Conceptos Nash

l concepto de equilibrio de Nash comienza su desarrollo con Antoine con  Antoine Augustin Augustin Cournot y su trabajo sobre oligopolios oligopolios (1838).  (1838). n !ste se plantea el modelo de "arias empresas que compiten por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir cu#nto producir para intentar ma$imizar su ganancia en %unci&n de la producci&n de las otras. 'e establece un equilibrio de Cournot cuando la producci&n de cada empresa ma$imiza sus bene%icios dada la producci&n de las otras empresas lo que es una situaci&n de estrategia pura en el equilibrio de Nash. os equilibrios de Nash en estrategias puras son limitados en muchos aspectos y %ue con el desarrollo de la teor*a moderna de juegos que surgen los equilibrios en estrategias mi$tas (aquellas en las que los jugadores pueden elegir aleatoriamente entre "arias estrategias). l concepto de equilibrio para este tipo de estrategias %ue introducido por  +ohn "on Neumann y Neumann y ,s-ar orgenstern en su libro Theory of Games and Economic Behavior  (1/00)  (1/00) aunque s&lo trataron los equilibrios para el caso especial de juegos de suma cero. ue +ohn orbes Nash quien Nash quien en su tesis de doctorado (1/21) de%ine los equilibrios que hoy lle"an su nombre tratando de manera ge neral las estrategias mi$tas y demostrando que cualquier juego con un nmero %inito de estrategias tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mi$tas. Nash ganar*a posteriormente un premio Nobel por la amplia gama de aplicaciones que tu"o este concepto en di"ersas ramas de las ciencias. 4osteriormente se encontraron algunos casos en los que los equilibrios de Nash no lle"aban a predicciones totalmente adecuadas para los comportamientos de los jugadores o comportamientos estables que no se pod*an encontrar como equil ibrios de Nash lo que dio paso a la bsqueda y desarrollo de nue"os equilibrios (muchas "eces como re%inamientos de los equilibrios de Nash) y conceptos de soluci&n de un juego.

Definiciones Definiciones formales5editar 6 7n juego rectangular se de%ine como una terna  jugadores

 donde N es el conjunto de

es el conjunto de estrategias para cada jugador j y

son las llamadas funciones de pago pago que a cada conjunto de estrategias (una para cada  jugador) le asocia un respecti"o pago al jugador jugador j.

enotaremos

4or otro lado dado un juego rectangular

 decimos que

estrategia mi$ta del jugador j si para toda entero



es una

y

. l

denota el nmero de estrategias puras del jugador j.

9ntuiti"amente una estrategia mi$ta es un "ector que asocia cierta probabilidad a cada estrategia pura del jugador j de ah* que cada entrada tenga que ser no negati"a y la suma de todas ellas sea 1. n una estrategia mi$ta

del jugador j

el jugador j le asocia a su estrategia pura a letra

se interpreta como el peso o probabilidad que .

denotar# al conjunto de estrategias mi$tas del jugador j y  al producto

cartesiano de los conjuntos

. A cada elemento de  lo llamaremos un per%il de estrategias

mi$tas.

Equilibrios en estrategias puras 5editar 6 ado un juego rectangular

 se dice que

es un equilibrio de Nash en

estrategias puras (ep) si para cada jugador en N se cumple:

y donde

representa el pago para el jugador j cuando !ste decide cambiar su

estrategia por cualquier otra

 mientras que los dem#s jugadores mantienen la

estrategia dada por el per%il ;.

Equilibrios en estrategias mixtas 5editar 6 ecimos que un per%il de estrategias mi$tas < es un equilibrio de Nash en estrategias mi$tas (em) si para cada jugador j ∈N se cumple:

onde

es el pago esperado (o pago promedio) que obtendr# el jugador j al jugarse

siempre el per%il de estrategias mi$tas <. 9ntuiti"amente un per%il de estrategias mi$tas es equilibrio de Nash si en promedio ningn  jugador puede mejorar su pago cambiando sus estrategias mi$tas cuando el resto de los  jugadores se mantenga con la estrategia actual.

Equilibrios de Nash para juegos extensivos 5editar 6  A menudo no es posible modelar un problema de la teor*a de juegos a tra"!s de un juego rectangular y se hace necesario modelarlo como un juego e$tensi"o. n estos casos pueden

buscarse los equilibrios de Nash a tra"!s de la %orma normal del juego o usando di"ersos algoritmos en el juego e$tensi"o como la inducci&n hacia atr#s.

a teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión !us investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos "ipos de interacción aparentemente distintos pueden# en realidad# presentar estructura de incentivo similar y# por lo tanto# se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego$

%unque tiene algunos puntos en com&n con la teoría de la decisión# la teoría de  juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan 'n otras palabras# estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los benecios de cada opción no están jados de antemano# sino que dependen de las elecciones de otros individuos n ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero# popularizado por el matemático %lbert * "uc+er# el cual tiene muc,as implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación ,umana -a teoría psicológica de  juegos# que se arraiga en la escuela psicoanalítica del análisis transaccional# es enteramente diferente

-os analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática# en particular las probabilidades# las estadísticas y la programación lineal# en conjunto con la teoría de juegos %demás de su inter.s acad.mico# la teoría de  juegos ,a recibido la atención de la cultura popular -a vida del matemático teórico /o,n 0orbes 1as,# desarrollador del 'quilibrio de 1as, y que recibió un premio 1obel# fue el tema de la biografía escrita por !ylvia 1asar# na mente maravillosa ($223)# y de la película del mismo nombre (455$) 6arios programas de televisión ,an e7plorado situaciones de teoría de juegos# como el concurso de la televisión de 8atalu9a ("6:) !is a tra;ció (!eis a traición)# el programa de la televisión estadounidense 0riend or foe< (=%migo o enemigo<) y# ,asta cierto punto# el concurso !upervivientes4 >3 considere el siguiente modelo en dos etapas? en un a primera etapa un fabricante produce un bien intermedio# a un coste unitario constante c# que vende el &nico detallista de la zona al precio p@A y en una segunda etapa el detallista revende el bien sin costes adicionales ( salvo el precio pagado al fabricante ) a los consumidores al precio B !uponiendo que la demanda de los consumidores viene representada por qC 3 D :p y que cada una de las empresas tiene como variable de decisión su precio

de venta p@ y p respectivamente# determine mediante inducción ,acia atrás el resultado perfecto en subjuegos en función del coste unitario del fabricante así como la cantidad de e equilibrio y los benecios de cada empresa 1ota? obs.rvese que la demanda del fabricante se determina en la segunda etapa >2 consid.rense las siguientes versiones de un duopolio de stac+elberg? Eercado no regulado Fos empresas ay b compiten en cantidades en el mercado de un bien % decide que cantidad qa produce# y G determina su cantidad qb tras observar q a 1o ,ay costes jos y los costes marginales las empresas son 5 y cb# respectivamente -a función de demanda inversa para ambas empresas es? p(q)C aD4qaDqb# donde q C qa H qb Eercado regulado %ntes de que las empresas decidan sus cantidades a producir# el gobierno regula el mercado mediante el establecimiento de un sistema de subvenciones a la empresa G ( empresa en desventaja # pues cree que con ello aumentara la competencia entre ambas empresas y así ma7imizara el bienestar social  así antes de que ninguna empresa decida su producción ## el gobierno ,ace p&blico que realizara una subvención en la empresa G de un t um por unidad producida ( esto es equivalente a considerar que los costes marginales de b pasan de cb a cbIC (cb J t ) ) y dada la subvención que es conocimiento com&n # las empresas deciden sus cantidades a producir # tambi.n es conocimiento com&n que la medida de bienestar social que utiliza el gobierno para determinar el valor de t es * C (a JqaDqb)4 J($Ha) (tqb) $ 'n la versión de mercado no regulado# ,alle razonadamente el resultado perfecto en subjuegos y los benecios de ambas empresas en equilibrio 4 4 'n la versión de mercado regulado y con aC$K cbC> alfa C4 determine el resultado perfecta en subjuegos =cuál será la subvención que se dará a la empresa G< : : "eniendo en cuenta los parámetros del apartado 4 =es correcta la creencia del gobierno respecto a la discriminación política de subvenciones establecida<