MODUL 3
-1-
MODUL 3 : METODA PERSAMAAN TIGA MOMEN
3.1. 3.1. Judu Judull
:METO :METODA DA “PER “PERSA SAMA MAAN AN TIGA TIGA MOME MOMEN” N” UNTU UNTUK K MENY MENYEL ELES ESAI AIKA KAN N
STRU ST RUKT KTUR UR
STAT ST ATIS IS
TIDA TIDAK K
TERTENTU
Tujuan Pembelajaran Umum
Setela Setelah h membac membacaa bagian bagian ini mahasi mahasiswa swa akan akan memaha memahami mi bagaim bagaimana anakah kah metoda “Persamaan Tiga Momen” itu dan langkah-langkah apakah yang dikerjakan untuk menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu.
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa selain dapat memahami metoda “Persamaan Tiga Momen” juga dapat menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu yaitu menghitung semua semua gaya-g gaya-gaya aya luar luar (reaksi (reaksi perlet perletakan akan)) dan gaya-ga gaya-gaya ya dalam dalam (gaya (gaya normal normal,, gaya gaya lintan lintang, g, momen) momen) strukt struktur ur terseb tersebut ut dengan dengan menggu menggunak nakan an metoda “Persamaan Tiga Momen”.
3.2. .2. Pend nda ahu hulu lua an
Pada metoda “Consistent Deformation” yang telah kita bahas pada modul 2, kita menjadikan gaya luar yaitu reaksi perletakan sebagai gaya kelebihan pada suatu struktur statis tidak tertentu. Dengan menghilangkan gaya kelebihan yang ada, struktur struktur dijadikan dijadikan statis tertentu. tertentu. Akibat beban yang yang ada dan akibat gaya kelebihan kelebihan sebagai beban dihitung dihitung deformasi deformasi dari struktur struktur statis tertentu tersebut. Dengan melihat kondisi geometris asli dari struktur statis tidak tertentu, disusun per persa sama maan an
“Con “Consi sist sten entt
Defo Deform rmat atio ion” n”..
Deng Dengan an
pers persam amaa aan n “consistent
deformation” yang tersusun gaya-gaya kelebihan dapat dihitung, gaya-gaya yang lain dapat dicari dicari dengan persamaan persamaan keseimban keseimbangan gan statis. statis. Metoda “Consistent
Deformation” dapat dipakai pada struktur balok portal maupun konstruksi rangka batang statis tidak tertentu, sedangkan metoda “Persamaan Tiga Momen” yang
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-2-
akan kita bahas ini hanya dapat dipakai untuk struktur balok dan portal statis tidak tertentu. Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada struktur tersebut diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua persyaratan yaitu : a). Keseimbang Keseimbangan an : jumlah jumlah momen batang-batang batang-batang yang bertemu bertemu pada sebuah n
titik simpul yang disambung secara kaku sama dengan nol ( ∑
M Ti
=
0 ).
i =1
b). Kestabilan Kestabilan : rotasi rotasi batang-bata batang-batang ng yang bertemu bertemu pada pada sebuah sebuah titik simpul simpul yang yang disambung secara kaku sama besar dan arahnya ( θ
T1
=θ
T2
= …θ
)
T3
Contoh : Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku, keseimbangan MT1 + MT2 + MT3 = 0
maka syarat :
Kestabilan
θ
T1
=θ
T2
=θ
T3
P MT1
θ
MT3
T
3
θ
T1
MT2
θ 1
T3
Gambar 3.1. Keseimbangan titik simpul
T2
2 Meto Metoda da “Pers “Persam amaa aan n Tiga Tiga Mome Momen” n”,, mema memaka kaii mome momenn-mo mome men n bata batang ng
sebagai variabel (bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi
∆)
pada struktur-struktu struktur-strukturr yang dapat bergoyang. bergoyang. Untuk menentukan menentukan apakah sebuah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori sebagai berikut : suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal horizontal.. Perletakan Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan. Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama. Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-3-
Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r) Dimana : n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan. j = “joint”, titik simpul termasuk perletakan m = “member”, jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint. f = “fixed”, jumlah perletakan jepit. h = “hinge”, jumlah perletakan sendi. r = “rol”, jumlah perletakan rol. Apabila n < 0, struktur tidak dapat bergoyang. Untuk menghitung menghitung variabel variabel yang ada, disusun disusun persamaan-per persamaan-persamaan samaan sejumlah variab variabel el yang yang ada, ada, dari dari dua ketent ketentuan uan syarat syarat sambun sambungan gan kaku kaku sepert sepertii yang yang disebutkan diatas yaitu : (1) Jumlah Jumlah momen-momen momen-momen batang yang bertemu bertemu pada satu titik simpul simpul sama dengan nol.
(2) Rota Rotasi si bata batang ng-ba -bata tang ng yang yang bert bertem emu u pada pada satu satu titi titik k sama sama,, besa besarr dan dan arahn arahnya ya.. Dan Dan kala kalau u ada ada vari variab abel el
∆ perlu persamaan persamaan keseimbang keseimbangan an
struktur.
3.3. 3.3. Langka Langkah-l h-lang angkah kah yang harus harus diker dikerjak jakan an pada metode metode “ Persam Persamaan aan Tiga Momen ”.
Untuk Untuk menyel menyelesa esaika ikan n perhit perhitung ungan an strukt struktur ur statis statis tidak tidak tertent tertentu u dengan dengan metoda ” Persamaan Tiga momen “ urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sbb :
Tent Tentuk ukan an apak apakah ah stru strukt ktur ur stat statis is tida tidak k
tert terten entu tu ters terseb ebut ut memp mempun unya yaii
pergoyangan , dengan rumus :
n = 2j- (m+2f+2h+R) Kalau n < 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang.
Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang – batang akibat pergoyangan pergoyangan tersebut. tersebut. Dalam menggamba menggambarkan rkan bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
•
-4-
Batang tidak berubah panjang, Suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar Δ , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar Δ. Δ
Δ
i
i
j
j
’
’
L
•
Batang Batang dapat dapat berota berotasi si akibat akibat perpin perpindah dahan an relatif relatif ujungujung-uju ujung ng batang batang.. Perpindahan Perpindahan relatif relatif antara ujung-ujung ujung-ujung batang batang dapat digambark digambarkan an tegak lurus lurus sumbu sumbu batang dan arah rotasi rotasi digamb digambark arkan an dari dari arah arah asli asli sumbu sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang.
i
θ
j
∆
ij
θ
θ ij = θ ji ji = ji ji
j
’
L
Gamb Gambar arka kan n
perm permis isal alan an
arah arah
mome momenn-mo mome men n
bata batang ng..
Untu Untuk k
mome momen n
kant kantil ileve ever, r, dapa dapatt dihi dihitu tung ng besa besarn rnya ya dan dan dite ditent ntuk ukan an seca secara ra past pastii arah arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen batang yang lain besar maupun arahnya arahnya dimisa dimisalka lkan n dengan dengan mengin mengingat gat ketent ketentuan uan bahwa bahwa jumlah jumlah momenmomenmomen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momenmomen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan.
Dari langkah langkah yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu momen-mpmen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung batang (Δ) kalau ada goyangan.
Gambarkan pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa rotasi batang-batang batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul simpul adalah sama, besar maupun arahnya . Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan dimisalkan rotasinya rotasinya searah jarum jam , maka batang-batang batang-batang yang lain yang
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-5-
bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam.
Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan – persamaan tersebut berdasarkan berdasarkan ketentuan keseimbangan keseimbangan momen momen dan rotasi batang-batang batang-batang pada titik simpul atau perletakan.
• Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (-) , atau sebaliknya .
• Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol. • Rotasi Rotasi batang batang-bat -batang ang yang yang bertem bertemu u pada pada satu satu titik titik simpul simpul sama sama besar besar maup aupun
ara arahnya
.
Untuk
menyusun
persamaan
rot rotasi
haru arus
memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan momen – momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau sebaliknya diberi tanda negatif (-).
•
Kalau Kalau ada variab variable le pergoy pergoyang angan an (Δ) maka maka perlu perlu tambah tambahan an persam persamaan aan keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan “ free body diagram” dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan , sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya.
Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang berup berupaa momen-m momen-mome omen n batang batang tadi tadi dapat dapat dihitu dihitung ng besarn besarnya. ya. Kalau Kalau nilai nilai variab variable le yang yang didapa didapatt positi positiff (+), (+), maka maka arah momen momen permis permisalan alan benar, benar, sedang sedangkan kan kalau kalau nilain nilainya ya negati negatiff (-), maka maka arah momen momen yang yang dimisa dimisalka lkan n terbalik.
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-6-
Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiaptiap tiap batang batang (free (free body body diagra diagram), m), bidang bidang momen, momen, gaya gaya lintan lintang g dan gaya gaya normal dari struktur statis tidak tertemtu tersebut dapat digambarkan.
Contoh langkah-langkah perhitungan dengan metoda “ persamaan tiga momen “ 1.
P=1t
q = 1 t/m
jepit, B dan C rol. Dengan D
EI A
EI C
EI B
6m
6m
n = 2x3 – (2+2x1+2x0+2)
2m
n=0
MC =4 tm
MB
beban seperti tergambar :
n = 2j-(m+2f+ 2h+2)
a). Balok statis statis tidak tertentu
MA
Balok diatas tiga tumpuan, A
P=1t
( Tidak ada penggoyangan ) Pemisalan momen batang:
D A
B
C
Σ
b). Permisalan arah momen batang
θ
θ
BA
D
BC
A
B
c). Permisalan garis elastis
Gambar 3.2.
C
MCD
= ½ (q )l2 + P x 2
=1/2 (1)2 + 1 x 2 MC = 0 M = 4 TM = 4 tm CB MC = 4 tm
Σ MB = 0
MBA + MBC =0
MBA = - MBC (sama besar, berlawanan arah, MB ) A jepit, ada MA
•
Variable yang ada : M A dan MB. Berarti ada dua buah variable.
• Pemisalan garis elastis. Salah satu batang dimisalkan dulu , misalnya batang AB melendut ke bawah berarti rotasi BA berlawanan arah jarum jam. Maka batang yang lain mengikuti dengan mengingat rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya.
• Menyusun persamaan : Karena ada dua variable ( MA dan MB ) maka butuh dua persamaan. Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-7-
- Dari persamaan persamaan keseimbanga keseimbangan n momen, momen, telah dipenuhi dipenuhi dari pemisalan pemisalan arah momen batang - Dari Dari pers persama amaan an rotasi rotasi batang batang-ba -batan tang g:
•
A jepit
θ
AB
Titik B
θ
BA
=0
=θ
(1) BC
(2)
Dari dua persamaan tersebut , M A dan MB dapat dihitung, setelah momen momen batang didapat, dengan perhitungan “ free body diagram “ bidang momen ( M ), gaya lintang ( D ), dan gaya normal ( N ), dapat digambarkan.
P1=1t
q=1 t/m
2.
’
C
P2=2t
EI
Suatu portal dengan perletakan A dan B sendi, dengan ukuran dan beban seperti tergambar
D
E
EI
n = 2 j – (m + 2 f + 2 f + 2) = 2 x 4 – (3 + 2 x 0 + 2 x 2 + 0)
EI
EI
4m
n=
1
ada sebuah bentuk pergoyangan. Gambar pergoyangan
B
A
Batang AC, A sendi berarti C hanya 4m
1m
bisa bisa berpindah tegak lurus sumbu batang AC.
a). Portal statis statis tidak tertentu C’
C
D
D
Misalkan C berpindah ke C’ sebesar ∆ ’
kekanan. Batang CD tidak berubah panjang, D juga bergerak kekanan sebesar ∆ ke D’. untuk batang BD keadaannya sama seperti batang AC. Batang-batang AC dan BD akibat B
A
jam.
b). Gambar pengoyangan
MC
C
MDC
MDE = 1,5 tm P1=1t D E
P2=2t M
C Metoda Persamaan Tiga Momen
pergoyangan berotasi searah jarum
MDB
Pemisahan momen batang. MDE = ½ (1) 1² + 1 x 1 = 1,5 tm Titik C, MCA = MCD sama besar berlawan arah (MC) Titik D, ada MDB , MDC dan
A
B
MDE = 1,5 tm
MODUL 3
-8-
c). Pemisahan Momen Batang
θ
θ
C C
θ
C
DCD
D
θ
E D
A B
Variabel yang ada : ∆ , MC, MDB, MDC
Pemisahan gambar garis elastis. Batang CD dimisalkan melendut kebawah, berarti searah jarum jam sedangkan
θ
θ
CD
berlawan
DC
arah jarum jam. Maka untuk batang AC,
B
A
CA
sedang sedangkan kan untuk untuk batang batang D B,
d). Pemisahan garis elastis
searah jarum jam,
θ
DB
berlawanan
arah jarum jam.
Gambar 3.3.
θ
Menyusun persamaan : Karena ada 4 variabel (∆ , MC, MDB, MDC) bentuk empat persamaan. - Dari persamaan keseimbangan momen.
Σ MD = 0 MDB + MDC – MDE = 0
(1)
- Dari rotasi titik simpul Titik C
θ
CA
=θ
CD
(2)
Titik D
θ
DB
=θ
DC
(3)
- Karena ada variabel ∆ , maka perlu persamaan keseimbangan struktur (4)
Dari keempat persamaan yang disusun, variabel-variabel MC, MDB, MDC dan
∆ dapat dihitun dihitung. g. Setelah Setelah momen-momen momen-momen bahwa bahwa didapat, didapat,
dengan perhitungan “free body diagram”, bidang Momen (M), gaya Lintang (D), dan gaya Normal (N) dapat digambarkan.
3.3. 3.3.1. 1. Rumu Rumuss Rota Rotasi si Bata Batang ng
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-9-
Sete Setela lah h
memp mempel elaj ajar arii
lang langka kahh-la lang ngka kah h
yang yang
perl perlu u
dila dilaku kuka kan n
pada pada
penye penyeles lesaia aian n strukt struktur ur statis statis tidak tidak terten tertentu tu dengan dengan metoda metoda “Persa “Persamaa maan n Tiga Tiga Momen”, disana kita harus menyusun persamaan rotasi batang-batang. Untuk itu kita kita perlu perlu menget mengetahu ahuii perumu perumusan san besarn besarnya ya rotasi rotasi batang batang yang yang terjadi terjadi akibat akibat pembebanan dan momen-momen batang.
Dari mata kuliah kuliah Mekanika Mekanika Bahan Bahan yaitu yaitu dengan dengan
metoda metoda-met -metoda oda yang
pernah kita pelajari seperti metoda “unit load” ataupun metoda “momen area”, kita kita dapa dapatt meng menghi hitu tung ng besa besarr dan dan mene menent ntuk ukan an arah arah rota rotasi si bata batang ng deng dengan an perumusan sebagai berikut :
θ
θ
ij
i
ji ji
j
EI
θ ij = θ ji ji =
L
θ
θ
ij
EI
θ ij = θ ji ji =
ji ji
j
i L
b). akibat beban terpusat ditengah bentang.
θ ij =
Mij i
θ
θ
EI L
ij
j ji ji
c). akibat momen Mij
Mij i
θ
θ
ij
L
θ ij = ji ji
j
d). akibat momen M ji i
θ
j
Metoda Persamaan Tiga Momen ij
L
θ
ji ji
ji
θ ij = θ ji ji =
MODUL 3
-10-
e). akibat pergoyangan Gambar 3.4. Untuk akibat beban-beban yang lain rotasi batang dapat dihitung dengan metodametoda yang pernah didapat dari mata kuliah Mekanika Bahan seperti metoda “unit load” ataupun metoda “momen area”
3.4. .4.
Penye nyelesa lesaia ian n
Struk truktu turr
Statis atis
Tidak idak
Terrtentu Te ntu
denga ngan
Metoda toda
“Persamaan Tiga Momen”
Dari pembah pembahasan asan sebelu sebelumny mnyaa kita kita ketahu ketahuii bahwa bahwa konsep konsep dari dari metoda metoda “Persa “Persamaa maan n Tiga Tiga Momen” Momen” adalah adalah memaka memakaii momen momen-mo -momen men batang batang sebaga sebagaii variabel variabel dan akan dihitung dengan dengan menyusun menyusun persamaan-per persamaan-persamaan samaan sebanyak variab variabel el yang yang ada. ada. Persam Persamaan aan-pe -persa rsamaa maan n tersebu tersebutt akan akan disus disusun un berdas berdasark arkan an persyaratan keseimbangan momen dan rotasi dari batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul. Kalau dua batang bertemu pada satu titik simpul, maka dari persam persamaan aan rotasi rotasi batang batang-ba -batan tang g terseb tersebut ut harus harus sama sama besar, besar, akan akan didapa didapatka tkan n sebuah persamaan yang mengandung tiga momen. Dari sanalah nama metoda “Persamaan Tiga Momen” diambil.
3.4.1. 3.4.1. Conto Contoh-C h-Cont ontoh oh Penye Penyeles lesaia aian n
1.
P1 = 4t
q = 1 t/m’ 1,5 EI
A
B
6m
P2 = 1,5 t EI
2 EI C 6m
D
2m
a). Balok statis tidak tentu dengan pembebanannya
Suatu balok statis tidak tertentu diatas 3 tump tumpua uan, n, A perl perlet etak akan an jepi jepitt B dan dan C per perle leta tak kan
rol rol
deng engan
uku ukuran ran
pembe pembeban banan an sepert sepertii tergam tergambar bar.. Hitung Hitung mome momen n-mo -momen men
batan atang gnya nya
deng engan
metoda metoda “Persa “Persamaa maan n Tiga Tiga Momen” Momen” dan gambarkan bidang M, D dan N nya.
MA
MB q = 1 t/m’
M = 3 tm P = 1,5 t P1 = 4t C 2
Metoda1,5 Persamaan Tiga Momen 2 EI C EI A B 6m 6m
b).
dan
EI 2m
Gambar permisalan momen-momen batang
D
Penyelesaian :
n = 2j – (m + 2f + 2h + 2) = 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 2) n = 0 tidak ada pergoyangannya.
MODUL 3
Metoda Persamaan Tiga Momen
-11-
MODUL 3
-12-
Permisalan Momen Batang
θ θ
MCD = 1,5 x 2 = 3 tm BC
Titik C Σ MC = 0 MCB = MCD
BA
B
A 6m
C 6m
D
= MC = 3 tm
2m
Titik B ε MB = 0 MBA = MBC c ).
Gambar permisalan garis elastis
= MB A jepit ada MA Permisalan garis elastis
Variabel yang ada : MA dan MB
θ
BA
=θ
BC
Persamaan :
1. A jepit : θ -
-
arah jarum jam AB
M A L AB
-
3 EI AB M A .6
-
3(1,5EI)
=0
M B .L AB 6 EI AB
q L AB 3
+
M B .6
+
6(1,5EI)
2. Titik simpul B : θ -
-
6 EI AB
-
M A .6 6 (1,5 EI )
BA
3 EI AB -
0
1(6) 3 24 (1,5EI )
=
0
x 1,5 EI
(1)
=θ
M B .L AB
=
24 EI AB
2 MA + MB = 9
M A L AB
berlawanan
+
M B .6 3 (1,5EI )
BC
2 L AB3 24 EI AB +
= +
M B L BC 3 EI BC
1 ( 6) 3 24 (1,5 EI )
MA + 3,5 MB = 13,5
= +
+
M C .L BC 6 EI BC
M B .6 3 ( 2EI )
+
-
P1L BC ² 16 EI BC
3x 6 3 ( 2EI )
-
4( 6)² 16 ( 2EI )
(2)
(1) – 2 x (2) - 6 MB = -18 MB = + 3 tm (arah benar)
(2) MA + 3,5 M B = 13,5 MA + 3,5 x 3 = 13,5 MB = 13,5 – 10,5 = + 3 tm (arah benar).
Metoda Persamaan Tiga Momen
x 1,5 EI
MODUL 3
-13-
MA=3 tm
A
q = 1t/m
3t
P1 = 4t
MB=3 tm
’
3t
2t
B
MC=3 tm
2t
P2 = 1,5 t
1,5 t
C
D
d). Free body diagram 3t 2t
1,5t
+
+
A
+
B
-
-
3m
D
2t
3t 3m
C
3m
3m
2m
e). Bidang Gaya Lintang (D) 3 tm
3 tm -
3 tm
+
A
B
+
1,5 tm
C
D
3 tm
e). Bidang Momen (M) Gambar 3.5 P1 = 4t
P2 = 3t Suatu portal dengan ukuran dan
2EI
A
B
EI C
pembebanan seperti tergambar. A perletakan rol dan D perletakan jepit.
EI
3m
Hitung
momen-momen
batangnya
dengan metoda “Persamaan Tiga
D
Momen” dan Gambar bidang M, D 2m
2m
Metoda Persamaan Tiga Momen
1m
dan N-nya.
MODUL 3
-14-
a). Portal statis tidak tertentu Penyelesaian : C C
’
A
A
B
n = 2 j – (m + 2f + 2h +
B
µ)
= 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1
’
’
ada pergoyangan !. Gambar pergoyangan A bergerak ke A’ sebesar ∆
D
B bergerak ke B’ sebesar ∆ b). Gambar pergoyangan 4t
MCB
C B
MBA
A
Batang BD berotasi searah jarum jam
3t
Permisalan Momen Batang
MBD
MBC = 3 x 1 = 3 tm
MDB
MBA
D
θ
B
BA
=θ
(
BD
)
Varibel yang ada : C
θ
MDB
;
Permisalan Garis Elastis
c). Gambar Gambar permisalan momen momen batang
A
; MBD
θ
BA
BD
MBA , MBD , MDB dan ∆ Persamaan : 1). Σ MB = 0 MBA – MBC – MBD = 0
D Gambar permisalan
d ).
MBA = MBD + 3
garis elastis
M BD . L BD 6 EI BD
M BD . 3 6 EI
+
2). D jepit
+
M DB . L BD 3EI BD
M DB . 3 3 EI
+
∆
3
Metoda Persamaan Tiga Momen
+
∆
L BD
θ
DB
=0
=0
= 0 → 3 M BD + 6 M DB + 2 EI ∆ = 0
(2)
(1)
MODUL 3
3).
θ
BA
-15-
=θ
BD -
M BA . L BA 3 EI BA
+
P1L BA ² 16 EI
=
M BD . L BD 3 EI
BA
+
BD
M DB . L BD 6 EI
-
BD
∆
L BD
M BD . ³ M BD . 6 ∆ 4( 4)² + = + 3(2EI) 16 ( 2 EI ) 3 EI 6 EI 3 M BA
4 MBA + 6 MBD + 3MDB – 2 EI ∆ = 0
(3)
4). Persamaan Keseimbangan Struktur 4t
MBC = 3 tm B
A
3t A rol HA = 0 C
MBA MBD
HA + HD = 0 HD = 0
Batang
:
BD
Σ MB = 0
HD x 3 + M DB – MBD = 0
3m D
Σ H=0
MBD = MDB
MDB HD = 0
Substitusi (4) ke (2)
9 MBD + 2 EI ∆ = 0
Substitusi (4) ke (3)
13 MBD – 2 EI 22 MBD = 0
∆ =0
+ MBD = 0
(4) MDB = 0 (1) MBA = + 3 tm 4t
MBA = 3 tm M = 3 tm BC B
3t
C
A 1,25 t
2,75 t
3t
D 5,75 t e). Free Body Diagram
Metoda Persamaan Tiga Momen
(4)
MODUL 3
-16-
3 tm 3t 1,25 t B
-
-
C
A
A
-
B C
+
+
A
B
C
2,75 t 2,5 tm
-
D
3m
D
D
5,75 t 4m
1m
2m
f). Bidang N
2m
1m
2m
g). Bidang D
2m
1m
h). Bidang M
Gambar 3.6
3.4. 3.4.2. 2. Soal Soal Lati Latiha han n
1).
P1 = 0,5t q = 1 t/m
A EI
dengan dengan ukuran ukuran dan pembebanan
’
C V
EI
B
2m
Suatu Suatu balok balok statis statis tidak tidak terten tertentu tu
P2 = 3t
6m
D sepe eperti terga rgambar. ar. B dan C V perletakan rol, sedangkan A jepit.
2 EI
4m
4m
Ditanyakan : - hitung momen-momen batang dengan metoda “Persamaan Tiga Momen” - Gambar Gambar bidang bidang M, D dan N-nya. N-nya.
2).
q = 1 t/m
Suatu portal statis tidak tertentu dengan
’
C
B
ukuran dan pembebanan seperti tergambar.
EI
A perletakan jepit dan C sendi. EI
4m
Ditanyakan : Hitung
A 4m
momen-momen
batang
metoda “Persamaan Tiga Momen” Gambar bidang M, D dan N-nya.
Metoda Persamaan Tiga Momen
dengan
MODUL 3
-17-
Suatu balok tangga statis tidak tertentu
3). 1t
dengan ukuran dan beban seperti D 3 m tergambar. B perletakan rol dan D jepit.
4t EI
A EI
EI
B
2m
Ditanyakan :
C
Hitung momen-momen batang dengan 4m
5m
metoda “Persamaan Tiga Momen”. Gambar bidang M, D dan N-nya.
4). q = 1 t/m
P1= 4t
P2 = 1t
’
Suatu portal statis tidak 2 EI
A
B EI
2 EI C P3 = 2t
EI D
2m
tertentu dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar.
2m E
A perletakan jepit, C rol dan E sendi.
4m
4m
6m
2m
Ditanyakan : - Hitung momen-momen batang dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”. - Gambar bidang M, D, dan N-nya.
3.4. 3.4.3. 3. Rang Rangku kuma man n
Momen-momen batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku haruslah haruslah dalam keseimbangan. Berarti jumlah momen-momen batang yang bertemu pada suatu titik simpul sama dengan nol. n
∑ MTi = 0 MT1 + MT2 + ………+ MTn = 0 i =1
Batang-batang yang bertemu pada suatu titik simpul yang disambung secara kaku akan berotasi secara serentak. Berarti rotasi batang-batang
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-18-
yang bertemu pada suatu titik simpul mempunyai arah dan besar yang sama.
θ
T1
=θ
T2
=θ
T3
= ………….= θ
Tn
Variab Variabel el yang yang dipaka dipakaii dalam dalam metoda metoda “Persa “Persamaa maan n Tiga Tiga Momen” Momen” adalah momen batang dan ∆ kalau ada pergoyangan.
Untuk menghitun menghitung g variable-varia variable-variabel bel tersebut, tersebut, disusun disusun persamaanpersamaan persamaan sejumlah varibel yang ada. Persamaan-persamaan ini akan disusun dari : -
Jumlah Jumlah mome momen-m n-mome omen n batang batang yang yang bertem bertemu u pada pada satu satu titik titik simpu simpull sama dengan nol.
-
Rota Rotasi si per perle leta taka kan n jepi jepitt sama sama deng dengan an nol nol..
-
Rota Rotasi si batan batang-b g-bat atan ang g yang bert bertem emu u pada pada satu titik titik simpu simpull sama sama besar.
-
Kalau ad ada va variable ∆ , perlu persamaan keseimbangan struktur.
3.4. .4.4. Penu nuttup
Untuk mengukur prestasi, mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal latihan yang ada sebagai berikut :
1). P1 = 0,5 t q = 1 t/m MB = 3 tm MC = 3 tm
P2 = 3t M = 3 tm D MBA = MBC = MB = 3 tm
A EI
EI
D
C
B
2m
2 EI
6m
Metoda Persamaan Tiga Momen
4m
MBCB = MCD = MC = 3 tm MDC = 3 tm
4m
MODUL 3
-19-
q = 1 t/m 2).
’
B
C EI
MA =
MB =
MBA = MBC = MB = 4m
EI MA = A 4m
3).
MD = 5,676 tm
P1 = 1t
P2 = 4t
MB = 2 tm
D
3m
EI A EI
EI
B
P1 = 4t MA
A
P2 = 1t
q=1t /m
MC
’
B
2 EI
EI
MD = 5,676 tm
4m
MBD
MBA
MCB = MCD = MC = 4,86 tm
MC = 4,846 tm
5m
2m
4).
C
MBA = MBC = MB = 2 tm
MBE
EI P3 = 2t
C
D EI
MA = 4 tm 2 mM = 4 tm BA
2 mMBC = 2,5 tm MBE = 1,5 tm
E
MCB = MCD = 4 tm 4m
4m
Metoda Persamaan Tiga Momen
6m
2m
MODUL 3
-20-
3.4. 3.4.5. 5. Daft Daftar ar Pust Pustak aka a
1. Chu Kia Wa Wang “Statically Indeterminate Structures”. Structures”. Mc GrawHill, Book Company, INC. 2. Kinn Kinney ey,, J.S. .S. “Indeterminate Structural Analysis” , Addison-Wesley Publishing Co. 3.4. .4.6. Senar enarai ai
Metoda Metoda “Persamaan “Persamaan Tiga Momen” Momen” memakai memakai momen-momen momen-momen batang sebagai varibel.
Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi batang-batang pada titik simpul sama besar.
Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable tambahan keseimbangan struktur.
Metoda Persamaan Tiga Momen
∆ , dan persamaan
MODUL 3
3.5. 3.5.
-21-
Penye Penyeles lesaia aian n Strukt Struktur ur Sta Statis tis Tidak Tidak Tert Tertent entu u Akiba Akibatt Penur Penuruna unan n Perletakan dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”
Seperti Seperti yang yang telah telah kita kita bahas bahas pada pada metoda metoda “Consistent “Consistent Deformation” Deformation” , pad padaa stru strukt ktur ur stati statiss tida tidak k terte tertent ntu u akib akibat at terja terjadi diny nyaa perb perbed edaa aan n penu penuru runa nan n perletakan akan menimbulkan gaya-gaya dalam yang cukup besar. Pada metoda “Per “Persa sama maan an Tiga Tiga Mome Momen” n”,, lang langka kah-l h-lan angk gkah ah yang yang haru haruss dike dikerj rjak akan an untu untuk k menyelesaik menyelesaikan an struktur struktur statis tidak tertentu tertentu akibat akibat penurunan penurunan perletakan sama seperti pada akibat pembebanan luar yang telah disajikan dimuka. Hanya saja pad padaa akib akibat at penu penuru runa nan n perle perleta taka kan, n, langk langkah ah pert pertam amaa haru haruss diga digamb mbark arkan an pergoyangan struktur akibat adanya penurunan perletakan yang terjadi, setelah itu langk langkah-l ah-lang angkah kah yang yang dikerj dikerjaka akan n sama sama dengan dengan urutan urutan langka langkah-l h-lang angkah kah yang yang dike dikerj rjak akan an pada pada akib akibat at beba beban n luar luar.. Jadi Jadi kala kalau u stru strukt ktur ur kita kita memp mempun unya yaii pergoyangan dimana n > 0, maka akan ada gambar pergoyangan akibat penurunan perletakan dan gambar gambar pergoyangan natural natural karena struktur kita dapat bergoyang secara natural.
3.5.1. Contoh penyelesaian akibat penurunan perletakan
1). Sebuah balok statis tidak tertentu dengan A
EI
perletakan A jepit dan B rol. Bentang balok
B
L = 6 m. Balok dari beton dengan dengan ukuran
L=6m
penampang 40 x 60 cm, E beton = 2 x 105 a). Balok statis tidak tertentu
kg/cm2. Kalau terjadi penurunan perletakan B sebesar
∆
B
B
= 2 cm, hitung momen batang balok
tersebut dan gambar bidang M, D dan N-nya.
A 2 cm
Penyelesaian :
Gambar B
’
b). Pergoyangan akibat B turun ∆ B = 2 cm Metoda Persamaan Tiga Momen
∆
B
pergoyangan
akibat
B
turun
= 2 cm. Tentukan arah putaran rotasi
batang ( θ
AB
)
MODUL 3
-22-
n = 2 j – (m + 2f + 2h + r)
= 2 x 2 – (1 + 2 x 1 + 2 x 0+ 1) = 0 MA
Tidak ada goyangan Permisalan momen batang EI
A
MA
B L=6m
Variabel MA Permisalan garis elastis θ
c). Permisalan momen batang
θ
MB = 0 (rol)
θ
A
B
AB
,θ
BA
B
A
A
B L=6m d). Permisalan garis elastis
Persamaan :
A jepit ∆
L
-
θ
MA L 3EI
0
AB
=0→
2 600
-
MA = + 24 tm Balok Beton : A 1 (4t 40 ) 60 3 I = 12
= 720 .000
4t 4
M A .6 3 EI
EI (arah momen benar) 600 Σ MB = 0
B
cm
=0
VA =
Σ V=0
Free body2 diagram 5 E = 2e). x 10 kg/cm
VB = -VA = - 4t (↓)
EI = 2 x 10 5 x 720.000 kg cm 2 = 144 x 109 kg cm 2 EI = 14.400 t m 2 4t 14 .400 + MA = + 600 A
VA+ VB = 0
(satuan disesuaikan LBidang dalam D meter). : 4t =+24 tm B D = V = + 4t x
f). Bidang gaya lintang (D)
A
x = 0 DA = 4t x = 6 DB = 4t
24 tm
Bidang M : -
A
Metoda Persamaan Tiga Momen
g). Bidang momen (M)
B
Mx = -MA + VA . x =-24 + 4 x x = 0 MA = -24 tm x = 6 MB = -24 + 4 x 6 = 0 tm
Gambar 3.7.
MODUL 3
-23-
2). B
EI
C Suatu portal dengan perletakan A jepit dan B rol balok dan kalau dari beton dengan
EI
4m ukuran penampang 30 x 40cm,E beton = 2x105 kg/cm2. Kalau Kalau A turun turun 2cm,hi 2cm,hitun tung g mome momen-m n-mom omen en
batan batang g
bidang M,D dan N nya. A 4m a). Portal statis tidak tertentu
Metoda Persamaan Tiga Momen
dan dan
gamb gambar arka kan n
MODUL 3
-24-
Penyelesaian
B
C
Gambarkan pergoyangan akibat A turun 2 cm.
2cm
θ
B
BC
n =2j - (m + 2f + 2h + r)
’
= 2 x 3 - (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1 ada pergoyangan Gambar pergoyangan (natural). A
Misalkan C bergerak kekanan sebesar ∆ . B akan
2cm A
bergerak ke kanan ke B sebesar ∆ juga. ’
’
b). Pergoyangan akibat A turun 1 cm
θ
AB
dan θ
BA
Pemisahan Momen Batang
∆ B
∆
MA
B ’
C
C ’
; MBA = MBC = MB
Variable : MA, MB, dan ∆ Pemisahan garis elastis
θ
AB
;θ
BA
=θ
BC
A c). Pergoyangan natural MB B
θ
BC
C Balok / kolom beton :
θ
BA
MB
Ix =
1 12
(30) 403 = 160.000 cm 4
EIx = 2 x 19 5 x 160.000 = 32 x 10 9 kg/cm2
θ
AB
MA
A d). Pemisalan momen batang dan garis elastis Persamaan : Metoda Persamaan Tiga Momen
= 3200 tm2
MODUL 3
1).
θ
AB
-25-
=0
(A jepit)
M A L AB 3 EI
+
M B L AB 6 EI AB
AB
∆
−
=0→
MA .4
L AB
3 EI
4MA
2).
θ
BA
=θ
MB .4
−
6 EI
∆
=0
4
+2 M B −
3 EI 4
∆=0
(1)
BC
M A L AB 6 EI
+
+
M B L AB
AB
3 EI AB
+
∆
L AB
=
M B L BC 3 EI
BC
-
∆B
L BC
2MA
→
MA .4 6 EI
+
+8 M B +
MB .4 3 EI
3 EI 4
+
∆
4
∆=−
=
M B .4
3EI 200
(2) 3). Keseimbangan MB
C rol HC = 0 Σ H = 0 HA + HC = 0 HA = 0
MB Batang AB MA HA = 0
Σ MB = 0 HA . 4 - M A + MB = 0 MA = MB
(1) + (2)
6 MA + 10 M B = -
Substitusikan (3) ke (a)
6 MA + 10 MA = -
MA = -
3 EI , dengan EI = 3200 tm 2 3200
Metoda Persamaan Tiga Momen
3 EI 200 3 EI 200
(a)
(3)
3EI
-
2 400
MODUL 3
-26-
3 tm C
B 3/4 t
3/4 t
MA = -
3/4 t
MB = MA = - 3 tm (arah terbalik)
3 tm
3 tm
A
3/4 t e). Free Body Diagram B
3 tm
B
C
-
+
3/4 t
C
3 tm +
+
A
A
3/4 t
f). Bidang N
g). Bidang D
3 tm
h). Bidang M
Gambar 3.8 3.5. 3.5.2. 2. Soal Soal Lati Latiha han n
Suatu Suatu balok balok statis statis tidak tidak tertent tertentu, u, A
1).
perl perlet etak akan an A,
B dan C rol. rol. Balo Balok k
beton, dengan ukuran penampang 30 A
EI
EI B
5 2 C x 40 cm, E beton = 2 x 10 kg / cm .
Kalau terjadi penurunan di B 2 cm, 6m
4m
hitung momen-momen batang dengan metoda persamaan tiga momen. Dan gambarkan bidang M, D dan N-nya.
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-27-
2). Suat Suatu u port portal al stat statis is tida tidak k tert terten entu tu deng dengan an
B
EI
C
perl perlet etak akan an A jepit jepit dan dan C send sendi. i. Balo Balok k dan dan kolom beton dengan ukuran
EI
penampang 30
x 40 cm, E beton = 2 x 10 5 kg/cm2.
4m
Kalau Kalau C turun turun 2 cm, hitung hitung momen-mo momen-momen men batang dengan metoda persamaan tiga momen dan gambar bidang M, D dan N-nya.
A 4m
D
Suatu
balok
tangga,
dengan
perletakan B rol, dan D jepit. Balok
3).
beton dengan ukuran penampang 30 3 mx 50 cm kg/cm 2
EI
Kalau perletakan perletakan B turun turun sebesar sebesar 2 A
cm, hitung hitung momen momen-mo -momen men batang batang EI
B
2m
C
EI 5m
deng dengan an
meto etoda
pers ersamaa amaan n
tiga tiga
momen dan gambar bidang M, D dan
4m
N-nya.
3.5. 3.5.3. 3. Rang Rangku kuma man n
Pada Pada peny penyel eles esai aian an stru strukt ktur ur stat statis is tida tidak k tert terten entu tu akib akibat at penu penuru runa nan n perl perlet etak akan an deng dengan an meto metoda da “Pers “Persam amaa aan n Tiga Tiga Mome Momen” n”,, perta pertama ma kali kali yang yang dikerjakan dikerjakan adalah menggamba menggambarr bentuk bentuk pergoyanga pergoyangan n struktur struktur akibat penurunan penurunan perl perlet etak akan an yang yang terj terjad adi, i, dan dan mene menent ntuk ukan an arah arah rota rotasi si bata batang ng-ba -bata tang ng akib akibat at penurunan perletakan tersebut.
3.5. .5.4. Penu nuttup
Untuk mengukur prestasi mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal latihan yang ada sebagai berikut : 1). M =10,98 tm
MB =11,293 tm
A Metoda Persamaan Tiga Momen
A
EI 6m
B
EI 4m
EI = 3200 tm 2 C Momen-momen batang akibat perletakan B turun 2 cm.
MODUL 3
2).
-28-
MB = 6,856 tm B
EI
C EI = 3200 tm 2 Momen-momen batang perletakan C turun 2 cm.
akibat
4m
EI MA = 3,428 tm A 4m
3).
MD =3,834 tm D
MC = 2,13 tm
A
EI
B
2m
EI
EI
EI = 6250 tm 2 Momen-momen batang akibat 3 m perletakan B turun 2 cm.
C
5m
4m
3.5. 3.5.5. 5. Daft Daftar ar Pust Pustak aka a
1.
Chu Kia Wang, Wang, “Stati “Staticall cally y Inde Indeterm terminat inatee Stru Structu ctures res”, ”, Mc Graw-H Graw-Hill ill,, Book Company, Inc.
2.
Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis” , Addison-Wesley Publishing Co.
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-29-
3.5. .5.6. Senar enarai ai
Metoda Metoda “Persamaan “Persamaan Tiga Momen” Momen” memakai memakai momen-momen momen-momen batang sebagai varibel.
Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi batang-batang pada titik simpul sama besar.
Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable tambahan keseimbangan struktur.
Metoda Persamaan Tiga Momen
∆ , dan persamaan
