Capitulo 2 CALCULO DE DEFORMACIONES EN VIGAS
2.1 Vigas en flexión Las barras de eje recto sometidas a flexión se denominan vigas, la sección transversal puede ser cualquiera, el sistema de coordenadas que se emplea queda definido por una triada de ejes, siendo “x” el eje mayor, los ejes “y”, “z” corresponden a los ejes principales de inercia. Dependiendo de la carga se produce flexión en uno u otro plano, las cargas normales a “x” ubicadas en el plano “xy” producen flexión en el mismo plano y cargas normales a “x” ubicadas en el plano “xz” producen flexión en plano “xz”.
Z
Mz
My y
T
M
x
x
En el caso general de cargas se pueden producir las siguientes situaciones: Flexión pura cuando; Flexión simple cuando; Flexión compuesta cuando
M ≠ 0; M ≠ 0; M ≠ 0;
Q = 0; Q ≠ 0; Q ≠ 0;
N=0 N=0 N≠0
Y se denomina flexión esviada cuando se produce flexión simultánea en dos planos
(a) viga solicitada solicitada con M, Q y N.
Se denominan solicitaciones, en una sección de la viga, a la resultante de las las fuerzas externas aplicadas a la izquierda de dicha sección. Esta resultante se descompone en: un vector momento “M”, un vector de fuerza tangente a la sección “Q” y un vector de fuerza normal a la
sección “M”. Las solicitaciones y las fuerzas internas (resultante de las tensiones en la sección) están en equilibrio.
Px
Z
L
y
x M + ∆M M
M(x)= qLx - qx2 2 2
M
Q + ∆Q + _
x
Q
Q(x) = qL - qx 2 (b)
Equilibrio del elemento
∆x y relaciones M, Q y N.
p(x)
∆x
M
ΣFy = 0
M + ∆M
ΣM = 0
∆Q = - p(x)
∆M = Q(x) ∆x
Q + ∆Q Pasando al límite se tiene la siguiente relación: dM(x)/dx = Q dQ(x)/dx = -q(x)
c) distribución de tensiones en plano Z Y. Considerando la Hipótesis de Bernulli: “ las secciones planas se mantiene planas después de la deformación”, que equivale a un comportamiento lineal de las deformaciones del material.
u1 A’
u2 A
B’
B
Sección plana AA Corrimientos
A’A’ u1 , u2
u1 = c1* y
y A A’
y B
∆x
∆x B’
u2 = c2* y
ε = (c2 – c1)*y
c1,c2 son ctes.
`
II) Los materiales no sobrepasan el limite elástico, por lo tanto se cumple la ley de Hooke.
_ X
ε
x
E⇒
σ = Eε = Cy
+
Distribución de deformaciones
Distribución de tensiones
Aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas externas versus fuerzas internas se tiene: Solicitación = Fuerzas internas (Fuerzas externas) (Σ de tensiones internas) (a) Σ Fx
N=0=
∫(A) C y b(y) dy
(b)ΣM
M = ∫C y b(y) dy
2
C= M Iz
Y las tensiones se expresan por la ecuación de Navier.
σ=My Iz
2.2 Ecuación diferencial de la elástica
El eje mayor de la viga definido por el baricentro de las secciones transversales, recibe el nombre de eje elástico o simplemente elástica de la viga. Cuando la viga se encuentra descargada la elástica es un eje recto, si se carga la viga sometiendola a flexión pura el eje se deforma en una curva. La determinación de estas deformaciones, en vigas y con mayor generalidad en la estructura es fundamental para la comprensión de su comportamiento, Se pueden señalar dos situaciones prácticas de la necesidad de conocer la deformación en una estructura. (1)
limitación de las deformaciones, con el objeto de proteger los revestimiento, evitar la interferencia entre estructuras, y permitir el uso confortable de los edificios. En el caso de estructuras que soportan equipos mecánicos o instrumentos de precisión, la limitación de deformaciones es rigurosa y generalmente controla el diseño de los elementos por sobre los requerimientos de resistencia.
(2)
Condición geométrica en la solución de estructuras hiperestáticas, un procedimiento en la resolución de estructuras estáticamente indeterminadas, consiste en imponer como condicionante geométrica deformación conocida en algún punto de la estructura, generalmente deformación cero en los apoyos.
A
B
yB L Limitación de deformación
YB < L/300
Fig. 2.2
ρ, y deducción de la ecuación diferencial de la elástica
Radio de curvatura
Se analiza un elemento N= Q = 0
∆x de la viga de la figura, en un tramo sometido a flexión pura: M # 0 ,
∆x En un elemento de viga a flexión se tiene que AB = ∆ρ = fibra neutra CD : fibra alargada ubicada a la distancia y del eje neutro.
o
∆ϕρ
ρ
A C
Alargamiento fibra CD (1) ε (y) = ED = ED CE ∆s OAB ≅ BED
L1
∆s B E
(2)
D
∆s = ED ρ y
Con (2) en (1)
ε (y) = y / E ρ ⇒1=M ρ EI
My=yE I ρ
( Radio de curvatura )
Ecuación diferencial
ρ ∆ϕ = ∆s
∆ϕ = 1 = M ∆s ρ EI
Paradeformaciones pequeñas
∆ϕ = M ∆x EI
2
d y=-M 2 dx EI
Con deformaciones mayores
1=
ρ
II
y II2 3/2 (1 + y )
∆s
= M(x) EI(x)
∆x
ϕ = dy dx 2 dϕ = d y 2 dx dx
Derivando la ecuación diferencial de la elástica. II
1) EI y = - M(x) III 2) EI y = - Q(x) IV 3) EI y = p(x)
4) y’ =
ϕ = - ∫ M(x)dx EI
Ecuaciones 1) a 3), conjunto de ecuaciones: a partir de cualquiera de ellas se puede iniciar las integraciones para determinar la ecuación del eje elástico, la ecuación 4) define la curva que representa la tangente a la elástica.
2.2 Analogía de la Viga Conjugada Este método de calculo de desplazamientos, esta basado en las ecuaciones diferenciales de la elástica, facilita el cálculo de desplazamientos, flechas y giros en puntos determinados de las barras. A una viga sometida a un estado de cargas , la cual se le denomina Viga real, se le define otra viga ficticia o hipotética que se denomina Viga conjugada, se establecen las siguientes condiciones entre ellas: 1) las dos vigas tienen la misma longitud 2) en cualquier punto : el momento flector de la viga conjugada M*(x) será igual en magnitud al valor de la elástica de la viga real y(x), en el mismo punto.
Viga real
Viga conjugada
x y
x M*
Se diferencian con un asterisco, los términos correspondientes de la viga conjugada Con las condiciones (1) y (2) la VR y la VC se relacionan como sigue:
a) b) c)
y = M* dy/dx = dM*/dx =Q* 2 2 2 2 d y/dx = dQ* /dx= - q* , y d y/d x = -M/EI M/EI = q*
en palabras: -la elástica corresponde al momento de la viga conjugada -la tangente a la elástica corresponde al corte de la viga conjugada -la carga sobre la viga conjugada corresponde al momento de la viga real dividido por EI
Los apoyos y rotulas en la viga se relacionan como se muestra a continuación.
REAL A
CONJUGADA A*
A
B
A
A*
B
B*
A*
B*
La justificación de estas relaciones se deja al estudiante.
2.3 Aplicaciones pendientes · de elástica y 3 de V.C
2.4 Deformación por corte y flexión
Hasta aquí en los ejercicios se han calculado los desplazamientos en vigas solo por efecto de la flexión, debido a la poca influencia que presenta el efecto del esfuerzo de corte, sin embargo en vigas altas, esta influencia no es despreciable. Además tiene un significado especial, en la comprensión del concepto de rigidez en muros. Aún cuando el corte va asociado a la flexión es posible el análisis por separado y formular para cada caso la ecuación diferencial de la elástica:
P (-)
FLEXION
(a)
δtotal
δM + (b)
CORTE
δQ
Nótese que la forma de la elástica difiere en cada caso mientras en flexión la curva es cóncava hacia abajo, en corte es cóncava hacia arriba y casi lineal .
δTOTAL = δM + δQ Para flexión el desplazamiento en el extremo:
δM = Pl3/3EI Para corte, la ecuación diferencial: dy/dx = κP/GA donde κ = factor de forma: 1,2 para secciones rectangulares en el extremo por corte
δQ = κPL /GA Desplazamiento total considerando flexión y corte
δ = Pl3 /3EI+κPL /GA
κ
Factor de forma
Mediante este factor se considera la forma de la sección, ver capitulo 3 ejemplo de cálculo del factor de forma para un rectángulo :
κ = 1.2 Circulo κ = 10/9 Perfil doble T κ = Secc.total/secc.del alma Rectángulo
Aplicación: En una viga de sección rectangular de espesor “b”, altura “h” y largo “L”, se pide: determinar la relación L/h, tal que la influencia de la deformación por corte sea inferior al 5% de la deformación total. : Considerar: factor de forma =1,2 G= E/2,5 Resultado
L/h>3.78
Conclusión: para esbeltez mayor a la 3,8 la influencia del corte en la deformación de una viga en volado es igual o inferior al 5%
Rigidez de muros Se puede definir la rigidez de una estructura como la propiedad de oponerse a las deformaciones provocadas por fuerza. En el caso del resorte se define numéricamente la rigidez del resorte, como la fuerza necesaria que debe aplicarse para producir una deformación unitaria. K P
δ (1) P = K δ
K (F/L)
El muro de la figura cuando recibe cargas en el extremo superior va a sufrir deformaciones elásticas, deformaciones que se recuperan una vez retirada la carga, por tanto su comportamiento es similar al del resorte y puede modelarse como tal.
δ
P
