Metodo de Flexibilidades en Marcos Planos1

UNIVERSIDAD ANDINA NÉSTOR CÁCERES VELÁSQUEZ FILIAL-AREQUIPA

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Curso: Análisis Estructural II Tema: método de flexibilidades --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

METODO DE FLEXIBILIDADES


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METODO DE FLEXIBILIDADES FLEXIBILIDADES INTRODUCCION Frecuentemente se le conoce también como método de las fuerzas virtuales porque se utilizan fuerzas ficticias unitarias sustituyendo a las redundantes de reacción desconocida en una estructura hiperestática y para su aplicación práctica es de gran utilidad la tabla de las integrales de Mohr. En este método el primer paso es convertir la estructura hiperestática en isostática, resolverla resolverla y comparar sus diagramas de momento flexionan f lexionante te contra los diagramas contenidos en cada una de las etapas, en estas etapas se resuelve la misma estructura hiperestática con una carga unitaria cada una, esta carga se sitúa en el mismo lugar y sentido, donde estarían las reacciones de los apoyos que se quitaron para convertir la estructura hiperestática en isostática. Después de hacer la comparación de los diagramas y hacer los cálculos de acuerdo a la ecuación que indique la tabla de integrales de Mohr, se resuelve la matriz de flexibilidades. El arreglo matricial obedece a las ecuaciones de compatibilidad, la complejidad de las cuales, a su vez, depende del grado de indeterminación de la estructura hiperestática. Una vez resuelta la matriz se obtienen los resultados de las reacciones en los apoyos que se quitaron para hacer la estructura isostática. En la presente guía se pretende trabajar con el método de la flexibilidad y se estudia más a fondo, principalmente con el fin de destacar y de incluir el cálculo de los desplazamientos desplazamient os en la formulación matricial de cualquier problema que se pudiese plantear. Hay que destacar que mediante este método los cálculos se hacen más organizados y formalizados. El análisis suele dividirse en dos partes regularmente: o

o

Una fase de planteamiento que se hace al inicio del análisis estructural, Una fase matemática que es rutinaria rutinari a en naturaleza y solo considera operaciones matriciales.

APLICACIONES DEL METODO DE LAS FLEXIBILIDADES En el método de la flexibilidad puede utilizarse con fines de programación si se trata de una clase más limitada de estructuras. La estructura libre puede seleccionarse de acuerdo con alguna regla particular particula r y, por tanto, la solución puede programarse programa rse de un modo definido. El factor más importante en decir es el tamaño de la matriz que se va a invertir. Hay muchas estructuras que tienen menos grados de indeterminación estática que cinemática, y en tal caso, el método descrito en la presente guía presenta una solución completa y sistemática de la estructura. En ingeniería civil y específicamente en estructuras, el Método de flexibilidad es el clásico método consistente en deformación para calcular fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas estructurales. Su versión moderna formulada en términos de la matriz de flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de Método de Matriz de Fuerza debido al uso de las fuerzas en los miembros como las primariamente primariamente conocidas.


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Flexibilidad de Miembros La flexibilidad es el inverso de la rigidez. Por ejemplo, considera un resorte que tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y deformación: La relación de rigidez del resorte es Q = k q donde k es la rigidez del resorte.  Su relación de flexibilidad es q = f Q, donde f es la flexibilidad del resorte.  Por lo tanto, f = 1/k .  la relación de flexibilidad de un miembro típico tiene la siguiente forma general:

Donde m = número de miembros m. = vector de las características de deformación del miembro. = matriz de flexibilidad del miembro la cual caracteriza la susceptibilidad del miembro a deformarse bajo fuerzas. = vector de fuerzas características independientes del miembro, las cuales son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes dan subida a todas las fuerzas en los extremos de los miembros mediante equilibrio de miembro. = vector de deformaciones características de los miembros causados por efectos externos (tales como fuerzas conocidas y cambios de temperaturas) aplicadas a los miembros aislados, desconectados.

Para un sistema compuesto de muchos miembros interconectados en puntos l lamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros puede ser puesta junto dentro de una sola ecuación de matriz, soltando el superíndice m:

METODO BASICO DE LAS FLEXIBILIDADES: Este método contempla el siguiente procedimiento básico 1. Determinar el grado de Hiperestaticidad 2. Eliminar las restricciones para obtener una estructura isostática 3. Enumerar las restricciones eliminadas (Van de 1 - G.H) 4. Determinar los desplazamientos que ocurren en la estructura en dirección de las fuerzas eliminadas. 5. Plantear la matriz de flexibilidades (Estado Cero) 6. Plantear las ecuaciones de compatibilidad 7. Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático, para obtener las reacciones restantes.


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METODO LIBERACION-DEFORMACION: Este método utilizado para el análisis estructural es básicamente una variante del método de flexibilidades, en el cual los nodos de un marco se liberan inicialmente, examinándose sus discontinuidades y desplazamientos relativos, expresados de forma matricial para posteriormente lograr su solución.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODAL: Son utilizadas para reducir el número de fuerzas desconocidas en miembros independientes. La ecuación de equilibrio nodal tiene la siguiente forma:

MÉTODO DE FLEXIBILIDADES EN VIGAS CONTINUAS A continuación, se muestran algunos ejemplos donde se aplica dicho método para el mejor entendimiento del mismo:

El primer paso es convertir esta estructura en una estructura isostática, dado que es indeterminada de grado 3 conviene quitar el empotramiento, ya que, de estas maneras quedarán con únicamente tres incógnitas, pero considerando que en este caso no tenemos carga horizontal se consideran únicamente 2 incógnitas. Ahora se comenzará a analizar la estructura por etapas, en la etapa cero se resuelve la estructura hiperestática con las cargas originales, y en las siguientes etapas se resuelve la misma estructura isostática pero ahora la carga será unitaria y sustituirá a cada una de las reacciones que fueron eliminadas para convertir la estructura hiperestática en isostática, tal y como


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sucede en este caso con las etapas 1 y 2.

Se consideraron 2 etapas ya que solo se considero que habría 2 reacciones, el momento en el empotre y la reacción vertical, pudieron haber sido 3 pero no se considera en este caso la reacción horizontal ya que no hay carga horizontal alguna en la viga, por lo tanto las ecuaciones de compatibilidad quedarían de la siguiente manera.


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Primero se comenzó haciendo la comparación entre el diagrama de la etapa 1 contra este mismo diagrama por ello la F indica dos número 1 como subíndice.

Comparación entre las etapas 1 y 2 del punto A al punto B se comparan un triangulo con un cuadrado y del punto B al C se comparan dos triángulos, de los cuales sus máximos coinciden en el mismo lado.

Nótese que F21 tiene el mismo valor que F12 ya que representa exactamente la misma comparación de diagramas de la tabla de integrales de Mohr. La matriz de condición quedaría de la siguiente manera.

Los valores resultantes de la solución de la matriz son los valores de las reacciones que se propusieron unitarias durante las etapas 1 y 2, el valor de R1 equivale a la reacción vertical en el punto A mientras que la R2 es el valor del momento en ese mismo punto provocado por el empotramiento. Con los valores de estas dos reacciones sólo nos queda encontrar las reacciones de los puntos B y C, dado que ya sólo nos quedan dos reacciones por encontrar, podemos resolver el problema haciendo uso de las ecuaciones de la estática como sigue: + MB=0 0=3-((2.25)(4))+((2)(6)(3))-6RC Despejando RC resulta RC=5.


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+ ΣFy=0

0=-2.25+RB-((2)(6))+5 Despejando RB tenemos RB= 9.25 Finalmente

conociendo todas las reacciones, ya es posible calcular los diagramas de elementos mecánicos que nos dan idea del comportamiento de la estructura en condiciones de carga.

METODO DE FLEXIBILIDADES EN MARCOS PLANOS La flexibilidad en marcos planos se tienen como incógnitas una por cada componente reacciones desconocida y tres por cada barra que forma el marco, en tanto que las ecuaciones de equilibrio disponibles son tres por cada nudo y una ecuación de condición por cada articulación, por lo que la condición de isostaticidad es: r+3m=3n+c y el grado de hiperestaticidad es: (r+3(m-n)-c) Donde: -

m es el número de miembros en el marco r es el número de incógnitas de reacción n el Número de nudos considerando apoyos c al número de ecuaciones de condición (una por cada articulacion).


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Si r+3m=3n+c El marco es estáticamente determinado (isostático). Si r+3m > 3n+c El marco es estáticamente indeterminado (hiperestático). Si r+3m < 3n+c El

marco

es

inestable

(hipostático)


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APLICATIVO N°1: determina los diagramas de fuerzas cortantes, momentos flexionantes y fuerza normal del siguiente marco:

Solución: 1- grado de indeterminación de la armadura: m=3 r=5 n=4 c=0

r + 3m = 3n + c ………………….5+3*3=3*4+c=====14>12 marco estáticamente determinada(isostática) GI=14-12=2 2- método de las fuerzas 2.1. Etapa cero.- cálculo del momento máximo en el centro del claro

w∗l Mmax =

8

2


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2.2. Etapa 1.- se calcula el momento unitario o ficticia M=1 en el punta A

2.3. Etapa 2.- se determina una matriz con las dos ecuaciones la real y ficticia,

las cuales la ecuación de condición seria:


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Calculo de las reacciones

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Diagrama de fuerzas cortantes y diagrama de momentos flectores


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METODO DE FLEXIBILIDADES EN ARMADURAS EXTERNAS E INTERNAMENTE INDETERMINADAS En el caso de araduras planas, el desplazamiento en un nudo dado se calcula considerando la siguiente expresión:

Donde: -

N: fuerza axial en las barras

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n= fuerza axial en las barras debido a las cargas ficticia.


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La armadura depende del tipo de indeterminación de la armadura, recordemos que en las armaduras hay indeterminación interna y externa. La fórmula utilizada para calcular el grado de indeterminación en armaduras planas se basa en la condición de isostaticidad: r+b=2j, de donde el grado de indeterminación se obtiene como: r+b-2j Donde -

r: representa el número de reacciones en los apoyos b: representa el número de barras o miembros que conforman a la

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armadura j: el número de nudos incluyendo los apoyos. Se pueden presentar las siguientes

Situaciones: -

Si r+b = 2j, la armadura es isostática Si (r+b) > 2j,la armadura es hiperestática Si (r+b) < 2j, la armadura es inestable.

APLICATIVO N°2: determina las reacciones y las fuerzas internas de la barras de la armadura mostrada:


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Solución: REAL 1- grado de indeterminación de la armadura: r=4 b=9 j=6 r + b = 2j………………….4+9=2*6=====13>12 la armadura es hiperestática GI=13-12=grado 1 2- calculo de las reacciones de cada apoyo:

3- calculo de las fuerzas internas de cada barra:


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FICTICIA Etapa en donde se calcula de la misma armadura isostática pero ahora en el nudo D del lugar del apoyo simple, tenemos una carga unitaria con sentido contrario a la gravedad, como si fuera la reacción ejercida por el apoyo.

RTA: por comodidad de cálculo las fuerzas de la barra se colocan en una tabla:


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Donde: N(0)= fuerzas en los miembros de la armadura real. n(1)= fuerzas en los miembros de la armadura ficticia. LNn = producto de N(0)n(0) y L la longitud. Lnn = producto del cuadrado de los resultados de la etapa 1nn y L longitud N+n(R1)=resultado de esta es el valor final de las fuerzas de cad miembros de la armadura. T= fuerzas de tracción. C=fuerzas de compresión.


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METODO DE LAS RIGIDECES

El análisis estructural esta atribuido al cálculo de las fuerzas internas y ́ desplazamientos que desarrollan los elementos de una estructura cuando esta se ve sometida a la aplicación de cargas externas. La finalidad del cálculo matricial consiste en agrupar toda la información necesaria en matrices que relacionan todas las variables como son las cargas, propiedades mecánicas de los miembros de la estructura y los desplazamientos desconocidos, que a su vez describen ecuaciones de equilibro en todos los nudos de la estructura, por lo tanto, la solución puede ser de manera automática mediante el uso de programas o software de ordenadores que es la práctica habitual hoy en día. En esta oportunidad se presenta el método de la rigidez o método de los desplazamientos para el análisis de estructuras bidimensionales, que consiste en la relación de una carga y el desplazamiento que esta produce asumiendo un comportamiento elástico y lineal del material para un estado de pequeñas deformaciones, o también se puede definir la rigidez como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en el sentido y dirección de la carga. El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método


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está diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre).

DESCRIPCION DEL METODO El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido), la forma de la barra (recta, curvada) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos. Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas). Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnitas y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3 N para problemas bidimensionales, e igual a 6 N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen: 



Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen desplazamientos incógnita. Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones incógnita.

Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por


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tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.

MÉTODO DE LA RIGIDEZ UTILIZANDO UNA COMPUTADORA Una de las características más importantes del método de la rigidez es la forma en que las propiedades elásticas de las piezas, y su orientación dentro de la estructura, son introducidas en el cálculo antes de que se efectúe ninguna consideración sobre el equilibrio o la compatibilidad de los nudos. Esto nos permite establecer relaciones entre las fuerzas de extremo de barras y los desplazamientos de nudo. Estas relaciones expresadas en forma matricial se denominan o conforma la matriz de rigidez de barra. Al considerar la interrelación de cada barra con las demás se obtiene un sistema global de ecuaciones que define el comportamiento de toda la estructura y nos conduce a la solución del problema. Podemos considerar seis etapas fundamentales en la solución de un problema: 1) Identificación estructural 2) Cálculo de la matriz de rigidez de barra y del vector de cargas nodales equivalentes 3) Cálculo de la matriz de rigidez global y del vector de cargas global de la estructura.


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4) Introducción de las condiciones de borde 5) Solución del sistema de ecuaciones 6) Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones nodales.

IDENTIFICACION ESTRUCTURAL Esta etapa consiste en definir a través de números y datos las barras de la estructura. a) Definir un sistema de ejes globales para la estructura. Las coordenadas de los nudos se refieren a dicho sistema. b) Conectividad de los elementos, identificando para cada barra el nudo inicial y el final. A cada barra está asociado un sistema de ejes locales al cual se refieren todas las dimensiones y características de la barra. El mismo queda definido automáticamente por el orden establecido para la numeración de los nudos de la barra. El eje x local coincide con el eje geométrico de la barra, siendo el sentido positivo el que va del nudo inicial (nudo de menor numeración) al final (nudo de mayor numeración). Los otros ejes locales deberán coincidir con los ejes principales de Inercia de la sección transversal de la barra formando un triedro directo. c) Propiedades de la sección transversal de cada barra. Dependiendo del tipo de estructura (reticulado, pórtico plano, pórtico espacial, emparrillado) se debe dar el área de la sección transversal, los momentos de inercia en relación a los ejes principales y la inercia a la torsión. d) Propiedades del material. Se debe indicar, para cada barra, el módulo de elasticidad longitudinal y/o el módulo de elasticidad transversal. e) Especificación de los vínculos: se debe indicar el nombre del nudo que tiene una o más restricciones y cuales son las mismas. f) Descripción de la carga: se da el nombre del nudo y los componentes de globales de las cargas externas y las reacciones de empotramiento perfecto en relación a los ejes locales de la barra, si hay cargas en el tramo. Matriz de Rigidez y Vector de Cargas Nodales


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MATRIZ DE RIGIDEZ Y VECTOR DE CARGAS a) Barra de reticulado plano Consideremos una barra de reticulado plano, supongamos que la misma esté arbitrariamente orientada con relación a un sistema de ejes globales X e Y. b) Supondremos que la barra es recta, de sección transversal constante y que el material responde a la ley de Hooke.


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c) Barra de Pórtico Plano En base al significado físico de los elementos de la matriz de rigidez, deduciremos la Matriz de Rigidez para una barra de Pórtico Plano en coordenadas locales. Para este tipo de elemento corresponden tres desplazamientos por nudo (2 traslaciones y una rotación en el plano).


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CARGAS NODALES EQUIVALENTES Hasta ahora hemos supuesto que las cargas estaban aplicadas en los nudos, y por lo tanto existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de aplicación de las cargas y los desplazamientos que están siendo calculados. Si esto no ocurriera, por ejemplo tuviéramos cargas en el tramo de las barras, en forma distribuida o concentrada, debemos sustituir las cargas en las mismas por un sistema de cargas equivalentes aplicadas en los nodos que produzca en la estructura el mismo efecto que las cargas originales. Aplicando el principio de superposición, que es válido por haber supuesto que el sistema es lineal, podemos descomponer las cargas tal como se indica en la f igura:


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MÉTODO DE RIGIDECES EN VIGAS CONTINUAS Ejemplo:

Paso 1

Paso 2

Paso 3 Es aquí donde se hace uso de la imposición de las rotaciones unitarias


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Paso 4

ΣMB=0 MBAe + MBCe + (KBA + KBC) θB= 0 6 – 2.66 + (0.66EI+EI) θB = 0 3.34+1.66EI θB=0

Despejando nos queda: Paso 5 Para simplificar la manera de ver este ejercicio, digamos que calcularemos por secciones comenzando por el punto A:


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Metodo de Flexibilidades en Marcos Planos1

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