Metodo de Nash

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN

CURSO: HIDROLOGIA

TEMA: METODOS ESTADISTICOS

METODOS ESTADÍSTICOS. Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para Para utilizarlos se requiere tener como como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo de caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno. Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro por lo que la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo si se requiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que considere. A continuación se explican los métodos de:    

Gumbel Nash Levediev Log-Pearson III

Gumbel y Nash consideran una distribución distribución de valores extremos, extremos, con la única diferencia, que el criterio de Nash es menos rígido que el de Gumbel, pues permite ajustar la distribución por mínimos cuadrados. Por otra parte, Levediev considera considera una distribución Pearson tipo III. En forma práctica, se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de ajuste.

Docente: mgs. Ing° Arbulú Ing° Arbulú ramos José del Carmen

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MÉTODO DE GUMBEL. Para calcular el caudal máximo para un periodo de retorno determinado se usa la ecuación:

          ∑  

…1 …1

Siendo:

…2

Donde:

Caudal máximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s.

N= número de años de registro.

Q i =Caudales máximos anuales registrados, en m3/s.

  ∑     

, Caudal promedio, en m3/s

T= Periodo de retorno. Constantes función de N, tabla 6.13 (Variables reducidas) reducidas)

= Desviación estándar de los caudales.

Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar del registro disponible se hace lo siguiente:



dependiendo

1. Si ф=1-1/T varía entre 0.20 y 0 0.80, .80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:

  √ √   

Donde: N= número de años de registro

   

=constante en función de ф, tabla 6.14.

= Constantes función de N, tabla 6.13

= Desviación estándar de los caudales (ecuación 2)

Docente: mgs. Ing° Arbulú Ing° Arbulú ramos José del Carmen

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  y

en función de N.

 

en función de ф.

Tabla 6.13. Valores de

Tabla 6.14 Valores de

Docente: mgs. Ing° Arbulú ramos José del Carmen


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   

2. Si ф>0.90, el intervalo se calcula como:

La zona de ф comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera la transición, donde cálculo con las ecuaciones 3 y 4, dependiendo del valor de ф.



es proporcional al

El caudal máximo de diseño para un cierto periodo de retorno, será igual al caudal máximo con la ecuación (1), más el intervalo de confianza, calculado con (3) ó (4).

   EJEMPLO DEL METODO DE GUMBEL. Se tiene el registro de caudales máximos de 30 años para la estación 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.15. En este río se desea construir una presa de almacenamiento. Calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, para períodos de retorno 50 y 100 años respectivamente.

Año(1) 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

Caudal m3/s(2) 1660 917 3800 1410 2280 618 683 934 779 921 876 740 1120 610 1150


Año(1) 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Caudal m3/s(2) 563 520 360 367 658 824 850 1230 522 581 557 818 1030 418 953

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SOLUCIÓN.

Año(1) 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 SUMATORIA

Caudal m3/s(2) 1660 917 3800 1410 2280 618 683 934 779 921 876 740 1120 610 1150 563 520 360 367 658 824 850 1230 522 581 557 818 1030 418 953 28749


Q 2(M3/S) 2755600 840889 14440000 1988100 5198400 381924 466489 872356 606841 848241 767376 547600 1254400 372100 1322500 316969 270400 129600 134689 432964 678976 722500 1512900 272484 337561 310249 669124 1060900 174724 908209 40595065

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Paso 1. Calcular el caudal promedio.

      

=958.3m3/s

Paso 2.

       ∑                      918338.89

Cálculo de la Desviación estándar de los caudales.

Paso 3.

Cálculo de los coeficientes σN, YN

σN

YN


1.11238 0.53622

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Paso 4. Cálculo del Caudal Máximo.

     

Para los periodos de retorno de 50 y 100 años. 

Para T=50

            m3/s



Para T=100

Paso 5.



m3/s

Cálculo de ф. ф=1-1/T

Para T=50años ф=1-1/50=0.98

Para T=100años T=1-1/100=0.99

Paso 6. Cálculo del intervalo de confianza. Como en ambos casos vemos que ф es mayor que 0.90, Utilizaremos la ecuación:

     

m3/s


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Paso 7. Cálculo del caudal de diseño.



Para T=50



Para T=100

          


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MÉTODO DE NASH Nash considera que el valor del caudal para un determinado periodo de retorno se puede calcular con la ecuación:

   

Donde:

       

= constantes en función del registro de caudales máximos anuales. =caudal máximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s

=periodo de retorno, en años.

Los parámetros se estiman utilizando el método de mínimos cuadrados, con la ecuación lineal: , utilizando las siguientes ecuaciones:

    ∑  ∑         

Siendo:

Donde: N= número de años de registro

    ∑      ∑ 

=caudales máximos anuales registrados, en m3/s , Caudal medio, en m3/s.

= constante para cada caudal registrado, en función de su periodo de retorno correspondiente.



, valor medio de las



    

Para calcular los valores de correspondientes a los se ordenan estos en forma decreciente, asignándole a cada uno número de orden ; al máximo le corresponderá el valor 1, al inmediato siguiente 2, etc. Entonces, el valor del periodo de retorno para se calculará utilizando la formula de Weibull con la ecuación:


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  

                      ()     ()   ()()   Finalmente el valor de

se obtiene sustituyendo el valor (10) en (9).

El valor dentro del cual puede variar el

calculado por la ecuación (6), se obtiene como:

Siendo:

De la ecuación (11), se ve que solo varía con X, la cual se calcula de la ecuación (9), sustituyendo el valor del periodo de retorno para el cual se calculó el . Todos los demás términos que intervienen en la ecuación (11) se obtienen de los datos. El caudal máximo de diseño correspondiente a un determinado periodo de retorno será igual al caudal máximo obtenido de la ecuación (6), más el intervalo de confianza calculado según la ecuación (11), es decir:

  


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EJEMPLO DEL METODO DE NASH Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Nash para periodo de retorno de 50 y 100 años.

TABLA 6.15. CAUDALES MÁXIMOS Caudal m3/s(2) Año(1) Caudal m3/s(2) 1660 1985 563 917 1986 520 3800 1987 360 1410 1988 367 2280 1989 658 618 1990 824 683 1991 850 934 1992 1230 779 1993 522 921 1994 581 876 1995 557 740 1996 818 1120 1997 1030 610 1998 418 1150 1999 953

Año(1) 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

Solución: 1.- Ordenando en forma descendente, los valores de los caudales de la columna 2, de la tabla 6.15 se obtiene la tabla 6.16 2.- Cálculos Preliminares 

 



 








   

 /m

X= log log

 

 

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m (1) Caudal m3/s(2) 1 3800 2 2280 3 1660 4 1410 5 1230 6 1150 7 1120 8 1030 9 953 10 934 11 921 12 917 13 876 14 850 15 824 16 818 17 779 18 740 19 683 20 658 21 618 22 610 23 581 24 563 25 557 26 522 27 520 28 418 29 367 30 360 SUMATORIA 28749

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T (3) T/(T-1) (4) 31.0000 1.0333 15.5000 1.0690 10.3333 1.1071 7.7500 1.1481 6.2000 1.1923 5.1667 1.2400 4.4286 1.2917 3.8750 1.3478 3.4444 1.4091 3.1000 1.4762 2.8182 1.5500 2.5833 1.6316 2.3846 1.7222 2.2143 1.8235 2.0667 1.9375 1.9375 2.0667 1.8235 2.2143 1.7222 2.3846 1.6316 2.5833 1.5500 2.8182 1.4762 3.1000 1.4091 3.4444 1.3478 3.8750 1.2917 4.4286 1.2400 5.1667 1.1923 6.2000 1.1481 7.7500 1.1071 10.3333 1.0690 15.5000 1.0333 31.0000

X (5) -1.8465 -1.5381 -1.3545 -1.2219 -1.1170 -1.0296 -0.9541 -0.8873 -0.8270 -0.7717 -0.7205 -0.6724 -0.6269 -0.5835 -0.5418 -0.5013 -0.4619 -0.4232 -0.3849 -0.3468 -0.3086 -0.2699 -0.2304 -0.1896 -0.1468 -0.1011 -0.0510 0.0061 0.0757 0.1736 -17.8528


Q*X (6) Q 2 (7) X2 (8) -7016.61 14440000 3.4095 -3506.97 5198400 2.3659 -2248.54 2755600 1.8348 -1722.83 1988100 1.4930 -1373.88 1512900 1.2476 -1183.99 1322500 1.0600 -1068.58 1254400 0.9103 -913.90 1060900 0.7873 -788.12 908209 0.6839 -720.81 872356 0.5956 -663.57 848241 0.5191 -616.61 840889 0.4521 -549.19 767376 0.3930 -495.98 722500 0.3405 -446.40 678976 0.2935 -410.08 669124 0.2513 -359.81 606841 0.2133 -313.15 547600 0.1791 -262.90 466489 0.1482 -228.21 432964 0.1203 -190.71 381924 0.0952 -164.66 372100 0.0729 -133.88 337561 0.0531 -106.74 316969 0.0359 -81.76 310249 0.0215 -52.75 272484 0.0102 -26.49 270400 0.0026 2.57 174724 0.0000 27.77 134689 0.0057 62.49 129600 0.0301 -25554.28 40595065 17.6256

3.- Calculo del Qm y Xm

 





Qm= Xm=

 

 



 

958.30 m3/s. -0.5951


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4.- Calculo de los Parámetros a y b;



 ∑∑            

b= a=

 



  

   




-1206.30 240.44

5.- Calculo del Caudal Máximo. 

 



T= T=

 





Qmax= Qmax=

50 años 100 años

2721.5684 m3/s. 3087.3544 m3/s.

6.- Calculo de las desviaciones estándar y covarianza 

Sxx= Sqq= Sxq=

  ( ) 



 



  ( )   ( )( )





210.0451 391346949 -253378.0648





 



 







7.- Calculo del Intervalo de Confianza

                 















El valor de X se calcula para cada periodo de retorno X= T= 50 años X= T= 100 años T= T=

50 años 100 años

∆Q= ∆Q=






X= log log



 

 

-2.0568 -2.3600 429.5426 m3/s. 491.4601 m3/s.

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8.- Calculo del Caudal de Diseño 

   

T= T=



50 años 100 años

Qd= Qd=

3151.11 m3/s. 3578.81 m3/s.

MÉTODO DE LEVEDIEV. Este método está basado en suponer que los caudales máximos anuales son variables aleatorias Pearson tipo III. El caudal de diseño se obtiene a partir de la fórmula:

Donde:

    √  

  

Y

Los términos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente significado. A=Coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40años, se toma el valor de 0.7.



= coeficiente de asimetría, se calcula como:

    ∑    () 

Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:

     

Para avenidas producidas por deshielo. Para avenidas producidas por tormentas. Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclónicas.

Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuación (15), se escoge el mayor


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

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= coeficiente de variación, que se obtiene de la ecuación:

     

    ∑ ( )       

=coeficiente que depende de los valores de encuentra de la figura 6.3

(ecuacion16) y de la probabilidad P=1/T, su valor se

N= Años de observación. =intervalo de confianza, en m3/s

=caudal de diseño, en m3/s

=caudales máximos anuales observados, en m3/s =caudal promedio, en m3/s, el cual se obtiene de:

 ∑     

=Caudal máximo probable obtenido para un periodo de retorno determinado, en m3/s.

Figura 6.3 Valores de



en función de



y p.


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

K=coeficiente que depende de la probabilidad P=1/T, expresada en porcentaje de que se repita el caudal de diseño y del coeficiente de asimetría (tabla 6.17)


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EJEMPLO DEL MÉTODO DE LEVEDIEV. Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Levediev para periodo de retorno de 50 y 100 años.

Año(1) 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

TABLA 6.15. CAUDALES MÁXIMOS Caudal m3/s(2) Año(1) Caudal m3/s(2) 1660 1985 563 917 1986 520 3800 1987 360 1410 1988 367 2280 1989 658 618 1990 824 683 1991 850 934 1992 1230 779 1993 522 921 1994 581 876 1995 557 740 1996 818 1120 1997 1030 610 1998 418 1150 1999 953 SOLUCION

1.- Obtención del Caudal Medio

 





Qm=

 

958.30 m3/seg


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2.- Cálculos Previos

Q (m3/seg) AÑO 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 SUMATORIA PROMEDIO

1660 917 3800 1410 2280 618 683 934 779 921 876 740 1120 610 1150 563 520 360 367 658 824 850 1230 522 581 557 818 1030 418 953 28749 958.30

 

-1

0.7322 -0.0431 2.9654 0.4714 1.3792 -0.3551 -0.2873 -0.0254 -0.1871 -0.0389 -0.0859 -0.2278 0.1687 -0.3635 0.2000 -0.4125 -0.4574 -0.6243 -0.6170 -0.3134 -0.1401 -0.1130 0.2835 -0.4553 -0.3937 -0.4188 -0.1464 0.0748 -0.5638 -0.0055

N=


    





0.5362 0.0019 8.7933 0.2222 1.9022 0.1261 0.0825 0.0006 0.0350 0.0015 0.0074 0.0519 0.0285 0.1321 0.0400 0.1702 0.2092 0.3898 0.3807 0.0982 0.0196 0.0128 0.0804 0.2073 0.1550 0.1754 0.0214 0.0056 0.3179 0.0000 14.2049







0.3926 -0.0001 26.0754 0.1047 2.6236 -0.0448 -0.0237 0.0000 -0.0065 -0.0001 -0.0006 -0.0118 0.0048 -0.0480 0.0080 -0.0702 -0.0957 -0.2434 -0.2349 -0.0308 -0.0028 -0.0014 0.0228 -0.0944 -0.0610 -0.0734 -0.0031 0.0004 -0.1792 0.0000 28.0063

30

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3.- Calculo del coeficiente de Variación Cv.



  ∑  (  )   

  

Cv=





0.6881

4.- Determinación del Coeficiente de Asimetría Cs.

∑  (  )   



 





 

Cs=

2.8652

Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores: Para avenidas producidas por deshielo. Para avenidas producidas por tormentas. Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclónicas. Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuación (15), se escoge el mayor.

Consideramos que las avenidas es producida por tormentas 2.0643 Cs= De los dos coeficientes de asimetría se selecciona el mayor Cs= 2.8652

5.- Obtención del coeficiente K 



 

Nos vamos a la tabla con la probabilidad y coeficiente de asimetría y encontramos K.

T= T=

Periodo de Retorno 50 años 100 años

probabilidad 2.00% 1.00%


Cs 2.8652 2.8652

K 3.12 3.98

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6.- Calculo de Er Coeficiente que depende del coeficiente de variación (Cv).

Nos vamos al grafico y con la probabilidad y el Cv y encontramos el Er. Periodo de Retorno probabilidad Cv T= 50 años 2.00% 0.6881 T= 100 años 1.00% 0.6881

Er 0.95 1.02

  

7.- Calculo del Caudal Máximo 

  




T= T=

Qmax 3015.68 3582.78

unidad m3/seg m3/seg

8.- Calculo del Intervalo de Confianza A=Coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40años, se toma el valor de 0.7. A= 0.85

  √ 

  


T= T=

 

444.60 567.12


Qd 3460.28 4149.90


∆

9.- Calculo del Caudal de Diseño 

T= T=







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MÉTODO LOG PEARSON TIPO III Distribución estándar para análisis de frecuencia de caudales máximos anuales en los Estados Unidos (Benson 1968). La transformación Qd = Log Q T se usa para reducir la asimetría; en caso de que la asimetría para esta situación valga cero la distribución log Pearson III se reduce a una log normal.

Siendo:

Donde:

 ̅      ̅   

̅  

= Máxima avenida correspondiente al periodo de retorno T. = promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:

K = factor de frecuencia correspondiente a un T dado. σ Log Q = desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es:

  ̅   *  +

Este factor se obtiene de cuadro mediante el Coeficiente de Sesgo (Cs). El Coeficiente de sesgo, se calcula mediante la fórmula:

 ̅  ∑             


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CURSO: HIDROLOGIA


Valores de K Método de Log Pearson Tipo III


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EJEMPLO DEL MÉTODO DE LOG PEARSON TIPO III Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Log - Pearson III, para periodo de retorno de 50 y 100 años.

Año(1) 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

TABLA 6.15. CAUDALES MÁXIMOS Caudal m3/s(2) Año(1) Caudal m3/s(2) 1660 1985 563 917 1986 520 3800 1987 360 1410 1988 367 2280 1989 658 618 1990 824 683 1991 850 934 1992 1230 779 1993 522 921 1994 581 876 1995 557 740 1996 818 1120 1997 1030 610 1998 418 1150 1999 953 SOLUCION

1.- Cálculos Previos

m

CAUDAL (m3/seg)

log Q

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3800 2280 1660 1410 1230 1150 1120 1030 953 934 921 917 876 850

3.5798 3.3579 3.2201 3.1492 3.0899 3.0607 3.0492 3.0128 2.9791 2.9703 2.9643 2.9624 2.9425 2.9294

 ̅   ̅  



0.4387 0.1941 0.0916 0.0537 0.0298 0.0205 0.0174 0.0091 0.0038 0.0028 0.0022 0.0020 0.0006 0.0001










0.2906 0.0855 0.0277 0.0125 0.0051 0.0029 0.0023 0.0009 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 página 24


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 sumatoria

824 818 779 740 683 658 618 610 581 563 557 522 520 418 367 360 28749

CURSO: HIDROLOGIA

2.9159 2.9128 2.8915 2.8692 2.8344 2.8182 2.7910 2.7853 2.7642 2.7505 2.7459 2.7177 2.7160 2.6212 2.5647 2.5563 87.5225

0.0000 0.0000 0.0007 0.0023 0.0069 0.0098 0.0160 0.0174 0.0235 0.0279 0.0294 0.0399 0.0406 0.0878 0.1244 0.1304 1.4235


0.0000 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0006 -0.0010 -0.0020 -0.0023 -0.0036 -0.0046 -0.0050 -0.0080 -0.0082 -0.0260 -0.0439 -0.0471 0.2757

2.- Calculo del promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:

̅   ̅  ̅ *     + 

  

N=

30

=

2.9174

m3/seg

3.- Calculo de Desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es (   



σ Log Q=



 









)

0.2216

  ∑  ̅  

4.- Calculo del Coeficiente de sesgo (Sc)   

Cs logQ





 

 





   



0.9366

  

5.- Calculo de K (factor de frecuencia correspondiente a un T dado).

P

  *100


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T= T=

Probabilidad 2.00% 1.00%

6.- Calculo del Caudal de Diseño 

T= T=

̅  




  



K 2.5138 2.9804






Qd 2980.93 3782.21

3.4744 3.5777


AHORA DETERMINAS EL CAUDAL DE DISEÑO HACIENDO LA GRAFICA DE TODOS LOS DATOS OBTENIDOS DE CADA METO Y LO COMPARAMOS CON LOS CAUDALES D REGISTRO Y OBTENEMOS 4500.00 4000.00 3500.00 ) G3000.00 E S / 3 2500.00 M ( L A2000.00 D U A1500.00 C

GUMBEL NASH LEVEDIEV LOG - PEARSON III REGISTRO

1000.00 500.00 0.00 0

20

40

60

80

100

TIEMPO (AÑOS)

En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribución que más se acerca a la distribución registrada, es la distribución por el Método de Levediev, por lo cual asumiremos esta distribución para calcular el Qd. CAUDAL DE DISEÑO T (años)

Qd (m3/s)

50 100

3460.28 4149.90


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BIBLIOGRAFÍA 





Villón Bejar, Máximo: hidrología. Segunda Edición: editorial Villón, Febrero del 2002. LimaPerú http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/p osgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppt http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-la-ingenieria-ymedioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdf


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Metodo de Nash

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