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SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

Análisis Sismo Resistente

INTRODUCCIÓN Cuando los sistemas son complejos, es muy difícil o imposile en la p!áctica encont!a! soluciones pa!a el p!olema de encont!a! las !espuestas del sistema a un conjunto "p!oalemente complejo# de e$citaciones% Como un medio p!actico de !esoluci&n, 'o!d Raylei() p!opuso inicialmente sustitui! el p!olema inicial de * (!ados de lie!tad con uno de * (!ado de lie!tad% +oste!io!mente Rit e$tendi& el m-todo pa!a utilia! .a!ios (!ados de lie!tad% +oste!io!mente "a/os 012# se comen& a e$plo!a! el m-todo de los elementos 3nitos, 4ue puede se! conside!ado como una aplicaci&n pa!ticula! del m-todo de Raylei()5Rit% 6n t-!minos muy ásicos consiste en sudi.idi! el sistema en un nume!o finito de elementos de (eomet!ía simple, y 4ue tienen un compo!tami compo!tamiento ento est!uctu! est!uctu!al al ien conocido conocido "a!!as, "a!!as, .i(as, .i(as, placas,%%#% 6n cada cada elemento se dispone de de un set pe4ue/o de funciones funciones de fo!ma 4ue dependen dependen de los .alo!es .alo!es en cie!tos cie!tos puntos puntos del del elemento elemento "nodos#% Al impone! condiciones de continuidad ent!e los elementos se lle(a a una soluci&n 4ue puede se! muy ce!cana al .alo! e$acto%

Facultad Ingenie!a Ci"il



SISTEMAS CON ƞ GRADOS DE LIBERTAD MÉTODO DE RAYLEIGH – RITZ Un método muy aceptado por los códigos de construcción actuales es el Método de Rayleigh, el cual cual permit permite e calcul calcular ar con buena buena aproxi aproximac mación ión la frecue frecuenci ncia a fundamen fundamental tal de un sistema sistema de grados de libertad mediante un proceso relativamente sencillo. Este Este método método fue desarr desarroll ollado ado utiliz utilizando ando la ley de la conser conservac vación ión de la energ energa, a, permit permitien iendo do analizar sistemas de m!ltiples grados de libertad como un sistema e"uivalente de un grado de libertad, en función de una sola coordenada generalizada.

6ste m-todo e$p!esa el desplaamiento de cual4uie! punto $ como una cominaci&n de funciones dependientes de $ 4ue son ponde!adas po! una amplitud dependiente del tiempo7

#a mayor mayora a de las las estr estruc uctu tura ras s puede pueden n ser ser ideal idealiz izad adas as como como un vola voladi dizo zo vert vertic ical al,, cuyo cuyos s desplazamientos se relacionan con las coordenadas generalizadas mediante

Dond Dondee

es la la coor coorde dena nada da gen gener eral aliz izad adaa depe depend ndie ient ntee del del tiem tiempo po que que cor corre resp spon onde de al

desplazamiento del extremo libre del voladizo y

es la función de forma para cualquier punto

N&tese 4ue las ne(!illas indican cantidades .ecto!iales% 'a ecuaci&n ante!io! puede se! con.enientemente esc!ita como7 Facultad Ingenie!a Ci"il



a lo largo del mismo. En los sistemas con m!ltiples grados de libertad se hace necesario expresar las fuerzas el$sticas y amortiguadoras en función de los desplazamientos relativos

y velocidades relativas a los extremos de cada elemento

%ara %ara form formul ular ar la ecua ecuaci ción ón de movim movimie ient nto o en térm términ inos os de una una coor coorde denad nada a gene general raliz izada ada es necesario "ue las masas estén concentradas al nivel de los pisos y se encuentren acopladas simple simplement mente. e. &plic &plicando ando el princi principio pio del traba' traba'o o virtual virtual,, en las cuales cuales dado dado un despla desplazam zamien iento to virtual, el traba'o de las fuerzas en e"uilibrio din$mico es igual a cero

El desplazamiento virtual puede ser escrito como

(ónde)

#as fuerzas de inercia, amortiguamiento y el$stica pueden ser expresadas como

*ue siendo siendo sustit sustituid uidas as en la aplic aplicaci ación ón del traba' traba'o o virtual virtual,, result resulta a la siguie siguiente nte ecuaci ecuación ón de movimiento en términos de las coordenadas generalizadas

(onde (onde

,

,

y

son los par$met par$metros ros general generaliza izados dos +masa +masa genera generaliz lizada, ada, amortig amortiguami uamiento ento

generalizado, rigidez generalizada y fuerza generalizada, respectivamente, definidos por




%ara una aceleración en la base dependiente del tiempo, la fuerza generalizada se convierte en

(onde # es el factor de participación del terremoto

%uede resultar conveniente conveniente expresar expresar el amortiguamien amortiguamiento to generalizado generalizado en términos términos del porcenta'e de amortiguamiento crtico de la siguiente manera

(onde

representa la frecuencia circular del sistema generalizado y est$ dada por

El Método de Rayleigh (ado un sistema el$stico sin amortiguamiento, la m$xima energa potencial en términos de la coordenada generalizada puede escribirse como

- la energa cinética

(e acuerdo con el principio de conservación de la energa, estos valores m$ximos deben ser iguales entre s e iguales a la energa total del sistema. %or tanto, el método de Rayleigh consiste en determinar la frecuencia natural del sistema mediante la igualación de ambas energas m$ximas

- el perodo es




Multiplicando y dividiendo por

y utilizando

,

#a cual aparece en el artculo / del R01234.

8odos p!opios, f!ecuencias f!ecuencias natu!ales y 9R9s de una .i(a

A 3n de e$p!esa! la ene!(ía potencial se de3nen los si(uientes .ecto!es "en el caso más (ene!al#7

: el ope!ado! de dife!enciaci&n espacial espacial D "pa!a el caso (ene!al#7 (ene!al#7

'o 4ue nos pe!mite e$p!esa! fácilmente la defo!maci&n7

'a ene!(ía cin-tica puede se! e$p!esada como7




Usando7

Donde la mat!i de masa se define po!7

+o! su lado, la ene!(ía potencial se e$p!esa e$p!esa como7

Donde la densidad de ene!(ía de defo!maci&n es7

: dado 4ue pa!a7 Donde ; es la mat!i de ;oo
Donde la mat!i de !i(ide = se de3ne po!7

6l .ecto! de ca!(a ( se calcula a pa!ti! de la ene!(ía potencial e$te!na asociada a las fue!as de cue!po cue!po $ y de supe!3cie t7 Con7




'o 4ue nos pe!mite esc!ii! la ecuaci&n del mo.imiento7

9unciones de fo!ma y desplaamientos a$iales de la a!!a Baa E#$%tada& 6$p!esemos las defo!maciones posiles como7 6ntonces7 Facultad Ingenie!a Ci"il



: la mat!i de !i(ide

Con lo 4ue el p!olema )omo(-neo 4ueda7




RO>'68AS D6 A+'ICACIÓN +RO>'68A N?*7 +a!a +a!a la est!uctu!a most!ada en la 3(u!a, se pide7 6ncont!a! los .alo!es p!opios ;alla! los modos de .i!aci&n

Soluci&n7

Ciclo *7 +a!a la aplicaci&n del m-todo de Raylei(), supon(amos 4ue la defo!maci&n p!oduce desplaamientos7 desplaamientos7 @*"t#  * y @B"t#  B 'a má$ima ene!(ía potencial es entonces7

: la má$ima ene!(ía ene!(ía cin-tica es7




I(ualando la má$ima ene!(ía potencial con la má$ima ene!(ía cin-tica y despejando la f!ecuencia natu!al da7

'a f!ecuencia natu!al calculada como fB%B cps es solamente una ap!o$imaci&n ap!o$imaci&n al .alo! e$acto, puesto 4ue la fo!ma (ene!al de la defo!maci& defo!maci&n n fue supuesta supuesta con el p!op&sito p!op&sito de aplica! aplica! el m-todo m-todo de Raylei()% +a!a mejo!a! este .alo! calculado pa!a la f!ecuencia natu!al, conside!emos el modelo matemático del sistema estudiado7

'as ecuaciones de e4uili!io otenidas i(ualando a ce!o la suma de las fue!as en los dia(!amas de cue!pos li!es del sistema, dan7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7

Ciclo B7 Int!oduciendo estos .alo!es mejo!ados de los desplaamientos $* y $B en las ecuaciones "a# y "#, pa!a !ecalcula! !ecalcula! la má$ima má$ima ene!(ía ene!(ía potencial y la má$ima ene!(ía cin-tica, !esulta7 !esulta7




Eue despu-s de i(uala! Fma$ y Tma$, otenemos7

6ste Gltimo .alo! calculado pa!a la f!ecuencia natu!al fB%BH cps, pod!ía mejo!a!se con la aplicaci&n de una nue.a ca!(a inicial en el sistema, asada en este Gltimo .alo! de la f!ecuencia natu!al, !epitiendo un nue.o ciclo de cálculos% Ciclo 7

Tami-n7 Tami-n7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7

6ne!(ías cin-tica y potencial má$imas7

9!ecuencia an(ula! y natu!al7

Ciclo J7





: !esol.iendo7

O en la !a&n7



Ciclo K7


: !esol.iendo7

O en la !a&n7






'a tala muest!a los !esultados otenidos en cinco ciclos% Cicl% Ra'(n de de*%#aci(n

Caga inecial Fecuencia 9*

9B

Fecuenc ia

natual

angula

)ei%d% +,eg-

+c$,-

+ad.,eg-

B%B

*%J2

2%KHK

/

*7 B%22

0

*7 *%1H

KH% 2%2KJ

B%BH

*%*JK

2%11J

1

*7 *%1J

K%1*J 1K%2

B%B

*%*B

2%11

2

*7 *%1

K%KB 1%2K

B%B

*%*

2%11

3

*7 *%1

K%KJ 1B%12

B%B

*%*

2%11

Cuad% c%#$aati"% Fecuencia

M4t%d% Ra5leig6

M4t%d% $%lin%#i% caacte!,tic%

*%* !adLse(

*%*B !adLse(

)ei%d%

2%11 se(

2%11 se(





+RO>'68A N?B7 +a!a el sistema de B ni.eles 4ue se muest!a en la fi(u!a, dete!mina! sus pe!iodos y fo!mas de modo modo de .i!aci&n "(  H2 cmLse(B#

Soluci&n7 Ciclo *7 +a!a la aplicaci&n del m-todo de Raylei(), supon(amos 4ue la defo!maci&n p!oduce desplaamientos7 @*"t#  * y @B"t#  B 'a má$ima ene!(ía potencial es entonces7

: la má$ima ene!(ía ene!(ía cin-tica es7

I(ualando la má$ima ene!(ía potencial con la má$ima ene!(ía cin-tica y despejando la f!ecuencia natu!al da7

'a f!ecuencia natu!al calculada como fB%1 cps es solamente una ap!o$imaci&n ap!o$imaci&n al .alo! e$acto, puesto 4ue la fo!ma (ene!al de la defo!maci&n fue supuesta con el p!op&sito de aplica! el m-todo de Raylei()% +a!a mejo!a! este .alo! calculado pa!a la f!ecuencia natu!al, conside!emos el modelo matemático del sistema estudiado7

'as ecuaciones de e4uili!io otenidas i(ualando a ce!o la suma de las fue!as en los dia(!amas de cue!pos li!es del sistema, dan7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7 Ciclo B7 Int!oduciendo estos .alo!es mejo!ados de los desplaamientos $* y $B en las ecuaciones "a# y "#, "#, pa!a !ecalcula! la má$ima ene!(ía ene!(ía potencial y la má$ima ene!(ía cin-tica, !esulta7 !esulta7

Eue despu-s de i(uala! Fma$ y Tma$, otenemos7

6ste Gltimo .alo! calculado pa!a la f!ecuencia natu!al fB%2B cps, pod!ía mejo!a!se con la aplicaci&n de una un a nue.a ca!(a inicial en el sistema, asada en este Gltimo .alo! de la f!ecuencia natu!al, !epitiendo un nue.o ciclo de cálculos% Ciclo 7


: !esol.iendo7

O en la !a&n7 6ne!(ías cin-tica y potencial má$imas7


Ciclo J7


: !esol.iendo7

O en la !a&n7



Ciclo K7


: !esol.iendo7

O en la !a&n7



'a tala muest!a los !esultados otenidos en cinco ciclos% Cicl% Ra'(n de

Caga inecial Fecuencia

de*%#aci 9* (n

9B

Fecuenc ia

)ei%d%

natual

angula

+,eg-

+c$,-

+ad.,eg-

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*7 B%22

B%1

*%2*H

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0

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1%1*B %*H B%2B

*%12J

2%K1H

1

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12%*K 1*%HJB B%22

*%KHB

2%K*

2

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12%1 KH%HHK B%22

*%KH2

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3

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12%1*H KH%12 B%22

*%KH2

2%K*

Cuad% c%#$aati"%

M4t%d% Ra5leig6

M4t%d% $%lin%#i% caacte!,tic%

Fecuencia

*%%KH * KH2 2 !adL !adLsse(

*%* * %*K2 K2 !ad !adLs Lse( e(

)ei%d%

2%K* se(

2%11 se(

. 1alcule el periodo fundamental, la configuración del primer modo y la frecuencia natural de la estructura mostrada a continuación, usando el método de Rayleigh.

Solución 1. Selec Selecció ción n de las las fuerza fuerzas s later laterale ales s #as cargas laterales en el método de Rayleigh vienen dadas por las fuerzas de inercia, es decir, el producto de cada masa con su respectiva aceleración. %uesto "ue solo conocemos las masas, las fuerzas fuerzas de inerci inercia a se escoge escogen n arbitr arbitrari ariamen amente, te, con valore valores s descen descenden dentes tes desde desde las masas masas superiores hacia las inferiores. 1omo en nuestro caso las propiedades de la estructura son similares en cada nivel, se asume "ue las aceleraciones, y por tanto las cargas inerciales, varan linealmente desde el nivel del techo. (ado "ue la magnitud de las fuerzas de inercia es irrelevante, asumimos los valores de 5, 6, 7 y / 8ip para cada nivel +de las masas superiores a las inferiores por conveniencia en los c$lculos. 2. Corta ortant nte e de de pis piso o Empl Emplean eando do el métod método o de las las secc seccio ione nes, s, con con las las fuer fuerza zas s de inerc inercia ia como como carg cargas as exte externa rnas, s, calculamos el cortante en cada uno de los niveles de la estructura. (icho de una manera simple, el cortante en un nivel es igual a la suma de las fuerzas laterales en las masas superiores al mismo.

3. Desplaza Desplazaien ientos tos relati!os relati!os de cada cada ni!el ni!el (e la ley de 9oo8e se tiene "ue el desplazamiento relativo de las masas es igual al cortante dividido por la rigidez del entrepiso.

". Desp Desplaz laza aien iento to total total de de cada cada ni!e ni!ell Es la acumulación de los desplazamientos d esplazamientos relativos por cada nivel.

#. $unc $unció ión n de de for fora a :e obtiene dividiendo los desplazamientos de cada nivel entre el m$ximo desplazamiento +el del nivel superior

%. Masa asa gener general aliz izad ada a

&. $uer $uerza za gene genera raliz lizad ada a

'. (er) (er)od odo o fund funda aen enta tall

*. $rec $recue uenc ncia ia natu natura rall

1+. Configuración del prier odo odo de !i,ración !i,ración

Resuen de los c-lculos ME0D DE RE456 0ivel

; +8
7

3./

5

B7 3./C

B5

B53

A

+mi+Ai>/

+%i+Ai

3.

B

3./33

5

3./55D

3.5664

3.B545

C./333

3./BBB

3.6

3.B33

/.C

3.BBBB

3.

3.3/45

3.6664

3.3333

3.3333

3.C7C5

B6.7333

3. 3 .3445 3. 3 .B333

/ /3

v

3. 3.3777

7

B5 B 53 3./C

@ + ?<;

6

B5 B 53

B

? +; 5

3./C

/

% +;

B5 B53



m +;=s>/
3.BBBB

.,ser!ación/

0ótese "ue en el método de Rayleigh Ritz, el vector " corresponde solo a una

ponderación para las funciones de forma 0. :in embargo en el método de elementos finitos el vector vector de desplazamientos correspon corresponde de efectivamente efectivamente con los desplazamientos de ciertos grados de libertad. .,ser!ación/

Una matriz de masa definida d efinida por + es llamada consiste consistente, nte, utiliza las mismas mism as 3aproximaciones usadas para definir a la matriz de rigidez. .,ser!ación/

El uso de las matrices de masa no consistentes hace perder la garanta de "ue las frecuencias naturales encontradas son sobre estimadas.

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