Método de Area de Momentos
Introducción El conocimiento del cálculo de giros y desplazamiento es necesario para poder entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga. El presente trabajo esta basado en uno de los métodos para calcular el giro y desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el diagrama de momentos. Contiene cinco problemas resueltos según el marco teórico que ayudará al lector a tener base para la comprensión de temas posteriores y un glosario de palabras técnicas de uso seguido que facilitará la interpretación en el desarrollo del trabajo.
I. GENERALIDADES 1.1 Objetivos: El objetivo principal es aplicar los conocimientos previos dediagramación, en este caso del momento flector, para calcular pendientes y deflexiones en una viga sometida a cargas puntuales o distribuidas. a) Teorema 1: · Entender la relación de la curvatura con la pendiente de la elástica.
· Establecer las condiciones iniciales, de giros, y utilizar medios diferenciales para el cálculo de la pendiente. b) teorema 2: · Establecer una relación entre la curva y la deflexión. · Calcular el desplazamiento vertical de la elástica usando el diagrama de momentos. 1.2 Glosario a) Módulo de elasticidad: (E) El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica apli ca una fuerza. Siendo una constante independiente del esfuerzo y es siempre si empre mayor que cero.
b) Eje neutro: Es la intersección de la superficie neutra (superficie que no sufre deformación e=0) con la sección transversal.
c) Curva elástica: Llamada también Elástica. La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de
desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final.
d) Giro (θ):
Al trazar rectas tangentes a la curva elástica estas forman con la horizontal ángulos muy pequeños, estos ángulos son los ángulos de giro de la curva elástica.
II. MARCO TEÓRICO Método De Área Momento Este método se basa en la relación que existe entre el momento M y la curvatura y proporciona medios prácticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexión de la curva elástica de vigas y pórticos. El método tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de la curva elástica y el segundo la curvatura con la deflexión.
De la ecuación general de flexión tenemos:
Integrando:
Tengamos presente que
curvatura de un elemento viga.
2.1.Teorema 1: El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A. Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece.
2.2 Teorema 2:
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos: , si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.
Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de
entre A Y B.
El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con
respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A. Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha. III. EJERCICIOS
5.- calcular la desviación total de la viga:
http://ingcivil-2008.blogspot.com/2008/05/mtodo-de-area-de-momentos.html
Metodo de Area de Momentos INTRODUCCIÓN
En el semestre anterior se vio el tema de “Deflexiones”, se demostró matemáticamente con la integración de una ecuación diferencial para encontrar la pendiente y deflexión de un elemento estructural (viga). Utilizamos el momento flector M(x) de la distancia x por toda la viga, formulándonos la ecuación diferencial de la curva elástica:
integrando dos veces que calculamos con las condiciones de borde; así mismo la determinación de la pendiente máxima ( ϴ) y flechas (V). El desarrollo del trabajo constara de propiedades geométricas de la curva elástica y también encontrar la pendiente y las deformaciones de la viga en un punto. Se estudiaran en este caso diagramas que representan la variación de en la viga y analizaremos áreas definidas entre dos puntos extremos de la viga que es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica. Luego la desviación de la tangente en un extremo de la viga sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde el otro extremo será lo mismo el momento del área bajo la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A. Este método es importante porque se encuentra la pendiente y desplazamientos en cualquier punto de la viga basados en diagramas de momentos. El desarrollo del trabajo se basa en dos teoremas que se aplican en el contenido. GENERALIDADES OBJETIVOS
Objetivos generales
Al término del trabajo estaremos en condiciones de: -Aprender los conceptos básicos en relación del comportamiento físico de los diversos elementos que conforman una estructura.
-Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas. -Analizar los diseños en elementos estructurales (vigas). Objetivos específicos
-Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexión (Vigas). -Identificar los diversos tipos de cargas. -Reconocer la parte teórica en hechos cotidianos. LIMITACIONES
La ecuación está limitada al estudio de dimensiones pequeñas debido a las condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad. La ecuación es válida para vigas que no estén sometidas a cargas que exceda del límite elástico de sus materiales.
JUSTIFICACIONES
El trabajo que se está desarrollando sobre “El Método de Área de Momentos”, es básico p ara nuestra formación profesional, de ahí su estudio, es de suma importancia por el aporte de investigación y de análisis del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio para obtener resultados reales, con la finalidad de tomar decisiones en mejoras de la comunidad.
GLOSARIO
: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A, se mide en radianes.
: Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B, se denomina flecha. Momento flector : Se denomina momento flector un momento de fuerzaresultante de una
distribución de tensiones sobre una sección transversal es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. Diagrama de momento flector : Para elementos lineales el momento flector Mf(x) se define como
una función a lo largo del eje transversal del mismo, donde "x" representa la longitud a lo largo del eje. El momento flector así definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Al trazar rectas tangentes a la curva elástica estas forman con la horizontal ángulos muy pequeños, estos ángulos son los ángulos de giro de la curva elástica. Giro (θ) :
MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS
De “La Ecuación General De Flexión” tenemos:
Integrando:
Integrando:
Tengamos presente que
curvatura de un elemento viga.
TEOREMA I “El ángulo o cambio de pendiente comprendido entre las tangentes de dos puntos cualesquiera de una línea elástica continua es igual al área total correspondiente del diagrama de momentos, dividida por EI”.
TEOREMA II
“La ordenada B respecto a la tangente en A es igual al momento estático, con respecto a B, del área del diagrama de momentos flectores comprendida entre A y B, dividida por EI”.
Si existe un punto de inflexión en la línea elástica entre A y B:
Pasos A Realizar: 1.Encontrar el diagrama de momentos. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa. Para encontrar ϴ fijar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido. Cambio en ϴ = área bajo M/EI Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo. El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. ( *Área bajo la curva de M/EI midiendo desde el punto al que se le va a hallar la deflexión). Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece. Convención De Signos La desviación tangencial, en un punto cualesquiera es positivo si el punto queda por encima de la tangente respecto de la cual se toma esta desviación negativa se queda por debajo de dicha tangente.
La pendiente, un valor positivo en la variación de la pendiente ϴ B/A indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se tiene girando en sentido anti horario la tangente trazada en el punto más a la izquierda es decir que para pasar la tangente en A la tangente en B se gira en sentido anti horario y viceversa para valores negativos.
Concavidad Y Convexidad De Deformada Y Su Relación Con El Diagrama De Momentos:
Si el diagrama de momentos es (+) en el tramo analizado, la deformada entonces será cóncava.
Si el diagrama de momentos es (-) en el tramo analizado, la deformada entonces será convexa.
Diagrama de momentos flectores por partes En muchas aplicaciones se simplifica el cálculo de ángulos y la desviación tangencial, si el efecto de cada carga se evalúa separadamente. Se dibuja un diagrama M/EI para cada carga y se obtiene el ángulo sumando algebraicamente las áreas bajo los diferentes diagramas. La desviación tangencial se obtiene añadiendo los momentos del primer orden de estas áreas, con respecto al eje vertical que pasa por el punto. El diagrama de momento Flector o de M/EI obtenidos de estas maneras se denomina trazado por partes.Las áreas y los centroides de formas comunes:
EJEMPLOS E-1. Determinar la pendiente y la deflexión del extremo B de la viga cargada en voladizo AB, sabiendo que la rigidez a la flexión de la viga es EI = 10 MN-m2 .
Solución: Reemplazamos la carga dada por las dos cargas equivalentes mostradas en la fig. y dibujamos los diagramas de los momentos flectores y de M/EI correspondiente de derecha a izquierda por el extremo libre B.
E-2. Para la viga y carga mostrada, determinar la pendiente y la deflexión del punto D.
E-3. Para la viga, cargada como en la figura, determinar la desviación y la pendiente tangencial en el tramo AC.
Solución: Dibujamos los diagramas de los M/EI :
E-4. Para la viga, cargada como en la figura, determinar las pendientes tangenciales en B y en C.
Solución:
Dibujamos los diagramas de los M/EI :
E-5. En la siguiente viga con cargas y una rótula. Determinar sus reacciones y la distancia “y”.
Solución:
Dibujamos los diagramas de los M/EI :
Diagrama de deflexiones (el momento es negativo entonces la curva elástica es convexa y el momento es positivo entonces la curva elástica es cóncava)
ANEXOS
http://patricia-vateccofic2008.blogspot.com/2008/05/metodo-de-area-de-momentos.html
