F acult ultad de I ngenie ngeniería ríass Unive Uni verr sida si dad d José C arlos M ariát ari áteeg ui
E SCUEL A PROF E SI ONAL I NG. CI VI L
R esiste si stenci ncia a de M ate ater i ales les I
UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIÁTEGUI Carrera Profesional de Ingeniería Civil
RESISTENCIA DE MATERIALES I Método de superposición en vigas
Trabajo presentado por:
Viza Ramos Rommel Anderson Arana Álvarez Wido Percy Oroche Alave Richard Angel Docente:
Ing. Jorge Erick Morón Lavado V CICLO SECCION
“A”
Moquegua, 12 de DICIEMBRE del 2017
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R esiste si stenci ncia a de M ate ater i ales les I
INTRODUCCION:
El siguiente trabajo estará estudiando sobre el principio de la superposición en vigas es un método muy práctico para resolver ejercicios que tengan un grado de complejidad ya que el método trata de separar en partes el problema y resolver así, luego sumarlos los resultados que se obtuvo
OBJETIVOS. Conocer en que consiste el principio de superposición de vigas Conocer las condiciones que requieren los ejercicios para su resolución Conocer cada uno de los elementos que contiene el método de superposición Calcular por medio del método de superposición la deflexión de una viga
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MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN.
Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, a menudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la deflexión causadas por cada carga. La pendiente y la deflexión totales se obtienen aplicando el principio de superposición y sumando los valores de la pendiente o la deflexión correspondiente a las diversas cargas.
Método de Superposición se considera como el análisis más fundamental del análisis de estructuras hiperestáticas. Por el principio de superposición se sabe que los desplazamientos finales debidos tanto a las cargas reales como a las redundantes actuando al mismo tiempo deben ser iguales a la suma de los desplazamientos calculados independientemente. En el caso de las reacciones redundantes los desplazamientos serán igual a cero. y de estas fórmulas podemos resolver las reacciones en las cargas redundantes. Para aplicar este método, primero es identificar las reacciones redundantes. Al eliminarlas obtenemos lo que se llama viga primaria.
En el caso de deflexiones en vigas, el principio de superposición es válido en las siguientes condiciones:
QUE CUMPLA LA LEY DE HOOKE LAS DEFLEXIONES Y ROTACIONES EN LAS VIGAS SEAN PEQUEÑAS. LAS DEFLEXIONES NO ALTEREN LAS CARGAS
la figura (a) es el ejercicio y para resolverlo por el método, se le divide en dos ejercicios (b) y (c) y la suma de los dos seria el resultado final.
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ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA: La curva elástica o elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano xy sobre la viga. La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por: MOMENTO FLECTOR (M).
0.1
Deformación de una viga bajo carga transversal.
0.2 DONDE:
=radio de curvatura. M=módulo elástico. I=inercia.
Recuerde primero, del cálculo elemental, que la curvatura de una curva plana en un punto Q(x,y) de la curva es:
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ecuacion 0.3
y son la primera y segunda derivadas de la función y(x) representada por esa curva. Pero, en el caso de la curva elástica de una viga, la pendiente es En donde
muy pequeña y su cuadrado es despreciable comparado con La unidad. Entonces:
0.4
Sustituyendo por
de (0.4) en (0.1), se tiene.
0.5
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La ecuación obtenida es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden; es la ecuación diferencial que gobierna la curva elástica. El producto E I se conoce como la rigidez a flexión y si varía a lo largo de la viga, como en el caso de una viga de sección variable, debe expresársele como función de x antes de integrar la ecuación (0.4). Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado aquí, la rigidez a flexión es constante. Pueden multiplicarse ambos miembros de la ecuación (0.4) por EI e integrar en x . Se escribe
0.6
Siendo C 1 una constante de integración. Si es el ángulo en radianes que la tangente a la curva elástica forma con la horizontal en Q (figura 1), y recordando que este ángulo es pequeño, se tiene.
0.7
En consecuencia, la ecuación (0.6) puede escribirse en la forma alterna
0.6’
Integrando los dos miembros de la ecuación (9.5) en x , se tiene.
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0.9
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En donde C 2 es una segunda constante y el primer término del miembro derecho es la función de x obtenida integrando dos veces en x el momento flector M(x ). Si no fuera porque C 1 y C 2 permanecen indeterminadas, la ecuación (0.9) definiría la deflexión de la viga en cualquier punto dado Q y la ecuación (0.6) o la (0.6 ′) definiría del mismo modo la pendiente de la viga en Q . Las constantes C 1 y C 2 se determinan de las condiciones de frontera o, dicho con mayor precisión, de las condiciones impuestas en la viga por sus apoyos. Limitando el análisis en esta sección a vigas estáticamente determinadas, es decir, a vigas apoyadas de tal manera que las reacciones pueden obtenerse por estática, observe que aquí pueden considerarse tres tipos de vigas (figura 0.2): a) la viga simplemente apoyada, b) la viga de un tramo en voladizo y c) la viga en voladizo. En los primeros dos casos, los apoyos son fijos en A y móviles en B y todos requieren que la deflexión sea cero. Haciendo
= ,
= , en la ecuación (0.9) y luego = , = en la misma, se obtienen dos ecuaciones que pueden resolverse para C1 y C2. En el caso del voladizo (figura 0.2c), se nota que tanto la pendiente como la deflexión en A deben ser cero. Haciendo = , = =0 en la ecuación (0.9) y = , = = 0 ) se obtienen de nuevo dos en la ecuación (0.6’
ecuaciones que pueden resolverse para C 1 y C 2.
La viga en voladizo AB es de sección transversal uniforme y soporta una carga P en su extremo libre A (figura 3). Halle la ecuación de la curva elástica y la deflexión y pendiente en A.
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FIGURA 3
Usando el diagrama de cuerpo libre de la porción AC de la viga (fi gura 9.10) en donde C está a una distancia x del extremo A, se tiene
= =
Sustituyendo M en la ecuación 0.5 y multiplicando por EI,
Integrando en x,
1.3
= =
Se observa ahora que en el extremo fijo B se tiene y (figura 0.5). Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior (1.3) y despejando C1, se tiene,
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Que se reemplaza en (1.3):
1.5
Integrando ambos miembros de (1.5),
1.6 Pero en B se tiene
= , = 0. Sustituyendo en (1.6), y
1.7 Llevando este valor de C 2 a la ecuación (1.7) se obtiene la ecuación de la curva Elástica:
1.8
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0 SIMPLIFICADO
1.9 La defl exión y la pendiente en A se obtiene haciendo (1.9) y (1.8). Se halla que
= en las ecuaciones
Deflexión máxima.
Pendiente en extremo.
CONVENCIÓN DE SIGNOS:
ANTIHORARIO (+)
HORARIO (-)
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(+) POSITIVO (-) NEGATIVO
Dónde: representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas. Es la abscisa (eje X) sobre la viga. Es el momento flector sobre la abscisa
.
Es el segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal. Es el módulo de elasticidad del material
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APLICACIÓN PRÁCTICA N°01 Determine la pendiente y deflexión en D para la viga y carga mostradas sabiendo que la rigidez a flexión de la viga es
EI = 100 MN .
.
Realizamos el método de superposición.
La pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga pueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones causadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga distribuida
Primer caso (Carga distribuida)
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Hallamos la deflexión que produce la carga distribuida:
−+ =− )
x=2
−+ =−() = 7.610− ) )
Hallamos la pendiente que produce la carga distribuida en el punto D.
−+ − )= x=2
−+ =− −+ =− = 2.9310− ) )
)
Segundo caso (Carga puntual)
Hallamos la deflexión que produce la carga puntual:
= 150 ; = 100. ; = 2 ; = 8 ; = 6 = = = -0.009 m )
) )
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Hallamos la pendiente que produce la carga puntual en el punto D.
= )
x=2
=( ) = − = . )
)
Entonces la deflexión en D es:
= = 7.610− 910− = 16.6 Y la pendiente en D es: = = 2.9310− 310− = 5.9310−
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APLICACIÓN N° 02 Para la viga y carga mostradas en la figura, halle a) La reacción de cada apoyo, b) La pendiente en el extremo A.
Para cada carga, la deflexión en el punto B se halla usando la tabla de deflexiones y pendientes de viga.
Primer caso (Carga distribuida)
Hallamos la deflexión que produce la carga distribuida:
−+ − )= − + − )= − )= = 0.01132
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Hallamos pendiente en el extremo A que produce la carga distribuida, donde x=0 ,
−+ − )= −+ − = =
Segundo caso (Carga puntual)
Hallamos la deflexión que produce la carga puntual:
= ( = = − = [ ] == 0.01646 )
) ) )
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Entonces la deflexión resultante en B es igual a 0.
= + = 0 + = 0 )
)
= Hallamos
=
=
, con las ecuaciones de la estática:
∑ =0
23 2 = 0 ( = = ∑ =0 + = 0 = 11 16 24 = Hallamos la pendiente que la carga distribuida produce en el extremo A:
−+ − )=
− )=
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Hallamos la pendiente que la carga puntual produce en el extremo A:
= = )
)
Hallamos la pendiente en el extremo A:
= + − = + = )
)
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APLICACIÓN N°03 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN EN VIGAS HIPERESTATICAS Para la viga y carga mostradas en la figura, determine la pendiente y la deflexión del punto B.
SOLUCIÓN: Para la viga anteriormente mostrada, se puede superponer dos cargas: Carga Total
=
1ra Carga
+
2da Carga
Teniendo las dos cargas las deformaciones nos quedarían de la sgte. forma:
Para cada una de las cargas, la pendiente y la deflexión en B se determinan usando la tabla de Deflexiones y Pendientes.
1ra CARGA
Deflexión: = Pendiente: =
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2da CARGA
Deflexión: =
= 8 16 = 128 ̅ En el tramo
:
Al no existir carga en este tramo, el momento flector es cero; por lo que la curva elástica del tramo continúa como una línea recta en el tramo , es decir, se suma la deflexión obtenida en el tramo y la deflexión del tramo .
̅ ̅ = 2 = 128 48 2 7 = 384
Pendiente: =
= 6 8 = 48
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̅
̅
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En el tramo
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̅
:
Al no existir carga en este tramo, el momento flector es cero; por lo que la curva elástica del tramo continúa con la misma pendiente en el tramo .
̅
̅ = = 48
Entonces, la suma de la deflexión y la pendiente halladas en la 1 ra Carga y la 2da Carga nos darán el resultado final de la viga .
PENDIE NTE E N B:
= = 7 = 48 DEFLE XIÓN EN B:
74 = = 8 384 = ↓
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CONCLUSIONES El método la superposición es un método que nos facilita el desarrollo de los ejercicios ya que trata de separar el ejercicio y resolverlas individualmente. El método la superposición se puede aplicar para vigas estáticas y hiperestáticas Reconocer las condiciones que deben cumplir un ejercicio antes de resolverlo por el método de superposición. identificar las formulas necesarias para utilizar en el método de la superposición
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