1
BAB I METODE DISTRIBUSI MOMEN
(Pemakaian Distribusi Momen Untuk Balok)
1.
Pendah ahu uluan
Metod Me tode e dis distrib tribusi usi mo mome men n dip diperk erkena enalka lkan n per pertam tama a kal kalii ole oleh h Pro Prof. f. Hardy Cross pada yahun 1930-an yang mana merupakan sumbangan penting yang pernah diberikan dalam analisis struktur balok menerus ( continuous
beam) dan portal (rigid frame). Dalam analisis permulaan (preliminary peranc ancang angan an suat suatu u stru struktu kturr sed sederh erhana ana atau bag bagian ian da dari ri analyzes) dan per yang ng bes besar, ar, me metod tode e ini me merup rupaka akan n me metod tode e ya yang ng sa sanga ngatt suatu strukt struktur ur ya memuaskan memua skan untuk memudahk memudahkan an dalam memberikan gambaran tentang repons
struktur berupa gaya dan perubahan bentuk ( deformation ).
2. Ko Kons nsep ep Das asar ar
Jika Ji ka su suat atu u st stru rukt ktur ur ba balo lok k me mene neru russ me mene neri rim ma be beba ban n ke kerj rja a at atau au penurunan pada tumpuan, rotasi pada sumbu batang yang tidak diketahui (unknown (unk nown member-a member-axis xis rotation) rotation) tidak terjadi
dalam dala m respon perubaha perubahan n
bentuknya. Akan tetapi, titi buhul portal dapat atau mungkin tidak
memp me mpun unya yaii ke kebe beba basan san da dari ri jum jumla lah h tra trans nslas lasii ya yang ng ti tida dak k di dike ketah tahui. ui. Meskip Mes kipun un me metod tode e
dist di stri ribu busi si mo mome men n
trans nslas lasii menganalisi menga nalisiss portal deng dengan an tra
dapa da patt yang ya ng
digu di guna naka kan n tidak tid ak
untu un tuk k
diketa dik etahui hui,,
untu un tuk k namun nam un
diperlukan proses bertahap untuk menye menyelesaikanny lesaikannya. a. Oleh karena itu, berikut ini diberikan konsep dasar tentang dasar pemikiran bahwa suatu struktur
tidak mempunyai rotasi sumbu batang yang tidak ketahui. Respon perubahan bentuk dari suatu balok menerus atau portal tanpa
translasi titik buhul yang tidak diketahui dinyatakan dengan rotasi titik
2
buhul yang belum diketahui yaitu
B,
C,
dan
D
seperti ditunjukkan pada
Gambar 2.1(a) dan (c). Secara fisika, hal ini dapat dimungkinkan bahwa
momen pengunci (locking moment) dapat dikerjakan pada titik buhul B, C dan D untuk membuat kemiringannya relatif datar seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1(b) dan (d). Pada kenyataannya, besar dan arah dari momen pengunci ini diketahui dari beban yang bekerja atau penurunan tumpuan. Jika momen pengunci pada salah satu titik buhul dilepas, maka titik buhul
akan
berotasi. Rotasi ini menyebabkan perubahan tidak hanya pada momen diujung batang dekat titik buhul yang dilepasm tetapi juga pada momen
pengunci
pada titik buhul bersebelahan dikedua ujung titik buhul yang tersebut. Jika masing-masing titik buhul dilepas secara berurutan
dikunci kembali dan kemudian proses ini diulangi, suatu saat akan
dilepas
dan dicapai
dimana setiap titik buhul mencapai suatu respon perubahan bentuk akhir yang tetap. Momen pengunci ini selanjutnya akan didistribusikan ke
seluruh
struktur pada masing-masing jumlah rotasi titik buhulnya, sehingga metode ini dinamakan sebagai distribusi momen.
3
BAB II APLIKASI ANALISIS STRUKTUR STATIS TAK TENTU DENGAN METODE DISTRIBUSI MOMEN
1. Struktur Balok Menerus Contoh 1. Tentukan diagram momen lentur dan gaya lintang dari struktur balok menerus seperti pada Gambar 2.5.
3 t/m
24 t C
A (3EI)
(2EI)
B
20 m
10 m
10 m
Gambar 2.5 Contoh aplikasi metode distribusi momen untuk struktur balok menerus
Prosedur analisis struktur balok dengan metode distribusi momen meliputi menentukan momen ujung jepit
(FEM), angka kekakuan dan angka
distribusi.
Momen Ujung Jepit FEMAB =
+
FEMBA =
−
FEMBC =
+
1 12 1 12
(3
⋅ 20
2
)
= 100 t.m (berlawanan arah jarum jam)
(3
⋅ 20
2
)
= (searah jarum jam)
( 24 ⋅ 10) 2 ⋅ 20
FEMCB = 0(sendi)
2
( 20 − 10 ) 2
2
= t.m (berlawanan arah jarum jam)
4
Angka Kekakuan Untuk memudahkan dalam penghitungan angka kekakuan dapat dilakukan dengan cara membandingkan relative antara angka kekakuan satu batang dengan batang-batang lainnya, sehingga disebut juga angka kekakuan relative.
Dalam hal ini cukup hanya menghitung angka kekakuan dari
batang-batang yang bertemu pada satu titik buhul. 4( 3 EI ) 3( 2 EI ) 12( EI ) 6( EI ) : : : 20 20 20 20
SFBA : = SFBC =
=
2 :1
Angka Distribusi DFBA = DFBC =
2
( 2 +1) 1
( 2 +1)
=
0.67
=
0.33
Selanjutnya momen-momen pada tiap-tiap batang dihitung seperti
disajikan
dalam Tabel 2.2. Titik Buhul Batang Angka Distribusi (DF) Tahapan 1 FEM
A AB +100
B
½
Tahapan 2 Total Akhir
Induksi -
+3.3 +103.3
BA 0.67 -100 +6.6
BC 0.33 +90 +3.4
-93.4
+93.4
Hasil penghitungan momen-momen ujung batang dan reaksi gaya
C CB 0
0 akibat
beban luar dapat digambarkan dalam diagram benda bebas ( free body
diagram) seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6.
5
(a) 3 t/m
24 t
A
B B
30
30
103.3
12
93.4
A
0.495
12
93.4
B
0.495
C
B
C
4.67
4.67
(b)
Gambar 2. 6 Diagram benda bebas struktur balok menerus (a) akibat beban luar (b) akibat momen ujung
Reaksi gaya pada tumpuan dan momen lentur dihitung dengan cara
superposisi dari Gambar 2.6(a) dan (b). R A,V = 30 + 0.495 = 30.495 t.m R B,V = 30 - 0.495 +12 + 4.67 = 46.175 t.m R C,V = 12 - 4.67 = 7.33 t.m Kontrol resultante keseimbangan gaya arah vertikal: 30.495 + 46.175 + 7.33 - (30 x 20) - 24 = 0 OK!
30.495 16.67 (+)
D
(+) C
A
(-)
x
B
E
(-) 7.33
29.505
(a) 103.3
93.4 (-)
(-) (+)
(+)
(b)
6
Gambar 2. 7 (a) Diagram gaya lintang (b) Diagram momen lentur Momen lentur positif pada bentang AB ditentukan pada jarak
x dari
tumpuan A dimana gaya lintangnya adalag nol, sebagai berikut : R A,V
SFx = RA,V - q.x = 0 x = q
30 .495 =
3
=
10 .165
(dri tumpuan A)
Maka:
Mx = RA,V.x -
q ⋅ x 2
2
+
M AB
= (30.495 x 10.165) -
(3 ×10.165 2 ) − 103 .3 = +51.691 Tm 2
Sedangkan momen lentur positif pada bentang BC (titik E : ditengah bentang) ditentukan sebagai berikut :
ME = RB,V(kanan)
L 2
+
M AB
=
(16 .67 ×10 ) − 93 .4 = +73.3 Tm
7
2. Struktur Balok Menerus Pada Perletakan Elastis Bila suatu struktur balok dengan konstruksi seperti pada Gambar 2.8 dimana pada perletakan diujung C dapat dianalogikan bahwa balok
tersebut didukung oleh perletakan elastik seperti pada Gambar 2.9. P1
P2
C A
B D,E
D
E
LAB LBC
LDE
(a) P1
P2
C
A
B LAB
LBC
Gambar 2. 8 Struktur balok menerus di atas perletakan elastik
Dalam hal ini letak ujung C akan dipengaruhi oleh defleksi batang DE. Bila ujung C terletak di tengah batang DE, maka angka pegas (
spring
constant ) ddiberikan dalam persamaan 2.5a. namun, ujung C dapat pula didukung oleh suatu batang dari atas ( tie-rod), maka keadaan demikian ini mempunyai angka pegas seperti disajikan dalam persamaan 2.5b.
8
Gambar 2. 9 Analogi balok di atas perletakan elastik
Bila defleksi ujung C belum diketahui, maka analisis balok pada
Gambar
2.9(a) merupakan superposisi dari dua tahap seperti pada Gambar 2.9 (b) dan (c) dan diberikan dalam persamaan 2.6. Pada tahap pertama perletakan
di
C
ditentukan
terhadap
beban
reaksi pada
luar (Gambar 2.9 (b)),
selanjutnya beban luar ini tidak diperhitungkan dalam tahap kedua dimana reaksi pada tumpuan C ditentukan berdasarkan hanya akibat defleksi.
9
3. Struktur Dengan Penurunan Pada Perletakan Metode distribusi momen dapat
juga digunakan untuk menganalisis
struktur balok atau portal yang mengalami penurunan pada perletakannya (support settlemennt). Akibat dari penurunan atau perpindahan posisi pada perletakan ditunjukkan pada Gambar 2.13.
10
Akibat perpindahan posisi perletakan E, baik vertikal dan horisontal, terjadi momen ujung yang dapat digambarkan seperti pada Gambar 2.14. Ujung B
mengalami penurunan sebesar D, untuk kedua ujung adalah
terkekang
(jepit) momen ujung yang ditentukan seperti pada persamaan 2.8a, dimana
momen ujung B (M B) adalah sama besar dan arahnya dengan MA. Sementara bila salah satu ujungnya adalah sendi (Gambar 2.14b), diberikan pada persamaan 2.8b.
momen ujung
11
12
4. Struktur Dengan Beban Simetris Suatu struktur yang mempunyai geometri dan beban simetris seperti ditunjukkan pada Gambar 2.17, dalam analisis strukturnya dapat ditentukan hanya dengan meninjau setengah bentangnya. Sehingga
dimungkinkan terdapat modifikasi nilai angka kekakuannya.
Pada Gambar 2.17(a) dan (b), struktur dapat ditinjau setengah bentang. Sehingga nilai angka kekakuan batang BC pada Gambar 2.17(a) adalah
2( EI ) BC L2
.
Sedangkan untuk Gambar 2.18(b), titik C dapat dimisalkan
sebgai jepit dengan angka kekakuan normal
4( EI ) BC L2
.
13
CONTOH SOAL: Contoh 2. Gambarkan diagram gaya lintang, momen lentur dan gaya normal dari konstruksi portal seperti pada Gambar
2.15. Perletakan E
mengalami perpindahan posisi vertikal ( v)10 cm dan perletakan D bergeser ( h) 2.5 cm ke kiri. Nilai modulus elastisitas (E) bahan 2
momen inersia penampang (I) 6 SFAD =
4( 2 EI ) 6
=
x
x
108 kN/m2, dan
10-5 m4.
8 EI 6
Gambar 2. 15 Kontruksi portal akibat penurunan pada perletakan untuk Contoh 2
14
15
Diagram benda bebas momen-momen ujung dan gaya-gaya pada masing ujung batang diberikan pada Gambar 2.16.
masing-
16
17
18
ANALISIS STRUKTUR I METODE DISTRIBUSI MOMEN
(Pemakaian Distribusi Momen Untuk Balok)
KELOMPOK MUH. SUGANDI GANI
FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS HASANUDDIN 2011
