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MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS. El Método de redistribución de momentos o método de Cross es un método de análisis estructu estructural ral para para vigas estática estáticamente mente indeter indeterminadas minadas y y marcos/pórticos marcos/pórticos planos, desarrollado por Hardy Cross. Cross . Fue publicado en 19! 19! en en una revista de la "#CE. El método solo calcula el e$ecto de los momentos $lectores e $lectores e ignora los e$ectos a%iales a%iales y y cortantes cortantes,, lo cual es su$iciente para $ines prácticos en barras esbeltas. &esde 19! 'asta (ue las computadoras comen)aron a ser ampliamente usadas en el dise*o y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos $ue el más ampliamente usado en la práctica. +osteriormente otros métod métodos os como como el mét métod odo o mat matri ricia ciall de la ri rigid gide) e) (ue (ue se pued puede e progr programa amarr de manera muc'o más sencillo 'an llegado a ser más populares (ue el método de redistribución de momentos de Cross. En el método de redistribución de momentos, para anali)ar cada articulación articulación o o nodo de la estructura, se considera $ia en una primera $ase a $in de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos . &espués cada articulación $ia se considera liberada secuencialmente y el momento en el e%tremo $io -el cual al momento de ser liberado no está en e(uilibrio se distribuyen a miembros adyacentes 'asta (ue el e(uilibrio e(uilibrio es es alcan)ado. El método de distribución de momentos en términos matemá matemátic ticos os puede puede ser ser demos demostra trado do como como el proce proceso so de reso resolve lverr una una serie serie de sistemas de ecuaciones por ecuaciones por medio de iteración iteración.. El méto método do de redi redist stri ribu buci ción ón de mome moment ntos os cae cae dent dentro ro de la cate catego gor0 r0a a de los métodos de desp!"!miento del análisis estructural.
Momentos de empotr!miento en e#tremos $i%os omentos de empotramiento en e%tremos $ios son los momentos producidos al e%tremo del miembro por cargas e%ternas cuando las untas están $ias. 2igide) a la Fle%ión 3a rigide) a la $le%ión es la propiedad (ue tiene un elemento (ue le permite resistir un l0mite de es$uer)os de $le%ión sin de$ormarse. 3a rigide) $le%iona $le%ionall -E4/3 de un miembr miembro o es repre represe senta ntada da como como el produ producto cto del del módu módulo lo de ela elastic sticida idad d -E y el #egundo momento de área, área , también conocido como omento de 4nercia -4 divid dividido ido por por la longi longitu tud d -3 del del miembr miembro, o, (ue es nece necesar saria ia en el métod método o de distribución de momentos, no es el valor e%acto pero es la 2a)ón aritmética de aritmética de rigide) de $le%ión de todos los miembros. Coe$icientes de distribución
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3os coe$icientes de distribución pueden ser de$inidos como las proporciones de los momentos no e(uilibrados (ue se distribuyen a cada uno de los miembros. 5n momento no e(uilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente en él, esta distribución se 'ace directamente proporcional a la rigide) a la $le%ión (ue presenta cada uno de estos miembros. Coe$icientes de transmisión 3os momentos no e(uilibrados son llevados sobre el otro e%tremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. 3a ra)ón de momento acarreado sobre el otro e%tremo entre el momento en el e%tremo $io del e%tremo inicial es el coe$iciente de transmisión. 67alores t0picos8
•
•
!, para nodos sin empotramiento
•
! para nodos empotrados
Convención de signos 5n momento actuando en sentido 'orario es considerado positivo. Esto di$iere de la :convención de signos; usual en ingenier0a, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el ee positivo < a la derec'a y el ee positivo = 'acia arriba, resultando en momentos positivos sobre el ee > siendo anti 'orarios. Estructuras de marcos Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser anali)adas utili)ando el método de distribución de momentos.
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Eemplo
3a viga estáticamente indeterminada mostrada en la $igura será anali)ada. •
iembros "?, ?C, C& tienen la misma longitud
•
3as rigideces a Fle%ión son E4, @E4, E4 respectivamente.
•
Cargas distancia
concentradas
de
magnitud
.
actAan
a
una
desde el soporte ".
•
Carga uni$orme de intensidad
•
iembro C& está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud
actAa en ?C.
.
En los siguientes cálculos, los momentos anti 'orarios son positivos. omentos en E%tremos Fios
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Coe$icientes de 2eparto
Coe$icientes de transmisión
3os coe$icientes de transmisión son -por(ue la sección es constante, e%cepto para el $actor de acarreo desde & -soporte $io a C el cual es cero. &istribución de omentos
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BAmeros en gris son momentos balanceados $lec'as -D / representan el acarreo de momento desde un e%tremo al otro e%tremo de un miembro. 2esultados •
omentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de momentos.
3a convención de signos usual en ingenier0a es usada a(u0, i.e. 3os momentos positivos causan elongación en la parte in$erior de un elemento de viga. +ara propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados, usando un método matricial. Bota (ue en el análisis superior, el proceso iterativo $ue llevado a !.!1 de precisión. El 'ec'o de (ue el resultado de análisis de matri) y el resultado de análisis de distribución de momentos iguale a !.!!1 de precisión es mera coincidencia. •
omentos en articulaciones determinados por el método matricial
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3os diagramas completos de cortante y momento $lector son como sigue. Bota (ue el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las untas. &esarrollando diagramas de momentos $lectores completos re(uiere de cálculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el e(uilibrio interno de la sección.
INDETERMIN&CIÓN EST&TIC&. #e re$iere a un e%ceso de reacciones y $uer)as internas desconocidas, comparadas con las ecuaciones de e(uilibrio de la estática. Esto da lugar a clasi$icar las estructuras como estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas. 3as $uer)as internas o reacciones desconocidas (ue no se pueden obtener con las ecuaciones de e(uilibrio se denominan $uer)as redundantes y el nAmero de $uer)as redundantes de$ine el grado de indeterminación estática o 'iperestáticidad. E%isten dos tipos de indeterminación estática8 e%terna e interna, la indeterminación e%terna se re$iere al nAmero de reacciones redundantes de la estructura y la indeterminación interna al nAmero de $uer)as de la estructura (ue no pueden conocerse con las ecuaciones de la estática. El grado total de indeterminación es la suma de ambas. 3as Estructuras se dividen, desde el punto de vista de los métodos de análisis, en isostáticas o estáticamente determinadas, 'iperestáticas o estáticamente indeterminadas. 3as primeras son a(uellas (ue se pueden resolver utili)ando Anicamente las ecuaciones de e(uilibrio de la estática. +or el contrario, para anali)ar estructuras 'iperestáticas es necesario plantear, además de las ecuaciones de e(uilibrio, ecuaciones de compatibilidad de de$ormaciones entre los elementos de la estructura y los apoyos.
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MÉTODO DE '&S ('E)IBI'ID&DES. En ingenier0a estructural, el Método de $e#ibiid!d es el clásico método consistente en de$ormación para calcular $uer)as en miembros y despla)amientos en sistemas estructurales. #u versión moderna $ormulada en términos de la matri) de $le%ibilidad de los miembros también tiene el nombre de Método de M!tri" de (uer"! debido al uso de las $uer)as en los miembros como las primariamente conocidas. Fle%ibilidad de iembros 3a $le%ibilidad es el inverso de la rigide). +or eemplo, considera un resorte (ue tiene Q y q como, respectivamente, su $uer)a y de$ormación8 •
3a relación de rigide) del resorte es Q = k q donde k es la rigide) del resorte.
•
#u relación de $le%ibilidad es q = f Q , donde f es la $le%ibilidad del resorte.
•
+or lo tanto, f G 1/k .
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3a relación de $le%ibilidad de un miembro t0pico tiene la siguiente $orma general8
&onde m G nAmero de miembros m.
G vector de las caracter0sticas de de$ormación del miembro. G matri) de $le%ibilidad del miembro la cual caracteri)a la susceptibilidad del miembro a de$ormarse bao $uer)as. G vector de $uer)as caracter0sticas independientes del miembro, las cuales son $uer)as internas desconocidas. Estas $uer)as independientes dan subida a todas las $uer)as en los e%tremos de los miembros mediante e(uilibrio de miembro. G vector de de$ormaciones caracter0sticas de los miembros causados por e$ectos e%ternos -tales como $uer)as conocidas y cambios de temperaturas aplicadas a los miembros aislados, desconectados -i.e. con . +ara un sistema compuesto de muc'os miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de $le%ibilidad de los miembros puede ser puesta unto dentro de una sola ecuación de matri), soltando el super0ndice m8
&onde M es el nAmero total de caracter0sticas de de$ormación de miembros o $uer)as en el sistema. " di$erencia del étodo matricial de la rigide) , donde las relaciones de rigide) de los miembros pueden ser $ácilmente integradas mediante el e(uilibrio nodal y condiciones de compatibilidad, la presente $orma de $le%ibilidad de la ecuación -@ posee serias di$icultades. Con $uer)as de miembros como las primeras desconocidas, el nAmero de ecuaciones de e(uilibrio nodal es insu$iciente para la solución, en general66a menos (ue el sistema es estáticamente indeterminado. Ecuaciones de E(uilibrio Bodal +ara resolver esta di$icultad, primero 'acemos uso de las ecuaciones de e(uilibrio nodal en disposición de reducir el nAmero de $uer)as desconocidas en miembros independientes. 3as ecuaciones de e(uilibrio nodal para el sistema tienen la $orma8
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&onde 8 7ector de $uer)as nodales a todos los B rados de 3ibertad del sistema. 8 3a matri) resultante de e(uilibrio nodal 8 El vector de $uer)as derivado desde cargas en los miembros. En el caso de los sistemas determinados, la matri) b es cuadrada y la solución para * puede ser encontrada inmediatamente - siempre (ue el sistema sea estable. El #istema +rimario +ara sistemas Estáticamente 4ndeterminados , M > N , y por lo tanto, podemos aumentar - con I = M-N ecuaciones de la $orma8
El vector ) es el también llamado vector de 2edundancia $uer)as y I es el grado de indeterminación estática del sistema. 5sualmente elegimos j , k ,..., , and suc' t'at es una reacción en el soporte o una $uer)a interna en un e%tremo del miembro. Con austables elecciones de $uer)as redundantes, el sistema de ecuaciones - aumenta por -I puede ser a'ora resuelto para obtener8
#ustituyendo en -@ da8
3as ecuaciones - y -J son la solución para el sistema primario el cual es el sistema original (ue 'a sido 'ec'o estáticamente determinado por cortes (ue e%ponen las $uer)as redundantes . 3a ecuación - e$ectivamente reduce el conunto de $uer)as desconocidas a . Ecuación de Compatibilidad y #olución &espués, necesitamos crear ecuaciones de compatibilidad en disposición de encontrar . 3as ecuaciones de compatibilidad devuelven la continuidad re(uerida a los cortes de sección $iando los despla)amientos relativos a los redundantes ) a cero. Kue es, usando el étodo de 5nidad de Fuer)a Falsa 8
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o &onde
Ecuación -Lb puede ser resuelta para ), y las $uer)as en miembros son después encontradas desde - mientras los despla)amientos nodales pueden ser encontrados por
&onde es la matriz de flexibilidad del sistema .
El movimiento de los soportes tomando lugar a las redundantes puede ser incluido en el lado derec'o de la ecuación -L, mientras el movimiento de soportes a otros lugares debe ser incluido en
y
también.
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BIB'IO+R&(I& CONSU'T&D&.
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F5B&"EBMN# &E "B"34#4# E#M25CM52"3 MNN 44, E&4MN24"38
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M2433"#, "5MN28 ON#E "BMNB4N ?5EB2N#M2N, @da E&4C4NB, P +ágs. EC"B4C" &E "ME24"3E# +"2" 4BEB4E24", E&4MN24"38
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?"3?5EB", 1ra E&4C4NB. QQQ.estructurasdeaceroprocivil.com.m% "2CH47N# &E "B"34#4# E#M25CM52"3.