MAKALAH PROGRAM LINIER “METODE
BIG M”
Oleh: Asep Rosikin
0516104033
Sofyan Wahidjul
0516104034
Agus Irawan
0516104038
Hery Abdurouf
0516104041
Dosen : Nova Indah Saragih, S.T., M.T. M.T.
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS WIDYATAMA BANDUNG 2018
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanahuwataa’la karena dengan Rahmat, Karunia, serta Taufik dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah tentang “Metode Big M”. Penulis berterima kasih kepada Ibu Nova Indah Saragih, S.T., M.T. selaku dosen mata kuliah Optimasi Sistem
yang
memberikan tugas ini. Penulis sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai penerapan metode ini. Penulis juga menyadari bahwa di dalam makalah ini terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu , penulis berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah penulis buat
dimasa yang akan datang, mengingat tidak ada
sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun. Semoga makalah sederhana ini apat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya makalah yang telah disusun ini dapat berguna bagi penulis sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya penulis mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan, dan memohon kritik dan saran yang membangun.
Bandung, April 2018
Tim Penyusun
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................. i DAFTAR ISI ........................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 1.1
Latar Belakang ......................................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah ......................................................................................... 2 1.3
Tujuan....................................................................................................... 2
BAB 2 PEMBAHASAN ......................................................................................... 3 2.1 Metode Big M ............................................................................................... 3 2.2 Contoh perhitungan ....................................................................................... 6 2.3 Contoh Perhitungan 2 .................................................................................... 9 BAB 3 PENUTUP ................................................................................................ 11 3.1 Kesimpulan ................................................................................................. 11 3.2 Saran ............................................................................................................ 11
ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sejarah Perkembangan Linear Programming Ide linear programming pertama kali dicetuskan oleh seorang ahli matematika asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam bukunya yang berjudul Mathematical Methods In The Organization And Planning Of Production. Dengan buku ini, ia telah merumuskan pertama kalinya persoalan Linear Programming. Namun, cara-cara pemecahan persoalan ini di Rusia tidak berkembang dengan baik dan ternyata para ahli di negara Barat dan AS yang menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan baik. Operasi riset (operation research) merupakan penerapan beberapa metode ilmiah yang membantu memecahkan persoalan rumit yang muncul dalam kehidupan sehari-hari kemudian di inteprestasikan dalam permodelan matematika guna mendapatkan informasi solusi yang optimal. Operational research juga banyak digunakan untuk mengambil keputusan yang logis serta dapat dijelaskan secara kuantitatif. Pendekatan khusus ini bertujuan membentuk suatu metode ilmiah dari sistem menggabungkan ukuran-ukuran faktor-faktor seperti kesempatan dan risiko, untuk meramalkan dan membandingkan hasil-hasil dari beberapa keputusan, strategi atau pengawasan. Karena keputusan dalam riset operasi dapat berkaitan dengan biaya relevan, dimana semua biaya yang terkaitan dengan keputusan itu harus dimasukkan, kualitas baik dipengaruhi oleh desain produk atau cara produk dibuat, kehandalan dalam suplai barang dan jasa, kemampuan operasi untuk membuat perubahan dalam desain produk atau kapasitas produksi untuk menyesuaikan diri terhadap perubahan yang terja di. Metode Big M digunakan untuk menyelesaikan fungsi-fungsi dalam program linier yang tidak berada dalam bentuk baku atau standar ( bentuk standar adalah memaksimalkan Z sesuai dengan kendala fungsional dalam bentuk ≤ dan kendala nonegativitas di semua variabel) dan salah satu contoh masalah dalam kendala funsional adalah bila fungsi dalam bentuk- bentuk = atau ≥ atau bahkan ruas kanan yang negatif.
1
1.2 Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan Program Linier Metode Bi g M? 2. Bagaimana Formulasi Metode Big M? 3. Bagaimana contoh soal dan pembahasan fungsi dari metode Big M? 1.3 Tujuan
1. Dapat memahami tentang Program Linier metode Big M. 2. Mengerti formulasi permasalahan Program Linier metode Big M.
2
BAB 2 PEMBAHASAN
2.1 Metode Big M
Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan ≤
tapi
juga
oleh
pertidakasamaan ≥
dan/atau persamaan (=).
Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ mempunyai surplus variable, tidak ada slack variables.
Surplus variable tidak bisa menjadi variabel basis awal.
Dengan
demikian harus ditambahkan satu variabel baru yang dapat berfungsi sebagai variabel Variabel yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal hanya slack
basis awal. variables
1. Jika
dan artificial variables (variabel buatan). semua
variabel
fungsi
kendala
awal
semuanya
basis
menggunakan adalah
pertidaksamaan
slack
≤
maka
variables. Penyelesaian
solusi optimal untuk kasus seperti ini dilakukan dengan cara yang sudah diperkenalkan sebelumnya. 2. Jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ dan/atau ≤ basis awal adalah slack variables dan/atau variabel solusi
optimal
untuk
kasus
metode Big M, Dua Fase atau
seperti
ini
buatan.
maka variabel Penyelesaian
dilakukan dengan memilih antara
Dual Simpleks.
3. Jika fungsi kendala ada yang menggunakan persamaan maka variabel akan
ditemukan
pada
variabel
basis
buatan
awal. Penyelesaian solusi
optimal untuk kasus seperti ini hanya dapat dilakukan dengan memilih antara metode Big M atau Dua Fase.
Kita akan bahas metode Big M dalam sub bab ini.
Perbedaan metode
Big M dengan primal simpleks biasa (teknik penyelesaian yang
sudah
sebelumnya), terletak
dipelajari
pada
pembentukan
tabel
awal. Jika
fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≥, perubahan dari bentuk umum
ke
bentuk
baku
memerlukan
satu
variabel
surplus. Variabel
surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis awal, karena koefisiennya bertanda negatif.
Sebagai variabel basis pada solusi awal, harus ditambahkan satu
variabel buatan.
3
Variabel buatan pada solusi optimal harus bernilai 0, karena variabel ini memang tidak ada. Teknik yang digunakan untuk memaksa variabel buatan bernilai 0 pada solusi optimal adalah dengan cara berikut: •
Penambahan variabel buatan pada fungsi kendala yang tidak memiliki variabel slack, menuntut penambahan variabel buatan pada fungsi tujuan.
•
Jika fungsi tujuan adalah maksimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M; jika fungsi tujuan adalah minimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien -M.
•
Karena
koefisien
variabel
basis
pada
tabel
simpleks
harus bernilai
0, maka variabel buatan pada fungsi tujuan harus digantikan fungsi
kendala
yang
memuat
nilai
dari
variabel buatan tersebut.
Teknik ini memberikan nilai koefisien yang sangat besar kepada variabel-variabel artifisial dalam persamaan objective function. Nilai koefisien ini bertindak sebagai penalty dan disebut Big-M. Nila ini perlu sangat besar agar algoritma simpleks berusaha memprioritaskan menangani variabel artifisial ini terlebih dahulu. Setelah nilai artifisial ini bernilai nol, maka suatu solusi feasible sudah tercapai dan variabel artifisial dapat dibuang dari tabel simpleks. Sebagai contoh apabila objective function yang asli sebagai berikut: max2x1+9x2
maka persamaan tersebut diubah menjadi: max2x1+9x2−MS3−MS4
Keuntungan dari metode ini adalah algoritma simplex dapat dilanjutkan sebagaimana metode simpleks yang biasa. Akan tetapi, penggunaan angka yang sangat besar dapat mengakibatkan iterasi simplex yang tidak stabil karena galat pembulatan.
4
Metode Simpleks biasa dapat menyelesaikan persoalan Pemrograman Linier Kanonik yang mempunyai ciri – ciri : -
Semua variabel slack bertanda “+”
-
Solusi basis awal sudah tersedia
Demikian juga pada soal Pemrograman Linier Non Kanonik solusi basis awal tidak otomatis tersedia karena :
-
Slack pada kendala ³ bertanda “-”
-
Tidak ada slack pada kendala =
-
Matriks Identitas tidak terbentuk, dan solusi basis awal tidak tersedia.
Untuk mengatasi masalah di atas, dibentuk variabel buatan (artificial ) yang harus memenuhi syarat – syarat sbb : 1. Variabel buatan ditambahkan pada kendala ³ dan = 2. Variabel buatan pada tabel awal sebagai basis 3. Variabel buatan pada tabel AKHIR harus NON BASIS 4. Perlu diberikan penalti “M” pada fungsi tujuan. Dari uraian di atas bila disusun dalam langkah-langkah penyelesaian atau yang disebut algoritma metode tersebut seperti yang terlihat di bawah ini. Algoritma Metode Simpleks “M Besar” (M adalah bilangan positif yang sangat besar) yaitu: Rubah model Pemrograman linier ke bentuk standar PL. Tambahkan pada fungsi tujuan, variabel buatan dengan koefisien denda : Bila soal maksimum ® – M Bila soal minimum ® + M ( Jumlah variabel buatan sama dengan jumlah kendala yang bertanda ³ dan = )
5
Masukkan bentuk standar ke tabel awal variabel basis : Variabel slack untuk kendala £ Variabel slack untuk kendala ³ dan = Lakukan test optimalitas dan ratio seperti pada metode simpleks biasa. Catatan :
Usahakan agar variabel buatan keluar dari basis. Bila tidak berhasil pada tabel akhir, maka persoalan program linear tidak mempunyai solusi. 2.2 Contoh perhitungan
Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk Umum Min. z = 4 x 1 + Terhadap: 4x1 + 3x2
x2
3x1 + x2 = 3 ≥6
x1 + 2x2 ≤ 4 x 1 , x2 ≥ 0 Bentuk Baku: Min. z = 4 x 1 + Terhadap: 4x1 + 3x2
x2
3x1 + x2 = 3 - s1 = 6
x1 + 2x2 + s2 = 4 x1, x2, s1, s2 ≥ 0 Kendala 1 dan 2 tidak mempunyai slack variables, sehingga tidak ada variabel basis awal.
Untuk berfungsi sebagai variabel basis awal, pada kendala 1 dan 2
ditambahkan masing-masing satu variabel buatan (artificial variable). baku Big M-nya adalah:
6
Maka bentuk
Min. z = 4 x 1 + Terhadap: 4x1 + 3x2
x2 + MA1 + MA2
3x1 + x2 + A1 = 3 - s1 + A2 = 6 x1 + 2x2 + s2 = 4
x1, x2, s1, s2 ≥ 0
1. Nilai A1 digantikan dari fungsi kendala pertama. A1 = 3 - 3x 1 - x2 MA1
berubah menjadi M(3 - 3x1 - x2)
3M-3Mx1-Mx2
2. Nilai A2 digantikan dari fungsi kendala ketiga. A2 =
6 - 4x1 - 3x2
+ s1
MA2 berubah menjadi M(6 - 4x 1 - 3x2
+ s1)
6M- 4Mx1 - 3Mx2 + Ms1 3. Fungsi tujuan berubah menjadi Min z = 4x 1 + x2 + 3M-3Mx1-Mx2 +6M-4Mx1-3Mx2+Ms1 = (4 -7M)x1+(1 - 4M)x2 + Ms1 +9M 4.
Tabel awal simpleks
VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
z
-4 +7M
-1 +4M
-M
0
0
0
9M
A1
3
1
0
1
0
0
3
A2
4
3
-1
0
1
0
6
S2
1
2
0
0
0
1
4
7
5. Perhitungan iterasinya sama dengan simpleks sebelumnya. Iterasi 0 = Iterasi-0 VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
Rasio
z
-4 +7M
-1 +4M
-M
0
0
0
9M
-
A1
3
1
0
1
0
0
3
1
A2
4
3
-1
0
1
0
6
3/2
S2
1
2
0
0
0
1
4
2
Iterasi 1 = Iterasi-1 VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
Rasio
z
0
(1 +5M)/3
-M
(4-7M)/3
0
0
4+2M
-
X1
1
1/3
0
1/3
0
0
1
3
A2
0
5/3
-1
-4/3
1
0
2
6/5
S2
0
5/3
0
-1/3
0
1
3
9/5
VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
Rasio
z
0
0
1/5
8/5 - M
-1/5 – M
0
18/5
-
X1
1
0
1/5
3/5
-1/5
0
3/5
25/3
X2
0
1
-3/5
-4/5
3/5
0
6/5
-
S2
0
0
1
1
-1
1
1
1
Iterasi 2
8
Iteras 3 Optimal VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
z
0
0
0
7/5-M
-M
-1/5
17/5
X1
1
0
0
2/5
0
-1/5
2/5
X2
0
1
0
-1/5
0
3/5
9/5
S1
0
0
1
1
-1
1
1
Solusi Optimum X1 = 2/5 satuan X2 = 9/5 satuan Z = 17/5 satuan 2.3 Contoh Perhitungan 2 Contoh Soal Program Linier dengan Teknik M:
Perusahaan minuman Bevco memproduksi minuman tanpa alkohol Super-Orange. Super-Orange dibuat dengan mengkombinasikan air soda rasa jeruk dengan jus jeruk. Setiap air soda rasa jeruk mengandung 0.5 ons gula dan 1 mg vitamin C. Setiap ons jus jeruk mengandung 0.25 oms gula dan 3 mg vitamin C. Biaya untuk memproduksi 1 ons air soda rasa jeruk adalah 2¢, sedangkan 1 ons jus jeruk diproduksi dengan biaya 3¢. Bagian pemasaran perusahaan Bevco memutuskan bahwa setiap botol Super-Orange ukuran 10-ons paling sedikit mengandung 30 mg vitamin C dan paling banyak 4 ons gula. Dengan menggunakan program linier, bagaimana Bevco dapat memenuhi kebutuhan bagian pemasaran dengan biaya produksi minimum. Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M Misalkan : x1 = besarnya kandungan (ons) air soda rasa jeruk dalam botol x2 = besarnya kandungan (ons) jus jeruk dalam botol Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M Persoalan di atas mempunyai model PL sbb. : min z = 2x 1 +
3x2 , dengan Z adalah biaya produksi
9
Berdasarkan kendala : 0.5x 1 + 0.25x2
≤ 4
(gula)
x1 +
3x2
≥ 20
(Vitamin C)
x1 +
x2
= 10
(10 ons dalam 1 botol)
x 1 , x2
0
Bentuk standar PL masalah ini ditampilkan dalam slide berikut : Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M Baris 1 :
-z + 2x1 +
3x2
=0
0.25x2 + s1
=4
Baris 2 :
0.5x1 +
Baris 3 :
x1 +
3x2
Baris 4 :
x1 +
x2
- s2
= 20 = 10
Dengan menggunakan teknik artificial variables, yakni dengan menambahkan variabel artifisial a2 pada baris ketiga dan a3 pada baris keempat. Variabel a2 dan a3 ditulis hitam, maka diperoleh : Baris 1 : -z + 2x1 + Baris 2 :
3x2
=0
0.5x1 + 0.25x2 + s1
Baris 3 :
x1 +
3x2
Baris 4 :
x1 +
x2
= 4 - s2 + a2
= 20 + a3
= 10
Solusi Contoh Soal Jika iterasi ini diteruskan akan diperoleh solusi :
x1 = x2 = 5, dan z = 25. Artinya perusahaan itu akan memenuhi tuntutan bagian pemasaran dengan menentukan kandungan air soda rasa jeruk (x1) dan kandungan jus jeruk (x2) dalam botol sebesar 5 ons agar biaya (z) memproduksi air soda rasa jeruk dan jus jeruk minimal sebesar 25¢. Catatan : solusi ini diperoleh dengan menggunakan software POM for Windows
10
BAB 3 PENUTUP
3.1 Kesimpulan Dari pembahasan soal tersebut kita dapat simpulkan bahwa :
1. Metode BIG M digunakan untuk kasus pada model persamaan fungsi pebatas belum memuat matrik identitas 2. Pada kasus tersebut perlu ditambahkan artificial variabel (variabel buatan) R1,R2.R3. 3. Dalam fungsi Z, koefisien artificial variabel diisi dengan : - M untuk kasus maksimasi + M untuk kasus minimasi 4. Dengan ketentuan adalah bilangan yang besar sekali 3.2 Saran
Penulis menyadari tentang penyusunan makalah ini tentu masih banyak kesalahan dan kekurangannya, karena keterbatasan pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan materi ini. Penulis banyak berharap para pembaca dapat memberikan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah dikesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembacanya.
11
