UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES PROGRAMA PROFESIONAL INGENIERIA MECÁNICA, MECÁNICA-ELECTRÍCA Y MECATRÓNICA Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica Apellidos y Nombres (1):Urday Parisaca Edson Samuel Apellidos y Nombres (2):_____________________________________________
I.
Página:1/11
Jefes de Prácticas: Ing. Juan Carlos Cuadros Ing. Henry Zegarra Gago Ing. Sergio Mestas Ramos
Código: Semestr e: Grupo:
4E04022
Lab. Nº:
07
IV FECHA:
OBJETIVOS: -
II.
Conocer los algoritmos utilizados para la obtención numérica de integrales y aplicarlos en la solución de problemas de ingeniería. Implementar programas que permitan el cálculo de integrales, empleando diferentes algoritmos para su solución, considerando en la implementación los diagramas de flujo y el código correspondiente. FUNDAMENTO TEORICO:
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de calcular la integral de una función. La función que va a integrarse estará, en general, en una de las tres formas siguientes: 1
Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.
2
Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.
3
Una función tabulada en donde los valores de x y f ( x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. A. REGLA DE INTEGRACIÓN DEL RECTÁNGULO Si en cada sub-intervalo consideramos un rectángulo, que tiene como base la longitud altura
h
y como
f ( x k−1 ) , podemos aproximar el área total haciendo la suma de las áreas de todos los sub-
intervalos, quedando f(xk-1)
f(x)
a
xk-1 h xk
b
UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES PROGRAMA PROFESIONAL INGENIERIA MECÁNICA, MECÁNICA-ELECTRÍCA Y MECATRÓNICA Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica Apellidos y Nombres (1):Urday Parisaca Edson Samuel Apellidos y Nombres (2):_____________________________________________
b
n
f (x )dx h f (x k 1 ) a
k 1
Página:2/11
Jefes de Prácticas: Ing. Juan Carlos Cuadros Ing. Henry Zegarra Gago Ing. Sergio Mestas Ramos
Código: Semestr e: Grupo:
4E04022
Lab. Nº:
07
IV FECHA:
Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica
Página: 3/11
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
B. REGLA DEL PUNTO MEDIO Este caso difiere del anterior ya que tomamos como altura del rectángulo la imagen del punto medio del intervalo
[x k−1 , x k ]
n
b
f (x )dx h f ( a
k 1
en lugar del extremo.
x k 1 x k ) 2
f((xk-1+ xk)/2) f(x)
a
(xk-1+ xk)/2 b
C. REGLA DEL TRAPECIO La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. Considérese la función
f (x) , cuya gráfica entre los extremos
x=a
y
x=b
se muestra en la Figura 1. Una
aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ∆ X y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la Figura 1. Llamando a las ordenadas
yi
para
i=1,2,3, … … , n+1 , las áreas de los trapecios son:
(1)
Figura 1 Método del Trapecio
Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica
El área total comprendida entre
x=a
y
x=b
Página: 4/11
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
está dada por:
(2) Sustituyendo las ecuaciones (1) en esta expresión se obtiene:
(3 ) La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
(4) En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva y=f ( x) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos. D. INTEGRACIÓN NUMÉRICA - REGLA DE SIMPSON Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. REGLA DE SIMPSON 1/3 La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(x) en la Figura 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:
( Xi , Yi ) (X i +1 , Y i+1 ) ( X i +2 , Y i+2 )
Figura 2
Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica
Página: 5/11
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la Figura 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación.
Figura 3
La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es:
Y =a X 2+ bX +c (1) La integración de la ecuación (1) desde −∆ X hasta las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto: ∆X
∫
[
3 2 ( a X 2 +bX +c ) dx= a X + b X + cX
−∆ X
3
2
]
∆X
proporciona el área contenida en
∆ X (2) ¿−∆ X
La sustitución de los límites en la ecuación (2) produce:
2 A 2 fajas= a(∆ X)3 +2 c ( ∆ X ) (3) 3 Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos
(−∆ X , Y i ) ;(0, Y i+1 )
(∆ X , Y i+ 2)
y
deben satisfacer la ecuación (1). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ecuación (1) produce: 2
}
Y i=a (−∆ X ) +b (−∆ X )+ c ( 4) Y i+1=c 2 Y i+ 2=a( ∆ X ) + b ( ∆ X ) +c La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:
Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica
a=
Y i−2 Y i+ 1+Y i +2 2
2( ∆ X ) Y i+ 2−Y i b= 2∆ X c=Y i+1
Página: 6/11
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
}
(5)
La sustitución de la primera y tercera partes de la ecuación (5) en la ecuación (3) produce:
A 2 fajas=
∆X ( Y i +4 Y i+1 +Y i+2 ) (6) 3
que nos da el área en función de tres ordenadas Y i ,Y i +1 , Y i+2 y el ancho ∆ X de una faja. Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho. Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ecuación (6) muestra que:
}
∆X ( Y 1+4 Y 2 +Y 3 ) 3 ∆X A2 = ( Y 3 +4 Y 4 +Y 5 ) 3 (7) . . . ∆X A n /2= ( Y n−1 +4 Y n+Y n+1 ) 3 A 1=
Sumando estas áreas, podemos escribir: n 2
f ( x ) dx=∑ Ai=¿ i=1
∆X ( Y 1 +4 Y 2+ 2Y 3 + 4 Y 4 +2 Y 5 +…+2 Y n−1 +4 Y n+Y n+1 ) (8) 3 X n+1
∫
¿
X1 =0
o bien: n 2
f ( x ) dx=∑ Ai=¿ i=1
n 2
(
n−2 2
)
∆X Y 1+ 4 ∑ Y 2 i +2 ∑ Y 2i +1+Y n+1 ( 9) 3 i=1 i=1 X n+ 1
∫
¿
X 1=0
en donde n es par. La ecuación (9) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho ∆ X . III.
MATERIAL Y EQUIPO
Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica 1.
Página: 7/11
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
Una PC con Sistema Operativo (S.O.) Windows XP.
2. IV.
MATLAB 7.0 o superior
PROCEDIMIENTO PRÁCTICO: A. Crear un programa que permita calcular la integral de cualquier función matemática, en el tramo [a,b] (introducido por teclado). El programa deberá mostrar la grafica de la función matemática (opcional). El programa también deberá permitir decidir que algoritmo se utilizará. (Sugerencia: Use una estructura de decisión múltiple switch-case, proceda por etapas): 1: Regla del rectángulo 2: Regla del Punto Medio. 3: Regla del trapecio. 4: Regla de Simpson 1/3
Diagrama de Flujo
Algoritmo -Pedir la función -Pedir el limite inferior y superior -Pedir el numero de divisiones -asignar un numero del 1 al 4 para cada caso de integración -caso numero 1 metodo del rectángulo -hallar el numero de áreas divididas -Hallar el área de cada área dividida por la formula del rectangulo -sumar todas las áreas -mostrar resultado -caso numero 2 metodo del punto medio -Hallar el numero de áreas dividias -hallar el área de cada área dividida pero ahora la altura será el punto medio del ancho de cada área -sumar todas las áreas -Mostrar resultado -caso numero 3 metodo del trapecio -hallar el numero de áreas divididas -Hallar el área de cada área dividida pero ahora se hallara el área con la formula del trapecio. -Sumar todas las áreas -Mostrar resultado Caso numero 4 metodo de la regla de Simpson 1/3 -hallar el numero de áreas divididas -Hallar los coeficientes de la ecuación de segundo grado -hallar el área bajo la curva -Sumar todas las áreas -Mostrar el resultado
Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica
Página: 8/11
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
Programa
clear all; clc; disp('Integracion numerica'); fprintf('Ingrese 1 para el metodo del rectangulo'); fprintf('\n'); fprintf('Ingrese 2 para el metodo del punto medio'); fprintf('\n'); fprintf('Ingrese 3 para el metodo del trapecio'); fprintf('\n'); fprintf('Ingrese 4 para el metodo de simpson 1/3'); fprintf('\n'); nro=input('Ingrese el metodo: '); fprintf('\n'); switch nro case 1 disp('Metodo del rectangulo'); a=input('Limite inferior a= '); b=input('Limite superior b= '); syms x; n=input('Numero de divisiones n= '); f=input('Ingrese la funcion: '); h=(b-a)/n; r=0; for i=a:h:(b-h) x=i; y=eval(f); r=r+y; end S=h*r; fprintf('La integral es %.4f \n',S); case 2 disp('Metodo del punto medio'); a=input('Limite inferior a= '); b=input('Limite superior b= '); syms x; n=input('Numero de divisiones n= '); f=input('ingrese la función: '); h=(b-a)/n; r=0; for i=a:h:(b-h) x=(i+(i+h))/2; y=eval(f); r=r+y; end S=h*r; fprintf('La integral es %.4f \n',S); case 3 disp('Metodo del trapecio'); a=input('Limite inferior a= '); b=input('Limite superior b= '); syms x; t=input('Numero de divisiones n= '); f=input('Ingrese la funcion: '); h=(b-a)/t; F=0; for i=a:h:(b-h)
Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica
Página: 9/11
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
x=i; H=eval(f); x=i+h; E=eval(f); W=(H+E)/2; F=F+W; end R=h*(F); fprintf('La integral es %.4f \n',R); case 4 disp('Metodo de simpson 1/3'); f=input('Ingrese la funcion;','s'); f=inline(f); a=input('Limite inferior a= '); b=input('Limite superior b= '); n=input('Numero de divisiones n= '); fprintf('\n'); h=(b-a)/n; sumai=0; sumap=0; for i=1:2:n-1 sumai=sumai+feval(f,h*i+a); end for i=2:2:n-2 sumap=sumap+feval(f,h*i+a); end int=(h/3)*(feval(f,a) +4*sumai+2*sumap+feval(f,b)); disp(['El resultado de la integral es ' num2str(int)]) end
Laboratorio de Mecánica Computacional II
Página: 10/11
Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica V.
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
CUESTIONARIO FINAL A. En base al programa construido anteriormente solucionar los siguientes problemas: 1) Se tiene un horno de recocido el cual consume energía de unos calefactores a razón de 20 KWatts. Y pierde energía por sus paredes según el tiempo de acuerdo a la siguiente tabla: Tiempo (segun dos
Energía (Kjoules )
1
2
3
4
5
6
7
8
exp( 2)
exp( 2)
exp( 3)
exp(3. 2)
exp(2. 8)
exp( 2)
exp(2. 5)
exp(2. 7)
Calcular cual es la energía total utilizada en el calentamiento interno del horno. Tiempo (segund os
Energía (Kjoules )
Perdida
1
2
3
4
5
6
7
8
exp(2 )
exp(2 )
exp(3)
exp(3. 2)
exp(2. 8)
exp(2 )
exp(2. 5)
exp(2. 7)
7.389 1
7.389 1
20.08 55
24.532 5
16.444 6
7.389 1
12.182 5
14.879 7
Energia suministrada 160 Kwatts Energia perdida = 110.2921 Kwatts La energía utilizada es 49.7079 KWatts disp('Metodo de simpson 1/3'); f=input('Ingrese la funcion;','s'); f=inline(f); a=input('Limite inferior a= '); b=input('Limite superior b= '); n=input('Numero de divisiones n= '); fprintf('\n'); h=(b-a)/n; sumai=0; sumap=0; for i=1:2:n-1 sumai=sumai+feval(f,h*i+a); end for i=2:2:n-2 sumap=sumap+feval(f,h*i+a); end int=(h/3)*(feval(f,a)+4*sumai+2*sumap+feval(f,b)); disp(['El resultado de la integral es ' num2str(int)]) end
Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Integración Numérica 2) Se tiene un cuerpo que se desplaza en la dirección calcula según la siguiente expresión:
x
Página: 11/11
LAB N° 7
JCC- HZG SMR
debido a una fuerza cuya magnitud se
f ( x )=12 e−x sen(x ) Indique cual es la energía que entrega f al móvil en el tramo de x <4.5 – 8.5> SOLUCION Con el método del rectángulo y con el número de divisiones 10 el resultado es -0.1073 Con el método del punto medio y con el número de divisiones 10 el resultado es -0.0787 Con el método del trapecio y con el número de divisiones 10 el resultado es -0.0809 Con el método de Simpson 1/3 y el número de divisiones 10 el resultado es -0.079403 disp('Metodo de simpson 1/3'); f=input('Ingrese la funcion;','s'); f=inline(f); a=input('Limite inferior a= '); b=input('Limite superior b= '); n=input('Numero de divisiones n= '); fprintf('\n'); h=(b-a)/n; sumai=0; sumap=0; for i=1:2:n-1 sumai=sumai+feval(f,h*i+a); end for i=2:2:n-2 sumap=sumap+feval(f,h*i+a); end int=(h/3)*(feval(f,a)+4*sumai+2*sumap+feval(f,b)); disp(['El resultado de la integral es ' num2str(int)]) end
VI.
-
OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES Haga sus observaciones y emita al menos cinco conclusiones en torno al trabajo realizado: Se conoció los algoritmos utilizados para la obtención numérica de integrales. Se hizo diferentes programas con resultados aproximados al resultado verdadero sobre una integral. Existen diferentes métodos de cálculo de integrales aproximados al verdadero resultado de la integral, los resultados son muy parecidos pero siempre existe un margen de error en algunos casos es minimo,.
