METODO DE ANÁLISIS DIMENSIONAL Una útil útil herramienta de la mecánica mecánica de fluidos moderna, que está cercanamente cercanamente relacionada con el principio de similitud, es el campo de las matemáticas conocido como como anál anális isis is dime dimens nsio iona nall - las las mate matemá máti tica cas s de las las dime dimens nsio ione nes s de las las cantidades. cantidades. Aunque se puede argumentar argumentar con éxito que la similitud similitud y el análisis análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican las mismas cosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus métodos son lo suficientemente diferentes para justificar el tratamiento de los mismos como tópicos diferentes. es es méto método dos s del del anál anális isis is dime dimens nsio iona nall se !asa !asan n so!r so!re e el prin princi cipi pio o de la homogeneidad dimensional de "ourier #$%&&', el cual esta!lece que una ecuación que expresa expresa una relaci relación ón f(sica f(sica entre entre cantida cantidades des de!e de!e ser dimens dimension ionalm alment ente e homogénea) esto es, las dimensiones de cada lado de la ecuación de!en ser las mismas. *ara *ara ilus ilustr trar ar los los pasos pasos matem matemát átic icos os en un pro!l pro!lem ema a dime dimens nsio iona nall senc sencil illo lo,, considérese la familiar ecuación de la estática de fluidos, p + h *ero supóngase supóngase que se conocen las dimensione dimensiones s de y de h, y que las de p son desconocidas. desconocidas. as dimensones dimensones de p sóo pueden ser alguna com!inació com!inación n de , , y /, y esta esta com! com!in inac ació ión n puede uede descu escu!r !rir irse se escr escri! i!ie iend ndo o la ecua ecuaci ción ón dimensionalmente como #0imensiones de p' + #0imensiones de ) * #0imensiones de h'
1n la cual a, !, y c son descono conoc cidas. Al aplicars arse el princip cipio de la homo homoge genei neida dad d dime dimensi nsion onal al,, el expo exponen nente te de cada cada una, una, de las las dime dimensien nsienes es fundamentales es el mismo en cada lado de la ecuación, lo que da a + $,
! +-&2 $ + -$,
c+-&
#0imensiones de p' + -$/-& + 3/& 1s o!4i o!4io, o, *or *or supu supues esto to que que este este resu result ltad ado o podr podria ia ha!e ha!ers rse e o!te o!teni nido do mas mas directamente por la cancelación de en el miem!ro derecho de la ecuación, ya que este ha sido, y continuara siéndolo, el metodo mas usual de o!tener las dimensiones desconocidas de una cantidad.
TEOREMA " PI " DE PUCKINGHAN 5uando el número de 4aria!les son 6 o más. utili7ando este teorema, se pueden agrupar estas magnitudes en un número de grupos adimensionales significati4os, a partir de los cuales puede esta!lecerse una ecuación. 1stos grupos adimensionales son los grupos 8. 9i en el fenómeno f(sico en cuestión inter4ienen n magnitudes f(sicas q, de las cuales : son dimensiones fundamentales y otras q #tales como 4elocidad o densidad', entonces, matemáticamente, f#q$, q&, ;, qn' + < = > #8$, 8&, ;, 8n-:' + <
0onde cualquier número x no depende más que de #: 2 $' magnitudes f(sicas q y cada uno de los números 8 son funciones independientes adimensionalmente de las magnitudes q. 1l procedimiento es el siguiente?
$. se escri!en las n magnitudes f(sicas q, que inter4ienen en un pro!lema en particular, anotando sus dimensiones y el número : de dimensiones fundamentales. 1xistirán #n - :' números :) &. seleccionar : de esas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones ni & que tengan las mismas. /odas las dimensiones fundamentales de!en incluirse en las seleccionadas) @. el primer grupo 8 puede expresarse como el producto de las magnitudes elegidas, ele4ada cada una a un exponente desconocido y una de las otras magnitudes ele4ada a una conocida) 6. mantener las magnitudes elegidas en el paso & como 4aria!les repetidas y escoger una de las restantes para esta!lecer un nue4o número 8. epetir esto para o!tener los otros números 8) B. en cada grupo 8, determinar los exponentes desconocidos mediante el análisis dimensional. 1n otras pala!ras, Cexiste un número de parámetros adimensionales independientes fijo para un pro!lema dado, y es gual a la diferencia entre el número total de 4aria!les menos el número de dimensiones fundamentalesC. 1s decir, l+DE
Do o!stante, el teorema 8 de Fuc:ingham sólo sienta la !ase teórica para afirmar que la reducción de D a parámetros se puede reali7ar, pero no indica el cómo hacerla ni cuánto 4ale a reducción no es única en cada caso.
PARÁMETROS ADIMENSIONALES COMUNES os parámetros adimensionales profundi7an en forma significati4a nuestro entendimiento so!re los fenómenos del flujo de fluidos en forma análoga al caso del gato hidráulico. 0onde la relación entre los diámetros del pistón. Un número adimensional que es independiente del tamaGo real del gato, determina la 4entaja mecánica. 1stos parámetros permiten que resultados experimentales limitados sean aplicados a situaciones que in4olucran dimensiones f(sicas diferentes y a menudo propiedades fluidas diferentes. uchos de los parámetros adimensionales pueden ser 4istos como la relación de un par de fuer7as fluidas, cuya magnitud relati4a indica la importancia relati4a de una de las fuer7as con respecto a la otra. *arámetro adimensional en mecánica de fluidos que relaciona las fuer7as de inercia con las fuer7as 4iscosas.
Número de Reynold H nu 4
0ensidad del fluido Iiscosidad del fluido ongitud del canal Ielocidad del fluido
Dúmero de "roude
*arámetro adimensional en mecánica de fluidos que relaciona las fuer7as de inercia con las fuer7as gra4itatorias.
4 - Ielocidad de referencia del fluido g - gra4edad y - profundidad #calado' de referencia del fluido
Número de !eer *arámetro adimensional que relaciona las fuer7as de inercia con la tensión superficial del fluido. /iene especial importancia cuando la cur4atura de la superficie del fluido es compara!le con la profundidad del fluido a estudio. *or eso es de consideración sólo cuando toma 4alores inferiores o iguales a la unidad. 1n caso contrario se pueden despreciar los efectos producidos por la tensión superficial.
9iendo, H - 0ensidad del fluido J E /ensión superficial del fluido. E *rofundidad de referencia del flujo. 4 - Ielocidad de referencia del fluido.
S#m#l#$%d y eme&'n(' eom$r#+', d#n-m#+' y +#nem-$#+' Seme&'n(' eom$r#+'. 9egún esta teor(a, los casos más simples de las semejan7as de fenómenos, es la semejan7a geométrica. 0os fenómenos #cosas' son geométricamente semejantes si todas las correspondientes dimensiones lineales que las caracteri7an son proporcionales. os criterios de semejan7a geométrica son relaciones entre cualesquier correspondientes dimensiones lineales. 1n los fenómenos geométricamente semejantes, todos los criterios homónimos de semejan7a geométrica son iguales.
Seme&'n(' +#nem-$#+'. 0os fenómenos son cinemáticamente semejantes si con la semejan7a geométrica, tiene lugar al mismo tiempo, proporcionalidad y orientación igual de los 4ectores de 4elocidad en todos los puntos adecuados. os criterios principales de semejan7a cinemática son ángulos que determinan la posición de un cuerpo respecto al 4ector 4elocidad de la corriente li!re.
Seme&'n(' d#n-m#+' . 0os fenómenos son dinámicamente semejantes si con la semejan7a cinemática tiene lugar la proporcionalidad y orientación igual de los 4ectores fuer7as en todos los puntos adecuados de dichos fenómenos ha!lando en rigor, la semejan7a dinámica se consigue solo si tiene lugar la semejan7a completa de fenómenos cuando todas las magnitudes f(sicas similares son iguales en todos los puntos correspondientes. *ara o!tener en la práctica la similitud de fenómenos aerodinámicos !asta lograr la proporcionalidad de las fuer7as de ro7amiento y presión lo que simplifica mucho este pro!lema .
SEME/AN0A GEOM1TRICA 9e produce cuando las relaciones entre las dimensiones del modelo del prototipo son iguales . 0e!e existir para las magnitudes con dimensiones de longitud #longitudes, anchuras, alturas' escala que de!er(a de ser la misma para todas ellas e independientes del punto considerado, es decir única en todo el espacio.
SEME/AN0A CINEMÁTICA 9e produce cuando las relaciones entre las 4aria!les cinemáticas del modelo y del prototipo son iguales decir la semejan7a geométrica es un requisito para la semejan7a en las l(neas de corriente#llamada semejan7a cinemática' . as caracter(sticas cinemáticas del mo4imiento se estudiaran mediante la magnitud 4elocidad #espacio recorrido por una part(cula en un cierto tiempo'.
SEME/AN0A DINAMICA 9e produce cuando las relaciones entre las distintas fuer7as que actúan so!re el modelo y el prototipo son iguales. 1sta semejan7a dinámica determina la semejan7a del mo4imiento #cinemática' como se desprende si consideramos el equili!rio dinámico del elemento cerrando el pol(gono de fuer7as mediante el 4ector #fuer7a de inercia', que es igual y de sentido contrario a la resultante de todas las fuer7as exteriores del pol(gono
