Funciones de distribución:
Método de Nash
Elaborado por: -Ángeles Vera Jesús Giovanni -Juárez Ángeles César Enrique -Sierra Infante Fernando
Introducción
Métodos estadísticos • Se basan en considerar co nsiderar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. • Datos necesarios: ▫
Registro de caudales máximos anuales: Cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo del caudal de diseño el cual se calcula para un determinado período de retorno.
• Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro, registro, por lo que, la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo, si se quiere inferir un caudal con un período de retorno mayor al tamaño del registro.
Conceptos aplicados al método
Ecuación de regresión lineal
Mínimos cuadrados
Conceptos aplicados al método
Ecuación de regresión lineal Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos: La relación entre las variables es lineal. Los errores en la medición de las variables explicativas son independientes entre sí. Los errores tienen varianza constante. (Homocedasticidad) Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables). El error total es la suma de todos los errores.
Es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε.
Conceptos aplicados al método
Mínimos cuadrados Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua. En síntesis es un procedimiento objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión.
Método de Nash El método de Nash fue propuesto hacia finales de los años sesenta, y permite estimar el gasto máximo ( ) asociado a un período de retorno (Tr), a través de una ecuación de regresión lineal. Nash considera que el valor del caudal para un determinado período de retorno se puede calcular con la ecuación:
= + lo ( − 1) ±
Análisis de la Fórmula
= + lo ( − 1) ± Q
------------- (1)
En donde: “a” y “c” = Constantes obtenidas a partir del registro de gastos máximos anuales. = Gasto para un periodo de retorno, en m³/Seg. Tr= Periodo de Retorno. Q= Intervalo de variación. •
•
•
•
•
La constante “a” se valúa de los registros en la forma siguiente.
=
(
∑ ∗ ∑ ) − (∑ ∗ ∑ ) ∑ − (∑ )
En donde: •
•
•
•
= Gasto en /seg n= Numero de años o datos de registro. Xi= Constante para cada gasto registrado, fracción de un periodo de retorno. mi= Numero de orden asignado de forma descendiente.
= loglog − 1 ----- (3) +1 = --- (4)
----------- (2)
•
La constante “c” se valúa de los registros en la forma siguiente.
− (∑ ∗ ∑ ) ∑ = ∑ − (∑ )
------ (5)
•
Los parámetros a y c también se estiman utilizando el método de mínimos cuadrados, con la ecuación lineal: Q = a + bX , utilizando las siguientes ecuaciones: =
−∗ − ∑ = ∑ −
En donde: •
•
•
•
•
= Gasto máximo anual registrado en /seg. = Gasto medio en /seg.
= log( − 1) ∑ = ∑ =
N= Numero de años o datos de registro. = Constante para cada gasto registrado, fracción de un periodo de retorno. = Valor medio de X.
Intervalo de variación •
Para determinar el intervalo dentro del cual puede variar el Qmax calculado por la ecuación 1 se utiliza la siguiente ecuación.
= ±2 En donde:
+ − 1 1 ( − ) ------- (6) − 2 ( − 1)
= − ( ) = −
------------- (7) ------------- (8)
= − ------------- (9)
ᵢ = log(− 1) ∑ =
Qmax
Año
(m³/s)
1954
3850
1955
3200
1956
3660
1957
4220
1958
5980
1959
5001
1960
9800
1961
3912
1962
3623
1963
3100
1964
2800
1965
2920
1966
3950
1967
3600
1968
3112
1969
3953
1970
9010
1971
3665
1972
2521
1973
3640
1974 Ʃ
5223
90740
•
Ejemplo: Con los siguientes datos obtenidos de la estación hidrométrica “D-001” obtener:
a)Calcular el gasto de diseño para un periodo de retorno (Tr) de 60 años
Procedimiento: 1. Se ordenan los datos de mayor a menor gasto y se les asigna un valor mi en función del orden decreciente. 2. Se calcula expresión:
con la siguiente
3. Se calcula expresión.
con la siguiente
+ 1 =
= loglog − 1 4. Se calcula
y (Por año).
5. Para el cálculo de “a” se suman cada una de las columnas:
6. Se sustituyen los valores en la ecuación :
∗ ∑ ) − (∑ ∗ ∑ ) ∑ = ∑ − (∑ ) 90,740 ∗ 11.8475 − (−69,853.4072 ∗ −12.3967) = 21 ∗ 11.8475 − ( −12.3967) (
= 2,198.1906
7. Se calcula la constante C con la expresión:
− (∑ ∗ ∑ ) ∑ = ∑ − (∑ )
=
21
∗ −69,853.4072 − (−12.3967 ∗ 90,740) 21 ∗ 11.8475 − (−12.3967)
= −3,595.9567
8. Sustituyendo en la ecuación de Nash para determinar el gasto máximo de diseño:
= + lo ( − 1) ± Q = 2,198.1906
= −3,595.9567 = 60
60
−
log(
= 2,198.1906+ ( 3,595.9567)
. m³/seg±
= ,
60
−
) 1
Cálculo del Intervalo de Variación
=
∗
21 11.84
− −12.3967 = 94.9618
= ±2 (− 1) + − −1 2 ∗ 1 ( − )
− 90,740 =1,486,176,362 = − ()
= 21 ∗ 462,853,522 = 21 ∗ −69853.4072 − 90,740 −12.3967 = −342,044.9932 )=-2.1367 = log( = −12.3967 = −0.5903 21
= log(− 1) = − = ∑ = −
1 1 (−342044.9932)² = ±2* 1486176362 ∗ + −2.1367 − ( −0.5903) (1486176362 − 21 (21 − 1) 21 − 2 94.9618 94.9618
Ʌ = ±1,421.7677 ³/
Intervalo de Variación
= ,.m /seg + 1,421.7677 ³/ ³
.m /seg + 1,421.7677 ³/
= ,
³
.m /seg ± 1,421.7677 ³/
= ,
³
Bien drenada = Suma, mal drenada = resta.
¿Cuándo es bien drenada o mal drenada? Depende principalmente la capacidad de drenaje de la cuenca que se esta estudiando.
= =
Cuencas con drenaje pobre: Dd alrededor de 0.5 km/ .
Cuencas bien drenadas: Dd alrededor de 3.5 km/ .
Valores altos, cuencas bien drenadas.
Comprobación de resultados mediante Software HidroEsta
Criterio para la aceptación de resultados Nash permite ser juzgado en su calidad de ajuste a los datos reales y por lo tanto en su confiabilidad de resultados, a través del coeficiente Rxy, el cual, en términos generales debe oscilar entre -0.99 a 0.99 para que sea aceptada tal modelo estadístico.
=
∗
Sustituyendo valores en la ecuación:
=
,.
. ∗1486176362 = -0.2879
Con este resultado concluimos que los resultados obtenidos por método de Nash son confiables ya que Rxy está dentro del intervalo.
Tarea Los gastos máximos anuales registrados en la estación hidrométrica Huixtla se muestran en la tabla. a)Se planea construir un bordo para protección contra inundaciones, calcular el gasto de diseño para un periodo de retorno de 75 años Nc= 182
Lc= 95.21
Ac= 321.14
Referencias: Tesis: Alternativa de Proyecto Ejecutivo protección de la margen izquierda del río Bobos, localidad de Javier Rojo Gómez, Tlapacoyan Veracruz Félix Axayacatl Rodríguez Rodríguez. Monografía: “ANÁLISIS DE LA SOCAVACIÓN DESDE EL PUNTO DE VISTA HIDRÁULICO E HIDROLOGICO DEL PUENTE “PIXQUIAC”, UBICADO EN LA LOCALIDAD Y MUNICIPIO DE COAPEPEC, VER. “ OSWALDO SADOT HUESCA DÍAZ
Agradecemos su atención
