3. MIROVANJE FLUIDA (STATIKA FLUIDA) 3.1. Uvod Saznanja o zakonitostima mirovanja fluida su najstarija saznanja mehanike fluida. Kao što je napomenuto viskoznost se se ne manifestuje pri pri mirovanju fluida pa je razumevanje pojava pojava u ovom sluč slučaju jednostavnije. U stanju mirovanja fluida postavlja se zadatak utvr đ utvr đivanja međ međusobnog uticaja tri osnovne velič veli čine: - pritiska p - gustine ρ i r
- spoljnih sila F , koje deluju na fluid. Unutrašnje sile u fluidu iskazuju se pritiskom. Kao što je pri definisanju nazna čeno pritisak je skalarna velič veličina i iskazuje dejstvo sile po jednici površine. Spoljnje sile su sile koje su posledica okruženja fluida. One dejstvuju po jednici mase fluida F (N/kg). 3.2. Ojlerova jednač jedna čina za miran fluid Zadatak statike fluida je da utvrdi uslove mirovanja svih delić deli ća u određ određenom fluidu. Slič Slično kao i u mehanici čvstih tela i u ovom sluč slu čaju potrebno je nać na ći uslov ravnoteže svih sila koje deluju na fluid. U svrhu ovog zadatka posmatra se proizvoljna fluidna zapremina (sl. 3.1) koja je sastavni deo ukupne zapremine fluida. Na svaki elementarni fluidni deli ć zapremine dV deluje spoljna sila ρ FdV. Ukupna spoljnja sila u uoč uo čenoj fluidnoj zapremni iznosi: r
∫ ρ F dV
(3.1)
V
Unutrašnja sila na uoč uo čenoj fluidnoj zapremini dejstvuje po njenim granicama jer se dejstvo pritiska izmeđ između elementarnih fluidnih delić deli ća dV potire. Unutrašnja sila na uoč uo čenu fluidnu zapreminu deluju r
po omotač omotaču te zapremine. Elementarna sila dejstvuje na elementarnu površinu i ona iznosi - pd A . Znak minus potič poti če od suprotnog usmerenja sile u odnosu na jedini čni vektor površine. Ukupna sila na celoj površini uoč uo čene fluidne zapremine iznosi: r
− ∫ pd A
(3.2)
A
S.3.1. Dejstvo sila na proizvoljnu fluidnu zapreminu Uslov ravnoteže fluida je da je zbir svih sila koje deluju na uo čenu fluidnu zapreminu jednak nuli. r
r
∫ ρ F dV − ∫ pd A = 0 V
A
Uzimajuć Uzimajući u obzir Gausovu teoremu važi:
(3.3)
r
∫ pd A = ∫ gradpdV A
(3.4)
V
gde je u Dekartovom parvouglom koordinatnom sistemu, ∂ p r ∂ p r ∂ p r gradp = i+ j + k ∂ x ∂ y ∂ z
(3.5)
dobija se:
∫ ( ρ F − gradp )dV = 0 r
(3.6)
V
Rešenje ovog integrala je ( dV ne može biti jednako nula jer to nema fizičkog smisla): r
ρ F − gradp = 0
(3.7)
ili r
F =
1
(3.8) gradp ρ Ova vektorska jednačina naziva se Ojlerova jednačina za miran fluid. Skalarni oblik ove jedna čine u pravouglom Dekartovom koroordinatnom sistemu je:
X =
1 ∂ p
Y =
ρ ∂ x
1 ∂ p
Z =
ρ ∂ y
1 ∂ p
(3.9)
ρ ∂ z
Rešenje Ojlerove jednačine za miran fluid je jednostavno ako je ρ = const (nestišljivi fluid) ili ako je poznata funkcija ρ= ρ ( p) - barotropni fluid. 3.3. Osnovna jedna čina statike fluida Ako se prethodne jednačine (j.3.9) pomnože sa dx, dy i dz,sukcesivno, dobija se sistem jednačina:
Xdx =
1 ∂ p
ρ ∂ x
Ydy =
dx
1 ∂ p ρ ∂ y
dy
Zdz =
1 ∂ p
ρ ∂ z
dz
(3.10)
Sabiranjem prethodnih jednačina (j.3.10) dobija se jedna jedna čina:
Xdx + Ydy + Zdz =
1 ∂ p
ρ ∂ x
dx +
1 ∂ p
ρ ∂ y
dy +
1 ∂ p
ρ ∂ z
dz
ili
Xdx + Ydy + Zdz =
⎛ ∂ p ∂ p ∂ p ⎞ ⎜⎜ dx + dy + dz ⎟⎟ ∂ y ∂ z ⎠ ρ ⎝ ∂ x 1
(3.11)
Izraz u zagradi je totalni diferencijal pritiska. Uzimajući ovo u obzir sledi:
Xdx + Ydy + Zdz =
1
(3.12) dp ρ Jednačina (j.3.12) naziva se osnovna jedna čina statike fluida. U ovoj jednačini, kao što je i bio cilj, povezane su veličine gustine, pritiska i spoljnjih sila.
3.4. Jedna čina statike fluida u polju zemljine teže Jedina spoljnja sila koja deluje na fluid koji miruje u polju zemljine teže je gravitaciona sila, koja je 2 jednaka ubrzanju zemljine teže g (m/s = N/kg). Uobičajeno je da se koordinatni suistem u polju zemljine teže postavlja tako da je z-osa usmerena vertikalno naviše. Iz prethodne diskusije sledi:
dX = 0; dY = 0; dZ = - g
(3.13)
zamenom jednačina (j.3.13) u jednačinu (j.3.12) dobija se:
− gdz =
dp
(3.14) ρ Ovaj izraz je jednačina statike fluida u polju zemljine teže. Samo ako je u celom posmatranom fluidom prostoru ova jednačina zadovoljena fluid će mirovati. 3.4.1.Mirovanje nestišljivog fluida u polju zemljine teže U slučaju nestišljivog fluida rešenje jedačine je jednostavno. Naime potrebno je integraliti jednačinu u zadatim granicama: p2
z 2
p1
z 1
∫ dp = − g ρ ∫ dz
Rešenje je:
p 2 − p1 = − g ρ ( z 2 − z 1 ) Obično se prethodna jednačina izražava na sledeći način: p1 p + z 1 = 2 + z 2 ρ ρ g g p1
(3.15)
(3.16)
obično se kaže da je to “pritisna visina”, dok se drugi član jednačine z ρ g naziva geodezijskom visinom. Iz ovoga sledi da je zbir pritisne i geodezijske visine, za neki jedinstveni (neperkinuti) fluidni prostor, konstantan. Grafički prikaz ovakvog razumevanja jednačine (j.3.16) dat je na slici (sl. 3.2). Za prvi član jednačine
Sl.3.2. Grafič ko prikaz jednač ine statike fluida u polju zemljine teže
Iz jednačine (j. 3.16) sledi da je pritisak u bilo kojoj ta čki unutar tečnosti koja se nalazi u otvorenom rezervoaru jednak: (3.17) p = p a + ρ gH gde je pa atmosferski pritisak, a H (m) dubina položaja posmatrane tačke, odnosno vertikalno rastojanje te tačke od slobodne površine. Proizvod ρ gH naziva se hidrostatički pritisak. 3.4.2. Posledice i zakoni koji proiti ču iz jednačine statike fluida u polju zemljine teže Iz jednačine statike fluida u polju zemljine teže izvodi se veći broj zakona i zaključaka. 1. Zakon spojenih sudova je direktna posledica jednačine (j.3.17). Pošto su pritisci na slobodnoj površini jednaki sledi da te slobodne površine u jedinstvenom fluidnom prostoru moraju biti na istoj visini (sl.3.3 a). 2. Slobodna površina teč nosti je uvek horizontalna. Z aključak proističe iz jednačine statike fluida. 3. Prtisci u istim horizontalnim ravnima jedinstvenog fluidnog protora su jednaki. Ovaj zaključak proističe, takođe, iz jednačine statike fluida. Ovaj zaključak, mada na prvi pogled izgleda trivijalno, neobično je važan u rešavanju zadataka iz statike fluida. 4. Paskalov zakon glasi: Promena pritiska (povećanje ili smanjenje) u bilo kojoj tački jednistvenog fluidnog prostora izazvaće istu toliku promenu pritiska u svim tačkama tog fluidnog prostora. Zakon se može isvesti posmatrajući sliku (sl. 3.3. b). Na osnovu jedna čine statike fluida može se napisati da je: p1 = p 2 + ρ gh (3.18) Ako se pritisak p1 poveća za neku vrednost δ p1 ona de može pretpostaviti da će doći do povećanja pritiska p2 za neku vrednost δ p2. Promenjeno stanje opisuje se jedna činom: (3.19) p1 + δ p1 = p 2 + δ p 2 + ρ gh 1 4 24 3
1 4 24 3
p1'
p2'
Ako se od jednačine (j.3.19) oduzme jednačina (j.3.18) dobija se: p1 = δ p 2 δ što se želelo i dokazati.
(3.20)
Sl. 3.3. Spojeni sudovi 5. Hidrauč na presa je naprava u kojoj se koristi jednačina statike fluida u tehničkim problemima. Hidraulična presa je mašina pomoću koje se malom silom (na primer ru čna sila) ostvariti veoma velika sila potrebna za ce đenje, presovanje, dizanje i sl. Hidraulička presa se sastoji od dva cilindra sa klipovima razli čitih prečnika, cevovoda koji povezuje te cilindre (sl. 3.4). Malom silom F 1 deluje sa na klip I. Površina čela klipa je A1. Posledica dejstva sile na klip je pritisak p1, čija vrednost se izračunava po sledećem izrazu:
p1
=
F 1 A1
(3.21)
U jednostavnijem slučaju, kakav je prikazan na slici, čelo klipa I i čelo klipa 2 su u istoj horizontalnoj ravni. S obzirom da su cilindri spojeni cevovodom pritisci te čnosti na oba čela klipa, po jednačini statike fluida, su jednaki:
p1
= p2
(3.22)
Sl. 3.4. Hidraulič na presa (1- cilindar I, 2 – cilindar II, 3 – klip I, 4 – klip II, 5 – cevovod, 6 – objekt koji se presuje, 7 – podloga) Dejstvo pritiska tečnosti p2 na klip II izaziva silu F 2, koja deluje naviše na objekt koji se presuje. Ta sila je jednaka:
F 2
= p2 A2
(3.23)
iz čega sledi:
p 2
=
F 2
F 1
=
F 2
A2 Ako se zamene vrednosti pritisaka (j. 3.21 i j. 3.24) u jedna činu (j. 3.22) dobija se:
A1
(3.24)
(3.25)
A2
iz čega sledi:
F 2
=
A2 A1
F 1
(3.26)
Pomoću izraza (j. 11) može se izra čunati sila kojom se pritiskuje objekt. Vidi se da ta sila zavisi od veličina čeonih površina klipova i sile kojom se dejstvuje na klip I. Iz prethodnog proizilazi da se malim silama mogu izazvati veoma velike sile pritiska na objekt. Prethodni izrazi važe za slučaj da su klipovi u istoj horizontalnoj ravni. U slu čaju da to nije tako, potrebno je korigovati izraz (j. 3.22) za vrednosti razlike hidrostati čkog pritiska koja zavisi od visinske razlike čeonih površina klipova.
3.5. Merenje pritiska Osnovne definicije naziva pritiska (sl. 3.5): 1. Apsolutni pritisak p je ukupni pritisak u nekoj tački fluidnog prostora. Prethodno objašnjavanje pritiska se odnosilo na ovaj pojam. 2. Atmosferski pritisak pa je pritisak koji vlada u okolnom vazduhu. Pri normalnim termodinamičkim uslovima uzima se da on iznosi pa= 101325 Pa. U svakom slučaju, on se meri i tako se utvr đuje njegova vrednost u konkretnim slučajevima – lokalni uslovi. 3. Nadpritisak ili manometarski pritisak pm je razlika između apsolutnog pritiska i atmosferskog pritiska, ako je apsolutni pritisak ve ći od atmosferskog: (3.27) pm = p -pa 4. Podpritisak ili vakumetarski pritisak je razlika između atmosferskog pritiska i apsolutnog pritiska, ako je atmosferski pritisak ve ći od apsolutnog. (3.28) pv = pa –p
Sl. 3.5. Definicije nadpritiska i podpritiska Pritisak se meri na različite načine, što zavisi od vrste fluida i veličine pritiska. Najednostavniji i pouzdan način merenja malih nadpritisaka i podpritisaka je pomoću U – cevi (sl. 3.6).
Sl. 3.6. Merenje pritiska pomoću U - cevi Za preciznija merenja veoma malih nadpritiska i podpritisaka koristi se mikromanometar sa kosom cevi (sl. 3.7). U ovom slučaju jedan krak U-cevi je nagnut pod poznatim uglom α. Ako je ovaj ugao manji preciznost očitavanja je veća. Ovaj mikromanometar najčešće služi za merenja razlika
između dva pritiska. Ta razlika se određuje očitavanjem dužine l i sledećim izračunavanjem (sl.3.7):
(3.29)
∆ p = pa – p = ρt l sinα
Sl. 3.7. Mikromanometar sa kosom U-cevi Za određivanje većih nadpritisaka i podpritisaka u praksi se naj češće koriste manometri sa Burdonovom cevi (sl. 3.8). Ovaj manometar funkcioniše na elasti čnom deformisanju savijene cevi. Naime, cev (poz.1 na sl. 3.8) se pod dejstvom pritiska elastično deformiše tako da se “ispravlja”, a ta deformacija se prenosti na mehanizam (poz. 3,4,5 i 6, sl.3.8), što ima za posledicu zakretanje kazaljke (poz. 7, sl. 3.8). Na kalibrisanoj skali (poz. 8, sl. 3.8) o čitava se vrednost pritiska. Elastična cev je elipsastog poprečnog preseka.
Sl. 3.8. Manometar sa Burdonovom cevi U svakodnevnom okruženju često se sreće aneroidno merilo pritiska (sl.3.9). Ovo merilo funkcioniše na principu promene zapremnine gasovitog fluida u nekoj komori i prenosu promene te zapremnine na membranu. Komora može biti ha rmonikasta ili jednostavna cilindrična sa osetljivom membranom. Ovim merilom mere se male razlike pritiska. Najčeće se meri atmosferski pritisak (sl.3.8.b). Na slici (sl.3.8. a) prikazana je konstrukcija aneroidnog manometra sa harmonikastom komorom.
a
b
Sl.3.9. Aneroidno merilo pritiska 3.6. Pritisak te čnosti na ravne površine Tečni fluidi nalaze se, najčešće, u posudama, rezervoarima i sl. Zbog prisustva hidirostati čkog pritiska oni pritiskajuće dejstvuju na zidove rezervoara. Potrebno je poznavati intenzitet tog dejstva. Dejstvo na neku konkretnu potoljenu površinu manifestuje se rezultuju ćom silom pritiska. Pored toga, važno je da se sazna gde je napadna ta čka te sile. Ovde će se razmotriti slučaj kada je površina na koju dejstvuje sila pritiska fluida ravna. To je jednostavniji slu čaj u odnosu na slučaj kada je ta površina zakrivljena. Neka se posmatrana ravna površina A nalazi na ravni π, koja je nagnuta pod uglom α u odnosu na ravan slobodne površine te čnosti gustine ρ (sl. 3.10). Pravougli koordinatni sistem postavlja se tako da je osa x u preseku ravni π i ravni slobodne površine tečnosti. Osa y nalazi se, takođe, u ravni slobodne površine te čnosti. Osa z usmerena je naniže.
Sl.3.10. Pritisak teč nosti na ravne površine
Hidrostatički pritisak tečnosti u bilo kojoj tački prostora koju zauzima tečnost, na osnovu jednačine statike fluida je: p = ρ g z
(3.30)
Uočava se elementarna površina dA u posmatranoj površini A. Sila pritiska na tu površinu je: dP = p dA = ρ gzdA (3.31) Za izračunavanje ukupne sile pritiska P na površinu A potrebno je integraliti prethodnu jedna činu.
P = ρ g ∫ zdA
(3.32)
A
Izraz ∫ zdA je statički moment inercije površine A u odnosu na x,y-ravan. Poznato je da on iznosi: A
∫ zdA = z C A
(3.33)
A
gde je z C najkraće rastojanje težišta C do do slobodne površine te čnosti (x,y-ravan). Imajući ovo u vidu dobija se daje sila pritiska:
P = ρ g z C A
(3.34)
ili (3.35)
P = pC A
Bilo koja od jednačina (j.3.34 ili j.3.35) može poslužiti da se odredi intenzitet sile hidrostati čkog pritiska na datu površinu. Pri tome je pC vrednost hidrostatičkog pritiska u tački C, koja je težište površine A. Za određivanje napadne tačke D sile pritiska P potrebno je primeniti Varinjonovu teoremu. Ona glasi: Moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenti. Primenjujući Varinjonovu teoremu za x,z-ravan dobija se:
ρ g ∫ zydA = y D P
(3.36)
A
za y,x-ravan:
ρ g ∫ z 2 dA = z D P
(3.37)
A
i za z,y-ravan:
g ∫ xzdA = x D P ρ
(3.38)
A
U prethodnim izrazima (j.3.36, 3.37 i 3.38) koordinate x D, y D i z D se odnose na napadnu tačku. Ove veličine su, za sada, nepoznate. Cilj naredne analize da se one odrede. U tu svrhu uvodi se pojednostavljenje. To pojednostavljenje je svođenje problema na dvodimenzijsko u novom ravanskom koordinatnom sistemu ξ , η. Kao što je na slici (sl. 3.10) pokazano ξ -osa se podudara sa x-osom, a η-osa se nalazi u ravni u kojoj je i površina A. Transformacija koordinata je slede ća:
y = η cosα;
z = η sinα;
x = ξ
(3.39)
Uvodeći smenu koordinata u jednačinu (j.3.36) i uzimajući u obzir jednačinu (j.3.34) dobija se: 2 ρ g ∫ η sin α cos α dA = η D cos α ρ g η C sin α A A
1 4 24 3
142 4 4 4 3
y D
P
(3.40)
Skraćivanjem se dobija: 2
∫ η
dA = η Dη C A
(3.41)
A
ili
∫ η 2 dA = A
(3.42) η C A Izraz iznad razlomačke crte u prethodnoj jednačini je moment inercije I ξ za osu ξ , pa se može napisati:
η D
=
I ξ
(3.43) η C A Dobijen je izraz koji na bazi poznatih veličina određuje jednu kordinatu položaja napadne tačke D. Zamena koordinata se može uvesti i u jednačinu (j.3.38):
η D
g ∫ ηξ sin α dA = ξ D ρ g η C sin α A ρ
(3.44)
{ 142 4 43 4
A
x D
P
Sređivanjem prethodne jednačine dobija se:
∫ ηξ dA = ξ Dη C A
(3.45)
A
ili
∫ ηζ dA ξ D
= A
η C A
=
I ηζ
(3.46)
η C A
gde je I ηζ centrifugalni moment inercije za η,ξ-ravan. Ako su površine A simetrične u odnosu na osu η tada je: I ηζ = 0, odnosno ζ = 0 što je najjednostavniji slučaj. Moment inercije površine A za osu ζ , koja se nalazi u ravni slobodne površine te čnosti može se 2 predstaviti zbirom sopstvenog momenta inerecije I ηζ ’ i položajnog momenta inercije AηC , pa je '
η D
=
I ξ
+ Aη C 2 η C A
'
= η C +
I ξ
η C A
(3.47)
Formule za izračunavanje sopstvenog momenta inercije za proste površine nalaze se u priru čnicima. U slučaju složenih površina analiza veličine sile hidrostatičkog pritiska sprovodi se za svaki deo složene površine.
3.7. Arhimedov zakon i plivanje tela Iz svakodnevnog iskustva poznato je da tela, koja se zarone u te čnost, nisu "tako teška", kao što su bila pre zaranjanja. Očigledno je da dejstvo hidrostatičkih sila prouzrokuje sile koje deluju naviše, tako da rezultujuća sila, koja deluje na telo, postaje manja od težine G ili se izjedna čava sa nulom. Proučavanje ovog fizičkog fenomena zasnovano je na analizi sila hidrostati čkog pritiska koje deluju na telo. Telo zapremine V zaronjeno je u tečnost gustine ρ (sl.3.11).
Arhimed (287-212. pr.n.e.) Sl.3.11. Analiza dejstva sila pritiska na telo koje je zaronjeno u mirnu teč nost Analiza počinje posmatranjem elementarne zapremine zaronjenog tela, dimenzija dx, dy i dz , koja se nalazi na dubini z . Na ovu elementarnu zapreminu deluju sile pritiska sa svih strana. Bo čne sile pritiska koje dejstvuju na površine dxdz su međusobno jednake jer su na istoj dubini, pa pošto su suprotnog smera potiru se. isto važi i za sile koje deluju na površini dydz . Ali na elementarnoj površini dxdy koja se nalazi dublje (dole) deluje nešto ve ća sila nego na onu koja se nalazi gore. Ako se primeni već izvedena jednačina (j.3.34) na ovaj slučaj može se izraziti rezultujuća sila dP:
dP = - ρ gzdxdy + ρ g ( z+dz )dxdy
(3.48)
Sređivanjem izraza dobija se: (3.49) dP = ρ gdzdxdy = ρ gdV Ako se pomoću zapreminskog integrala reči rezulttujuća sila za celokupnu zapreminu V , dobija se:
∫ dP = ρ g ∫ dV V
(3.50)
V
ili
P = ρ g V
(3.51)
Izraz (j.3.51) je čuveni Arhimedov zakon. Rezultujuća sila P naziva se sila potiska (ili kraće potisak). Vidi se da je intenzitet sile potiska koja deluje na telo zavisan od gustine te čnosti u koju je telo zaronjeno i od njegove zapremine. Sila potiska usmerena je uvek naviše. U ovoj analizi te čnost je smatrana nestišljivom ( ρ = const). Ukupna sila potiska P na potuno zaronjeno telo može biti ve ća, manja ili jednaka težini tela G. U zavisnosti od ovog tela mogu da plivaju, tonu il i da lebde (sl.3.12): 1. slučaj - telo pliva (sl.3.12. a) Uslov za plivanje tela je da je P > G. Kada je to tako telo će jednim delom isplivati na površinu toliko dok se dejstvo hidrostatičkog pritiska ne smanji dotle da se izjednači sa težinom G. Dejstvo hidrostatičkog pritiska - sila P', u ovom slu čaju je posledica hidrostatičkog pritiska na okvašenu površinu A. Dakle, važi će G = P’.
2. slučaj – telo lebdi (sl.3.12. b) U ovom slučaju sila potiska jednaka je sitežini tela P = G. Telo će biti potpuno okvašeno, ali ne mora da potone do dna. 3. slučaj – telo tone (sl.3.12.c) U ovom slučaju sila postiska je manja od težine tela P < G.
Sl.3.12. tela u teč nosti mogu da plivaju (a) da lebde (b) ili da tonu (c) Tela koja plivaju mogu se ponašati na razli čite načine (sl. 3.13). Ako je težište C ispod napadne tačke sile potiska D telo će stabilno plivati (stabilna ravnoteža). Na slici je primer jedrilice kod kojih se obavezno na kobilici (odozdo) dodaju tegovi, kako bi se težište cele jedrilice spustilo niže. Na slici je, takođe, prikazan slučaja kada se telo izvede iz ravnoteže. U tom slu čaju pojavljuje se spreg sila P i G (one su na rastojanju l ) koji rezultuje momentom M čija je težnja da telo vrati u ravnotežu. U slučaju labilnog plivanja napadna tačka sile potiska je ispod težišta pa ako se telo izvede iz ravnoteže ono će nastaviti da se rotira, što plivanje čini nestabilnim (labilnim). Kada se sila napadna tačka sile potiska D poklapa sa težištem C, ne pojavljuje se nikakav rezultuju ći moment, tako da telo rotira dok na njega deluje dodatna spoljnja sila. Primer za ovaj slu čaj je "tr čanje po balvanima koji plivaju". Na slici (sl.3.12) prikazane su mehani čke analogije za slučajeve ravnoteže, zasnovane na fizičkom klatnu i ravnokrakoj poluzi.
Sl.3.13. Stabilnost plivanja
3.8. Relativno mirovanje te čnosti pri translatornom kretanju U praksi se često javlja slučaj transporta tečnosti u rezervoarima. Pri tome se doga đa da se vozilo sa rezervoarom ubrzava ili usporava. U ovakvim i sli čnim slučajevima se, pored gravitacione sile javljaju inercijalne sile kao spoljnje dejstvo na fluid. Slučajevi promenjljivog kretanja mogu biti veoma različiti. Najednostavniji slučaj je pravolinijsko jednako ubrzano kretanje. Naravno, slu čaj jednako usporenog kretanja je identičan jednako ubrzanom kretanju, s tim što je vektor ubrzanja suprotno orijentisan u odnosu na smer kretanja. U ovakvim slu čajevima potrebno je poznavati pritiske u pojedinim tačkama u rezervoarau i geometriju "naginjanja" te čnosti. Dakle, određuje se polje (raspored) pritiska u tečnosti i oblik slobodne površine. Radi toga razmotri će se opšti slučaj parvolinisjkog jednako ubrzanog kretanja tečnosti u rezerevoaru (sl. 3.14) ubrzanjem a. Celokupna materija tečnosti će u ovakvom slučaju zauzeti neki položaj i pri tome se neće dalje kretati u odnosu na rezervoar. Zbog ove činjenice ovaj slučaj spada u statiku fluida. Na rezervoar, koji se kre će translatorno u horizontalnom pravcu, može se "pričvrstiti" koordinatni sistem, koji se kreće jednako kao i rezervoar. Delići tečnosti neće se kretati u odnosu na ovakav koordinatni sistem. Koordinatni početak nalazi se na sredini rezervoara, a na slobodnoj površini te čnosti. Osa y usmerena je u pravcu i smeru kretanja.
Sl. 3.14. Relativno mirovanje teč nosti prihorizontalnom translatornom kretanju Jenačina statike fluida (j.3.12) glasi: 1 Xdx + Ydy + Zdz = dp ρ Spoljnje sile u ovom slučaju su:
X = 0;
Y = -a;
Z = - g
(3. 52)
Ovde treba zapaziti da je jedinična inercijana sila Y (N/kg) jednaka ubraznju, ali je suprotnog predznaka. Uvrštavanjem vrednosti spoljnih sila u jedna činu statike fluida dobija se:
− ady − gdz =
1
(3.52) dp ρ U prethodnoj jednačini vrednosti x i z su nezavisno promenjljive, a p je zavisno promenjljiva. Jednačina se rešava neodređenim integralom, pri čemu se tečnost smatra nestišljivom ( ρ = const).
− a ∫ dy − g ∫ dz =
1
ρ
∫ dp
ili 1
− ay − gz = p + C
(3.53) ρ U ovoj jednačini C je konstanta integracije. Granični uslovi integracije se uzimaju na slobodnoj površini u koordinatnom početku, y = 0; z = 0; p = pa, tako da se može izračunati konstanta intergacije C : p a (3.54) C = − ρ Ako se ovo uzme u obzir sledi:
p − p a
= − ρ (ay + gz )
(3.55)
Ova jednačina (j.3.55) opisuje polje pritisaka u te čnosti koja se kreće translatorno i relativno miruje u odnosu na rezervoar. Ako se želi doznati jedna čina slobodne površine tečnosti u prethodnu jednačinu zamenjuje se p = pa, pa se dobija:
ay + gz = 0
(3.56)
Ovo je jednačina ravni. Slobodna površina tečnosti nije zakrivljena, ona je ravna i nagnuta pod uglom β u odnosu na ravan y,x. Ovaj ugao se određuje iz sledećeg izraza:
β = − tg
z y
=
a g
(3.57)
Ako se žele odrediti površine (ravni) istog pritiska u te čnosti tada se uzima da je p –pa = K, gde je K konstanta. Na osnovu ovoga se dobija jedna čina površina u kojima su međusobno jednake vrednosti pritiska:
ay + gz = − K
(3.58)
Iz prethodne jednačine (j.3.58) zaključuje se da je površina u kojoj su jednake vrednosti pritiska ravna i da je paralelna slobodnoj površini te čnosti. Dakle, i ova površina je nagnuta u odnosu na ravan y,x pod uglom β . Prethodna naliza i dobijeni izrazi omogućavaju izračunavanje pritiska u bilo kojoj tački unutar prostora koju zauzima tečnost. Pored toga, lako se izra čunava ugao pod kojim se te čnost naginje u odnosu na horizontalnu ravan. U slu čaju kada je translatorno kretanje tečnosti u pravcu koji nije horizontalan, tada je potrebno uzeti u obzir da jedini čna inercijalna sila i sila gravitacije moraju da se projektuju na novi korodinatni sistem, koji se ne kreće horizontalno.
