MEKANIKA TERAPAN UNTUK JURUSAN TEKNIKA PELAYARAN NIAGA TINGKAT III
BP2IP TANGERANG | ATT-III | January 1, 2015
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Esa, atas segala rahmat dan karunianya sehingga kami dapat menyelesaikan buku Mekanika Terapan Untuk Teknika ini dengan baik. Buku ini disusun berdasarkan kurikulum dan silabus dari International Maritime Organisation sebagaimana termuat dalam IMO Model Course 7.04 tentang Officer in Charge of an Engineering Watch. Watch. Materi yang disusun dalam buku ini dibuat ringkas tetapi lengkap dan disertai contoh-contoh soal dengan penyelesaiannya supaya memudahkan pembaca untuk memahami materi. Semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pengajar, siswa/taruna dan para pembaca untuk memahami dan menguasai konsep-konsep dasar mekanika maupun penerapannya dalam kehidupan sehari-hari khususnya dalam mempelajari materi-materi produktif teknika kapal. Kritik dan saran dibuka seluas-luasnya untuk perbaikan buku ini dalam edisi mendatang.
Penyusun
DAFTAR ISI
BAB I
STATIKA 1.1 Vektor Gaya 1.2 Resultan Gaya 1.3 Komponen Gaya 1.4 Momen Gaya 1.5 Kopel 1.6 Titik Berat dan Centroid
..... 1
BAB II
DINAMIKA 2.1 Kecepatan dan Efek Perubahan Arah 2.2 Harga Sesaat 2.3 Perubahan Kecepatan 2.4 Kecepatan Relatif 2.5 Gaya Gesek
..... 39
BAB III
HIDROSTATIKA 3.1 Tekanan 3.2 Hukum Pascal 3.3 Prinsip Archimedes
..... 67
BAB IV
HIDRODINAMIKA HIDRODINAMIKA 4.1 Pengertian Debit 4.2 Persamaan Kontinuitas 4.3 Asas Bernoulli 4.4 Teorema Torricelli
..... 84
PENGENALAN SATUAN SI DAN FAKTOR KONVERSI Besaran pokok dan satuannya Besaran Pokok panjang massa waktu kuat arus suhu jumlah zat intensitas cahaya
Simbol
Satuan
l m t I T N J
Simbol
meter kilogram sekon Ampere Kelvin mol kandela
m kg s A K mol cd
Beberapa besaran turunan dan satuannya Besaran Turunan dan Simbol luas ( A) volume (V ) massa jenis ()
kecepatan (v)
Rumus
panjang × lebar panjang × lebar × tinggi massa⁄ volume perpindahan⁄ waktu
kecepatan⁄ waktu gaya ( F ) massa × percepatan usaha dan energi (W ) gaya × perpindahan gaya⁄ tekanan ( P ) luas
percepatan ()
daya impuls dan momentum
Satuan dan Simbol
usaha⁄ waktu gaya × waktu
m2 m3 kg/m3 m/s m/s2 kg m/s2 = Newton (N) kg m2/s2 = Joule (J) kg/m.s2 = Pascal (Pa) kg m2/s3 = Watt (W) kg m/s = N.s
Awalan satuan (Pr efix of units) Awalan
kilo hekto deka satuan desi senti milli
Simbol
k h da d
m
Faktor Pengali 103 atau ×1000 102 atau ×100 101 atau ×10 100 atau ×1 10-1 atau ×0,1 10-2 atau ×0,01 10-3 atau ×0,001
Contoh kilometer (km) hektometer (hm) dekameter (dam) meter (m) desimeter (cm) sentimeter (cm) millimeter (mm)
Awalan
terra giga mega kilo satuan milli mikro nano piko
Simbol T G M k
m
n p
Faktor Pengali 10 atau ×1000000000000 109 atau ×1000000000 106 atau ×1000000 103 atau ×1000 100 atau ×1 10-3 atau ×0,001 10-6 atau ×0,000001 10 -9 atau ×0,000000001 10-12 atau ×0,000000000001 12
Faktor Konversi Satuan
Panjang 1 nautical mile = 1,852 km = 1852 m 1 m = 1,0936 yard = 3,281 kaki = 39,37 inci 1 inci = 2,54 cm 1 kaki = 12 inci = 30,48 cm Luas 1 m2 = 104 cm2 1 are = 43.560 kaki 2 = 4048 m 2
Volume 1 dm3 = 1 liter 1 cc (cm3) = 1 milliliter (mL) 1 gal = 3,786 L Kelajuan 1 knot = 1 mil/jam = 1,852 km/jam
1000 m/s = 0,2778 m/s 3600 1852 1 knot = 1 mil/jam = = 0,5144 m/s 3600
1 km/jam =
Waktu
1 jam = 60 menit = 3600 sekon
Massa 1 ton = 1000 kg 1 kg = 2,204 lbs Massa jenis 1 g/cm3 = 1000 kg/m 3 Gaya 1 N = 1 kg.m/s 2 = 0,2248 pon = 10 5 dyne Tekanan 1 Pa (Pascal) = 1 N/m 2 1 bar = 105 Pa 1 atm = 101,325 kPa = 1,01325 bar 1 atm = 760 mmHg 1 torr = 1 mmHg = 133,32 Pa Energi
Contoh terrameter (Tm) gigameter (Gm) megameter (Mm) kilometer (km) meter (m) millimeter (mm) mikrometer (m) nanometer (nm) pikometer (pm)
1 kW h = 3,6 MJ 1 Joule = 1 N.m=1 Watt.sekon 1 Joule = 0,24 kal 1 Kal = 4,1840 J 1 Btu = 1054,35 J 1 erg = 10-7 J
Daya
1 watt = 1 Joule/sec = 0,86 kcal/h 1 daya kuda (HP) = 745,7 W 1 W = 1,341 x 10 -3 HP
Konstanta gravitasi
G
6,672 × 10-11 N.m2/kg2
Percepatan gravitasi bumi
9,81 m/s2
Massa jenis/densitas udara
1,22 kg/m3
1000 kg/m 3
1025 kg/m 3
7.860 kg/m 3
Massa jenis/densitas air tawar Massa jenis/densitas air laut Massa jenis/densitas besi Massa bumi
M
5,98 × 1024 kg
Statika adalah bahasan dalam fisika yang mempelajari tentang sistem gaya dalam keadaan benar-benar diam.
Gaya, simbol F, adalah tarikan atau dorongan yang merubah keadaan benda yang diam atau benda yang bergerak dengan kecepatan tetap. Satuan gaya adalah Newton. Satu Newton adalah gaya yang apabila dikenakan pada benda 1 kg menyebabkan benda tersebut mengalami percepatan sebesar 1 m/s2. Untuk menjelaskan mengenai gaya, besar dan arahnya harus ditentukan. Sehingga gaya termasuk besaran vektor yaitu besaran yang memiliki nilai dan arah. Vektor digambarkan dengan garis panah berskala. Dalam hal vektor gaya panjang garis menyatakan besar gaya dan arah panah menyatakan arah garis kerja gaya. U
12,5 N 20 N
15 N
Gaya 20 N bekerja dengan arah ke Timur Laut
Gaya 12,5 N bekerja dengan arah ke Barat
Gaya 15 N bekerja dengan arah ke Selatan
Gambar 1.1 Beberapa vektor yang menggambarkan gaya.
Resultan dari beberapa gaya adalah sebuah gaya yang menghasilkan efek yang sama jika menggantikan gaya-gaya tersebut. Gambar 1.2 menunjukkan tiga gaya yang nilainya 5, 10 dan 8 N menarik benda dengan arah yang sama. Diperoleh resultan gayanya adalah 23 N dalam arah yang sama. Ini adalah kasus sederhana berupa gaya-gaya sejajar yang mana resultan gaya diperoleh dengan penjumlahan aljabar biasa. 8N 5N
8N 10 N
Diagram ruang
5N
10 N
Resultan = 8 + 5 + 10 = 23 N
Diagram vektor Gambar 1.2 Resultan gaya
Diagram ruang menggambarkan sistem gaya, sedangkan diagram vektor menggambarkan vektor-vektor secara berskala dan dihubungkan dari ujung ke ujung. Untuk menghitung resultan dari gaya-gaya yang arahnya tidak sejajar digunakan metode poligon gaya. Setiap vektor digambar dengan skala persis sesuai dengan besar dan arahnya, kemudian pangkal vektor kedua diletakkan pada ujung vektor pertama, pangkal vektor ketiga diletakkan pada ujung vektor kedua, demikian seterusnya. Vektor resultan diperoleh dengan menarik garis dari pangkal vektor pertama dan ujung vektor terakhir.
8N
8N
5N
°
10 N
10 N
23
5N
Diagram ruang
Diagram vektor
Gambar 1.3 Menentukan resultan gaya
Equilibrant adalah gaya tunggal yang apabila ditambahkan ke suatu sistem gaya akan menyebabkan benda dalam keseimbangan. Dengan kata lain equilibrant akan menetralkan gaya-gaya lain.
8N 5N
8N 10 N
10 N
8N 5N
Diagram ruang
5N
10 N
Diagram vektor
Gambar 1.4 Menggambarkan equilibran
Jika tiga gaya bekerja pada suatu titik dalam keadaan setimbang, diagram vektor yang digambarkan dengan skala merepresentasikan gaya dalam nilai dan arah, akan berbentuk segitiga tertutup.
a 50
B
60
60
C
°
°
°
A
c
Diagram vektor
Beban 400 N
400 N
50
°
Diagram ruang
b
Gambar 1.5 Segitiga gaya
Jika beberapa gaya bekerja pada sebuah titik berada dalam kesetimbangan, maka diagram vektor yang digambarkan dengan skala merepresentasikan gaya dalam nilai dan arah, akan berbentuk poligon tertutup. 8N 10 N 8N
5N
10 N 5N Diagram ruang
Diagram vektor
Gambar 1.6 Poligon gaya
Kedua teorema di atas pada dasarnya sama, kecuali bahwa segitiga gaya berlaku hanya untuk sistem tiga gaya sedangkan poligon gaya untuk gaya yang lebih dari tiga.
Garis-garis aksi dari 3 gaya coplanar (sebidang) dalam keseimbangan, atau sejumlah gaya dalam kesetimbangan yang mana dapat direduksi menjadi 3 gaya, pasti akan bertemu pada titik yang sama atau paralel satu dengan lainnya.
4N
6N
10 N
Gambar 1.7 Gaya concurrent dan gaya coplanar parallel
Metode ini untuk mendefinisikan gaya dalam sistem gaya dengan memberikan huruf pada ruang dalam diagram ruang dengan huruf kapital A, B, C dst. Sehingga masing-masing gaya dapat dinyatakan oleh dua huruf dari dua ruang yang terpisah gaya, seperti gaya AB, gaya BC dan seterusnya. c
A B E C D
b
Diagram vektor
d
a
Diagram ruang
e
Gambar 1.8 Notasi Bow untuk menentukan diagram ruang dan diagram vektor
Vektor masing-masing gaya dalam diagram vektor diberi label dengan huruf kecil pada pangkal dan ujung vektor seperti ab, bc, dst.
Gaya dapat diuraikan menjadi komponen vertikal dan horizontal FX adalah komponen gaya horisontal, sejajar sumbu x FY adalah komponen gaya vertikal, sejajar sumbu y •
•
Gambar 1.9 Komponen horisontal dan vertikal gaya
=cos =sin
Sebuah benda ditarik dengan gaya 100 N yang kemiringannya 60o terhadap horisontal. Tentukan komponen-komponen rectanguler gaya!
100 N 60° Penyelesaian:
=cos =100 ×cos60=100 ×0,5 =50 =sin =100 ×sin 60=100 ×0,866=86,6
A
R
B
A
B
R
Gambar 1.10 Resultan dua gaya dengan metode jajaran genjang
Dua buah gaya A dan B bekerja pada satu titik membentuk sudut , maka resultan gaya R dapat diperoleh dengan persamaan,
= + +2...cos c
A
B
a
b
C
Gambar 1.11 Aturan segitiga sinus
Sebuah segitiga memiliki sisi A, B dan C , berhadapan dengan sudut a , b dan c , maka berlaku prinsip segitiga sinus sebagai berikut:
sin = sin = sin
Dua buah tali disambung kemudian kedua ujung tali dipasang pada suatu atap, kemudian diberi beban 400 N seperti gambar di bawah. Jika tali membentuk sudut 50o dan 60o terhadap vertikal, hitunglah besar gaya tarikan pada masing-masing tali!
Pertama kita gambarkan dalam diagram ruang kemudian kita buat diagram vektornya dengan Notasi Bow. a 50
°
°
A
B
60
60
C
°
Beban 400 N Diagram ruang
c
Diagram vektor
400 N
50
°
b
Gambar 1.12 Diagram ruang dan diagram vektor pada tali sling
Untuk menghitung gaya-gaya, kita hitung terlebih dahulu sudut acb (di depan vektor gaya 400 N)
–
Sudut acb = 180 (60 + 50) = 70o Kemudian menggunakan aturan segitiga sinus kita hitung gaya pada tali ac,
400 = sin70 sin50400×0, = 0,9397766 =326 400 = sin70 sin60400×0, = 0,9397866 Gaya pada tali bc,
=368,6
Jadi gaya pada tali AC = 326 N, dan gaya pada tali BC = 368,6 N.
Sudut antara jib dan tiang vertikal (vertical post) pada JIB Crane adalah 42 o, dan antara tie dan jib sudutnya 36 o. Hitunglah gaya pada jib dan tie ketika benda bermassa 3,822 . 103 kg dibebankan pada kepala crane! Tie
Jib
Post
Gambar 1.13 JIB crane
Kita gambarkan diagram ruang dan diagram vektor dengan Notasi Bow,
Gambar 1.14 Diagram ruang dan diagram vektor dengan
Notasi Bow pada jib crane.
Berdasarkan diagram vektor,
° ° ° ° Gayasinpada J I B 37, 5 = 102° sin36° Gaya pada JIB= 37,50,×0,58789781 =62,38 kN Gayasipada TI E 37, 5 = n42° sin36° Gaya pada TIE = 37,5×0,66910,5878 =42,69 kN Sudut cab = 180 - (42 + 36 ) = 102 Menggunakan aturan segitiga sinus,
dan pada torak mesin mengkonversi gerak bolak-balik pada piston menjadi gerak rotasi pada sumbu . Berdasarkan gambar di bawah dan dengan melihat pertemuan gaya pada , bagian bawah lengan piston menekan secara vertikal turun pada crosshead. Dorongan connecting road muncul sebagai gaya hambat ke atas dengan kemiringan , dan gaya pada guide merupakan sebuah gaya horisontal untuk menyeimbangkan komponen horisontal dari dorongan connecting road.
Gambar 1.15 Sistem gaya pada thorak mesin
Karena gaya piston selalu bekerja secara vertikal, dan gaya guide selalu horisontal. Vektor diagram gaya-gaya pada crosshead selalu berbentuk segitiga yang menyudut ke kanan. Catat bahwa sudut antara Top Dead Centre (pusat garis mesin) dan connecting road adalah dalam diagram ruang, adalah sama dengan sudut antara gaya piston dan gaya dalam connecting road dalam diagram vektor.
Piston pada torak mesin mendorong dengan gaya 160 kN pada crosshead ketika crank 35o dari Pas Top Dead Centre . Jika langkah pada piston adalah 900 mm dan panjang connecting road adalah 1,65 m, hitunglah gaya pada crosshead guide dan gaya pada connecting rod! Penyelesaian: Berdasarkan diagram ruang, Panjang crank = ½ × langkah = 0,45 m Panjang connecting rod = 1,65 m Sudut crank terhadap Top Death Center (TDC) = Menggunakan aturan segitiga sinus
=35°
0,sin45 = si1,n635°5 sin= 0,45×0,1,655736 =0,−1564 =sin 0,1564 =9° =9° tan= =160×tan9° =25,34 cos= 160 = cos9° =162 Berdasarkan diagram vektor,
Gaya tidak hanya cenderung untuk menggerakan benda tetapi juga untuk memutar benda. Ukuran keefektifan sebuah gaya yang bekerja pada suatu benda untuk memutar benda tersebut terhadap suatu poros tertentu disebut momen gaya atau torsi .
O
A
90° Gambar 1.16 Torsi atau momen gaya
Perhatikan gambar di atas! Sebuah gaya digunakan untuk memutar sebuah batang pada jarak dari sumbu putar O. Arah gaya tegak lurus lengan gaya . Maka besarnya momen gaya tergantung pada besar gaya dan panjang lengan momen , dirumuskan dengan persamaan
Momen gaya = gaya
=.
×
lengan momen
Lengan momen ( ) merupakan panjang garis yang ditarik dari titik poros O sampai memotong tegak lurus garis kerja vektor gaya .
Terkadang gaya disimbolkan juga dengan huruf P, maka momen gaya kadang dirumuskan
=.
Torsi termasuk besaran vektor yang memiliki nilai dan arah. Arah momen gaya mengikuti aturan putaran tangan kanan.
ℎ
ℎ Gambar 1.17 Arah momen gaya mengikuti aturan putaran tangan kanan
Dilihat dari atas, jika arah putaran keempat jari/arah gaya berlawanan arah putaran jarum jam, maka torsi bertanda positif (+), sebaliknya jika arah putaran keempat jari searah jarum jam, maka torsi bertanda negatif ( - ). Momen gaya total pada suatu benda yang disebabkan oleh dua buah gaya atau lebih yang bekerja terhadap suatu poros, dirumuskan sebagai berikut
Σ= + +⋯+ Ketika sebuah benda dikenai beberapa gaya berada dalam kesetimbangan rotasi, jumlah momen gaya searah jarum jam terhadap suatu titik adalah sama dengan jumlah momen gaya berlawanan arah jarum jam terhadap titik yang sama.
Sebagai contoh perhatikan gambar berikut! A
O
A
Gambar 1.18 Sebuah benda dikenai beberapa gaya berada dalam kesetimbangan rotasi
Perhatikan gaya-gaya sebidang , , dan bekerja bersama-sama pada sebuah benda dan menjaga benda tetap pada kesetimbangan. AA adalah sumbu yang mana benda dapat berputar. , , dan adalah jarak masing-masing gaya tegak lurus terhadap O.
== ×× == ××
Momen gaya dari gaya-gaya tersebut adalah: Momen gaya adalah , searah jarum jam (-) Momen gaya adalah , berlawanan arah jarum jam (+) Momen gaya adalah , searah jarum jam (-) Momen gaya adalah , berlawanan arah jarum jam (+) Resultan momen-momen gaya ini adalah sama dengan penjumlahan aljabar dari semua momen gaya disekitar O. Momen gaya resultan
Σ== + +++ +
Karena benda berada dalam keseimbangan rotasi, maka berdasarkan prinsip momen, momen resultan pastilah nol.
+ + =0 + = +
Jika sistem berada pada keseimbangan rotasi maka: Jumlah momen gaya berlawanan arah jarum jam = jumlah momen gaya searah jarum jam
∑ =∑ Ketika sebuah benda di bawah pengaruh sistem gaya sebidang non-concurrent, maka benda mungkin akan berputar ke arah resultan momen sistem gaya, atau mungkin benda akan bergerak secara horisontal atau vertikal ke arah komponen gaya vertikal dan horisontal. “ Benda dapat berada dalam kesetimbangan jika jumlah aljabar semua gaya luar dan momen gaya terhadap suatu titik pada bidang tersebut adalah nol .
”
Secara matematik, kondisi kesetimbangan dapat dinyatakan sebagai berikut:
∑=0 ∑∑ =0 =0
(jumlah semua komponen gaya horisontal nol) (jumlah semua komponen gaya vertikal nol) (jumlah semua momen gaya nol)
∑ =0
Ketika gaya-gaya sebidang bertemu pada suatu titik, sistem gaya disebut dengan sistem gaya sebidang concurrent. Sistem ini akan setimbang jika memenuhi kondisi dan .
∑ =0
Ketika gaya-gaya sebidang tidak bertemu pada suatu titik sistem disebut dengan sistem gaya sebidang non-concurrent. Sistem ini akan seimbang jika semua dari ketiga kondisi kesetimbangan terpenuhi , dan .
∑ =0 ∑ =0 ∑ =0 ∑=0 ∑ =0 ∑=0 ∑
Kondisi dan meyakinkan bahwa sistem tidak direduksi menjadi gaya tunggal dan kondisi meyakinkan bahwa sistem tidak berubah menjadi sebuah kopel. Pada kasus sistem gaya sebidang non-concurrent bisa sama dengan nol tetapi sistem belum tentu setimbang karena titik dimana momen gaya diambil mungkin berada pada garis aksi dari resultan gaya. Maka pada kasus ini, semua dari tiga kondisi kesetimbangan harus terpenuhi.
“
Jumlah aljabar dari momen dua gaya terhadap titik manapun pada bidang mereka sama dengan momen gaya dari resultan 2 gaya tersebut terhadap suatu titik
Contoh: Kasus 1: Ketika dua gaya bertemu pada satu titik.
”.
Gambar 1.19 Gaya P dan Q bekerja pada titik A
Gambar 1.19 menunjukkan gaya P dan Q bekerja pada titik A. besarnya P dinyatakan oleh AB dan Q dinyatakan oleh AD. Dengan metode jajaran genjang diperoleh AC yang menyatakan resultan R dari P dan Q. Ambil titik manapun O pada bidang gaya P dan Q dan dalam garis CD sebagaimana pada gambar. Gabungkan OB dan OA
Momen gaya P terhadap O = 2 ∆OAB Momen gaya Q terhadap O = 2 ∆OAD Momen gaya R terhadap O = 2 ∆OAC Tetapi luas ∆OAB = luas ∆ABC = luas ∆ACD = 2 ∆OAB + 2 ∆OAD = 2 ∆ACD + 2 ∆OAD Substitusi ∆ACD untuk + ∆OAB yang sama=2 ∆ACD + 2 ∆OAD = 22 ∆ACD + ∆OAD ∆OAC Penjumlahan aljabar momen gaya dari gaya P dan Q
= = momen gaya R terhadap O
Catatan: berdasarkan gambar 1.20 tinjau gaya P yang dapat dinyatakan dalam besar dan arah oleh garis AB. Tentukan O menjadi titik yang mana momen gaya dari gaya ini ditentukan.
Gambar 1.20 Momen
gaya dari gaya P terhadap titik O adalah AB × OM = 2 ∆AOB
Gambar OM tegak lurus terhadap AB dan gabungkan OA dan OB. Sekarang momen gaya dari gaya P terhadap O = P × OM =AB × OM
Tetapi AB × OM adalah sama dengan dua kali luas segitiga OAB karena secara geometri luas segitiga ini sama dengan (AB × OM)/2 Jadi momen gaya dari gaya P terhadap titik O adalah AB ×
OM = 2 ∆AOB
Kasus 2: ketika dua gaya sejajar satu sama lain. Ambil P dan Q menjadi dua gaya sejajar sebagaimana gambar 1.21.
Gambar 1.21 Gaya P dan Q menjadi dua gaya sejajar
Gambar garis AB tegak lurus terhadap gaya P dan Q sehingga bertemu pada titik A dan B. Letakkan titik sembarang O pada bidang kedua gaya pada garis AB. Resultan gaya P dan Q akan menjadi R yang mana sama dengan jumlah gaya P dan Q. Buatlah resultan ini bekerja melalui sebuah titik C pada AB sehingga Q × CB = P × CA Jumlah momen dari gaya P dan Q terhadap O = P × OA + Q × OB = P(OC + CA) + Q(OC-CB) = (P + Q) OC + P × CA - Q × CB ingat karena Q × CB = P × CA, maka: = (P + Q) OC = Momen gaya R terhadap O Catatan: Teorema Varignon dapat diaplikasikan pada kasus dimana dua gaya menghasilkan resultan tunggal dan tidak dapat diaplikasikan ketika gaya membentuk kopel karena resultan gaya pada kopel adalah nol.
Kopel adalah pasangan dua gaya yang besarnya sama namun arahnya berlawanan bekerja pada sebuah benda dengan syarat bahwa garis aksi kedua gaya tidak pada satu garis lurus.
Gambar 1.22 Kopel
Efek ketika kopel bekerja pada benda tegar adalah benda akan berotasi tanpa berpindah pada sumbunya. Jarak tegak lurus antara garis aksi dari dua gaya pembentuk kopel disebut lengan kopel . Kemudian pada gambar 1.22 dua gaya yang besarnya sama P dan Q bekerja pada titik A dan B dalam arah berlawanan membentuk kopel dengan AB sebagai lengan kopel. Momen dari sebuah kopel atau sering disebut torque sama dengan perkalian salah satu gaya pembentuk kopel dengan lengan kopel. Berikut adalah contoh-contoh kopel dalam kehidupan sehari-hari 1. Pembuka dan penutup keran air. Dua gaya pembentuk kopel seperti ditunjukkan pada gambar 1.23 2. Pemutar tutup pen 3. Membuka tutup botol 4. Pembuka mur baut 5. Stir mobil (seperti ditunjukkan pada gambar 1.24)
Gambar 1.23 Keran air
Gambar 1.24 Roda stir mobil
Perhatikan dua gaya sejajar dan berlawanan arah dengan besar P masing-masing membentuk kopel P × AB dimana titik A dan B adalah titik dimana gaya P dan P bekerja. Perdasarkan gambar 1.25 (a)
Gambar 1.25 Penjumlahan aljabar momen-momen gaya pembentuk kopel terhadap titik manapun pada bidang yang sama selalu tetap
Momen gaya terhadap O = P × OB - P × OA = P(OB - OA) = P × AB Berdasarkan gambar 1.25 (b) Momen gaya terhadap O = P × OB + P × OA = P(OB + OA) = P × AB Berdasarkan Gambar 1.25 (c) Momen gaya terhadap O = P × OA - P × OB = P(OA - OB) = P × AB Pada semua dari ketiga kasus, kita temukan bahwa jumlah momen pada masing-masing kasus tidak tergantung pada letak titik O, dan hanya tergantung pada konstanta lengan jumlah aljabar momen gaya pembentuk kopel terhadap titik manapun pada bidang yang sama adalah tetap
kopel, sehingga “
”.
Beberapa aplikasi teknik penting dari momen-momen diantaranya adalah: 1. Tuas/ Pengungkit 2. Timbangan 3. Tower Crane 4. Lever Safety Valve (Tuas Katup Pengaman)
Tuas didefinisikan sebagai besi tegar, lurus atau melengkung yang dapat berputar disekitar titik tetap yang disebut titik tumpu . Tuas bekerja berdasarkan prinsip momen bahwa ketika tuas berada dalam keseimbangan, jumlah aljabar momen-momen gaya terhadap titik tumpu adalah nol.
Gambar 1.26 Prinsip tuas
Gambar 1.27 Prinsip tuas menggambarkan sebuah besi linggis digunakan untuk memindahkan kayu berat
Berdasarkan gambar 1.26: Lengan kuasa adalah jarak antara titik tumpu dengan garis aksi gaya kuasa. Lengan beban adalah jarak antara titik tumpu dengan titik dimana beban bekerja. Prinsip momen dapat diaplikasikan ketika tuas berada dalam keseimbangan. Momen terhadap titik F
×=× = = = × =×
Keuntungan mekanis tuas
Ini disebut prinsip tuas. Gambar 1.27 menggambarkan sebuah besi linggis digunakan untuk memindahkan kayu berat dengan menggunakan kuasa yang kecil dengan meletakkan titik tumpu pada tempat yang tepat.
Seorang pria dan anak mengangkat beban 300 N dengan menggunakan batang yang panjangnya 2 m dan beratnya 100 N. pria dan anak mengangkat pada ujung-ujung batang, sedangkan beban diletakkan diantara pria dan anak. Dimana beban harus diletakkan supaya pria memikul beban dua kali beban yang dipikul anak?
Gambar 1.29 Berdasarkan gambar 1.29. berat batang bekerja pada pusat G. Ambil beban yang dipikul W dan beban yang dipikul pria 2W. Ketika berat 300 N bekerja pada jarak x meter dari pria.
Σ=0 +2=300+100=400 =133,3 Dengan mengambil momen gaya terhadap titik A (anak)
2×2=300 2 +100×1 4=600300+100 4×133, 3 =700300 533, 2 =700300 300=166, 8 =0,556 Hitunglah kuasa yang diperlukan pada ujung batang besi yang beratnya 100 N dan panjang 6 meter untuk mengangkat beban 1500 N pada ujung lain. Titik tumpu dijaga berada pada jarak 4,5 m dari ujung dimana kuasa diberikan.
Berdasarkan gambar 1.33. ini adalah tuas tipe 1 dimana titik tumpu berada diantara W dan P.
Gambar 1.33 Dengan mengambil momen gaya terhadap titik tumpu F
×4, 5 +100×1, 5 =1500×1, 5 ×4, 5 +150=2250 =466,6
Tuas katup pengaman adalah sebuah pengganjal boiler yang tujuannya untuk menjaga tekanan dalam boiler tetap berada pada tingkat yang aman dan untuk melepaskan tekanan udara ketika tekanan meningkat melewati batas aman.
Gambar 1.28 Lever safety valve
Berdasarkan gambar 1.28. ini terdiri dari katup V kuat yang terhubung dengan tuas FA, yang mana titik tumpu adalah pada F. Pada ujung A, sebuah beban w digantung yang mana akan memberikan momen pada katup untuk menjaganya tetap berada pada tempatnya melawan tekanan uap dari bawah, yang mana memberikan momen yang berlawanan terhadap titik tumpu F. Segera setelah momen akibat tekanan uap meningkat, katup terangkat ke atas dari dudukannya dan melepaskan tekanan uap ke atmosfir. Ketika tekanan uap di dalam boiler turun menuju nilai aman katup otomatis menempati dudukannya dan menghentikan keluarnya uap lebih lanjut. Ambil
= berat tuas (bekerja pada pusat gravitasi G) = berat katup = berat beban di ujung A = intensitas aman tekanan uap = luas katup (= dimana adalah diameter katup)
4
Untuk menghitung besarnya beban w yang mana akan pertama menjaga katup pada dudukannya melawan tekanan uap, mari kita ambil momen terhadap titik tumpu F,
×+ ×+ ×=××
= × × =×
Karena semua besaran kecuali w dan AF diketahui, maka w dapat dihitung kemudian. Dan reaksi pada . Reaksi ini akan bekerja ke arah bawah ketika tekanan uap adalah lebih besar dan ke arah atas ketika ini lebih kecil dari pada gaya-gaya ke bawah lainnya.
(i) Besar, arah dan letak resultan sistem gaya sebidang, non-concurrent, non-paralel dapat diperoleh secara analitis dengan persamaan Dimana:
ΣΣ
= Σ +Σ
= jumlah aljabar komponen horisontal semua gaya = jumlah aljabar komponen vertikal semua gaya
(ii) Arah resultan gaya ditentukan dengan menggunakan persamaan
tan= ΣΣ (iii) Letak resultan ditentukan dengan mengambil momen dari semua komponen tegak lurus gaya terhadap sebuah titik pada bidangnya dan persamaan jumlah aljabar momen-momen dari semua gaya dengan resultan menggunakan persamaan.
Gaya 1P, 3P, -4P masing-masing bekerja pada sisi-sisi segitiga samasisi dengan sisi 20 mm digambar pada lapisan tipis padat. Hitunglah besar, arah dan letak resultan gaya-gaya tersebut. Penyelesaian: Berdasarkan gambar dibawah
Penyelesaian gaya-gaya horisontal:
∑=1cos60°+3+4cos60°=0, 5 +3+2=4, 5 ∑=1sin60°4sin60°=4,33 = ∑ +∑ = 4,5 +4,33 =6,24 tan= ∑∑ = 4,4,533 =0,962 =tan−0,962=43,9° Penyelesaian gaya-gaya vertikal:
Resultan gaya,
Arah resultan ,
terhadap horisontal
Letak resultan gaya,
Ambil x = jarak tegak lurus antara B dan garis gaya resultan. Sekarang, ambil momen disekitar B, kita peroleh
∑ ∶6,24×=×0+3×0+4×sin60∘ =11,1 ∑ + ∑ bahwa sudut ke-4
mengindikasikan terletak pada kuadran
Empat gaya yang nilainya 10 N. 20 N, 30 N dan 40 N garis gayanya bekerja sepanjang keempat sisi persegi ABCD, seperti gambar 3.33. hitunglah besar, arah dan posisi resultan gaya.
Gambar 1.30
Besarnya resultan gaya R Penyelesaian semua komponen gaya horisontal
Σ=1030=20 Σ=2040=20 +Σ = Σ +20 = 20 =28,28
Dan penyelesaian semua komponen vertikal Sekarang, resultan gaya
Untuk menghitung arah resultan gaya
Gambar 1.31
Ambil = sudut yang dibentuk resultan terhadap horisontal
tan= ΣΣ = 20 20 =1 =45° ° ° =180°+45°=225°
Karena terletak antara sudut 180 dan 270 Jadi sudut aktual
Posisi resultan gaya: Ambil x = jarak tegak lurus antara A dan garis resultan gaya. Sekarang dengan mengambil momen gaya terhadap A, kita peroleh
Σ:28,28×=10×0+20×1+30×1+40×0=50 = 28,5028 =1,768
Gambar 1.32
Centroid dari sebuah luasan terletak pada pusat geometri. Pada masing-masing gambar 1.34, titik G menyatakan centroid. Titik berat pada benda homogen terletak pada pusat geometrinya (centroid).
Gambar 1.34 Centroid/pusat geometri dari beberapa benda
Letak centroid beberapa bidang geometri:
Pusat gravitasi/titik berat suatu benda dapat didefinisikan sebagai titik dimana berat benda tersebut diasumsikan bekerja. Pusat gravitasi benda atau obyek biasanya disimbolkan dengan c.g atau lebih sederhana dengan G. Letak pusat gravitasi tergantung pada bentuk benda.
Pusat gravitasi beberapa benda dapat diketahui dengan penyeimbangan obyek pada suatu titik. Sebagai contoh untuk mengetahui titik berat batang maka kita gantung batang dengan tali, kemudian kita atur letak ikatan tali hingga kondisi batang menjadi vertikal. Maka letak pusat gravitasi terletak pada ikatan tali tersebut.
Gambar 1.35 Pusat gravitasi beberapa benda dapat diketahui dengan penyeimbangan obyek pada suatu titik
Pusat gravitasi sebuah massa yang digantung dari sebuah titik tunggal terletak pada garis vertikal di bawah titik gantung (gambar 1.36a). Pusat gravitasi sebuah massa yang ditunjang oleh sebuah titik tunggal terletak secara vertikal di atas titik penunjang (gambar 1.36b).
G
G
(a)
(b) Gambar 1.36
Benda yang bentuknya tidak teratur titik beratnya dapat diketahui dengan langkahlangkah sebagai berikut: a. Benda digantung b. Tarik garis vertikal segaris dengan tali. c. Ulangi untuk ujung penggantung yang berbeda, kemudian Tarik garis vertikal segaris dengan tali. d. Perpotongan kedua garis tersebut merupakan titik berat benda.
Gambar 1.37 Menentukan letak titik berat benda yang bentuknya tidak teratur
Partikel-partikel pada gambar di bawah ini masing-masing mempunyai gaya berat w1, w 2, ...., wn dengan resultan gaya berat w. Resultan dari seluruh gaya berat benda yang terdiri atas bagian-bagian kecil benda dinamakan gaya berat. Titik tangkap gaya berat tersebut yang disebut titik berat.
w
Gambar 1.38 Titik berat
Pusat massa merupakan tempat massa benda terpusat. Apabila benda mengalami rotasi maka titik pusat massa menjadi pusat rotasi.
Tabel di bawah memberikan letak pusat gravitasi benda-benda pejal teratur.
Gambar 1.39 Titik berat benda homogen satu dimensi (garis) Perhatikan gambar 1.39, dua benda 1 dimensi (warna hijau), titik berat masing-masing benda berada di pusat geometri (titik hijau). Untuk benda-benda berbentuk memanjang seperti kawat, massa benda dianggap diwakili oleh panjangnya (satu dimensi) dan titik beratnya dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:
l 1
= ++ = ++ = panjang garis 1 = koordinat sumbu x titik berat benda 1 = koordinat sumbu y titik berat benda 1 = panjang garis 2 = koordinat sumbu x titik berat benda 2 = koordinat sumbu y titik berat benda 2
x 1
y 1 l 2
x 2
y 2
Tentukanlah letak titik berat benda homogen satu dimensi seperti gambar berikut ini!
Bentuk benda homogen berbentuk garis (1 dimensi) dan letak titik beratnya.
Gambar 1.40 Titik berat benda-benda homogen berbentuk luasan (dua dimensi)
Jberat ika tebalgabungan diabaikbenda an makahomogen benda dapat di a nggap berbentuk l u asan dua di m ensi , dan ti t i k berbentuk l u asan dapat di t entukan dengan persamaan berikut: = ++ = ++
A1 = luas bidang 1 A2 = luas bidang 2 x 1 = absis titik berat benda 1 x 2 = absis titik berat benda 2 y 1 = ordinat titik berat benda 1 y 2 = ordinat titik berat benda 2
Tentukan lokasi titik berat luasan berikut ini!
Bagi luasan menjadi 3 bagian.
Data yang diperlukan: A1 = 20 x 50 = 1000 x 1 = 10 y 1 = 25 A2 = 30 x 20 = 600 x 2 = 35 y 2 = 40 A3 = 20 x 10 = 200 x 3 = 30 y 3 = 15
= ++++ = ++++ 100025+60040+20015 = 100010+60035+20030 = 1000+600+200 1000+600+200 =20,56 =28,89 Jadi letak koordinat titik berat bangun tersebut adalah (20,56 ; 28,89)
Titik berat benda homogen berbentuk luasan yang bentuknya teratur terletak pada sumbu simetrinya. Untuk bidang segi empat, titik berat diperpotongan diagonalnya, dan untuk lingkaran terletak dipusat lingkaran. Titik berat bidang homogen diperlihatkan pada tabel berikut:
Gambar 1.41 Titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga
Letak titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga dapat ditentukan dengan persamaan:
V 1 =volume benda 1 V 2 = volume benda 2 x 1 = absis titik berat benda 1 x 2 = absis titik berat benda 2 y 1 = ordinat titik berat benda 1 y 2 = ordinat titik berat benda 2
= ++ = ++
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Sebuah dorongan vertikal ke atas 90 N dikenakan pada sebuah benda dan pada waktu yang bersamaan gaya 120 N menarik benda tersebut dalam arah horisontal. Hitunglah besar dan arah resultan dari kedua gaya tersebut! 2. Dua buah gaya bekerja pada suatu benda, gaya pertama menarik benda secara horisontal ke kanan besarnya 20 N, gaya kedua 17 N menarik vertikal ke bawah. Hitunglah besar dan arah gaya ketiga yang akan menetralkan efek dari kedua gaya tersebut! 3. Tiga buah gaya menarik benda sehingga dalam kesetimbangan. Gaya pertama mengarah ke selatan. Gaya kedua mengarah ke 75 o ke timur dari utara. Dan gaya ketiga mengarah 40o ke barat dari utara. Jika besar gaya yang mengarah ke selatan adalah 35 N. Hitunglah besar gaya yang lainnya. 4. Dua tali pengangkat terhubung pada papan beban yang bermuatan 25 kN. Jika tali membentuk sudut 32o dan 42o terhadap vertikal, hitunglah tegangan pada masingmasing tali! 5. Sudut antara jib dan vertical post (tiang vertikal) pada sebuah jib crame adalah 40o, dan antara jib dan tie sudutnya 45 o. Hitunglah gaya pada jib dan tie ketika beban 15kN tergantung pada kepala crane! 6. Ketika crank pada torak mesin membentuk sudut 60 o terhadap Top Dead Centre , gaya kuasa piston efektif pada crosshead adalah 180 kN. Jika langkah pada piston adalah 600 mm, dan panjang connecting road adalah 1,25 m, hitunglah gaya beban pada guide dan dorongan pada connecting road. 7. Sebuah persegi LMNS memiliki gaya yang bekerja sepanjang sisi-sisinya seperti diilustrasikan pada gambar di bawah. Hitunglah besar F 1 dan F2, jika sistem direduksi menjadi sebuah kopel. Hitung juga besarnya kopel, jika sisi persegi panjangnya 2 m.
8. Diberikan sebuah bangun datar sebagai berikut. Tentukan koordinat titik berat diukur dari titik O.
9. Diberikan sebuah bangun datar sebagai berikut. Tentukan koordinat titik berat diukur dari titik O.
y (m)
4,5 2,5
O
x (m) 1,5
2,5 3,5
17,5
20
Suatu benda dikatakan bergerak jika benda tersebut kedudukannya berubah setiap saat terhadap titik acuannya (titik asalnya). Sebuah benda dikatakan bergerak lurus atau melengkung, jika lintasan berubahnya kedudukan dari titik asalnya berbentuk garis lurus atau melengkung. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak tanpa mengindahkan penyebabnya, sedangkan Dinamika adalah ilmu yang mempelajari gerak dan gaya-gaya penyebabnya. Gaya merupakan tarikan atau dorongan yang dapat menyebabkan perubahan posisi, kecepatan, dan bentuk suatu benda.
adalah tingkatan bagaimana gerak benda melalui ruangan. Kelajuan adalah besaran skalar yang besarnya sesuai dengan jarak tempuh dalam satu satuan waktu . Satuan laju dan kecepatan adalah m/s, km/jam atau knot (mil/jam). Kelajuan merupakan besaran skalar. Laju mungkin bervariasi sepanjang perjalanan, sebagai contoh, jika kapal berjalan 180 km dalam 3 jam, adalah tidak mungkin kapal tersebut berjalan dengan kecepatan konstan 60 km/jam selama 3 jam tersebut, melainkan kadang lebih cepat kadang lebih lambat, namun kelajuan rata-ratanya 60 km/jam. Kelajuan dapat diperoleh dengan rumus,
atau
ℎ = ℎ =
menunjukkan laju pada arah tertentu (spesifik). Kecepatan v adalah besaran vektor yang besarnya sesuai dengan perpindahan dalam satu satuan waktu . Oleh karena itu kecepatan menunjukkan 2 fakta tentang gerak benda, yaitu laju dan arah gerakan. Sebagai konsekuensinya kecepatan merupakan besaran vektor dan dapat diilustrasikan dengan menggambarkan sebuah vektor berskala, panjang menyatakan laju gerak benda, dan arah panah menyatakan arah gerak benda. 2 m/s ke timur
Gambar 2.1 Vektor kecepatan
dicari dengan diagram vektor kecepatan dengan cara yang sama seperti pada diagram vektor gaya. Hal ini disebut dengan penjumlahan vektor.
Sebuah kapal berjalan ke arah utara dengan kecepatan 16 knots bergerak melawan arus air yang kecepatannya 4 knot berarah tenggara. Hitunglah resultan laju dan arah gerak kapal.
b L A P A K I L S A K A R E G
45o
a r a t u e k t o n k 6 1
B
A
135°
t o n k 6 1 L A P A K I L S A K A R E G
c
a
C
= + +2×××cos135° = + 2×××45° =16 +4 2×16×4×cos45 =256+1690,51 = √ 181,49 =13,47 4sin knots = 13,si4n745knots sin= 4×0,13,740717 =0,2100 knots
Dengan aturan segitiga sinus, diperoleh:
ingat bahwa
cos180 =cos
=sin− 0,2100 =12,1224°=12°7′ 13,47 12°7′
Jadi diperoleh :
Resultan Laju =
knots
Resultan arah =
dari utara ke timur
akan terjadi jika laju berubah atau jika arah gerak berubah, atau kedua-duanya berubah. Pada perubahan kecepatan tanpa perubahan arah akan dianggap bahwa laju dan kecepatan diperlakukan sama. memiliki satuan yang sama dengan satuan laju yaitu m/s, km/jam, atau knots. Simbol kecepatan adalah .
Jika benda bergerak dengan kecepatan rata-rata 40 m/s selama 5 s, maka jarak tempuh total adalah 200 m.
Jarak tempuh= kecepatan ratarata ×waktu tempuh =×
Perpindahan (memiliki jarak dan arah) merupakan vektor; simbolnya .
adalah perubahan kecepatan pada selang waktu tertentu. Jika percepatan bertambah dikatakan mengalami percepatan, sebaliknya jika kecepatan menurun dikatakan mengalami perlambatan (memiliki percepatan negatif). Sebagai contoh jika sebuah kapal bergerak dengan laju dipercepat dari 2 m/s sampai 12 m/s dalam waktu 5 detik, maka total perubahan kecepatan adalah 12 2 = 10 m/s. Dalam waktu 5 detik kecepatan meningkat sebesar 10 m/s, maka dalam waktu 1 detik besar perubahan kecepatan adalah 10 : 5 = 2 m/s. Maka percepatan benda itu adalah 2 m/s 2.
–
dengan :
∆ ∆
kecepatan Percepatan= perubahan selang waktu = ∆∆ =
: percepatan (m/s2) : perubahan kecepatan (m/s) : selang waktu (s) : kecepatan akhir (m/s)
: kecepatan awal (m/s) : waktu akhir (m/s) : waktu awal (m/s)
Satu Nautical Mile International adalah 1,852 km, dan satu knots adalah 1,852 km/jam.
Sebuah mesin kapal dimatikan ketika bergerak pada laju 18 knot dan kapal berhenti setelah 20 menit. Diasumsikan perlambatan kapal konstan (diperlambat beraturan). Hitunglah perlambatan kapal (dalam m/s 2) dan jarak tempuh kapal dalam nautical mile sejak mesin mati. Perlambatan diperoleh:
= ∆∆ = = 018 20 = 18 ×1,1200852/ 1852 18× = 12003600 = 18×1852 3600×1200 =0,00772 / Jarak tempuh:
ℎ = × ℎ 20 = 18+0 × 2 60 = 182 × 2060 ℎ =3
Sebuah mobil bergerak dari posisi diam hingga mencapai laju 54 km/jam menempuh jarak 90 m. Diasumsikan mobil bergerak lurus berubah beraturan (kecepatan berubah dengan percepatan konstan). Hitunglah percepatan gerak mobil tersebut! Kecepatan maksimum = 54 km/jam
54×10 = 3600 ⁄ =15 × × Selang waktu,∆= 7,905 / = 12 Percepatan,= ∆∆ = ∆ = 15012 / = 1512 / =1,25 /
Kecepatan rata-rata = (vo+vt ) = (0+15) = 7,5 m/s Jarak = kecepatan rata-rata 90 m = 7,5 m/s
selang waktu
selang waktu
Grafik kecepatan terhadap waktu dapat sangat berguna menjadi metode untuk menyelesaikan permasalahan sekaligus menyediakan gambar dari sebuah fakta. Daerah pada grafik kecepatan-waktu merepresentasikan jarak tempuh dan slope/kemiringan kurva merepresentasikan percepatan. Slope/kemiringan grafik perpindahan (jarak)-waktu merepresentasikan kecepatan. Gambar 2.2 menjelaskan sebuah benda bergerak dengan kecepatan konstan 20 km/jam selama 4 jam. Daerah yang dilingkupi oleh grafik adalah empat persegi panjang dengan tinggi 20 km/jam dan panjang 4 jam, luas persegi panjang adalah perkalian antara tinggi dengan panjang, ini merupakan perkalian antara kecepatan dan waktu yang mana menghasilkan jarak tempuh. Oleh karena itu daerah yang dilingkupi grafik merepresentasikan jarak tempuh.
Grafik kecepatan terhadap waktu 25
Kecepatan tetap 20 m/s ) 20 m a j / m15 k ( n a t a 10 p e c e K 5
Luas yang terlingkupi oleh grafik = jarak tempuh = 20 x 4 = 80 km
0 0
1
2
3
4
5
Waktu (jam)
Gambar 2.2 sebuah benda bergerak dengan kecepatan konstan 20 km/jam selama 4 jam
Daerah yang dilingkupi oleh grafik =tinggi ×panjang Jarak tempuh =kecepatan ×waktu =20 jkmam ×4 jam =80
Gambar 2.3 menjelaskan sebuah benda yang awalnya diam, kecepatannya bertambah menjadi 30 m/s dalam 6 detik, tingkat peningkatan kecepatannya (disebut percepatan) konstan.
Grafik kecepatan terhadap waktu 35 30 ) 25 s / m ( n 20 a t a 15 p e c e K 10
Luas = jarak tempuh = ½ × 30 × 6 = 90 m
5 0 0
1
2
3
4
Waktu (s)
5
6
7
Gambar 2.3 sebuah benda yang awalnya diam, kecepatannya bertambah menjadi 30 m/s dalam 6 detik dengan percepatan konstan
Daerah yang dilingkupi oleh grafik=Luas segitiga = 12 ×30×6 =90 atau dengan persamaan, Jarak=laju rata rata ×waktu =̅ × =1/20+30×6 =90
Sekali lagi daerah yang dilingkupi grafik kecepatan waktu merepresentasikan perpindahan (jarak tempuh). Selanjutnya, pada setiap detik peningkatan kecepatan adalah 5 m/s, ini adalah percepatan 5 m/s 2 yang digambarkan oleh slope/gradien/kemiringan grafik. Percepatan yang besar akan ditunjukkan dengan slope/gradien yang lebih curam, perlambatan akan ditunjukkan dengan slope/gradien yang arah kemiringannya berlawanan. Gambar 2.4 menunjukkan sebuah kapal yang diperlambat dari 16 knots menuju 10 knots dalam waktu 12 menit. Jarak tempuh selama waktu itu adalah
=̅ × 12 = 16+10 × 2 60 =2,6 nautical miles
Kapal kehilangan 6 knots dalam 12 menit yang ekuivalen dengan 30 knots dalam 60 menit. Jadi perlambatan dalam satuan yang sama dengan satuan pada grafik adalah:
Perlambatan=30 knots per jam
Atau jika dinyatakan dalam satuan m/s 2 menjadi:
1 =1,852 30×1, 8 52 30×1852 55560 Perlambatan= 301 = = = 1 ×1 3600 ×3600 1296×10
=4,287×10− / Grafik kecepatan terhadap waktu 18 16 14 12 ) t o n 10 k ( u j 8 a L
Luas = jarak tempuh = ½ (16+10) × 1/5 = 2,6 Nautical mile
6 4 2 0 0
0.1
0.2
Waktu (jam)
Gambar 2.4 Sebuah kapal yang diperlambat dari 16 knots menuju 10 knots dalam waktu 12 menit.
Sebuah kereta yang awalnya diam, kemudian bergerak hingga mencapai kecepatan 90 km/jam dalam 25 detik. Kemudian selama 1,5 menit kereta bergerak dengan kecepatan tersebut, kemudian kecepatannya berkurang sampai berhenti dalam 20 s. Anggap percepatan dan perlambatan beraturan( uniform ), gambarkan grafik v-t , hitunglah total jarak yang dilalui dan nyatakan percepatan dan perlambatan dalam m/s 2.
Grafik kecepatan terhadap waktu 30
Laju tetap
25 ) 20 s / m ( 15 u j a L
10 5
90
25
20
0 0
25
50
100
Waktu (detik)
115
135
150
Gambar 2.5 Grafik v-t
90×10 90 = 3600 / =25 / Luas dibawah garis percepatan=0,5 ×25×25=312,5 m Luas dibawah garis kecepatan konstan=25×90=2250 m Luas dibawah garis perlambatan=0,5 ×25×20=250 m kecepatan 25 m/s Percepatan= peningkatan = =1 m/s waktu 25 s Perlambatan= Penurunanwaktukecepatan = 2520m/ss =1,25 m/s
Jarak tempuh total = Total Luas = 312,5 + 2250 + 250 = 2812,5 m
Meskipun semua permasalahan-permasalahan dapat dikerjakan dengan prinsip-prinsip tersebut, namun kadang lebih mudah untuk menyelesaikannya dengan persamaan. Simbol yang biasa digunakan adalah sebagai berikut:
=kecepatan awal m⁄s =kecepatan awal m⁄s =percepatan ms =waktu s =jarak tempuh m
Ada empat persamaan umum yang berkaitan dengan kecepatan linier, percepatan, waktu dan perpindahan, yaitu:
= + =̅ =( +2 ) =± 12
= ±2
Persamaan di atas menggunakan tanda (±) plus atau minus tergantung bagaimana percepatan geraknya. Tanda (+) untuk percepatan positif (gerak dipercepat), sedangkan tanda (-) untuk percepatan negatif (gerak diperlambat).
. Sebuah kapal bergerak dengan kecepatan awal 10 m/s, kemudian diberikan percepatan tetap 2 m/s2 selama 6 detik. Hitunglah kecepatan pada akhir 6 detik dan jarak tempuh selama waktu tersebut!
Setelah 6 s,
=10 =2 =6 = +
=10+2×6 =22 / =± 12 =10×6+ 12 ×2×6 =60+36 =96 .
Propeller kapal dihentikan ketika berjalan pada laju 25 knots, dan sejak propeller dimatikan kapal masih menempuh jarak 4 km hingga berhenti. Hitunglah waktu yang diperlukan untuk berhenti dalam menit, dan perlambatan rata-rata dalam m/s 2. 1 knot = 1,852 km/jam.
=4000
=25 =25× 1852 3600 =12,86 / =0
= +2 0 =12,86 +2××4000 = 165,80003796 =0,02067 /
Tanda minus menunjukkan gerak diperlambat dengan perlambatan 0,02067 m/s2.
Bumi menarik semua benda mengarah ke pusat bumi sehingga benda akan mengalami gerak jatuh bebas, dengan mengabaikan hambatan udara maka benda akan jatuh bebas ke bumi dengan percepatan tetap. Percepatan tersebut merupakan percepatan gravitasi, nilainya bervariasi tergantung kedudukannya di permukaan bumi namun diambil rata-rata 9,81 g m/s2 jatuh maka kecepatannya bertambah 9,81 m/s setiap detiknya.
dan direpresentasikan dengan ‘ ’. Sehingga jika benda yang awalnya diam kemudian
Sebuah benda jatuh dari keadaan diam. Hitunglah kecepatan setelah jatuh selama 4 detik dan jarak tempuh selama waktu tersebut.
Dalam gerak vertikal a = g
Kecepatan akhir v t = 39,24 m/s
Dalam gerak vertikal s = h
Jarak jatuh = 78,48 m
= + = + =0+9,81×4 =± 12 ℎ=+ 12 =0×4+ 12 ×9, 8 1×4
Sebuah proyektil ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 300 m/s. Hitunglah (i) kecepatannya setelah 20 s, (ii) ketinggian diatas tanah setelah 20 s, (iii) waktu yang diperlukan untuk mencapai puncak ketinggian, (iv) ketinggian maksimum yang dicapai, waktu tempuh total dari meninggalkan tanah sampai kembali ke tanah.
Kecepatan pada detik ke-20
= =3009, 8 1×20 =103,8 /
ℎ=+ 12 =300×20+ 12 ×9,81×20 =4038 0=3009,81× = 9,30081 = 2ℎ 0=300 2×9,81×ℎ 300 ℎ= 2×9,81 =4587
Ketinggian
Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum
=30,58
Ketinggian maksimum = 4587 m
Waktu total = 2 × 30,58 = 61,16 s.
Untuk benda yang bergerak lurus, berdasarkan kemiringan grafik s-t dan v-t, diperoleh harga sesaat,
=lim∆→ ∆∆ = ∆ =lim∆→ ∆ = =
Dari daerah di bawah grafik v-t dan a-t,
=∫
=∫ Kecepatan sebuah benda pada waktu t dinyatakan oleh persamaan berikut:
=3 4 / =∫ 4 =∫3 =[ 2] 30 =2718 =9 =3 4=2712=15 = = 3 4=64=14
Hitunglah perpindahan, kecepatan, percepatan setelah bergerak 3 detik dari diam.
Jadi perpindahan = 9 m setelah 3 detik.
Kecepatan = 15 m/s pada detik ke 3.
Percepatan = 14 m/s2 setelah 3 s.
Kecepatan adalah besaran vektor yang menyatakan laju dan arah dan oleh karena itu perubahan kecepatan terjadi jika laju berubah tanpa perubahan arah , atau jika arah berubah ketika laju tetap , atau jika terjadi perubahan keduanya laju dan arah .
Gambar 2.6 Contoh perubahan kecepatan
Tinjau contoh sederhana Gambar 2.6 yang mengilustrasikan diagram ruang dan vektor kecepatan. Kasus A menyatakan benda bergerak 5 m/s ke timur, mengalami perubahan kecepatan menjadi 12 m/s ke timur. Vektor masing masing kecepatan digambar dari titik yang sama, perbedaan antara ujung-ujung vektor adalah perubahan kecepatan, dalam kasus ini adalah 7 m/s. Kasus B adalah sebuah benda dengan kecepatan awal 9 m/s ke timur, berubah menjadi 2 m/s ke barat. Vektor diagram menunjukkan vektor masing-masing kecepatan digambar dari titik yang sama, perbedaan antara titik ujung mereka adalah perubahan kecepatan yaitu 11m/s. Kasus 3 adalah sebuah benda dengan kecepatan awal 6 m/s ke timur berubah menjadi 8 m/s ke selatan. Diagram vektor dibentuk pada prinsip yang sama dari dua vektor yang digambar dari sebuah titik yang sama. Perubahan kecepatan adalah selalu merupakan
+6 =10 8 √ ° 52’W. Perubahan kecepatan mengambil tempat dalam
perbedaan antara ujung-ujung bebas kedua vektor, yaitu m/s. Arah perubahan kecepatan adalah S36 arah gaya kerja yang diberikan yaitu antara perubahan dari timur ke baratdaya. Pada semua kasus, diagram vektor dibentuk dengan menggambar vektor-vektor kecepatan dari sebuah titik yang sama. Ini disebut dengan pengurangan vektor . Percepatan adalah perubahan kecepatan terhadap waktu . Kemudian dalam semua kasus harga percepatan dapat diperoleh dengan cara biasanya yaitu perubahan kecepatan dibagi dengan selang waktu.
Sebuah pesawat terbang mengalami perubahan kecepatan dari 400 km/jam berarah barat menjadi 500 km/jam berarah timur laut dalam ½ menit. Hitunglah kecepatan rata-rata dalam m/s2.
Gambar 2.7 Diagram ruang dan diagram vektor
= + 2cos =500 +400 2×500×400×cos135° =250000+160000+282800 =√ 692800 =832,4 kecepatan Percepatan= perubahan selang waktu 4 ×10 = 832, 3600×30 =7,707 Jadi perubahan kecepatan adalah 832,4 km/jam
Jadi besar percepatan adalah 7,707 m/s 2.
Penjelasan di atas hanya untuk kecepatan objek bergerak melewati titik-titik tetap pada bumi (sebagai acuan), yang mana ini disebut dengan kecepatan absolut/mutlak. Ketika kecepatan gerak objek A dinyatakan sebagai laju obyek A melewati obyek bergerak lain B (atau dapat dikatakan kecepatan obyek A menurut obyek bergerak B), ini disebut kecepatan relatif A terhadap B. Sebagai akibatnya ini adalah kecepatan A seperti tampak oleh seorang yang bergerak dengan obyek B dan sehingga kadang disebut sebagai kecepatan semu/relatif .
50 km/jam A B
50 km/jam
Gambar 2.8 Contoh kecepatan relatif/semu obyek-obyek berkecepatan sama bergerak searah dan sejajar
Jika dua obyek bergerak sejajar dengan kecepatan tetap seperti pada gambar 2.8, kecepatan relatif satu dengan yang lain adalah nol. Sebagai contoh ketika dua orang duduk saling menatap di dalam sebuah kereta api bergerak yang sama, mata satu sama lain tidak bergerak, kecepatan semu satu terhadap lainnya adalah nol. Akan tetapi, jika sebuah obyek bergerak dalam arah berlawanan terhadap obyek yang lainnya misalkan kereta yang bergerak sejajar dalam arah berlawanan, masing masing berkecepatan 50 km/jam seperti diilustrasikan oleh gambar 2.9, obyek satu akan melihat obyek lain dengan kecepatan 100 km/jam, sehingga kecepatan relatif satu terhadap yang lain adalah 100 km/jam.
50 km/jam A 50 km/jam
B
Gambar 2.9 Contoh kecepatan relatif/semu obyek-obyek berkecepatan sama bergerak berlawanan arah dan sejajar
Kecepatan relatif obyek-obyek yang bergerak saling sejajar sederhana dan mudah dipahami, tetapi ketika tidak saling sejajar maka agak rumit dan diperlukan menggambar diagramdiagram vektor. Tinjau sebuah benda A bergerak 30 m/s ke timur dan benda lain B bergerak 35 m/s 20 o ke utara dari timur. Diagram ruang pertama digambar untuk menunjukkan kecepatan absolut masing-masing, sebagaimana kecepatan tersebut relatif terhadap bumi, diberi tanda A atau B di belakang vektor, dan E (untuk bumi) pada ujung vektor. Lihat gambar 2.10. Diagram vektor sekarang dapat digambar dengan E sebagai sebuah titik bersama untuk dua kecepatan absolut, kecepatan relatif dari A ke B, atau dari B ke A, adalah vektor penghubung dua pangkal vektor. Jika kecepatan B relatif terhadap A yang dicari, panah ditaruh pada titik dari B ke A dan menggambarkan bagaimana gerak obyek B menurut pandangan A. Jika kecepatan A relatif terhadap B yang dicari, panah ditaruh pada titik dari A ke B dan menggambarkan bagaimana gerak obyek A menurut pandangan B. Ini adalah pengurangan vektor.
Gambar 2.10 Kecepatan B relatif terhadap A
Kapal pertama A berlayar ke barat dengan kecepatan 19 knots dan kapal lain B yang jaraknya 5 nautical miles barat daya dari A berlayar ke utara 30 o ke timur dengan kecepatan 17 knots. Hitung jarak antara dua kapal ketika mereka berada pada posisi terdekat satu sama lain. Hitunglah waktu saat mereka berada pada posisi terdekat satu sama lain.
Gambar 2.11
=17 +19 2×17×19×cos120° =289+361+323 = √ 973=31,19 17sin = si31,n120°19 knots
8 66 sin= 17×0, 31,19 =0,472 = 28° 10′
28° 10′
Kecepatan B relatif terhadap A adalah 31,19 knots berarah ke utara dari timur. Sekarang bayangkan jika berada di kapal A diam semu dan melihat kapal B, yang mana jaraknya 5 nautical miles arah barat daya, bergerak dengan laju semu 31,19 knots dalam arah ke utara dari timur. Sebuah diagram ruang untuk jarak sekarang kita gambar ke untuk merepresentasikan kondisi semu ini sebagaimana dalam gambar 2.12.
28° 10′
Gambar 2.12
=45°28°10 =16°50′ = jarakrak terd terdekekatat ℎℎ== 5 × sin 1616°° 50′50′ = 1,448448 naut naut. miles = 5 × cos 16° 50 = 4,7855855 4, 7 855×60 = = 31,19 =9,2 min
Jarak semu (apparent distance ) yang ditempuh oleh B untuk memperoleh posisi jarak terdekat (nearest approach ) = Untuk menempuh 4,7855 nautical miles pada laju semu (apparent speed ) 31,19 knots:
Kita telah mengamati bahwa permukaan suatu benda, meskipun sehalus apapun itu, adalah tidak sempurna halusnya dan pasti tetap memiliki kekasaran. Ketika kita meletakkan suatu balok pada permukaan lantai, maka gaya berat balok tersebut akan menekan lantai. Sebagai akibatnya akan timbul gaya reaksi (gaya normal) nilainya sama dengan berat benda namun arahnya berlawanan dengan arah berat benda.
Ketika kita menarik balok tersebut secara horisontal maka akan mengalami hambatan akibat adanya gaya normal dan kekasaran permukaan. Gaya hambat ini disebut dengan gaya gesek. Gaya gesek bekerja dalam arah yang berlawanan terhadap terhadap arah gerak balok tersebut. Sehingga, dimanapun setiap ada gerakan relatif antara dua bagian, gaya gesek muncul, sehingga untuk mengatasi gesekan sejumlah energi akan terbuang. Gaya gesek dapat juga disebut sebagai gaya yang timbul pada dua bidang permukaan benda yang bersinggungan dan mempunyai kekasaran dan arah gaya gesek melawan arah kecenderungan kecenderungan gerak benda.
F (Gaya)
w (Berat)
N (Gaya Normal)
f (Gaya gesek)
Gambar 2.13 Gaya gesek
Dalam aplikasi teknik gesekan dapat diinginkan maupun tidak diinginkan. Ada peralatan dan perangkat yang dikenal sebagai piranti gesek seperti sabuk dan tali, gesekan kopling, rem, mur dan baut, yang mana gesekan menguntungkan dan upaya dilakukan untuk memaksimalkan gesekan tersebut. Dan sebaliknya, gesekan sangat tidak diinginkan pada bagian-bagian bergerak mesin, yang mana menyebabkan kehilangan energi yang dapat menghasilkan perubahan bentuk energi menjadi energi panas. Untuk meningkatkan efisiensi mesin, gesekan harus dikurangi seminim mungkin dengan pelumasan (lubrication ). ).
Gaya gesek memiliki karakteristik sebagai berikut: (i) Seft-adjusting , ketika gaya tarik F meningkat, gaya gesek f juga meningkat, dan sampai suatu saat ketika benda akan bergerak maka sejumlah gaya gesek akan muncul untuk melawan arah gerakan benda. (ii) Gaya gesek selalu bekerja dalam arah yang berlawanan terhadap arah gerakan (selalu melawan arah gaya tarik F) (iii) Gaya gesek adalah gaya pasif (gaya gesek ada jika gaya tarik F ada)
Gaya gesek dapat diklasifikasikan sebagai berikut: 1. Gesekan pada permukaan tanpa pelumas 2. Gesekan pada permukaan berpelumas
Pada gesekan permukaan tanpa pelumas, gesekan yang muncul antara dua permukaan tak berpelumas disebut gesekan solid atau gesekan kering. Ini dapat terbagi menjadi dua tipe, yaitu: (i) Sliding friction (gesekan luncur), yaitu gesekan yang muncul ketika sebuah permukaan benda meluncur diatas permukaan lain. (ii) Rolling friction (gesekan bergulir), yaitu gesekan ketika antara kedua permukaan terpisah oleh gotri (bola-bola kecil) atau laker/roller. Harus diingat bahwa gesekan bergulir selalu lebih kecil daripada gesekan luncur. Pada Gesekan pada permukaan berpelumas, lebih lanjut dibagi menjadi berikut: (i) Gesekan licin atau tak kental ( boundary friction ), ), (ii) Gesekan viscous (kental) Jika diantara dua permukaan gesekan ada sebuah lapisan tipis minyak atau pelumas, minyak akan terserap ke dalam permukaan. Sebagai akibatnya kontak antara logamlogam akan digantikan dengan kontak antar lapisan tipis minyak dan tentu saja gaya gesekan akan terkurangi. Dalam kasus seperti itu gaya gesekan disebut sebagai gesekan licin (boundary friction ). ). Pada bab ini kita hanya akan membahas gesekan antar permukaan yang tak terlumasi.
Gambar 2.14 menunjukkan sebuah grafik antara gaya kerja dan gesekan. Selama kondisi statis dimana gaya kerja meningkat dari nilai nol, gaya gesek juga akan naik sebanding dengan gaya kerja. Pada kondisi tertentu ketika gaya kerja tepat cukup untuk melampaui gesekan maka benda akan bergerak. Setelah itu tiba-tiba besar gesekan menurun menuju suatu nilai yang tetap konstan sepanjang waktu bergerak, seperti ditunjukkan gambar 2.14
Gambar 2.14 Grafik antara gaya kerja dan gesekan
Ketika gerak tepat akan terjadi, gaya gesek mengalami nilai maksimum. Kondisi ini disebut dengan batas keseimbangan (limitting equilibrium ). Gesekan yang bekerja pada kondisi ini disebut batas gesekan (limitting friction ). Batas gaya gesek ini dapat didefinisikan sebagai harga maksimum gaya gesek yang muncul ketika benda tepat akan bergerak pada permukaan benda lain. Ketika gaya kerja lebih kecil dari pada batas gesekan maka benda tetap diam, dan gesekan disebut sebagai gesekan statis, yang nilainya antara nol sampai batas gesekan (limitting friction ).
Hukum gesekan statis dinyatakan sebagai berikut: (i) Gaya gesek selalu bekerja dalam arah yang berlawanan dengan arah kecenderungan gerak benda (ii) Besar gaya gesek berbanding lurus dengan gaya normal antara kedua permukaan. (iii) Besar gaya gesek tergantung pada kondisi permukaan bidang kontak. (iv) Gaya gesek tidak tergantung pada luas dan bentuk permukaan bidang kontak. Hukum gesekan dimanis atau kinetis: (i) Gaya gesek selalu bekerja dalam arah yang berlawanan dengan arah kecenderungan gerak benda (ii) Besar gaya gesek berbanding lurus dengan gaya normal antara kedua permukaan. (iii) Besarnya gaya gesek dinamis menghasilkan rasio tetap terhadap gaya normal antara dua permukaan tetapi rasionya adalah sedikit lebih kecil daripada keadaan batas gesekan ( limitting friction ) (iv) Gaya gesekan mendekati konstan pada laju sedang tetapi berkurang sedikit seiring dengan meningkatnya laju.
Gambar 2.15 Sudut gesekan
Sudut gesekan adalah sudut yang dibentuk antara Gaya Normal (N) dengan resultan (R) dari Gaya Normal (N) dan gaya gesek batas( f ). Sudut gesekan diberi simbol .
tan= =tan−
Koefisien gesekan didefinisikan sebagai perbandingan antara gaya gesek batas (f ) terhadap gaya Normal (N) antara dua benda yang bergesekan. Koefisien gesekan diberi simbol .
=tan= Sehingga besar gaya gesekan dapat dirumuskan dengan persamaan
=
dengan adalah gaya normal (satuan Newton), yaitu gaya yang merupakan gaya reaksi bidang tempat benda berada terhadap gaya aksi yang diberikan benda dan mempunyai arah yang tegak lurus terhadap bidang tempat benda tersebut, sedangkan adalah koefisien gesekan yang menyatakan tingkat kekasaran permukaan bidang kontak.
Gaya gesek ada dua macam yaitu: a) ( ) adalah gaya gesek yang dialami benda dalam keadaan diam atau tepat akan mulai bergerak. Jika adalah koefisien gesek statis, maka
b)
=.
( ) adalah gaya gesek yang dialami benda dalam keadaan sedang bergerak. Gaya gesek kinetis selalu lebih kecil dari pada gaya gesek statis (gesekan kinetis sekitar 40 sampai 75 persen dari gaya gesek statis maksimum). Jika adalah koefisien gesekan kinetis, maka:
=. bidang yang bersentuhan. Nilai koefisien gesek berkisar antara 0 ≤ ≤ 1.
Koefisien gesek adalah konstanta yang menunjukkan sifat kasar licinnya permukaan dua µ
Berdasarkan gambar dibawah. Tinjau sebuah benda yang beratnya w berada diatas bidang horisontal yang dimiringkan dengan sudut .
Gambar 2.16 Sudut istirahat ( angle of repose ) Benda berada dalam keseimbangan dibawah pengaruh gaya-gaya berikut: (i) Berat, w (yang dapat diuraikan menjadi dua komponen dan pada gambar (ii) Gaya Normal, N, dan (iii) Gaya gesek, f ( ).
sin cos
seperti
=
Dalam kondisi batas ketika benda tepat akan meluncur ke bawah, gaya gesek harus bekerja ke atas searah bidang supaya seimbang. Tinjau gaya-gaya sejajar dan tegak lurus bidang. (i) (ii) Dari persamaan (i) dan (ii), kita peroleh
=cos =sin Sedangkan
= cos sin =tan ==tan
Dimana adalah sudut gesekan. Sudut disebut sudut istirahat ( angle of repose ) dan adalah sama dengan sudut gesekan ketika benda dalam kondisi batas keseimbangan pada bidang miring.
Jika garis OA pada gambar 2.17 merupakan sudut maksimum gesekan yang dibentuk dengan gaya normal diputar mengitari OB sebagai sumbu, kerucut yang terbentuk disebut dengan kerucut gesekan ( cone of friction ). Jika resultan R antara gaya normal dan gaya gesekan berada didalam kerucut gaya, maka gaya yang bekerja tidak cukup besar untuk menyebabkan benda bergerak. Prinsip ini digunakan dalam mekanisme self-locking .
Gambar 2.17 Kerucut gesekan ( cone of friction )
Gambar di bawah menunjukkan sebuah benda berada di atas bidang horisontal ditarik dengan gaya F yang membentuk sudut terhadap permukaan bidang horisontal. Nilai gaya f dapat ditentukan dengan meninjau batas keseimbangan.
Gambar 2.18 Gerak pada bidang horisontal
Penyelesaian gaya-gaya sejajar bidang (gaya-gaya horisontal), kita peroleh
=cos =cos
(i)
Penyelesaian sistem gaya tegak lurus bidang (gaya-gaya vertikal), kita peroleh
+sin= =sin
Substitusi nilai N ke dalam persamaan (i), kita peroleh
(ii)
Karena
sin=cos sin=cos cos+sin= sin =tan= cos sin sin)= cos sin . (cos+ cos sin sin)×cos= cos sin .×cos (cos+ cos cos.cos+sinsin =sin cos=sin sin = cos cos cos=1 =0 =
Maka kita peroleh
Untuk supaya bernilai minimum, Maka pastilah
harus bernilai maksimum
Maka kita peroleh
Jadi sudut kemiringan gaya F harus sama dengan sudut gesekan
Tarikan 25 N dengan sudut 30 o terhadap horisontal diperlukan untuk memindahkan balok kayu pada meja mendatar. Jika koefisien gesekan antara benda yang bersentuhan adalah 0,2, hitunglah berat balok!
Diketahui: W = berat benda F = gaya (= 25 N) N = gaya normal = koefisien gesekan (= 0,2)
Gambar 2.19
Penyelesaian gaya-gaya sejajar terhadap bidang,
=cos30° =cos30°
(i) Penyelesaian gaya-gaya tegak lurus bidang,
+sin30°= =sin30° 0,225×0, sin30°5=25×0, =sin30°866 = 21,265 +12,5 =120,75 Newton
Substitusi harga N ke dalam persamaan (i), kita peroleh
Sebuah benda yang diam di atas bidang datar kasar memerlukan tarikan 18 N dengan kemiringan 30o terhadap bidang untuk tepat akan bergerak. Ditemukan bahwa dorongan 20 N dengan kemiringan 30o terhadap bidang diberikan untuk tepat akan bergerak. Tentukan berat benda dan koefisien gesek bidang.
Diketahui: w = berat benda F = gaya yang bekerja N = gaya normal = koefisien gesek
(a)
(b) Gambar 2.20
Kasus I. Penyelesaian gaya-gaya sejajar bidang,
=18cos30° =cos30° +cos30°= +18cos30°= =18sin30° =9
(i)
Dan penyelesaian gaya-gaya tegaklurus bidang,
(ii)
9 =18cos30° =22cos30° =cos30°
Substitusi nilai N ke dalam persamaan (i), kita peroleh Berdasarkan gambar 2.19 Kasus II. Penyelesaian gaya-gaya sejajar bidang, (i) Dan penyelesaian gaya-gaya tegak lurus bidang,
=+sin30° =+22sin30° =+11 +11=22cos30° 9 18cos30° = +11 22cos30° 229=18+11 22198=18+198 4=396 =99
(ii) Substitusi nilai N ke persamaan (i), kita peroleh Dari persamaan (i) dan (ii), kita peroleh
Dengan memasukkan nilai w ke persamaan (1), kita peroleh
999 =18cos30°
= 18cos30° 90 =0,1732 Newton
1. Sebuah kapal berlayar ke timur dengan kecepatan 18 knots melewati arus 3 knots yang arahnya 40 ke timur dari utara. Hitunglah laju resultan dan arah kapal. 2. Sebuah lokomotif yang awalnya diam, dipercepat beraturan sampai kecepatan maksimum, memerlukan waktu 1 menit dan menempuh jarak 0,5 km. Lokomotif kemudian berjalan pada kecepatan maksimum selama 2 menit dan akhirnya diperlambat secara teratur memerlukan 30 detik untuk berhenti. Hitunglah laju maksimum, gambarkan grafik kecepatan-waktu dan hitunglah jarak total yang ditempuh. 3. Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh dari titik asal diberikan oleh persamaan:
°
=0, 2 +10,4
4.
5.
6.
7.
Hitunglah kecepatan dan percepatan 5 detik setelah benda muai bergerak dan kecepatan rata-rata pada 10 detik gerakannya. Laju dan arah kapal motor berubah dari 9 knot ke utara menjadi 11 knot ke barat dalam waktu 30 detik. Hitung percepatan rata-rata dalam m/s 2. (1 knot = 1,852 km/jam) Dua kereta api, yang pertama panjang 20 m dan yang kedua panjangnya 40 m, saling mendekat satu sama lain dalam arah berlawanan pada track sejajar, laju kereta yang lebih pendek 50 km/jam dan yang lebih panjang 100 km/jam. Hitung waktu yang diperlukan untuk melewati satu sama lain. Sebuah benda yang beratnya 1000 N diam pada bidang datar, koefisien gesekan antara benda dan bidang 0,1. Hitunglah besarnya gaya yang bekerja 30 terhadap bidang datar yang akan menyebabkan benda tepat akan bergerak. Hitunglah gaya yang diperlukan untuk memindahkan beban 300 N menaiki bidang miring, gaya bekerja sejajar bidang miring. Kemiringan bidang adalah seperti ketika benda yang sama tertahan pada bidang yang sangat halus dimiringkan pada sudut tersebut dan sebuah gaya 60 N bekerja pada kemiringan 30 o terhadap bidang menahan bersama-sama dalam keseimbangan. Asumsikan bahwa koefisien gesekan antara bidang kasar dan beban sama dengan 0,3.
°
Fluida adalah zat yang dapat mengalir sehingga yang termasuk fluida adalah zat cair dan gas. Dalam hidrostatika dipelajari fluida yang ada dalam keadaan diam (tidak bergerak). Fluida yang diam disebut fluida statis. Jika yang diamati zat cair maka disebut hidrostatis. Dalam fluida statis anda akan mempelajari hukum-hukum dasar yang antara lain dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut. Mengapa semakin dalam menyelam semakin besar tekanannya? Mengapa kapal laut yang terbuat dari besi dapat mengapung di permukaan air laut? Mengapa balon udara yang berisi gas panas dapat naik ke udara?
Tekanan didefinisikan sebagai gaya normal (tegak lurus) yang bekerja pada suatu bidang dibagi dengan luas bidang tersebut. Rumus tekanan
= Satuan SI untuk tekanan adalah Pascal (disingkat Pa) untuk memberi penghargaan kepada Blaise Pascal, penemu hukum Pascal. 1 Pa = 1 N . m-2 Untuk keperluan cuaca digunakan satuan atmosfer (atm), cmHg atau mmHg, dan milibar (mb). 1 mb = 0,001 bar; 1 bar = 105 Pa 1 atm = 76 cmHg = 1,01 x 105 = 1,01 bar Untuk menghormati Torricelli, fisikawan Italia penemu barometer, ditetapkan satuan tekanan dalam torr. Dimana 1 torr = 1 mmHg
Sebuah piston bundar memberikan tekanan 80 kPa pada suatu fluida, ketika gaya yang dikenakan ke piston 0,2 kN. Hitunglah diameter piston! Penyelesaian:
Atau
Gaya dalam Newton: F = 0,2 kN = 0,2 × 103 N = 200 N
= =
Tekanan dalam Pascal: P = 80 kPa = 80 000 Pa = 80 000 N/m2 Luas
= =0,0025 = 80 000200/ = 4 =0,00254 =0,0025× =0,003183 =0,003183=0,0564
Karena pistol berbentuk lingkaran maka luas dirumuskan diameter piston.
=/4
, dimana d adalah
Jadi diameter piston adalah 56,4 mm
Pada setiap titik pada permukaan benda yang tenggelam, gaya yang dikenakan oleh fluida adalah tegak lurus terhadap permukaan benda (gambar 3.1).
Gambar 3.1 Pada setiap titik pada permukaan benda yang tenggelam, gaya yang dikenakan oleh fluida adalah tegak lurus terhadap permukaan benda
Tekanan pada fluida dapat diukur dengan alat seperti alat pada gambar 3.2 alat terdiri dari silinder yang tertutup oleh piston yang terhubung dengan pegas. Ketika alat tenggelam dalam fluida, fluida menekan bagian atas piston dan menekan pegas hingga gaya ke dalam oleh fluida seimbang dengan gaya ke luar pegas. Tekanan fluida dapat diukur secara langsung jika pegas dikalibrasi lebih lanjut.
Gambar 3.2 contoh alat ukur tekanan fluida
Tekanan zat cair dalam keadaan tidak mengalir dan hanya disebabkan oleh berat zat cair sendiri disebut . Besarnya tekanan hidrostatika suatu titik dalam zat cair yang tidak bergerak dapat diturunkan sebagai berikut:
Gambar 3.3 Zat cair dalam wadah silinder
Tinjau zat cair dengan massa jenis ρ berada dalam wadah silinder dengan luas alas A dan ketinggian h seperti pada Gambar 10.3 Volume zat cair dalam wadah V = Ah sehingga berat zat cair dalam wadah adalah: F = mg = ρ Vg = ρ Ahg
dengan demikian tekanan hidrostatika di sebarang titik pada luas bidang yang diarsir oleh zat cair dengan kedalaman h dari permukaan adalah:
= = ℎ =ℎ
dengan
: massa jenis zat cair (kg/m3)
g : percepatan gravitasi, m/s2 h : kedalaman titik dalam zat cair diukur dari permukaan zat cair, m.
Karena massa jenis air tawar adalah 1000 kg/m 3, kedalaman air tawar yang memiliki tekanan 1 bar (=105 N/m2) dapat dihitung sebagai berikut:
=ℎ ℎ= 10 81 ℎ= 1000×9, ℎ=10,19 m
jadi pada kedalaman 10,19 m air tawar akan memiliki tekanan hidrostatis sebesar 1 bar.
Hitunglah tekanan hidrostatik pada kedalaman 10 m dari permukaan air! Penyelesaian:
=ℎ
= 1000 kg/m3 × 9,82 m/s2 × 10 m = 98.200 Pascal Jadi, pemompaan melawan sebuah tekanan (p) dapat dianggap sebagai pengangkatan zat cair menuju suatu ketinggian yang setara dan usaha yang dilakukan atau daya yang diberikan dapat dihitung dengan metode ini.
Sebuah mesin menghasilkan 3730 kW menggunakan 7,25 kg uap/kWh. Jika tekanan boiler adalah 17 bar (=17 x 10 5 N/m2), hitunglah daya keluaran dari feed pump .
Pada tekanan 17 bar kedalaman air ekuivalen dengan = 17 x 10,19 = 173,2 m Massa air yang dipompa ke boiler setiap detik adalah
= 7,25×3730 3600 =7,511 kg =×=7,511×9,81=73, 6 9 = = ℎ
Gaya untuk mengangkat melawan gravitasi; N Daya = kerja yang dilakukan setiap detik
P = gaya x tinggi, per detik = 73,69 x 173,2 = 1,277 x 104 W = 12,77 kW
Udara di atas permukaan bumi adalah fluida, memiliki massa jenis, , yang mana nilainya bervariasi antara 1,225 kg/m 3 pada permukaan laut sampai 0 kg/m 3 di luar angkasa. Karena , dimana h adalah beberapa ribu meter, udara memberikan tekanan pada seluruh titik pada permukaan bumi. Tekanan ini disebut tekanan atmosfer, yang memiliki nilai sekitar 100 kilopascal.
=ℎ
Biasanya tekanan yang kita ukur adalah perbedaan tekanan dengan tekanan atmosfir, yang disebut atau tekanan yang dilihat dengan alat ukur. Adapun tekanan sesungguhnya disebut , dimana : Tekanan mutlak = tekanan gauge + tekanan atmosfer
P h = P gauge + P atm dengan tekanan atmosfer P atm (P o) = 1,01 × 10 5 Pa. Perhatikan: Jika disebut tekanan pada suatu kedalaman tertentu, ini yang dimaksud adalah tekanan mutlak. Jika tidak diketahui dalam soal, gunakan tekanan udara luar P o = 1 atm = 76 cmHg = 1,01 × 105 Pa.
Berapa kedalaman suatu posisi penyelam dalam fluida tak bergerak (air) diukur dari permukaan yang mempunyai tekanan sebesar tiga kali tekanan udara luar. ( Po = 1 atm = 1,01 × 105 N/m2). Penyelesaian: Po
h
A
Gambar 3.6 Ilustrasi tekanan hidrostatik.
Tekanan hidrostatis titik A:
=3 = +ℎ
Besar tekanan di titik A
3 = +ℎ 3 =ℎ ℎ= 2 10 N/ = 2 ×1,1001 ××10/ =20,2
Jadi kedalaman posisi tersebut adalah 20 m.
Manometer adalah alat pengukur tekanan gas di dalam ruang tertutup. Barometer adalah alat ukur tekanan udara dalam ruang terbuka.
Gambar 3.4 (a) Manometer terbuka (b) barometer raksa
Dengan menerapkan hukum pokok hidrostatik di titik A dan B, maka untuk manometer atau
= = +ℎ = =ℎ
Sedangkan untuk barometer atau Dengan adalah massa jenis raksa dan adalah tinggi kolom raksa.
ℎ
Sebuah manometer terhubung kepada tabung udara bertekanan, memiliki perbedaan ketinggian 18 mm antara dua tangkai berisi merkuri ( =13,6 g/cm3). Hitunglah tekanan gauge pada tabung udara.
Tekanan udara terbaca pada alat ukur (tekanan gauge):
=13, =ℎ6 ×10 ×9,81×0,018
=2,4 / Barometer aneroid pada dasarnya terdiri atas circular , hollow , sealed vessel S yang biasanya terbuat dari logam lentur tipis.
Skala
Pointer Sumbu
Tekanan Atmosfer Sealed Vessel
Tekanan udara pada vessel dihilangkan hingga mendekati nol sebelum disegel, sehingga perubahan pada tekanan atmosfer akan menyebabkan bentuk vessel mengembang atau mengkerut. Perubahan kecil ini dapat diperbesar dengan menggunakan tuas dan dibuat untuk menggerakkan jarum penunjuk dengan kalibrasi tertentu.
Tekanan yang beberapa kali lebih besar dari pada tekanan atmosfer dapat diukur dengan Bourdon pressure gauge.
Gambar 3.5 Bourdon Pressure Gauge
Bourdon pressure gauge menggunakan prinsip bahwa pipa berlubang yang salah satu ujungnya tertutup yang dibengkokkan melingkar, akan tegang dan lurus ketika bagian dalamnya diberikan tekanan. Pergeseran ujung pipa akibat tekanan dihubungkan dengan tuas dan roda gigi hingga memutar jarum penunjuk.
Tekanan yang bekerja pada fluida statis dalam ruang tertutup akan diteruskan ke segala arah dengan sama rata, hal ini dikenal sebagai Tinjau sistem kerja penekan hidrolik seperti pada Gambar 10.5 apabila dikerjakan tekanan p 1 pada penampang A1 maka tekanan yang sama besar akan diteruskan ke penampang A2 sehingga memenuhi p 1 = p 2 dan diperoleh perumusan sebagai berikut :
Atau
Dengan
= diameter penampang 1,
= = =
= diameter penampang 2
Gambar 3.7 Sistem hidrolik
Alat-alat teknik yang menggunakan sistem prinsip Pascal adalah dongkrak hidrolik, rem hidrolik dan pengangkat mobil dalam bengkel.
Gambar 3.8 Contoh-contoh aplikasi hukum pascal
Seorang pekerja bengkel memberikan gaya tekan pada pompa hidrolik dengan gaya 200 N. apabila perbandingan penampang silinder kecil dan besar 1 : 10, berapa berat beban yang dapat diangkat oleh pekerja tersebut. Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan hukum Pascal diperoleh :
= = 101 200 =2000
Di dalam fluida yang diam, suatu benda yang dicelupkan sebagian atau seluruh volumenya akan mengalami gaya tekan ke atas (gaya apung/Bouyant Force) sebesar berat fluida yang dipindahkan oleh benda tersebut, yang lazim disebut .
Gambar 3.9 Gaya-gaya pada kapal di atas permukaan air.
Massa jenis air tawar adalah 1000 kg/m3. Oleh karenanya ketika sebuah benda dibenamkan ke dalam air tawar akan kehilangan efek massa sebesar 1000 kilogram untuk setiap 1 m3 air didesak/dipindahkan. Ketika sebuah kotak berukuran 1 m 3 dan massa 4000 kg dibenamkan ke dalam air tawar maka akan kehilangan massa sebesar 1000 kg. Jika diukur dengan necara pegas maka akan ditunjukkan nilai 3000 kg. Disini diperoleh gaya apung 1000 kg × 10 m/s2 = 10.000 Newton.
Gambar 3.10 benda dibenamkan ke dalam air tawar akan kehilangan efek massa
Perhatikan elemen fluida yang dibatasi oleh permukaan s (gambar 3.11)
s
Gambar 3.11 Elemen fluida yang dibatasi permukaan s.
Pada elemen ini bekerja gaya-gaya : - gaya berat benda W - gaya-gaya oleh bagian fluida yang bersifat menekan permukaan s , yaitu gaya angkat ke atas Fa .
Kedua gaya saling meniadakan, karena elemen berada dalam keadaan setimbang dengan kata lain gaya-gaya keatas = gaya - gaya ke bawah. Artinya resultan seluruh gaya pada permukaan s arahnya akan ke atas, dan besarnya sama dengan berat elemen fluida tersebut dan titik tangkapnya adalah pada titik berat elemen. Dari sini diperoleh prinsip Archimedes yaitu bahwa Secara matematis hukum Archimedes diformulasikan:
= = =
Dengan:
: gaya apung (N) : berat fluida yang di desak (N) : massa fluida yang di desak (kg)
: massa jenis fluida (kg/m3) : volume benda yang tercelup (m 3)
: percepatan gravitasi (m/s2)
Perhatikan: Hukum Archimedes berlaku untuk semua fluida termasuk gas dan zat cair.
Jika benda tercelup semua maka V bf = volume benda.
Benda yang dimasukkan ke dalam zat cair, akan terjadi tiga kemungkinan keadaan yaitu terapung, melayang dan tenggelam.
tenggel a m <
mel =ayang
mengapung >
Gambar 3.12 Benda mengapung melayang dan tenggelam .
Ketiga kemungkinan keadaan tersebut terjadi ditentukan oleh perbandingan massa jenis benda dengan massa jenis fluida, syaratnya adalah: benda rata rata fluida : keadaan mengapung benda rata rata fluida : keadaan tenggelam
ρρ ρ
benda rata rata
<> ρρ = ρ ρ : keadaan melayang fluida
a. Benda akan tenggelam dalam fluida jika gaya apung ke atasnya tidak mampu menahan beratnya.
< = >
b. Benda melayang dalam fluida syaratnya gaya apung ke atasnya harus sama dengan berat bendanya. c. Benda terapung dalam fluida syaratnya apabila gaya apung lebih besar dari berat benda
Massa jenis besi lebih besar daripada massa jenis air laut, tetapi mengapa kapal laut yang terbuat dari besi bisa mengapung di atas air? Badan kapal yang terbuat dari besi dibuat berrongga. Ini menyebabkan volume air laut yang dipindahkan oleh badan kapal menjadi sangat besar. Gaya apung sebanding dengan volume air yang dipindahkan, sehingga gaya apung menjadi sangat besar. Gaya apung ini mampu mengatasi berat total kapal sehingga kapal laut mengapung di permukaan air laut. Jika dijelaskan menggunakan konsep massa jenis, maka massa jenis rata-rata besi berrongga dan udara yang menempati rongga masih lebih kecil daripada massa jenis air laut. Itulah sebabnya kapal mengapung.
FA
w
Gambar 3.13 Sistem gaya pada kapal laut
Sebuah gunung es ( iceberg ) berada di tengah lautan. Berapa prosentase bagian gunung yang terlihat di udara apabila diketahui massa jenis es 0,92 gr/cm3 dan massa jenis air laut 1,03 gr/cm3. Penyelesaian:
Va
Vb
Gambar 3.14 Gunung Es/ Ice berg
Berat gunung es adalah W=
ρ
V es V
g
= berat air laut yang dipindahkan = ρ = = = 0,8989
. g Gaya apung (Fa air laut . V b . karena kesetimbangan maka volume es yang terlihat di udara adalah:
dengan,
Jadi bagian gunung yang muncul di udara sebesar 11%.
Sebuah kapal bermuatan 7000 ton sedang mengapung di air tawar. Hitunglah muatan kapal saat terapung di draft yang sama dalam air dengan densitas 1.015 kg per meter kubik, atau 1,015 ton/m3.
muatan baru massa j e ni s f l u i d a baru = muatan lama massa massa jjeeniniss fflluuiiddaalbaru×muatan ama lama mumuataatann baru baru = massa jenis fluida lama × 7. 0 00 = 1.015 1./ 0 00 / =7.105
Untuk kebanyakan kapal pusat gaya apung ( centre of bouyancy ) B kapal kapal biasanya terletak di bawah pusat gravitasi/titik berat G , seperti ditunjukkan oleh gambar 3.15(a) ketika kapal
ini dikenakan kemiringan dengan sudut lunas kapal/keel kecil kecil , sebagaimana digambarkan pada gambar 3.15(b), maka pusat gaya apung berpindah menuju posisi B’ , dimana
Gambar 3.15
=
B M = pusat pembungkukan/ pembungkukan/curvature dari dari pusat gaya apung G M = = tinggi metasentrik (the metacentric height ) metasenter M = posisi metasenter I = momen kedua dari luasan bidang air disekitar garis pusat/centreline (the second moment of area of the water plane about its centreline ) V = volume terpindahkan kapal
Tinggi metasentrik GM dapat diperoleh dengan eksperimen memiringkan sederhana, dimana beban P dipindahkan dipindahkan secara transversal sejauh sejauh x, sebagaimana ditunjukkan ditunjukkan oleh gambar 3.16.
Gambar 3.16
Dari tinjauan keseimbangan rotasi dimana pada kondisi kesetimbangan momen gaya searah jarum sama dengan momen gaya berlawanan arah jarum jam,
=
Dimana momen gaya = gaya × lengan momen
Maka kita peroleh
Dimana W = berat kapal, dan
= tan= = = cot= tan1
…∗
Seorang arsitek angkatan laut sedang melakukan perhitungan hidrostatis pada sebuah kapal penjelajah, dimana dia memperoleh data-data sebagai berikut: M = massa kapal penjelajah = 100 100 ton ton K B = = jarak vertikal dari pusat gaya apung ( B ) di atas lunas kapal ( keel ) K = = 1,2 m
= jarak metasenter ( M ) di atas pusat gaya apung = 2,4 m B M =
Dia kemudian melakukan eksperimen pemiringan, dimana dia memindahkan massa 50 kg menempuh jarak transversal 10 m sepanjang dek kapal. Setelah melakukan itu, dia menemukan hasil bahwa sudut lunas kapal/ keel adalah adalah = 1 . Hitunglah tinggi metasentrik G M dan posisi pusat gravitasi/titik berat dari kapal diatas lunas kapal/keel . Asumsikan g = = 9,81 m/s2.
°
= 50 × 9,81/ / = 49490,0,5 N = 100 × 1000 ×9,81 = 989811 kNkN =10 = 1° , tan = 0,017455 dan cotcot = tan1 =57,29 Dari persamaan (*)
= cot ×10 ×57, 2 9 = 490,5 981×10 =0,286 =0,286 =+ =1,2 +2,4 =3,6 = =3,6 0,286=3,314 Jadi diperoleh tinggi metasentrik
Jadi diperoleh pusat gravitasi diatas lunas kapal/ keel , KG sebuah titik pada lunas keel )
1.
2. 3.
4.
5. 6.
7.
8.
9.
Dalam sebuah bejana diisi air ρ = 100
= 3,314 m, dimana ‘ ’ adalah K
0 kg/m3). Ketinggian airnya adalah 85 cm. Jika g = 10 m/s2 dan tekanan udara 1 atm maka tentukan: a. tekanan hidrostatis di dasar bejana, b. tekanan mutlak di dasar bejana. Tiga zat cair dengan massa jenis relatif 0,75, 0,85 dan 0,95 dicampur dengan perbandingan volume 2 : 3 : 4. Hitunglah massa jenis relatif campuran. Bejana berhubungan digunakan untuk mengangkat sebuah beban. Beban 1000 kg diletakkan di atas penampang besar 2000 cm 2. Berapakah gaya yang harus diberikan pada bejana kecil 10 cm2 agar beban terangkat? Balok kayu bermassa 20 kg memiliki volume 5.10-2 m3. Jika balok dimasukkan dalam air a = 1000 kg/m3) diberi beban maka berapakah massa beban maksimum yang dapat ditampung di atas balok itu? Sebuah mesin menghasilkan 5000 kW menggunakan 10 kg uap/kWh. Jika tekanan boiler adalah 20 bar (=20 x 10 5 N/m2), hitunglah daya keluaran dari feed pump . Sebuah manometer terhubung kepada tabung udara bertekanan, memiliki perbedaan ketinggian 16 mm antara dua tangkai berisi merkuri ( =13,6 g/cm3). Hitunglah tekanan gauge pada tabung udara. Sebuah kapal bermuatan 7000 ton sedang mengapung di air asin dengan massa jenis 1,015 kg per meter kubik . Hitunglah muatan kapal saat terapung di draft yang sama dalam air tawar. Sebuah dongkrak hidrolik digunakan untuk mengangkat sebuah mobil yang massanya 1500 kg. Jari-jari poros dongkrak ini 8 cm dan jari-jari penghisap 1 cm. Berapa besar gaya yang harus diberikan pada penghisap ini untuk menaikkan mobil? A barge of length 30 m and width 8 m floats on an even keel at depth of 3 m. What is the value of its bouyancy? Take density of water, , as 1000 kg/m3 and 9 as 9,81 m/s2. If the
ρ
vertical centre of gravity of the barge is 2 m above the keel, (i.e. K G = 2 m), what is the metacentric height of the barge?
Fluida yang mengalir disebut fluida dinamis. Jika yang dipelajari zat cair maka disebut hidrodinamika. Fluida yang akan dipelajari dianggap sebagai fluida ideal, yaitu fluida yang tunak (kecepatan konstan sepanjang waktu), tak termampatkan (tidak mengalami perubahan volume ketika dimampatkan), tak kental (non-viscous ), streamline (aliran garis arus/tidak turbulen).
Debit adalah besaran yang menyatakan volume fluida yang mengalir melalui suatu penampang tertentu dalam selang waktu tertentu. Satuan SI untuk debit adalah m 3/s
me atau = Debit= selavolnguwaktu Misalkan sejumlah fluida melalui penampang pipa seluas A dan setelah selang waktu t menempuh jarak L . Volume fluida adalah V = A L , sedang jarak L = vt , sehingga debit Q dapat kita nyatakan sebagai
= = = =
Laju aliran massa ( mass flow ) dapat diperoleh dari hasil perkalian antara debit Q dengan massa jenis . Satuan laju aliran massa adalah kg/s.
=×
Minyak dengan massa jenis relatif 0,9 mengalir melalui pipa dengan diameter dalam 75 mm dengan laju 1,2 m/s. Hitung laju aliran massa!
= = =3,=0,10405300,0375 ×1,2
m3/s Massa jenis minyak yang massa jenis relatifnya 0,9 adalah 0,9 x 1000 kg/m3=900 kg/m3 Sehingga kita peroleh laju aliran massa:
=×
m =0,00530 s ×900 mkg =4,=17,7177kg/ston/jam Pada fluida tak termampatkan, debit fluida di titik mana saja selalu konstan. Sehingga hasil kali antara kelajuan fluida dan luas penampang selalu konstan.
= = =⋯ = = = =⋯ = Kelajuan aliran fluida tak termampatkan berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari penampang atau diameter penampang.
=() =()
Gambar 4.1 Fluida bergerak secara steady flow (aliran tunak) melalui pipa yang luas penampangnya bervariasi
Fluida bergerak secara steady flow (aliran tunak) melalui pipa yang luas penampangnya bervariasi. Volume fluida yang mengalir melalui luas A1 pada interval waktu t harus sama dengan volume yang mengalir melalui luasan A2 dalam interval waktu yang sama. Sehingga,
=
Diketahui air mengalir melalui sebuah pipa. Jika diameter pipa bagian kiri 10 cm dan bagian kanan 6 cm, serta kelajuan air pada bagian kiri 5 m/s. Hitunglah kelajuan air yang melalui pipa bagian kanan! Penyelesaian:
=
0, 1 = = = 0,06 5 /=13,9 / Fluida mengalir melalui sebuah pipa membesar. Volume bagian yang diarsir sebelah kiri sama dengan volume bagian yang diarsir sebelah kanan.
Gambar 4.2 Fluida mengalir melalui sebuah pipa membesar.
Hukum Bernoulli menyatakan bahwa jumlah dari tekanan ( p ), energi kinetik per satuan volume (
ℎ + 12 +ℎ=
, dan energi potensial per satuan volume (
) memiliki nilai sama pada
setiap titik sepanjang suatu garis arus.
Kita akan meninjau dua kasus khusus terhadap persamaan Bernuolli.
= = 0 +ℎ +0= +ℎ +0 =ℎ ℎ
Untuk fluida tak bergerak, kecepatan
, sehingga diperoleh
Dalam pipa mendatar (horisontal) tidak terdapat perbedaan ketinggian diantara bagian-bagian fluida. Ini berarti, ketinggian , dan persamaan menjadi
ℎ =ℎ + 12 = + 12
= 12 > >
Persamaan diatas menyatakan bahwa jika , maka . Ini berarti bahwa di tempat yang kelajuannya airnya besar, tekanannya kecil. Sebaliknya di tempat yang kelajuan alirnya kecil, tekanannya besar. Pernyataan ini dikenal sebagai asas bernoulli. “ Pada pipa mendatar, tekanan fluida paling besar adalah pada bagian yang kelajuan alirannya paling kecil, dan tekanan paling kecil adalah pada bagian yang kelajuan alirnya paling besar ” .
Bagian dari sebuah pipa air tawar vertikal meruncing secara teratur dari diameter 120 mm di bagian bawah menjadi diameter 60 mm pada bagian atas. Perbedaan ketinggian 5 m. Ketika volume alir adalah 0,0424 m3/s tekanan pada bagian bawah 160 kN/m 2, hitunglah tekanan pada bagian atas.
= 0,0424 12 =3,75 / = 0,7854×0, 0,0424 06 =15 / = 0,7854×0, ×3,7=5×0, ×7854×0, 12 = 0,7854×0, 0 6 =3, 7 5×2 =15 / ℎ =0 ℎ =5 1 1 + +ℎ = + 2 2 +ℎ 160.000+ 12 ×1000×3,75 +1000×9,81×0= + 12 1000×15 +1000×9, 8 1×5 160.000+7031,25+0= +112500+49050 =5481, 2 5 / =5,481 / Karena volumen alir selalu tetap maka
Dengan mengambil bagian bawah sebagai level acuan, Ambil = tekanan bagian atas
dan
Pipa menyempit horisontal seperti diilustrasikan pada gambar 4.3 disebut sebagai tabung venturi, dapat digunakan untuk mengukur laju alir fluida tak termampatkan. Kita akan menghitung laju alir pada titik 2 jika perbedaan tekanan P1 - P2 diketahui.
Gambar 4.3 Tabung Venturi
Karena pipa horisontal, y 1 = y2. Dan menggunakan persamaan Bernoulli untuk titik 1 dan 2 kita peroleh
+ = + = = 1 1 + 2 ( ) = + 2 = 2 > >
Dari persamaan kontinuitas
(1)
, kita peroleh
(2)
Substitusi persamaan ini ke dalam persamaan (1) memberikan
Kita dapat menggunakan hasil ini dan persamaan kontinuitas untuk mencari . Karena , persamaan (2) menunjukkan bahwa . Hasil ini, bersama dengan persamaan (1), mengindikasikan bahwa . Dengan kata lain tekanan berkurang pada bagian pipa yang menyempit.
<
Gambar 4.4 Kecepatan pancaran air melalui lubang tergantung ketinggian permukaan air diatas lubang
Ketika air memancar melalui lubang yang berada di sisi tangki energi potensial air di dalam tangki dengan kedalaman h di atas lubang dirubah menjadi energi kinetik sepanjang aliran melalui lubang, sehingga
1 ℎ= ℎ 2 =ℎ = 2ℎ
Sehingga diperoleh kecepatan semburan air
Kelajuan fluida menyembur keluar dari lubang yang terletak pada jarak h di bawah permukaan atas fluida dalam tangki sama seperti kelajuan yang akan diperoleh sebuah benda yang jatuh bebas dari ketinggian h .
= 2ℎ Perhatian: Teorema Torricelli hanya berlaku jika ujung atas wadah terbuka terhadap atmosfer dan luas lubang jauh lebih lecil daripada luas penampung wadah. Persamaan ini disebut kecepatan teoritis (teoritical velocity ). Dikarenakan adanya gesekan, kecepatan sebenarnya (actually velocity ) adalah sedikit lebih kecil. Perbandingan antara
kecepatan sebenarnya dengan kecepatan teoritis disebut dengan koefisien kecepatan (coefficient of velocity ) dan diberi simbol , kemudian
= 2ℎ
Gambar 4.5 Eddy current
Dikarenakan adanya eddy current , luas area sebenarnya (actual area ) dimana air memancur lebih kecil dari pada luas lubang, perbandingan antara keduanya disebut koefisien pengurangan luas (coefficient of reduction of area ), dan diberi simbol , kemudian
= ×
Volume alir sebenarnya diperoleh menjadi
= × × × 2ℎ Perbandingan antara besar pengurangan sebenarnya ( actual quantity discharged ) terhadap besar pengurangan secara teoritis (teoritical quantity discharged ), diberi simbol dan dirumuskan
= ×
Air keluar melalui sebuah lubang berdiameter 20 mm pada sisi sebuah tangki. Ketinggian permukaan air di atas lubang adalah 3 m. Dengan mengambil koefisien kecepatan 0,97 dan koefisien reduksi dari luasan 0,64, hitunglah (i) kecepatan semburan air meninggalkan lubang, (ii) jumlah air yang mengalir dalam ton/jam. Kecepatan semburan air
= 2ℎ =0, 9 4×2×9, 8 1×3 =7,442
Luas semburan air
= × =0, 6 4×0, 7 584×20 =201 =201×10− Volume alir = luas x kecepatan =201 × 10-6 x 7,442 x 3600 = 5,387 m3/jam Massa alir = Volume Alir x Massa Jenis = 5,387 x 1 =5,387 ton/jam
Fungsi karburator adalah untuk menghasilkan campuran bahan bakar dengan udara sebelum disemprotkan ke silinder untuk pembakaran. Prinsip kerja karburator adalah sebagai berikut (gambar 4.6) penampang pada bagian atas jet menyempit, sehingga udara yang mengalir pada bagian ini bergerak dengan kelajuan yang tinggi. Sesuai asas Bernoulli, tekanan pada bagian ini rendah. Tekanan didalam tangki bahan bakar sama dengan tekanan atmosfir. Tekanan atmosfir memaksa bahan bakar tersembur keluar melalui jet, sehingga bahan bakar bercampur dengan udara sebelum memasuki silinder mesin.
Dari tangki minyak
Udara Jet Pengapung
Minyak
Gambar 4.6 Prinsip kerja karburator
1. Perhatikan gambar berikut! A1
A2 V1
P2
V2
Katup
2. 3.
4.
5.
6.
Air mengalir melalui pipa mendatar dan menyempit. Besarnya diameter pipa besar dan kecil masing-masing 5 cm dan 3 cm. Jika diketahui tekanan di A1 sebesar 1,6 × 104 N/m2 dan memiliki kecepatan 3 m/s, maka hitunglah: a. kecepatan aliran di A2 b. tekanan di A2. Jelaskan prinsip kerja karburator kaitannya dengan hukum Bernoulli! Sebuah sumbat jatuh keluar dari sisi tangki dan air memancar melalui lubang yang diameternya 19 mm. Jika ketinggian permukaan air di atas lubang tangki adalah 2,5 m. Hitunglah (i) kecepatan air keluar dari lubang, (ii) volume air keluar dari lubang dalam liter. Diketahui koefisien kecepatan sebesar 0,97 dan koefisien reduksi luas 0,64. Sebuah pipa horisontal berdiameter 10 cm menyempit secara halus ke pipa diameter 5 cm. Jika tekanan air pada pipa lebih lebar 8,00 x 104 Pa, dan tekanan pada pipa yang lebih kecil 6,00 x 104 Pa, hitunglah laju alir air melalui pipa. Air mengalir melalui fire hose yang berdiameter 6,35 cm dengan debit 0,012 m3/s. Ujung fire hose terdapat nozzle dengan diamater dalam 2,20 cm. Hitunglah laju air menyembur dari nozzle. Sebuah tabung Venturi digunakan untuk mengukur aliran fluida. Jika perbedaan tekanan adalah = 21,0 kPa, hitunglah debit aliran fluida dalam meter kubic per detik, diketahui jari-jari tabung keluar 1 cm dan jari-jari tabung masuk 2 cm dan fluidanya adalah gasoline ( =700 kg/m3).
7. Air keluar melalui sebuah lubang berdiameter 10 mm pada sisi sebuah tangki. Ketinggian permukaan air di atas lubang adalah 1 m. Dengan mengambil koefisien kecepatan 0,90 dan koefisien reduksi dari luasan 0,60, hitunglah (i) kecepatan semburan air meninggalkan lubang, (ii) jumlah air yang mengalir dalam ton/jam.
1. IMO, Model Course 7.04, Officer In Charge of An Engineering Watch, 2012, IMO Publication. 2. Leslie Jackson, Applied Mechanics For Engineers VolSeries. 3. R.K.Rajput, A Textbook of Aplied Mechanics, Third Edition, Laxmi Publication, New Delhi, 2011 4. John Bird, Carl Ross, Mechanical Engineering Principles, 2002, Oxford: Newnes 5. Hannah & Hiller, Aplied Mechanics Third Edition, 1995, England: Pearson Longman 6. Halliday. Resnick, Fundamental of Physics 8-th Edition, Jearl Walker 7. Giancoli, Douglas C. 2000. Physics, 3rd Edition. USA: Prentice Hall International. 8. Tipler, Paul.1998. Fisika untuk Sains dan Teknik, Jilid 1 (alih bahasa : Prasetyo dan Rahmad W. Adi). Jakarta: Erlangga. 9. Tipler, Paul. 2001. Fisika untuk Sains dan Teknik, Jilid 2 (alih bahasa : Bambang Soegijono) Jakarta: Erlangga. 10. D.R. Derrett, Ship Stability for Masters and Mates Sixth edition, 2006, Britain: Elsevier. 11. Kanginan, Marten, Fisika Untuk SMA, 2004, Jakarta: Erlangga. 12. Beiser, A., 1995, Applied Physics, New York: McGraw-Hill, Inc
2, 2003, Reed’s Marine Engineering
APPENDIX A
TABLE A.1
• Tables
Conversion Factors Length
1 meter 1 centimeter 1 kilometer 1 inch 1 foot 1 mile
m
cm
km
in.
ft
mi
1 10 2 10 3 2.540 102 0.304 8 1 609
10 2 1 10 5 2.540 30.48 1.609 105
103 10 5 1 2.540 105 3.048 104 1.609
39.37 0.393 7 3.937 104 1 12 6.336 104
3.281 3.281 102 3.281 103 8.333 102 1 5 280
6.214 104 6.214 106 0.621 4 1.578 105 1.894 104 1
Mass
1 kilogram 1 gram 1 slug 1 atomic mass unit
kg
g
slug
u
1 103 14.59 1.660 1027
103 1 1.459 104 1.660 1024
6.852 102 6.852 105 1 1.137 1028
6.024 1026 6.024 1023 8.789 1027 1
Note: 1 metric ton 1 000 kg.
Time s
1 second 1 minute 1 hour 1 day 1 year
min
1 60 3 600 8.640 104 3.156 107
1.667
102
1 60 1 440 5.259 105
h
day
yr
2.778 104 1.667 102 1 24 8.766 103
1.157 105 6.994 104 4.167 102 1 365.2
3.169 108 1.901 106 1.141 104 2.738 105 1
Speed
1 meter per second 1 centimeter per second 1 foot per second 1 mile per hour Note: 1 mi/min 60 mi/h
m/s
cm/s
ft/s
mi/h
1 102 0.304 8 0.447 0
102 1 30.48 44.70
3.281 3.281 102 1 1.467
2.237 2.237 102 0.681 8 1
88 ft/s. continued
A.1
A.2
A P PE P E N D IX IX
A
TABLE TA BLE A.1 Continued
Force
1 newton 1 pound
N
lb
1 4.448
0.224 8 1
Work, Energy, Heat
1 joule 1 f t lb 1 eV 1 cal 1 Bt u 1 kWh
1 joule 1 f t lb 1 eV 1 cal 1 Bt u 1 kWh
J
ft lb
eV
1 1.356 1.602 1019 4.186 1.055 103 3.600 106
0.737 6 1 1.182 1019 3.087 7.779 102 2.655 106
1018 1018 1 2.613 1019 6.585 1021 2.247 1025
6.242 8.464
cal
Btu
kWh
0.238 9 0.323 9 3.827 1020 1 2.520 102 8.601 105
9.481 104 1.285 103 1.519 1022 3.968 103 1 3.413 102
2.778 107 3.766 107 4.450 1026 1.163 106 2.930 104 1
Pressure Pa
1 pascal 1 atmosphere 1 centimeter mercury a 1 pound per inch 2 1 pound per foot 2
1 newton per meter 2 1 atmosphere 1 centimeter mercury a 1 pound per inch 2 1 pound per foot 2 a At
atm
1 1.013 105 1.333 103 6.895 103 47.88
9.869
106
1 1.316 102 6.805 102 4.725 104
cm Hg
lb/in.2
lb/ft 2
7.501 104 76 1 5.171 3.591 102
1.450 104 14.70 0.194 3 1 6.944 103
2.089 102 2.116 103 27.85 144 1
0°C and at a location location where the acceleration acceleration due to gravity has has its “standard” value, value, 2 9.806 65 m/s .
A.3
Appendix A
TABLE TA BLE A.2
Symbols, Dimensions, and Units of Physical Quantities
Quantity Acceleration Amount of substance Angle Angular acceleration Angular frequency Angular momentum Angular velocity Area Atomic number Capacitance Charge Charge density Line Surface Volume Conductivity Current Current density Density Dielectric constant Displacement Distance Length Electric dipole moment Electric field Electric flux Electromotive force Energy Entropy Force Frequency Heat Inductance Magnetic dipole moment Magnetic field Magnetic flux Mass Molar specific heat Moment of inertia Momentum Period Permeability of space Permittivity of space Potential Power
Common Symbol a n ,
L
A Z C q , Q , e I J r, s d , h , L p E E
E , U , K S F f Q L
B B
m , M C I p T 0 0 V
Unit in Terms of Base SI Units
Unita
Dimensions b
m/s2 m ol e radian (rad) rad/s 2 rad/s kg m2/s rad/s m2
L/T 2 1 T 2 T 1 ML2/T T 1 L2
s2 s1 kg m2/s s1 m2
farad (F) coulomb (C)
Q2 T 2/ML2 Q
A 2 s4/kg m2 A s
C/m C/m2 C/m3 1/ m AMPERE A/m2 kg/m3
Q /L Q /L2 Q /L3 Q 2 T/ML3 Q /T Q /T 2 M/L3
A s/m A s/m2 A s/m3 A 2 s3/kg m3 A A/m2 kg/m 3
METER
L
m
Cm V/m V m volt (V) joule (J) J/K newton (N) hertz (Hz) joule ( J) henry (H) N m/T tes tesla (T)( (T)( Wb/m Wb/m2) weber (Wb) KILOGRAM J/mol K kg m2 kg m/s s N/A 2( H/m) C2/N m2( F/m) volt (V)( J/C) watt (W)( J/s)
QL ML/QT 2 ML3/QT 2 ML2/QT 2 ML2/T 2 ML2/T 2 K ML/T 2 T 1 ML2/T 2 ML2/Q 2 QL2/T M/QT ML2/QT M
A s m kg m/A s3 kg m3/A s3 kg m2/A s3 kg m2/s2 kg m2/s2 K kg m/s2 s1 kg m2/s2 kg m2/A 2 s2 A m2 kg/A s2 kg m2/A s2 kg kg m2/s2 mol K kg m2 kg m/s s kg m/A2 s2 A 2 s4/kg m3 kg m2/A s3 kg m2/s3
ML2 ML/T T ML/Q2 T Q2 T 2 /ML3 ML2 /QT 2 ML2 /T 3
m/s2 m ol
continued
A.4
A P PE P E N D IX IX
A
TABLE TA BLE A.2 Continued
Common Symbol
Quantity Pressure Resistance Specific heat Speed Temperature Time Torque Volume Volume Wavelength Work
TABLE TA BLE A.3
0 1
2
3
4
V W
Unit in Terms of Base SI Units
pascal (Pa) (N/m2) ohm ()( V/ V /A) J/kg K m/s KELVIN SECOND Nm m3 m joule ( J)( N m)
M/LT 2 ML2/Q 2 T L2/T 2 K L/T K T ML2/T 2 L3 L ML2 /T 2
kg/m s2 kg m2/A 2 s3 m2/s2 K m/s K s kg m2/s2 m3 m kg m2/s2
The base SI units are given in uppercase letters.
b
The symbols M, L, T, and Q denote mass, length, time, and charge, respectively. respectively.
Table of Atomic Masses a
Element
Symbol
(Neutron) Hydrogen Deuterium Tritium Helium
n H D T He
Lithium
Beryllium
Li
Be
Chemical Atomic Mass (u) 1.007 9
4.002 60
6.941
9.012 2
5
Boron
B
10.81
6
Carbon
C
12.011
7
Dimensions b
a
Atomic Number Z
P R c v T t
Unita
Nitrogen
N
14.006 7
Mass Number (* Indicates Radioactive) A
1* 1 2 3* 3 4 6* 6 7 8* 7* 9 10* 10 11 12* 10* 11* 12 13 14* 15* 12* 13* 14 15 16* 17*
Atomic Mas Mass (u) (u) 1.008 665 1.007 825 2.014 102 3.016 049 3.016 029 4.002 602 6.018 886 6.015 121 7.016 003 8.022 486 7.016 928 9.012 174 10.013 534 10.012 936 11.009 305 12.014 352 10.016 854 11.011 433 12.000 000 13.003 355 14.003 242 15.010 599 12.018 613 13.005 738 14.003 074 15.000 108 16.006 100 17.008 450
Percent Abun Abunda danc nce e
Half-Life (If Ra R adioactive) T 1/2
10.4 min 99.985 0.015 12.33 yr 0.000 14 99.999 86 0.81 s 7.5 92.5 0.84 s 53.3 days 100 1.5
106 yr
19.9 80.1 0.020 2 s 19.3 s 20.4 min 98.90 1.10 5 730 yr 2.45 s 0.011 0 s 9.96 min 99.63 0.37 7.13 s 4.17 s
A.5
Appendix A
TABLE A.3 Continued
Atomic Number Z
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Element
Symbol
Oxygen
O
Fluorine
Neon
Sodium
Magnesium
Aluminum
Silicon
Phosphorus
Sulfur
Chlorine
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Chemical Atomic Mass (u) 15.999 4
18.998 40
20.180
22.989 87
24.305
26.981 54
28.086
30.973 76
32.066
35.453
Mass Number (* Indicates Radioactive) A
14* 15* 16 17 18 19* 17* 18* 19 20* 21* 18* 19* 20 21 22 23* 21* 22* 23 24* 23* 24 25 26 27* 26* 27 28* 28 29 30 31* 32* 30* 31 32* 33* 32 33 34 35* 36 35 36* 37
Atomic Mass (u) 14.008 595 15.003 065 15.994 915 16.999 132 17.999 160 19.003 577 17.002 094 18.000 937 18.998 404 19.999 982 20.999.950 18.005 710 19.001 880 19.992 435 20.993 841 21.991 383 22.994 465 20.997 650 21.994 434 22.989 770 23.990 961 22.994 124 23.985 042 24.985 838 25.982 594 26.984 341 25.986 892 26.981 538 27.981 910 27.976 927 28.976 495 29.973 770 30.975 362 31.974 148 29.978 307 30.973 762 31.973 908 32.971 725 31.972 071 32.971 459 33.967 867 34.969 033 35.967 081 34.968 853 35.968 307 36.965 903
Percent Abundance
Half-Life (If Radioactive) T 1/2
70.6 s 122 s 99.761 0.039 0.20 26.9 s 64.5 s 109.8 min 100 11.0 s 4.2 s 1.67 s 17.2 s 90.48 0.27 9.25 37.2 s 22.5 s 2.61 yr 100 14.96 h 11.3 s 78.99 10.00 11.01 9.46 min 7.4 105 yr 100 2.24 min 92.23 4.67 3.10 2.62 h 172 yr 2.50 min 100 14.26 days 25.3 days 95.02 0.75 4.21 87.5 days 0.02 75.77 3.0
105 yr
24.23 continued
A.6
A P PE N D IX
A
TABLE A.3 Continued
Atomic Number Z
Element
Symbol
18
Argon
Ar
19
20
21 22
23
24
25 26
27 28
Potassium
Calcium
Scandium Titanium
Vanadium
Chromium
Manganese Iron
Cobalt Nickel
K
Ca
Sc Ti
V
Cr
Mn Fe
Co Ni
Chemical Atomic Mass (u) 39.948
39.098 3
40.08
44.955 9 47.88
50.941 5
51.996
54.938 05 55.847
58.933 20 58.693
Mass Number (* Indicates Radioactive) A
36 37* 38 39* 40 42* 39 40* 41 40 41* 42 43 44 46 48 41* 45 44* 46 47 48 49 50 48* 50* 51 48* 50 52 53 54 54* 55 54 55* 56 57 58 60* 59 60* 58 59* 60 61 62 63* 64
Atomic Mass (u)
Percent Abundance
35.967 547 36.966 776 37.962 732 38.964 314 39.962 384 41.963 049 38.963 708 39.964 000 40.961 827 39.962 591 40.962 279 41.958 618 42.958 767 43.955 481 45.953 687 47.952 534 40.969 250 44.955 911 43.959 691 45.952 630 46.951 765 47.947 947 48.947 871 49.944 792 47.952 255 49.947 161 50.943 962 47.954 033 49.946 047 51.940 511 52.940 652 53.938 883 53.940 361 54.938 048 53.939 613 54.938 297 55.934 940 56.935 396 57.933 278 59.934 078 58.933 198 59.933 820 57.935 346 58.934 350 59.930 789 60.931 058 61.928 346 62.929 670 63.927 967
0.337
Half-Life (If Radioactive) T 1/2
35.04 days 0.063 269 yr 99.600 33 yr 93.258 1 0.011 7 6.730 2 96.941
1.28
109 yr
1.0
105 yr
0.647 0.135 2.086 0.004 0.187 0.596 s 100 49 yr 8.0 7.3 73.8 5.5 5.4 0.25 99.75
15.97 days 1.5 1017 yr 21.6 h
4.345 83.79 9.50 2.365 312.1 days 100 5.9 2.7 yr 91.72 2.1 0.28 1.5
106 yr
100 5.27 yr 68.077 7.5
104 yr
26.223 1.140 3.634 100 yr 0.926
A.7
Appendix A
TABLE A.3 Continued
Atomic Number
Chemical Atomic Mass (u)
Z
Element
Symbol
29
Copper
Cu
63.54
30
Zinc
Zn
65.39
31
Gallium
Ga
69.723
32
Germanium
Ge
72.61
33 34
Arsenic Selenium
As Se
74.921 6 78.96
35
Bromine
Br
79.904
36
Krypton
Kr
83.80
37
Rubidium
Rb
85.468
38
Strontium
Sr
87.62
39 40
Yttrium Zirconium
Y Zr
88.905 8 91.224
Mass Number (* Indicates Radioactive) A
63 65 64 66 67 68 70 69 71 70 72 73 74 76 75 74 76 77 78 79* 80 82* 79 81 78 80 81* 82 83 84 85* 86 85 87* 84 86 87 88 90* 89 90 91 92 93* 94 96
Atomic Mass (u)
Percent Abundance
62.929 599 64.927 791 63.929 144 65.926 035 66.927 129 67.924 845 69.925 323 68.925 580 70.924 703 69.924 250 71.922 079 72.923 462 73.921 177 75.921 402 74.921 594 73.922 474 75.919 212 76.919 913 77.917 307 78.918 497 79.916 519 81.916 697 78.918 336 80.916 287 77.920 400 79.916 377 80.916 589 81.913 481 82.914 136 83.911 508 84.912 531 85.910 615 84.911 793 86.909 186 83.913 428 85.909 266 86.908 883 87.905 618 89.907 737 88.905 847 89.904 702 90.905 643 91.905 038 92.906 473 93.906 314 95.908 274
69.17 30.83 48.6 27.9 4.1 18.8 0.6 60.108 39.892 21.23 27.66 7.73 35.94 7.44 100 0.89 9.36 7.63 23.78 49.61 8.73 50.69 49.31 0.35 2.25
Half-Life (If Radioactive) T 1/2
6.5
104 yr
1.4
1020 yr
2.1
105 yr
11.6 11.5 57.0 10.76 yr 17.3 72.17 27.83 0.56 9.86 7.00 82.58
4.75
1010 yr
29.1 yr 100 51.45 11.22 17.15 1.5
106 yr
17.38 2.80 continued
A.8
A P PE N D IX
A
TABLE A.3 Continued
Atomic Number Z
Element
Symbol
41
Niobium
Nb
42
Molybdenum
Mo
Chemical Atomic Mass (u) 92.906 4
95.94
43
Technetium
Tc
44
Ruthenium
Ru
101.07
45 46
Rhodium Palladium
Rh Pd
102.905 5 106.42
47
Silver
Ag
107.868
48
Cadmium
Cd
112.41
49 50
Indium Tin
In Sn
114.82 118.71
Mass Number (* Indicates Radioactive) A
Atomic Mass (u)
91* 92* 93 94* 92 93* 94 95 96 97 98 100 97* 98* 99* 96 98 99 100 101 102 104 103 102 104 105 106 107* 108 110 107 109 106 108 109* 110 111 112 113* 114 116 113 115* 112 114 115 116 117
90.906 988 91.907 191 92.906 376 93.907 280 91.906 807 92.906 811 93.905 085 94.905 841 95.904 678 96.906 020 97.905 407 99.907 476 96.906 363 97.907 215 98.906 254 95.907 597 97.905 287 98.905 939 99.904 219 100.905 558 101.904 348 103.905 428 102.905 502 101.905 616 103.904 033 104.905 082 105.903 481 106.905 126 107.903 893 109.905 158 106.905 091 108.904 754 105.906 457 107.904 183 108.904 984 109.903 004 110.904 182 111.902 760 112.904 401 113.903 359 115.904 755 112.904 060 114.903 876 111.904 822 113.902 780 114.903 345 115.901 743 116.902 953
Percent Abundance
Half-Life (If Radioactive) T 1/2
6.8 102 yr 3.5 107 yr 100 2
104 yr
3.5
103 yr
2.6 4.2 2.1
6.5
14.84 9.25 15.92 16.68 9.55 24.13 9.63 106 yr 106 yr 105 yr
5.54 1.86 12.7 12.6 17.1 31.6 18.6 100 1.02 11.14 22.33 27.33 106 yr
26.46 11.72 51.84 48.16 1.25 0.89 462 days 12.49 12.80 24.13 12.22 28.73 7.49 4.3 95.7 0.97 0.65 0.36 14.53 7.68
9.3
1015 yr
4.4
1014 yr
A.9
Appendix A
TABLE A.3 Continued
Atomic Number Z
(50)
Element
Symbol
Chemical Atomic Mass (u)
(Tin)
51
Antimony
Sb
121.76
52
Tellurium
Te
127.60
53 54
55
56
57
58
59
Iodine Xenon
Cesium
Barium
Lanthanum
Cerium
Praseodymium
I Xe
Cs
Ba
La
Ce
Pr
126.904 5 131.29
132.905 4
137.33
138.905
140.12
140.907 6
Mass Number (* Indicates Radioactive) A
Atomic Mass (u)
118 119 120 121* 122 124 121 123 125* 120 122 123* 124 125 126 128* 130* 127 129* 124 126 128 129 130 131 132 134 136* 133 134* 135* 137* 130 132 133* 134 135 136 137 138 137* 138* 139 136 138 140 142* 141
117.901 605 118.903 308 119.902 197 120.904 237 121.903 439 123.905 274 120.903 820 122.904 215 124.905 251 119.904 040 121.903 052 122.904 271 123.902 817 124.904 429 125.903 309 127.904 463 129.906 228 126.904 474 128.904 984 123.905 894 125.904 268 127.903 531 128.904 779 129.903 509 130.905 069 131.904 141 133.905 394 135.907 215 132.905 436 133.906 703 134.905 891 136.907 078 129.906 289 131.905 048 132.905 990 133.904 492 134.905 671 135.904 559 136.905 816 137.905 236 136.906 462 137.907 105 138.906 346 135.907 139 137.905 986 139.905 434 141.909 241 140.907 647
Percent Abundance
Half-Life (If Radioactive) T 1/2
24.22 8.58 32.59 55 yr 4.63 5.79 57.36 42.64 2.7 yr 0.095 2.59 0.905 4.79 7.12 18.93 31.70 33.87 100
1.3
1013 yr
1024 yr 1.25 1021 yr 8
1.6 0.10 0.09 1.91 26.4 4.1 21.2 26.9 10.4 8.9 100
2.36
107 yr
1021 yr
2.1 yr 2 106 yr 30 yr 0.106 0.101 10.5 yr 2.42 6.593 7.85 11.23 71.70 0.090 2 99.909 8 0.19 0.25 88.43 11.13 100
6 1.05
104 yr 1011 yr
5
1016 yr continued
A.10
A P PE N D IX
A
TABLE A.3 Continued
Atomic Number Z
Element
Symbol
Chemical Atomic Mass (u)
60
Neodymium
Nd
144.24
61
Promethium
Pm
62
Samarium
Sm
63
64
Europium
Gadolinium
Eu
Gd
150.36
151.96
157.25
65 66
Terbium Dysprosium
Tb Dy
158.925 3 162.50
67
Holmium
Ho
164.930 3
68
Erbium
Er
167.26
Mass Number (* Indicates Radioactive) A
Atomic Mass (u)
142 143 144* 145 146 148 150* 143* 145* 146* 147* 144 146* 147* 148* 149* 150 151* 152 154 151 152* 153 154* 155* 148* 150* 152* 154 155 156 157 158 160 159 156 158 160 161 162 163 164 165 166* 162 164 166
141.907 718 142.909 809 143.910 082 144.912 568 145.913 113 147.916 888 149.920 887 142.910 928 144.912 745 145.914 698 146.915 134 143.911 996 145.913 043 146.914 894 147.914 819 148.917 180 149.917 273 150.919 928 151.919 728 153.922 206 150.919 846 151.921 740 152.921 226 153.922 975 154.922 888 147.918 112 149.918 657 151.919 787 153.920 862 154.922 618 155.922 119 156.923 957 157.924 099 159.927 050 158.925 345 155.924 277 157.924 403 159.925 193 160.926 930 161.926 796 162.928 729 163.929 172 164.930 316 165.932 282 161.928 775 163.929 198 165.930 292
Percent Abundance 27.13 12.18 23.80 8.30 17.19 5.76 5.64
Half-Life (If Radioactive) T 1/2
2.3
1015 yr
1018 yr 265 days 17.7 yr 5.5 yr 2.623 yr
1
3.1 15.0 11.3 13.8 7.4
1.0 108 yr 1.06 1011 yr 7 1015 yr 2 1015 yr 90 yr
26.7 22.7 47.8 13.5 yr 52.2
0.20 2.18 14.80 20.47 15.65 24.84 21.86 100 0.06 0.10 2.34 18.9 25.5 24.9 28.2 100
8.59 yr 4.7 yr 75 yr 1.8 106 yr 1.1 1014 yr
1.2 0.14 1.61 33.6
103 yr
Appendix A
A.11
TABLE A.3 Continued
Atomic Number Z
Element
(68)
(Erbium)
69
Thulium
Symbol
Tm
Chemical Atomic Mass (u)
168.934 2
70
Ytterbium
Yb
173.04
71
Lutecium
Lu
174.967
72
Hafnium
Hf
178.49
73
Tantalum
Ta
180.947 9
74
Tungsten (Wolfram)
W
183.85
75
Rhenium
Re
186.207
76
Osmium
Os
190.2
77
Iridium
Ir
192.2
78
Platinum
Pt
195.08
79
Gold
Au
196.966 5
Mass Number (* Indicates Radioactive) A
Atomic Mass (u)
167 168 170 169 171* 168 170 171 172 173 174 176 173* 175 176* 174* 176 177 178 179 180 180 181 180 182 183 184 186 185 187* 184 186* 187 188 189 190 192 194* 191 193 190* 192 194 195 196 198 197
166.932 047 167.932 369 169.935 462 168.934 213 170.936 428 167.933 897 169.934 761 170.936 324 171.936 380 172.938 209 173.938 861 175.942 564 172.938 930 174.940 772 175.942 679 173.940 042 175.941 404 176.943 218 177.943 697 178.945 813 179.946 547 179.947 542 180.947 993 179.946 702 181.948 202 182.950 221 183.950 929 185.954 358 184.952 951 186.955 746 183.952 486 185.953 834 186.955 744 187.955 832 188.958 139 189.958 439 191.961 468 193.965 172 190.960 585 192.962 916 189.959 926 191.961 027 193.962 655 194.964 765 195.964 926 197.967 867 196.966 543
Percent Abundance
Half-Life (If Radioactive) T 1/2
22.95 27.8 14.9 100 1.92 yr 0.13 3.05 14.3 21.9 16.12 31.8 12.7 1.37 yr 97.41 2.59 0.162 5.206 18.606 27.297 13.629 35.100 0.012 99.988 0.12 26.3 14.28 30.7 28.6 37.40 62.60 0.02 1.58 1.6 13.3 16.1 26.4 41.0
1010 yr 1015 yr
3.78 2.0
4.4
1010 yr
2.0
1015 yr
6.0 yr 37.3 62.7 0.01 0.79 32.9 33.8 25.3 7.2 100
6.5
1011 yr
continued
A.12
A P PE N D IX
A
TABLE A.3 Continued
Atomic Number Z
Element
Symbol
Chemical Atomic Mass (u)
80
Mercury
Hg
200.59
81
Thallium
Tl
204.383
82
83
Lead
Bismuth
(Ra E) (Ac C ) (Th C ) (Ra C ) Pb
(Ra D) (Ac B) (Th B) (Ra B) Bi
(Ra E) (Th C) (Ra C) 84
Polonium
85
Astatine
86
Radon
87
Francium
Po (Ra F) (Ac C ) (Th C ) (Ra C ) (Ac A) (Th A) (Ra A) At
Rn (An) (Tn) (Rn) Fr (Ac K)
207.2
208.980 3
Mass Number (* Indicates Radioactive)
Percent Abundance
Half-Life (If Radioactive)
A
Atomic Mass (u)
196 198 199 200 201 202 204 203 204* 205 206* 207* 208* 210* 202* 204* 205* 206 207 208 210* 211* 212* 214* 207* 208* 209 210* 211* 212* 214* 215* 209* 210* 211* 212* 214* 215* 216* 218* 215* 218* 219*
195.965 806 197.966 743 198.968 253 199.968 299 200.970 276 201.970 617 203.973 466 202.972 320 203.973 839 204.974 400 205.976 084 206.977 403 207.981 992 209.990 057 201.972 134 203.973 020 204.974 457 205.974 440 206.975 871 207.976 627 209.984 163 210.988 734 211.991 872 213.999 798 206.978 444 207.979 717 208.980 374 209.984 096 210.987 254 211.991 259 213.998 692 215.001 836 208.982 405 209.982 848 210.986 627 211.988 842 213.995 177 214.999 418 216.001 889 218.008 965 214.998 638 218.008 685 219.011 294
219* 220* 222*
219.009 477 220.011 369 222.017 571
3.96 s 55.6 s 3.823 days
223*
223.019 733
22 min
T 1/2
0.15 9.97 16.87 23.10 13.10 29.86 6.87 29.524 3.78 yr 70.476
1.4
4.2 min 4.77 min 3.053 min 1.30 min 5 104 yr 1.4 1017 yr 1.5 107 yr
24.1 22.1 52.4 22.3 yr 36.1 min 10.64 h 26.8 min 32.2 yr 3.7 105 yr 100
5.01 days 2.14 min 60.6 min 19.9 min 7.4 min 102 yr 138.38 days 0.52 s 0.30 s 164 s 0.001 8 s 0.145 s 3.10 min 100 s 1.6 s 0.9 min
Appendix A
A.13
TABLE A.3 Continued
Atomic Number Z
Element
Symbol
88
Radium
Ra (Ac X) (Th X) (Ra) (Ms Th1) Ac (Ms Th2) Th (Rd Ac) (Rd Th)
89
Actinium
90
Thorium
91
Protactinium
92
Uranium
(Io) (UY) (Th) (UX1) Pa (Uz) U
(Ac U)
a
93
Neptunium
(UI) Np
94
Plutonium
Pu
Chemical Atomic Mass (u)
Mass Number (* Indicates Radioactive)
Percent Abundance
Half-Life (If Radioactive)
A
Atomic Mass (u)
223* 224* 226* 228* 227* 228*
223.018 499 224.020 187 226.025 402 228.031 064 227.027 749 228.031 015
11.43 days 3.66 days 1 600 yr 5.75 yr 21.77 yr 6.15 h
227* 228* 229* 230* 231* 232* 234* 231* 234* 232* 233* 234* 235* 236* 238* 235* 236* 237* 236* 238* 239* 240* 241* 242* 244*
227.027 701 228.028 716 229.031 757 230.033 127 231.036 299 232.038 051 234.043 593 231.035 880 234.043 300 232.037 131 233.039 630 234.040 946 235.043 924 236.045 562 238.050 784 235.044 057 236.046 560 237.048 168 236.046 033 238.049 555 239.052 157 240.053 808 241.056 846 242.058 737 244.064 200
18.72 days 1.913 yr 7 300 yr 75.000 yr 25.52 h 1.40 1010 yr 24.1 days 32.760 yr 6.7 h 69 yr 1.59 105 yr 2.45 105 yr 7.04 108 yr 2.34 107 yr 4.47 109 yr 396 days 1.15 105 yr 2.14 106 yr 2.87 yr 87.7 yr 2.412 104 yr 6 560 yr 14.4 yr 3.73 106 yr 8.1 107 yr
T 1/2
232.038 1
238.028 9
100
0.005 5 0.720 99.274 5
The masses in the sixth c olumn are atomic masses, which include the mass of Z electrons. Data are from the National Nuclear Data Center, Brookhaven National Laboratory, prepared by Jagdish K. Tuli, July 1990. The data are based on experimental results reported in Nuclear Data Sheets and Nuclear Physics and also from Chart of the Nuclides, 14th ed. Atomic masses are based on those by A. H. Wapstra, G. Audi, and R. Hoekstra. Isotopic abundances are based on those by N. E. Holden.
APPENDIX B
• Mathematics
Review
These appendices in mathematics are intended as a brief review of operations and methods. Early in this course, you should be totally familiar with basic algebraic techniques, analytic geometry, and trigonometry. The appendices on differential and integral calculus are more detailed and are intended for those students who have difficulty applying calculus concepts to physical situations.
B.1
SCIENTIFIC NOTATION
Many quantities that scientists deal with often have very large or very small values. For example, the speed of light is about 300 000 000 m/s, and the ink required to make the dot over an i in this textbook has a mass of about 0.000 000 001 kg. Obviously, it is very cumbersome to read, write, and keep track of numbers such as these. We avoid this problem by using a method dealing with powers of the number 10: 10 0 1 10 1 10 10 2 10 10 100 10 3 10 10 10 1000 10 4 10 10 10 10 10 000 10 5 10 10 10 10 10 100 000 and so on. The number of zeros corresponds to the power to which 10 is raised, called the exponent of 10. For example, the speed of light, 300 000 000 m/s, can be expressed as 3 108 m/s. In this method, some representative numbers smaller than unity are 101 102 103 104 105
1 10
0.1
1 10 10
0.01
1 10 10 10
0.001
1 10 10 10 10
0.000 1
1 10 10 10 10 10
0.000 01 A.15
A.16
A P PE N D IX
B
In these cases, the number of places the decimal point is to the left of the digit 1 equals the value of the (negative) exponent. Numbers expressed as some power of 10 multiplied by another number between 1 and 10 are said to be in scientific notation. For example, the scientific notation for 5 943 000 000 is 5.943 109 and that for 0.000 083 2 is 8.32 105. When numbers expressed in scientific notation are being multiplied, the following general rule is very useful: 10 n 10 m 10 n m
(B.1)
where n and m can be any numbers (not necessarily integers). For example, 10 2 10 5 10 7. The rule also applies if one of the exponents is negative: 10 3 10 8 10 5. When dividing numbers expressed in scientific notation, note that 10 n 10 m
10 n 10 m 10 n m
(B.2)
E XERC ISE S
With help from the above rules, verify the answers to the following: 86 400 8.64 104 9 816 762.5 9.816 762 5 106 0.000 000 039 8 3.98 108 (4 108)(9 109) 3.6 1018 (3 107)(6 1012) 1.8 104 75 10 11 6. 1.5 10 7 5 10 3 (3 10 6 )(8 10 2 ) 7. 2 10 18 17 5 (2 10 )(6 10 ) 1. 2. 3. 4. 5.
B.2
ALGEBRA
Some Basic Rules When algebraic operations are performed, the laws of arithmetic apply. Symbols such as x , y , and z are usually used to represent quantities that are not specified, what are called the unknowns. First, consider the equation 8x 32 If we wish to solve for x , we can divide (or multiply) each side of the equation by the same factor without destroying the equality. In this case, if we divide both sides by 8, we have 8x 32 8 8 x 4
B.2
Algebra
Next consider the equation x 2 8
In this type of expression, we can add or subtract the same quantity from each side. If we subtract 2 from each side, we get x 2 2 8 2 x 6
In general, if x a b , then x b a . Now consider the equation x 5
9
If we multiply each side by 5, we are left with x on the left by itself and 45 on the right:
5 (5) x
95
x 45
In all cases, whatever operation is performed on the left side of the equality must also be per- formed on the right side. The following rules for multiplying, dividing, adding, and subtracting fractions should be recalled, where a , b , and c are three numbers: Rule
a b
c d (a /b ) (c /d ) a c b d
Multiplying Dividing Adding
Example
ac bd ad bc ad bc bd
23 45 2/3 4/5 2 4 3 5
8 15 (2)(5) 10 (4)(3) 12 (2)(5) (4)(3) (3)(5)
2 15
E XER CIS ES
In the following exercises, solve for x : Answers
1. a
1
1 x 2. 3x 5 13 3. ax 5 bx 2 4.
5 2x 6
3 4x 8
1 a a x 6 7 x a b 11 x 7 x
Powers When powers of a given quantity x are multiplied, the following rule applies: x n x m x n m
(B.3)
A.17
A.18
A P PE N D IX
B
For example, x 2x 4 x 24 x 6. When dividing the powers of a given quantity, the rule is x n x m
x n m
(B.4)
For example, x 8/x 2 x 82 x 6. A power that is a fraction, such as 13 , corresponds to a root as follows: n
x 1/n ! x
TABLE B.1
Rules of Exponents x 0 x 1
1 x x n x m x n m x n /x m x n m n x 1/n ! x (x n )m x nm
(B.5)
3
For example, 41/3 !4 1.5874. (A scientific calculator is useful for such calculations.) Finally, any quantity x n raised to the m th power is (x n )m x nm
(B.6)
Table B.1 summarizes the rules of exponents. E XERC ISE S
Verify the following: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
32 33 243 x 5x 8 x 3 x 10/x 5 x 15 51/3 1.709 975 60 1/4 2.783 158 (x 4 )3 x 12
(Use your calculator.) (Use your calculator.)
Factoring Some useful formulas for factoring an equation are ax ay az a (x y x )
common factor
a 2 2ab b 2
perfect square
a 2
b 2
(a b )2
(a b )(a b )
differences of squares
Quadratic Equations The general form of a quadratic equation is ax 2
bx c 0
(B.7)
where x is the unknown quantity and a , b , and c are numerical factors referred to as coefficients of the equation. This equation has two roots, given by x
If b 2 4ac , the roots are real.
b
!b 2 4ac 2a
(B.8)
B.2
Algebra
A.19
E XAM PLE 1 The equation x 2 5x 4 0 has the following roots corresponding to the two signs of the square-root term: x x
5
!52 (4)(1)(4) 2(1)
5
3
2
1
5
x
!9
2 5
2
3
5
3
2 4
where x refers to the root corresponding to the positive sign and x refers to the root corresponding to the negative sign.
E XERC ISE S
Solve the following quadratic equations: Answers
1. x 2 2x 3 0 2. 2x 2 5x 2 0 3. 2x 2 4x 9 0
x x x
1 2 1 !22/2
x x x
3 1 2 1
!22/2
Linear Equations A linear equation has the general form (B.9)
y mx b
where m and b are constants. This equation is referred to as being linear because the graph of y versus x is a straight line, as shown in Figure B.1. The constant b , called the y -intercept, represents the value of y at which the straight line intersects the y axis. The constant m is equal to the slope of the straight line and is also equal to the tangent of the angle that the line makes with the x axis. If any two points on the straight line are specified by the coordinates ( x 1 , y 1 ) and (x 2 , y 2 ), as in Figure B.1, then the slope of the straight line can be expressed as Slope
y 2 x 2
y 1
x 1
y x
tan
(B.10)
Note that m and b can have either positive or negative values. If m 0, the straight line has a positive slope, as in Figure B1. If m 0, the straight line has a negative slope. In Figure B.1, both m and b are positive. Three other possible situations are shown in Figure B.2.
(x 1, y 1) (0, b )
∆ y
θ ∆x
θ (0, 0)
x
Figure B.1
y
(1)
1. Draw graphs of the following straight lines: (a) y 5x 3 (b) y 2x 4 (c) y 3x 6 2. Find the slopes of the straight lines described in Exercise 1. (b)
2
(c)
3
m>0 b < 0
(2) m < 0 b > 0 x
(3) m < 0 b < 0
E XERC ISE S
Answers (a) 5
(x 2, y 2)
y
Figure B.2
A.20
A P PE N D IX
B
3. Find the slopes of the straight lines that pass through the following sets of points: (a) (0, 4) and (4, 2), (b) (0, 0) and (2, 5), and (c) ( 5, 2) and (4, 2) Answers (a) 3/2
(b)
5/2
(c)
4/9
Solving Simultaneous Linear Equations Consider the equation 3x 5 y 15, which has two unknowns, x and y . Such an equation does not have a unique solution. For example, note that ( x 0, y 3), (x 5, y 0), and (x 2, y 9/5) are all solutions to this equation. If a problem has two unknowns, a unique solution is possible only if we have two equations. In general, if a problem has n unknowns, its solution requires n equations. In order to solve two simultaneous equations involving two unknowns, x and y , we solve one of the equations for x in terms of y and substitute this expression into the other equation. E XAM PLE 2 Solve the following two simultaneous equations:
Alternate Solution
Multiply each term in (1) by the factor 2 and add the result to (2):
(1) 5x y 8
10x 2 y 16
(2) 2x 2 y 4
2x 2 y 4
Solution From (2), x y 2. Substitution of this into (1)
12x 12
gives
x 1
5( y 2) y 8 6 y 18
y x 2
3
y 3 x y 2
y
5 4 3 2 1
x – 2 y = –1
(5, 3)
1
Two linear equations containing two unknowns can also be solved by a graphical method. If the straight lines corresponding to the two equations are plotted in a conventional coordinate system, the intersection of the two lines represents the solution. For example, consider the two equations x y 2
1 2 3 4 5 6 x x – y = 2
x 2 y 1
These are plotted in Figure B.3. The intersection of the two lines has the coordinates x 5, y 3. This represents the solution to the equations. You should check this solution by the analytical technique discussed above.
Figure B.3
E XERC ISE S
Solve the following pairs of simultaneous equations involving two unknowns: Answers
1. x y 8 x y 2
x 5, y 3
B.3
2. 98 T 10a T 49 5a 3. 6x 2 y 6 8x 4 y 28
Geometry
T 65, a 3.27 x 2, y 3
Logarithms Suppose that a quantity x is expressed as a power of some quantity a : x a y
(B.11)
The number a is called the base number. The logarithm of x with respect to the base a is equal to the exponent to which the base must be raised in order to satisfy the expression x a y : y loga x
(B.12)
Conversely, the antilogarithm of y is the number x : x antilog a y
(B.13)
In practice, the two bases most often used are base 10, called the common logarithm base, and base e 2.718 . . . , called Euler’s constant or the natural logarithm base. When common logarithms are used, (or x 10 y )
(B.14)
(or x e y )
(B.15)
y log 10 x
When natural logarithms are used, y ln e x
For example, log10 52 1.716, so that antilog 10 1.716 101.716 52. Likewise, lne 52 3.951, so antilne 3.951 e 3.951 52. In general, note that you can convert between base 10 and base e with the equality ln e x (2.302 585) log 10 x
(B.16)
Finally, some useful properties of logarithms are log(ab ) log a log b log(a /b ) log a log b log(a n ) n log a ln e 1 ln e a a 1 ln ln a a
B.3
GEOMETRY
The distance d between two points having coordinates ( x 1 , y 1 ) and (x 2 , y 2 ) is d !(x 2 x 1)2
( y 2 y 1)2
(B.17)
A.21
A.22
A P PE N D IX
B
Radian measure: The arc length s of a circular arc (Fig. B.4) is proportional to the radius r for a fixed value of (in radians): s
s r s r
θ r
(B.18)
Table B.2 gives the areas and volumes for several geometric shapes used throughout this text:
Figure B.4
TABLE B.2
Useful Information for Geometry
Shape
Area or Volume
Shape
Area or Volume
w 2 Surface area = 4π πr 3 π r Volume = 4π 3
r
Area = w
Sphere
Rectangle
Lateral surface area = 2π π r 2 Volume = π πr
r
Area = π πr 2 (Circumference = 2π πr )
r
Cylinder
Circle y m = slope = tan θ
h
Area = 12 bh
w
h
b Triangle
θ
Area = 2(h + w + hw ) Volume = wh
Rectangular box
b x
0
The equation of a straight line (Fig. B.5) is y mx b
Figure B.5
(B.19)
where b is the y -intercept and m is the slope of the line. The equation of a circle of radius R centered at the origin is y
x 2 y 2
Figure B.6
R 2
(B.20)
The equation of an ellipse having the origin at its center (Fig. B.6) is
b
0
a
x
x 2 a 2
y 2 b 2
1
(B.21)
where a is the length of the semi-major axis (the longer one) and b is the length of the semi-minor axis (the shorter one).
B.4
Trigonometry
The equation of a parabola the vertex of which is at y b (Fig. B.7) is y ax 2 b
A.23
y
(B.22)
The equation of a rectangular hyperbola (Fig. B.8) is (B.23)
xy constant B.4
b
TR IG ON OM ETR Y
x
0
That portion of mathematics based on the special properties of the right triangle is called trigonometry. By definition, a right triangle is one containing a 90° angle. Consider the right triangle shown in Figure B.9, where side a is opposite the angle , side b is adjacent to the angle , and side c is the hypotenuse of the triangle. The three basic trigonometric functions defined by such a triangle are the sine (sin), cosine (cos), and tangent (tan) functions. In terms of the angle , these functions are defined by a side opposite sin c hypotenuse side adjacent to cos hypotenuse side opposite tan side adjacent to
Figure B.7
y
(B.24)
b c a b
(B.25) (B.26)
x
0
The Pythagorean theorem provides the following relationship between the sides of a right triangle: c 2 a 2
b 2
(B.27) Figure B.8
From the above definitions and the Pythagorean theorem, it follows that sin2 cos2 1 tan
sin cos
The cosecant, secant, and cotangent functions are defined by csc
1 sin
sec
1 cos
cot
1 tan
The relationships below follow directly from the right triangle shown in Figure B.9:
a = opposite side b = adjacent side c = hypotenuse
sin cos(90 )
cot tan(90 ) Some properties of trigonometric functions are sin ( ) sin cos ( ) cos tan ( ) tan The following relationships apply to any triangle, as shown in Figure B.10: 180
90°–θ θ
c
cos sin(90 )
a
90°
θ b
Figure B.9
A.24
A P PE N D IX
B
γ
a
b
Law of sines
a sin
2bc cos 2ac cos 2ab cos
b sin
c sin
Table B.3 lists a number of useful trigonometric identities.
α
β
Law of cosines
a 2 b 2 c 2 b 2 a 2 c 2 c 2 a 2 b 2
TABLE B.3
c
Figure B.10
Some Trigonometric Identities
sin2 cos2 1
csc 2 1
sec 2 1
sin2
tan2
2
cot 2
1 2(1
cos )
1 2 (1
cos )
sin 2 2 sin cos
cos2
cos 2 cos2 sin2
1 cos 2 sin2
2 tan 1 tan2 sin(A B ) sin A cos B cos A sin B cos(A B ) cos A cos B sin A sin B tan 2
tan
2
2
!1
1
2 cos cos
E XAM PLE 3 Consider the right triangle in Figure B.11, in which a 2, b 5, and c is unknown. From the Pythagorean theorem, we have c 2
a 2 b 2
where tan 1 (0.400) is the notation for “angle whose tangent is 0.400,” sometimes written as arctan (0.400).
2 2 52 4 25 29
c !29 5.39
c a=2
To find the angle , note that tan
2 a 5 b
θ b=5
0.400
Figure B.11
From a table of functions or from a calculator, we have
tan1 (0.400)
21.8
E XERC ISE S
1. In Figure B.12, identify (a) the side opposite and (b) the side adjacent to and then find (c) cos , (d) sin , and (e) tan .
φ 5
3
Answers (a) 3, (b) 3, (c) θ 4
Figure B.12
4 5,
(d)
4 5,
and (e)
4 3
2. In a certain right triangle, the two sides that are perpendicular to each other are 5 m and 7 m long. What is the length of the third side? Answer 8.60 m
B.6
Differential Calculus
3. A right triangle has a hypotenuse of length 3 m, and one of its angles is 30°. What is the length of (a) the side opposite the 30° angle and (b) the side adjacent to the 30° angle? Answers (a) 1.5 m, ( b) 2.60 m
B.5
SERIES EXPANSIONS (a b )n a n
n n 1 n (n 1) n 2 2 a b a b 1! 2! n (n 1) 2 x 2!
(1 x )n 1 nx x
e
ln(1
1 x
x )
x 2 2!
x 3 3!
1 1 x 2x 2 3x 3
sin x x
x 3 3!
cos x 1
x 2 2!
tan x x
x 3 3
x 5 5!
x 4 4!
2x 5 15
x in radians
x /2
For x V 1, the following approximations can be used 1: (1 x )n 1 nx
sin x x
e x 1
cos x 1
ln(1
B.6
x
x )
x
tan x x
DIFFERENTIAL CALCULUS
In various branches of science, it is sometimes necessary to use the basic tools of calculus, invented by Newton, to describe physical phenomena. The use of calculus is fundamental in the treatment of various problems in Newtonian mechanics, electricity, and magnetism. In this section, we simply state some basic properties and “rules of thumb” that should be a useful review to the student. First, a function must be specified that relates one variable to another (such as a coordinate as a function of time). Suppose one of the variables is called y (the dependent variable), the other x (the independent variable). We might have a function relationship such as y (x ) ax 3 bx 2 cx d
If a , b , c , and d are specified constants, then y can be calculated for any value of x . We usually deal with continuous functions, that is, those for which y varies “smoothly” with x . 1 The approximations for the functions sin x ,
cos x , and tan x are for x 0.1 rad.
A.25
A.26
A P PE N D IX
B
The derivative of y with respect to x is defined as the limit, as x approaches zero, of the slopes of chords drawn between two points on the y versus x curve. Mathematically, we write this definition as
y y 2
dy dx
∆ y
y 1
∆x
x 1
x
x 2
Figure B.13
lim
x : 0
y x
y (x x ) y (x ) 0 x
lim
x :
(B.28)
where y and x are defined as x x 2 x 1 and y y 2 y 1 (Fig. B.13). It is important to note that dy /dx does not mean dy divided by dx , but is simply a notation of the limiting process of the derivative as defined by Equation B.28. A useful expression to remember when y (x ) ax n , where a is a constant and n is any positive or negative number (integer or fraction), is dy dx
nax n 1
(B.29)
If y (x ) is a polynomial or algebraic function of x , we apply Equation B.29 to each term in the polynomial and take d [constant]/ dx 0. In Examples 4 through 7, we evaluate the derivatives of several functions. E XAM PLE 4 Suppose y (x ) (that is, y as a function of x ) is given by y (x )
so
ax 3 bx c
where a and b are constants. Then it follows that y (x x )
y (x x )
b (x x )
a (x 3
x 3 )
b x
Substituting this into Equation B.28 gives
a (x x )3
a (3x 2 x 3x x 2
y y (x x ) y (x )
c
3x 2 x
:
3x x 2 x 3 )
b (x x )
8x 5 4x 3 2x 7
dy lim x 0 dx
c
y x
lim [3ax 2 3x x x 2] b
x : 0
dy 3ax 2 dx
b
dy 40x 4 dx
12x 2 2
E XAM PLE 5 y (x )
Solution Applying Equation B.29 to each term independently, and remembering that d /dx (constant) 0, we have dy 8(5)x 4 dx
4(3)x 2 2(1)x 0 0
Special Properties of the Derivative A. Derivative of the product of two functions If a function f(x) is given by the product of two functions, say, g(x) and h(x) , then the derivative of f(x) is defined as d d dh dg h f (x ) [g (x )h (x )] g dx dx dx dx
(B.30)
B.7
Intergral Calculus
A.27
B. Derivative of the sum of two functions If a function f(x) is equal to the sum of two functions, then the derivative of the sum is equal to the sum of the derivatives: d d dg dh f (x ) [g (x ) h (x )] (B.31) dx dx dx dx C. Chain rule of differential calculus If y f (x) and x g(z) , then dy/dz can be written as the product of two derivatives: dy dz
dy dx dx dz
(B.32)
D. The second derivative The second derivative of y with respect to x is defined as the derivative of the function dy/dx (the derivative of the derivative). It is usually written d 2 y d dy (B.33) 2 dx dx dx
E XAM PLE 6 Find the derivative of y(x) x 3/(x 1)2 with respect to x .
Solution We can rewrite this function as y(x) x 3(x
1)
2
and apply Equation B.30:
dy d 3 (x ) (x 1)2 dx dx
x 3
(x 1)23x 2 x 3( 2)(x 1)3
dy 3x 2 dx (x 1)2
2x 3 (x 1)3
d (x 1)2 dx
E XAM PLE 7 A useful formula that follows from Equation B.30 is the derivative of the quotient of two functions. Show that
d g (x ) dx h (x )
h
dg dh g dx dx
d g dx h
d (gh 1) dx
gh 2
h 2
h
Solution We can write the quotient as gh 1 and then apply Equations B.29 and B.30:
INTEGRAL CALCULUS
We think of integration as the inverse of differentiation. As an example, consider the expression dy f (x ) (B.34) 3ax 2 b dx
y (x )
ax 3
bx c
d 1 (h ) dx
dh dg h 1 dx dx
h 2
B.4.
which was the result of differentiating the function
g
dg dh g dx dx
Some of the more commonly used derivatives of functions are listed in Table
B.7
h 1
d (g ) dx
A.28
TABLE B.4
Derivatives for Several Functions d (a ) 0 dx d (ax n ) nax n 1 dx d ax (e ) ae ax dx d (sin ax ) a cos ax dx d (cos ax ) a sin ax dx d (tan ax ) a sec 2 ax dx d (cot ax ) a csc 2 ax dx d (sec x ) tan x sec x dx d (csc x ) cot x csc x dx 1 d (ln ax ) dx x
A P PE N D IX
B
in Example 4. We can write Equation B.34 as dy f (x ) dx (3ax 2 b ) dx and obtain y (x ) by “summing” over all values of x . Mathematically, we write this inverse operation y (x )
f (x ) dx
For the function f (x ) given by Equation B.34, we have y (x )
(3ax 2 b ) dx ax 3 bx c
where c is a constant of the integration. This type of integral is called an indefinite integral because its value depends on the choice of c . A general indefinite integral I (x ) is defined as I (x )
(B.35)
f (x ) dx
dI (x ) . dx For a general continuous function f (x ), the integral can be described as the area under the curve bounded by f (x ) and the x axis, between two specified values of x , say, x 1 and x 2 , as in Figure B.14. The area of the blue element is approximately f (x i )x i . If we sum all these area elements from x 1 and x 2 and take the limit of this sum as x i 0, we obtain the true area under the curve bounded by f (x ) and x , between the limits x 1 and x 2 :
where f (x ) is called the integrand and f (x )
:
Note: The letters a and n are constants.
Area lim f (x i ) x i x 0 i :
i
x 2
(B.36)
f (x ) dx
x 1
Integrals of the type defined by Equation B.36 are called definite integrals. f (x )
f (x i )
x 1
∆x i
x 2
Figure B.14
One common integral that arises in practical situations has the form
x n dx
x n 1 n 1
c
(n 1)
(B.37)
This result is obvious, being that differentiation of the right-hand side with respect to x gives f (x ) x n directly. If the limits of the integration are known, this integral becomes a definite integral and is written
x 2
x 1
n
x dx
x 2n 1 x 1n 1 n 1
(n 1)
(B.38)
B.7
Intergral Calculus
E XAM PLE S
1. 2. 3.
a
0 b 0 5 3
x 3 3
x 2 dx
0 5/2 x
b
2 5/2 b 5/2 0 5 x 2 5 52 32 8 2 3 2
x 3/2 dx x dx
a 3 3
a
Partial Integration Sometimes it is useful to apply the method of partial integration (also called “integrating by parts”) to evaluate certain integrals. The method uses the property that
u dv uv
(B.39)
v du
where u and v are carefully chosen so as to reduce a complex integral to a simpler one. In many cases, several reductions have to be made. Consider the function I (x )
x 2e x dx
This can be evaluated by integrating by parts twice. First, if we choose u x 2, v e x , we get
x 2e x dx
x 2 d (e x )
x 2e x 2
e x x dx c 1
Now, in the second term, choose u x , v e x , which gives
or
x 2e x dx x 2e x 2xe x 2
e x dx c 1
x 2e x dx x 2e x 2xe x 2e x c 2
The Perfect Differential Another useful method to remember is the use of the perfect differential, in which we look for a change of variable such that the differential of the function is the differential of the independent variable appearing in the integrand. For example, consider the integral I (x )
cos2 x sin x dx
This becomes easy to evaluate if we rewrite the differential as d (cos x ) sin x dx . The integral then becomes
cos2 x sin x dx cos2 x d (cos x )
If we now change variables, letting y cos x , we obtain
cos2 x sin x dx y 2dy
y 3 3
c
cos3 x c 3
A.29
A.30
A P PE N D IX
B
Table B.5 lists some useful indefinite integrals. Table B.6 gives Gauss’s probability integral and other definite integrals. A more complete list can be found in various handbooks, such as The Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press.
Some Indefinite Integrals (An arbitrary constant should be added to each of these integrals.)
TABLE B.5
! ! ! ! ! ! ! ! x n dx
x n 1 n 1
dx x
x 1 dx ln x
(provided n 1)
1 dx ln(a bx ) a bx b x dx x a 2 ln(a bx ) a bx b b dx x (x a ) dx (a bx )2
1 b (a bx )
dx x 2
1 x tan1 a a
dx x 2
1 a x ln 2a a x
(a 2 x 2 0)
dx a 2
1 x a ln 2a x a
(x 2 a 2 0)
a 2 a 2 x 2
1 x a ln a x
x dx x 2
a 2
1 2 ln(a 2
dx
a 2
x 2
dx
x 2
a 2
x dx
a 2 x 2 x dx x 2 a 2
x x cos1 a a
sin1
ln(x !x 2 a 2)
x 2
!x 2 a 2
x 2 dx 13 (a 2
x 2
x ( x 2 a 2) dx 13 (x 2
1 ax e a
a 2 sin1
x a
x 2)3/2
a 2 dx 12 [x !x 2 a 2
e ax dx
(a 2 x 2 0)
!a 2 x 2
a 2 x 2 dx 12 x !a 2
x a 2
x 2)
a 2 ln(x !x 2
a 2)3/2
a 2)]
ln ax dx (x ln ax ) x xe ax dx dx a be cx
e ax (ax 1) a 2
1 x ln(a be cx ) a ac
sin ax dx
1 cos ax a
cos ax dx
1 sin ax a
tan ax dx
1 ln(cos ax ) a
cot ax dx
1 ln(sin ax ) a
sec ax dx
1 1 ax ln(sec ax tan ax ) ln tan 2 4 a a
csc ax dx
1 1 ax ln(csc ax cot ax ) ln tan 2 a a
sin2 ax dx
x 2
cos2 ax dx
sin 2 ax x 2 4a
1 ln(sec ax ) a
sin 2 ax 4a
1 dx cot ax 2 sin ax a 1 dx tan ax 2 cos ax a tan2 ax dx
1 (tan ax ) x a
cot 2 ax dx
1 (cot ax ) x a
sin1 ax dx x (sin1 ax ) cos1 ax dx x (cos1 ax ) dx a 2)3/2
(x 2
x dx a 2)3/2
(x 2
x
!
a 2
x 2
a 2
1
!
x 2
a 2
!1 a 2x 2 a
!1 a 2x 2 a
B.7
Gauss’s Probability Integral and Other Definite Integrals
TABLE B.6
0
x n e ax dx
I 0
I 1
I 2
I 3
I 4
I 5
n ! a n 1
2
0
e ax dx 2
xe ax dx
!
2
0
x 2e ax dx
2
0
x 3e ax dx
2
0
x 4e ax dx
0
2
x 5e ax dx
I 2n ( 1)n
d n I 0 da n
( 1)n
d n I 1 da n
(Gauss’s probability integral)
a
1 2a
I 2n 1
1 2
0
Intergral Calculus
!
dI 0 da
1 4
dI 1 da
1 2a 2
d 2I 0 da 2
3 8
d 2I 1 da 2
1 a 3
!
a 3
a 5
A.31
APPENDIX C
•
Periodic Table of the Elements
Group I
H
Group II
Transition elements
1
1.008 0 1
1s
Li
3
Be
4
9.012
6.94
2s
Na
11
22.99
Mg
1
19
Ca
20
40.08
1
2
4s
1
4s
Rb
37
Sr
Sc
21
44.96
2
4s
2
38 Y 88.906
2
1
Cs
55
132.91 1
6s
Ba
2
4d 5s
56
57-71*
Electron configuration
3
91.22
2
5
Nb
41
4
4d 5s
Hf
Ta
1
73 W
180.95
183.85
2
3
4
Ra
88 89-103**
(226) 2
7s
*Lanthanide series
5d 6s
2
(262) 2
3
6d 7s
La
57 2
Ac 1
Ce 1
89
(227)
58
6d 7s
44
75
Bh
Os
1
Ir
77
192.2 2
7
5d 6s
Hs
2
5d 6s
108
(265)
Mt 109 (266)
1
Pr
59
140.91 2
3
Th
Pa
90
2
4
6d 7s
2
2
4f 6s
91
(231) 2
60
144.24
2
4f 6s
Nd
U
2
5f 6d 7s
3
61
92 2
5f 6d 7s
62
150.4
5
4f 6s
2
6
Np
93
(239) 1
Sm
(147) 4f 6s
(238) 1
Pm
4
2
Pu
94
(239) 1
2
5f 6d 7s
6
0
2
5f 6d 7s
Atomic mass values given are averaged over isotopes in the percentages in which they exist in nature. † For an unstable element, mass number of the most stable known isotope is given in parentheses. †† Elements 110, 111, 112, and 114 have not yet been named. ††† For a description of the atomic data, visit physics.nist.gov/atomic A.32
45
8
76
6
107
Rh 4d 5s
190.2 2
2
102.91 1
4d 5s
(262)
5d 4f 6s
(232) 2
7
3d 4s
2
140.12
5d 6s **Actinide series
Re
27
6d 7s
138.91 1
(263)
Ru 7
5d 6s
106
2
101.1 2
5
5d 6s
Rf 104 Db 105 Sg (261)
43
Co 58.93
6
186.2
2
26
3d 4s
4d 5s
74
178.49 5d 6s
Tc 5
4d 5s
2
2
(99)
5
Fe 55.85
5
42
2
2
25
3d 4s
95.94 1
4d 5s
72
1
Mo
Mn 54.94
3d 4s
92.91 2
24
51.996
3d 4s
40
Cr
137.34 6s
87
2
Zr 2
23
50.94
3d 4s
39
87.62 5s
22 V 2
3d 4s
1
5s
Ti 47.90
85.47
1
40.08
Atomic mass †
12
2
39.102
7s
Atomic number
3s
K
(223)
20
24.31
3s
Fr
Ca
Symbol
2
1
2s
Periodic Table of the Elements
Group III
Group IV
Group V
Group VI
Group VII
H
Group 0
1
1.008 0
10.81 1
2
13
26.98 3p
58.71
Cu
29
63.54
8
2
Pd
1
46 Ag
10
4d
47
Cd 112.40
10
4d 5s
78 Au
10
79
Hg
196.97
200.59
9
10
10
5d 6s
5d 6s
110†† (269)
63
152.0 2
Gd 1
Am
95
(243)
64 7
2
2
5f 6d 7s
81
83
Po
36
6
4p
I
53 Xe
54
131.30 6
5p
84 At
85
(218)
Rn
86
(222)
5
6p
Kr 83.80
5
4
6p
35
5p
(210)
3
Br
126.90
4
Bi
6
3p
6
6p
6p
114††
65 8
Dy
66
162.50 2
10
Bk
Cf
97
(247)
5f 6d 7s
52
18
(289)
Tb
8
Te
Ar 39.948
4p
5p
208.98
6p
Cm
2
82
207.2
6p
4f
1
Pb 2
5d 4f 6s
7
3
17
5
127.60
5p
112††
1
121.75
2
Tl
51
Cl
79.91
4p
Sb
6
3p
34
10
2p
5
Se
Ne 20.18
35.453
4
4p
50
16
78.96
3
Sn
S 3p
33
9 5
4
74.92
5p
5d 4f 6s
96
32 As
118.69
1
158.92
(245) 0
49
(277)
157.25
4f 6s
7
111††
In
204.37 2
Ge
F 2p
32.06
3
4p
1
5d 6s
(272)
Eu 7
1
30.97
1s
18.998
4
15
3p
8
2p
P
2
2
5p
80
14
72.59
114.82 2
195.09 1
31
4p
48
107.87 1
Ga 1
3d 4s
4d 5s
Pt
2
Si
O 15.999
3
3p
69.72
10
3d 4s
106.4
30
65.37
10
3d 4s
Zn
7
2p
28.09
1
N 14.007
2p
Al
28
6
12.011
2p
Ni
C
2
2
1s
5
He 4.002 6
1
B
2
2
6s
5f 6d 7s
5f
10
67
164.93 4f
98
(249) 1
Ho 11
2
2
6s
Es
4f
99
6d 7s 5f
11
68
167.26
(254) 0
Er 12
2
69
168.93
2
6s
4f
13
Yb
70
173.04
2
6s
4f
14
2
6s
Lu
71
174.97 1
5d 4f
14
6d 7s 5f
12
(255) 0
2
6d 7s 5f
13
(255) 0
2
0
103
(257) 2
6d 7s 6d 7s
1
2
6s
Fm 100 Md 101 No 102 Lr (253)
0
Tm
2
6d 7s
A.33
