fallas en la población está entre 5,636.6 y 7,763.4. g) Suponga que las computadoras seleccionadas son una muestra preliminar de tamaño n′ = 10. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar el promedio de fallas de tal manera que el promedio tenga una precisión de 7 % del promedio preliminar (¯ y ) y una confiabilidad de 95 %? n=
N (tn−1,α/2 )2 S 2 N d2 + (tn−1,α/2 )2 S 2
donde: N = 1, 000, tn−1,α/2 = t10−1,0.025 = 2.262, S 2 = 2.2333, y¯ = 6.7 Como el valor de d no está definido en forma explícita se calcula obteniendo 7 % del promedio preliminar (¯ y = 6.7). Es decir, d = (0.07)(6.7) = 0.469, Por lo tanto: (1, 000)(2.262)2 (2.2333) n= = 49.38 (0.469)2 + (2.262)2 (2.2333) Entonces, n = 50 es el número estimado de unidades muestrales (computadoras) para que la muestra tenga una precisión de ±0.469 fallas con 0.05 de probabilidad de no incluir en el intervalo de estimación al promedio verdadero. Es decir, n = 50 computadoras es el tamaño de muestra definitivo y todos los parámetros que se deseen estimar se deben de hacer tomando en cuenta este tamaño de muestra. Porque el muestreo preliminar o piloto únicamente es útil para verificar que el cuestionario funciona bien al momento de aplicarlo, corroborar que el marco de muestreo está correcto y obtener una estimación de la varianza. Sin embargo, si en el muestreo piloto se encuentra que todo funciona correctamente, ya no se miden todas las unidades muestrales del tamaño de muestra definitivo (n), sino solamente las faltantes (n − n′ ) para completarlo, pues se utilizan las de la muestra piloto (n′ ). En este ejercicio solamente se seleccionarían 40 computadoras al azar de la población porque n′ = 10. h) Suponga que las computadoras seleccionadas son una muestra preliminar de tamaño n′ = 10. ¿Cuál sería el tamaño de muestra definitivo para estimar el total poblacional de fallas de tal manera que sea estimado con una precisión de 7 % del total (ˆ τ ) y con una confiabilidad de 95 %? La expresión para calcular el tamaño de muestra para estimar el total es: n=
N 2 (tn−1,α/2 )2 S 2 d2 + N (tn−1,α/2 )2 S 2
donde: N = 1, 000, tn−1,α/2 = t10−1,0.025 = 2.262, S 2 = 2.2333, τˆ = 6, 700. También como el valor de d no está definido en forma explícita se calcula obteniendo 7 % del total poblacional preliminar (ˆ τ = 6, 700). Es decir, d = (0.07)(6, 700) = 469 y por lo tanto: 44
n=
11, 427, 001.05 (1, 000)2 (2.262)2 (2.2333) = = 49.38 2 2 (469) + (1, 000)(2.262) (2.2333) 231, 388
Nota: La n estimada es el tamaño de muestra definitivo, por lo que sólo faltará medir las unidades muestrales restantes considerando las que ya se midieron. Esto procede siempre y cuando el muestreo piloto sea considerado apropiado. Esta nota es válida para todos los ejercicios posteriores incluso para los esquemas de muestreo presentados en los capítulos restantes . Ejemplo 2. La directora de Intercambio Académico y Becas de la Universidad de Colima selecciona una muestra de n = 15 estudiantes de la Facultad de Telemática cuya población es de N = 420 estudiantes, y a cada uno de los estudiantes le pregunta su gasto semanal en pesos. Los datos son: 120, 150, 100, 80, 100, 90, 60, 70, 90, 100, 50, 90, 80, 65, 110. a) Haga una estimación puntual del gasto semanal promedio por estudiante. y1 + y2 + · · · + y n n 120 + 150 + 100 + . . . + 65 + 110 y¯ = = 90.3333 15
y¯ =
b) Calcule la varianza muestral para el gasto (S 2 )
S2 =
n X i=1
yi2 − n¯ y2
n−1 120 + 1502 + 1002 + · · · + 652 + 1102 − (15)(90.33)2 S2 = 15 − 1 2
S 2 = 637.381
c) Calcule la varianza y la desviación estándar de la media muestral para el gasto µ ¶µ 2¶ µ ¶µ ¶ N −n S 420 − 15 637.381 2 Sy¯ = = = 40.9745 N n 420 15 q √ Sy¯ = Sy¯2 = 40.9745 = 6.4011 d) Calcule un intervalo de confianza (IC) del gasto promedio por estudiante. y¯ ± tn−1,α/2 Sy¯ donde: y¯ = 90.3333, Sy¯ = 6.4011, tn−1,α/2 = t15−1,0.025 = 2.145 Por lo tanto: 45
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple 90.33±(2.145)(6.4011) 90.33±13.7291 76.6043≤ µ ≤104.0624 Es decir, con una confiabilidad de 95 % se estima que el valor verdadero del gasto promedio por estudiante está entre 76.6043 y 104.0624. e) Realice una estimación puntual del gasto total de los estudiantes. τˆ = N y¯=(420)(90.3333)=37,940 Se estima que el gasto semanal total de los estudiantes es de 37,940.0 pesos. f) Calcule un IC del gasto total de los estudiantes con 95 % de confianza. τˆ ± N tn−1,α/2 Sy¯ donde: τˆ = 37, 940, N = 420, Sy¯ = 6.4011, tn−1,α/2 = t15−1,0.025 = 2.145 Por lo tanto: 37,940.0±(420)(2.145)(6.4011) 37,940.0±(420)(13.7291) 37,940.0±5766.2222 32,173.7938≤ τ ≤43,706.2062 Es decir, se estima que el gasto total de los estudiantes está entre 32,173.7938 y 43,706.2062. g) Suponga que los estudiantes seleccionados son una muestra preliminar de tamaño n′ = 15. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el gasto promedio por estudiante de tal manera que el promedio se estime con una precisión de ±6 pesos y con una confiabilidad de 95 %? n=
N (tn−1,α/2 )2 S 2 N d2 + (tn−1,α/2 )2 S 2
donde: N = 420, tn−1,α/2 = t15−1,0.025 = 2.145, S 2 = 637.381, d = 6 Por lo tanto: n=
(420)(2.145)2 (637.381) = 69 (420)(6)2 + (2.145)2 (637.381)
Por lo tanto, 69 son las unidades muestrales (estudiantes) para tener una precisión de ±6 pesos con 0.95 de probabilidad de incluir en el intervalo de estimación al promedio verdadero. En otras palabras se debe seleccionar aleatoriamente una muestra de n = 69 estudiantes de la población de N = 420, lo que garantiza que se cumplirá la precisión especificada (d = 6 pesos) para el 46
promedio con una probabilidad de 0.95. h) Suponga que los estudiantes seleccionados son una muestra preliminar de tamaño n′ = 15. ¿Cuál es el tamaño de muestra definitivo para estimar el total poblacional del gasto de los estudiantes tal que el total sea estimado con una precisión de 2,520 pesos y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (tn−1,α/2 )2 S 2 d2 + N (tn−1,α/2 )2 S 2
donde: N = 420, tn−1,α/2 = t15−1,0.025 = 2.145, S 2 = 637.381, d = 2, 520 Por lo tanto: n=
(420)2 (2.145)2 (637.381) = 69 (2, 520)2 + (420)(2.145)2 (637.381)
Ejemplo 3. El estado de Colima tiene N = 3, 000 familias, de las cuales se seleccionó una muestra aleatoria de 12 . Se desea información sobre el número de hijos que cada familia tiene en Estados Unidos. La información obtenida de cada una de las n = 12 familias se presenta a continuación: 6, 3, 8, 5, 2, 1, 0, 1, 1, 3, 4, 4. a) Obtener el promedio de hijos que vive en Estados Unidos, por familia. y1 + y2 + · · · + y n n 6+3+8+5+2+1+0+1+1+3+4+4 = 3.1667. y¯ = 12 y¯ =
b) Calcule la varianza muestral (S 2 ).
S2 =
n X i=1
yi2 − n¯ y2
n−1 6 + 32 + 82 + · · · + 42 + 42 − (12)(3.17)2 2 S = 12 − 1 2
S 2 = 5.6061
c) Calcule la varianza de la media muestral (Sy¯2 ). µ ¶µ 2¶ µ ¶µ ¶ N −n S 3, 000 − 12 5.6061 2 Sy¯ = = = 0.4653 N n 3, 000 12
La varianza estimada del promedio de hijos viviendo en Estados por p 2 Unidos √ familia es de 0.4653. La desviación estándar es igual a: Sy¯ = Sy¯ = 0.4653 = 0.6821 d) El total de colimenses que radica en Estados Unidos. 47
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple τˆ = N y¯=(3,000)(3.1667)=9,500 e) Calcule un IC de 95 % de confianza del promedio de hijos por familia que vive en Estados Unidos. y¯ ± tn−1,α/2 Sy¯ donde: y¯ = 3.1667, Sy¯ = 0.6821, tn−1,α/2 = t12−1,0.025 = 2.201 Por lo tanto: 3.1667±(2.201)(0.6821) 3.1667±1.5014 1.6653≤ µ ≤4.6680 Es decir, con una confiabilidad de 95 % se estima que el valor verdadero del promedio de parientes por familia en Estados Unidos se encuentra entre 1.6653 y 4.6680. f) Calcule un IC del total poblacional con 95 % de confiabilidad. τˆ ± N tn−1,α/2 Sy¯ donde: τˆ = 9, 500, N = 3, 000, Sy¯ = 0.6821, tn−1,α/2 = t12−1,0.025 = 2.201 Por lo tanto: 9,500±(3,000)(2.201)(0.6821) 9,500±(3,000)(1.5014) 9,500±4,504.2 4,995.9198≤ τ ≤14,004.0822 Es decir, con 95 % de confianza se estima que el total de colimenses que vive en Estados Unidos está entre 4,995.9198 y 14,004.0822. g) Suponga que la muestra seleccionada corresponde a una muestra preliminar de tamaño n′ = 12. ¿Cuál es el tamaño de la muestra para estimar el promedio de hijos por familia que radica en Estados Unidos de tal manera que el promedio sea estimado con una precisión de 0.5 parientes y con una confiabilidad de 95 %? N (tn−1,α/2 )2 S 2 n= N d2 + (tn−1,α/2 )2 S 2 donde: N = 3, 000, tn−1,α/2 = t12−1,0.025 = 2.201, S 2 = 5.6061, d = 0.5 Por lo tanto: n=
(3, 000)(2.201)2 (5.6061) = 105 (3, 000)(0.5)2 + (2.201)2 (5.6061) 48
h) Suponga que la muestra seleccionada es una muestra preliminar de tamaño n′ = 12. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total de colimenses que vive en Estados Unidos tal que el total sea estimado con una precisión de 1,500 parientes y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (tn−1,α/2 )2 S 2 d2 + N (tn−1,α/2 )2 S 2
donde: N = 3, 000, tn−1,α/2 = t12−1,0.025 = 2.201, S 2 = 5.6061, d = 1, 500 Por lo tanto: n=
(3, 000)2 (2.201)2 (5.6061) = 105 (1500)2 + (3000)(2.201)2 (5.6061)
Ejemplo 4. El gobernador del estado de Colima, a través de la Secretaría de Salud, desea estimar el total de drogadictos que hay en la entidad. El estado tiene N = 900 colonias de las cuales se seleccionó una muestra aleatoria de 12 colonias. En cada colonia se investigó el número de drogadictos. La información obtenida de cada una de las n′ = 12 colonias se presenta a continuación: 16, 13, 18, 15, 22, 21, 10, 11, 8, 33, 34, 24. a) Calcule el promedio de drogadictos por colonia en el estado. y1 + y2 + · · · + y n n 16 + 13 + 18 + 15 + 22 + 21 + 10 + 11 + 8 + 33 + 34 + 24 = 18.75 y¯ = 12 drogadictos por colonia. y¯ =
b) Calcule la varianza muestral (S 2 ).
S2 =
n X i=1
yi2 − n¯ y2
n−1 16 + 132 + 182 + · · · + 342 + 242 − (12)(18.75)2 S2 = 12 − 1 2
S 2 = 71.4773
c) Calcule la varianza y la desviación estándar del promedio muestral. ¶µ 2¶ µ ¶µ ¶ µ S 900 − 12 71.4773 N −n 2 = = 5.8770 Sy¯ = N n 900 12 √ Sy¯ = 5.8770 = 2.4242 Sy¯ =
p 2 √ Sy¯ = 5.8770 = 2.4242
d) El número total de drogadictos en el estado. 49
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple
τˆ = N y¯=(900)(18.75)=16,875 e) Calcule un IC para el promedio de drogadictos por colonia en el estado. y¯ ± tn−1,α/2 Sy¯ donde: y¯ = 18.75, Sy¯ = 2.4242, tn−1,α/2 = t12−1,0.025 = 2.201 Por lo tanto: 18.75±(2.201)(2.4242) 18.75±5.3358 13.4142≤ µ ≤24.0858 Es decir, con una confiabilidad de 95 % se estima que el valor verdadero del promedio de drogadictos por colonia en el estado de Colima está entre 13.4142 y 24.0858. f) Calcule un IC para el total de drogadictos en el estado de Colima con 95 % de confiabilidad. τˆ ± N tn−1,α/2 Sy¯ donde: τˆ = 16, 875, N = 900, Sy¯ = 2.4241, tn−1,α/2 = t12−1,0.025 = 2.201 Por lo tanto: 16,875±(900)(2.201)(2.4242) 16,875±(900)(5.3358) 16,875±4,802.22 12,072.82243≤ τ ≤21,677.1776 Es decir, con 95 % de confianza se estima que el total de drogadictos en el estado de Colima está entre 12,072.82243 y 21,677.1776. g) Suponga que n′ = 12 es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el promedio de drogadictos por colonia, con una precisión de ±2 drogadictos y una confiabilidad de 95 %? n=
N (tn−1,α/2 )2 S 2 N d2 + (tn−1,α/2 )2 S 2
donde: N = 900, tn−1,α/2 = t12−1,0.025 = 2.201, S 2 = 71.4773, d = 2 Por lo tanto: n=
(900)(2.201)2 (71.4773) = 79 colonias. (900)(2)2 + (2.201)2 (71.4773) 50
h) Suponga que n′ = 12 es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total de drogadictos en el estado, con una precisión de 1800 drogadictos y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (tn−1,α/2 )2 S 2 d2 + N (tn−1,α/2 )2 S 2
donde: N = 900, tn−1,α/2 = t12−1,0.025 = 2.201, S 2 = 71.4773, d = 1, 800 Por lo tanto, n=
3.4.
(900)2 (2.201)2 (71.4773) = 79 colonias. (1, 800)2 + (900)(2.201)2 (71.4773)
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime lo siguiente: a) El IC para el promedio y el total con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el promedio y el total con una precisión del 5 % de la media y el total preliminar, con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. Una empacadora de mango produce por hora N =1,000 rejas, cada una tiene 100 mangos, donde el gerente de calidad seleccionó una muestra de N =15 rejas. La información sobre el número de mangos dañados por rejas se presentan a continuación: 4, 5, 6, 6, 7, 4, 4, 5, 4, 5, 6, 6, 7, 4, 5. Ejercicio 2. La Secretaría del Deporte del Estado de Colima, desea estimar los alumnos a nivel bachillerato de la U de C que tienen una buena condición física para formar parte de la selección. Se tienen N =500 grupos y en promedio cada grupo tiene 40 alumnos. Se seleccionaron a 9 grupos aleatoriamente. En cada grupo se hicieron las pruebas necesarias. La información obtenida de los alumnos seleccionados es la siguiente: 5, 8, 6, 12, 5, 9, 11, 12, 10(alumnos por grupo que tienen condición física decuada) Ejercicio3. Una exportadora de limón por cada hora acondiciona N =1,800 limones. Se desea saber si el limón cumple con las especificaciones para el diámetro. Para ello se toma una muestra de 15 limones aleatoriamente y a cada uno de ellos se le mide su diámetro. Los resultados son los siguientes: 3.2, 4.8, 4.4, 3.1, 3, 5.1, 2.9, 5.3, 4.1, 3.1, 3.7, 2.6, 5.5, 2.6, 5.9. Ejercicio 4. La Secretaría de Turismo del estado de Colima, desea estimar la cantidad de personas que visitan el Estado provenientes de Jalisco por día. En la caseta Guadalajara-Colima ingresan por día N=700 vehículos en promedio. Se seleccionan 20 vehículos aleatoriamente y a cada uno de los vehículos se revisa la cantidad de personas que vienen en él. Los resultados de lo que se desea estimar es la siguiente: 4, 3, 6, 1, 3, 2, 5, 7, 4, 5, 3, 8, 1, 3, 6, 4, 4, 1, 6, 5. 51
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple
3.5.
La estimación de una proporción poblacional
Otra tarea que suele ser de interés al estudiar una población es la determinación de la proporción, P o π, de las unidades muestrales que pertenecen a uno de dos grupos posibles. Por ejemplo, para conocer la proporción de personas analfabetas de una población, la proporción que apoya a cierto partido político o iniciativa gubernamental, la proporción de estudiantes de la Facultad de Telemática que tienen computadora portátil, la proporción de individuos en la ciudad de Colima que cree en Dios, etc. Todos estos ejemplos tienen dos opciones de respuesta: sí o no. Por lo tanto, para calcular dicha proporción se hace la suma de todas las respuestas afirmativas (sí) y se divide sobre el total de respuestas (sí y no); esto se debe a que sólo se consideró dos grupos posibles. En ocasiones son más de dos grupos a los que pueden pertenecer las unidades muestrales; este caso no lo consideraremos aquí, pero aun así se podría tener la posibilidad de análisis si se considera que una unidad muestral pertenece o no pertenece a uno de los grupos. Esta aplicación también se conoce como muestreo por atributos, donde cada unidad de muestreo podría pertenecer a determinado grupo debido a que posee cierto atributo.
3.5.1. La medición La medición consiste en determinar si la unidad de muestreo tiene el atributo que la haría pertenecer a la proporción que se desea conocer. Para muchos atributos tal determinación puede ser muy sencilla, por ejemplo, en un conjunto de N computadoras; pertenecer a cierta marca. Sin embargo, a veces es difícil determinar el atributo, por ejemplo, calificar a un paciente como enfermo o no, es una condición en la que se presenta una gradualidad desde sano hasta enfermo. Es decir, el MAS para proporciones no considera los estados intermedios, por lo que debe establecerse un criterio unívoco que permita calificar al paciente como sano o enfermo solamente.
3.5.2. El estimador de la proporción poblacional P y su relación con el estimador de una media poblacional Una manera fácil de introducir esta estimación es aceptar que se trata de una variable Y que solamente puede tomar los valores de cero o uno. De esta manera podremos usar las fórmulas de los apartados anteriores, aunque conviene adecuar la simbología. Para esto, sea Py la proporción de la población de uno de los dos grupos que posee el atributo evaluado en Y . La proporción de la población, PY , está definida por la siguiente expresión:
PY = P =
N X i=1
N
yi =
A N
donde A es el número de unidades de la población que posee el atributo. Está X claro que yi es igual a A, ya que si la unidad de muestreo tiene el atributo 52
de interés aporta un valor de uno y si no la tiene aporta un valor de cero. Si se realiza un muestreo, se entiende que no se puede tener acceso a todas las N unidades de la población, sino solamente a las n de la muestra. Con la muestra definimos un estimador de la proporción de la población, simbolizado por Pˆ = p y definido por la expresión:
py = p =
n X
yi
i=1
=
n
a n
(3.15)
X De igual manera que la definición del parámetro, a = yi representa el número de unidades de la muestra que tienen el atributo de interés. El complemento de P es Q = (1 − P ) en el caso de la población y de la muestra es q = (1 − p), es decir, q es un estimador de Q.
3.5.3.
La varianza de la población para una proporción
Ahora definamos la varianza de la población usando las mismas expresiones que en el caso de una variable continua.
σY2 = σ 2 =
N X i=1
(yi − µ)
N −1
=
N X i=1
yi2 − N µ2
Como la variable sólo toma valores de cero o uno, entonces . Así, haciendo la sustitución en (3.16) tenemos: σ2 = La expresión
N X i=1
yi2
=
N X
(3.16)
N −1
N P (1 − P ) NPQ NP − NP2 = = N −1 N −1 N −1
N X i=1
yi2
=
N X
yi = N P
i
(3.17)
yi = N P en (3.17) representa el número de unidades
i
en la población que tiene el atributo que se desea evaluar. Naturalmente, por ser el caso de un muestreo necesitamos un estimador de este parámetro, que se define por la expresión: Ã n !2 X yi n n X X ³ a2 a´ (yi − y¯)2 yi2 − i=1 a− a 1− n n = n = npq s2y = i=1 = i=1 = (3.18) n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 n X donde a = yi en (3.18) representa el número de unidades en la muestra que i=1
tiene el atributo que se desea evaluar.
53
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple En la práctica, es común considerar que n − 1 es aproximadamente igual a n, con lo cual la expresión más usada para calcular la varianza muestral es: Sy2 = pq
Estimación de la varianza y el error estándar Esta estimación sigue un desarrollo paralelo a lo expuesto para una variable continua. Existen otros procedimientos que se conocen como aproximación usando la distribución normal, que implica una corrección que hemos omitido por su poca trascendencia práctica. Así, se tiene que p se distribuye normalmente con los siguientes parámetros. Media y varianza del estimador de P E[Pˆ ] = E[p] = P µ ¶µ 2¶ µ ¶ Sy N −n N − n ³ pq ´ 2 Sp = = N n N n
(3.19) (3.20)
En la práctica, la raíz cuadrada positiva de la varianza del estimador se conoce como error estándar del estimador de la proporción. Usando nuevamente el Teorema Central del Límite, p tiene aproximadamente una distribución normal con media P (estimada por p) y una varianza σp2 (estimada por Sp2 ). Total poblacional y varianza del estimador de τ τˆ = N p µ ¶µ 2¶ ¶ µ Sy N − n ³ pq ´ N −n 2 2 =N Sτˆ = N N n N n
La raíz cuadrada positiva de la varianza del estimador del total es el error estándar del estimador del total.
3.5.4. Los intervalos de confianza Con el mismo procedimiento que el del caso de una variable continua obtenemos las expresiones para los intervalos de confianza. El intervalo de confianza para la estimación de la proporción de la población p ± tn−1,(α/2) Sp donde Sp =
µ
N −n N
¶³
pq ´ n
El intervalo de confianza para la estimación del total poblacional τˆ ± N tn−1,(α/2) Sp 54
donde Sp =
µ
N −n N
¶³
pq ´ n
Varianza acotada de una proporción Como puede observarse en las expresiones de σy2 y de Sp2 , existe el producto P Q o pq. Entonces, en esas expresiones se puede apreciar que el tamaño de la varianza depende de ese producto para el tamaño de población y una muestra dadas. Esto nos indica que las varianzas de la población y del estimador serán las máximas cuando P o p sean iguales a 0.5, ya que en estas condiciones el producto mencionado tiene un valor máximo. Esta propiedad se puede emplear para suponer una varianza máxima antes de realizar el muestreo, p = 0.5, y los resultados finales siempre serán iguales o más precisos que lo esperado. En otras palabras, esto significa que en el MAS para una proporción cuando no se dispone del tiempo y recursos para realizar un muestreo piloto que sirva para corroborar el marco de muestreo, el cuestionario, los problemas relacionados con el personal para levantar la encuesta y para estimar la varianza (S 2 = pq), se supone varianza máxima (S 2 = pq = (0.5)(0.5) = 0.25) para determinar el tamaño de muestra máximo (conservador). Este método sólo debe usarse cuando se tenga un marco de muestreo confiable, el cuestionario validado y encuestadores experimentados.
3.5.5.
El tamaño de muestra requerido para estimar P
Respecto al tamaño de muestra requerido, recordemos que P puede ser interpretada como µ según la ecuación (3.19) y con el procedimiento que obtuvimos la ecuación (3.14), tenemos lo siguiente. El tamaño muestral para estimar P N [tn−1,(α/2) ]2 P Q n= N d2p + [tn−1,(α/2) ]2 P Q donde: dp : la precisión de estimación de la proporción poblacional que se está dispuesto a aceptar. P : es la proporción de interés. Q = (1 − P ). Sin embargo, no se conocen, por lo que se estiman con p y q, respectivamente. El tamaño muestral requerido para estimar el total poblacional n=
N 2 [tn−1,(α/2) ]2 P Q d2τˆ + N [tn−1,(α/2) ]2 P Q
donde: dτˆ : es la precisión de estimación del total poblacional que se está dispuesto a aceptar. P : es la proporción de interés. Q = (1 − P ). Sin embargo, éstas no se conocen, por lo que se estiman con p y q, respectivamente. 55
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple
3.5.6. Ejemplos Ejemplo 1. Con la finalidad de estimar la proporción de estudiantes que fuman en la Facultad de Medicina de la U de C , cuya población es de N = 430 estudiantes, se seleccionó una muestra aleatoria de n = 80 estudiantes. Si la muestra indica que 30 de los estudiantes seleccionados fuman, calcular lo siguiente: a) Cuantifique la proporción verdadera de los estudiantes que fuma.
p=
n X
yi
i=1
n
=
a 30 = = 0.375 ó 37.5 % de estudiantes fumadores n 80
q = 1−p = 1−0.375 = 0.625 ó 62.5 % de estudiantes no fumadores b) La desviación estándar de la proporción muestral (Sp ). sµ ¶ N − n ³ pq ´ Sp = N n
donde: N = 430, n = 80, p = 0.375 y q = 0.625. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, se tiene que: sµ ¶µ ¶ p √ (0.375)(0.625) 430 − 80 = (0.8139)(0.0029) = 0.234375 = 0.0488 Sp = 430 80 c) Calcule un IC de 95 % para la proporción verdadera. p ± Zα/2 Sp donde: p = 0.375, Sp = 0.0488, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 Por lo tanto: 0.375±(1.96)(0.0488) 0.375±0.09565 0.2793≤ P ≤0.4707 Con 95 % de confianza se estima que la proporción verdadera de estudiantes que fuman en la Facultad de Medicina está entre 0.2793 y 0.4707, es decir, entre 27.93 y 47.07 %. d) Estimar el total verdadero de estudiantes que fuma en la Facultad de Medicina. τˆ = N p donde: N = 430, p = 0.375 56
Por lo tanto τˆ = (430)(0.375) = 161.25 e) La estimación por intervalo del total verdadero de estudiantes que fuman en la Facultad de Medicina de la U de C, con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± Zα/2 N Sp donde: τ = 161.25, Sp = 0.0488, N = 430, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 Por lo tanto: 161.25±(430)(1.96)(0.0488) 161.25±(430)(0.09565) 161.25±41.1295 120.0938≤ τ ≤202.4062 Con 95 % de confianza se estima que el total de estudiantes que fuman en la Facultad de Medicina de la U de C está entre 120.0938 y 202.4062. f) Suponga que n = 80 estudiantes es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción verdadera con una precisión de 10 % de la proporción preliminar (p) y una confiabilidad de 95 %? n=
N (Zα/2 )2 pq N d2 + (Zα/2 )2 pq
donde: N = 430, p = 0.375, q = 0.625. Como la precisión tiene que ser 10 % de la proporción preliminar (p=0.375), d = (0.10)(ˆ p)=(0.10)(0.375)=0.0375: por lo tanto: n=
387.16 (430)(1.96)2 (0.375)(0.625) = = 258 2 2 (430)(0.0375) + (1.96) (0.375)(0.625) 1.505
g) Suponga que n = 80 estudiantes es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total poblacional con una precisión de 10 % del total poblacional preliminar (p) y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (Zα/2 )2 pq d2 + N (Zα/2 )2 pq
donde: N = 430, p = 0.375, q = 0.625, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y d = (0.10)(430)(0.375) = 16.125 Por lo tanto: 166479.33 (430)2 (1.96)2 (0.375)(0.625) = = 258 estu(16.125)2 + (430)(1.96)2 (0.375)(0.625) 647.16 diantes (unidades muestrales) n =
57
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple
Ejemplo 2. Un ingeniero en telemática es el responsable de un centro de cómputo con N = 2, 000 computadoras donde por descuido algunas computadoras se infectaron con el virus XXX. Con la finalidad de estimar la proporción de computadoras infectadas, es decir, que contienen el virus XXX, se seleccionó una muestra aleatoria de n = 50 computadoras. Esta muestra indica que 22 de las 50 computadoras tienen el virus. a) Estime la proporción verdadera de computadoras infectadas.
p=
n X
yi
i=1
n
=
a 22 = = 0.44 ó 44 % computadoras infectadas n 50
q = 1 − p = 1 − 0.44 = 0.56 ó 56 % computadoras limpias b) ¿Cuál es desviación estándar de la proporción muestral (Sp )? sµ ¶ N − n ³ pq ´ Sp = N n donde: N = 2, 000, n = 50, p = 0.44, y q = 0.56
Por lo tanto: sµ ¶µ ¶ p √ (0.44)(0.56) 2, 000 − 50 Sp = = (0.975)(0.0049) = 0.0048048 = 0.0693 2, 000 50 c) Encontrar un IC de 95 % para la proporción verdadera. p ± Zα/2 Sp donde: p = 0.44, Sp = 0.0693 y Zα/2 = Z0.025 = 1.96 Por lo tanto: 0.44±(1.96)(0.0693) 0.44±0.1358 0.3041≤ P ≤0.5759 Con 95 % de confianza se estima que la proporción verdadera de computadoras infectadas en la población está entre 0.3041 y 0.5759, o sea, entre 30.41 y 57.59 %. d) Hallar el total verdadero de computadoras infectadas. τˆ = N p donde: N = 2, 000 y p = 0.44 58
Por lo tanto: τˆ = (2, 000)(0.44) = 880 e) Calcular un IC para el total verdadero de computadoras infectadas en la población, con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± Zα/2 N Sp donde: τ = 880, Sp = 0.0693, N = 2, 000 y Zα/2 = Z0.025 = 1.96 Por lo tanto: 880±(2,000)(1.96)(0.0693) 880±(2,000)(0.1358) 880±271.6 608.2787≤ τ ≤1,151.7213 Con 95 % de confianza se estima que el total poblacional de computadoras infectadas por el virus XXX está entre 608.2787 y 1,151.7213. f) Suponga que n = 50 computadoras son una muestra preliminar. Por lo tanto, ¿cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción verdadera con una precisión de 0.07 y una confiabilidad de 95 %? n=
N (Zα/2 )2 pq N d2 + (Zα/2 )2 pq
donde: N = 2, 000, p = 0.44, q = 0.56 y d = 0.07
Por lo tanto: n=
(2, 000)(1.96)2 (0.44)(0.56) 1893.1404 = = 177 2 2 (2, 000)(0.07) + (1.96) (0.44)(0.56) 10.7466
g) Suponga que las n = 50 computadoras son una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total verdadero con una precisión de 140 computadoras y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (Zα/2 )2 pq d2 + N (Zα/2 )2 pq
donde: N = 2, 000, p = 0.44, q = 0.56, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y d = 140 Por lo tanto: n=
3786280.96 (2, 000)2 (1.96)2 (0.44)(0.56) = = 177 2 2 (140) + (2, 000)(1.96) (0.44)(0.56) 21493.14048
Ejemplo 3. En el estado de Colima existen N = 3, 000 familias que agrupan a toda la población. Se desea estimar la proporción de familias que tiene ser59
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple vicio de Internet en su casa y se seleccionó una muestra preliminar de n = 100 familias. Se encontró que 20 tenían servicio de Internet en su casa. a) Realizar la estimación de la proporción verdadera de familias que tienen Internet.
p=
n X
yi
i=1
n
=
a 20 = = 0.20 ó 20 % de familias poseen el servicio n 100
q = 1 − p = 1 − 0.20 = 0.80 u 80 % de familias no tienen servicio b) Hallar la desviación estándar estimada de la proporción muestral (Sp ). Donde: N = 3, 000, n = 100, p = 0.20 y q = 0.80 Por lo tanto: sµ ¶µ ¶ p √ (0.20)(0.80) 3, 000 − 100 = (0.9667)(0.0016) = 0.001547 = 0.03933 Sp = 3, 000 100 c) Calcular un IC de 95 % para la proporción verdadera. p ± Zα/2 Sp donde: p = 0.20, Sp = 0.03933 y Zα/2 = Z0.025 = 1.96 De ahí que: 0.20 ± (1.96)(0.03933) 0.20 ± 0.0771 0.1229 ≤ P ≤ 0.2771 Con 95 % de confianza se estima que la proporción verdadera de familias que tienen Internet en su hogar está entre 0.1229 y 0.2771, o sea, entre 12.29 y 27.71 %. d) Hallar el total verdadero de familias que tienen Internet. τˆ = N p donde: N = 3, 000 y p = 0.20 Por lo tanto: τˆ = (3000)(0.20) = 600 familias en el estado e) Calcular un IC para el total verdadero de familias con una confiabilidad de 95 %. 60
τˆ ± Zα/2 N Sp donde: τ = 600, Sp = 0.03933 , N = 3, 000 y Zα/2 = Z0.025 = 1.96 entonces: 600 ± (3, 000)(1.96)(0.03933) 600 ± (3, 000)(0.0771) 600 ± 231.3 368.7532 ≤ τ ≤ 831.2468 Con 95 % de confianza se estima que el total de familias que tienen Internet en su hogar está entre 368.7532 y 831.2468. f) Suponga que n = 100 familias es una muestra preliminar, ¿cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción verdadera con una precisión de 0.07 y una confiabilidad de 95 %? n=
N (Zα/2 )2 pq N d2 + (Zα/2 )2 pq
donde: N = 3, 000, p = 0.20, q = 0.80, d = 0.07 Por lo tanto: n=
1843.968 (3, 000)(1.96)2 (0.20)(0.80) = = 121 familias 2 2 (3000)(0.07) + (1.96) (0.20)(0.80) 15.3147
g) Suponga que n = 100 familias son una muestra preliminar, ¿cuál es el tamaño de muestra para estimar el total verdadero con una precisión de 210 familias y una confiabilidad del 95 %? n=
N 2 (Zα/2 )2 pq d2 + N (Zα/2 )2 pq
donde: N = 3, 000, p = 0.20, q = 0.80, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y d = 210 Por lo tanto: n= trales)
(3000)2 (1.96)2 (0.2)(0.8) = 121 familias (unidades mues(210)2 + (3000)(1.96)2 (0.2)(0.8)
Ejemplo 4. En el estado de Colima hay N = 20, 000 automóviles. Con la finalidad de estimar la proporción de autos estadounidenses, se seleccionó una muestra aleatoria de n = 250 autos, que arrojó 70 automóviles estadounidenses. a) Haga la estimación puntual de la proporción verdadera de automóviles estadounidenses. 61
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple
p=
n X
yi
i=1
n
=
a 70 = = 0.28 ó 28 % autos estadounidenses n 250
q = 1 − p = 1 − 0.28 = 0.72 ó 72 % otros autos b) Calcule la desviación estándar de la proporción muestral (Sp ). r N − n pq Sp = N n donde: N = 20, 000, n = 250, p = 0.28 y q = 0.72 Por lo tanto: sµ ¶µ ¶ p √ 20, 000 − 250 (0.28)(0.72) Sp = = (0.9875)(0.00081) = 0.0007963 = 0.02822 20, 000 250 c) Calcule un IC de 95 % para la proporción verdadera. p ± Zα/2 Sp donde: p = 0.28, Sp = 0.02822 y Zα/2 = Z0.025 = 1.96 Por lo tanto: 0.28 ± (1.96)(0.02822) 0.28 ± 0.0553 0.2247 ≤ P ≤ 0.3353 Con 95 % de confianza se estima que la proporción de automóviles extranjeros en el estado está entre 22.47 y 33.53 %. d) Encuentre el total verdadero de automóviles. τˆ = N p donde: N = 20, 000, p = 0.28 Por lo tanto: τˆ = (20, 000)(0.28) = 5, 600 automóviles e) Hallar por intervalo el total verdadero de automóviles estadounidenses en el estado, con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± Zα/2 N Sp donde: τ = 5, 600, Sp = 0.02822, N = 20, 000 y Zα/2 = Z0.025 = 1.96 62
Por lo tanto: 5, 600 ± (20, 000)(1.96)(0.02822) 5, 600 ± (20, 000)(0.0553) 5, 600 ± 1, 106 4, 493.8299 ≤ τ ≤ 6, 706.17 Con 95 % de confianza se estima que el total de automóviles está entre 4493.8096 y 6706.1904. f) Suponga que n = 250 automóviles es una muestra preliminar, ¿cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción verdadera con una precisión de 0.05 y una confiabilidad de 95 %? n=
N (Zα/2 )2 pq N d2 + (Zα/2 )2 pq
donde: N = 20,000, p = 0.28, q = 0.72 y d = 0.05 Por lo tanto: n= tra)
15489.3312 (20, 000)(1.96)2 (0.28)(0.72) = = 306 autos (mues2 2 (20, 000)(0.05) + (1.96) (0.28)(0.72) 50.7745
g) Suponga que n = 250 automóviles es una muestra preliminar, ¿cuál es el tamaño de muestra para estimar el total verdadero con una precisión de 1,000 automóviles y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (Zα/2 )2 pq d2 + N (Zα/2 )2 pq
donde: N = 20,000, p = 0.28, q = 0.72, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y d = 1, 000 Por lo tanto: n=
3.6.
(20, 000)2 (1.96)2 (0.28)(0.72) = 306 autos (muestra) (1000)2 + (20, 000)(1.96)2 (0.28)(0.72)
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime los parámetros siguientes: a) El IC para la proporción y el total con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción y el total de tal manera que la proporción y el total sean estimados con una precisión de 5 % de la proporción y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. Con la finalidad de saber si la Sociedad Colimense que cuenta 63
Capítulo 3. Muestreo aleatorio simple con N = 10, 000 personas, está de acuerdo con la reforma a PEMEX, se realizó una encuesta tomando a n = 150 personas al azar de la población. Los resultados arrojaron que 35 personas están de acuerdo. Ejercicio 2. La Dirección de la Facultad de Telemática desea realizar una encuesta a la Sociedad Colimense para saber si saben el perfil de egreso de Ing. en Telemática. Se lleva acabo la encuesta en el estado que cuenta con N = 10, 000 personas, la encuesta se realizó a n = 100 personas tomadas al azar de la población. Los resultados que arrojó la encuesta es que 15 personas conocen el perfil de egreso de Ing. en Telemática. Ejercicio 3. La Secretaría de Salud del estado de Colima desea realizar una encuesta sobre si la población colimense conoce los productos transgénicos. Se realizó la encuesta en el estado cuya población es de N = 567, 996 personas con una muestra al azar n = 5000 individuos. Los resultados muestran que 1, 570 personas conocen de los productos transgénicos. Ejercicio 4. Con la finalidad de saber cuantas personas de la Ciudad de Colima utilizan tarjetas bancarias se llevó a cabo una encuesta. La Ciudad de Colima cuenta con N = 6, 500 personas, la encuesta se realizó a n = 1, 000 personas tomadas al azar. Los resultados arrojaron que 925 personas cuentan con tarjeta bancaria.
64
Capítulo 4 El muestreo aleatorio estratificado En este mundo complejo, nunca es fácil elegir. Pero con datos y muestras, tú lo podrás conseguir. De una forma inteligente, que te conduzca a un buen fin. OAML
C
U ando
el costo de la investigación es excesivo y la población es heterogénea, el muestreo aleatorio simple no es en principio una buena opción. Por esta razón, éste capítulo brinda la opción del Muestreo Aleatorio Estratificado (MAE). Que trata de hacer aún más precisas las estimaciones que se pueden obtener con un diseño básico de muestreo como el aleatorio simple (Cochran, 1985 [1]).
Muestreo aleatorio estratificado (MAE) Si la población de N individuos se divide en E subpoblaciones o estratos que no se traslapan, con respecto a criterios que puedan ser importantes en el estudio y tratando en la medida posible que exista homogeneidad dentro de cada estrato. Los estratos contienen N1 , ..., E X NE unidades muestrales, de manera que N = Nh , y en cada uno h
de estos estratos o subpoblaciones se realiza un muestreo aleatorio simple con muestras respectivas de tamaño nh , así que la muestra estratifica de tamaño n es igual a la suma de todas las muestras de E X cada estrato, es decir, n = nh h=1
En general los estratos naturales o convenientemente definidos deberán ser homogéneos internamente y heterogéneos entre ellos, con respecto a la variable bajo estudio. Cada unidad muestral debe estar incluida en sólo un estrato, o sea, no debe haber traslapes entre los estratos. Las unidades que se incluyan en un estrato deben tener un valor similar en cuanto a la variable de interés, aunque al no conocer esos valores, se puede usar otra característica para formar los estratos con la esperanza de lograr que los valores sean 65
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado muy parecidos dentro de cada estrato. Los estratos formados funcionan independientemente, y se les aplica un muestreo aleatorio simple para elegir los elementos concretos que formarán parte de la muestra y obtener así las estimaciones de los parámetros que nos interesan. En ocasiones las dificultades que plantean los estratos son demasiado grandes, pues exigen un conocimiento detallado de la población, como tamaño geográfico, género, edades, niveles de estudio, etcétera (Pérez, 2000 [3]). El MAE se utiliza cuando la población es muy heterogénea y las consideraciones de costo limitan el tamaño de la muestra. Si no se toma en cuenta la variabilidad y posiblemente los costos diferenciados y utilizamos el muestreo aleatorio simple, las estimaciones podrían ser menos precisas o el costo sería demasiado elevado. Por otro lado, para la población estratificada habrá que determinarse dos tamaños de muestra: para la población y para cada estrato, n y nh , respectivamente.
4.1.
Ventajas de utilizar M AE
Algunos motivos para utilizar muestreo aleatorio estratificado en lugar de muestreo simple aleatorio son: I.
Produce estimaciones más precisas que las que se obtienen a partir del muestreo aleatorio simple.
II .
El costo por observación puede ser reducido mediante la estratificación de la población.
III .
Se puede obtener información de parámetros poblacionales para cada estrato de la población.
IV .
Se simplifica el trabajo administrativo y el de control, ya que se pude usar personal especifico para cada estrato.
V.
El tamaño de muestra será menor, si la estratificación es bien definida, en comparación con el muestreo simple aleatorio.
Notación Para esta técnica de muestreo necesitamos una notación adicional que distingue los elementos de la población, como la siguiente: N : el número total de unidades muestrales en la población. E : el número de estratos en la población. h : un estrato. Nh : el número total de unidades en el estrato h. nh : el número de unidades en la muestra en el estrato h. i : alguna unidad muestral que siempre pertenece a algún estrato h. yhi : el valor obtenido en la i-ésima unidad dentro del estrato h. Wh = Nh /N : la ponderación, peso o tamaño relativo del estrato h. fh = nh /Nh : la fracción de muestreo para el estrato h. 66
y¯h =
Sh2 =
nh X
yhi
i=1
: la media muestral del estrato h. nh nh nh X X 2 (yhi − y¯h )2 yhi − nh y¯h2 i=1
nh − 1
=
i=1
nh − 1
: la varianza en el estrato h.
Si se desea conocer la cantidad de horas promedio que cierto grupo de personas de una ciudad ve la televisión, debemos pensar que habrá niños, jóvenes y adultos, y que el tiempo de horas libres varía de un grupo a otro. De esta manera dividimos la población en tres estratos, ya que es lógico afirmar que las tendencias dentro de cada estrato son similares y son homogéneas. También podemos entender que el número total de personas de la población es la suma de los elementos de los estratos. Otro ejemplo es el siguiente: si queremos conocer el ingreso promedio de las familias en Colima, donde se supone que existen tres clases sociales bien definidas, podemos considerar las familias de la misma clase social como un estrato, ya que es homogéneo.
4.2.
¿Cómo seleccionar una muestra aleatoria estratificada?
La selección de la muestra de cada estrato es diferente, ya que cada uno tiene características y costos de medición distintos, por lo que el número de unidades también será diferente. Por ejemplo, el tamaño de la muestra del estrato debe ser mayor si es muy variable o si contiene más unidades. Por el contrario, será menor si el costo de la medición es elevado. Antes de seleccionar una muestra es preciso considerar qué tan grande debe ser la precisión de estimación y de acuerdo con esto seleccionar el tamaño de la muestra (Cochran, 1985 [1]). En resumen, de un estrato dado se toma una muestra más grande si: I. II . III .
El estrato es más grande. Los elementos del estrato tiene alta variabilidad. El muestreo es más barato en el estrato.
4.3.
La estimación de la media poblacional
Supongamos que ya hemos tomado nuestra muestra aleatoria estratificada, y entonces nos preguntamos, ¿cómo debemos usarla para estimar los principales parámetros?, es decir, contestarnos preguntas como: ¿cuál es la media de nuestra población? o, ¿cuál es el total?. Definiendo µh y τh como la media y el total para el estrato h, respetivamente. De esta manera resulta obvio que τ1 + τ2 + ... + τE = τ , donde τ es el total de la población. 67
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado Para comprender mejor las expresiones que nos dará la estimación de µ y τ debemos tomar en cuenta que y¯h es un estimador insesgado de µh y que Nh X N y¯h es un estimador insesgado del total del estrato τh = yhi , tal como en i=1
el muestreo aleatorio simple. Hasta aquí todo parece razonable, como formar el estimador de τ , τˆ , con la suma de los τˆh y de esta manera construir un estimador para la media de la población al dividir τˆ entre N , el cual hereda la propiedad de insesgamiento (Scheaffer, 1987 [2]).
El estimador de la media estratificada
y¯estr =
E X
Nh y¯h
h=1
N
Nótese que se ha usado el subíndice estr en y¯estr para señalar que la estimación se hace con el muestreo estratificado. Dado que cada estrato se maneja de manera independiente, las y¯k con h = 1, 2, . . . E también son independientes. Por lo tanto, la varianza de y¯estr es la suma de las varianzas de las medias de cada estrato. Este estimador es insesgado.
4.3.1. El estimador de la varianza de la media estratificada i 1 h yestr ) = 2 N12 Vˆ (¯ Sy¯2estr = V (¯ y1 ) + N22 Vˆ (¯ y2 ) + . . . + NE2 Vˆ (¯ yE ) N ¶µ ¶ µ ¶µ 2 ¶¸ · µ N − n1 1 S12 SE 1 2 N E − nE 2 + . . . + NE = 2 N1 N N1 n1 NE nE µ ¶µ ¶ E 2 Sh 1 X 2 N h − nh Nh = 2 N h=1 Nh nh ¶µ ¶ µ E X N 2 N h − nh Sh2 h = N2 Nh nh h=1 ¶µ ¶ µ E X Sh2 2 N h − nh = Wh Nh nh h=1 =
E X
Wh2 Sy¯2h .
h=1
El siguiente paso es la obtención del intervalo de confianza de nuestra estimación. Cuando hay pocos grados de libertad en cada estrato, el procedimienp yestr )), consiste en leer el valor de t to para calcular el error de muestreo, (t V¯ (¯ en las tablas de la t-student, como se hizo en el muestreo aleatorio simple, y cuando es mayor de 30 utilizaremos la tablas Z de la normal estándar. 68
4.3.2. El intervalo de confianza para la estimación de la media estratificada v u ¶µ 2 ¶ µ E u 1 X Sh 2 N h − nh t y¯estr ± t(n−1,α/2) Nh 2 N h=1 Nh nh y¯estr ± t(n−1,α/2)
v u E uX t W 2S 2 h
y¯h
h=1
Se ha revisado lo referente al estimador de la media estratificada; sin embargo, en ocasiones el principal interés es conocer el total de la población, por ejemplo, el gasto total semanal de las familias, o el total de personas que visitan algún puerto durante Semana Santa, o quizá la cantidad de personas que consumen un producto A.
4.3.3. El estimador del total estratificado τˆestr = N y¯estr = N1 y¯1 + N2 y¯2 + . . . + NE y¯E =
E X
Nh y¯h ,
h=1
La varianza se deduce de la varianza de la media y hereda todas sus propiedades. Para la estimación, tanto de la varianza de la media como del total, debe existir por lo menos dos observaciones en cada estrato.
4.3.4. La varianza del estimador del total estratificado V¯ (N y¯estr ) = N V (¯ yestr ) = N 2
2
E X h=1
Wh2
µ
N h − nh Nh
¶µ
¶ Sh2 , nh
(4.1)
La desviación estándar se necesita para crear un intervalo de confianza del total.
4.3.5. El intervalo de confianza v u E uX µ Nh − nh ¶µ S 2 ¶ h Nh2 N y¯estr ± t(n−1,α/2) t N n h h h=1
4.3.6. La determinación del tamaño de la muestra Ahora es tiempo de planear las unidades muestrales que se deben seleccionar aleatoriamente en toda la población, y las de los estratos, para constituir una muestra que satisfaga una precisión deseada, d. 69
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado Cuando se decide precisar el tamaño de muestra se debe tomar en cuenta varios factores, como el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, la precisión admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza de la inferencia. Además, dependiendo de las estrategias de asignación, se puede recurrir a información más específica o adicional. Anteriormente se revisaron los elementos estadísticos que se deben tomar en cuenta para obtener un tamaño de muestra preciso, sin embargo, existen otros factores que son fundamentales para tomar una decisión al respecto. Para la asignación de la muestra a cada estrato también se requiere información sobre: El número total de elementos del estrato. La variabilidad de las observaciones del estrato. El costo que representa muestrear cada estrato. De aquí se puede concluir que cuanto mayor sea el tamaño muestral en los estratos, se obtendrá información más precisa, por lo que a los estratos grandes les corresponden tamaños muestrales grandes. También es fácil inferir que si en algún estrato hay mucha variabilidad debe considerarse un tamaño de muestra mayor. Por último, es importante considerar que si el costo de obtener una observación varía entre estratos, se deberá tomar muestras pequeñas en estratos donde el costo sea alto y viceversa, con el fin de minimizar el costo total del muestreo. Así, la calidad de la información que se obtenga en las estimaciones provendrá directamente de n, ya que al incrementarse ésta, la varianza de la media decrecerá. Para lograr una precisión deseada usamos: q ¯ dM = t(n−1,α/2) V (θ)
donde
¯ : la varianza del estimador de interés. V (θ) α : el nivel de significancia.
El tamaño de muestra para estimar la media estratificada 2
N (t(n−1,α/2) )
E X
Wh Sh2
h=1
n= N d2M
+ (t(n−1,α/2)
)2
E X
Wh Sh2
h=1
Wh = Nh /N dM = el tamaño del error que se desea aceptar en la estimación de la media. 70
El tamaño de muestra para estimar el total estratificado
2
2
N (t(n−1,α/2) )
E X
Wh Sh2
h=1
n=
d2T + N (t(n−1,α/2) )2
E X
, Wh Sh2
h=1
Wh = Nh /N , dT = tamaño del error que se desea aceptar en la estimación del total.
4.3.7. La asignación de la muestra Como se vio, el muestreo estratificado involucra h estratos y por tanto también h tamaños de muestra, n1 , n2 , . . . , nh correspondientes a los estratos en que se divide la población. Asimismo, se tiene el tamaño de muestra total n, el cual es la suma de los h tamaños de muestra relacionados con los estratos. Se debe tener presente que el número de unidades de que consta el estrato influye en el tamaño de muestra. Así, se asignará un tamaño de muestra mayor a los estratos más grandes y uno menor a los estratos más chicos. A los estratos que más aportan a la variabilidad, es decir, los estratos menos homogéneos, les corresponderá un tamaño de muestra mayor. De los estratos donde el costo por unidad sea alto, se tomarán muestras más pequeñas. Por lo tanto, existen diferentes métodos de asignación de la muestra. Por su simplicidad, en la práctica se recurre con frecuencia a la denominada asignación proporcional. Este procedimiento de asignación es recomendable cuando se sabe que los estratos tienen tamaños diferentes, que la variabilidad entre estratos se desconoce, pero puede suponerse ligeramente similar y que la variabilidad en el estrato más pequeño es menor que la del estrato más grande; en cuanto al costo por unidad, se asume que es igual o que no cambia entre estratos. El criterio de asignación proporcional, suponiendo que ya se ha calculado el tamaño de la muestra n requerido, consiste en determinar una parte de n, la cual será proporcional al tamaño del estrato. Algebraicamente el criterio está representado por: ni =
Nh n = Wh n; N
i = 1, 2, . . . , h,
o especificamente como: n1 =
N1 N2 Nh n, n2 = n, . . . , nh = n. N N N
Los estratos más grandes requieren un tamaño de muestra mayor, es decir, la asignación de n entre los estratos es proporcional al tamaño del estrato. 71
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado
4.4.
La selección de estratos
En ocasiones es sencillo delimitar los elementos que corresponden a cada estrato, pero ¿siempre es así? Definitivamente no. En estadística, cada problema es una nueva experiencia, la cual no necesariamente tiene una respuesta única y un razonamiento lógico para llegar a la solución más satisfactoria. Este trabajo puede resultar un poco complicado y tornarse desesperante en algunas ocasiones, por lo que a continuación se dan algunas ideas útiles. ¿Qué hago cuando. . . ? ¿Cómo delimitar los estratos? ¿Se debe estratificar después de seleccionar la muestra? En ocasiones es una tarea sencilla debido a que los estratos están implícitos y se conoce el comportamiento con base en registros antiguos, nuestra experiencia o simplemente en la naturaleza de los resultados que deseamos obtener. ¿Con base en qué se delimitan los estratos? Una primera aproximación es el caso cuantitativo. Habrá que construirlos dado un interés particular, porque muchas veces hasta el momento de diseñar la investigación se conocen los rangos de las estimaciones. Pero también podría tener el rango de salida de los datos y algunas frecuencias en categorías generales de la variable de interés o de alguna variable altamente correlacionada. En este caso podemos usar el sencillo "método acumulativo de la raíz cuadrada de la frecuencia". Los pasos del método acumulativo de la raíz cuadrada de la frecuencia: I.
Elegimos el número de estratos que se desea obtener.
II .
Sacamos por rangos la frecuencia de la variable de interés o en su defecto a una altamente correlacionada con ella y con estos resultados formamos una columna de datos.
III .
Se forman dos columnas más, una constituida por la raíz de las frecuencias y otra por su raíz acumulada.
IV .
Se divide la frecuencia acumulada final entre el número de estratos. Este resultado es el ancho de la clase (AC).
V.
Se utiliza la siguiente ecuación, AChi = h∗ AC, h = 1, 2, ...n y donde h representa el estrato h.
VI .
Se puede delimitar con las marcas de clase por estrato, eligiendo la raíz de la frecuencia acumulada más cercana a la marca de clase y así cada estrato estará formado por todas las clases de la variable original que correspondan a la marca de clase. 72
4.4.1. Ejemplos Ejemplo 1. En Tecomán, Colima, hay 780 parcelas sembradas con limón. Se desea estimar el promedio de plantas por hectárea, que en determinada etapa del cultivo se infectaron de alguna enfermedad. De acuerdo con las condiciones ecológicas en la región se siembran tres variedades de limón. Considerando que el desarrollo de la enfermedad puede ser distinto de una variedad a otra, la población de parcelas se estratificó en E = 3 estratos. Los tamaños de los estratos son: N1 = 270, N2 = 180 y N3 = 330; N = N1 + N2 + N3 = 780. Suponga que para realizar las estimaciones se tomó una muestra de n = 63 parcelas. Los datos se presentan en el cuadro 4.1. Cuadro 4.1: Estrato 1 (n1 = 21) 48 53 64 62 45 47 59 65 54 45 48 46 50 60 63 55 57 46 64 61 54
Plantas por hectárea infectadas Estrato 2 (n2 = 21) Estrato 3 (n3 = 21) 20 31 45 74 68 77 36 17 26 70 72 73 15 30 18 78 76 69 40 25 35 69 80 74 24 29 30 80 78 71 19 42 27 72 71 79 33 51 48 76 75 68
a) Realice la estimación puntual del promedio de plantas infectadas por hectárea. El estimador de la media estratificada en este caso es, y¯estr =
N1 y¯1 + N2 y¯2 + N3 y¯3 N
donde: N1 = 270, N2 = 180, N3 = 330, N = 780 48 + 62 + 59 + . . . + 46 + 64 = 54.5714 21 20 + 36 + 15 + . . . + 27 + 48 y¯2 = = 30.5238 21 74 + 70 + 78 + . . . + 79 + 68 = 73.8095 y¯3 = 21 y¯1 =
Por lo tanto: (270)(54.57) + (180)(30.52) + (330)(73.80) . 780 44, 581.5 = = 57.1612 plantas infectadas por parcela 780
y¯estr = y¯estr
b) Realice la estimación puntual del total de plantas infectadas. El estimador del total estratificado es: 73
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado τˆestr = N yˆestr donde: N = 780 y yˆestr = 57.1612 Por lo tanto: τˆestr = (780)(57.1612) = 44, 585.736 plantas infectadas c) Calcule la varianza del promedio estratificado. El estimador de la varianza del promedio poblacional es:
¶2 µ ¶ µ 2 ¶ µ ¶2 µ ¶µ 2¶ N 1 − n1 N 2 − n2 N1 S1 N2 S2 = + N ¶ µ N1 N2 n2 µ ¶n µ1 2 ¶ N 2 N3 N 3 − n3 S3 + N N3 n3 donde: N1 = 270, N2 = 180, N3 = 330, N = 780, n1 = n2 = n2 = n3 = 21, Sy¯2estr
µ
482 + 622 + 592 + . . . + 462 + 542 − (21)(54.57)2 = 50.3571 21 − 1 202 + 362 + 152 + . . . + 272 + 482 − (21)(30.52)2 = 107.2619 S22 = 21 − 1 742 + 702 + 782 + . . . + 792 + 682 − (21)(73.80)2 S32 = = 15.5619 21 − 1
S12 =
Por lo tanto: ¶2 µ ¶µ ¶ µ ¶2 µ ¶µ ¶ µ 270 − 21 51.7709 180 180 − 21 107.2619 270 2 + Sy¯estr = 780 180 21 ¶2 µ 270 ¶ µ 21 ¶ 780 µ 330 − 21 15.5619 330 = 0.6348 + 21 p 2780 √ 330 Sy¯estr = Sy¯estr = 0.6348 = 0.7967
d) Estime por intervalo la media estratificada con una confiabilidad de 95 %. y¯estr ± Zα/2 Sy¯estr
donde:N = 780, y¯estr = 57.4579 y Zα/2 = Z0.025 = 1.96 Por lo tanto: 57.1558 ± (1.96)(0.7967) 57.4579 ± 1.5551 55.5943 ≤ µestr ≤ 58.7173 El promedio de plantas infectadas por hectárea en la población está entre 55.5943 y 58.7173. 74
e) Halle por intervalo el total de plantas infectadas en la población con una confiabilidad del 95 % τˆestr ± N Zα/2 Sy¯estr donde: τˆestr = 44, 581.524, N = 780, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Sy¯estr = 0.7934 Por lo tanto: 44, 817.1929 ± (780)(1.96)(0.7934) 44, 817.1929 ± (780)(1.5550) 44, 817.1929 ± 1, 212.978 43, 604.2409 ≤ τestr ≤ 46, 030.0449 El total de plantas infectadas por hectárea en la población está entre 43,604.2429 y 46,030.0449. f) Suponga que n = 63 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media con una precisión de ±3 % de la media estratificada y una confiabilidad de 95 %. Además, asigne n a cada estrato en forma proporcional al tamaño del estrato. 2
N (Zα/2 )
E X
Wh Sh2
h=1
n= N d2
+ (Zα/2
)2
E X
Wh Sh2
h=1
Estratos 1 2 3 Total
Ni Sh2 Wh Sh2 270 50.3571 17.4313 180 107.2619 24.7527 330 15.5619 6.5839 780 48.7679
donde: Z α = Z0.025 = 1.96, d = (.03)(57.1611) = 1.7148 2 E X N1 2 N2 2 N3 2 Wh Sh2 = S + S + S = 48.7679 N 1 N 2 N 3 h=1
Por lo tanto:
(780)(1.96)2 (48.7679) n= = 59 parcelas (muestra) (780)(1.7146)2 + (1.96)2 (48.7679) Asignación de la muestra en forma proporcional. N1 n= N N2 n= n2 = N n1 =
270 (59) = 20 780 180 (59) = 14 780 75
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado n3 =
330 N3 n= (59) = 25 N 780
g) Suponga que n =63 es una muestra preeliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar el total con una precisión de ±3 % del total estratificado y con una confiabilidad de 95 %. Además, asigne n a cada estrato en forma proporcional al tamaño. 2
2
N (Zα/2 ) n= d2 + (Zα/2
E X
Wh Sh2
h=1 E X 2 W )
2 h Sh
h=1
Aquí d = (0.03)(44585.628) = 1337.568 y
E X
Wh Sh2 = 48.7679
h=1
Por lo tanto: n=
(780)2 (1.96)2 (48.7679) = 59 (1337.568)2 + (780)(1.96)2 (48.7679)
De ahí que el número estimado de unidades muestrales (parcelas) que deben constituir la muestra con una precisión de ±1, 337.568 plantas y 0.05 de probabilidad de no incluir en el intervalo de estimación al total verdadero, es de 59 parcelas. Por tanto, la asignación proporcional es la misma. Es decir, la muestra a extraer de cada estrato será de 20 en el estrato 1, 14 en el estrato 2 y de 25 en el estrato 3.
Ejemplo 2. La Facultad de Telemática de la Universidad de Colima desea estimar el promedio y el total de faltas justificadas que tuvieron los alumnos en un año determinado. Al suponer que podrían encontrarse diferencias según el grado de estudios: primero, segundo, tercero y cuarto año, se decidió usar el muestreo estratificado, de acuerdo con el grado de estudios. De esta manera, la población de N = 400 estudiantes que alberga la Facultad, quedó estratificada de la siguiente manera: Estrato 1 (primer año): N1 = 120 alumnos, Estrato 2 (segundo año): N2 = 100 alumnos, Estrato 3 (tercer año): N3 = 90 alumnos, Estrato 4 (cuarto año): N4 = 90 alumnos Se seleccionó una muestra de n = 40 alumnos: 12 para el estrato 1, 10 para el estrato 2, 9 para el estrato 3 y 9 para el estrato 4.(A.1) a) Estime la media estratificada. y¯estr =
N1 y¯1 + N2 y¯2 + N3 y¯3 + N4 y¯4 N
donde: N1 = 120, N2 = 100, N3 = 90, N4 = 90, N = 400, 7 + 6 + 7 + ... + 5 + 6 = 6.3333, y¯1 = 12 4 + 5 + 4 + ... + 6 + 6 = 5, y¯2 = 10 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 4 = 3.5556, y¯3 = 9 76
Cuadro 4.2: Faltas justificadas Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 7 6 4 4 3 4 6 7 5 6 3 4 7 7 4 4 3 3 8 8 5 6 4 4 5 5 6 6 4 4 6
y¯4 =
por año. Estrato 4 3 3 2 2 3 5 4 2 5
3 + 2 + 3 + ... + 5 + 2 = 3.2222. 9
Por lo tanto: (120)(6.33) + (100)(5) + (90)(3.55) + (90)(3.22) 400 1870.00 = 4.675 faltas justificadas en promedio de todos = 400
y¯estr = y¯estr los grados.
b) Realice la estimación de la varianza y la desviación estándar de la media estratificada. Sy¯2estr
¶2 µ ¶ µ 2 ¶ µ ¶2 µ ¶µ 2¶ N1 N 1 − n1 N 2 − n2 S1 N2 S2 = + N ¶ µ N1 N ¶ µ N2 µ ¶n µ1 2 ¶ µ ¶n µ2 2 ¶ 2 2 N3 N 3 − n3 N 4 − n4 S3 N4 S4 + + N N3 n3 N N4 n4 µ
donde: N1 = 120, N2 = 100, N3 = 90, N4 = 90, N = 400, n1 = 12, n2 = 10, n3 = 9, n4 = 9, 72 + 62 + 72 + . . . + 52 + 62 − (12)(6,3333)2 S12 = = 1.5152, 12 − 1 2 2 2 2 2 2 4 + 5 + 4 + . . . + 6 + 6 − (10)(5) = 0.8889, S22 = 10 − 1 2 2 2 2 2 3 + 3 + 3 + . . . + 3 + 4 − (9)(3.5556)2 2 S3 = = 0.2728, 9−1 2 2 2 2 2 2 3 + 2 + 3 + . . . + 5 + 2 − (9)(3.2222) S42 = = 1.4444. 9−1 Por lo tanto:
Sy2e
¶2 µ ¶µ ¶ µ ¶2 µ ¶µ ¶ 120 120 − 12 1.5152 100 100 − 10 0.8889 = + 400 120 12 10¶ ¶2 µ ¶µ ¶ µ 400 ¶2 µ 100 ¶ µ µ 90 − 9 0.2728 90 90 − 9 1.4444 90 + = 0.02395 + 400 90 9 400 90 9 √ p Syestr = Sy2estr = 0.02395 = 0.1547 µ
c) Calcule el total estratificado.
77
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado
yˆestr = N y¯estr donde:N = 400 y y¯estr = 4.675 Por lo tanto: τˆestr = (400)(4.675) = 1870 faltas justificadas d) Halle el intervalo para la media estratificada con una confiabilidad de 95 %. y¯estr ± Zα/2 Sy¯estr donde: N = 400, y¯estr = 4.675 Zα/2 = Z0.025 = 1.96 Por lo tanto: 4.675 ± (1.96)(0.1547) 4.675 ± 0.30330025 4.3717 ≤ µestr ≤ 4.9783 Esto significa que el promedio de fallas justificadas está entre 4.3717 y 4.9783. e) Cuantifique por intervalo el total estratificado con una confiabilidad de 95 %. τˆestr ± N Zα/2 Sy¯estr donde: τˆestr = 1870, N = 780, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, Sy¯estr = 0.1547 Por lo tanto: 1, 870 ± (400)(1.96)(0.1547) 1, 870 ≤ (400)(0.3033) 1, 870 ± 121.3201 1, 870 ± 121.3201 1, 748.6821 ≤ τestr ≤ 1, 991.3179 Esto quiere decir que total de plantas infectadas por hectárea está entre 1,748.6821 y 1,991.3179. f) Suponga que n = 40 es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la media con una precisión de 5 % de la media estratificada y una confiabilidad de 95 %? Además, distribuya n entre los estratos en forma proporcional al tamaño del estrato. 78
N (Zα/2 )2 n=
E X
Wh Sh2
h=1
E ¢2 X ¡ Wh Sh2 N d2 + Zα/2 h=1
Estratos Ni Sh2 Wh Sh2 1 120 1.5152 0.4545 2 100 0.8889 0.2222 3 90 0.2778 0.0625 4 90 1.4444 0.3250 Total 400 1.0643 donde: Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = (0.05)(4.675) = 0.23375,
E X
Wh Sh2 =
h=1
Por lo tanto: n=
N1 2 N2 2 N3 2 S + S + S N 1 N 2 N 3
(400)(1.96)2 (1.0643) = 63.05353 alumnos (muestra) (400)(0.2337)2 + (1.96)2 (1.0643)
Asignación de la muestra en forma proporcional. N1 n= N N2 n2 = n= N N3 n3 = n= N N4 n= n4 = N
n1 =
120 (64) = 18.9106 ≈ 19 400 100 (64) = 15.7588 ≈ 16 400 90 (64) = 14.1829526 ≈ 14 400 90 (64) = 14.1829526 ≈ 15 400
g) Suponga que n = 40 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar el total con una precisión de 5 % del total estratificado y una confiabilidad de 95 %. Además, asigne n a cada estrato en forma proporcional al tamaño. 2
2
N (Zα/2 ) n=
d2 + N (Zα/2
E X
Wh Sh2
h=1 E X 2 W ) h=1 E X
Aquí d = (0.05)(4.675)(400) = 93.5 y
2 h Sh
Wh Sh2 =1.0643
h=1
Por lo tanto: n = muestrales)
(400)2 (1.96)2 (1.0643) = 63.0353 alumnos (unidades (93.5)2 + (400)(1.96)2 (1.0643)) 79
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado
Nótese que la asignación proporcional es la misma, es decir, la muestra a extraer de cada estrato será de 19 en el estrato 1, 16 en el estrato 2 , 14 en el estrato 3 y 15 en el estrato 4. Ejemplo 3. El gobierno del estado de Chiapas desea estimar el ingreso promedio mensual (miles de pesos) de las familias chiapanecas. Supóngase que el total de familias es de 6,000. Por otro lado, el estado tiene 3 zonas geográficas bien definidas (costa, centro y altos) y entre ellos existen diferencias marcadas respecto al ingreso; por ello, para realizar el estudio se estratificó al estado en k = 3 estratos: Estrato 1 (Zona costa): N = 2, 000, Estrato 2 (Zona centro): N = 1, 500 y Estrato 3 (Zona altos): N = 2, 500 Para las estimaciones se tomó una muestra preliminar de n = 40 familias: 15 para el estrato 1, 11 para el estrato 2 y 14 para el estrato 3 (Cuadro 4.3). Cuadro 4.3: El ingreso promedio mensual (miles de pesos) de las familias chiapanecas. Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 10 12 8 8 4 3 11 12 8 3 3 12 13 8 2 4 10 14 7 4 4 9 11 6 3 8 9 5 13 9 4 14 8 3 9 9 5 8 9 2
a) Realice la estimación puntual de la muestra estratificada. y¯estr =
N1 y¯1 + N2 y¯2 + N3 y¯3 N
donde: N1 = 2, 000, N2 = 1, 500, N3 = 2, 500, N = 6, 000 10 + 11 + 12 + . . . + 14 + 11 = 11.0667 15 8 + 8 + 8 + ... + 9 + 8 = 8.0909 y¯2 = 11 4 + 3 + 2 + ... + 4 + 4 y¯3 = = 3.5 14
y¯1 =
Por lo tanto: y¯estr =
(2000)(11.0667) + (1500)(8.0909) + (2500(3.50)) 6000 80
y¯estr =
43019.6970 = 7.1699 miles de pesos mensuales (promedio) 6000
b) Realice la estimación puntual del total estratificado. El estimador del total estratificado es: τˆestr = N y¯estr donde: N = 6, 000 y y¯estr = 7.1699 Por lo tanto: τˆestr = (6, 000)(7.1699) = 43, 019.4 (total de ingresos mensuales) c) Calcule la varianza y la desviación estándar del promedio estratificado. µ ¶µ ¶µ 2¶ µ ¶µ ¶µ 2¶ N1 N 1 − n1 N 2 − n2 S1 N2 S2 2 Sy¯estr = + N ¶ µ N1 N2 n1 ¶n µ1 2 ¶ N µ S3 N 3 − n3 N3 + N N3 n3
donde: N1 = 2, 000, N2 = 1, 500, N3 = 2, 500, N = 6, 000, n1 = 15, n2 = 11, n3 = 14 102 + 112 + 122 + . . . + 142 + 112 − (15)(11.0667)2 = 4.0667 15 − 1 82 + 92 + 82 + . . . + 92 + 82 − (11)(8.0909)2 = 0.8909 S22 = 11 − 1 42 + 32 + 22 + . . . + 42 + 42 − (14)(3.50)2 = 0.8846 S32 = 14 − 1
S12 =
Por lo tanto: µ ¶2 µ ¶µ ¶ µ ¶2 µ ¶µ ¶ 2000 2000 − 15 4.06 1500 1500 − 11 0.8909 Sy¯estr = + 6000 1500 11 ¶2 µ 2000 ¶ µ15 ¶ 6000 µ 2500 − 14 0.8846 2500 = 0.04583 + 2500 14 p 26000 √ Sy¯estr = Sy¯estr = 0.04583 = 0.2141
d) Realice la estimación por intervalo de la media estratificada con una confiabilidad de 95 %. y¯estr ± Z α2 Sy¯estr donde: N = 6, 000, y¯estr = 7.1699, Z α2 = Z0.025 = 1.96 Por lo tanto: 7.1699 ± (1.96)(0.2140) 7.1699 ± 0.4196 6.750375 ≤ µestr ≤ 7.589541 81
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado
Esto significa que el ingreso promedio de las familias en la población está entre 6.750375 y 7.589541. e) Realice la estimación por intervalo del total estratificado con una confiabilidad de 95 %. τˆestr ± N Z α2 Sy¯estr donde: τˆestr = 43019.6970, N = 6, 000, Z α2 = Z0.025 = 1.96, Sy¯estr = 0.2141 Por lo tanto: 43, 019.6970 ± (6000)(1.96)(0.2141) 43, 019.6970 ± (6000)(0.4195) 43, 019.6970 ± 2, 517.5985 40, 502.1446 ≤ τestr ≤ 45, 537.2493 De ahí que el total de ingresos mensuales en las familias chiapanecas esté entre 40,502.1496 y 45,537.2493. f) Supóngase que n = 40 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media con una precisión de 5 % de la media estratificada y una confiabilidad de 95 %. Además, asigne n a cada estrato en forma proporcional al tamaño del estrato. 2
N (Z ) α 2
E X
Wh Sh2
h=1
n= N d2
+ (Z
α 2
)2
E X
Wh Sh2
h=1
Estratos 1 2 3 Total
Ni Sh2 Wh Sh2 2,000 4.066 1.3556 1,500 0.8909 0.2227 2,500 0.8846 0.3686 6,000 1.9469
donde: Z α2 = Z0.025 = 1.96, d = (.05)(7.1699) = 0.3585 E X h=1
Wh Sh2 =
N1 2 N2 2 N3 2 S + S + S = 1.9469 N 1 N 2 N 3
Por lo tanto: n=
(6000)(1.96)2 (1.9469) = 57.6349 familia (muestra) (6000)(0.3585)2 + (1.96)2 (1.9469)
Asignación de la muestra en forma proporcional 82
N1 n= N N2 n2 = n= N N3 n= n3 = N
n1 =
2000 (57.6349) = 19.2116 6000 1500 (57.6349) = 14.4087 6000 2500 (57.6349) = 24.0145 6000
g) Suponga que n = 40 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra definitivo para estimar el total con una precisión de 5 % del total estratificado y una confiabilidad de 95 %. Además, asigne n a cada estrato en forma proporcional al tamaño. 2
N Z α2 n=
K X
W i Si
i=1 K X
d2 + N Z α2
Wi Si2
i=1
donde: d = (0.05)(43019.69670) = 2150.9849 y
E X
Wh Sh2 =1.4969
h=1
Por lo tanto:
(6,000)2 (1.96)2 (1.9469) = 57.6349 familias (2, 150.9849)2 + (6,000)(1.96)2 (1.9469) (unidades muestrales) n=
Dado que el tamaño de muestra es el mismo, entonces se tiene la misma asignación en cada estrato, es decir, la muestra a extraer de cada estrato será de 19 en el estrato 1, 15 en el estrato 2 y 24 en el estrato 3. Ejemplo 4. En el estado de Colima hay N = 3,200 familias. Se desea estimar el número de horas promedio por día que cada familia ve televisión. Sin embargo, se sabe que en el estado existen tres estratos sociales bien definidos: clase baja, media y alta. Considerando que el número de horas de ver televisión puede ser distinto de estrato a estrato, la población se dividió en k = 3 estratos, los cuales son: Estrato 1 (Clase baja): N = 1000 familias, Estrato 2 (Clase media): N = 1600 familias y Estrato 3 (Clase alta): N = 600 familias La distribución de la muestra de tamaño n = 30 familias fue de 10 para el estrato 1, 15 para el estrato 2 y 5 para el estrato 3 (cuadro 4.4). a) Realice la estimación puntual de la muestra estratificada. y¯estr =
N1 y¯1 + N2 y¯2 + N3 y¯3 N
donde: N1 = 1, 000, N2 = 1, 600, N3 = 600, N = 3, 200, 7 + 6 + 6 + . . . + 9 + 10 y¯1 = = 7.60, 10 5 + 6 + 7 + ... + 6 + 6 = 6, y¯2 = 15 83
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado Cuadro 4.4: El número de Estrato 1(n1 = 10) 7 8 6 7 6 8 7 9 8 10
y¯3 =
horas diarias que cada familia ve televisión Estrato 2(n2 = 15) Estrato 3(n3 = 5) 5 5 4 4 6 5 7 3 7 6 8 4 5 6 6 5 7 7 6 4
4 + 3 + 4 + ... + 5 + 4 =4 5
Por lo tanto:
(1000)(7.60) + (1600)(6) + (600)(4.00) 3200 19600 = 6.125 horas diarias en promedio = 3200
y¯estr = y¯estr
b) Calcule el total estratificado. τˆestr = N y¯estr donde: N = 3200 y y¯estr = 6.125 Por lo tanto: τˆestr = (3200)(6.125) = 19, 600 horas totales por día
c) Calcule la varianza y la desviación estándar del promedio estratificado. µ ¶2 µ ¶ µ 2 ¶ µ ¶2 µ ¶µ 2¶ N N − n N − n S N S2 1 1 1 2 2 2 1 Sy¯2estr = + N ¶ µ N1 N2 n2 ¶n µ1 2 ¶ N µ 2 S3 N 3 − n3 N3 + N N3 n3 donde: N1 = 1, 000, N2 = 1, 600, N3 = 600, N = 3, 200 n1 = 10, n2 = 15, n3 = 5, 72 + 62 + 62 + . . . + 92 + 102 − (10) (7.60)2 2 S1 = = 1.60 10 − 1 2 52 + 62 + 72 + . . . + 62 + 62 − (15) (6) S22 = = 1.1421 15 − 1 42 + 32 + 42 + 52 + 42 − (5) (4)2 S32 = = 0.50 5−1 Por lo tanto:
84
Sy2estr
Syestr
¶2 µ ¶µ ¶ µ ¶2 µ ¶µ ¶ 1000 1000 − 10 1.60 1600 1500 − 15 1.1421 = + 3200 3200 1600 15 ¶2 µ 1000 ¶ µ 10 ¶ µ 600 − 5 0.50 600 = 0.0378 + 3200 600 5 √ p = Syestr = 0.0378 = 0.1945 µ
d) Halle por intervalo de la media estratificada con una confiabilidad de 95 %. y¯estr ± Zα/2 Sy¯estr donde: N = 3, 200, y¯estr = 6.125 y Zα/2 = Z0.2025 = 1.96 Por lo tanto: 6.125 ± (1.96)(0.1945) 6.125 ± 0.38122 5.72723 ≤ µestr ≤ 6.522764 Esto significa que el promedio de horas por día que las familias de Colima ven televisión está entre 5.72723 y 6.522764. e) Estime el intervalo del total estratificado con una confiabilidad de 95 %. τˆestr ± N Zα/2 Sy¯estr donde: τˆestr = 19, 600, N = 3, 200, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Syestr = 0.1945 Por lo tanto: 19,600±(3,200)(1.96)(0.1945) 19,600±(3,200)(0.3978) 19,600±1,272.96 18,327.1521≤ τestr ≤20,872.8479 Entonces, el total de horas por día que las familias de Colima ven televisión está entre 18,327.1521 y 20,872.8479. f) Suponga que n = 30 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media con una precisión de 5 % de la media estratificada y una confiabilidad de 95 %. Además, asigne n a cada estrato en forma proporcional al tamaño de cada estrato. 2
N (Zα/2 )
E X
Wh Sh2
h=1
n= N d2
+ (Zα/2
)2
E X
Wh Sh2
h=1
donde:
85
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado Estratos 1 2 3 Total
Ni Sh2 Wh Sh2 1,000 1.60 0.50 1,600 1.1429 0.5714 600 0.50 0.0938 3,200 1.1652
Zα/2 = Z0.0025 = 1.96, d = (.05)(6.125) = 0.30625 y
E X
Wh Sh2 =
h=1
1.1652
N1 2 N2 2 N3 2 S + S + S = N 1 N 2 N 3
Por lo tanto: n= trales)
(3200)(1.96)2 (1.1945) = 52 familias (unidades mues(3200)(0.30125)2 + (1.96)2 (1.1945)
Asignación de la muestra en forma proporcional N1 n= N N2 n= n2 = N N3 n3 = n= N n1 =
1000 (52) = 16 3200 1500 (52) = 26 3200 600 (52) = 10 3200
g) Suponga que n = 30 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra definitivo para estimar el total con una precisión de 5 % del total estratificado y con una confiabilidad de 95 %. Además, realizar la asignación de n a cada estrato en forma proporcional al tamaño. 2
n=
N Zα 2 d2
E X
Wh Sh2
h=1
+ NZα 2
E X
Wh Sh2
h=1
donde: d = (0.05)(419, 600) = 980 y
E X
Wh Sh2 =1.1652
h=1
por lo tanto: n=
(3200)2 (1.96)2 (1.1985) = 52 (980)2 + (3200)(1.96)2 (1.1985)
El número estimado de unidades muestrales (familias) de la muestra para tener una precisión de ± 980 horas y 0.05 de probabilidad de no incluir en el intervalo de estimación al total verdadero es de 52 familias. La asignación proporcional es la misma, es decir, la muestra de cada estrato será 16 en el estrato 1, 26 en el estrato 2 y 10 en el estrato 3. 86
4.5.
Ejercicios
En los ejercicios siguientes estime: a) El IC para la media y el total con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la media y el total de tal manera que sean estimados con una precisión de 5 % de la media y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %?
Ejercicio 1. La QFB Patricia Edgwigis Valladares Celis, con el objetivo de estimar el número de coliformes fecales, como bioindicadores de contaminación en el río Colima, cuya longitud es de N = 15, 000 metros, de los cuales N1 = 4, 000 metros pertenecen a la zona preurbana, N2 = 8, 000 corresponden a la zona urbana, y N3 = 3, 000 a la zona post-urbana. Cabe mencionar que este estudio se realizó en las 4 estaciones del año 2004 pero aquí presentamos solamente los resultados de primavera . Para el estudio se tomó una muestra de n = 15 metros distribuidos de la siguiente manera n1 = 4 metros para la zona Pre-urbana, n2 = 8 metros para la zona urbana, y n3 = 3 metros para la zona post-urbana. Los resultados se presentan en el Cuadro 4.5. Cuadro 4.5: Resultado del número más probable de coliformes fecales por 100 ml. de agua. Preurbana Urbana Posturbana 350 920 1,600 240 920 2,400 1,600 920 1,600 2,400 1,600 2,400 2,400 1,600 2,400
Ejercicio 2. La Secretaría de educación (SEP) desea estimar el promedio de calificaciones de los egresados de la Normal Superior ”Gregorio Torres Quintero” del estado de Colima, cabe mencionar que egresan 3 carreras: Lic. en educación preescolar, Lic. en educación primaria y Lic. en educación secundaria. La población de egresados para el 2007 es de N1 = 30 de educación preescolar, N2 = 46 de educación primaria y N3 = 80 de educación secundaria. Para realizar el estudio se realizó una muestra de n = 16 estudiantes, distribuidos de la siguiente forma: n1 = 3 (preescolar), n2 = 5 (primaria) n3 = 8 (secundaria). Los datos se presentan en el Cuadro 4.6. Ejemplo 3. Un investigador de la Facultad de Medicina de la U de C desea estimar el daño promedio de tres cepas causantes de la enfermedad de chagas. Por lo tanto, supóngase que 300 ratones tienen la cepa 1, 350 la cepa 2 87
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado Cuadro 4.6: Calificaciones de los egresados de la Normal Superior Preescolar Primaria Secundaria 9.5 9.3 8.7 8.7 9.7 8.0 9.9 8.8 9.0 9.0 9.2 8.5 7.8 8.3 9.9 10.0
y 350 la cepa 3. Además, como se espera que el daño varie dependiendo de la cepa, se toma una muestra estratificada de tamaño n = 50 de la población. Ver Cuadro 4.7.
Cuadro 4.7: Daño promedio a corazoón de las tres sepas en porcentaje. Cepa 1 Cepa 2 Cepa 1 (n1 = 15) (n2 = 17) (n3 = 18) 25 26 28 28 29 29 23 24 27 26 31 32 22 23 29 28 31 33 22 22 28 29 32 31 23 23 27 28 33 33 25 24 28 27 32 33 26 26 29 29 32 32 25 28 29 32 33 28 33 31
Ejemplo 4. Un agrónomo desea estimar el promedio de taninos que tienen los nances en el estado de Colima. Dado que existen 3 variedades diseña un esquema de muestreo estratificado. Supóngase que la población tiene: de la variedad 1, 500 plantas; de la 2, 10,000; y de la variedad 3, 7,000 plantas. Así, toma una muestra de n = 44 distribuida de la siguiente manera: n1 = 10 (variedad 1), n2 = 20 (variedad 2) y n3 = 14 (variedad 3). Ver Cuadro (4.8).
4.6.
La estimación de la proporción poblacional
Suponga que surge la necesidad de estimar la proporción de unidades muestrales que poseen un cierto atributo, en otras palabras, nuestro interés radicará en saber cómo se manifiesta la característica C en cada uno de los estratos. En tal caso nos importa saber la proporción (ph ) de unidades muestrales que tienen la característica C en el estrato h. Defínase 88
Cuadro 4.8: Porcentaje de tanino por kg. de nance. Variedad 1 Variedad 2 Variedad 1 (n1 = 10) (n2 = 20) (n3 = 14) 04 06 06 04 07 05 05 05 05 07 04 07 06 05 07 03 06 05 04 06 05 05 06 06 05 05 07 07 04 06 05 07 03 06 05 06 02 05 05 05 05 05 07 04
yh,i =
½
1 éxito 0 fracaso
que representa al i-ésimo componente del h-ésimo estrato. El éxito consiste en tener la característica C. Esta variable se comporta como una variable aleatoria del tipo binomial, por lo que el estimador de la proporción de la característica de interés para el estrato h es: nh X yh,i ph = nh i=1 Y su varianza correspondiente es, ¶ µ Nh − nh ph (1 − ph ) 2 S ph = Nh nh
Obsérvese que ph es un estimador insesgado de Ph , la proporción de unidades muestrales que tienen la característica C (Scheaffer, 1987 [2]). De la misma manera, N ∗ ph también es un estimador insesgado del total en el estrato h que E X cuentan con la característica C. De tal manera Nh ph es un buen estimador h=1
del total poblacional que cuenta con la característica C (Pérez, 2000 [3]).
4.6.1. El estimador de la proporción y total poblacional 1 (N1 p1 + ... + NE pE ) N E 1 X Nh p h = N h=1
pst =
τˆst = (N1 p1 + ... + NE pE ) E X = Nh ph = N pst h=1
89
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado El estimador de la varianza de la proporción y total poblacional 1 (N 2 S 2 + ... + NE2 Sp2E ) N 2 1 p1 E 1 X 2 2 = N S (proporción) N 2 h=1 h ph = (N12 Sp21 + ... + NE2 Sp2E ) E X = Nh2 Sp2h (total.)
Sp2h =
Sτˆ2st
h=1
4.6.2. Los intervalos de confianza para la proporción y total poblacional De forma tradicional, construimos un intervalo que tiene la siguiente ecuación: v u µ ¶ ¶µ E u 1 X N h − nh p h qh 2 t N pˆst ± t(n−1,α/2) N 2 h=1 h N nh v u ¶µ µ ¶ E u 1 X p q N − n h h h h 2 τˆ ± N t(n−1,α/2) t 2 N N h=1 h N nh
4.6.3. El tamaño de muestra para estimar la proporción estratificada En cuanto a la determinación del tamaño de muestra, se procede de manera análoga a la determinación vista en el apartado anterior. Se utiliza una modificación de la ecuación (4.3.6) sustituyendo la estimación de la varianza σh2 por la varianza de la proporción estimada, que es ph qh . El tamaño de muestra para estimar la proporción estratificada
n=
E ¢2 X ¡ Wh p h qh N t(n−1,α/2) h=1
N d2M
+ (t(n−1,α/2)
)2
E X
Wh p h qh
i=1
donde, Nh Wh = N dM = el tamaño del error que se desea aceptar en la estimación de la media El tamaño de muestra para estimar el total estratificado 90
2
2
N (t(n−1,α/2) )
E X
Wh p h qh
h=1
n= d2T
+ N (t(n−1,α/2)
)2
E X
Wh p h qh
i=1
Nh Wh = N dT = el tamaño del error que se desea aceptar en la estimación del total
4.6.4. Asignación de la muestra El criterio de asignación proporcional, suponiendo que ya se ha calculado el tamaño de la muestra n requerido, considera como tamaño de muestra de cada estrato una parte de n, la cual será proporcional al tamaño del estrato. Esto es, algebraicamente el criterio está representado por: ni =
Nh n = Wh n; N
i = 1, 2, . . . , h,
o especificamente como: n1 =
N1 N2 Nh n, n2 = n, . . . , nh = n. N N N
Nótese que a los estratos más grandes les corresponderá un tamaño de muestra mayor, esto es, la asignación de n entre los estratos es proporcional al tamaño de cada estrato.
4.6.5. Ejemplos Ejemplo 1. En el estado de Colima hay N = 5, 000 personas mayores de 60 años, de las cuales N1 = 2, 600 son mujeres y N2 = 2, 400 son hombres. Con la finalidad de estimar el porcentaje y el total de personas que padecen diabetes se tomó una muestra aleatoria de n = 220. De esta muestra n1 = 120 son mujeres y n2 = 100 son hombres, es decir, se estratificó a la población porque se sospecha que el padecimiento de la enfermedad es influido por el género. De las mujeres, 40 resultaron positivas en la prueba de la glucosa (padecen diabetes) y de los hombres, 50. a) Estime la proporción estratificada. pst =
1 (N1 p1 + N2 p2 ) N
donde: N = 5, 000, N1 = 2, 600, N2 = 2, 400, n1 X
p1 =
i=1
n1
=
40 = 0.327731, 120
91
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado
p2 =
n2 X i=1
n2
=
50 = 0.5 100
Por lo tanto: 1 (2600(0.3333) + 2400(0.5)) 5000 2066.6667 1 (866.6667 + 1200) = = 0.4133 ó 41.33 % de enpst = 5000 5000 fermos con diabetes pst =
b) Halle el total estratificado τˆ = N pst donde: N = 5, 000 y pst = 0.4133 Por lo tanto: τˆ = (5000)(0.4133) = 2, 006.6667 personas con diabetes c) Calcule la varianza y la desviación estándar de la proporción estratificada. Sp2h =
1 (N 2 S 2 + N22 Sp22 ) N 2 1 p1
donde: ¶ µ N1 = ¶ 2, 600, µ N2 = 2, 400, ¶ p1 = 0.327731, p2 = 0.5, µ N = 5, 000, p 1 q1 2600 − 120 (0.3333)(0.6667) N 1 − n1 = = 0.001767, Sp21 = 120 µ N1 ¶ µ n1 ¶ µ 2600 ¶ p 2 q2 2400 − 100 (0.5)(0.5) N 2 − n2 = = 0.002396 Sp22 = N2 n2 2400 100 Por lo tanto:
Sp2h =
1 ((2600)2 (0.0017663) + (2400)2 (0.002396)) 50002
= 0.001030 Sp =
p
Sp2 =
√ 0.001030 = 0.0321
d) Calcular un IC para la proporción estratificada con una confianza de 90 %. pst ± tα/2,n−1 Sph donde: pst = 0.4133, tα/2,n−1 = Zα/2 = Z0.05 = 1.645 y Sp = 0.0321 Por lo tanto: 92
0.4133± (1.645)(0.0321) 0.4133± 0.0528 0.355066 ≤ P ≤ 0.4609255 La proporción verdadera de personas que padece diabetes está entre 35.50 y 46.09 %. e) Realice una estimación por intervalo para el total estratificado. τˆ ± N tα/2,n−1 Sps t donde: τˆ = 2006.6667, N = 5,000, tα/2,n−1 = Zα/2 = Z0.05 = 1.645 y Sp = 0.0321 Por lo tanto: 2006.6667± (5000)(1.645)(0.0321) 2006.6667± (5000)(0.0528) 2006.6667± 264 1, 775.331715 ≤ τst ≤ 2, 304.627542 Esto significa que el total de personas que padecen diabetes está entre 1,802.7676 y 2,330.5657. f) Suponga que n = 220 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media con una precisión de 0.05 y una confiabilidad de 90 %. Además, realice la asignación de n a cada estrato en forma proporcional al tamaño del estrato. N (Zα/2 )2
E X
p h qh
h=1
n=
N d2 + (Zα/2 )2
E X
p h qh
h=1
Estratos Nh ph qh Wh p h qh 1 2,600 0.3333 0.6667 0.1156 2 2,400 0.5 0.5 0.12 Total 5,000 0.2356 donde: Zα/2 = Z0.05 = 1.645, d = 0.05,
E X
Wh Sh2 =
h=1
Por lo tanto: n=
N1 N2 p 1 q1 + p2 q2 = 0.2356 N N
(5000)(1.645)2 (0.2356) 3, 186.3344 = = 242 personas 2 2 (5000)(0.05) + (1.645) (0.2356) 13.1373
La asignación de la muestra en forma proporcional n1 =
2600 N1 n= (242) = 126 N 5000 93
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado n2 =
2400 N2 n= (242) = 116 N 5000
g) Suponga que n = 220 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la proporción con una precisión de 100.3333 y una confiabilidad de 95 %. Además, haga la asignación de n a cada estrato en forma proporcional al tamaño. 2
2
N (Zα/2 )
E X
Wh p h qh
h=1
n=
d2 + N (Zα/2 )2
d = (0.05)(2, 006.667) = 100.3333 y
X
E X
Wh ph qh =0.2356
h=1
Por lo tanto: n=
(5000)2 (1.645)2 (0.2356) = 242 personas (100.3333)2 + (5000)(1.645)2 (0.2356)
La asignación proporcional es la misma que en f); al estrato uno 126 y al estrato dos 116. Ejemplo 2. Una empresa que produce artículos electrónicos tiene tres líneas de producción. La línea uno produce N1 = 2, 000 artículos por hora, la dos N2 = 1, 500 artículos por hora y la tres produce N3 = 2, 500 artículos por hora. La producción total por hora es de N = 6, 000. Con la finalidad de estimar el porcentaje y total de artículos defectuosos producidos por hora, se tomó una muestra aleatoria de n = 150 artículos distribuidos de la siguiente manera: n1 = 50 de la línea uno, n2 = 30 de la línea dos y n3 = 70 de la línea tres, debido a que las líneas de producción no son idénticas y se sospecha que el número de artículos defectuosos por líneas son diferentes. En la muestra de la línea uno (n1 ) se encontraron 4 defectuosos; en la muestra de la línea dos, 3; y en la línea tres hubo 8 defectuosos. a) Realice la estimación de la proporción estratificada. pst =
1 (N1 p1 + N2 p2 + N3 p3 ) N
donde: N = 6, 000, N1 = 2, 000, N2 = 1, 500, N3 = 2, 500, p1 =
p2 =
n2 X i=1
n2
=
n3 X
n1 X i=1
n1
=
4 = 0.08, 50
3 8 = 0.1, p3 = i=1 = = 0.1143 30 n3 70
Por lo tanto: pst =
1 (2000(0,08) + 1500(0.1) + 2500(0.1142)) 6000 94
1 595.7142 pst = (160 + 150 + 285.7142) = = 0.0992 ó 9.92 % 6000 6000 articulos producidos por hora b) Realice la estimación del total poblacional. τˆ = N pst donde: N = 6, 000, pst = 0.0993 por lo tanto: τˆ = (6000)(0.0993) = 595.8 articulos defectuosos por hora c) Calcule la varianza y la desviación estándar de la proporción estratificada. Sp2h =
1 (N12 Sp21 + N22 Sp22 + N32 Sp23 ) 2 N
donde: N = 6, 000, N1 = 2, 000, N2 = 1, 500, N3 = 2, 500, p1 = 0.08, p2 = 0.1, p3 = 0.1143, µ ¶ ¶µ ¶ µ N − n (0.08)(0.92) p q 2000 − 50 1 1 1 1 Sp21 = = = 0.0014, 50 µ N1 ¶ µ n1 ¶ µ 2000 ¶ p 2 q2 1500 − 30 (0.1)(0.9) N 2 − n2 = Sp22 = = 0.0029, 30 µ N2 ¶ µ n2 ¶ µ 1500 ¶ p 3 q3 2500 − 70 (0.1143)(0.8857) N 3 − n3 = Sp23 = = 0.0014 N3 n3 2500 70 Por lo tanto:
Sp2h =
1 ((2000)2 (0.0014) + (1500)2 (0.0029) + (2500)2 (0.0014)) 2 6000
= 0.000579 S ph =
p 2 √ Sp = 0.000579 = 0.0240
d) Calcular un IC para la proporción estratificada con una confianza de 90 %. pst ± tα/2,n−1 Sph donde: pst = 0.0993, tα/2,n−1 = Zα/2 = Z0.05 = 1.645, Sp = 0.0242 Por lo tanto: 0.0992± (1.645)(0.0242) 0.0992± 0.039809 0.0594≤ P ≤ 0.1390 95
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado La proporción verdadera de artículos electrónicos defectuosos que se producen por hora está entre 5.94 y 13.9 por ciento. e) Realice una estimación por intervalo del total poblacional. τˆ ± N tα/2,n−1 Sps t donde: τˆ = 595.8, N = 6, 000, tα/2,n−1 = Zα/2 = Z0.05 = 1.645, Sp = 0.0242 Por lo tanto: 595.8± (6000)(1.645)(0.024) 595.8± (6000)(0.03948) 595.8± 236.88 356.555 ≤ τst ≤ 834.8730 El total de artículos electrónicos defectuosos que se producen por hora está entre 358.92 y 832.68. f) Suponga que n=150 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media con una precisión de 0.05 y con una confiabilidad de 90 %. Además, asigne n a cada estrato en forma proporcional al tamaño del estrato. 2
N (Zα/2 )
E X
p h qh
h=1
n= N d2
+ (Zα/2
)2
E X
p h qh
h=1
Estratos 1 2 3 Total
Nh ph qh Wh p h qh 2,000 0.08 0.92 0.0245 1,500 0.1 0.99 0.0225 2,500 0.1143 0.8857 0.0422 6,000 0.0892
donde: Zα/2 = Z0.05 = 1.645, d = 0.05,
E X
Wh Sh2 =
h=1
Por lo tanto:
N1 N2 N3 p 1 q1 + p 2 q2 + p3 q3 = 0.0892 N N N
1, 448.4302 (6000)(1.645)2 (0.0892) = = 96 artículos 2 2 (6000)(0.05) + (1.645) (0.0892) 15.2413 electrónicos (muestra) n =
La asignación de la muestra en forma proporcional N1 n= N N2 n= n2 = N n1 =
2000 (96) = 32 6000 1500 (96) = 24 6000 96
n3 =
2500 N3 n= (96) = 40 N 6000
g) Suponga que n=150 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la proporción con una precisión de ±300 y con una confiabilidad de 90 %. Además, distribuya n entre los estratos en forma proporcional al tamaño. 2
2
N (Zα/2 ) n=
E X
Wh p h qh
h=1
d2
+ N (Zα/2 )2
aquí d = (0.05)(6000) = 300 y
E X
X
Wh ph qh = 0.0892
h=1
(6000)2 (1.645)2 (0.0892) n= = 95.0325 (300)2 + (6000)(1.645)2 (0.0892) La asignación proporcional es la misma que en el inciso anterior. Ejemplo 3. La Secretaría de Educación Pública del estado de Colima desea conocer el porcentaje y el total de personas que ven telenovelas. Suponga que la población de individuos en el estado es de N =10,000, de los cuales 30 % son niños (estrato 1), 50 % son jóvenes (estrato 2) y el resto son adultos (estrato 3). Se estratificó a la población de esa forma ya que los hábitos televisivos son muy diferentes entre niños, jóvenes y adultos. Para estimar el porcentaje y total de personas que ve telenovelas se tomó una muestra aleatoria de n=300 individuos distribuidos de la siguiente manera: n1 =90 del estrato uno, n2 =150 del estrato dos y n3 =60 del estrato tres. Los resultados fueron: en el estrato uno, 30 niños ven telenovelas; en el dos, 70; y en el estrato tres, 40. a) Haga la estimación de la proporción estratificada. pst =
1 (N1 p1 + N2 p2 ) N
donde: N = 10, 000, N1 = 3, 000, N2 = 5, 000, N3 = 2, 000, n1 X
p1 =
p2 =
p3 =
i=1
n1 n2 X i=1
n2 n3 X i=1
n3
=
30 = 0.3333, 90
=
70 = 0.4666, 150
=
40 = 0.6666, 60 97
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado Por lo tanto: 1 (3000(0.3333) + 5000(0.4666) + 2000(0.6666)) 10000 4, 666.6667 1 (1000 + 2, 333.3333 + 1, 333.3333) = = 0.4667 pst = 10000 10000 o el 46.67 % de personas ven telenovelas pst =
b) Calcule la estimación del total estratificada. τˆ = N pst donde: N = 10,000, pst = 0.4667 Por lo tanto: τˆ = (10, 000)(0.4667) = 4, 666.6667 personas ven telenovelas c) Estime la varianza y la desviación estándar de la proporción estratificada Sp2h =
1 (N12 Sp21 + N22 Sp22 ) 2 N
donde: N = 5, 000, N1 = 1, 000, N2 = 3, 000, N3 = 2, 000, p1 = 0.3333, p2 = 0.4667, p3 = 0.6667, µ 2 ¶µ ¶ µ ¶ N − n p q 3000 − 90 (0.3333)(0.6667) 1 1 1 1 Sp21 = = = 0.0024, 90 µ 2N1 ¶ µ n1 ¶ µ 3000 ¶ p 2 q2 5000 − 150 (0.4667)(0.5333) N 2 − n2 = = 0.0016, Sp22 = 150 µ 2N2 ¶ µ n2 ¶ µ 5000 ¶ p 3 q3 2000 − 60 (0.6667)(0.3333) N 3 − n3 = Sp23 = = 0.0036. N3 n3 2000 60 Por lo tanto:
Sp2h =
1 ((3000)2 (0.0024) + (5000)2 (0.0016) + (2000)2 (0.0035)) 2 10000
= 0.00076 Sp =
p
Sp2 =
√ 0.00076 = 0.0276
d) Calcular un IC para la proporción estratificada con una confiabilidad de 90 %. pst ± tα/2,n−1 Sph donde: pst = 0.4667, tα/2,n−1 = Zα/2 = Z0.05 = 1.645, Sp = 0.0276 Por lo tanto: 0.4667± (1.645)(0.0276) 98
0.4667± 0.0454 0.42228≤ P ≤ 0.51329 Esto significa que la proporción verdadera de personas que ve telenovelas está entre 42.13 y 51.21 %, con una confiabilidad de 90 %. e) Estime por intervalo el total estratificada con una confiabilidad de 90 %. τˆ ± N tα/2,n−1 Sps t donde: τˆ = 4, 666.6667, N = 10,000, tα/2,n−1 = Zα/2 = Z0,05 = 1.645 y Sp = 0.0276 Por lo tanto: 4666,6667± (10, 000)(1,645)(0,0276) 4666,6667± (10, 000)(0,04539) 4666,6667± 453,9811 4, 212.7259 ≤ τst ≤ 5, 120.6074 El total de personas que ve televisión está entre 4212.7259 y 5120.6074, con una confiabilidad de 90 %. f) Suponga que n = 300 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media con una precisión de 0.05 y una confiabilidad de 90 %. Además, realice la asignación de n a cada estrato en forma proporcional al tamaño del estrato. 2
N (Zα/2 )
E X
p h qh
h=1
n= N d2
+ (Zα/2
)2
E X
p h qh
h=1
Estratos Nh ph qh Wh p h qh 1 3,000 0.3333 0.6667 0.0667 2 5,000 0.4667 0.5333 0.1244 3 2,000 0.6667 0.3333 0.0444 Total 10,000 0.2355 donde: Zα/2 = Z0.05 = 1.645, d = 0.05, E X N2 N3 N1 p 1 q1 + p 2 q2 + p3 q3 = 0.2356 Wh Sh2 = N N N h=1
Por lo tanto:
6, 374.1922 (10000)(1.645)2 (0.2355) = = 248.6284 per2 2 (10000)(0.05) + (1.645) (0.2355) 25.6374 sonas (unidades muestrales) n =
99
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado Asignación de la muestra en forma proporcional N1 n= N N2 n= n2 = N N3 n3 = n= N n1 =
3000 (249) = 75 10000 5000 (249) = 125 10000 2000 (249) = 50 10000
g) Suponga que en realidad n = 300 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra definitivo para estimar la proporción con una precisión de ±500 y una confiabilidad de 90 %. Además, haga la asignación de n a cada estrato en forma proporcional al tamaño. 2
2
N (Zα/2 ) n=
d2 + N (Zα/2
E X
Wh p h qh
h=1 E X 2 W )
h p h qh
h=1
donde: d = 500 y
E X
Wh ph qh = 0.2356
h=1
por lo tanto:
n=
(10000)2 (1.645)2 (0.2355) = 249 personas (muestra) (500)2 + (10000)(1.645)2 (0.2355)
Entonces la asignación proporcional es la misma, es decir, que la muestra a extraer de cada estrato será de 75 del estrato 1, 124 del estrato 2 y 50 del estrato 3. Ejemplo 4. En la Facultad de Pedagogía se desea conocer el porcentaje y total de alumnos que han leído Cien Años de Soledad de Gabriel García Márquez. El número total de alumnos es de N = 600, de los cuales 29 % son de primer grado (estrato 1), 25 % de segundo grado (estrato 2), 23 % de tercer grado (estrato 3) y 23 % de cuarto grado (estrato 4). Se estratificó la población de esa forma debido a que los hábitos de lectura entre los grados son diferentes. Para estimar este porcentaje y el total se tomó una muestra aleatoria de n=40 individuos distribuidos de la siguiente manera: n1 =13 del estrato uno, n2 =12 del estrato dos, n3 =8 del estrato tres y n4 =7 del estrato 4. Los alumnos que han leído el libro fueron 7, 6, 5 y 5 en el estrato 1, 2, 3 y 4, respectivamente. a) Realice la estimación de la proporción estratificada. pst =
1 (N1 p1 + N2 p2 ) N
donde: N = 600, N1 = 174, N2 = 150, N3 = 138, N4 = 138, 100
p1 =
p2 =
p3 =
p4 =
n1 X i=1
n1 n2 X i=1
n2 n3 X i=1
n3 n4 X i=1
n4
=
7 = 0.5385, 13
=
6 = 0.5454, 12
=
5 = 0.625, 8
=
5 = 0.71428 7
Por lo tanto: 1 (174(0.5385) + 150(0.500) + 138(0.625) + 138(0.7143)) = 0.5892 600 ó 58.92 % alumnos leyeron el libro pst =
b) Estime el total estratificado. τˆ = N pst donde: N = 600 y pst = 0.5892 Por lo tanto: τˆ = (600)(0.5892) = 353.52 El total de alumnos de esa facultad que leyó el libro es de 353.52 c) Estime la varianza y la desviación estándar de la proporción estratificada. Sp2h =
1 (N 2 S 2 + N22 Sp22 ) N 2 1 p1
donde: N = 600, N1 = 174, N2 = 150, N3 = 138, N4 = 138, p1 = 0.5385, p2 = 0.500, p3 = 0.625, 0.7143, µ 2 p4 = ¶ ¶ µ ¶ µ N − n p 1 q1 174 − 13 (0.5385)(0.4615) 1 1 2 S p1 = = = 0.0177, N n 174 13 1 1 ¶ ¶µ ¶ µ µ 2 p 2 q2 150 − 12 (0.500)(0.500) N 2 − n2 2 = S p2 = = 0.02088, 12 µ 2N2 ¶ µ n2 ¶ µ 150 ¶ p 3 q3 138 − 8 (0.625)(0.375) N 3 − n3 = Sp23 = = 0.02759, N n 138 8 3 3 ¶µ ¶ µ µ 2 ¶ p 4 q4 138 − 7 (0.7143)(0.2857) N 4 − n4 2 = S p4 = = 0.02767. N4 n4 138 7 Por lo tanto:
101
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado Sp2h =
1 ((174)2 (0.0177)+(150)2 (0.0192)+(138)2 (0.0276)+(138)2 (0.0277)) 6002
= 0.0014 Sp =
p
Sp2 =
√ 0.0056 = 0.0749
d) Calcular el IC para la proporción estratificada con una confianza de 90 %. pst ± tα/2,n−1 Sph donde: pst = 0.5892, tα/2,n−1 = Zα/2 = Z0.05 = 1.645 y Sp = 0.0749 Por lo tanto: 0.5892± (1.645)(0.0749) 0.5892± 0.1232 0.4761 ≤ P ≤ 0.7124 Esto significa que la proporción verdadera de lectores varía entre 46.60 y 71.24 %, con una confiabilidad de 90 %. e) Estime por intervalo el total poblacional, con una confianza de 90 %. τˆ ± N tα/2,n−1 Sps t donde: τˆ = 353.5137, N = 600, tα/2,n−1 = Zα/2 = Z0.05 = 1.645 y Sp = 0.0749 Por lo tanto: 353.52± (600)(1.645)(0,0749) 353.52± (600)(0.0626) 353.52± 37.6108 285.710 ≤ τst ≤ 434.9533 El total de alumnos lectores fluctúa entre 285.710 y 434.9533, con una confiabilidad de 90 %. f) Suponga que n = 40 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media con una precisión de 0.05 y una confiabilidad del 90 %. Además, asigne n a cada estrato en forma proporcional al tamaño del estrato. 2
N (Zα/2 )
E X
p h qh
h=1
n= N d2
+ (Zα/2
)2
E X
p h qh
h=1
102
Estratos 1 2 3 4 Total
Nh ph qh Wh p h qh 174 0.5385 0.4615 0.0721 150 0.500 0.500 0.0625 138 0.625 0.375 0.0539 138 0.7143 0.2857 0.0469 600 0.2354
donde: Zα/2 = Z0.025 = 1.645, d = 0.05 y E X N2 N3 N1 p 1 q1 + p 2 q2 + p3 q3 = 0.2354 Wh Sh2 = N N N h=1
por lo tanto:
n=
(600)(1.645)2 (0.2354) = 179 personas (muestra) (600)(0.05)2 + (1.645)2 (0.2354)
Asignación de la muestra en forma proporcional N1 n= N N2 n2 = n= N N3 n= n3 = N N4 n4 = n= N n1 =
174 (179) = 52 600 150 (179) = 45 600 138 (179) = 41 600 138 (179) = 41 600
g) Suponga que n=40 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la proporción con una precisión de ±30 y una confiabilidad de 90 %. Además, haga la asignación de n a cada estrato en forma proporcional al tamaño. 2
2
N (Zα/2 ) n=
d2 + N (Zα/2
E X
Wh p h qh
h=1 E X 2 W )
h p h qh
h=1
donde: d = (0.05)(600) = 30 y
E X
Wh ph qh = 0.2354
h=1
por lo tanto: n=
(600)2 (1.645)2 (0.2354) = 179 personas (muestra) (30)2 + (600)(1.645)2 (0.2354)
La asignación de la muestra es la misma. 103
Capítulo 4. El muestreo aleatorio estratificado
4.7.
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime los parámetros siguientes: a) El IC para la proporción y el total estratificado con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción y el total estratificado de tal manera que la proporción y el total sean estimados con una precisión de 5 % de la proporción y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. Un investigador estudió los niveles de colesterol sérico en 500 personas mayores de 45 años (300 mujeres y 200 hombres). Dado que piensa que el género influye en la variable respuesta, estratificó a la población por géneros. Para poder estimar la cantidad de personas que tiene altos niveles de colesterol, tomó una muestra aleatoria simple de 120 personas: 84 hombres y 36 mujeres. Al momento de realizar las mediciones encontró que 3 mujeres y 5 hombres tenían un alto nivel de colesterol. Ejercicio 2. Un agrónomo sembró tres variedades de manzana. En total sembró 5,000 plantas distribuidas de la siguiente forma: 1,000 pertenecen a la variedad uno, 2,500 a la dos y 1,500 a la tres. Con la finalidad de calcular el porcentaje y el total de plantas dañadas por una plaga X, tomó una muestra aleatoria de 250 plantas distribuidas de la siguiente manera: 100 de la primera variedad, 100 de la segunda y 50 de la tercera. El número de plantas dañadas por estrato es el siguiente: 15 plantas en la variedad uno, 4 en la variedad dos y 6 en la variedad tres. Ejercicio 3. En una población urbana de 3,500 personas del estado de Michoacán, se desea conocer la cantidad de personas que utilizan Internet. Supóngase que en dicha población el 45 % son adolescentes, el 30 % niños y el resto adultos. Para estimar el porcentaje y total de personas que utilizan Internet se tomó una muestra aleatoria de 600 individuos distribuidos de la siguiente manera: adolescentes: n1 =200, niños: n2 =150 y adultos: n3 =250. Los resultados del número de personas que usan Internet por estrato son: 70, 30 y 40, respectivamente. Ejercicio 4. A un centro de salud asisten aproximadamente 7,000 personas de los cuales 4,000 son adolescentes y 3,000 son adultos. Se desea conocer el porcentaje de personas que hacen ejercicio diariamente y para ello se toma una muestra aleatoria de 350 individuos (150 son adolescentes y 200 adultos) y se les pregunta si hacen ejercicio diariamente. Los resultados obtenidos son los siguientes: en el estrato de adolescentes, 12 hacían ejercicio diariamente, mientras que en el de los adultos 6.
104
Capítulo 5 El muestreo sistemático La estadística produce resultados muy precisos. Cuando es bien utilizada y se respetan sus principios. OAML
L
aleatoridad en la selección de la muestra da sustento a los métodos revisados en capítulos anteriores: un proceso complicado y costoso. Por tal motivo, podemos usar el diseño de muestreo o de encuestas por muestreo sistemático, que es ampliamente utilizado para reducir el proceso de selección de la muestra. Este diseño sólo requiere fijar un intervalo y de ahí recorrer la población seleccionando las unidades que se encuentren en el punto seleccionado del intervalo. Ello, evidentemente facilita el trabajo de campo en el muestreo y reduce sustancialmente los errores que se podrían cometer en caso de usar un procedimiento más laborioso (Pérez, 2000 [3]). A
Cuando se toma la muestra de una superficie, las unidades se extraen premeditadamente de un plano cartesiano imaginario. De esta manera el tiempo que se consumirá y el costo de selección por unidad muestral será menor (Pérez, 2000 [3]).
Muestra sistemática Es una muestra que se obtiene con una unidad muestral por cada k unidades en la población de tamaño N , una vez que se obtuvo el primer elemento, el cual se selecciona aleatoriamente dentro de los primeros k elementos que conforman el marco de muestreo. De esta manera, tomando el valor apropiado de k, se dice que se tiene una muestra de 1 en k. A este tipo de muestra la denotaremos como: Ysy Regularmente, N es un múltiplo de k. A cada conjunto de k unidades se le llama grupo. Cabe señalar que existe el muestreo sistemático cuando N no es 105
Capítulo 5. El muestreo sistemático múltiplo de k. El siguiente cuadro muestra el esquema de un muestreo sistemático, donde N es un múltiplo de k. Cuadro 5.1: Esquema de un muestreo sistemático Grupo 1 2 3 ... k 1 1 2 3 ... k 2 k+1 k+2 k+3 ... 2k 3 2k + 1 2k + 2 2k + 3 ... 3k .. .. .. .. .. .. . . . . . . j (j − 1)k + 1 (j − 1)k + 2 (j − 1)k + 3 . . . jk .. .. .. .. .. .. . . . . . . n
(n − 1)k + 1 (n − 1)k + 2 (n − 1)k + 3 . . .
nk = N
El cuadro (5.1) contiene las unidades que se seleccionan de la población, donde la primera unidad seleccionada (k) es aleatoria. La mayoría de los autores coinciden en señalar que éste diseño es quizá el procedimiento de selección de la muestra que se conoce más ampliamente, y que además presenta ventajas sobre la selección aleatoria simple entre las que se pueden mencionar: Rapidez y facilidad en la selección de los elementos de la muestra en la población. Ninguna sucesión grande de elementos en la población queda sin representación. Sé está menos expuesto a errores de selección que cometen los investigadores en el campo. Bajo costo, por la simplicidad de la selección. Mejor organización y control en el trabajo de campo. En la práctica la estimación de la varianza sistemática del estimador bajo estudio presenta problemas, ya que se requieren cuando menos dos selecciones aleatorias por cada intervalo de selección (k), es decir, dos o más muestras sistemáticas para la misma población. Conociendo la estructura de la población la anterior dificultad puede resolverse considerando al muestreo sistemático equivalente al muestreo aleatorio simple y por lo tanto la varianza sistemática será aproximadamente igual a la varianza aleatoria simple del estimador bajo estudio. Es conveniente y oportuno indicar en éste momento para que poblaciones es válida esta equivalencia. 106
5.1.
Tipos de población por su estructura
Población aleatoria
0
2
4
Y
6
8
10
Una población es aleatoria (Figura 5.1) si sus elementos están aleatoriamente ordenados con respecto a la característica de interés. Kish L. (1972)[12], Scheaffer et. al. (1987)[2] y Azorin F. (1972) [15], entre otros coinciden al indicar que el muestreo sistemático bajo éstas condiciones es equivalente al muestreo aleatorio simple. Esto significa que la varianza bajo MAS es aproximadamente igual a la varianza bajo muestreo sistemático. De esta forma, el muestreo sistemático es equivalente al muestreo simple aleatorio.
5
10
15
20
X
Figura 5.1: La dispersión del marco de muestreo de una población aleatoria Población ordenada Una población es ordenada (Figura 5.2) si los elementos dentro de la población están ordenados de acuerdo con algún esquema y con respecto a la variable de interés. Scheaffer et. al. (1987)[?] indica que una muestra sistemática de ésta población proporciona más información que una muestra aleatoria simple por unidad de costo, debido a que la varianza sistemática del estimador será menor que la varianza del mismo cuado se emplea el muestreo aleatorio simple. Ya que no se puede obtener una estimación directa de la varianza sistemática del estimador se puede emplear una aproximación conservadora (la cuál es mayor de la que se esperaría) estimando la varianza del estimador con las expresiones dadas en el muestreo aleatorio simple. Población periódica Una población es periódica sí los elementos de la población tienen una variación 107
8 6
7
Y
9
10
Capítulo 5. El muestreo sistemático
−1
0
1
2
3
X
Figura 5.2: La dispersión del marco de muestreo de una población ordenada
cíclica con respecto a la variable de interés. Scheaffer et. al. (1987) [2] señala que una muestra sistemática extraída de ésta población proporciona menos información que una muestra aleatoria simple por unidad de costo. Como en las situaciones anteriores la varianza sistemática del estimador no puede estimarse a partir de una sola muestra sistemática. se puede aproximar su valor empleando las expresiones correspondiente que da el muestreo aleatorio simple, pero como es de esperarse ésta aproximación subestimará la varianza verdadera (sistemática). Como una alternativa para que ésta subestimación sea mínima se sugiere cambiar varias veces el punto de inicio aleatorio con el propósito de mezclar los elementos de la población y al mismo tiempo seleccionar la correspondiente muestra sistemática. En consecuencia se puede suponer que la muestra así extraída es sistemática y proviene de una población aleatoria. Para lecturas adicionales véase por ejemplo, Kish L. (1972)[12] cap. 4, Azorin F. (1972)[15] cap.21 y Scheaffer et. al. (1987)[2] cap. 7.
5.2.
¿Cómo seleccionar una muestra sistemática?
Primero se debe decidir el tamaño del intervalo ”1 en k” unidades, posteriormente se selecciona aleatoriamente una unidad que se encuentre dentro del intervalo de la primera hasta la k−ésima unidad y así se continuará hasta llegar a N . Pero surge la pregunta de como seleccionar la k adecuada. En general, para una muestra sistemática de n elementos en una población de N , k debe ser menor o igual N /n; si se desconoce N , entonces se determina un tamaño de muestra n aproximado y así se podría obtener una k estimada (Pérez, 2000 [3]). 108
En seguida se dan formas de como elegir el valor de k dependiente del tamaño de la población: I. Cuando el tamaño de la población, N , es múltiplo de n, (N = kn). Notación: N : tamaño de la población. n: tamaño de la muestra. k = N/n: intervalo de selección o muestreo. Procedimiento: 1) Seleccionar aleatoriamente un número entero i (arranque o inicio aleatorio) comprendido entre 1 y k, (1 ≤ i ≤ k ). 2) Luego de manera rígida o sistemática, (de aquí el nombre del procedimiento) tomar el elemento i + k, que está k lugares del i-ésimo en la lista, el i + 2k que está 2k lugares después, y así sucesivamente hasta completar el tamaño n de la muestra. Note que la tabla de números aleatorios u otro mecanismo de selección se emplea una sóla vez, en i.
Por ejemplo, si N = 1, 000 y se decide un tamaño de n = 10, entonces 1,000 k = =100. Por lo tanto, el primer valor de k será un valor entre 1 y 10 100, el cual se elige al azar. Suponga que el primer valor es 40, entonces los elementos que conformarán la muestra son: el 40, 140, 240, 340, 440, 540, 640, 740, 840 y el 940. II. Cuando el tamaño de la población, N , no es múltiplo de n, (N 6= nk). Notación: N : tamaño de la población. n: tamaño de la muestra. k = N/n: intervalo de selección o muestreo. En la prática es frecuente que N no sea múltiplo de n, con lo cual la muestra sistemática al final puede tener n o n − 1 elementos. Azorin F. (1972) señala que ésta diferencia de tamaños suele no tener importancia cuando la población es de tamaño superior a 50. Por otro lado, Kish L. (1972) indica que éste problema se puede resolver de varias maneras y el investigador deberá seleccionar la más conveniente. De las soluciones propuestas por dicho autor se describe la más usual: Considerar el marco de muestreo (lista) como si fuera circular. Procedimiento: 1) Considerar el marco lista como un círculo de manera que la última unidad sea seguida por la primera. 2) Sea k el entero más próximo a N/n. 109
Capítulo 5. El muestreo sistemático 3) Seleccionar aleatoriamente un número entero entre 1 y N . 4) En seguida seleccionar cada k-ésima unidad hasta completar los n elementos. Por ejemplo, supóngase que N = 300 y se decide un tamaño de n = 9, 300 = 33.3333 y k = 33, ya que es el entero más próximo a 33.3333. entonces 9 Además, supóngase que 270 es el entero seleccionado aleatoriamente entre 1 y 300. Por tanto, los elementos que conformarán la muestra son: el 270, 3, 36, 69, 102, 135, 168, 201 y el 234. III. Cuando se desconoce el tamaño de la población (N). En este caso puede darse un valor tentativo de k; sin embargo, podría ser muy grande y nos daría un tamaño de muestra menor que el requerido en el estudio. Esto no representaría un problema si se tuviera la posibilidad de tomar nuevamente la muestra y así seleccionar la k que proporcione el tamaño requerido. Sin embargo, existen muchos casos en los que esto no es posible y es necesario tener una precisión dada al principio. Esto hace difícil la tarea de estimar un valor adecuado de k (Pérez, 2000 [3]).
5.3.
La estimación de la media poblacional
Una vez obtenida la muestra, el objetivo será caracterizar la población por medio de una muestra estimando los parámetros de mayor interés, como la media y el total poblacional. Después se procede a estimar los parámetros con sus correspondientes varianzas y por último los intervalos de confianza. Estimación de la media y el total de la muestra sistemática
µ ˆ = y¯sY =
n X
yi
i=1
n
τˆsY = N y¯sY A continuación se presentan los estimadores correspondientes a las varianzas de la media y del total.
5.3.1. La varianza de la media y del total. ¶µ 2¶ s N − n Vˆ (¯ ysY ) = N n µ ¶µ 2¶ N −n s 2 V (ˆ τsY ) = N . N n µ
110
El estimador de la varianza del total se obtiene multiplicando el estimador de la varianza de la media por N 2 .
5.3.2. El intervalo de confianza de la media y el total y¯sY ± tn−1, α2
sµ
N −n N
¶µ
¶ s2 , n
donde y¯sY es la media de la muestra sistemática. s µ ¶µ 2¶ s N − n τˆsY ± tn−1, α2 N 2 . N n Obsérvese que la estimación de la varianza es la misma que la presentada en el muestreo simple aleatorio. Sin embargo, las varianzas poblacionales no son las mismas. La varianza del estimador de la media de una muestra sistemática es: σ2 [1 + (n − 1)ρXY ] . n En la fórmula anterior aparece la medida de correlación, ρXY , que indica la relación que existe entre los elementos de la muestra. Así pues, el muestreo sistemático estará muy ligado a este indicador. Si ρXY está alrededor de uno, quiere decir que los elementos están estrechamente relacionados y esto producirá una mayor varianza de la media que en el muestreo simple aleatorio, por lo que este último será el más indicado. En caso contrario, si ρXY está cerca de cero, la estimación por muestreo sistemático es la más recomendada pues la varianza es aproximadamente igual al muestreo simple aleatorio. (Scheaffer, 1987 [2]). Por lo tanto, es importante aclarar que los estimadores muestrales de este capítulo son apropiados cuando el coeficiente de correlación (ρXY ) es casi cero, de lo contrario la muestra debe ser seleccionada bajo MAS o MAE. V (¯ ysY ) =
5.3.3. La selección del tamaño de la muestra. Para determinar el tamaño de la muestra para estimar a µ, se procede como en los capítulos anteriores. Primero, se elige un valor de d, es decir, la precisión que se está dispuesto a aceptar en las estimaciones, y se iguala al producto de un valor de t (con sus correspondientes grados de libertad) por la desviación estándar de dicho estimador, como se representa a continuación: d = t(n−1,α/2)
p
V (¯ ysY )
(5.1)
111
Capítulo 5. El muestreo sistemático
El tamaño de muestra para estimar la media Despejando n de esta ecuación (5.1), se obtiene lo siguiente: ¢2 ¡ N t(n−1,α/2) σ 2 n= ¢2 ¡ N d2 + t(n−1,α/2) σ 2
donde la varianza poblacional σ 2 se puede sustituir por la muestral.
El tamaño de muestra para estimar el total ¢2 ¡ N 2 t(n−1,α/2) σ 2 n= ¢2 ¡ d2 + N t(n−1,α/2) σ 2
donde la varianza poblacional σ 2 se sustituye por la muestral
5.3.4. Ejemplos Ejemplo 1. Una línea de producción de leche ultrapasteurizada elabora N =1,000 envases por hora (cada envase contiene un litro de leche). Se desea saber si cada envase de leche cumple con el porcentaje de grasa y para ello se toma una muestra sistemática de 10 envases. Primero se elige k. k=
N 1, 000 = = 100 n 10
Esto quiere decir que se debe muestrear cada 100 envases de leche, eligiendo aleatoriamente el primer elemento entre los primeros 100. Los datos están en el cuadro 5.2. Cuadro 5.2: El porcentaje de grasa por envase de leche ultrapasteurizada Núm. de muestra % de grasa Envase 80 2.5 Envase 180 2.6 Envase 280 2.7 Envase 380 2.6 Envase 480 2.8 Envase 580 2.9 Envase 680 3.0 Envase 780 2.6 Envase 880 2.7 Envase 980 2.8
Efectúe el proceso de estimación de los parámetros siguientes: a) El promedio de grasa por envase. y1 + y2 + y3 + ... + yn y¯s = n 112
2.5 + 2.6 + 2.7 + 2.8 + 2.9 + 3 + 2.6 + 2.7 + 2.8 y¯s = = 2.72 ó 2.72 % 10 de grasa por envase. b) La varianza muestral ((S 2 ))
Ss2 =
n X i=1
yi2 − n¯ y2
n−1 2 (2.5) + (2.6)2 + . . . + (2.7)2 + (2.8)2 − (10)(2.72)2 Ss2 = 10 − 1 0.216 2 Ss = = 0.024 9
c) Encontrar la varianza y la desviación estándar de la media muestral. ¶µ ¶ µ 0.024 1, 000 − 10 2 = 0.002376 Sy¯s = 1, 000 10 q √ Sy¯s = Sy¯2s = 0.002376 = 0.04874. d) Estime la cantidad total de grasa que se encuentra en los envases. τˆ = N y¯s = (1, 000)(2.72) = 2,720 gramos de grasa e) Hallar el IC para el promedio de grasa por envase de leche. y¯s ± tn−1,α/2 Sy¯s donde: y¯s = 2.72, Sy¯s = 0.0484 y tn−1,α\2 = t10−1,0.025 = 2.2622 Por lo tanto: 2.72 ± (2.2622)(0.04874) 2.72 ± 0.11026 2.6097 ≤ µ ≤ 2.8303 Es decir, con una confiabilidad de 95 % se estima que el promedio de grasa por envase de leche está entre 2.6097 y 2.8303. f) Calcular el IC para el total con una confianza de 95 %. y¯ ± N tn−1,α\2 SS y¯ donde: τˆs = 2,720, N = 1, 000, SS y¯ = 0.04874 y tn−1,α\2 = t10−1,0.025 = 2.2622
Por lo tanto: 2,720 ± (1, 000)(2.2622)(0.04874) 113
Capítulo 5. El muestreo sistemático 2,720 ± (1, 000)(0.11026) 2,720 ± 110.26919 2, 609,7329 ≤ τs ≤ 2, 830.2671 Es decir, con 95 % de confianza se estima que el total de grasa está entre 2,609.7329 y 2,830.2671. g) Suponga que la muestra seleccionada corresponde a una muestra preliminar de tamaño n = 10. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el promedio de grasa por envase, con una precisión de 0.05 por ciento de grasa por envase y una confiabilidad de 95 %?. n=
N (tn−1,α\2 )2 Ss2 N d2 + (tn−1,α/2 )2 Ss2
donde: N = 1, 000, tn−1,α\2 = t10−1,0.025 = 2.2622, Ss2 = 0.024 y d = 0.05 Por lo tanto: n=
(1, 000)(2.2622)2 (0.024) = 47 envases (muestra) (1, 000)(0.05)2 + (2.2622)2 (0.024)
h) Suponga que la muestra seleccionada representa una muestra preliminar de tamaño n = 10. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total de envases, con una precisión de 50 envases y una confiabilidad de 95 %? n=
N (tn−1,α\2 )2 Ss2 d2 + N (tn−1,α\2 )2 Ss2
donde: N = 1, 000, tn−1,α\2 = t12−1,0,025 = 2.2622, Ss2 = 0.024 y d = 50 por lo tanto: n = trales)
(1, 000)2 (2.201)2 (0.024) = 47 envases (unidades mues(50)2 + (1, 000)(2.201)2 (0.024)
Ejemplo 2. Un tráiler transporta N = 2, 500 sacos de maíz, que están enumerados del 1 al 2,500. Dado que los sacos no pesan lo mismo suponga que quiere saber el peso promedio por saco y el total de maíz que transporta dicho tráiler. Para ello se toma una muestra sistemática de n = 20 sacos. A continuación elegimos k. k=
N 2, 500 = = 125 n 20
Esto quiere decir que debemos muestrear cada 125 sacos de maíz eligiendo aleatoriamente el primer elemento entre los primeros 125. Los datos se presentan en el cuadro 5.3. a) Estime el peso promedio en kg por saco de maíz. 114
Cuadro 5.3: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
El peso de los Muestra Saco 10 Saco 135 Saco 260 Saco 385 Saco 510 Saco 635 Saco 760 Saco 885 Saco 1010 Saco 1135 Saco 1260 Saco 1385 Saco 1510 Saco 1635 Saco 1760 Saco 1885 Saco 2010 Saco 2135 Saco 2260 Saco 2385
sacos de maíz (Kg) Peso (Kg) 71.89 74.24 77.60 82.94 73.17 77.09 66.29 75.17 64.41 80.08 79.82 73.15 72.88 81.15 78.29 74.62 83.31 73.36 69.75 77.04
y1 + y2 + y3 + . . . + yn n 71.89 + 74.24 + 77.60 + . . . + 77.04 = 75.3125 y¯s = 20 y¯s =
b) Halle la varianza muestral (S 2 ).
Ss2 =
n X i=1
yi2 − n¯ y2
n−1 (71.89)2 + (74.24)2 + (77.60)2 + . . . + (77.04) − (20)(75.3125)2 = 20 − 1 483.0747 2 Ss = = 25.4249 19 Ss2
c) Calcule la varianza y la desviación estándar de la media muestral. ¶µ 2¶ µ ¶µ ¶ µ S 2, 500 − 20 25.4249 N − n = = 1.2611 Sy¯2s = N n 2, 500 20 √ p Sy¯s = Sy¯2s = 1.2611 = 1.12297 d) El total de kg que hay en los 2,500 sacos de maíz. τˆs = N y¯s = (2, 500)(75.3125) = 188, 281.25 115
Capítulo 5. El muestreo sistemático
e) Calcule un IC para el promedio de kilogramos de maíz por saco. y¯s ± tn−1,α\2 Sy¯s donde: y¯s = 75.3125, Sy¯s = 1.12297 y tn−1,α\2 = t20−1,0.025 = 2.0930 Por lo tanto: 75.3125 ± (2.093)(1.12297) 75.3125 ± 2.3504 72.9621 ≤ µ ≤ 77.6629 Es decir, con una confiabilidad de 95 % se estima que el valor del promedio de kg por saco de maíz está entre 72.9621 y 77.6629. f) Construya un IC para el total de kg de maíz. τˆ ± N tn−1,α\2 Sy¯s donde: τˆs = 188, 281.25, N = 2, 500, Sy¯s = 1.12297 y tn−1,α\2 = t12−1,0.025 = 2.0930 Por lo tanto: 188, 281.25 ± (2, 500)(2.0930)(1.12297) 188, 281.25 ± (2, 500)(2.3503) 188, 281.25 ± 5875.9819 182, 405.201 ≤ τs ≤ 194, 157.299 Es decir, se estima que el total de kg de maíz que hay en los sacos está entre 182,405.201 y 194,157.299. g) Suponga que la muestra seleccionada corresponde a una muestra preliminar de tamaño n=20. Calcule el tamaño de muestra para estimar el promedio por saco de maíz, con una precisión de 0.5 kg por saco y una confiabilidad de 95 %. N (tn−1,α\2 )2 Ss2 n= N d2 + (tn−1,α\2 )2 Ss2 donde: N = 2, 500, tn−1,α\2 = t20−1,0.025 = 2.0930, Ss2 = 25.4249 y d = 0.5 Por lo tanto: n = (muestra)
(2, 500)(2.0930)2 (25.4249) = 378.1276 sacos de maíz (2, 500)(0.5)2 + (25.4249)(2.0930)2
Por lo tanto, 379 es el tamaño de muestra que tiene una precisión de ±0.5 kg de maíz y 0.95 de probabilidad de incluir en el intervalo de estimación el promedio verdadero. 116
h) Suponga que la muestra seleccionada representa una muestra preliminar de tamaño n = 20. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total de kg con una precisión de 1,250 kg de maíz y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (tn−1,α/2 )2 S 2 d2 + N (tn−1,α/2 )2 S 2
donde: N = 2, 500, tn−1,α\2 = t20−1,0.025 = 2.0930, Ss2 = 25.4249 y d = 1, 250 Por lo tanto: (2, 500)2 (2.0930)2 (25.4249) = 378.1276 sacos de maíz (1250)2 + (2, 500)(2.0930)2 (25.4249)
n = (muestra)
Ejemplo 3. Una plantación tiene 6,000 plantas de caña de azúcar. Por el arreglo de las plantas (en surcos) es fácil enumerarlas del 1 al 6,000. Suponga que se está interesado en conocer los gramos promedio de sacarosa por planta y el total de sacarosa en la plantación. Por lo tanto, se toma una muestra sistemática de n = 30. Como de costumbre, hallamos k primero. k=
6, 000 N = = 200 n 30
Esto quiere decir que debemos muestrear cada 200 elementos (plantas), eligiendo aleatoriamente a la primer planta de entre las primeras 200 (cuadro 5.4). a) Calcule el promedio muestral. y1 + y2 + y3 + . . . + yn y¯s = n 11.06 + 10.61 + 14.41 + . . . 12.16 y¯s = = 13.5645 gramos de sacarosa 30 por planta b) Calcule la varianza muestral (Ss2 ).
Ss2 =
n X i=1
yi2 − n¯ y2
n−1 (11.06)2 + (10.61)2 + (14.41)2 + . . . + (12.16) − (30)(13.5645)2 = 30 − 1 181.4551 Ss2 = = 6.2571 29 Ss2
c) Hallar la varianza y la desviación estándar de la media muestral. ¶µ 2¶ µ ¶µ ¶ µ S 3000 − 30 6.2538 N −n 2 = = 0.2075 Sy¯s = N n 3000 30 √ p Sy¯s = Sy¯2s = 0.2074 = 0.4554 117
Capítulo 5. El muestreo sistemático
Cuadro 5.4: El porcentaje de sacarosa por planta Obs. Núm. de muestra % de sacarosa 1 50 11.06 2 250 10.61 3 450 14.41 4 650 14.45 5 850 9.46 6 1,050 13.47 7 1,250 14.68 8 1,450 13.99 9 1,650 9.72 10 1,850 11.37 11 2,050 12.29 12 2,250 11.22 13 2,450 13.25 14 2,650 15.78 15 2,850 14.65 16 3,050 15.01 17 3,250 16.85 18 3,450 15.93 19 3,650 13.28 20 3,850 15.39 21 4,050 12.83 22 4,250 14.49 23 4,450 20.38 24 4,650 11.33 25 4,850 16.22 26 5,050 15.83 27 5,250 15.68 28 5,450 11.70 29 5,650 9.45 30 5,850 12.16
118
d) Calcular el total estimado de sacarosa en la población. τˆs = N y¯s = (6, 000)(13.5645) = 81, 388.00 gramos e) Encontrar un IC para el promedio de sacarosa por planta de caña de azúcar. y¯s ± tn−1,α\2 Sy¯s donde: y¯s = 13.5645, Sy¯s = 0.4554 y tn−1,α\2 = t30−1,0.025 = 2.0452 Por lo tanto: 13.5645 ± (2.0452)(0.4554) 13.5645 ± 0.9317 12.6330 ≤ µ ≤ 14.4963 Es decir, con una confiabilidad de 95 % se estima que el valor de los gramos promedio de sacarosa por caña de azúcar se encuentra entre 12.6330 y 14.4963. f) Construir un IC para el total de sacarosa por planta de caña de azúcar. τˆ ± N tn−1,α\2 Sy¯s donde: τˆs = 81, 388, N = 6, 000, Sy¯s = 0.4554 y tn−1,α\2 = t30−1,0.025 = 2.0452 Por lo tanto: 81, 386.84 ± (6, 000)(2.0452)(0.4555) 81, 386.84 ± (6, 000)(0.9316) 81, 386.84 ± 5590.1517 75, 797.76736 ≤ τs ≤ 86, 978.23264 Es decir, con 95 % de confianza se estima que el total (gramos) de sacarosa en las plantas de caña de azúcar está entre 75,797.76736 y 86,975.6265. g) Suponga que la muestra seleccionada corresponde a una muestra preliminar de tamaño n=30. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el promedio de sacarosa por planta de caña de azúcar, con una precisión de 0.5 gramos de sacarosa y una confiabilidad de 95 %?. n=
N 2 (tn−1,α\2 )2 Ss2 N d2 + (tn−1,α\2 )2 Ss2
donde: N = 6, 000, t(n−1,α\2) = t(30−1,0.025) = 2.0452, Ss2 = 6.2538 y d = 0.5 Por lo tanto: n= azúcar (muestra)
(6, 000)(2.0452)2 (6.2538) = 102.8941 plantas de caña de (6, 00)(0.5)2 + (2.0452)2 (6.2538)
119
Capítulo 5. El muestreo sistemático h) Suponga que la muestra seleccionada representa una muestra preliminar de tamaño n=30. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total de sacarosa en la población, con una precisión de 3,000 gramos y una confiabilidad de 95 %? n=
N (tn−1,α\2 )2 Ss2 d2 + N (tn−1,α\2 )2 Ss2
donde: N = 6, 000, tn−1,α\2 = t30−1,0.025 = 2.0452, Ss2 = 6,2538 y d = 3, 000 Por lo tanto: (6, 000)2 (2.0452)2 (6.2538) = 102.8941 plantas de caña (3, 000)2 + (6, 000)(2.0452)2 (6.2538) de azúcar (muestra) n=
Ejemplo 4. Una línea por turno produce N = 1, 500 paquetes de microprocesadores, donde cada paquete contiene 10 microprocesadores, y se desea estimar el número de microprocesadores dañados por paquete. Se toma una muestra sistemática de n = 15 paquetes. A continuación elegimos k. k=
1500 N = = 100 n 15
Esto quiere decir que se debe muestrear cada 100 elementos (paquetes). Los datos correspondientes se presentan en el cuadro 5.5. Cuadro 5.5: El Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
número de microprocesadores dañados por caja Muestra Núm. de defectuosos Paquete 15 3.00 Paquete 115 4.00 Paquete 215 5.00 Paquete 315 2.00 Paquete 415 1.00 Paquete 515 5.00 Paquete 615 1.00 Paquete 715 1.00 Paquete 815 2.00 Paquete 915 3.00 Paquete 1,015 4.00 Paquete 1,115 3.00 Paquete 1,215 2.00 Paquete 1,315 4.00 Paquete 1,415 2.00
a) ¿Cuál es el promedio de microprocesadores dañados por paquete? y¯s =
y1 + y2 + y3 + . . . + yn n 120
y¯s =
3+4+5+2+1+5+1+1+2+3+4+3+2+4+2 = 2.8 15
b) Calcular la varianza muestral (S 2 ).
Ss2 =
n X i=1
yi2 − n¯ y2
n−1 2 (3) + (4)2 + (5)2 + . . . (2)2 − (15)(2.8)2 Ss2 = 15 − 1 26.4 2 = 1.8857 Ss = 14
c) Hallar la varianza estimada de la media muestral. µ ¶µ 2¶ µ ¶µ ¶ N − n S 1500 − 15 1.8857 Sy¯2s = = = 0.1245 N n 1500 15 Sy¯s =
p
Sy¯2s =
√
0.1245 = 0.3528
d) Encontrar el número total de microprocesadores dañados. τˆs = N y¯s = (1, 500)(2.8) = 4, 200 e) Construir un IC para el promedio de microprocesadores dañados con una confiabilidad de 95 %. y¯s ± tn−1,α\2 Sy¯s donde: y¯s = 2.8, Sy¯s = 0.3528, tn−1,α\2 = t15−1,0.025 = 2.1448 Por lo tanto: 2.8 ± (2.1448)(0.3528) 2.8 ± 0.7566 2.0434 ≤ µ ≤ 3.5566 Es decir, se estima que el valor promedio de microprocesadores dañados por paquete está entre 2.0434 y 3.5566. f) Construir un IC para el total de microprocesadores dañados con una confianza de 95 %. τˆ ± N tn−1,α\2 Sy¯s donde: τˆs = 4, 200, N = 1, 500, Sy¯s = 0.3528, tn−1,α\2 = t15−1,0.025 = 2.1448 Por lo tanto: 4, 200 ± (1, 500)(2.1448)(0.3528) 4, 200 ± (1, 500)(0.7566) 4, 200 ± 1, 134.9793 121
Capítulo 5. El muestreo sistemático 3, 065.0276 ≤ τs ≤ 5, 334.9723 Es decir, se estima que el total de microprocesadores dañados fluctúa entre 3,065.0276 y 5,334.9723. g) Suponga que la muestra seleccionada corresponde a una muestra preliminar de tamaño n = 15. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el promedio de microprocesadores por caja, con una precisión de ±0.5 microprocesadores y una confiabilidad de 95 %? n=
N (tn−1,α\2 )2 Ss2 N d2 + (tn−1,α\2 )2 Ss2
donde: N = 1, 500, t(n−1,α\2) = t(15−1,0.025) = 2.1448, Ss2 = 1.8857 y d = 0.5 Por lo tanto:
(1, 500)(2.1448)2 (1.8857) = 33.9138 paquetes de micro(1, 500)(0.5)2 + (2.1448)2 (1.8857) procesadores (muestra) n=
h) Suponga que la muestra seleccionada representa una muestra preliminar de tamaño n = 15. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total, con una precisión de ±750 microprocesadores y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (tn−1,α\2 )2 Ss2 d2 + N (tn−1,α\2 )2 Ss2
donde: N = 1, 500, t(n−1,α\2) = t(12−1,0.025) = 2.1448, Ss2 = 1.8857 y d = 750 Por lo tanto:
(1, 500)2 (2.1448)2 (1.8857) = 33.9138 paquetes de micro(750)2 + (1, 500)(1.8857)(2.1448)2 procesadores (muestra) n=
5.4.
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime los parámetros siguientes: a) El IC para la media y el total con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la media y el total de tal manera que sean estimados con una precisión de 5 % de la media y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. Asistieron N = 5, 000 personas a una fiesta, las cuales fueron enumeradas del 1 al 5,000 al momento de llegar. Se desea conocer la cantidad promedio de cervezas ingeridas por individuo, siendo ésta la única bebida alcohólica en la fiesta. Para ello se tomó una muestra sistemática de 25 personas a quienes se les preguntó el número de cervezas que ingirieron. Véase en el 122
cuadro 5.6.
Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Cuadro 5.6: Datos de la muestra.
No. de Muestra Persona 25 Persona 225 Persona 425 Persona 625 Persona 825 Persona 1,025 Persona 1,225 Persona 1,425 Persona 1,625 Persona 1,825 Persona 2,025 Persona 2,225 Persona 2,425
Ingeridas 7.5 6 5 7 5 4 7 3 8 3.5 4.5 6 6.5
Obs. 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
No. De Muestra Persona 2,625 Persona 2,825 Persona 3,025 Persona 3,225 Persona 3,425 Persona 3,625 Persona 3,825 Persona 4,025 Persona 4,225 Persona 4,425 Persona 4,625 Persona 4,825
Ingeridas 7 3 6 6 6 5 6 5 4 4.5 5 7
Ejercicio 2. Una empacadora de limones de Tecomán, Colima, empaca N = 2, 000 cajas de limones por turno. Se desea estimar el número de limones dañados por caja. Se toma una muestra sistemática de n = 20. Use la información del cuadro 5.7.
Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Muestra Caja 10 Caja 110 Caja 210 Caja 310 Caja 410 Caja 510 Caja 610 Caja 710 Caja 810 Caja 910
Cuadro 5.7: Datos de la muestra.
Limones dañados 105 106 108 100 95 110 109 100 115 80
Obs. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Muestra Caja 1,010 Caja 1,110 Caja 1,210 Caja 1,310 Caja 1,410 Caja 1,510 Caja 1,610 Caja 1,710 Caja 1,810 Caja 1,910
Limones dañados 105 109 100 110 100 100 105 105 100 100
Ejercicio 3. En una colonia de la ciudad de Guadalajara hay N = 2, 500 casas, las cuales se enumeraron del 1 al 2,500. La Comisión Nacional del Agua desea estimar el gasto promedio de agua en cientos de litros por casa. Para ello tomó una muestra sistemática de n = 12. Use la información del cuadro 5.8. ∗ Cientos de litros Ejercicio 4. En una empresa que se dedica a la digitalización de documentos, se escanea N = 1, 500 cajas por día. Se desea conocer la cantidad de Documentos no Escaneados Adecuadamente (DNEA), por lo que se enumeraron las 123
Capítulo 5. El muestreo sistemático
Obs. 1 2 3 4 5 6
Cuadro 5.8: Datos de la muestra.
No. de Muestra Medidor casa no. Medidor casa no. Medidor casa no. Medidor casa no. Medidor casa no. Medidor casa no.
2300 8 216 424 632 840
Litros∗ 2.5 2.2 2.7 2.9 2.4 2.2
Obs. 7 8 9 10 11 12
No. De Muestra Medidor casa no. Medidor casa no. Medidor casa no. Medidor casa no. Medidor casa no. Medidor casa no.
1048 1258 1464 1672 1880 2088
Litros 2.8 2.6 2.5 2.4 3 2.9
cajas del 1 al 1,500 y se tomó una muestra n = 15 cajas. Véase la información del cuadro 5.9.
Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8
5.5.
Cuadro 5.9: Datos de la muestra.
No. de Muestra Caja no. 60 Caja no.160 Caja no. 260 Caja no. 360 Caja no. 460 Caja no. 560 Caja no. 660 Caja no. 760
DNEA 2 3 2 4 2 3 1 4
Obs. 9 10 11 12 13 14 15
No. de Muestra Caja no. 860 Caja no. 960 Caja no. 1060 Caja no. 1160 Caja no. 1260 Caja no. 1360 Caja no. 1460
DNEA 5 2 3 3 2 2 4
La estimación de la proporción poblacional
Al igual que en los métodos anteriores, en ocasiones se desea estimar una proporción, es decir, el objetivo es estimar la frecuencia de una característica en particular. De esta forma, la observación que posea la característica de interés tomará el valor de 1 o 0 de otro modo. No es difícil justificar que la variable medida tenga una distribución binomial con parámetros n y p, donde n representa el tamaño de la muestra y p la proporción o frecuencia relativa de éxitos en las n observaciones. Las ecuaciones que se presentarán a continuación son idénticas a las expuestas en la sección dedicada a proporciones en el capítulo de muestreo simple aleatorio y poseen las mismas propiedades estadísticas. Sin embargo, las varianzas de las poblaciones no necesariamente son las mismas en ambos casos. Si nos referimos a una muestra sistemática proveniente de una población aleatoria con un tamaño poblacional grande, las varianzas pueden llegar a ser las mismas (Scheaffer, 1987 [2]).
5.5.1. El estimador de la proporción y el total
ps = y¯s =
n X i=1
n
yi (5.2) 124
(5.3)
τs = N p s
5.5.2. La varianza estimada de la proporción y el total sistemático µ
¶ N − n ³ p s qs ´ = N n ¶³ µ p s qs ´ N −n 2 2 S τs = N N n Sp2s
(5.4) (5.5)
donde qs = 1 − ps . Por último, para estos estimadores (5.4 y 5.5) presentamos intervalos de confianza, que nos indican los límites de la proporción y el total con una confiabilidad de (1 − α) por ciento.
5.5.3. El intervalo de confianza para la proporción y el total sistemático ps ± t(n−1,α\2)
sµ
τˆs ± t(n−1,α\2) N
N −n N
sµ
¶³
N −n N
p s qs ´ n
¶³
p s qs ´ n
5.5.4. La selección del tamaño de muestra para la proporción y el total Para determinar el tamaño de muestra que estime ps o τs se elige una precisión que estamos dispuestos a aceptar. Es decir, q (5.6) d = t(n−1,α/2) Sp2s , El tamaño de muestra para estimar la proporción Despejando n de esta ecuación (5.6), obtenemos: ¢2 ¡ N t(n−1,α/2) ps qs n= ¢2 ¡ N d2 + t(n−1,α/2) ps qs Para fines prácticos la varianza poblacional se sustituye por la varianza muestral. 125
Capítulo 5. El muestreo sistemático
El tamaño de muestra para estimar el total ¢2 ¡ N 2 t(n−1,α/2) ps qs n= ¢2 ¡ d2 + N t(n−1,α/2) ps qs
La varianza poblacional la podemos sustituir por la muestral, con fines prácticos.
5.5.5. Ejemplos Ejemplo 1. La administración de la Universidad de Colima desea conocer la cantidad de alumnos que están satisfechos por las mejoras y los logros alcanzados por el presidente de México. Para realizar dicha encuesta se elegirán k alumnos entre los 10,000 estudiantes de la Universidad de Colima. Se pretende obtener una muestra de 18 alumnos. A continuación obtenemos k: k=
N 10, 000 = = 555.5556 n 18
Dado que N no es multiplo de n por lo tanto k = 556, el entero más cercano. Por ello, el primer alumno que será encuestado se elegirá aleatoriamente entre el primero y el 10,000. Los datos se presentan en el Cuadro 5.10.
Cuadro 5.10: Los alumnos satisfechos e insatisfechos. No. de alumno Respuesta 422 0 978 1 1,534 1 2,090 1 2,646 0 3,202 1 3,758 0 4,314 0 4,870 1 5,426 0 5,982 1 6,538 1 7,094 1 7,650 0 8,206 0 8,762 1 9,318 0 9,874 0
a) Determine la proporción verdadera de los alumnos satisfechos con el trabajo del presidente. 126
ps =
n X i=1
n
yi =
a 9 = = 0.5 ó 50 % de alumnos satisfechos n 18
qs = 1 − ps = 1 − 0.5 = 0.5 ó 50 % de alumnos insatisfechos b) La desviación estándar de la proporción muestral (Sp ). sµ ¶ N − n ³ p s qs ´ S ps = N n
donde: N = 10, 000, n = 18, ps = 0.5 y qs = 0.5
Por lo tanto: s ¶µ ¶ µ p √ (0.5)(0.5) 10, 000 − 18 = (0.9982)(0.0139) = 0.9982 = 0.1177 S ps = 10, 000 18 c) Construya un IC de 95 % para la proporción verdadera. ps ± tn−1,α/2 Sps
donde: ps = 0.5, Sps = 0.1177 y tn−1,α\2 = t17,0.025 = 2.1098 Por lo tanto: 0.5 ± (2.1098)(0.1177) 0.5 ± 0.2484 0.2516 ≤ Ps ≤ 0.7484 Con 95 % de confianza se estima que la proporción verdadera de alumnos satisfechos está entre 0.2516 y 0.7484, es decir, entre 25.163 y el 74.84 %. d) Realice la estimación puntual del total verdadero de alumnos satisfechos. τˆ = N ps donde: N = 10, 000 y ps = 0.5 Por lo tanto: τˆ = (10, 000)(0.5) = 5, 000
e) Estime por intervalo del total verdadero de alumnos satisfechos, con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± t(n−1,α\2) N Sps donde: N = 5, 000, ps = 0.1177, N = 10, 000 y t(n−1,α\2) = t(17,0.025) = 2.1098 Por lo tanto: 5, 000 ± (10, 000)(2.1098)(0.1177) 5, 000 ± (10, 000)(0.2484) 500 ± 248.4 127
Capítulo 5. El muestreo sistemático 2, 515.7973 ≤ τs ≤ 7, 484.2027 Por lo tanto, el total de alumnos satisfechos está entre 2,515.7973 y 7,484.2027. f) Suponga que n = 18 alumnos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción verdadera con una precisión de 15 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
N (t(n−1,α\2) )2 ps qs N d2 + (t(n−1,α\2) )2 ps qs
donde: N = 10, 000, ps = 0.5, qs = 0.5, t(n−1,α\2) = t(17,0.025) = 2.1098 y d = (0.15)(ps ) = (0.15)(0.5) = 0.075 Por lo tanto: n= tra)
(10, 000)(2.1098)2 (0.5)(0.5) = 194 por alumnos (mues(10, 000)(0.075)2 + (2.1098)2 (0.5)(0.5)
g) Suponga que n = 18 estudiantes es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el total con una precisión de 15 % del total preliminar y una confiabilidad de 95 %? ¢2 ¡ N 2 t(n−1,α\2) ps qs n= ¢2 ¡ d2 + N t(n−1,α\2) ps qs
donde: N = 10, 000, ps = 0.5, qs = 0.5, t(n−1,α\2) = t(17,0.025) = 2.1098 y d = (0.15)(10, 000)(0.5) = 750 Por lo tanto: n=
(10, 000)2 (2.1098)2 (0.5)(0.5) = 194 alumnos (muestra) (750)2 + (10, 000)(2.1098)2 (0.5)(0.5)
Ejemplo 2. La Secretaría de Salud del estado de Colima está interesada en conocer la cantidad de colimenses que al menos en una ocasión se ha enfermado de dengue. Supóngase que N = 8, 000 personas y se pretende encuestar a 16 personas. El primer paso es estimar k: k=
N 8000 = = 500 n 16
Esto significa que a la primera persona que se le preguntará será elegida aleatoriamente entre 1 y 500, consecutivamente cada 500 se tomará a otra persona ( véase en el Cuadro 5.11).
a) Realice la estimación puntual de la proporción de colimenses que han padecido dengue. 128
Cuadro 5.11: Los colimenses que al menos en una ocasión se han enfermado de dengue. Núm. de personas Respuesta 187 0 687 1 1,187 0 1,687 0 2,187 0 2,687 0 3,187 1 3,687 1 4,187 0 4,687 0 5,187 0 5,687 1 6,187 0 6,687 0 7,187 0 7,687 0
ps = do dengue medad
n X
yi
i=1
n
=
a 4 = = 0.25 ó 25 % de colimenses han padecin 16
qs = 1 − ps = 1 − 0.25 = 0.75 ó 75 % que no han padecido la enfer-
b) Halle la desviación estándar de la proporción muestral (SpS ). sµ ¶ N − n ³ p s qs ´ S ps = N n
donde: N = 8, 000, n = 16, ps = 0.25 y qs = 0.75 Por lo tanto: S ps =
sµ
8, 000 − 16 8, 000
¶µ
(0.25)(0.75) 16
¶
=
p (0.998)(0.0117188) = 0.1081
c) Calcule un IC de 95 % para la proporción verdadera. ps ± t(n−1,α\2) Sps donde: ps = 0.25, Sps = 0.01081 y t(n−1,α\2) = t(15,0.025) = 2.1314 Por lo tanto: 129
Capítulo 5. El muestreo sistemático 0.25 ± (2.1314)(0.1081) 0.25 ± 0.2305 0.0195 ≤ Ps ≤ 0.4805 Por lo tanto, la proporción verdadera de colimenses que ha padecido dengue alguna vez en su vida está entre 0.0195 y 0.4805, es decir, entre 1.95 y 48.05 por ciento. d) Determine la estimación puntual del total verdadero de colimenses que han padecido dengue alguna vez. τˆ = N ps donde: N = 8, 000 y ps = 0.25 Por lo tanto: τˆ = (8, 000)(0.25) = 2, 000 colimenses e) Encuentre por intervalo del total verdadero de colimenses que ha padecido dengue, con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± t(n−1,α\2) N Sps donde: τˆ = 2, 000, ps = 0.25 y N = 8, 000, t(n−1,α\2) = t(15,0.025) = 2.1314 Por lo tanto: 2, 000 ± (8000)(2.1314)(0.1081) 2, 000 ± (8, 000)(0.2305) 2, 000 ± 1844.0 155.9574 ≤ τs ≤ 3844.0426 De ahí que el total de colimenses que han padecido dengue alguna vez en su vida está entre 155.9574 y 3,844.0426. f) Suponga que los datos conformaron una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción verdadera con una precisión de 0.075 y una confiabilidad de 95 %? n=
N (t(n−1,α\2) )2 ps qs N d2 + (t(n−1,α\2) )2 ps qs
donde: N = 8, 000, ps = 0.25, qs = 0.75, tn−1,α\2 = t15,0.025 = 2.1314 y d = 0.075 Por lo tanto: n= trales)
(8, 000)(2.1314)2 (0.25)(0.75) = 149 colimenses (unidades mues(8, 000)(0.075)2 + (2.1314)2 (0.25)(0.75)
g) Suponga que n = 16 es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de 130
muestra necesario para estimar el total con una precisión de 600 y una confiabilidad de 95 %? 2 N 2 (t(n−1,α\2) ) ps qs n= d2 + N (t(n−1,α\2) )2 ps qs donde: N = 8, 000, ps = 0.25, qs = 0.75, tn−1,α\2 = t15,0.025 = 2.1314 y d = 600 por lo tanto: tra)
(8, 000)2 (2.1314)2 (0.25)(0.75) n = = 149 colimenses (mues(600)2 + (8, 000)(2.1314)2 (0.25)(0.75)
Ejemplo 3. Se tiene una población de 300 estudiantes y se pretende saber cuántos de ellos poseen licencia para conducir. Para realizar la estimación se toma una muestra sistemática de 19 estudiantes. A continuación obtenemos k: dado que
N 300 = = 15.7895, entonce k = 16 n 19
Dado que N no es multiplo de n por ello k = 16 (el entero más cercano) y el primer elemento se elige al azar entre el 1 y 300. La encuesta arrojó los datos que están en el Cuadro 5.12. Cuadro 5.12: Los estudiantes que tienen licencia para conducir Núm. de estudiantes Respuesta 11 0 27 1 43 0 59 0 75 0 91 1 107 1 123 1 139 0 155 0 171 0 187 0 203 1 219 0 235 1 251 0 267 1 283 0 299 1
a) Realice la estimación puntual para la proporción de estudiantes que cuentan con una licencia para conducir. 131
Capítulo 5. El muestreo sistemático
ps = cencia
n X
yi
i=1
n
=
a 8 = = 0.4211 ó 42.11 % de estudiantes con lin 19
qs = 1 − ps = 1 − 0.4211 = 0.5789 ó un 57.89 % sin licencia b) La desviación estándar de la proporción muestral (Sp ). sµ ¶ N − n ³ p s qs ´ S ps = N n
donde: N = 300, n = 19, ps = 0.4211 y qs = 0.5789 Por lo tanto: S ps
sµ
¶µ ¶ p 300 − 19 (0.4211)(0.5789) = = (0.936)(0.0120094) 300 19 √ 0.0120094 = 0.1096 =
c) Calcule un IC de 95 % para la proporción verdadera. ps ± t(n−1,α\2) Sps donde: ps = 0.4211, Sps = 0.1096 y t(n−1,α\2) = t(18,0.025) = 2.101 Por lo tanto: 0.4211 ± (2.101)(0.1096) 0.4211 ± 0.2303 0.1907 ≤ Ps ≤ 0.6514 Lo anterior significa que la proporción verdadera de estudiantes que cuentan con una licencia para conducir está entre 0.1907 y 0.6514, es decir, entre 19.07 y el 65.14 %. d) La estimación puntual del total verdadero de estudiantes que tienen una licencia para conducir. τˆ = N ps donde: N = 300 y ps = 0.4211 Por lo tanto: τˆ = (300)(0.4211) = 126.3158 e) Construya un IC para el total verdadero de estudiantes que cuentan con licencia para conducir, con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± t(n−1,α\2) N Sps donde: τˆ = 126.3158, N = 300, Sps = 0.1096 y t(n−1,α\2) = t(18,0.025) = 2.101 132
Por lo tanto: 126.3158 ± (300)(2.101)(0.1096) 126.3158 ± (300)(0.2303) 126.3158 ± 69.0931 57.2227 ≤ τs ≤ 195.4089 f) Suponga que n = 19 estudiantes es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción verdadera con una precisión de 10 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? N (t(n−1,α\2) )2 ps qs n= N d2 + (t(n−1,α\2) )2 ps qs donde: N = 300, ps = 0.4211, qs = 0.5789, t(n−1,α\2) = t(18,0.025) = 2.101 y d = (0.10)(p) = (0.10)(0.4211) = 0.04211 Por lo tanto: n=
(300)(2.101)2 (0.4211)(0.5789) = 201 estudiantes (muestra) (300)(0.04211)2 + (2.101)2 (0.4211)(0.5789)
g) Suponga que n = 19 estudiantes es una muestra preliminar. Por lo tanto, ¿cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el total verdadero con una precisión de 10 % del total preliminar y una confiabilidad de 95 %? 2
n=
N 2 (t(n−1,α\2) ) ps qs d2 + N (t(n−1,α\2) )2 ps qs
donde: N = 300, ps = 0.4211, qs = 0.5789, t(n−1,α\2) = t(18,0.025) = 2.101 y d = (0.10)(300)(0.42) = 12.633 Por lo tanto: n= tra)
(300)2 (2.101)2 (0.4211)(0.5789) = 201 estudiantes (mues(12.633)2 + (300)(2.101)2 (0.4211)(0.5789)
Ejemplo 4. Con la finalidad de saber la necesidad de implementar una campaña de vacunación, el IMSS desea conocer cuantos de sus asegurados contrajeron gripe o tos por lo menos una vez en los últimos 6 meses. Tiene 12,000 pacientes, de los cuales decide tomar una muestra de 22 pacientes (cuadro 5.13) N 12000 = = 545.4545 ⇒ k = 545 n 22 De igual forma como N no es multiplo de n por ello k = 545 y el primer elemento se elige al azar de entre el 1 y 12,000.
a) La estimación puntual de la proporción. 133
Capítulo 5. El muestreo sistemático Cuadro 5.13: Los asegurados que contrajeron gripe o tos por lo menos una vez en los últimos seis meses Núm. de paciente Respuesta 341 0 886 0 1,431 0 1,976 1 2,521 0 3,066 0 3,611 1 4,156 1 4,701 1 5,246 0 5,791 1 6,336 0 6,881 0 7,426 0 7,971 0 8,516 0 9,061 1 9,606 0 10,151 1 10,696 1 11,241 0 11,786 0
ps =
n X i=1
n
yi =
a 8 = = 0.3636 ó 36.4 % n 22
qs = 1 − ps = 1 − 0.36 = 0.6364 ó 63.6 % b) La desviación estándar de la proporción muestral (Sps ). sµ ¶ N − n ³ p s qs ´ S ps = N n
donde: N = 12, 000, n = 22, ps = 0.36 y qs = 0.64 Por lo tanto: S ps
sµ
¶µ ¶ p 12, 000 − 22 (0.3636)(0.6364) = (0.9982)(0.010447) = 12, 000 22 √ = 0.010453876 = 0.1025
c) Un IC de 95 % para la proporción verdadera. 134
ps ± t(n−1,α\2) Sps donde: ps = 0.3636, Sps = 0.1025 y t(n−1,α\2) = t(21,0.025) = 2.0796 Por lo tanto: 0.3636 ± (2.0796)(0.1025) 0.3636 ± 0.2131 0.1505 ≤ Ps ≤ 0.5767 Por lo tanto, la proporción verdadera de asegurados que han contraído gripe o tos en los últimos seis meses entre 15.05 y el 57.67 %. d) La estimación puntual del total. τˆ = N ps donde: N = 12, 000 y ps = 0.3636 Por lo tanto: τˆ = (12, 000)(0.3636) = 4, 363.6364 asegurados que han contraído gripe o tos. e) Un IC para el total verdadero de asegurados que han contraído gripe o tos en los últimos seis meses, con una confiabilidad de 95 %. τ ± t(n−1,α\2) N Sp donde: τˆ = 4, 363.6364, ps = 0.1025, N = 12, 000 y t(n−1,α\2) = t(21,0.025) = 2.0796 Por lo tanto: 4, 363.6364 ± (12, 000)(2.0796)(0.1025) 4, 363.6364 ± (12, 000)(0.2131) 4, 363.6364 ± 2, 557.908 1, 806.5790 ≤ τs ≤ 6, 920.6937 f) Suponga que 22 asegurados constituyen una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción verdadera con una precisión de 10 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (t(n−1,α\2) )2 ps qs d2 + N (t(n−1,α\2) )2 ps qs
donde: N = 12, 000, ps = 0.3636, qs = 0.6364, t(n−1,α\2) = t(21,0.025) = 2.0796 y d = (0.10)(p) = (0.10)(0.3636) = 0.03636 por lo tanto: n= (muestra)
(12, 000)(2.0796)2 (0.3636)(0.6364) = 713 asegurados (12, 000)(0.03636)2 + (2.0796)2 (0.3636)(0.6364) 135
Capítulo 5. El muestreo sistemático
g) Suponga que n = 22 asegurados en realidad es una muestra preliminar. Por lo tanto, ¿cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar el total con una precisión de 10 % del total preliminar y una confiabilidad de 95 %? 2
N 2 (t(n−1,α\2) ) pq n= 2 d + N (t(n−1,α\2) )2 pq donde: N = 12, 000, ps = 0.3636, qs = 0.6364, t(n−1,α\2) = t(21,0.025) = 2.0796 y d = (0.10)(12, 000)(0.3636) = 436.32 Por lo tanto: n= (muestra)
5.6.
(12, 000)2 (2.07966)2 (0.3636)(0.6364) = 713 asegurados (436.32)2 + (12, 000)(2.0796)2 (0.3636)(0.6364)
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime los parámetros siguientes: a) El IC para la proporción y el total con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción y el total de tal manera que sean estimados con una precisión de 6 % de la proporción y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. Una empresa constructora tiene empleados a N = 1, 200 albañiles para una mega construcción. Con la finalidad de estimar el porcentaje de albañiiles a los que les gusta la cerveza, se toma una muestra sistemática de n = 12 albañiles. Los resultados se presentan en el cuadro (5.15).
Cuadro 5.15: Albañiles que consumen cerveza Obs. No. Muestra Consume Obs. No. Muestra Consume 2 7 0 7 607 1 1 107 1 8 707 0 3 207 0 9 807 1 4 307 1 10 907 1 5 407 0 11 1007 1 6 507 1 12 1107 1
Ejercicio 2. Una empresa que produce N = 5, 000 colchones por semana, decide tomar una muestra sistemática de n = 10 colchones, el objetivo es estimar el porcentaje de colchones que no cumplen con los requerimientos de calidad. Use la información del cuadro (5.16). 136
Cuadro 5.16: Muestra de colchones. Obs. No. Muestra Cumple Obs. No. Muestra 1 210 1 6 2710 2 710 1 7 3210 3 1210 0 8 3710 4 1710 0 9 4210 5 2210 1 10 4710
Cumple 1 1 1 1 1
Ejercicio 3. La embajada Francesa en México desea conocer el porcentaje de colimenses que han visitado Francia, supóngase que la población del estado de colima es de N = 10, 000 personas de las cuales se toma una muestra sistemática de n = 20 individuos. Use la información del cuadro (5.17). Cuadro 5.17: colimenses que han visitado Francia. Obs. No. Muestra Respuesta Obs. No. Muestra Respuesta 1 300 0 11 5300 0 2 800 0 12 5800 0 3 1300 1 13 6300 0 4 1800 0 14 6800 1 5 2300 1 15 7300 0 6 2800 0 16 7800 0 7 3300 1 17 8300 1 8 3800 0 18 8800 0 9 4300 1 19 9300 0 10 4800 0 20 9800 1
Ejercicio 4. La Secretaría de Turismo de México desea conocer el porcentaje de colimenses que han visitado la ciudad maya de Palenque, Chiapas. Se supone que la población del estado de Colima es de N = 10, 000 personas. De esta población se extrae la muestra sistemática de n = 10 individuos. Use la información del cuadro (5.18). Cuadro 5.18: colimenses que han visitado Palenque, Chiapas. Obs. No. Muestra Respuestas Obs. No. Muestra Respuestas 1 100 0 6 5100 0 2 1100 0 7 6100 0 3 2100 1 8 7100 0 4 3100 0 9 8100 0 5 4100 1 10 9100 0
137
Capítulo 5. El muestreo sistemático
138
Capítulo 6 El muestreo por conglomerados en una etapa Nunca antes en su historia, la estadística había sido tan querida y repudiada. Tan querida por ser útil, objetiva y muy precisa. Repudiada, por compleja, laboriosa e ingeniosa. OAML
E
el estudio del diseño de encuestas o muestreos existen diferentes opciones para estimar un parámetro. Esas opciones pueden ser diferentes en cuanto a costo, precisión o facilidad de aplicación se refiere. En ocasiones resulta absurdo intentar aplicar alguna de ellas a una población con ciertas características. Por esto, ahora presentamos otro diseño de muestreo, que proporciona herramientas valiosas. N
En los diseños de encuestas las unidades muestrales se pueden definir de diferentes formas. En el caso del muestreo por conglomerados, que revisamos en este capítulo, a diferencia de los anteriores, las unidades muestrales (ahora llamadas unidades de muestreo primarias o conglomerados) están constituidas por varios elementos (o unidades de muestreo secundarias); en estos últimos se realizará la medición, mientras que los primeros nos auxilian para hacer la selección aleatoria. Este es el principio del diseño. Definición: La muestra por conglomerados Una muestra obtenida aleatoriamente de coglomerados (de la misma forma que en el muestreo simple aleatorio), en donde a las unidades de muestreo primarias definidas les llamaremos conglomerados, las cuales son grupos de elementos (o unidades de muestreo secundarias), sobre las que se hará la medición o evaluación de la característica de interés (Pérez, 2000 [3]). Es decir, en éste diseño se extrae bajo MAS una muestra de tamaño n de conglomerados donde cada conglomerado es una colección de elementos o conglomerados. Como se sabe, si se desea realizar una selección aleatoria de unidades, debemos contar con el marco de muestreo adecuado. En ocasiones no es posible 139
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa tener el marco de muestreo u obtenerlo es costoso, además de que el costo del muestreo crece al tener que medir unidades separadas entre sí por una gran distancia física. En el muestreo por conglomerados este costo se reduce sustancialmente, ya que al levantar la información de elementos contiguos o muy cercanos entre sí se evita el costo de transportación y puede operarse también aun sin tener un marco de muestreo completo. Por ello el muestreo por conglomerados, en una, dos o más etapas, es un diseño de muestreo efectivo para obtener una cantidad específica de información, a un costo mínimo, cuando se presentan las siguientes situaciones:
Cuando no se encuentra disponible, no es confiable o es muy caro obtener un marco que contenga la lista de los elementos de la población, sin embargo, es posible disponer fácilmente de un marco que contenga la lista de todos los conglomerados de la población. Aún cuando fuese posible contar con un marco que contenga la lista de todos los elementos de la población, la selección de una muestra aleatoria simple ocasionaría costos excesivamente altos; esto se puede ver claramente en poblaciones grandes y dispersas, es decir, el costo aumenta como consecuencia de la distancia existente entre unidades de estudio.
6.1.
¿Qué puede ser un conglomerado?
En diseños como éste, es importante tener claro lo que será considerado como conglomerado, ya que éstos pueden ser naturales o convenientemente determinados. Dado que cada problema tiene características propias, entonces la definición de conglomerados, también la tendrá. Por lo tanto, únicamente se puede hablar de aspectos generales que es necesario que satisfagan los conglomerados, los cuales son: Que las unidades que conforman cada conglomerado sean lo más diferentes entre sí, y además, que estén lo más próximo posible unas de otras, es decir, que las unidades dentro de cada conglomerado sean lo más heterogéneas y cercas entre sí. Que los conglomerados sean lo más similares entre sí, es decir, homogéneos entre sí. Por ejemplo, en la población de un municipio deseamos conocer cierto parámetro. Los conglomerados podrían agrupar manzanas, colonias o barrios. La decisión se toma de acuerdo con la precisión que se quiera, la información disponible, los objetivos o cualquier criterio que sea de interés para el investigador. Si se tratara del control de calidad de cajas de artículos electrónicos podríamos designar a las cajas como conglomerados (sitios de muestreo) o en el caso de la evaluación nacional de salud, se elegirían hospitales, centros de salud, etcétera (Pérez, 2000 [3]). 140
Si una encuesta por conglomerados se aplicara a cajas que contienen productos terminados, entonces en este caso todos los conglomerados contendrían el mismo número M de productos terminados o elementos (unidades de muestreo secundarias), debido a la uniformidad del proceso de producción y empaque. En este ejemplo diremos que los conglomerados son de tamaño homogéneo, pero es evidente que los casos con estas características no son los más frecuentes y que en general encontraremos conglomerados de tamaños desiguales; es decir, las colonias no tienen el mismo número de habitantes, los sitios de muestreo forestal tampoco contendrán el mismo número de árboles, etc. Pero las técnicas de muestreo probabilístico cubren estas posibilidades, por lo que no hay de que preocuparse. En el diseño de muestreo el investigador elige los conglomerados aleatoriamente y mide todos sus elementos. Además, esos elementos quedarán automáticamente seleccionados al elegir el conglomerado en la muestra, es decir, cada conglomerado de la muestra será censado (Cochran, 1985 [1]). En el diseño de muestreo por conglomerados en una etapa, se asume que todos los elementos incluidos en los conglomerados seleccionados y que constituyen la muestra serán estudiados. Además, cabe señalar que entre este diseño y el aleatorio simple existe una gran similitud en cuanto a las expresiones relacionadas con el tamaño de muestra, con la diferencia que el aleatorio simple utiliza unidades muestrales elementales, mientras que el muestreo por conglomerados, considera grupos de unidades elementales.
6.2.
Una comparación con el muestreo estratificado Muestreo estratificado Mayor precisión con relación al muestreo simple aleatorio. Los estratos deben contener elementos que sean muy homogéneos entre ellos. Para obtener una mayor precisión, la diferencia debe ser grande entre estratos. La varianza de la estimación de la media depende de la variabilidad de los valores dentro del estrato.
Muestreo por conglomerados Menor precisión con relación al muestreo simple aleatorio. Los conglomerados deben contener elementos lo más heterogéneos posible entre ellos. Para una mayor precisión, los conglomerados deben ser muy similares. La varianza de la estimación de la media depende de la variabilidad que existe entre las medias de los conglomerados.
141
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa Figura 1. Comparación gráfica del muestreo estratificado vs el de conglomerados.
En el estratificado se seleccionan algunas unidades de cada estrato. En el muestreo por conglomerados se seleccionan algunos de ellos y de los seleccionados se miden todas las unidades.
6.3.
Acerca del tamaño del conglomerado
Es importante resaltar que el conglomerado debe ser de un tamaño ”moderado ” o de tal naturaleza que todas las observaciones (observación j en el conglomerado i) puedan obtenerse con relativa facilidad. Sin embargo, no es difícil imaginar situaciones en las que el conglomerado sea grande. Por ejemplo, si los conglomerados elegidos son conjuntos de viviendas de 120 manzanas y de ellas deben ser elegidos todos los niños menores de 6 años, el conjunto a censar sería demasiado grande, o si el conjunto fuera un archivero y tuviera miles de hojas y fuera necesario calcular estimaciones por hoja; en tales casos es razonable pensar que el esquema de muestreo por conglomerados en una etapa no es apropiado, sino otro en dos etapas, Pérez (2000) [3].
Notación N : el número de conglomerados en la población o unidades de muestreo primarias (U M P ) que cubre a toda la población, sin traslapes. n: el número de conglomerados seleccionados de una muestra simple aleatoria. Mi : el número de elementos o unidades de muestreo secundarias (U M S) en el conglomerado, i = 1, 2, ..., N . N X M = Mi : el número de elementos o unidades de muestreo secundarias en i=1
la población. ¯ : el número promedio de U M S por U M P (o conglomerado) en la población. M τi = yi . : el total del conglomerado i. Mi X yij y¯i. =
j=1
Mi
: la media a nivel de U M S del conglomerado i.
142
N X
yi.
i=1
: el total promedio por U M P . N Mi N N X X X yij : el total de la población. τ= τi = y¯. =
i=1
i=1 j=1
τ µ= : la media a nivel de U M S. M yij = : el valor de la j-ésima U M S en el i-ésimo conglomerado. El punto en el subíndice simboliza todas las U M S del conglomerado i. M i se refiere al número de U M S que contiene el conglomerado i. Pudiera darse el caso de que se seleccione sólo una parte del conglomerado, digamos mi entre las M i U M S, lo cual nos lleva al diseño de muestreo conglomerado en dos etapas que no está al alcance de este libro.
6.4.
La estimación de una media y un total poblacional con M conocida
El muestreo por conglomerados es muy conveniente cuando el costo de llegar a las unidades primarias es muy alto con relación al costo de medir las unidades secundarias dentro de un conglomerado. Para elegir los conglomerados (U M P ) que estarán en la muestra, se sigue el mismo procedimiento que en el muestreo simple aleatorio, por lo que los estimadores de la media, µ, y el total, τ , se obtienen de manera similar. Sin embargo, es importante observar que los datos del muestreo por conglomerados permiten obtener estimaciones a diferentes niveles de la población. Es decir, en una encuesta sobre los sitios para medir la cantidad de madera de árboles, las observaciones individuales yij incluyen los volúmenes por árboles que hay, τi es el volumen total del sitio (para un conglomerado incluido en la muestra, pues se contabilizan a todos los árboles del sitio), τ es el volumen de toda la población y µ es el volumen promedio por árbol. A continuación se presentan los estimadores suponiendo una muestra aleatoria de n conglomerados y que cada uno contiene M i elementos (Scheaffer, 1987 [2]).
6.4.1. El estimador de la media poblacional
µ ˆ = y¯c =
n X
yi.
i=1
n X i=1
= Mi
Mi n X X i=1 j=1 n X
yij (6.1)
Mi
i=1
143
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa
6.4.2. El estimador del total poblacional
n X
n X
yi. τi i=1 i=1 =M τˆc = M y¯c = M n n X X Mi Mi i=1
(6.2)
i=1
Debe quedar muy claro que los estimadores (6.1 y 6.2) del promedio y del total son de U M S en toda la población (Scheaffer, 1987 [2]). Si se substituye n por N se obtendrían los parámetros µ y τ . Se necesita la varianza de estos estimadores para conocer la dispersión de los datos y para saber la precisión de las estimaciones. Estas varianzas se muestran a continuación.
6.4.3. La varianza estimada de y¯c y τˆc
Vˆ (¯ yc ) =
µ
¶ ¶µ ¶µ 1 1 N −n ¯2 N n M
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2 n−1
Vˆ (ˆ τc ) = Vˆ (M y¯c ) = M 2 Vˆ (¯ yc ) n X (yi. − y¯c Mi )2 ¶ ¶µ ¶µ µ 1 1 N −n i=1 = M2 2 ¯ N n n−1 M n X (yi. − y¯c Mi )2 ¶ ¶µ ¶µ µ ¡ ¢ 1 1 i=1 ¯ 2 N −n = NM 2 ¯ N n n−1 M n X (yi. − y¯c Mi )2 ¶µ ¶ µ 1 i=1 N −n = N2 N n n−1
(6.3) (6.4)
Al conocer los estimadores de las varianzas de y¯c y τˆc (6.3 y 6.4) se puede calcular sus correspondientes intervalos de confianza, lo que dará los límites en los que se encuentran las estimaciones, es decir, una idea acerca de la precisión de las estimaciones. Es importante mencionar que los estimadores de las varianzas obtenidos con las ecuaciones (6.3 y 6.4) son sesgadas, pero pueden ser aceptables si n es "grande"(digamos n > 30) y el sesgo desaparecería si los tamaños de los conglomerados fueran iguales (todas las Mi iguales).
6.4.4. El intervalo de confianza de la media y el total q y¯c ± t(n−1,α/2) Vˆ (¯ yc ) q τc ) τˆc ± t(n−1,α/2) Vˆ (ˆ
(6.5) (6.6) 144
6.4.5. La determinación del tamaño de muestra La precisión de las estimaciones depende del tamaño de la muestra y del modo en que esté conformada. Así pues, en el diseño por conglomerados se busca exactamente la situación inversa al diseño estratificado ya que formaremos conglomerados que sean homogéneos entre ellos, pero que en su interior mantengan una marcada heterogeneidad. Es decir, que haya valores superiores a la media general y otros menores a ella, de tal forma que el diseño resulte casi tan preciso como la selección aleatoria. Sin embargo, en algunas ocasiones los conglomerados ya están definidos por algún esquema y no es posible construirlos de tal forma que el diseño sea más eficiente, lo cual representa una desventaja en cuanto a la precisión. Por otro lado, esta condición también puede representar una ventaja ya que al utilizar un muestreo por conglomera-do, no requerimos de un marco de muestreo de elementos. Obsérvese que a diferencia de los diseños anteriores, la muestra por conglomerados también será definida por el tamaño relativo de los conglomerados. Además, el tamaño del límite para el error de estimación depende de la variación entre los totales de conglomerados, es así que confirmamos que para obtener límites pequeños de error de estimación debemos seleccionar conglomerados con la menor variación posible entre estos totales. Supondremos que el tamaño del conglomerado es fijo y nos interesa saber el número n de conglomerados que seleccionaremos. De la misma manera que en los diseños anteriores, al no conocer σc2 o el tamaño promedio del conglomerado, se complica la decisión sobre el número de conglomerados necesarios para conseguir una cantidad específica de información concerniente a un parámetro poblacional. Si este fuera el caso, usaríamos los estimadores de σc2 y ¯ que podrían estar disponibles en encuestas previas o, en todo caso, obtenM erse a través de una encuesta piloto seleccionando una muestra preliminar, digamos n, y con esta información podemos calcular el tamaño de muestra n.
· ¸ q ˆ ˆ Procediendo de manera análoga a los diseños anteriores, t(n−1,α/2) V (θ)
es el error asociado a la estimación, llamado precisión, es decir, · ¸ q ˆ , d = tn−1,α/2 Vˆ (θ)
(6.7)
donde θˆ representa el estimador del parámetro de interés. De la expresión anterior (6.7) y con θˆ = y¯c se despeja n para obtener el tamaño de muestra. 145
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa El tamaño de muestra para estimar el promedio ¢2 ¡ N t(n−1,α/2) σc2 n= ¢ ¡ ¯ 2 d2 + t(n−1,α/2) 2 σc2 NM σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2 n−1
Para determinar el tamaño de muestra con base en τc , se procede de forma similar a la anterior dado que V (ˆ τc ) = V (M y¯c ) = M 2 V (¯ yc ). Así, utilizando este resultado es fácil llegar a la siguiente ecuación para el tamaño de muestra para estimar τ . El tamaño de muestra para estimar el total usando M y¯c n=
σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
N 2 (tn−1,α/2 )2 σc2 ¢2 ¡ d2 + N tn−1,α/2 σc2
(yi. − y¯c Mi )2 n−1
6.4.6. Ejemplos Ejemplo 1. La Universidad de Colima tiene 10,000 estudiantes inscritos en 220 grupos con diferente número de estudiantes. Con la finalidad de estimar el gasto promedio por estudiante en útiles escolares, se toma una muestra aleatoria simple de 5 grupos, y de cada grupo se le pregunta a cada integrante sobre su gasto en útiles escolares (cuadro 6.2).
146
Cuadro 6.2: El gasto en útiles escolares por estudiante (en pesos). Grupo 1 104 86 114 106 74 125 114 90 98 120 97 99 112 112 104 125 93 129 81 78 121 93 114 92 107 114 101 101 98 92
y1. = 3, 094
Grupo 2 107 106 101 97 64 109 97 102 93 121 130 90 98 107 114 89 89 72 116 111 93 67 94 79 91 114 109 109 121 112 103 79
Grupo 3 96 108 114 124 103 98 96 103 124 103 105 104 99 104 100 110 102 107 102 112 116 101 106 114 94 109 91 96 99 83 115
Grupo 4 91 84 70 79 92 131 88 96 99 100 77 69 83 70 81 67 70 112 100 104 87 81 101 94 126 102 69 78 122 73 102 123 109 122 90 94 y2. = 3, 184 y3. = 3, 238 y4. = 3, 302
Grupo 5 113 118 105 96 119 118 113 97 127 119 115 100 80 94 113 128 92 82 124 74 122 87 89 132 94 88 134 111 141 91 127 123 136 114
y5. = 3, 716
147
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa Determine lo siguiente: a) Encontrar la media.
µ ˆ = y¯c =
n X
yi.
i=1
n X i=1
= Mi
Mi n X X
yij
i=1 j=1 n X
Mi
i=1
donde: N = 220: es el número total de grupos en la población n = 5: el número de grupos o conglomerados seleccionados M = 10, 000: el total de estudiantes en la población M1 = 30, M2 = 32, M3 = 32, M4 = 36 y M5 = 34 :tamaño de cada conglomerado seleccionado Por lo tanto: y¯c =
3, 094 + 3, 184 + 3, 238 + 3, 302 + 3, 716 16, 534 = = 101.4356 30 + 32 + 31 + 36 + 34 163
b) Hallar el total. τˆc = M y¯c donde: M = 10, 000: el total de estudiantes en la población y¯c = 101.4356: el gasto promedio en útiles escolares por estudiante Por lo tanto: τˆc = (10, 000)(101.4356)= 1, 014, 355.8282 pesos c) Calcular la varianza y la desviación estándar de la media.
µ
¶µ
¶
n X
(yi. − y¯c Mi )2
N −n 1 i=1 donde: ¯2 N n−1 nM M = 10, 000 : el total de estudiantes en la población N = 220 : el total de grupos n = 5: el número de grupos o conglomerados seleccionados ¯ = M = 45.45: el número promedio de estudiantes por grupo M N y¯c = 101.4356: el gasto promedio en útiles escolares por estudiante Vˆ (¯ yc ) =
148
Por lo tanto: ¶µ ¶ 1 10, 000 − 5 × 10, 000 (5)(45.45)2 (3, 094 − (101.4356)(30))2 + . . . + (3, 716 − (101.4356)(34))2 = 4.9391 5−1 q √ Vˆ (¯ yc ) = 4.9391 = 2.2224 Vˆ (¯ yc ) =
µ
d) Construir un IC al 90 % para la media poblacional µc . q yc ) y¯c ± t(n−1,α/2) Vˆ (¯
donde: y¯c = 101.4356: el gasto promedio en útiles escolares por estudiante tq (n−1,α/2) = t(5−1,0.1/2) = 2.1318 Vˆ (¯ yc ) = 2.2224 Por lo tanto:
101.4356 ± (2.1318)(2.2224) 101.4356 ± 4.7377 96.6978 ≤ µc ≤ 106.1734 e) Calcular un IC de 90 % para el total. τˆc ± tn−1,α/2 Vˆ (ˆ τc ) donde: τˆc = q 1, 014, 355.8282, tn−1,α/2 = t5−1,0.1/2 = 2.1318, q Vˆ (ˆ τc ) = M Vˆ (¯ yc ) = (10, 000)(2.2224)=22, 223.861 Por lo tanto:
1, 014, 355.8282 ± (2.1318)(22, 223.861) 1, 014, 355.8282 ± 47, 378.1353 966, 977.6930 ≤ τc ≤ 1, 061, 733.9635 f) Suponer que n = 5 grupos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar la media poblacional con una precisión de 4 % de la media preliminar y una confiabilidad de 90 %?
donde: σc2 es estimada por s2c =
¢2 ¡ N tn−1,α/2 σc2 n= ¢ ¡ ¯ 2 d2 + tn−1,α/2 2 σc2 NM
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2 n−1 149
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa y¯c = 101.4356: el gasto promedio en útiles escolares por estudiante N = 220 : el total de grupos n = 5: el número de grupos o conglomerados seleccionados ¯ = M = 45.45: el número promedio de estudiantes por grupo M N tn−1,α/2 = t5−1,0.1/2 = 2.1318 (3, 094 − (101.4356)(30))2 + . . . + (3, 716 − (101.4356)(34))2 = 52, 209.8943 s2c = 5−1 d = (0.04)(101.4356) = 4.0574 Por lo tanto: n=
(220)(2.1318)2 (52, 209.8943) = 6.7616 grupos. (220)(45.45)2 (4.0574)2 + (2.1318)2 (52, 209.8943)
g) Suponer que n = 5 grupos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el total poblacional con una precisión de 4 % del total preliminar y una confiabilidad de 90 %? n= donde:
N 2 (tn−1,α/2 )2 σc2 ¢2 ¡ d2 + N tn−1,α/2 σc2
σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2 n−1
τˆc = 1, 014, 355.8282 N = 220 : el total de grupos n = 5: el número de grupos o conglomerados seleccionados tn−1,α/2 = t5−1,0.1/2 = 2.1318 (3, 094 − (101.4356)(30))2 + . . . + (3, 716 − (101.4356)(34))2 = 52, 209.8943 s2c = 5−1 d = (0.04)(1, 014, 355.8282) = 40, 574.2331 Por lo tanto: n=
(220)2 (2.1318)2 (52, 209.8943) = 6.7616 grupos (40, 574.2331)2 + (220)(2.1318)2 (52, 209.8943)
Ejemplo 2. La empresa Peñafiel procesa 1, 000 rejas de refresco por día. Con la finalidad de conocer si el proceso de producción cumple con el contenido de carbohidratos, cierto día se selecciona una muestra aleatoria simple de 6 rejas (cuadro 6.4). a) Estimar el promedio de carbohidratos por refresco.
µ ˆc = y¯c =
n X
i=1 n X i=1
yi. = Mi
Mi n X X
yij
i=1 j=1 n X
Mi
i=1
150
Cuadro 6.4: El contenido de carbohidratos por reja de refresco Reja 1 Reja 2 Reja 3 Reja 4 Reja 5 Reja 6 6.8 7.1 7.1 7.8 7.7 6.7 6.6 7.4 7.3 7.9 7.5 6.9 7.1 7 6.9 7.7 7.8 6.7 7 7.4 7 7.6 7.6 6.6 6.9 8 7.1 7.6 7.8 6.8 7.4 7.2 7.3 7.6 7.9 6.6 6.9 7.5 7.3 7.4 7.8 6.8 7 7.3 7.3 7.6 7.9 7.2 7 7.8 7.2 7.6 8 6.8 6.8 7.3 7.2 7.5 7.6 7.1 7.2 7.8 7.4 7.5 7.7 6.7 7.2 7.2 7.4 7.9 7.6 7 7.2 7.4 7.1 7.3 7.4 6.7 6.8 7.5 7.2 7.7 8 6.7 7.1 7.7 6.9 7.8 8 6.7 7.1 7.5 6.4 7.4 7.8 6.8 7.2 7.5 6.9 7.7 7.6 6.7 7.1 7.6 7.5 7.3 7.9 6.7 7 7.4 7.1 7.9 7.8 6.7 7.2 7.8 7.2 7.4 7.7 6.8 6.7 7.4 7.3 7.8 7.5 6.9 7.1 8.1 7.2 7.6 8 6.8 6.7 7.5 6.9 7.7 7.8 6.6 7.2 7.8 7.2 7.7 7.6 6.9 y1. = 168.3 y2. = 180.2 y3. = 171.4 y4. = 183 y5. = 186 y6. = 162.9
donde: n = 6: el número de rejas seleccionadas M = 24, 000: el total de refrescos producidos en ese día M1 = 24, M2 = 24, M3 = 24, M4 = 24, M5 = 24 y M6 = 24: número de refrescos por cada reja Por lo tanto: 168.3 + 180.2 + 171.4 + 183 + 186 + 162.9 1, 051.8 = = 7.3042 car24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24+ 144 bohidratos promedio por refresco. y¯c =
b) La estimación del total de carbohidratos producidos τˆc = M y¯c donde: M = 24, 000: el total de refrescos producidos en ese día y¯c = 7.3042: el contenido promedio de carbohidratos por refresco 151
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa
Por lo tanto: τˆc = (24, 000)(7.3042)= 175, 300.8 carbohidratos producidos c) La estimación de la varianza de la media. n X (yi. − y¯c Mi )2 ¶µ ¶ µ 1 N −n i=1 Vˆ (¯ yc ) = 2 ¯ N n−1 nM
donde: M = 24, 000: el total de refrescos producidos en ese día N = 1, 000: las rejas de refresco producidas n = 6: el número de rejas seleccionadas ¯ = M = 24, 000 = 24: el número promedio de refrescos por reja M N 1, 000 y¯c = 7.3042: el contenido promedio de carbohidratos por refresco Por lo tanto: µ ¶µ ¶ 24, 000 − 6 1 ˆ V (¯ yc ) = × 24, 000 (6)(24)2 (168.3 − (7.3042)(24))2 + . . . + (162.9 − (7.3042)(24))2 = 0.0239 6−1 d) Calcular un IC de 90 % para la media poblacional. q y¯c ± t(n−1,α/2) Vˆ (¯ yc )
donde: y¯c = 7.3042: el contenido promedio de carbohidratos por refresco tn−1,α/2 = t6−1,0.1/2 = 2.0150 q Vˆ (¯ yc ) = 0.1546 Por lo tanto:
7.3042 ± (2.0150)(0.1546) 7.3042 ± 0.3116 6.9925 ≤ µc ≤ 7.6158 e) Calcular un IC de 90 % para el total. τˆc ± tn−1,α/2 Vˆ (ˆ τc ) donde: τˆc = q 175, 300.8, tn−1,α/2 = t6−1,0.1/2 = 2.0150 q Vˆ (ˆ τc ) = M Vˆ (¯ yc ) = (24, 000)(0.1536) = 3, 711.5380 Por lo tanto:
175, 300.8 ± (2.0150)(3, 711.5380) 175, 300.8 ± 7, 478.9287 152
167, 821.0713 ≤ τc ≤ 182, 778.9287 Es decir, con 90 % de confianza el total de carbohidratos en la población se ubica entre 167, 821.0713 y 182, 778.9287 f) Suponga que n = 6 rejas es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la media verdadera con una precisión del 4 % de la media preliminar y una confiabilidad de 90 %? ¢2 ¡ N tn−1,α/2 σc2 n= ¢ ¡ ¯ 2 d2 + tn−1,α/2 2 σc2 NM donde:
σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2
n−1 y¯c = 7.3042: el contenido promedio de carbohidratos por refresco N = 1, 000 : las rejas de refresco producidas n = 6: el número de rejas seleccionadas ¯ = M = 24, 000 = 24: el número promedio de refrescos por reja M N 1, 000 t(n−1,α/2) = t(6−1,0.1/2) = 2.0150 (168.3 − (7.3042)(24))2 + . . . + (162.9 − (7.3042)(24))2 2 sc = = 83.1520 6−1 d = (0.04)(7.3042) = 0.2922 Por lo tanto: n=
(1, 000)(2.0150)2 (83.1520) = 6.8201 rejas (1, 000)(24)2 (0.2922)2 + (2.0150)2 (83.1520)
g) Suponga que n = 6 rejas es una muestra preliminar. Por tanto, ¿cuál es el tamaño de muestra para estimar el total verdadero con una precisión del 4 % del total preliminar y una confiabilidad del 90 %?
donde: σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
N 2 (tn−1,α/2 )2 σc2 n= ¢2 ¡ d2 + N tn−1,α/2 σc2 (yi. − y¯c Mi )2 n−1
τˆc = 175, 300.8 N = 1, 000 : las rejas de refresco producidas n = 6: el número de rejas seleccionadas tn−1,α/2 = t6−1,0.1/2 = 2.0150 (168.3 − (7.3042)(24))2 + . . . + (162.9 − (7.3042)(24))2 2 = 83.1520 sc = 6−1 d = (0.04)(175, 300.8) = 7, 012.032 Por lo tanto: 153
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa
n=
(1, 000)2 (2.0150)2 (83.1520) = 6.8201 rejas (7, 012.032)2 + (1, 000)(2.0150)2 (83.1520)
Ejemplo 3. El gerente del periódico Ecos de la Costa desea estimar el número promedio de ejemplares comprados por familia por mes en el estado de Colima. Los costos de transportes de un lugar a otro son altos, por esta razón se listan los 4, 000 hogares del estado en 400 conglomerados geográficos (manzanas) de 10 hogares cada uno, y se selecciona una muestra aleatoria simple de 5 conglomerados. Se realizan las entrevistas y los resultados están en el cuadro 6.5. Realizar los cálculos que a continuación se piden. Cuadro 6.5: Ejemplares comprados por familia. Manzana 1 Manzana 2 Manzana 3 Manzana 4 Manzana 5 3 4 2 2 1 3 3 1 2 2 1 1 3 1 3 3 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 1 1 1 4 1 2 2 3 2 2 2 5 2 3 1 2 4 3 2 3 1 4 y1. = 24 y2. = 27 y3. = 18 y4. = 17 y5. = 26
a) Estimación de la media.
µ ˆc = y¯c =
n X
yi.
i=1
n X i=1
= Mi
Mi n X X
yij
i=1 j=1 n X
Mi
i=1
donde: n = 5: el número de conglomerados seleccionados M = 4, 000: el total de hogares en el estado M1 = 10, M2 = 10, M3 = 10, M4 = 10 y M5 = 10: tamaño de cada conglomerado seleccionado Por lo tanto: y¯c =
24 + 27 + 18 + 17 + 26 112 = = 2.24 ejemplares por familia 10 + 10 + 10 + 10 + 10 50
b) Estimación del total. τˆc = M y¯c 154
donde: M = 4, 000: el total de hogares en el estado y¯c = 2.24: el promedio de ejemplares comprados por familia Por lo tanto: τˆc = (4, 000)(2.24)= 8, 960 ejemplares comprados c) Estimación de la varianza y la desviación estándar de la media.
Vˆ (¯ yc ) =
µ
N −n N
¶µ
1 ¯2 nM
¶
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2 n−1
donde: N = 400: el número de conglomerados geográficos n = 5: el número de conglomerados seleccionados M = 4, 000: el total de hogares en el estado ¯ = M = 4, 000 = 10: el número promedio de hogares por conglomerado M N 400 y¯c = 2.24: el número promedio de ejemplares comprados por familia Por lo tanto: ¶µ ¶ 400 − 5 1 (24 − (2.24)(10))2 + . . . + (26 − (2.24)(10))2 Vˆ (¯ yc ) = 400 (5)(10)2 5−1 = 0.0421 q √ Vˆ (¯ yc )= 0.0421 = 0.2051 µ
d) Un IC de 90 % para la media poblacional µc . q y¯c ± t(n−1,α/2) Vˆ (¯ yc )
donde: y¯c = 2.24: el número promedio de ejemplares comprados por familia tn−1,α/2 = t5−1,0.1/2 = 2.1318 q Vˆ (¯ yc ) = 0.2051 Por lo tanto:
2.24 ± (2.1318)(0.2051) 2.24 ± 0.4372 1.8028 ≤ µc ≤ 2.6772 Es decir, con un 90 % de confianza el número promedio de ejemplares comprados por familia se ubica entre 1.8028 y 2.6772. e) Un IC de 90 % para el total. τˆc ± tn−1,α/2 Vˆ (ˆ τc ) 155
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa
donde: τˆc =q 8, 960, tn−1,α/2 = t5−1,0.1/2 = 2.1318, q Vˆ (ˆ τc = M Vˆ (¯ yc ) = (4, 000)(0.2051) = 820.4145 Por lo tanto:
8, 960 ± (2.1318)(820.4145) 8, 960 ± 1, 748.9981 7, 211.0019 ≤ τc ≤ 10, 708.9981 Es decir, con un 90 % de confianza el total de ejemplares comprados en el estado se encuentra entre 7, 211.0019 y 10, 708.9981. f) Suponga que n = 5 conglomerados geográficos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la media verdadera con una precisión de 10 % de la media preliminar y una confiabilidad de 90 % ? ¢2 ¡ N tn−1,α/2 σc2 n= ¢ ¡ ¯ 2 d2 + tn−1,α/2 2 σc2 NM donde:
σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2 n−1
y¯c = 2.24: el número promedio de ejemplares comprados por familia N = 400 : el número de conglomerados geográficos n = 5: el número de conglomerados seleccionados ¯ = M = 4, 000 = 10: el número promedio de hogares por conglomerados M N 400 tn−1,α/2 = t5−1,0.1/2 = 2.1318 (24 − (2.24)(10))2 + . . . + (26 − (2.24)(10))2 = 21.3 s2c = 5−1 d = (0.1)(2.24) = 0.224 Por lo tanto: n=
(400)(2.1318)2 (21.3) = 18.4051 conglomerados (400)(10)2 (0.224)2 + (2.1318)2 (21.3)
g) Suponga que n=5 conglomerados es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total verdadero con una precisión de 10 % del total preliminar y una confiabilidad de 90 % ?
n= donde: σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
N 2 (tn−1,α/2 )2 σc2 ¢2 ¡ d2 + N tn−1,α/2 σc2
(yi. − y¯c Mi )2 n−1 156
τˆc = 8, 960 N = 400: el número de conglomerados geográficos n = 5: el número de conglomerados geográficos seleccionados tn−1,α/2 = t5−1,0.1/2 = 2.1318 (24 − (2.24)(10))2 + . . . + (26 − (2.24)(10))2 = 21.3 s2c = 5−1 d = (0.1)(8, 960) = 896 Por lo tanto: n= ficos.
(400)2 (2.1318)2 (21.3) = 18.4051 conglomerados geográ(896)2 + (400)(2.1318)2 (21.3)
Ejemplo 4. Un investigador de la U de C desea estimar el total de emigrantes en el estado de Colima, cuya población es de 200, 000. No existe una lista disponible de personas de toda la población, por lo tanto, el estado es dividido en 800 localidades. Para lograr tal objetivo toma una muestra de 12 localidades y entrevista a todos los habitantes de las 12 localidades y obtiene los resultados del cuadro 6.6. Cuadro 6.6: Emigrantes de las 12 localidades. Localidad Habitantes Total de emigrantes por localidad por localidad 1 181 y1. = 10 2 316 y2. = 20 3 249 y3. = 14 4 73 y4. = 29 5 164 y5. = 42 6 120 y6. = 20 7 171 y7. = 18 8 241 y8. = 19 9 283 y9. = 10 10 115 y10. = 23 11 142 y11. = 24 12 188 y12. = 13
a) La estimación de la media.
µ ˆc = y¯c =
n X
yi.
i=1
n X i=1
= Mi
Mi n X X
yij
i=1 j=1 n X
Mi
i=1
donde: n = 12: el número de localidades seleccionadas M = 200, 000: los habitantes en el estado M1 = 181, M2 = 316, M3 = 249, M4 = 73, M5 = 164, M6 = 120, M7 = 171, M8 = 241, 157
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa M9 = 283, M10 = 115, M11 = 142, M12 = 188 : total de habitantes por localidad 10 + 20 + 14 + . . . + 23 + 24 + 13 242 = = 0.1079 emigrantes en pro181 + 316 + 249 + . . . + 115 + 142 + 188 2, 243 medio y¯c =
b) La estimación del total. τˆc = M y¯c donde: M = 200, 000: los habitantes en el estado y¯c = 0.1079: el promedio de emigrantes por localidad Por lo tanto: τˆc = (200, 000)(0.1079)= 21, 580 emigrantes en total c) La estimación de la varianza y la desviación estándar de la media
Vˆ (¯ yc ) =
µ
N −n N
¶µ
1 ¯2 nM
¶
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2 n−1
donde: N = 800: el número de localidades en las que está dividido el estado (conglomerados) n = 12: el número de localidades seleccionadas M = 200, 000: los habitantes en el estado ¯ = M = 200, 000 = 250: el número promedio de habitantes por localidad (conM N 800 glomerado) y¯c = 0.1079: el número promedio emigrantes por localidad Por lo tanto: ¶ ¶µ µ (10 − (0.1079)(181))2 + . . . + (13 − (0.1079)(188))2 1 800 − 12 Vˆ (¯ yc ) = 800 (12)(250)2 12 − 1 = 0.0003 q √ Vˆ (¯ yc )= 0.0003 = 0.0164
d) Un IC al 90 % para la media poblacional. q y¯c ± t(n−1,α/2) Vˆ (¯ yc )
donde: y¯c = 0.1079: el número promedio emigrantes por localidad tq (n−1,α/2) = t(12−1,0.1/2) = 1.7959 Vˆ (¯ yc ) = 0.0164
158
Por lo tanto: 0.1079 ± (2.7959)(0.0164) 0.1079 ± 0.0295 0.0784 ≤ µc ≤ 0.1374 Es decir, con 90 % de confianza el número promedio de emigrantes en el estado está entre 0.0768 y 0.1374 e) Un IC al 90 % para el total τˆc ± tn−1,α/2 Vˆ (ˆ τc ) donde: τˆc = 21, 580 t(n−1,α/2) = t(12−1,0.1/2) = 1.7959 q q Vˆ (ˆ τc = M Vˆ (¯ yc ) = (200, 000)(0.0164) = 3, 280.3971 Por lo tanto:
21, 580 ± (1.7959)(3, 280.3971) 21, 580 ± 5, 891.2154 15, 891.2154 ≤ τc ≤ 27, 471.2154 Esto significa que con 90 % de confianza el total de emigrantes en el estado se ubica entre 15, 891.2154 y 27, 471.2154. f) Suponga que n = 12 conglomerados (localidades) es una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar la media poblacional con una precisión de 10 % de la media preliminar y una confiabilidad de 90 % ? ¢2 ¡ N tn−1,α/2 σc2 n= ¢ ¡ ¯ 2 d2 + tn−1,α/2 2 σc2 NM donde:
σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
(yi. − y¯c Mi )2
n−1 y¯c = 0.1079: el número promedio de emigrantes por localidad N = 800: el número de localidades en las que está dividido el estado (conglomerados) n = 12: el número de localidades seleccionadas M = 200, 000: los habitantes en el estado ¯ = M = 200, 000 = 250: el número promedio de habitantes por localidad M N 800 tn−1,α/2 = t12−1,0.1/2 = 1.7959 (10 − (0.1079)(181))2 + . . . + (13 − (0.1079)(188))2 s2c = = 204.8415 12 − 1 d = (0.1)(0.1079) = 0.01079 159
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa
Por lo tanto: n=
(800)(1.7959)2 (204.8415) = 81.5390 (800)(250)2 (0.01079)2 + (1.7959)2 (204.8415)
Por lo tanto, el tamaño de muestra requerido para estimar la media verdadera con una precisión de 0.01079 es de n = 82 conglomerados (localidades). g) Suponga que n = 12 conglomerados (localidades) es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total poblacional con una precisión de 10 % del total preliminar y una confiabilidad del 90 % ? n= donde: σc2 es estimada por s2c =
n X i=1
N 2 (tn−1,α/2 )2 σc2 ¢2 ¡ d2 + N tn−1,α/2 σc2
(yi. − y¯c Mi )2
n−1 τˆc = 21, 580 N = 800: el número de localidades en las que está dividido el estado (conglomerados) n = 12: el número de localidades seleccionadas M = 200, 000: los habitantes en el estado ¯ = M = 200, 000 = 250: el número promedio de habitantes por localidad M N 800 tn−1,α/2 = t12−1,0.1/2 = 1.7959 (10 − (0.1079)(181))2 + . . . + (13 − (0.1079)(188))2 2 = 204.8415 sc = 12 − 1 d = (0.1)(21, 580) = 2, 158 Por lo tanto: n=
(800)2 (1.7959)2 (204.8415) = 81.5390 (2, 158)2 + (800)(1.7959)2 (204.8415)
Por lo tanto, el tamaño de muestra requerido para estimar el total poblacional con una precisión de 2, 158 es de n = 82.
6.5.
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime los parámetros siguientes: a) El IC para la media y el total poblacional con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la media y el total poblacional de tal manera que sean estimados con una precisión de 5 % de la media y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. La Secretaría de salud cuenta con 200 hospitales distribuidos en el territorio nacional, dentro de los cuales tiene laborando a 6, 000 médicos con 160
estudios de postgrado. Con la finalidad de medir el nivel de satisfacción en el trabajo de los empleados, se toma una muestra aleatoria simple de 6 hospitales, en cada uno de estos hospitales se realiza un censo. (El nivel de satisfacción se mide de 0 (nada satisfecho) a 10 (muy satisfecho)) (cuadro (6.7)).
Cuadro 6.7: Nivel de satisfacción de los médicos en cada hospital Hospital 1 6 7 8 7 8 7 9 6 6 6 7 8 9 7 8 7 6 5 8 7 4 7 6 6 6 6 7 7 7 6 6 5 9 10 8
Hospital 2 9 8 7 8 6 5 9 7 6 6 8 8 8 7 9 8 7 6 6 6 7 7 8 8 8
Hospital 3 8 7 6 5 9 6 5 8 9 7 9 8 9 10 9 9 7 8 8 7 6 6 6 7 8 8 6 7 8 6 7
Hospital 4 8 8 7 9 8 8 9 8 8 7 6 5 9 7 8 9 6 5 9 8 7 6 5 4 8 9 8 8
Hospital 5 6 6 9 8 9 6 7 9 8 7 6 9 8 7 6 9 8 10 10 9 8 7 6 5 9
Hospital 6 9 8 7 6 5 4 8 9 9 7 7 9 8 7 6 7 8 9 9 9 8 8 7 7 6 6 4 8 8 7 6 9
161
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa Ejercicio 2. El presidente municipal de Colima desea estimar el total de basura producida en la ciudad. Se supone que la ciudad está conformada por 300 manzanas, y que el número de viviendas es de 10, 000. Además, con la finalidad de medir el promedio y total de basura producida por vivienda semanalmente, se toma una muestra aleatoria simple de n = 8 manzanas. En cada manzana se recaba toda la basura producida por cada vivienda. Use la información del cuadro (6.8). Cuadro 6.8: Kg. de basura producidos por vivienda semanalmente. Mz 1 Mz 2 Mz 3 Mz 4 Mz 5 Mz 6 Mz 7 Mz 8 40 30 38 48 35 45 49 82 60 35 29 36 38 38 35 83 30 45 65 37 48 45 28 73 40 48 82 72 65 66 25 65 60 68 88 83 70 33 29 45 50 75 95 93 35 22 79 66 48 45 49 63 40 49 65 40 65
6.6. 6.6.1.
La estimación de la media y un total cuando se desconoce M ¿Qué sucede cuando se desconoce el tamaño de la población M ?
Con la información anterior, se puede estimar la media, el total o el intervalo de confianza para el total poblacional. Sin embargo, para utilizar las expresiones anteriores se debe conocer M , pero en ocasiones no es posible saber ese valor. A continuación se muestran los estimadores donde no es necesario conocer M . Es importante mencionar que los estimadores que a continuación se presentan se recomiendan cuando los tamaños de los concloglomerados son aproximadamente iguales.
6.6.2. El estimador de la media y el total poblacional Para hallar el estimador del total y la media poblacional se recurre a la expresión del total promedio por conglomerado (¯ y. ): (6.8)
τˆc = N y¯. µ ˆc = y¯c =
τˆc Maprox
(6.9) 162
donde y¯. =
n X i=1
n
yi. =
n X i=1
n
τi ¯ yM ¯ = , Maprox = N M
n X
Mi
i=1
.
n
6.6.3. La varianza estimada de la media y del total.
Vˆ (ˆ τc ) = Vˆ (N y¯. ) = N 2
µ
¶µ ¶ 1 N −n N n
Vˆ (ˆ τc ) 1 Vˆ (ˆ µc ) = Vˆ (¯ yc ) = 2 = ¯2 Maprox M
µ
n X i=1
(yi. − y¯. )2
(6.10)
n−1
¶µ ¶ N −n 1 N n
n X i=1
(yi. − y¯. )2 n−1
¯ = Nota: recuérdese que cuando no se conoce M , entonces M
n X
(6.11)
Mi
i=1
n
Las varianzas (6.11 y 6.10) de estos estimadores nos indican la precisión de los mismos. Los intervalos de confianza para estos estimadores se construyen de forma habitual.
6.6.4. El intervalo de confianza de la media y del total. q Vˆ (¯ yc ) q τc ) τˆc ± t(n−1,α/2) Vˆ (ˆ
y¯c ± t(n−1,α/2)
6.6.5. Los tamaños de muestra para estimar la media y el total El tamaño muestral para estimar µ n=
donde σt2 es estimada por s2t =
N (tn−1,α/2 )2 σt2 N d2 + (tn−1,α/2 )2 σt2
n X i=1
(yi. − y¯. )2 n−1
Nota: El valord es calculado con respecto al total promedio por conglomer n X yi. i=1 y ¯ = ado . n 163
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa
El tamaño muestral para estimar τ n=
donde σt2 es estimada por s2t =
6.7.
N 2 (tn−1,α/2 )2 σt2 d2 + N (tn−1,α/2 )2 σt2
n X i=1
(yi. − y¯. )2 n−1
La estimación de una proporción poblacional
Muchas veces se quiere estimar la característica G específica de la población. Por ejemplo: suponga que se desea conocer la proporción de personas en el estado de Colima que padecen cierta enfermedad, o la preferencia por cierto partido político, la aceptación de alguna cierta norma ecológica, etc. Por esto, cuando se desea estimar una proporción y el total, si se conoce M , se deben utilizar los mismos estimadores de la media y el total con M conocida que fueron presentados en el apartado 6.5, sólo que ahora la variable respuesta contendrá ceros y unos. En caso de desconocerse M , los estimadores de la proporción y el total deben ser los mismos que se usaron en el apartado 6.6. En ambos casos se realizan los cálculos exactamente como los ejemplos presentados en los apartados 6.5 y 6.6, respectivamente. Es importante recordar que el muestreo por conglomerados se sugiere cuando: Las unidades muestrales son grupos de elementos. Se desea minimizar el costo por unidad muestreada. Éste diseño puede combinarse con otros diseños; por ejemplo, el estratificado.
6.7.1. Ejemplos Ejemplo 1. Un agrónomo tiene una parcela experimental de 10, 000 m2 . Con la finalidad de conocer la cantidad promedio por planta y el total de cacahuates producidos, divide la parcela en tramos de 4m2 , y selecciona una muestra aleatoria de 15 tramos. Enseguida cuenta el número de cacahuates por planta. El cuadro 6.9 muestra los totales por tramo. Resuelva lo que se le pide a continuación. a) La estimación de la media por conglomerado (tramo).
y¯. =
n X i=1
n
yi. =
n X
τi
i=1
n
donde: n = 15: el número de tramos seleccionados τi = yi. : el total de cacahuates en el tramo i, i = 1, 2, . . . , 15 164
Cuadro 6.9: El total de cacahuates producidos por tramo Tramo Plantas Total/tramo T1 35 y1. = 1, 680 T2 34 y2. = 1, 360 T3 28 y3. = 1, 904 T4 33 y4. = 1, 485 T5 34 y5. = 2, 346 T6 27 y6. = 1, 809 T7 28 y7. = 1, 148 T8 33 y8. = 1, 320 T9 31 y9. = 1, 953 T 10 35 y10. = 1, 645 T 11 34 y11. = 2, 414 T 12 29 y12. = 2, 146 T 13 28 y13. = 1, 232 T 14 26 y14. = 1, 404 T 15 29 y15. = 1, 450
Por lo tanto: 1, 680 + 1, 360 + . . . + 1, 404 + 1, 450 25, 290 = = 1, 686.4 cacahuates por con15 15 glomerado (tramo) y¯. =
b) La estimación del total poblacional n NX τˆc = N y¯. = yi n i=1
donde: y¯. = 1, 686.4: el promedio de cacahuates por tramo (conglomerado) 10, 000 = 2, 500: los tramos en los que se dividió la parcela N= 4 n = 15: los tramos seleccionados Por lo tanto: τˆc = (2, 500)(1, 686.4) = 4, 216, 000 cacahuates por parcela. c) La estimación de la media poblacional (por planta de cacahuate). Como en este caso se desconoce M , se hace una aproximación para estimar la media poblacional: n X Mi ¯ = N i=1 Maprox = N M n donde: 165
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa n = 15: el número de tramos seleccionados N = 2, 500: el número de tramos en la población M1 = 35, M2 = 34, M3 = 28, M4 = 33, M5 = 34, M6 = 27, M7 = 28, M8 = 33, M9 = 31, M10 = 35, M11 = 34, M12 = 29, M13 = 28, M14 = 26 y M15 = 29 ¯ = 35 + 34 + . . . + 26 + 29 = 30.9333 M 15 Por lo tanto: Maprox = (30.9333)(2, 500) = 77, 333.3333 El estimador de la media poblacional es: τˆc y¯c = Maprox donde: τˆc = 4, 216, 000 y Maprox = 77, 333.3333 Por lo tanto: y¯c = ta.
4, 216, 000 = 54.5172 cacahuates en promedio por plan77, 333.3333
d) La varianza y la desviación estándar de la media poblacional. Vˆ (ˆ τc ) N 2 Vˆ (¯ y. ) Vˆ (¯ yc ) = 2 = 2 Maprox Maprox n X (yi. − y¯. )2 µ ¶µ ¶ N −n 1 i=1 Vˆ (¯ y. ) = N n n−1
donde: Maprox = 77, 333.3333 y¯. = 1, 686.4 n = 15: el número de tramos que fueron selecionados N = 2, 500: tramos en la población ¶ µde ¶ µ el número 1 (1, 680 − 1686.4)2 + . . . + (1, 450 − 1, 686.4)2 2, 500 − 15 = 10, 528.1337 Vˆ (¯ y. ) = 2, 500 15 15 − 1 Por lo tanto:
(2, 500)2 (10, 528.1337) = 11.0026 Vˆ (¯ yc ) = (77, 333.3333)2 q √ Vˆ (¯ yc ) = 11.0026 = 3.3170
e) La estimación por intervalo de la media poblacional con una confianza de 90 %. q y¯c ± t(n−1,α/2) Vˆ (¯ yc )
donde: y¯c = 54.5172: cacahuates promedio por planta t(n−1,α/2) = t(15−1,0.1/2) = 1.7613
166
q Vˆ (¯ yc ) = 3.3170 Por lo tanto:
54.5172 ± (1.7613)(3.3170) 54.5172 ± 5.8423 48.6749 ≤ µc ≤ 60.3595 cacahuates por planta f) La estimación por intervalo del total poblacional con una confianza de 90 %. q yc ) τˆc ± t(n−1,α/2) N Vˆ (¯
donde: τˆc = q 4, 216, 000, t(n−1,α/2) = t(15−1,0.1/2) = 1.7613 q √ Vˆ (ˆ τc ) = N Vˆ (¯ y. ) = (2, 500)( 10, 528.1337) = 256, 516.7356 por lo tanto:
4, 216, 000 ± (1.7613)(256, 516.7356) 4, 216, 000 ± 451, 805.5211 3, 764, 194.4788 ≤ τc ≤ 4, 667, 805.5211 cacahuates por parcela g) Suponga que n = 15 tramos es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media por conglomerados con una precisión de 10 % del promedio preliminar y una confiabilidad de 90 %. n=
N (tn−1,α/2 )2 σt2 N d2 + (tn−1,α/2 )2 σt2
donde: σt2 es estimada por s2t =
n X i=1
(yi. − y¯. )2
n−1 y¯. = 1, 686.4: el promedio total de cacahuates por tramo (conglomerado) yi. : el total de cacahuates en el tramo i,i = 1, 2 . . . , 15 N = 2, 500: los tramos en los que está dividida la parcela (1, 680 − 1686.4)2 + . . . + (1, 450 − 1, 686.4)2 2 = 158, 875.2571 st = 15 − 1 t(n−1,α/2) = t(15−1,0.1/2) = 1.7613, d = (0.1)(1, 686.4) = 168.64 Por lo tanto: (2, 500)(1.7613)2 (158, 875.2571) = 17.2110 tramos ( (2, 500)(168.64)2 + (1.7613)2 (158, 875.2571) unidades muestrales) n =
h) Suponga que n = 15 es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar el total con una precisión de 10 % del total preliminar y una confiabilidad de 90 %. 167
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa
n= donde: σt2 es estimada por s2t =
n X i=1
N 2 (tn−1,α/2 )2 σt2 d2 + N (tn−1,α/2 )2 σt2
(yi. − y¯. )2 n−1
y¯. = 1, 686.4: el total promedio de cacahuates por tramo (conglomerado) yi. : el total de cacahuates en el tramo i, i = 1, 2 . . . , 15 N = 2, 500: los tramos en los que está dividida la parcela (1, 680 − 1686.4)2 + . . . + (1, 450 − 1, 686.4)2 s2t = = 158, 875.2571 15 − 1 t(n−1,α/2) = t(15−1,0.1/2) = 1.7613 τˆc = 4, 216, 000: el total estimado de cacahuates producidos en la parcela d = (0.1)(4, 216, 000) = 421, 600 Por lo tanto: (2500)2 (1.7613)2 (158,875.2571) n= = 17.2110 tramos (mues(421,600) + (2500)(1.7613)2 (158,875.2571)
tra)
Ejemplo 2. Suponga que un predio que está localizado en la playa de Manzanillo tiene 1, 000 palmeras de coco. Un investigador desea conocer la cantidad promedio de agua de coco que producen, para lo cual toma una muestra aleatoria de 8 palmeras, y mide la cantidad de agua por coco en cada palmera. El cuadro 6.10 muestra el total de agua en litros. Resuelva lo siguiente.
Cuadro 6.10: El agua de coco por palmera (litros). P1 1.12 0.68 1.07 0.85 0.79 0.89 1.02 0.51
P2 0.94 1.33 0.76 0.95 1.26 0.75 1.28
P3 0.77 0.95 1.07 0.73 0.96 0.93 1.09 0.99 0.96
P4 0.81 1.49 0.99 0.89 1.03 1.42 0.99 1.28
P5 0.95 1.23 1.11 1.14 1.66 1.5
P6 0.77 0.72 0.77 0.85 0.56 1.12 0.58
y1. = 6.93
y2. = 7.27
y3. = 8.45
y4. = 8.9
y5. = 7.59
y6. = 5.37
P7 0.88 1.06 0.87 0.95 0.86 0.94 0.83 0.89 1.08 1.09 y7. = 9.45
P8 0.83 0.85 0.82 0.97 0.9 0.71 0.72 0.89
y8. = 6.69
a) Calcular el promedio por conglomerado. 168
y¯. =
n X i=1
n
yi. =
n X
τi
i=1
n
donde: n = 8: el número de palmeras seleccionadas τi = yi. : el total de litros en la palmera i, i = 1, 2, . . . , 8 por lo tanto: y¯. =
6.93 + 7.27 + . . . + 9.45 + 6.69 60.65 = = 7.58125 litros por conglomerado 8 8
b) Estimar el total poblacional. n X yi τˆc = N y¯. = N
i=1
n
donde: y¯. = 7.5813: el promedio de litros por conglomerado (palmera) N = 1, 000: el número de palmeras en el predio n = 8: el número de palmeras seleccionadas Por lo tanto: τˆc = (1, 000)(7.58125) = 7, 581.25 litros de agua de coco en el predio c) Estimar el promedio de litros por coco (media poblacional). Como en este caso se desconoce M , se hace una aproximación para hallar la media poblacional:
¯N = N Maprox = M
n X
Mi
i=1
n
donde: n = 8: el número de palmeras seleccionadas N = 1, 000: el número de palmeras en el predio M1 = 8, M2 = 7, M3 = 9, M4 = 8, M5 = 6, M6 = 7, M7 = 10, M8 = 8 cocos por cada palmera seleccionada ¯ = 8 + 7 + 9 + 8 + 6 + 7 + 10 + 8 = 7.875 M 8 Por lo tanto: Maprox = (7.875)(1, 000) = 7, 875 cocos en la población de 1,000 palmeras El estimador de la media poblacional es:
169
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa y¯c =
τˆc Maprox
donde: τˆc = 7, 581.25 y Maprox = 7, 875 por lo tanto: y¯c =
7, 581.25 = 0.9627 litros de agua producidos por cada coco 7, 875
d) Calcular la varianza y la desviación estándar de la media poblacional. N 2 Vˆ (¯ y. ) Vˆ (ˆ τc ) = Vˆ (¯ yc ) = 2 2 Maprox Maprox n X (yi. − y¯. )2 µ ¶µ ¶ N −n 1 i=1 Vˆ (¯ y. ) = N n n−1
donde: Maprox = 7, 875 y¯. = 7.5813 n = 8: el número de palmeras selecionadas N = 1, 000: en la población µ el número ¶ µ de ¶ palmeras (conglomerados) 2 1, 000 − 8 1 (6.93 − 7.5813) + . . . + (6.69 − 7.5813)2 Vˆ (¯ y. ) = = 0.21596 1, 000 8 8−1 Por lo tanto:
(1, 000)2 (0.21596) = 0.00348 Vˆ (¯ yc ) = (7, 875)2 q √ Vˆ (¯ yc ) = 0.00348 = 0.059
e) Construir un IC para la media poblacional con una confiabilidad de 90 %. q yc ) y¯c ± t(n−1,α/2) Vˆ (¯
donde: y¯c = 0.9627 litros de agua por coco t(n−1,α/2) = t(8−1,0.1/2) = 1.8946 q Vˆ (¯ yc ) = 0.059 Por lo tanto:
0.9627 ± (1.8946)(0.059) 0.9627 ± 0.1118 0.8509 ≤ µc ≤ 1.0745 Esto significa que la media poblacional está entre 0.8509 y 1.0745 litros de agua por coco. 170
f) Estime por intervalo el total poblacional con una confiabilidad de 90 %. q y¯c ± t(n−1,α/2) Vˆ (¯ yc )
donde: τˆc = 7, 581.25 N = 1, 000 t(n−1,α/2) = t(8−1,0.1/2) = 1.8946 q q √ Vˆ (ˆ τc ) = N Vˆ (¯ y. ) = (1, 000)( 0.21596) = 464.7111
Por lo tanto:
7, 581.25 ± (1.8946)(464.7111) 7, 581.25 ± 880.4317 6, 700.8129 ≤ τc ≤ 8, 461.6817 Entonces, el total de litros de agua de coco en el predio está entre 6, 700.8129 y 8, 461.6817. g) Suponga que n = 8 palmeras es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra para estimar la media por conglomerados con una precisión de 10 % del promedio preliminar y una confiabilidad de 90 %. n=
N (t(n−1,α/2) )2 σt2 N d2 + (t(n−1,α/2) )2 σt2
donde: σt2 es estimada por s2t =
n X i=1
(yi. − y¯. )2 n−1
y¯. = 7.5812: el total promedio de litros de agua de coco por palmera (conglomerado) yi. : el total de litros de agua en la palmera i, i = 1, 2 . . . , 8 N = 1, 000: las palmeras en el predio (6.93 − 7.5812)2 + . . . + (6.69 − 7.5812)2 s2t = = 1.7416 8−1 t(n−1,α/2) = t(8−1,0.1/2) = 1.8946 d = (0.1)(7.5812) = 0.75812 Por lo tanto: (1, 000)(1.8946)2 (1.7416) = 10.7594 palmeras (muestra) n= (1, 000)(0.7581264)2 + (1.8946)2 (1.7416) h) Suponga que n = 8 palmeras es una muestra preliminar. Determine el tamaño de muestra definitivo para estimar el total con una precisión de 10 % del total preliminar y una confiabilidad de 90 %. n=
N 2 (t(n−1,α/2) )2 σt2 d2 + N (t(n−1,α/2) )2 σt2 171
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa donde: σt2 es estimada por s2t =
n X i=1
(yi. − y¯. )2 n−1
y¯. = 7.5812: el total promedio de litros de agua de coco por palmera (conglomerado) yi. : el total de litros de agua en la palmera i, i = 1, 2 . . . , 8 N = 1, 000: las palmeras en el predio (6.93 − 7.5812)2 + . . . + (6.69 − 7.5812)2 s2t = = 1.7416 8−1 t(n−1,α/2) = t(8−1,0.1/2) = 1.8946 τˆc = 7, 581.25: el total de agua de coco en litros en el predio d = (0.1)(7, 581.25) = 758.125 Por lo tanto: (1, 000)2 (1.8946)2 (1.7416) n= = 10.7594 palmeras (muestra) (758.125)2 + (1, 000)(1.8946)2 (1.7416)
6.8.
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime lo siguiente: a) El IC para la media y el total poblacional con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la media y el total poblacional de tal manera que sean estimados con una precisión de 5 % de la media y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. El dueño de una plantación forestal necesita estimar el volumen total de biomasa en m3 que tiene su plantación, lo que ha pensado es hacer un muestreo por conglomerados. Para esto divide la plantación en 300 sitios, de los cuales selecciona aleatoriamente 40 y dentro de cada uno de ellos mide el volumen de todos los árboles incluidos. En este caso nuestras UMP (los conglomerados) son los sitios y las UMS son los árboles. Use los datos del Cuadro (6.12). Ejercicio 2. La Secretaría de Desarrollo Social cuenta con 25 estancias infantiles esparcidas en el estado de Colima, donde padres confían diariamente a sus hijos. Con el objetivo de conocer el nivel de conformidad de los padres respecto a este servicio, se tomo una MAS de 5 guarderías y se realiza una encuesta. (El nivel de conformidad se mide de 0 a 5), ver Cuadro (6.13).
172
Cuadro Conglomerado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6.12: Mi 508 302 693 598 459 695 476 675 432 567 657 650 667 598 548 657 508 499 549 543
Volumen de biomasa en m3 yi. Conglomerado Mi 1,709 21 558 1,075 22 598 3,087 23 532 1,729 24 599 1,497 25 607 2,725 26 609 2,143 27 640 2,945 28 659 1,355 29 589 2,267 30 674 2,724 31 508 2,537 32 302 3,284 33 693 2,370 34 598 2,026 35 459 1,987 36 583 1,479 37 476 1,668 38 675 2,163 39 432 2,463 40 567
yi. 2,440 2,005 2,057 2,562 1,853 2,698 3,066 1,948 1,942 2,413 1,870 987 3,258 2,700 1,750 2,007 1,231 2,701 1,669 1,904
173
Capítulo 6. El muestreo por conglomerados en una etapa
Cuadro 6.13: Resultados de los EI1 EI2 EI3 3 2 4 3 2 4 2 3 2 2 3 3 3 2 5 3 1 5 4 1 3 3 1 3 2 2 4 2 2 4 4 4 5 4 3 5 5 2 4 2 1 3 3 2 3 3 2 4 3 1 4 4 1 4 3 2 5 4 5 4 3
conglomerados censados EI4 EI5 3 2 3 4 4 4 4 3 4 3 5 4 3 4 2 5 2 5 3 4 4 3 4 3 3 3 2 2 2 5 5 4 5 3 3 4 2 4
174
Capítulo 7 El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada Cuando la gente no quiere cooperar con las respuestas, la estadística y su ingenio te ayudan a conseguirlo. OAML
P
A ra
que los resultados de una encuesta sean creíbles es necesario, entre otros aspectos, que las preguntas tengan suficiente calidad o validez, lo que exige asumir que las respuestas sean ciertas. Para creer en los resultados de una encuesta es necesario creer también en las respuestas de las personas que han sido entrevistadas. Sin embargo, tener respuestas verídicas es difícil. Hay muchos problemas implícitos al tratar de conseguirlas y de que éstas sean sinceras (Lohr, 2000 [9]).
Las personas tienen inclinaciones, tendencias propias, actitudes, distintas formas de pensar, desconfianza, etc. Todas estas características pueden dificultar, en algunas ocasiones, la calidad de las respuestas. En este sentido, uno de estos problemas típicos es el que se ha denominado deseabilidad social. Por ello es importante estar consciente de que las personas entrevistadas tienden a responder en función de lo que consideran como bien visto socialmente. Por ejemplo, el consumo de droga se cataloga como negativo, por lo que alguien que haya consumido o consuma drogas tenderá con facilidad a responder ”no” ante la pregunta ¿Ha usted consumido droga alguna vez? (Lohr, 2000 [9]). Por otro lado, la deseabilidad social puede actuar de forma inconsciente, es decir, que el individuo no controle intencionalmente su respuesta. La deseabilidad social también es preocupante cuando las preguntas se refieren a cosas íntimas como las relaciones sexuales. En ese caso, las personas suelen mostrar resistencia a exponerse ante extraños y son más sensibles a responder según lo que se considera socialmente aceptable, por lo que se cubre la verdad (Lohr, 2000 [9]). Es decir, cuando una encuesta incluye una o más preguntas que se refieren a aspectos que pueden considerarse ”íntimos” hacen que el entrevistado se sienta en peligro o apenado si la responde correctamente (Méndez, I et. al. (2004) [16]. Por ello, debe garantizarse que las preguntas y la forma de hacerlas sean ingeniosas y con calidad para obtener resultados 175
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada confiables. Sin embargo, obtener respuestas confiables no es una tarea fácil debido a que los encuestadores se enfrentan a varias dificultades, las cuales son inherentes a toda persona encuestada: inclinaciones, actitudes, formas de pensar, comportamientos, tiempo disponible, desconfianzas y una propensión a mantener la intimidad. Esto a conllevado a que en las últimas décadas se realicen un gran número de investigaciones para asegurarse de la calidad y veracidad de las respuestas obtenidas sobre temas íntimos. De esta manera la necesidad del hombre por hacerse de información que tiene carácter íntimo o por combatir la no respuesta lo han conducido a desarrolar nuevas técnicas en la metodología del muestreo, entre ellos: respuesta aleatorizada (Méndez C. E. I. et. al., 2007[17]). Respuesta aleatorizada La técnica de respuesta aleatorizada es un método especialmente diseñado para asegurar privacidad a los entrevistados en el estudio de temas sensibles, delicados o embarazosos. Se intenta con ello evitar sesgos de los estrevistados en ciertas conductas hacia la respuesta socialmente más deseable. Es decir, le asegura al entrevistado que su respuesta sobre temas sensibles (falsa o verdadera) no será conocida por el entrevistador, de ahí el nombre de respuesta aleatorizada(RA); la respuesta se realiza al azar. Se ha utilizado para analizar temas desde copiar en los exámenes, insolvencia, fraudes, haber sido arrestado, conducir bajo los efectos del alcohol, infidelidad, tener hijos fuera del matrimonio, prácticas abortivas, etcétera.. Existen varios métodos para evitar la resistencia de las personas a responder con sinceridad cuando el tema es delicado. Este capítulo presenta dos métodos para estimar proporciones (método de Warner, 1965 y método de Warner modificado propuesto por Horvitz et.al., 1967) sin obtener respuestas directas de las personas entrevistadas. Es decir, se estima la proporción sin que el entrevistado revele su posición personal respecto a la pregunta delicada; por ello, el objetivo de estás técnicas es ayudar a que se den respuestas veraces y se conserve lo confidencial del asunto. Para estos dos métodos se presenta una forma sencilla de calcular el tamaño de muestra necesario y con ello estimar la proporción con la precisión y confiabilidad fijadas bajo el MAS y el MAE.
7.1.
¿Cuándo se utiliza esta técnica?
Cuando las personas que son entrevistadas, se niegan a contestar o dan una respuesta falseada a preguntas sensitivas, que las ponen en aprietos o les pueden ser dañinas en algún sentido. Se utiliza para estimar el porcentaje de la poblacional que tiene la caraterística sensitiva. 176
Por características sensitivas o delicadas se entiende a las situaciones en donde los entrevistados sienten dañada su intimidad al pedir que respondan un cuestiorario. Por lo tanto, las preguntas sensitivas o delicadas sirven para captar las características sensitivas de los entrevistados; las cuales se tienen que manejar con cuidado debido a la no respuesta o a la respuesta falseada contestando lo socialemente deseable.
7.2.
Ventajas y desventajas Ventajas Desventajas Aumenta la probabilidad de Aumento en la complejidad de contestar la verdad que en la pregunta una pregunta directa Mayor índice de respuesta Dificultad en entender el método de aleatorización Requiere de tamaños de muestas grandes
7.3.
El modelo de respuesta aleatorizada bajo el MAS
Este método de respuesta aleatorizada fue desarrollado por S. L. Warner en 1965 y consiste en clasificar a las personas en los grupos A y B, respectivamente. Cada persona estará en uno de los grupos, A o B . Sea π la proporción de personas con ciertas caraterísticas de interés (grupo A). El objetivo es estimar π sin preguntar a cada persona directamente si pertenece o no al grupo A. A continuación se presenta el procemiento propuesto por Warner (1965): I. Se construye un mazo de cartas, pero una fracción de ellas p, se marca con la letra A (grupo A) y la fracción restante, 1 − p, con las letras faltantes del abecedario (grupo B). II. Se selecciona una muestra aleatoria simple o estratificada de individuos sin reemplazo de tamaño n de la población (N ). III. A cada individuo que va a responder se le enseña el mazo de cartas para que vea que las cartas estan marcadas con las letras del abecedario. IV. En seguida se baraja adecuadamente el mazo de cartas y se le pide al individuo que seleccione una carta, pero que no nos diga con que letra esta marcada. V. A continuación se le explica que se le va a hacer una pregunta y que la responda con "sí" o "no", pero resaltando que ponga mucha atención a la pregunta. VI. Responda a la pregunta ¿Tienes la característica sensitiva?, por ejemplo ¿ha consumido droga alguna vez?, si la carta que obtuvo esta marcada 177
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada con la letra A, por el contrario responda a la pregunta ¿No tienes la característica sensitiva?, para éste ejemplo, ¿Nunca has consumido droga?, si obtuvo cualquier otra letra del abecedario. VII. Se tiene que hacer enfasis en que debe de responder con la verdad a las preguntas y que solamente tiene que responder una de ellas dependiendo de la letra que obtuvo, es decir, si la la carta que obtuvo esta marcada con la letra A debe responder con la verdadad a la pregunta delicada y esta sería su única respuesta, lo mismo que si le toco cualquier otra letra del abecedario debe de responder con la verdad a la segunda pregunta pregunta y esta sería la única respuesta. VIII. La carta elegida por un individuo tiene que ser reemplazada antes de entrevistar a la siguiente persona. IX. Este procedimiento se aplica a todos los n individuos. X. Con las n respuestas de "sí" y "no" se hacen las estimaciones correspondientes con los estimadores propuestos en éste capítulo. El método de aleatorización que originalmente utilizó Warner es una aguja giratoria en un disco con dos regiones delimitadas. La aguja apunta con probabilidad p a la región A y 1 − p a la región Ac . El entrevistado responde a la pregunta QA si la aguja señala a la región A, o a la pregunta QAc si la aguja señala a la región Ac , de esta manera todo se conjuga a que el entrevistador sólo anote sí o no para cada entrevistado. Por ejemplo, supóngase que en el estado de Colima se desea estimar el porcentaje de hombres casados por lo civil que tienen hijos ilegales (fuera del matrimonio). Además supóngase que se extrae una muestra aleatoria simple de n = 200 de la población de N = 10, 000. Así, cada uno de los hombres que conforman la muestra recibe una ficha con las siguientes preguntas: QA : Pregunta 1: ¿tiene almenos un hijo fuera de su matrimonio? QAc : Pregunta 2: ¿no tiene hijos fuera del matrimonio? La pregunta QA (pregunta 1) será respondida por el entrevistado si la aguja marca la región A, de lo contrario, si la aguja marca la región Ac el entrevistado responderá la pregunta QAc (pregunta 2). Cada entrevistado responderá un sí o no porque solamente contestará una de las dos preguntas dependiendo de la región que marque la aguja (A o Ac ). Esto significa que se tendrán n repuestas dicotómicas (sí o no) a partir de las cuales se derivará la estimación de interés (porcentaje de respuestas afirmativas de la pregunta 1). Por otro lado, es importante resaltar que el mecanismo de aleatorización puede ser una baraja, un dado, una modena, una urna, etc., pero se debe tener claro cuál es su eqeuivalente a la región A y su respectiva probabilidad. Por ello, es importante recordar que el experimentador puede elegir arbitraria1 mente la fracción p de cartas marcadas con A, pero no debe ser igual a . Tam2 poco se debe de usar p = 1 porque el entrevistado se daría cuenta que se le está 178
preguntando si pertenece o no al grupo A, o sea, lo que no quiere responder. 3 Un valor de es usualmente adecuado. Este método requiere generalmente 4 un tamaño de muestra muy grande para obtener una varianza del estimador razonablemente pequeña. Se necesita un tamaño de muestra grande debido a que cada respuesta origina poca información sobre la proporción poblacional, π. La técnica de respuesta aleatorizada que se ha presentado aquí es la más simple de todas las que existen. Para mayor información al respecto, véanse los artículos de Campbell y Joiner (1973); Leysieffer y Warner (1976); y Greenberg, Kuebler, Albernathy y Horvitz (1971).
7.3.1. El estimador de la proporción y el total poblacional Si suponemos que p 6=
1 , el estimador de máxima verosimilitud de π es: 2 a p−1 + π ˆ= 2p − 1 (2p − 1)n
y el estimador de máxima verosimilitud de τ es: τˆ = N π ˆ donde: N : tamaño de la población, a : el total de respuestas "sí" de los n entrevistados, p : fracción de las letras en el mazo de cartas marcadas con la letra A.
7.3.2. La varianza estimada de los estimadores de la proporción y del total ¶ " ¶2 # µ 1 1 1 Sπˆ2 = − π ˆ− n 16 (p − 1/2)2 2 ¶ " ¶2 # µ µ 1 1 N − n 1 Sτˆ2 = N 2 Sπˆ2 = N 2 − π ˆ− N n 16 (p − 1/2)2 2 µ
N −n N
A continuación se proporcionan los intervalos de confianza para los parámetros π y τ con una confiabilidad del (1 − α)100 %.
7.3.3. El intervalo de confianza de la proporción y el total π ˆ ± Zα/2 τˆ ± Zα/2 donde: π ˆ = la proporción de interés τˆ = el total de interés
q
q
Sπˆ2
Sτˆ2
179
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada Z pα/2 = el valor de tablas de la distribución normal 2 pSπˆ = la desviación estándar de la proporción de interés Sτˆ2 = la desviación estándar del total de interés
7.3.4. El tamaño de la muestra para la proporción y el total El tamaño de muestra para estimar la proporción Si se fija una ³ precisión deseada con una confiabilidad de (1 − α)100 %, enp ´ 2 Sπˆ . Por lo tanto, el tamaño de muestra se determina por la tonces d = Zα/2 ecuación: n=
2 N Zα/2 k 2 N d2 + Zα/2 k
donde:
µ ¶2 1 1 − π ˆ− k= 2 16 (p − 1/2)2 N = el tamaño de la población Zα/2 = el valor de tablas de la distribución normal p = la proporción de cartas que están marcadas con la letra A d = la precisión fijada por el investigador El tamaño de muestra para estimar el total n=
2 N 2 Zα/2 k 2 d2 + N Zα/2 k
donde:
¶2 µ 1 1 k= − π ˆ− 2 16 (p − 1/2)2 N = el tamaño de la población Zα/2 = el valor de tablas de la distribución normal p = la proporción de cartas que están marcadas con la letra A d = la precisión fijada por el investigador
7.3.5. Ejemplos Ejemplo 1. En el estado de Colima se realiza una encuesta con la intención de estimar la proporción de estudiantes (N = 8, 000) en nivel medio superior y superior que han consumido algún tipo de dróga. Dado que se trata de una 5 pregunta delicada, se usó el método de respuesta aleatorizada con p = . Se 6 tomó una muestra aleatoria simple de n = 200 estudiantes. En los resultados se encontraron 45 respuestas "sí" de los 200 entrevistados. a) Calcule la proporción poblacional de interés. π ˆ=
a p−1 + (2p − 1) (2p − 1)n 180
donde: a =
n X
yi = 45, p =
i=1
5 y n = 200 6
Por lo tanto:
45 5/6 − 1 + = 0.0875 u 8.75 % de estudiantes 2(5/6) − 1 (2(5/6) − 1)200 han consumido algún tipo de droga π ˆ=
b) Obtenga el total de estudiantes que alguna vez han consumido algún tipo de droga. τˆ = N π ˆ donde: n = 8, 000 y π ˆ = 0.0875 Por lo tanto: τˆ = (8, 000)(0.0875) = 700 estudiantes c) Calcule la varianza y la desviación estándar de la proporción muestral. µ ¶ " ¶2 # µ N − n 1 1 1 Sπˆ2 = − π ˆ− N n 16(p − 1/2)2 2 5 donde: N = 8, 000, π ˆ = 0.0875, p = , n = 200 6 Por lo tanto: " ¶ µ ¶2 # 1 1 1 8, 000 − 200 − 0.0875 − Sπˆ2 = 8, 000 200 16(5/6 − 1/2)2 2 = p 0.001912676 √ Sπˆ = Sπˆ2 = 0.001912676 =0.043734144 p √ Sπˆ = Sπˆ2 = 0.001912676 =0.043734144 µ
d) Determine un IC de la proporción de interés con una confiabilidad de 95 %. π ˆ ± Zα/2
p Sπˆ2
donde: π ˆ = 0.0875, N = 8, 000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y sπˆ =0.043734149 Por lo tanto: 0.0875 ± (1.96)(0.0437) 0.0875 ± 0.085718932 0.001781068 ≤ π ≤ 0.173218932 Entonces, la proporción de estudiantes que alguna vez han consumido algún 181
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada tipo de droga está entre 0.178 y 17.32 %. e) Calcule el intervalo de confianza del total con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± N Zα/2
p Sπˆ2
donde: τˆ = 700, N = 8, 000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y sπˆ =0.043734149 por lo tanto: (8, 000)(0.0875) ± (8000)(1.96)(0.0437) (8, 000)0.0875 ± (8000)(0.0857) 700 ± 685.7515 14.2486 ≤ τ ≤ 1, 385.7515 De ahí que el total de estudiantes en nivel medio superior y superior que alguna vez hayan consumido algún tipo de droga esté entre 14.2486 y 1385.7515. f) Suponga que n = 200 estudiantes es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción poblacional con una precisión de 5 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N (Zα/2 )k 2 N d2 + Zα/2 k
donde: N = 8, 000 : el tamaño de la población Zα/2 = 1.96 5 p= 6 d = (0.05)(0.0875) = 0.004375 ¶2 µ 1 1 k= = 0.3923 − 0.0875 − 2 16 (5/6 − 1/2)2
Por lo tanto:
(8, 000)(1.962 )(0.3923) n= = 330.285884 (8, 000)(0.004375)2 + (1.962 )(0.3923) (unidades muestrales)
estudiantes
g) Suponga que n = 200 estudiantes es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el total poblacional con una precisión del 5 % del total preliminar y con una confiabilidad de 95 %? 2 N 2 Zα/2 k n= 2 2 d + N Zα/2 k donde: N = 8, 000 : el tamaño de la población Zα/2 = 1.96 5 p= 6 d = (0.05)(700) = 35 182
µ ¶2 1 1 − 0.0875 − k= = 0.3923 2 16 (5/6 − 1/2)2
por lo tanto:
(8000)2 (1.962 )(0.3923) = 330.285884estudiantes (unida(352 ) + (8000)(1.962 )(0.3923)
n = des muestrales)
Ejemplo 2. En el estado de Colima se realiza una encuesta para estimar la proporción de personas que han robado alguna vez en su vida. Hay una población de N = 15, 000. Dado que se trata de una pregunta delicada se usó el método 5 de respuesta aleatorizada con p = . Se entrevistó aleatoriamente a n = 250 6 ciudadanos. Los resultados arrojaron 80 respuestas de "sí" de entre los 250 entrevistados. a) Calcule la proporción de interés poblacional. π ˆ=
donde: a =
n X i=1
a p−1 + 2p − 1 (2p − 1)n
5 yi = 80, p = , n = 250 6
Por lo tanto:
5/6 − 1 80 + = 0.23 ó 23 % de ciudadanos que 2(5/6) − 1 (2(5/6) − 1)250 alguna vez han robado π ˆ=
b) Calcule el total de ciudadanos que alguna vez han robado. τˆ = N π ˆ donde: N = 15, 000 y π ˆ = 0.23 Por lo tanto: τˆ = (15000)(0.23) = 3,450 ciudadanos c) Estime la varianza y la desviación estándar de la proporción. µ µ ¶ " ¶2 # 1 N −n 1 1 2 − π ˆ− Sπˆ = N n 16(p − 1/2)2 2 donde: N = 15, 000, π ˆ = 0.23, n = 250 Por lo tanto: Sπˆ2 =
µ
15, 000 − 250 15, 000
¶
" ¶2 # µ 1 1 1 = 0.00192576 − 0.23 − 250 16(5/6 − 1/2)2 2 183
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada
Sπˆ =
p √ Sπˆ2 = 0.00192576 = 0.043883482
d) Construya un IC de la proporción de interés con una confiabilidad de 95 %. π ˆ ± Zα/2
p Sπˆ2
donde: π ˆ = 0.23, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, S π ˆ = 0.043883482 Por lo tanto: 0.23 ± (1.96)(0.0438) 0.23 ± 0.086011625 0.143988375 ≤ π ≤ 0.316011625 Esto significa que la proporción de ciudadanos que han robado alguna vez en su vida está entre 0.143988375 y 0.316011625, es decir, entre 14.39 y 31.60 %. e) Contruya un IC para el total con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± N Zα/2
p Sπˆ2
donde: τˆ = 3,450, N = 15,000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y S π ˆ = 0.043883482 Por lo tanto: (15, 000)(0.23) ± (15, 000)(1.96)(0.0438) (15, 000)(0.23) ± (15, 000)(0.0860) 3450 ± 1290.17437 2,159.82563 ≤ τ ≤ 4,4740.17437 Esto significa que el total de ciudadanos que alguna vez han robado se encuentra entre 2,159.82563 y 4,740.17437. f) Suponga que n = 250 ciudadanos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción verdadera con una precisión de 3 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N (Zα/2 )k 2 N d2 + N Zα/2 k
donde: N = 15,000: el tamaño de la población Zα/2 = 1.96 5 p= 6 π ˆ = 0.23 d = (0.03)(0.23) = 0.0069 184
¶2 µ 1 1 k= = 0.4896 − 0.23 − 16(5/6 − 1/2)2 2
Por lo tanto:
n= muestrales)
(15,000)(1.962 )(0.4896) = 267.7214 ciudadanos (unidades (15000)(0.004388)2 + (1.962 )(0.4896)
g) Suponga que n = 250 ciudadanos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el total poblacional con una precisión de 3 % del total preliminar y con una confiabilidad de 95 %? 2 N 2 Zα/2 k n= 2 2 d + N Zα/2 k donde: N = 15, 000: el tamaño de la población Zα/2 = 1.96 5 p= 6 τˆ = 3, 450 d = (0.03)(3, 450) = 103.5 µ ¶2 1 1 − 0.23 − = 0.4896 k= 16(5/6 − 1/2)2 2
Por lo tanto:
n= tra)
(15, 000)2 (1.962 )(0.4896) = 267.7214 ciudadanos (mues(103.52 ) + (15,000)(1.962 )(0.4896)
Ejemplo 3. En el estado de Colima se realiza una encuesta con la intención de estimar la proporción de ciudadanos que han usado juguetes sexuales alguna vez en su vida. Se supone N = 7, 000. Como es una pregunta delicada se usó 5 el método de respuesta aleatorizada con p = . Se entrevistó aleatoriamente a 6 n = 160 ciudadanos. Los resultados indican 40 respuestas de "sí" de entre los 160 entrevistados. a) Calcule la proporción de interés. π ˆ=
p−1 a + 2p − 1 (2p − 1)n
donde: a = Σni=1 yi = 40, p =
5 y n = 160 6
por lo tanto: π ˆ=
5/6 − 1 40 + = 0.125 ó 12.5 % de ciudadanos 2(5/6) − 1 (2(5/6) − 1)160
Esto significa que la proporción de ciudadanos que alguna vez en su vida han 185
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada usado juguetes sexuales es de 0.125, es decir el 12.5 % b) Realice la estimación del total de ciudadanos que alguna vez han usado juguetes sexuales. τˆ = N π ˆ donde: N = 7,000 y π ˆ = 0.125 Por lo tanto: τˆ = (7000)(0.125) = 875 ciudadanos c) Obtenga la varianza y la desviación estándar de la proporción. µ ¶ " ¶2 # µ 1 N − n 1 1 Sπˆ2 = − π ˆ− N n 16(5/6 − 1/2)2 2 5 donde: N = 7,000, π ˆ = 0.125, p = , n = 160 6 por lo tanto: " µ ¶ ¶2 # 1 7000 − 160 1 1 − 0.125 − Sπˆ2 = = 0.00257645 7000 160 16(5/6 − 1/2)2 2 p √ Sπˆ = Sπˆ2 = 0.00257645 = 0.050758752 µ
d) Construya un IC para la proporción de interés con una confiabilidad de 95 %. π ˆ ± Zα/2
p Sπˆ2
donde: π ˆ = 0.125, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Sπˆ = 0.050758752 Por lo tanto: 0.125 ± (1.96)(0.05007) 0.125 ± 0.099487154 0.025512846 ≤ π ≤ 0.224487154 Esto significa que la proporción de ciudadanos que alguna vez en su vida han usado juguetes sexuales está entre 0.02551 y 0.2244, o sea, entre 2.55 y 22.44 %. e) Obtenga un IC del total con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± N Zα/2
p Sπˆ2
donde: τˆ = 875, N = 7,000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y S π ˆ = 0.050758 186
Por lo tanto: (7, 000)(0.125) ± (7, 000)(1.96)(0.09948) (7, 000)(0.125) ± (7, 000)(0.07740) 875 ± 696.4100 178.5899 ≤ τ ≤ 1571.41008 Esto significa que el total verdadero de ciudadanos que alguna vez han usado juguetes sexuales se encuentra entre 178.58 y 1,571.41. f) Suponga que n = 160 ciudadanos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción poblacional con una precisión de 5 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N Zα/2 k 2 N d2 + Zα/2 k
donde: π ˆ = 0.125 N = 7, 000: el tamaño de la población Zα/2 = 1.96 5 p= 6 d = (0.05)(0.125) = 0.00625 ¶2 µ 1 1 k= = 0.4218 − 0.125 − 16(5/6 − 1/2)2 2
Por lo tanto:
n= tra)
(7, 000)(1.962 )(0.4218) = 250.045321 ciudadanos (mues(7, 000)(0.05075)2 + (1.962 )(0.4218)
g) Suponga que n = 160 ciudadanos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el total con una precisión de 5 % del total preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N 2 Zα/2 k 2 d2 + N Zα/2 k
donde: N = 7, 000: el tamaño de la población Zα/2 = 1.96 5 p= 6 τˆ = 875 d = (0.05)(875) = 43.75 ¶2 µ 1 1 = 0.421875 − 0.125 − k= 16(5/6 − 1/2)2 2
Por lo tanto:
187
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada
n= tra)
(7000)2 (1.962 )(0.4218) = 250.045321 ciudadanos (mues(43.75)2 + (7000)(1.962 )(0.4218)
Ejemplo 4. En el estado de Colima se realiza una encuesta con la intención de calcular la proporción de ciudadanos N = 5,000 que han vendido su voto alguna vez en su vida. Dado que se trata de una pregunta delicada, se empleó 5 el método de respuesta aleatorizada con p = . Se tomó una muestra aleatoria 6 simple de 250 ciudadanos a quienes se les entrevistó. En los resultados se encontraron 60 respuestas de "sí". a) Estime la proporción poblacional de interés. π ˆ=
p−1 a + 2p − 1 (2p − 1)n
donde: a = Σni=1 yi = 60, p =
5 y n = 250 6
Por lo tanto: π ˆ=
5/6 − 1 60 + = 0.11 2(5/6) − 1 (2(5/6) − 1)250
Esto significa que la proporción de ciudadanos en el estado de Colima que alguna vez en su vida han vendido su voto es de 0.11, es decir el 11 % b) Calcule el total de ciudadanos que alguna vez han vendido su voto. τˆ = N π ˆ donde: N = 5,000 y π ˆ = 0.11 Por lo tanto: τˆ = (5, 000)(0.11) = 550 Esto significa que el total de ciudadanos de Colima que alguna vez han vendido su voto es de 550. c) Haga la estimación de la varianza y la desviación estándar de la proporción. µ µ ¶ " ¶2 # N −n 1 1 1 Sπˆ2 = ˆ− 2 − π N n 16(p − 1/2) 2 5 donde: N = 5, 000, π ˆ = 0.11, p = , n = 250 6 Por lo tanto: 188
" µ ¶ ¶2 # 1 5, 000 − 250 1 1 − 0.11 − Sπˆ2 = = 0.00156 5, 000 250 16(5/6 − 1/2)2 2 p √ Sπˆ = Sπˆ2 = 0.00156 = 0.039490758 µ
d) Haga un IC de la proporción de interés con una confianza de 95 % π ˆ ± Zα/2
p Sπˆ2
donde: π ˆ = 0.11, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Sπˆ = 0.039490758 por lo tanto: 0.11 ± (1.96)(0.0395) 0.11 ± 0.077401886 0.032598114 ≤ π ≤ 0.187401886 Por lo tanto, la proporción de ciudadanos que alguna vez en su vida han vendido su voto está entre 0.03259 y 0.1874, es decir, entre 3.25 y 18.74 %. e) Cree un IC del total con una confiabilidad de 95 %. τˆ ± N Zα/2
p Sπˆ2
donde: τˆ = 550, N = 5, 000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Sπˆ = 0.039490758 Por lo tanto: (5, 000)(0.11) ± (5, 000)(1.96)(0.0395) (5, 000)(0.11) ± (5, 000)(0.07740) 550 ± 387.0094 162.9905 ≤ τ ≤ 937.0094 Esto significa que el total de ciudadanos que alguna vez ha vendido su voto está entre 162.9905 y 937.0094 personas. f) Suponga que n = 250 ciudadanos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción verdadera con una precisión de 5 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N Zα/2 k 2 N d2 + Zα/2 k
donde: π ˆ = 0.11 N = 5, 000: el tamaño de la población Zα/2 = 1.96 5 p= 6 d = (0.05)(0.11) = 0.0055 189
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada ¶2 µ 1 1 k= = 0.4104 − 0.11 − 16(5/6 − 1/2)2 2
Por lo tanto:
n= tra)
(5000)(1.962 )(0.4104) = 271.110281 ciudadanos (mues(5000)(0.03949)2 + (1.962 )(0.4104)
g) Suponga que n = 250 ciudadanos es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el total verdadero con una precisión de 5 % del total preliminar con una confiabilidad de 95 %? n=
2 N 2 Zα/2 k 2 d2 + N Zα/2 k
donde: N = 5000: el tamaño de la población Zα/2 = 1.96 5 p= 6 τˆ = 550 d = (0.05)(550) = 27.5 µ ¶2 1 1 − 0.11 − = 0.4104 k= 16(5/6 − 1/2)2 2
Por lo tanto:
(5000)2 (1.962 )(0.4104) n= = 271.110281 (27.5)2 + (5000)(1.962 )(0.4104) Por lo tanto, el número estimado de unidades muestrales (ciudadanos) que deben constituir a la muestra para tener una precisión de ±27.5 con 0.95 de probabilidad de incluir en el intervalo de estimación al total es de 272 ciudadanos.
190
7.4.
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime los parámetros siguientes: a) El IC para la proporción y el total con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción y el total de tal manera que sean estimados con una precisión de 5 % de la proporción y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. Un psicólogo está realizando un estudio para conocer el número de homosexuales en el estado de Colima (N = 28, 000). Dado que se trata de 5 una pregunta delicada, se usó el método de respuesta aleatorizada con p = . 6 Se tomó una muestra aleatoria simple de n = 200 hombres. En los resultados se encontraron 45 respuestas de "sí" de los entrevistados. Ejercicio 2. En el estado de Colima se está realizando un estudio de personas que alguna vez han tenido tendencias de robo menor (N = 50, 000). Dado que se trata de una pregunta delicada, se usó el método de respuesta aleatorizada 5 con p = . Se tomó una muestra aleatoria simple de n = 200 personas. En los 6 resultados se encontraron 37 respuestas de "sí" de los entrevistados. Ejercicio 3. Un psicólogo está realizando un estudio para conocer el número de mujeres que han sufrido algún tipo de abuso sexual por parte de un familiar (N = 10, 000). Dado que se trata de una pregunta delicada, se usó el método 5 de respuesta aleatorizada con p = . Se tomó una muestra aleatoria simple de 6 n = 500 mujeres. Se encontraron 20 respuestas de "sí" de los entrevistados. Ejercicio 4. Un médico desea hacer un estudio para conocer el número de personas que han consumido algún tipo de droga prohibida en el municipio de Coquimatlán del estado de Colima. (N = 5, 000). Dado que se trata de una 5 pregunta delicada, se usó el método de respuesta aleatorizada con p = . Se 6 tomó una muestra aleatoria simple de n = 150 personas. En los resultados se encontraron 90 respuestas de "sí" de los entrevistados.
7.5.
El modelo de respuesta aleatorizada bajo el MAE
Cuando la población es heterogénea se sugiere formar estratos para mejorar la precisión de las estimaciones. Los criterios para formar los estratos son exactamente los mismos que en el MAE. Por lo tanto, para cada estrato se debe conocer su tamaño y no deben traslaparse y además se debe contar con un marco de muestreo confiable para tener una tasa de respuesta en blanco muy cercana a cero. Por otro lado, ya que se determine el tamaño de muestra con la expresión correspondiente, la asignación de la muestra se realizará en 191
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada forma proporcional, por su simplicidad y aceptación práctica. El procedimiento del método de respuesta aleatorizada en MAE es exactamente el mismo que MAS. Por lo tanto, cada individuo que conformará la muestra se entrevistará con el mismo procedimiento del método de respuesta aleatorizada bajo el MAS, con la diferencia que ahora el tamaño de muestra n se asigna en forma proporcional a cada estrato, es decir, n = n1 + n2 + ... + nE . A continuación se presentan los estimadores necesarios del método en su versión estratificada.
7.5.1. El estimador de la proporción y el total poblacional π ˆst =
N1 π ˆ 1 + N2 π ˆ2 + .... + NE π ˆE N τˆst = N π ˆst
1 Si p 6= es igual en cada estrato, entonces el estimador de máxima verosimili2 tud de πh es : π ˆh =
ah p−1 + ; 2p − 1 (2p − 1)nh
h = 1, 2, ..., E
donde: p : la fracción de letras en el mazo de cartas marcadas con la letra A, ah : el total de respuestas afirmativas ("sí") de los nh entrevistados en el estrato h, Se necesita la varianza de estos estimadores para determinar la dispersión de los datos y saber la precisión de las estimaciones.
7.5.2. La varianza de los estimadores de la proporción y total poblacional ¶ " µ ¶2 µ ¶2 # E µ X N 1 1 1 N − n h h h Sπˆ2st = − π ˆh − 2 N N n 2 h h 16(p − 1/2) h=1 " ¶2 µ ¶2 # ¶ µ E µ X N N − n 1 1 1 h h h Sτˆ2st = N 2 − π ˆh − 2 N N n 2 h h 16(p − 1/2) h=1
Con los estimadores de las varianzas de π ˆst y τˆst se puede calcular intervalos que contengan el valor del parámetro con una probabilidad preestablecida.
7.5.3. El intervalo de confianza para el promedio y total poblacional Los intervalos de confianza para πst y τst son:
π ˆst ± Zα/2
q Sπˆ2st
192
τˆst ± Zα/2
q
Sτˆ2st
7.5.4. El tamaño de la muestra para estimar la proporción y el total El tamaño de muestra para³q estimar ´ la proporción 2 Fijando la precisión d = Zα/2 Sπˆst se tiene que: n= donde:
2 N Zα/2
N d2 +
PE
h=1 Wh Kh PE 2 Zα/2 h=1 Wh Kh
¶2 µ 1 1 − π ˆh − Kh = 16(p − 1/2)2 2 N = el tamaño de la población π ˆh = la proproción de interés en el estrato h Zα/2 = el valor de tablas de la distribución normal p = la proporción de cartas que están marcadas con la letra A d = la precisión fijada por el investigador El tamaño de muestra para estimar el total n=
N 2 (Zα/2)2 ΣE h=1 Wh Kh 2 2 d + N (Zα/2 ) ΣE h=1 Wh Kh
donde: ¶2 µ 1 1 Kh = − π ˆh − 16(p − 1/2)2 2 N = el tamaño de la población π ˆh = la proproción de interés en el estrato h Zα/2 = el valor de tablas de la distribución normal p= la proporción de cartas que están marcadas con la letra A d= la precisión fijada por el investigador
7.5.5. Ejemplos
Ejemplo 1. Una investigadora de la U de C está interesada en estimar la proporción de mujeres infieles en el estado (se encontró que las mujeres que están casadas por lo civil es de N = 10, 000 ). Obviamente, es una pregunta delicada y por eso se usó el método de respuesta aleatorizada. Además, la investigadora cree que el nivel socioeconómico influye en la infidelidad, por lo que clasificó a la población en tres estratos: clase baja, (estrato 1), media (estrato 2) y alta (estrato 3). La población de cada estrato es de N1 = 4, 500, N2 = 3, 500 y N3 = 2, 000. Para el estudio se tomó una muestra aleatoria simple de n = 200 193
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada señoras distribuidas de la siguiente manera: n1 = 80, n2 = 65 y n3 = 55 señoras. Las respuestas de ”sí” en las entrevistas por estrato son: 14 para el estrato 1, 5 16 para el estrato 2 y 17 para el estrato 3. En este caso p = . 6 a) Calcule la proporción de mujeres infieles en el estado. π ˆst =
N1 π ˆ 1 + N2 π ˆ2 + .... + NE π ˆE N
donde: p−1 ah + ; h = 1, 2, ..., E, N1 = 4, 500, N2 = 3, 500, N3 = 2, 000, n1 = π ˆh = 2p − 1 2p − 1 80, n2 = 65, n3 = 55 5 a1 = 14, a2 = 16, a3 = 17, p = 6 Por lo tanto: 14 5/6 − 1 + = 0.0125 2(5/6) − 1 (2(5/6) − 1)80 16 5/6 − 1 + = 0.1199 π ˆ2 = 2(5/6) − 1 (2(5/6) − 1)65 5/6 − 1 17 π ˆ3 = + = 0.2136 2(5/6) − 1 (2(5/6) − 1)55 (4500)(0.0125) + (3500)(0.1199) + (2000)(0.2136) = 0.0901 ó 9 % π ˆst = 10000 de mujeres infieles π ˆ1 =
b) Determine el total de mujeres infieles en el estado τˆst = N π ˆst donde: N = 10,000 el total de mujeres casadas por lo civil en el estado de Colima π ˆst = 0.0901: la proporción de mujeres infieles en el estado Por lo tanto: τˆst = (10000)(0.090) = 900.8304 Esto significa que el total de mujeres infieles en el estado de Colima es de 900.8304 c) Estime la varianza y la desviación estándar de la proporción. " µ ¶ µ ¶2 # ¶ µ E 2 X Nh N − n 1 1 1 h h Sπˆ2st = − π ˆh − 2 N N n 2 h h 16(p − 1/2) h=1
donde: N = 10, 000 el total de mujeres casadas por lo civil en el estado E = 3 los estratos en los que está dividida la población en estudio N1 = 4, 500, N2 = 3, 500, N3 = 2, 000 n1 = 80, n2 = 65, n3 = 55
194
a1 = 14, a2 = 16, a3 = 17 5 p= 6 π ˆ1 = 0.0125 π ˆ2 = 0.1192 π ˆ3 = 0.2136 Por lo tanto: Sπˆ2st = + + Sπˆst =
" ¶2 # µ 1 1 1 − 0.0125 − 80 16 (5/6 − 1/2)2 2 " µ ¶2 µ ¶ ¶2 # µ 3500 1 3500 − 65 1 1 − 0.1192 − 10000 3500 65 16 (5/6 − 1/2)2 2 " ¶2 µ ¶ ¶2 # µ µ 1 2000 − 55 1 1 2000 = 0.0019 − 0.2136 − 10000 2000 55 16 (5/6 − 1/2)2 2 q √ Sπˆ2st = 0.0019 = 0.0438 µ
4500 10000
¶2 µ
4500 − 80 4500
¶
d) Construya un IC para la proporción de interés con una confiabilidad de 95 %. q π ˆst ± Zα/2 Sπˆ2st
donde: π ˆst = 0.0901: la proporción de mujeres infieles en el estado α = 0.05 Zα/2 = 1.96 q Sπˆ2st = 0.0438
Por lo tanto:
0.0901 ± (1.96)(0.0438) 0.0901 ± 0.0859 0.0042 ≤ πst ≤ 0.1760 Esto significa que la proporción de mujeres infieles casadas por lo civil en el estado de Colima está entre 0.0042 y 0.1760. e) Haga un IC del total de interés con una confiabilidad de 95 %. q τˆst ± Zα/2 Sτˆ2st
donde: τˆst = 900.83042 N q = 10,000 el total de mujeres casadas por lo civil en el estado de Colima
Sτˆ2st = 0.0438 α = 0.05 Zα/2 = 1.96
195
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada q Sτˆ2st = (10, 000)(0.0438) = 438.1468 Por lo tanto:
900.8304 ± (1.96)(438.1468) 900.8304 ± 858.7519 42.0785 ≤ τst ≤ 1, 759.5824 Esto significa que el total de mujeres infieles casadas por lo civil está entre 42.0785 y 1,759.5824. f) Suponga que n = 200 mujeres es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción poblacional con una precisión de 75 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh 2 N d2 + Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh
donde:
¶2 µ 1 1 Kh = − π ˆh − 16(p − 1/2)2 2 Nh Wh = ; h = 1, 2, 3 N N = 10,000 : total de mujeres casadas por lo civil en el estado de Colima Zα/2 = 1.96 5 p= 6 ¶2 µ 1 1 = 0.3248 K1 = − 0.0125 − 2 16 (5/6 − 1/2)2 µ ¶2 1 1 − 0.1192 − K2 = = 0.4175 2 16 (5/6 − 1/2)2 ¶2 µ 1 1 = 0.4805 − 0.2136 − K3 = 2 16 (5/6 − 1/2)2 E X 4,500 3,500 2,000 Wh kh = (0.3248) + (0.4175) + (0.4805) = 0.3884 10,000 10,000 10,000 h=1 d = (0.75)(0.0901) = 0.0676 Por lo tanto: n= (muestra)
(10,000)(1.96)2 0.3884 = 316.5251 mujeres casadas (10,000)(0.0676)2 + (1.96)2 (0.3884)
La asignación de la muestra en forma proporcional N1 n= N N2 n= n2 = N
n1 =
4,500 (317) = 143 10,000 3,500 (317) = 111 10,000 196
n3 =
2,000 N3 n= (317) = 63 N 10,000
Por lo tanto, la muestra requerida para cada estrato queda distribuida de la siguiente manera: 143 mujeres para el estrato 1, 111 para el estrato 2 y 63 para el estrato 3. g) Suponga que n = 200 mujeres es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total verdadero con una precisión de 75 % del total preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
N 2 (Zα/2 )2 ΣE h=1 Wh Kh d2 + N (Zα/2 )2 ΣE h=1 Wh Kh
donde:
¶2 µ 1 1 Kh = − π ˆh − 16(p − 1/2)2 2 Nh Wh = ; h = 1, 2, 3 N N = 10,000 el total de mujeres casadas por lo civil en el estado de Colima α = 0.05 Zα/2 = 1.96 5 p= 6 µ ¶2 1 1 − 0.0125 − = 0.3248 K1 = 2 16 (5/6 − 1/2)2 ¶2 µ 1 1 = 0.4175 − 0.1192 − K2 = 2 16 (5/6 − 1/2)2 ¶2 µ 1 1 K3 = = 0.4805 − 0.2136 − 2 16 (5/6 − 1/2)2 E X 4,500 3,500 2,000 Wh kh = (0.3248) + (0.4175) + (0.4805) = 0.3884 10,000 10,000 10,000 h=1 τˆst = 900.83042 d = (0.75)(900.83042) = 675.6228 Por lo tanto: (10,000)2 (1.96)2 (0.3884) = 316.5251 mujeres casadas (675.6228)2 + (10,000)(1.96)2 (0.3884) (unidades muestrales) n=
Dado que el tamaño de muestra es el mismo, la distribución queda con 143 mujeres para el estrato 1, 111 para el estrato 2 y 63 para el estrato 3. Ejemplo 2. Una persona está interesada en estimar la proporción de mujeres jóvenes que han abortado en Manzanillo (el total de jóvenes es N = 15,000). Además, la persona cree que el nivel social influye en tal problema, por lo que clasificó a la población en dos estratos: clase baja (estrato 1) y clase alta (estrato 2), donde la población de cada estrato es N1 = 10,000 y N2 = 5,000. Para el estudio se tomó una muestra aleatoria simple (n = 300) de la población obje197
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada tivo, que se distribuyó de la siguiente manera: n1 = 200 y n2 = 100 jóvenes. El número de respuestas de ”sí” por estrato fue de 50 para el estrato uno y de 30 5 para el estrato dos. En este caso p = . 6 a) Realice la estimación de la proporción de mujeres que han abortado en Manzanillo. N1 π ˆ 1 + N2 π ˆ2 + .... + NE π ˆE N ah p−1 + ; h = 1, 2, ..., E π ˆh = 2p − 1 (2p − 1)nh
π ˆst =
donde: N1 = 10, 000 y N2 = 5, 000 n1 = 200 y n2 = 100 a1 = 50 y a2 = 30 5 p= 6 Por lo tanto:
5/6 − 1 50 + = 0.125 (2 (5/6) − 1) (2 (5/6) − 1) 200 5/6 − 1 30 π ˆ2 = + = 0.2 (2 (5/6) − 1) (2 (5/6) − 1) 100 (10, 000) (0.125) + (5, 000) (0.2) π ˆst = = 0.15 15, 000 π ˆ1 =
Esto significa que la proporción de mujeres que han abortado en Manzanillo es de 0.15, es decir, el 15 % b) Calcule el total de mujeres que han abortado en Manzanillo. τˆst = N π ˆst donde: N = 15, 000 el total de jóvenes que han abortado π ˆst = 0.15 la proporción de jóvenes que han abortado Por lo tanto: τˆst = (15, 000)(0.15) = 2,250 mujeres c) Obtenga la varianza y la desviación estándar de la proporción. " ¶2 µ ¶2 # ¶ µ E µ X Nh N h − nh 1 1 1 2 Sπˆst = − π ˆh − N Nh nh 16(p − 1/2)2 2 h=1
donde: N = 10, 000: el total de jóvenes que han abortado E = 2: los estratos en los que está dividida la población del estudio
198
N1 = 10, 000 y N2 = 5, 000 n1 = 200 y n2 = 100 a1 = 50 y a2 = 30 5 p= 6 π ˆ1 = 0.125 π ˆ2 = 0.2 Por lo tanto: Sπˆ2st
" ¶ ¶2 # µ 1 10000 − 200 1 1 = − 0.125 − 10000 200 16 (5/6 − 1/2)2 2 " µ ¶2 µ ¶ ¶2 # µ 1 5000 5000 − 100 1 1 + = 0.0014 2 − 0.2 − 15000 5000 100 16 (5/6 − 1/2) 2 µ
10000 15000
¶2 µ
La desviación estándar de la proporción es igual a 0.0379. d) Elabore un IC para la proporción de interés con una confiabilidad de 95 %. q π ˆst ± Zα/2 Sπˆ2st
donde: π ˆst = 0.15: la proporción de jóvenes que han abortado α = 0.05 Zα/2 = 1.96 q Sπˆ2st = 0.0379
Por lo tanto:
(0.15) ± (1.96)(0.0379) (0.15) ± (0.0742) 0.0758 ≤ πst ≤ 0.2242 Entonces, se estima que la proporción de mujeres jóvenes que han abortado en Manzanillo está entre 0.0758 y 0.2242. e) Haga un IC del total de interés con una confiabilidad de 95 %. q τˆst ± Zα/2 Sτˆ2st
donde: τˆst = 2,250 q q Sτˆ2st = N Sπˆ2st N = 15, 000 :el total de jóvenes q Sπˆ2st = 0.0379 α = 0.05 Zα/2 = 1.96
199
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada q Sτˆ2st = (15000)(0.379) = 567.8743 Por lo tanto:
2250 ± (1.96)(567.8743) 2250 ± 1, 113.0132 1, 136.9868 ≤ τst ≤ 3, 363.0132 Por lo tanto, el total de mujeres jóvenes que han abortado está entre 1,136.9868 y 3,363.0132. f) Suponga que n = 300 mujeres jóvenes es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción verdadera con una precisión de 49 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh 2 N d2 + Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh
donde:
¶2 µ 1 1 − π ˆh − Kh = 2 16 (p − 1/2)2 Nh ; h = 1, 2, 3 Wh = N N = 15,000: el total jóvenes Zα/2 = 1.96 5 p= 6 µ ¶2 1 1 K1 = − 0.125 − = 0.4219 2 16 (5/6 − 1/2)2 ¶2 µ 1 1 = 0.4725 − 0.2 − K2 = 2 16 (5/6 − 1/2)2 10, 000 5, 000 ΣE (0.4219) + (0.4725) = 0.4388 h=1 Wh kh = 15, 000 15, 000 d = (0.49)(0.15) = 0.0735 Por lo tanto: n= (muestra)
(15, 000)2 (1.96)2 (0.4388) = 305.6316 mujeres jóvenes (15, 000)(0.0735)2 + (1.96)2 (0.4388)
La asignación de la muestra en forma proporcional N1 n= N N2 n2 = n= N n1 =
10, 000 (306) = 204 para el estrato 1 15, 000 5, 000 (306) = 102 para el estrato 2 15, 000 200
g) Suponga que n = 300 jóvenes es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total con una precisión de 49 % del total preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N 2 Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh 2 d2 + N Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh
donde:
µ ¶2 1 1 − π ˆh − Kh = 2 16 (p − 1/2)2 Nh ; h = 1, 2, 3 Wh = N N = 15, 000: el total de jóvenes α = 0.05 Zα/2 = 1.96 5 p= 6 ¶2 µ 1 1 = 0.4219 K1 = − 0.125 − 2 16 (5/6 − 1/2)2 µ ¶2 1 1 − 0.2 − K2 = = 0.4725 2 16 (5/6 − 1/2)2 E X 5, 000 10, 000 (0.4219) + (0.4725) = 0.4388 Wh kh = 15, 000 15, 000 h=1 τˆst = 2250 d = (0.49)(2250) = 1, 102.50 Por lo tanto: n= (muestra)
(15, 000)2 (1.962 )(0.4388) = 305.6316 mujeres jóvenes (1, 102.50)2 + (15, 000)(1.962 )(0.4388)
Dado que el tamaño de muestra es el mismo, la distribución queda con 204 jóvenes para el estrato 1 y 102 para el estrato 2. Ejemplo 3. Un sexólogo desea realizar una investigación para conocer el número de mujeres que han tenido relaciones sexuales premaritales en la ciudad de Colima (se encontró que el número de mujeres era de N = 40, 000). Además, se piensa que el nivel de vida influye en la decisión de tener relaciones sexuales antes del matrimonio, por lo que se clasificó a la población en tres estratos: pobres (estrato 1), nivel medio (estrato 2) y ricas (estrato 3). La población de cada estrato es N1 = 19, 000, N2 = 16, 000 y N3 = 5, 000. Para el estudio se tomó una muestra aleatoria simple de la población de mujeres distribuidas de la siguiente manera: n1 = 2, 000, n2 = 1, 400 y n3 = 600 mujeres. Las respuestas de ”sí” en las entrevistas por estrato son: 520 para el estrato 1, 360 para el 3 estrato 2 y 180 para el estrato 3. En este caso p = . 4 a) Calcule la proporción de mujeres que han tenido relaciones sexuales antes del matrimonio. 201
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada
N1 π ˆ 1 + N2 π ˆ2 + .... + NE π ˆE N ah p−1 + ; h = 1, 2, ..., E π ˆh = 2p − 1 (2p − 1)nh
π ˆst =
donde: N1 = 19, 000, N2 = 16, 000, N3 = 5, 000 n1 = 2, 000, n2 = 1, 400, n3 = 600 a1 = 520, a2 = 360, a3 = 180 3 p= 4 Por lo tanto:
3/4 − 1 520 + = 0.02 2 (3/4) − 1 (2 (3/4) − 1) 2, 000 3/4 − 1 360 π ˆ2 = + = 0.0142 2 (3/4) − 1 (2 (3/4) − 1) 1, 400 180 3/4 − 1 + = 0.1 π ˆ3 = 2 (3/4) − 1 (2 (3/4) − 1) 600 (19000) (0.02) + (16000) (0.0142) + (5000) (0.1) π ˆst = = 0.0277 40000 π ˆ1 =
Por lo tanto, se estima que la proporción de mujeres que han tenido relaciones antes del matrimonio es de 0.0277 ó 2.77 %. b) Determine el total de mujeres que han tenido relaciones sexuales antes del matrimonio. τˆst = N π ˆst donde: N = 40, 000 : el total de mujeres en el estado de Colima π ˆst = 0.0277 : la proporción de mujeres que han tenido relaciones sexuales antes del matrimonio Por lo tanto: τˆst = (40, 000)(0.0277) = 1, 108.5714 mujeres c) Estime la varianza y la desviación estándar de la proporción. " ¶ µ ¶2 µ ¶2 # E µ X N 1 1 1 N − n h h h Sπˆ2st = − π ˆh − N Nh nh 16(p − 1/2)2 2 h=1
donde: N = 40, 000 : el total de mujeres en el estado de Colima E = 3 : los estratos en los que está dividida la población bajo estudio N1 = 19, 000, N2 = 16, 000, N3 = 5, 000 n1 = 2, 000, n2 = 1, 400, n3 = 600 a1 = 520, a2 = 360, a3 = 180
202
3 p= 4 π ˆ1 = 0.02 π ˆ2 = 0.0142 π ˆ3 = 0.1 Por lo tanto: " µ ¶2 µ ¶ ¶2 # µ 19000 1 19000 − 2000 1 1 Sπˆ2st = − 0.02 − 40000 19, 000 2000 16 (3/4 − 1/2)2 2 " µ ¶2 µ ¶ ¶2 # µ 16000 1 16000 − 1, 400 1 1 + − 0.0142 − 40000 16000 1400 16 (3/4 − 1/2)2 2 " µ µ ¶2 µ ¶ ¶2 # 1 5000 1 5000 − 600 1 + 2 − 0.01 − 40000 5000 600 16 (3/4 − 1/2) 2 = p 0.0002 Sπˆst = (0.0002) = 0.0133
d) Haga un IC para la qproporción de interés con una confiabilidad de 95 %. π ˆst ± Zα/2 Sπˆ2st
donde: π ˆst = 0.0277 : la proporción de mujeres que han tenido relaciones sexuales antes del matrimonio α = 0.05 Zα/2 = 1.96 q Sπˆ2st = 0.0133
Por lo tanto:
0.0277 ± (1.96)(0.0133) 0.0277 ± 0.0260 0.0017 ≤ πst ≤ 0.0538 Por lo que se estima que la proporción de mujeres que han tenido relaciones sexuales antes del matrimonio está entre 0.0017 y 0.0538. e) Construya un IC para el total de interés con una confiabilidad de 95 %. q τˆst ± Zα/2 Sτˆ2st
donde: τ = 412.7946 τˆst = N π ˆst N = 40, 000 : el total de mujeres en el estado de Colima q
Sπˆ2st = 0.0133 α = 0.05 Zα/2 = 1.96 q
Sτˆ2st = (40, 000)(0.0133) = 531.5853 203
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada por lo tanto: 1, 108.5714 ± (1.96)(531.5853) 1, 108.5714 ± 1041.8879 66.6835 ≤ τst ≤ 2, 150.4594. Esto es, se estima que el total de mujeres que han tenido relaciones sexuales antes del matrimonio está entre 66.6835 y 2,1501.4594. f) Suponga que n = 4, 000 personas es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción poblacional con una precisión de 75 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 95 %? n=
2 N Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh 2 N d2 + Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh
donde:
¶2 µ 1 1 Kh = − π ˆh − 16(p − 1/2)2 2 Nh ; h = 1, 2, 3 Wh = N N = 5, 000 : el total de mujeres Zα/2 = 1.96 3 p= 4 ¶2 µ 1 1 K1 = = 0.7696 − 0.02 − 16(3/4 − 1/2)2 2 ¶2 µ 1 1 = 0.7641 − 0.0142 − K2 = 16(3/4 − 1/2)2 2 µ ¶2 1 1 − 0.1 − K3 = = 0.8400 16(3/4 − 1/2)2 2 E X 16, 000 5, 000 19, 000 (0.7696) + (0.7641) + (0.84) = 0.7762 Wh kh = 40, 000 40, 000 40, 000 h=1 d = (0.75)(0.0277) = 0.0208 Por lo tanto: tra)
(40, 000)(1.96)2 0.7762 n= = 5, 885.8636 mujeres (mues(40, 000)(0.0208)2 + (1.96)2 (0.7762)
La asignación de la muestra en forma proporcional N1 n= N N2 n= n2 = N N2 n2 = n= N n1 =
19, 000 (5886) = 2, 796 para el estrato 1 40, 000 16, 000 (5886) = 2, 354 para el estrato 2 40, 000 5, 000 (5886) = 736 para el estrato 3 40, 000 204
g) Suponga que n = 4, 000 es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar el total con una precisión de 75 % del total preliminar y una confiabilidad de 95 %? N 2 (Zα/2 )2 ΣE h=1 Wh Kh n= 2 d + N (Zα/2 )2 ΣE h=1 Wh Kh donde:
µ ¶2 1 1 − π ˆh − Kh = 16(p − 1/2)2 2 Nh Wh = ; h = 1, 2, 3 N N = 40, 000 : el total de mujeres en el estado de Colima α = 0.05 Zα/2 = 1.96 3 p= 4 µ ¶2 1 1 − 0.02 − = 0.7696 K1 = 16(3/4 − 1/2)2 2 ¶2 µ 1 1 K2 = = 0.7641 − 0.0142 − 16(3/4 − 1/2)2 2 ¶2 µ 1 1 = 0.8400 − 0.1 − K3 = 2 16(3/4 − 1/2) 2 E X 16, 000 5, 000 19, 000 (0.7696) + (0.7641) + (0.84) = 0.7762 Wh kh = 40, 000 40, 000 40, 000 h=1 τˆst = 1, 108.5714 d = (0.75)(1, 108.5714) = 831.4286 Por lo tanto: n=
(40, 000)2 (1.962 )(0.7762) = 5, 885.8636 (831.4286)2 + (40, 000)(1.962 )(0.7762)
Dado que el tamaño de muestra es el mismo que el obtenido en f), la distribución queda con 2,796 mujeres para el estrato 1, 2,354 para el estrato 2 y 736 para el estrato 3. Ejemplo 4. ”M ensex” está interesada en estimar la proporción de hombres con disfunción eréctil. El número de hombres es de N = 10, 000 en el municipio de Temaltepec. Además,”M ensex” cree que los vicios que posea la persona influyen en la disfunción eréctil, por lo que clasificó a la población en tres estratos: fumadores (estrato 1), alcohólicos (estrato 2) y estresados (estrato 3). La población de cada estrato es N1 = 4, 000, N2 = 4, 000 y N3 = 2, 000. Para el estudio se tomó una muestra aleatoria de la población de hombres distribuida de la siguiente manera: n1 = 100, n2 = 200 y n3 = 100. El número de respuestas de "sí" en las entrevistas es de 55 para el estrato 1, 30 para el estrato dos y 20 3 para el estrato tres. Para este caso p = . 4 a) Calcule la proporción de hombres con disfunción eréctil en el municipio de Temaltepec. 205
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada
N1 π ˆ 1 + N2 π ˆ2 + .... + NE π ˆE N ah p−1 + ; h = 1, 2, ..., E π ˆh = 2p − 1 (2p − 1)nh
π ˆst =
donde: N1 = 4, 000, N2 = 4, 000, N3 = 2, 000 n1 = 100, n2 = 200, n3 = 100 a1 = 55, a2 = 70, a3 = 30 3 p= 4 Por lo tanto:
3/4 − 1 55 + = 0.6 2 (3/4) − 1 (2 (3/4) − 1) 100 70 3/4 − 1 + = 0.2 π ˆ2 = 2 (3/4) − 1 (2 (3/4) − 1) 200 30 3/4 − 1 + = 0.1 π ˆ3 = 2 (3/4) − 1 (2 (3/4) − 1) 100 (4, 000) (0.6) + (4, 000) (0.2) + (2, 000) (0.1) π ˆst = = 0.34 10, 000 π ˆ1 =
Por lo que se estima que la proporción de hombres con disfunción eréctil en el Municipio de Temaltepec es de 0.34, es decir, el 34 %. b) Calcule el total de hombres con disfunción eréctil en el Municipio de Temaltepec. τˆst = N π ˆst donde: N = 10, 000 : el total de hombres en el municipio de Temaltepec π ˆst = 0.34 Por lo tanto: τˆst = (10, 000)(0.34) = 3, 400 Por lo que el total de hombres con disfunción eréctil en el municipio de Temaltepec es igual a 3,400. c) Determine la varianza y la desviación estándar de la proporción. " ¶2 µ ¶2 # ¶ µ E µ X Nh N h − nh 1 1 1 2 Sπˆst = − π ˆh − N Nh nh 16(p − 1/2)2 2 h=1
donde: N = 10, 000 : el total de hombres E = 3 : los estratos en los que está dividida la población en estudio
206
N1 = 4, 000, N2 = 4, 000, N3 = 2, 000 n1 = 100, n2 = 200, n3 = 100 a1 = 55, a2 = 70, a3 = 30 3 P = 4 π ˆ1 = 0.6 π ˆ2 = 0.2 π ˆ3 = 0.1 Por lo tanto: Sπˆ2st
" µ 1 1 = − 0.6 − 100 16 (3/4 − 1/2)2 " ¶2 µ ¶ µ µ 1 4000 − 200 1 4000 − 0.2 − + 10000 3500 200 16 (3/4 − 1/2)2 " µ ¶2 µ ¶ µ 2000 2000 − 100 1 1 + − 0.1 − 10000 2000 100 16 (3/4 − 1/2)2 µ
¶2 µ
4000 10000
4000 − 100 4000
¶
1 2 1 2 1 2
¶2 # ¶2 # ¶2 #
= 0.0026
Y así, la desviación estándar es igual a Sπˆst =0.0505
d) Construya un IC para la proporción de interés con una confiabilidad de 90 %. q π ˆst ± Zα/2 Sπˆ2st donde: π ˆst = 0.34 : proporción de hombres con disfunción eréctil en el municipio de Temaltepec α = 0.10 Zα/2 = 1.645 q Sπˆ2st = 0.0505
Por lo tanto:
0.34 ± (1.645)(0.0505) 0.34 ± 0.0831 0.2569 ≤ πst ≤ 0.4231 Esto significa que la proporción de hombres con disfunción eréctil del municipio de Temaltepec está entre 0.2569 y 0.4231 e) Haga un IC para el total de interés con una confiabilidad de 90 %. q τˆst ± Zα/2 Sτˆ2st
donde: τˆst = 3, 400q q Sτˆ2st = N Sπˆ2st
207
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada N = 10, 000 : el total de hombres en el municipio de Temaltepec q Sτˆ2st = (10, 000)(0.0505) = 505.4899 Por lo tanto:
3, 400 ± (1.645)(505.4899) 3, 400 ± 831.4568 2, 568.5432 ≤ τst ≤ 4, 231.4568 Esto significa que el total de hombres con disfunción eréctil está entre 2,568.5432 y 4,231.4568. f) Suponga que n = 400 hombres es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción poblacional con una precisión de 18 % de la proporción preliminar y una confiabilidad de 90 %? n=
N (Zα/2 )2 ΣE h=1 Wh Kh N d2 + (Zα/2 )2 ΣE h=1 Wh Kh
donde:
¶2 µ 1 1 Kh = − π ˆh − 16(p − 1/2)2 2 Nh ; h = 1, 2, 3 Wh = N N = 10, 000 : el total de hombres en el municipio de Temaltepec Zα/2 = 1.645 3 p= 4 ¶2 µ 1 1 K1 = = 0.9900 − 0.6 − 16(3/4 − 1/2)2 2 ¶2 µ 1 1 = 0.9100 − 0.2 − K2 = 16(3/4 − 1/2)2 2 µ ¶2 1 1 − 0.1 − K3 = = 0.8400 16(3/4 − 1/2)2 2 E X 4, 000 2, 000 4, 000 (0.99) + (0.91) + (0.84) = 0.9280 Wh kh = 10, 000 10, 000 10, 000 h=1 d = (0.18)(0.34) = 0.0612 Por lo tanto: n=
(10, 000)(1.645)2 0.9280 = 628.2335 (10, 000)(0.0612)2 + (1.645)2 (0.9280)
Entonces, 628 es el número estimado de unidades muestrales (hombres) que deben constituir a la muestra para tener una precisión de ±0.0612 con 0.90 de probabilidad de incluir en el intervalo de estimación la proporción verdadera. La asignación de la muestra en forma proporcional 208
N1 n= N N2 n2 = n= N N3 n= n2 = N n1 =
4, 000 (628) = 252 para el estrato 1 10, 000 4, 000 (628) = 252 para el estrato 2 10, 000 2, 000 (628) = 126 para el estrato 3 10, 000
g) Suponga que n = 400 hombres es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar el total verdadero con una precisión de 18 % del total preliminar y una confiabilidad de 90 %? n=
2 N 2 Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh 2 d2 + N Zα/2 ΣE h=1 Wh Kh
donde:
µ ¶2 1 1 Kh = − π ˆh − 16(p − 1/2)2 2 Nh ; h = 1, 2, 3 Wh = N N = 10, 000 : el total de hombres en el municipio de Temaltepec 3 Zα/2 = 1.645; p = 4 µ ¶2 1 1 − 0.6 − = 0.9900 K1 = 16(3/4 − 1/2)2 2 µ ¶2 1 1 − 0.2 − = 0.9100 K2 = 16(3/4 − 1/2)2 2 ¶2 µ 1 1 K3 = = 0.8400 − 0.1 − 16(3/4 − 1/2)2 2 E X 4, 000 4, 000 2, 000 Wh kh = (0.99) + (0.91) + (0.84) = 0.9280 10, 000 10, 000 10, 000 h=1 τst = 3, 400 d = (0.18)(3, 400) = 612 Por lo tanto: n=
7.6.
(10, 000)2 (1.6452 )(0.9982) = 628.2335 (612)2 + (10, 000)(1.6452 )(0.9280)
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime los parámetros siguientes: a) El IC para la proporción y el total con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción y el total, de tal manera que la proporción y el total sean estimados con una precisión de 9 % de la proporción y el total preliminar con una confiabilidad de 95 %? Ejercicio 1. Una persona está interesada en estimar la proporción de jóvenes 209
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada menores de 18 años que han tenido relaciones sexuales en el estado de Colima (N = 35, 000). Dado que se trata de una pregunta delicada, se usó el método de respuesta aleatorizada. Además, la persona cree que el nivel social influye, por lo que clasificó a la población en tres estratos: clase baja (estrato 1), clase media (estrato 2), clase alta (estrato 3), donde la población de cada estrato es N1 = 15, 000, N2 = 11, 000 y N3 = 9, 000. Para el estudio se tomó una muestra aleatoria simple (n = 800) de la población objetivo, se distribuyó de la siguiente manera : n1 = 200, n2 = 250 y n3 = 350 jóvenes. El número de respuestas de "sí" por estrato fue de 70 para estrato uno, 130 para el estrato dos y 200 para el 5 estrato tres. Para este caso p = . 6 Ejercicio 2. La Secretaría de Salud desea hacer un estudio para estimar la proporción de personas menores a 45 años que han contraído algún tipo de enfermedad de transmisión sexual (ET S) en el municipio de Manzanillo, Colima (N = 20, 000). Dado que se trata de una pregunta delicada, se usó el método de respuesta aleatorizada. Además se cree que el nivel socioeconómico influye, por lo que clasificó a la población en tres estratos: nivel bajo (estrato 1), nivel medio (estrato 2), nivel alto (estrato 3), donde la población de cada estrato es N1 = 4, 000, N2 = 10, 000 y N3 = 6, 000. Para el estudio se tomó una muestra aleatoria simple (n = 2,000) de la población objetivo, se distribuyó de la siguiente manera: n1 = 500, n2 = 900, n3 = 600 personas. El número de respuestas de "sí" por estrato fue de 60 para el estrato 1, 100 para el estrato 2 y 123 para el 5 estrato 3. Para este caso p = . 6 Ejercicio 3. Un psicólogo de la Universidad de Colima está interesado en estimar la proporción de jóvenes estudiantes de dicha universidad menores de 20 años que han sufrido algún tipo de maltrato por parte de sus padres (N = 5,000). Dado que se trata de una pregunta delicada, se usó el método de respuesta aleatorizada. Además se cree que el nivel social influye, por lo que se clasificó a la población en tres estratos: clase baja (estrato 1), clase media (estrato 2), clase alta (estrato 3), donde la población de cada estrato es N1 = 1, 000, N2 = 2, 500, N3 = 1, 500. Para el estudio se tomó una muestra aleatoria simple (n = 300) de la población objetivo, se distribuyó de la siguiente manera: n1 = 50, n2 = 100, n3 = 150 personas. El número de respuestas de "sí" por estrato fue de 20 para el estrato uno, 60 para el estrato dos y 70 para el estrato tres. Para este 5 caso p = . 6 Ejercicio 4. Un sociólogo de la Universidad de Arizona EUA está interesado en estimar la proporción de mujeres del estado de Colima menores a 25 años que han tenido tendencias suicidas (N = 50, 000). Dado que se trata de una pregunta delicada, se usó el método de respuesta aleatorizada. Además se cree que el nivel social influye, por lo que se clasificó a la población en tres estratos: clase baja (estrato 1), clase media (estrato 2), clase alta (estrato 3), donde la población de cada estrato es N1 = 15, 000, N2 = 25, 000, N3 = 10, 000. Para el estudio se tomó una muestra aleatoria simple (n = 1, 000) de la población objetivo, se distribuyó de la siguiente manera: n1 = 200, n2 = 500, n3 = 300 personas. El número de respuestas de "sí" por estrato fue de 8 para el estrato uno, 10 para el estrato 210
5 dos y 9 para el estrato tres. Para este caso p = . 6
7.7.
Alternativa al modelo de respuesta aleatorizada
Como alternativa al método de Warner, Horvitz et. al., (1967) sugirierón que la cooperación de los entrevistados podría mejorar si el segundo enunciado ( pregunta 2) no fuese delicado y no tuviese relación con el primero. A continuación se presenta esta variante de la idea original de Warner (1965) propuesta por Horvitz et. al., (1967)[6]: I. Se construye un mazo de cartas, pero una fracción de ellas p, se marca con la letra A (grupo A) y la fracción restante, 1 − p, con las letras faltantes del abecedario (grupo B). II. Se selecciona una muestra aleatoria simple o estratificada de individuos sin reemplazo de tamaño n de la población (N ). III. A cada individuo que va a responder se le enseña el mazo de cartas para que vea que las cartas estan marcadas con las letras del abecedario. IV. En seguida se baraja adecuadamente el mazo de cartas y se le pide al individuo que seleccione una carta, pero que no nos diga con que letra esta marcada. V. A continuación se le explica que se le va a hacer una pregunta y que la responda con "sí" o "no", pero restaltando que ponga mucha atención a la pregunta. VI. Responda a la pregunta delicada, por ejemplo ¿ha consumido droga alguna vez? si la carta que obtuvo esta marcada con la letra A, por el contrario responda a la pregunta inocua , por ejemplo, ¿naciste el mes de abril? si obtuvo cualquier otra letra del abecedario. VII. Se tiene que hacer enfasis en que debe de responder con la verdad a las preguntas y que solamente tiene que responder una de ellas dependiendo de la letra que obtuvo, es decir, si la la carta que obtuvo esta marcada con la letra A debe responder con la verdadad a la pregunta delicada y esta sería su única respuesta, lo mismo que si le toco cualquier otra letra del abecedario debe de responder con la verdad a la pregunta inocua y esta sería la única respuesta. VIII. La carta elegida por un individuo tiene que ser reemplazada antes de entrevistar a la siguiente persona. IX. Este procedimiento se aplica a todos los n individuos. X. Con las n respuestas de "sí" y "no" se hacen las estimaciones correspondientes con los estimadores propuestos en éste capítulo. 211
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada
7.8.
Respuesta aleatorizada versión Horvitz bajo MAS
A continuación se presentan los estimadores puntuales y por intervalo para la proporción y el total, así como sus respectivos estimadores de tamaños de muestra: Estimador de la proporción y del total φˆ − (1 − p)pI p à ! φˆ − (1 − p)pI τˆ = N π ˆ=N p π ˆ=
a donde: φˆ = , a = el total de respuestas afirmativas (sí) en la muestra de n tamaño n. Varianza del estimador de la proporción y el total ¶ ˆ ˆ ¶ˆ µ ˆ V ( φ) φ(1 − φ) N − n N − n = Vˆ (ˆ π) = N p2 N p2 n ¶ ¶ µ µ ˆ ˆ ˆ N −n N − n Vˆ (φ) 2 φ(1 − φ) 2ˆ 2 ˆ N = V (ˆ τ ) = N V (ˆ π) = N N p2 N p2 n µ
Intervalo de confianza de la proporción y el total π ˆ ± Zα/2
q
Vˆ (ˆ π)
q π) τˆ ± Zα/2 N Vˆ (ˆ
Tamaño de muestra para estimar la proporción à ! ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N Zα/2 p2 à ! n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N d2 + Zα/2 p2 Tamaño de muestra para estimar el total ! à ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N 2 Zα/2 p2 à ! n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 d2 + N 2 Zα/2 p2 212
7.8.1. Ejemplos Ejemplo 1. Se elige una muestra aleatoria simple de 350 de los 1,800 alumnos del bachillerato de la Universidad de Colima. Cada estudiante de la muestra recibe una ficha con las siguientes preguntas: Pregunta 1: ¿has fumado marihuana alguna vez? Pregunta 2: ¿cumples años el primero de enero? Se tiene de los expedientes de todos los alumos del bachillerato que pI = 1/365. Suponga que el mecanismo de aleatorización es una baraja con una fracción de cartas marcas con la letra A igual a p = 0.7 y la fracción restante con las letras sobrantes del abecedario. De los resultados de la encuesta se tiene que 125 contestaron sí. a). Estime la proporción de estudiantes que han fumado marihuana. φˆ − (1 − p)pI π ˆ= p 125 donde: pI = 1/365, p = 0.7 y φˆ = = 0.3571. 350 Por lo tanto,
125 1 − (1 − 0.7) 365 = 0.509. π ˆ = 350 0.7
b) Estime la varianza de la proporción muestral. ¶ˆ µ ˆ φ(1 − φ) N − n Vˆ (ˆ π) = N p2 n 125 donde: N = 1800, n = 350, p = 0.7 y φˆ = 350 Por lo tanto, µ ¶ 125 125 µ ¶ 1− 1800 − 350 350 350 ˆ V (ˆ π) = = 0.00109. 2 1800 0.7 (350) c) Estime un intervalo q de confianza de 95 % para la proporción poblacional. π) π ˆ ± Zα/2 Vˆ (ˆ donde: π ˆ = 0.5090, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Vˆ (ˆ π ) = 0.00109 Por lo tanto, √ 0.5090 ± (1.96)( 0.00109) 0.5090 ± (1.96)(0,0330) 0.4443 ≤ π ≤ 0.5737 d) Estime el total de estudiantes que ha fumado marihuana. τˆ = N π ˆ donde: N = 1800 y π ˆ = 0.5090 Por lo tanto, τˆ = 1800(0.5090) = 916. Así, se tiene que el número de estudi213
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada antes del bachillerato de la Universidad de Colima que alguna vez han fumado marihuana es de 916. e) Estime un intervaloqde confianza de 95 % para el total poblacional. τˆ ± Zα/2 N Vˆ (ˆ π) donde: N = 1800, τˆ = 916, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Vˆ (ˆ π ) = 0.00109 Por lo tanto, √ 916 ± (1.96)(1800)( 0.00109) 799.7226 ≤ τ ≤ 1032.6774 f) Suponga que los 350 estudiantes encuestados son una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de tal manera que sea estimada con una precisión de d = 0.05 y una confiabilidad de 95 %? Ã ! ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N Zα/2 p2 ! Ã n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N d2 + Zα/2 p2 donde: N = 1800, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = 0.05, p = 0.7 y φˆ = 125/350 Por lo tanto,
µ
¶ (125/350)(1 − 125/350) (1800)(1.96) (0.7)2 µ ¶ = 514.2661 n= (125/350)(1 − 125/350) 2 2 (1800)(0.05) + (1.96) (0.7)2 2
g) Suponga que los 350 estudiantes encuestados son una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar el total de tal manera que sea estimado con una precisión de d = 90 y una confiabilidad de 95 %? ! Ã ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N 2 Zα/2 p2 Ã ! n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 d2 + N 2 Zα/2 p2 donde: N = 1800, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = 90, p = 0.7 y φˆ = 125/350 Por lo tanto,
¶ (125/350)(1 − 125/350) (1800 )(1.96) (0.7)2 ¶ = 514.2661 µ n= (125/350)(1 − 125/350) 2 2 2 (90) + (1800 )(1.96) (0.7)2 2
2
µ
Ejemplo 2. Se elige una muestra aleatoria simple de 180 empleadas de 214
una empresa automotriz del total de su población (N = 1, 500). Cada empleada recibe una ficha con las siguientes preguntas: Pregunta 1: ¿se te ha escapado una flatulencia o gas en una reunión importante? Pregunta 2: ¿está el minutero de tu reloj entre 0 y 5? Sabemos que pI = 1/12. Suponga que el mecanismo de aleatorización es una baraja con una fracción de cartas marcas con la letra A igual a p = 0.75 y la fracción restante con las letras sobrantes del abecedario. De los resultados de la encuesta se tiene que 130 contestaron sí a la pregunta correspondiente. a). Estime la proporción de empleadas que se les ha escapado un gas en una reunión importante. φˆ − (1 − p)pI π ˆ= p 130 = 0.7222. donde: pI = 1/12, p = 0.75 y φˆ = 180 Por lo tanto,
130 1 − (1 − 0.75) 12 = 0.9352. π ˆ = 180 0.75
b) Estime la varianza de la proporción muestral. µ ¶ˆ ˆ N − n φ(1 − φ) Vˆ (ˆ π) = N p2 n 130 donde: N = 1500, n = 180, p = 0.75 y φˆ = 180 Por lo tanto, µ ¶ 130 130 µ ¶ 1− 1500 − 180 180 180 ˆ V (ˆ π) = = 0.00174. 2 1500 0.75 (180) c) Estime un intervalo q de confianza de 95 % para la proporción poblacional. π ˆ ± Zα/2 Vˆ (ˆ π) donde: π ˆ = 0.9352, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Vˆ (ˆ π ) = 0.00174 Por lo tanto, √ 0.9352 ± (1.96)( 0.00174) 0.8534 ≤ π ≤ 1 d) Estime el total de empleadas que se le ha escapado un gas. τˆ = N π ˆ donde: N = 1500 y π ˆ = 0.9352 Por lo tanto, τˆ = 1500(0.9352) = 1402.8. Así, se tiene que el número de empleadas en dicha empresa que se les ha escapado un gas en una reunión importante es de 1403. 215
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada e) Estime un intervaloqde confianza de 95 % para el total poblacional. π) τˆ ± Zα/2 N Vˆ (ˆ donde: N = 1500, τˆ = 1402.8, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Vˆ (ˆ π ) = 0.00174 Por lo tanto, √ 1402.8 ± (1.96)(1500)( 0.00174) 1280.163 ≤ τ ≤ 1500 f) Suponga que las 180 empleadas encuestadas son una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de tal manera que sea estimada con una precisión de d = 0.07 y una confiabilidad de 95 %? Ã ! ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N Zα/2 p2 ! Ã n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N d2 + Zα/2 p2 donde: N = 1500, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = 0.07, p = 0.75 y φˆ = 130/180 Por lo tanto,
µ
¶ (130/180)(1 − 130/180) (1500)(1.96) (0.75)2 ¶ = 235.692 µ n= (130/180)(1 − 130/180) (1500)(0.07)2 + (1.96)2 (0.75)2 2
g) Suponga que las 180 empleadas encuestadas son una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar el total de tal manera que sea estimado con una precisión de d = 105 y una confiabilidad de 95 %? Ã ! ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N 2 Zα/2 p2 ! Ã n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 d2 + N 2 Zα/2 p2 donde: N = 1500, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = 105, p = 0.75 y φˆ = 130/180 Por lo tanto,
µ
¶ (130/180)(1 − 130/180) (1500 )(1.96) (0.75)2 ¶ = 235.692 µ n= (130/180)(1 − 130/180) 2 2 2 (105) + (1500 )(1.96) (0.75)2 2
2
Ejemplo 3. Una investigadora de la Universidad de Colima desea estimar el porcentaje de alumnas de nivel medio y superior de la institución que abortaron durante el 2007. Se toma una muestra aleatoria simple de 210 mujeres de la población estudiantil de estos niveles(N = 4, 000). Cada una de estas mu216
jeres recibe una ficha con las siguientes preguntas: Pregunta 1: ¿tuvo un aborto provocado durante el 2007? Pregunta 2: ¿su matrícula en la U de C es impar? Sabemos que pI = 1/2. Suponga que el mecanismo de aleatorización es una baraja con una fracción de cartas marcas con la letra A igual a p = 0.7 y la fracción restante con las letras sobrantes del abecedario. De los resultados de la encuesta se tiene que 39 contestaron sí a la pregunta correspondiente. a). Estime la proporción de alumnas que han tenido un aborto provocado en el 2007. φˆ − (1 − p)pI π ˆ= p 39 = 0.1857. donde: pI = 1/2, p = 0.7 y φˆ = 210 Por lo tanto,
39 1 − (1 − 0.7) 2 = 0.051. π ˆ = 210 0.7
b) Estime la varianza de la proporción muestral. ¶ˆ µ ˆ − φ) N − n φ(1 ˆ V (ˆ π) = N p2 n 39 donde: N = 4000, n = 210, p = 0.7 y φˆ = 210 Por lo tanto, µ ¶ 39 39 ¶ µ 1− 4000 − 210 210 210 = 0.00139. Vˆ (ˆ π) = 4000 0.72 (210) c) Estime un intervalo q de confianza de 95 % para la proporción poblacional. π ˆ ± Zα/2 Vˆ (ˆ π) donde: π ˆ = 0.051, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Vˆ (ˆ π ) = 0.00139 Por lo tanto, √ 0.051 ± (1.96)( 0.00139) 0 ≤ π ≤ 0.1241 d) Estime el total alumnas que han tenido un aborto provocado. τˆ = N π ˆ donde: N = 4000 y π ˆ = 0.051 Por lo tanto, τˆ = 4000(0.051) = 204. Así, se tiene que el número de alumnas que han tenido un aborto provocado es de 204. e) Estime un intervaloqde confianza de 95 % para el total poblacional. τˆ ± Zα/2 N Vˆ (ˆ π)
217
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada donde: N = 4000, τˆ = 204, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Vˆ (ˆ π ) = 0.00139 Por lo tanto, √ 204 ± (1.96)(4000)( 0.00139) 0 ≤ τ ≤ 496.2964 f) Suponga que las 210 alumnas encuestadas son una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de tal manera que sea estimada con una precisión de d = 0.07 y una confiabilidad de 95 %? Ã ! ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N Zα/2 p2 ! Ã n= ˆ ˆ φ(1 − φ) 2 N d2 + Zα/2 p2 donde: N = 4000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = 0.07, p = 0.7 y φˆ = 39/210 Por lo tanto,
¶ (39/210)(1 − 39/210) (4000)(1.96) (0.7)2 ¶ = 228.1452 µ n= (39/210)(1 − 39/210) 2 2 (4000)(0.07) + (1.96) (0.7)2 2
µ
g) Suponga que las 210 alumnas encuestadas son una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar el total de tal manera que sea estimado con una precisión de d = 280 y una confiabilidad de 95 %? ! Ã ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N 2 Zα/2 p2 Ã ! n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 d2 + N 2 Zα/2 p2 donde: N = 4000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = 280, p = 0.7 y φˆ = 39/210 Por lo tanto,
¶ (39/210)(1 − 39/210) (4000 )(1.96) (0.7)2 µ ¶ = 228.1452 n= (39/210)(1 − 39/210) 2 2 2 (280) + (4000 )(1.96) (0.7)2 2
2
µ
Ejemplo 4. Se elige una muestra aleatoria simple de 135 funcionarios del gobierno federal del total de N = 2, 000. Cada funcionario de la muestra recibe una ficha con las siguientes preguntas: Pregunta 1: ¿alguna vez ha conducido en estado de ebriedad? Pregunta 2: ¿le gusta el fútbol? 218
Sabemos que pI = 0.7, el cual se obtuvo de un estudio previo reciente realizado a esta misma población. Suponga que el mecanismo de aleatorización es una baraja con una fracción de cartas marcas con la letra A igual a p = 0.75 y la fracción restante con las letras sobrantes del abecedario. De los resultados de la encuesta se tiene que 100 contestaron sí a la pregunta correspondiente. a). Estime la proporción de funcionarios que han conducido en estado de ebriedad. φˆ − (1 − p)pI π ˆ= p 100 donde: pI = 0.7, p = 0.75 y φˆ = = 0.7407. 135 Por lo tanto,
100 − (1 − 0.75)0.7 135 = 0.7543. π ˆ= 0.75
b) Estime la varianza de la proporción muestral. µ ¶ˆ ˆ N − n φ(1 − φ) ˆ V (ˆ π) = N p2 n 100 donde: N = 2000, n = 135, p = 0.75 y φˆ = 135 Por lo tanto, µ ¶ 100 100 ¶ µ 1− 2000 − 135 135 135 = 0.00235. Vˆ (ˆ π) = 2 2000 0.75 (135) c) Estime un intervalo q de confianza de 95 % para la proporción poblacional. π) π ˆ ± Zα/2 Vˆ (ˆ donde: π ˆ = 0.7543, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Vˆ (ˆ π ) = 0.00235 Por lo tanto, √ 0.7543 ± (1.96)( 0.00235) 0.6593 ≤ π ≤ 0.8493 d) Estime el total de funcionarios que han conducido en estado de ebriedad. τˆ = N π ˆ donde: N = 2000 y π ˆ = 0.7543 Por lo tanto, τˆ = 2000(0.7543) = 1508.6. Así, se tiene que el número de funcionarios que han conducido en estado de ebriedad es de 1509. e) Estime un intervaloqde confianza de 95 % para el total poblacional. π) τˆ ± Zα/2 N Vˆ (ˆ donde: N = 2000, τˆ = 1508.6, Zα/2 = Z0.025 = 1.96 y Vˆ (ˆ π ) = 0.00235 Por lo tanto, √ 1508.6 ± (1.96)(2000)( 0.00235) 219
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada 1318.571 ≤ τ ≤ 1698.629 f) Suponga que los 135 funcionarios encuestados son una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de tal manera que sea estimada con una precisión de d = 0.08 y una confiabilidad de 95 %? ! Ã ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N Zα/2 p2 Ã ! n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N d2 + Zα/2 p2 donde: N = 2000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = 0.08, p = 0.75 y φˆ = 100/135 Por lo tanto,
¶ (100/135)(1 − 100/135) (2000)(1.96) (0.75)2 µ ¶ = 185.9025 n= (100/135)(1 − 100/135) (2000)(0.08)2 + (1.96)2 (0.75)2 2
µ
g) Suponga que los 135 funcionarios encuestadas son una muestra preliminar. ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar el total de tal manera que sea estimado con una precisión de d = 160 y una confiabilidad de 95 %? Ã ! ˆ − φ) ˆ φ(1 2 N 2 Zα/2 p2 ! Ã n= ˆ − φ) ˆ φ(1 2 d2 + N 2 Zα/2 p2 donde: N = 2000, Zα/2 = Z0.025 = 1.96, d = 160, p = 0.75 y φˆ = 100/135 Por lo tanto,
¶ (100/135)(1 − 100/135) (2000 )(1.96) (0.75)2 µ ¶ = 185.9025 n= (100/135)(1 − 100/135) (160)2 + (20002 )(1.96)2 (0.75)2 2
7.9.
2
µ
Ejercicios
En los siguientes ejercicios estime lo siguiente: a) Un intervalo de confianza para la proporción y el total con una confiabilidad de 95 %. b) Suponga que la muestra en cada ejercicio es una muestra preliminar. ¿Cuál es el tamaño de muestra para estimar la proporción y el total de tal manera que sean estimados con una precisión del 10 % con respecto a la proporción y el total preliminar, respectivamente? 220
Ejercicio 1. Una investigadora desea estimar el porcentaje y total de mujeres casadas que sufrieron de maltrato por parte de su pareja durante el 2007. Supóngase que en el Municipio de Colima, Colima, se tiene una población de matrimonios de N = 10, 000, de la cual se toma una muestra aleatoria simple de n = 138 parejas (pero a quienes se les pregunta es a los esposos). Cada esposo recibe una ficha con las siguientes preguntas: Pregunta 1: ¿golpeo alguna vez a su esposa durante el 2007? Pregunta 2: ¿el número de su credencia es par? Sabemos que pI = 0.5. Supóngase que el mecanismo de aleatorización es una baraja con una fracción de cartas marcadas con la letra A igual a p = 0.8 y la fración restante con las letras sobrantes del abecedario. De los resultados de la encuesta se tiene que 65 respondieron sí. Ejercicio 2. Un investigador desea estimar el porcentaje y total de mujeres de 24 años han tenido relaciones sexuales con dos o más hombres (e distintos momentos). Se toma una muestra aleatoria simple de n = 160 mujeres de esta edad de un total de N = 15, 000. Cada una de estas mujeres (de la muestra) recibe una ficha con las siguientes preguntas: Pregunta 1: ¿has tenido relaciones sexuales con 2 o más hombres? Pregunta 2: ¿naciste el 9 de Junio de 1984? A partir de un censo preliminar se determino que del total de estas mujeres el 9 % nació el 9 de junio de 1984. Por lo tanto, pI = 0.09. Supóngase que el mecanismo de aleatorización es una baraja con una fracción de cartas marcadas con la letra A igual a p = 0.85 y la fración restante con las letras sobrantes del abecedario. De los resultados de la encuesta se tiene que 40 respondieron sí. Ejercicio 3. Una investigadora desea estimar el porcentaje de hombres (de cierto municipio) entre 40 y 55 años que padecen o han padecido alguna vez disfunción eréctil. Se toma una muestra aleatoria simple de n = 186 hombres del total de la población (N = 8, 000). Cada uno de los hombres de la muestra recibe una ficha con las siguientes preguntas: Pregunta 1: ¿padece o ha padecido alguna vez disfunción eréctil? Pregunta 2: ¿usted tiene 43 años? De los registros del Centro de salud Municipal se obtuvo que el 19 % de estos hombres tienen 43 años. Por lo tanto, pI = 0.19. Supóngase que el mecanismo de aleatorización es una baraja con una fracción de cartas marcadas con la letra A igual a p = 0.90 y la fración restante con las letras sobrantes del abecedario. De los resultados de la encuesta se tiene que 48 respondieron sí. Ejercicio 4. Un investigador desea estimar el porcentaje de mujeres (de cierta ciudad) entre 16 y 20 años que padecen o han padecido alguna vez bulimia o anorexia. Se toma una muestra aleatoria simple de n = 210 mujeres del total de 221
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada la población (mujeres entre 16 y 20 años, N = 4, 000). Cada uno de las mujeres de la muestra recibe una ficha con las siguientes preguntas: Pregunta 1: ¿padece o ha padecido alguna vez bulimia o anorexia? Pregunta 2: ¿tu signo zodiacal es tauro? Se cuenta con un marco de muestreo que específica la fecha de nacimiento de estas mujeres, de donde a partir de éste se obtuvo que el 13 % de estas mujeres pertence al signo tauro. Por lo tanto, pI = 0.13. Supóngase que el mecanismo de aleatorización es una baraja con una fracción de cartas marcadas con la letra A igual a p = 0.75 y la fración restante con las letras sobrantes del abecedario. De los resultados de la encuesta se tiene que 100 respondieron sí.
7.10.
Respuesta aleatorizada versión Horvitz bajo MAE
De igual manera, cuando la población es heterogénea se sugiere formar estratos para mejorar la precisión. Por ello, a continuación se presentan los estimadores versión Horvitz bajo MAE: Estimador de la proporción y el total estratificado π ˆst =
N1 π ˆ 1 + N2 π ˆ 2 + · · · + NE π ˆE N τˆ = N π ˆst
donde:
φˆh − (1 − p)pI . p ah φˆh = . nh p = la fracción de letras en el mazo de cartas marcadas con la letra A. ah = el total de respuestas afirmativas (sí) de los nh entrevistados en el estrato h ; h = 1, 2, ..., E. π ˆh =
Varianza de la proporción y el total estratificado Sπˆ2st
=
¶ ¶2 µ E µ X Nh − nh φˆh (1 − φˆh ) Nh h=1
Sτˆ2st
=N
2
N
Nh
p 2 nh
¶2 µ ¶ E µ X Nh Nh − nh φˆh (1 − φˆh ) h=1
N
Nh
p 2 nh
Intervalo de confianza para la proporción y el total q π ˆst ± Zα/2 Sπˆ2st q τˆst ± Zα/2 N Sπˆ2st
222
El tamaño de muestra para estimar la proporción y el total Para estimar la proporción 2 N Zα/2
E X
Wh
h=1
n=
2 N d2 + Zα/2
E X
φˆh (1 − φˆh ) p2
Wh
h=1
φˆh (1 − φˆh ) p2
donde: N = el tamaño de la población. Zα/2 = el valor de tablas de la distribución normal. p = la fracción de cartas que están marcadas con la letra A. d = la precisión fijada por el investigador. Nh Wh = N ah φˆ = nh Para estimar el total N n=
2
2 Zα/2
E X
Wh
h=1 E X
2 d2 + N Zα/2
h=1
φˆh (1 − φˆh ) p2
Wh
φˆh (1 − φˆh ) p2
donde: N = el tamaño de la población. Zα/2 = el valor de tablas de la distribución normal. p = la fracción de cartas que están marcadas con la letra A. d = la precisión fijada por el investigador. Nh Wh = N ah ˆ φ= nh
7.11.
¿Cuál método de respuesta aleatorizada es mejor?
Dowling y Shachtman (1975)[18] han mostrado que la varianza del estimador de interés (ˆ π ) de la versión Horvitz (1967) es menor que la propuesta originalmente por Warner (1965). Esto significa que usando la versión propuesta por Horvitz (1967) se obtienen estimaciones de la proporción y el total más precisas, por lo que se sugiere que el investigador use esta versión para realizar sus estudios.
223
Capítulo 7. El muestreo basado en el método de respuesta aleatorizada
224
Apéndice A Tablas de la distribución normal estándar y de la distribución t-student
225
Apéndice A. Tablas de la distribución normal estándar y de la distribución t-student 1D 2
Z0
P (Z < Z0 ) =
Z
Z0
fZ (z)dz =
−∞
Z
Z0
−∞
z2 1 √ e− 2 dz = 1 − α/2 2π
Cuadro A.1: Distribución normal estándar acumulada. Z
Z 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
0 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000
0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000
0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
226
1D 2
t0
P (T < t0 ) =
Z
t0
fT (t)dt =
Z
t0
−∞
−∞
1 [(ν + 1)/2]! √ νπ [ν/2]!
µ
¶−(ν+1)/2 t2 +1 dt ν
Cuadro A.2: Puntos porcentuales de la distribución t-student. ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 180 210
0.25 1.0000 0.8165 0.7649 0.7407 0.7267 0.7176 0.7111 0.7064 0.7027 0.6998 0.6974 0.6955 0.6938 0.6924 0.6912 0.6901 0.6892 0.6884 0.6876 0.6870 0.6864 0.6858 0.6853 0.6848 0.6844 0.6840 0.6837 0.6834 0.6830 0.6828 0.6807 0.6786 0.6765 0.6759 0.6757
0.1 3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104 1.3031 1.2958 1.2886 1.2863 1.2856
0.05 6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6839 1.6706 1.6577 1.6534 1.6521
0.025 12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0211 2.0003 1.9799 1.9732 1.9713
α/2 0.01 31.8205 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4233 2.3901 2.3578 2.3472 2.3442
0.005 63.6567 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7045 2.6603 2.6174 2.6034 2.5994
0.0025 127.3213 14.0890 7.4533 5.5976 4.7733 4.3168 4.0293 3.8325 3.6897 3.5814 3.4966 3.4284 3.3725 3.3257 3.2860 3.2520 3.2224 3.1966 3.1737 3.1534 3.1352 3.1188 3.1040 3.0905 3.0782 3.0669 3.0565 3.0469 3.0380 3.0298 2.9712 2.9146 2.8599 2.8421 2.8370
0.001 318.3088 22.3271 10.2145 7.1732 5.8934 5.2076 4.7853 4.5008 4.2968 4.1437 4.0247 3.9296 3.8520 3.7874 3.7328 3.6862 3.6458 3.6105 3.5794 3.5518 3.5272 3.5050 3.4850 3.4668 3.4502 3.4350 3.4210 3.4082 3.3962 3.3852 3.3069 3.2317 3.1595 3.1361 3.1295
0.0005 636.6192 31.5991 12.9240 8.6103 6.8688 5.9588 5.4079 5.0413 4.7809 4.5869 4.4370 4.3178 4.2208 4.1405 4.0728 4.0150 3.9651 3.9216 3.8834 3.8495 3.8193 3.7921 3.7676 3.7454 3.7251 3.7066 3.6896 3.6739 3.6594 3.6460 3.5510 3.4602 3.3735 3.3454 3.3375
227
Apéndice A. Tablas de la distribución normal estándar y de la distribución t-student
h
h
Normal h2 S2 = 36
Uniforme discreta h2 h S2 = + 12 6
h
h
Uniforme continua h2 S2 = 12
Elipse h2 S2 = 16
h
h
Triangular simétrica h2 S2 = 24
Triangular asimétrica h2 S2 = 18
h
Triangular doble h2 S2 = 8 Figura A.1: Varianzas de distribuciones finitas (S 2 ), en función de su forma y rango. Donde h=rango=Máximo Xi -Mínimo Xi .
228
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
7 9 1 0 8 5 0 1 7 1 3 6 6 4 7 8 3 5 6 9 5 6 5 9 9 6 1 1 7 6 9 5 0 6 7 3 5 7 0 3 7 1 1 3 4 3 0 4 2 7
5 2 2 8 0 9 0 2 8 2 8 4 7 6 5 7 3 3 7 4 5 0 4 5 2 1 8 1 7 1 6 7 0 4 4 2 4 5 2 8 8 5 1 9 5 3 1 6 6 2
1 3 8 3 6 3 3 1 0 7 2 7 3 0 8 8 2 1 2 2 8 7 8 2 9 0 8 1 9 5 1 0 9 0 1 8 4 1 6 1 5 4 9 0 6 0 6 5 1 1 4
8 4 2 0 9 4 5 6 6 9 5 5 8 9 9 5 7 1 8 0 4 4 1 1 3 6 9 4 3 9 8 4 7 3 7 9 1 3 7 7 0 8 5 9 4 1 4 2 9 3
2 1 3 2 9 3 7 9 8 1 8 9 5 0 6 2 1 4 4 0 3 7 8 0 8 6 2 7 6 5 6 8 1 1 1 0 4 9 1 3 6 9 8 4 1 8 7 0 9 1
5 2 1 5 8 6 8 4 4 5 1 0 9 5 4 4 3 6 1 2 8 4 3 9 2 3 7 4 0 5 3 8 4 6 1 2 0 0 9 9 2 9 0 0 3 1 3 9 0 7
1 0 8 1 2 6 2 6 8 0 4 6 0 9 7 6 3 5 9 7 6 3 4 2 4 1 1 3 3 2 7 8 5 0 6 7 9 0 2 8 3 6 2 8 4 2 8 7 0 0
2 6 5 6 2 3 1 0 3 6 7 8 4 2 5 7 1 5 3 3 7 5 4 0 8 9 9 9 1 3 5 2 0 3 0 8 2 8 3 7 4 7 4 6 3 5 1 6 2 2 5
Cuadro A.3: Tabla de números aleatorios 6 6 4 9 7 3 6 0 8 4 7 1 2 9 3 3 5 7 9 3 4 5 1 1 8 5 8 7 6 4 4 4 3 5 4 4 8 3 1 7 0 0 5 5 2 4 4 4 1 1
4 6 4 6 6 0 7 2 0 1 1 2 1 2 2 5 1 0 4 6 7 6 4 4 3 0 6 2 1 6 7 4 0 4 8 6 6 6 3 4 6 5 8 9 8 2 0 3 4 3
5 6 0 7 0 3 7 5 0 2 3 5 1 7 0 8 7 5 9 4 5 6 6 9 3 7 5 2 4 1 4 0 3 6 8 0 6 4 1 5 4 6 3 3 7 6 6 3 5 1
0 9 5 4 0 6 1 8 7 9 0 6 2 7 0 0 6 6 5 4 5 4 9 9 2 5 8 4 6 5 7 9 1 8 1 7 0 3 3 9 8 6 3 8 9 5 5 0 8 4
3 9 8 0 6 3 4 2 6 4 6 2 5 1 6 2 7 5 1 1 9 5 9 1 0 7 2 5 6 2 4 8 4 6 3 1 5 6 2 8 6 5 2 5 0 4 4 1 2 6 5
0 8 9 0 8 3 3 2 0 5 7 5 4 1 5 5 3 2 0 0 1 5 2 5 2 7 3 7 3 0 7 2 3 0 7 3 9 9 3 0 2 9 4 5 1 0 0 3 4 8
6 0 0 0 8 4 1 4 4 8 3 3 3 0 6 1 3 1 0 6 9 1 7 1 6 3 9 2 9 4 6 7 3 8 8 1 0 5 9 6 4 5 2 3 7 7 1 6 1 3
5 8 4 6 4 1 5 1 0 3 2 5 2 3 5 0 2 6 9 4 9 0 9 4 9 3 6 0 0 5 2 3 3 6 5 6 5 4 7 0 5 1 4 5 2 5 2 2 6 2
4 3 4 8 4 5 7 1 3 3 2 0 4 6 6 5 7 8 6 5 8 8 7 6 9 1 6 2 7 6 9 1 4 7 8 3 0 7 9 4 6 0 3 2 7 8 6 7 5 4
4 8 2 4 9 5 8 4 7 9 6 2 5 7 6 9 9 3 0 6 5 7 0 8 0 1 8 8 7 7 6 0 5 9 0 1 1 1 2 1 6 7 2 6 3 9 1 1 9 5 7
4 2 2 7 7 3 4 2 6 3 1 2 9 6 1 8 6 2 7 3 5 9 1 0 2 1 5 8 8 5 9 0 9 8 0 9 0 6 9 9 1 6 6 4 9 4 5 1 1 8
3 6 4 5 3 8 5 5 5 6 7 1 7 4 9 7 5 7 5 7 9 2 0 6 2 5 8 3 3 9 6 7 8 6 8 3 5 0 1 8 6 4 3 0 2 2 9 1 2 8
3 0 1 3 3 2 3 5 0 4 2 4 4 6 8 3 4 0 0 5 9 5 3 9 2 0 2 8 0 0 0 2 0 6 6 4 0 3 3 8 2 8 4 7 1 6 5 1 8 5
2 6 8 7 9 6 3 5 6 0 5 9 0 2 8 6 9 3 6 3 1 8 1 5 4 8 3 8 7 4 5 9 5 6 6 8 1 7 0 3 6 5 4 1 1 5 3 3 6 3
5 9 3 8 7 8 0 7 0 5 3 5 6 4 3 7 3 2 8 3 0 3 9 9 4 7 2 6 9 0 9 9 8 3 0 9 2 3 4 0 9 5 6 3 9 5 6 3 3 3 4
0 8 3 8 8 4 9 1 9 4 3 9 6 3 5 2 5 5 4 9 8 6 9 7 1 8 4 6 2 0 7 6 3 2 7 4 3 3 5 1 7 5 3 0 5 2 4 4 9 1
5 0 9 9 1 9 3 4 0 5 9 5 8 6 3 0 6 0 8 8 8 5 5 4 6 9 3 6 8 6 9 9 7 8 6 1 3 3 0 9 6 6 4 1 0 5 7 0 9 3
0 1 2 0 6 3 4 7 1 6 7 2 7 9 9 4 0 0 3 0 5 9 6 7 9 1 6 3 4 4 5 5 6 9 3 8 7 4 8 0 5 8 7 1 9 9 7 4 5 2
0 2 8 0 5 0 2 8 2 7 5 7 0 4 9 1 7 2 6 2 5 8 2 0 8 2 0 1 3 5 0 3 5 8 1 9 4 9 4 3 0 0 3 2 0 2 3 3 8 6
6 3 1 2 5 8 5 3 6 5 2 2 2 3 4 8 2 8 7 9 8 7 8 8 5 5 2 0 3 7 8 2 6 8 9 9 5 6 4 0 7 5 2 6 7 4 4 7 9 3 6
2 3 9 5 3 2 5 0 6 2 3 9 9 5 6 4 3 2 5 2 4 4 1 5 5 8 3 0 2 0 7 8 7 9 3 7 1 2 5 0 9 1 3 4 4 9 5 7 1 2
6 0 0 5 8 5 1 5 4 2 2 1 3 6 5 9 2 0 0 0 7 4 8 7 6 5 3 6 7 3 8 6 1 4 8 0 2 2 5 2 9 0 6 8 6 4 0 9 4 0
2 2 0 6 9 1 0 2 8 3 0 1 5 9 9 7 9 5 1 6 7 8 8 7 2 7 8 3 1 4 1 6 9 1 3 5 1 6 4 6 9 6 1 7 1 2 0 0 4 4
7 9 8 8 5 9 1 3 7 3 2 9 9 4 8 3 0 6 7 3 3 9 3 7 6 8 5 3 8 0 2 1 8 0 7 7 3 5 3 9 8 2 1 2 3 9 4 1 2 4
7 5 2 1 2 9 0 0 8 6 0 1 9 8 9 7 5 8 5 9 1 9 8 8 1 5 9 9 8 2 0 4 1 6 2 9 0 8 0 1 7 9 3 7 1 2 9 0 4 2 6
0 0 6 9 5 5 1 4 9 5 1 6 3 5 0 4 2 4 8 6 1 6 7 2 4 4 8 2 7 8 8 8 8 3 5 6 9 9 8 6 2 7 9 5 8 3 5 8 4 9
4 5 3 0 5 3 5 0 3 5 9 3 0 8 9 4 0 5 3 1 6 9 1 3 7 3 3 2 8 9 6 4 0 8 2 2 5 8 0 3 3 8 5 9 2 1 9 8 0 0
5 4 9 5 7 7 0 3 2 5 2 8 8 6 2 7 9 9 5 9 6 8 4 3 0 1 2 9 5 1 3 5 7 9 5 2 8 8 1 1 6 1 0 9 9 3 2 2 2 4
4 7 4 7 4 3 4 6 4 8 0 1 5 0 2 5 4 3 7 3 8 1 9 5 6 6 8 5 1 8 7 1 6 0 2 4 1 1 4 5 1 5 3 0 8 2 9 8 5 0
8 4 0 9 4 0 7 5 9 5 7 7 7 7 7 5 1 7 5 5 4 8 8 1 2 0 3 5 1 9 7 9 0 3 9 2 0 0 8 3 9 4 0 5 2 3 8 5 1 9 4
7 5 3 2 4 6 1 1 8 5 6 8 5 9 7 0 3 9 8 8 8 7 5 7 5 2 7 6 2 5 3 4 6 2 6 5 1 4 7 8 7 6 7 3 8 2 8 9 6 5
1 4 3 2 6 8 6 0 6 0 7 2 5 1 5 4 4 3 3 8 9 6 9 3 4 6 6 4 4 2 3 2 1 9 6 1 5 9 8 5 3 5 7 8 1 8 0 9 9 3
0 1 1 7 6 8 6 8 8 2 1 3 6 6 6 8 6 2 9 1 0 3 1 8 4 8 7 3 4 3 7 0 7 6 1 3 9 1 1 0 8 6 9 9 8 8 3 1 8 5
0 2 0 3 7 8 0 3 5 1 7 9 5 0 3 6 3 5 3 4 8 5 5 1 6 5 8 1 9 5 0 1 6 5 3 7 0 4 7 6 3 4 3 0 0 4 0 9 7 0
9 6 0 9 9 4 4 5 5 1 0 7 5 4 0 2 8 9 2 6 4 6 3 6 9 0 2 3 0 4 9 8 7 4 6 0 5 4 6 3 7 7 8 3 2 5 4 0 0 0 3
3 7 5 6 0 4 3 8 2 2 7 7 4 8 3 5 0 4 3 5 9 5 1 1 4 8 1 9 4 5 9 3 4 3 6 0 4 9 2 1 0 7 3 0 6 1 1 2 6 6
9 2 7 4 7 0 1 9 5 4 5 0 5 3 8 3 6 9 5 5 7 4 4 6 8 9 5 7 1 5 4 3 4 1 4 1 3 8 2 0 5 5 0 3 8 9 1 3 0 2
5 7 5 4 0 8 8 3 2 1 4 3 0 3 8 5 5 4 3 8 9 7 1 4 5 5 7 6 9 9 5 3 7 2 5 4 0 1 2 8 5 9 0 4 9 5 6 0 1 7
9 5 6 7 8 8 3 1 6 5 9 3 8 5 5 9 8 4 7 4 4 2 5 5 2 2 9 8 5 7 3 7 9 1 0 2 9 7 1 6 8 1 0 1 6 8 2 0 5 4
10 45 76 94 54 05 51 54 91 63 07 06 45 33 07 00 98 66 07 87 77 90 29 02 52 67 31 69 76 89 59 59 12 15 79 61 45 72 19 18 80 71 76 16 17 06 72 77 41 18 10
4 9 8 9 4 8 6 9 9 8 0 7 5 8 8 2 9 4 9 4 3 4 3 0 6 4 5 2 9 5 5 2 2 9 5 2 6 4 8 8 8 2 2 3 6 9 4 1 6 7
229
Apéndice A. Tablas de la distribución normal estándar y de la distribución t-student
230
Bibliografía [1] Cochran, William. Técnicas de Muestreo. Compañía Editorial Continental, S.A. México (1985). [2] Scheaffer, R. L., Mendenhall, W. and Lyman, O. Elementos de Muestreo. Grupo Editorial Iberoamérica (1987). [3] Pérez, L. C. Técnicas de Muestreo Estadístico. Teoría, práctica y aplicaciones informáticas. Editorial Alfaomega-RA-MA (2000). [4] Mood, A. M., Graybill, A. F. y Boes, D. Introduction to the Theory of Statistics. McGraw Hill (1974). [5] Bradburn, Norman M. and Seymour Sudman. Polls and Surveys: Understanding What They Tell Us. Jossey-Bass Publishers (1988). [6] Hortvitz, D. G., B. V. Shah, and W. R. Simmons. The unrelated question randomized response model. Proceedings of the Social Statistics Section, American Statistical Association, 65-72 (1967). [7] Siegel, S. Estadística no paramétrica. Trillas, México (1977). [8] Danger, S., Huizing, N., Walker, A., Rowland, A., Anderson, R., Sciaccaluga, R. EU Information Society Guide. Brussels, Belgium: The EU Committee on the American Chamber of Commerce in Belgium (1996). [9] Lohr, S. L. Muestreo: Diseño y análisis. International Thomson Editores (2000). [10] Rendón S. G. Métodos Estadísticos (Muestreo, Diseños de Experimentales, Estadística no paramétrica). Universidad Autónoma Chapingo (1997). [11] Warner, S. L. Randomized Response: A Survey Technique for Eliminating Evasive Answer Bias. Journal of the American Statistical Association, Vol. 60, No. 309(63-69), 1965. [12] Kish, L. Muestreo de encuestas. México: Editorial Trillas (1972). [13] Deming, W. E. Some Theory of Sampling. New York: Jonh Wiley and Sons (1950). [14] Raj D. The Desing of Sample Surveys . New York: Mcgraw-Hill, Company Book (1972). [15] Azorin, F. Curso de muestreo y aplicaciones. Primera edición, Expaña: Ediciones Aguilar S. A. (1972).
231
Bibliografía [16] Méndez, I. Eslava, G. y P. Romero. Conceptos básicos de muestreo. IIMAS, UNAM. Monografías. Vol. 12. No. 27 (1972). [17] Méndez, C. E. I, Quintana C. R. H. Muestreo: Respuesta aleatorizada.[Disponible en: http://www.dpye.iimas.unam.mx/finales2007/MuestreoRespuestaAleatorizada.ppt.] Especialidad en Estadística Aplicada. IIMAS, UNAM. (2007). [18] Dowling, F. A. Shachtman, R. H. On the Relative Efficiency of Randomized Response Models. Jour. Amer. Stat. Assoc., 70, 84-87 (1975).
232
